@phdthesis{Karl2020,
  author    = {Karl, Veronika},
  title     = {Augmented Lagrangian Methods for State Constrained Optimal Control Problems},
  doi       = {10.25972/OPUS-21384},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bvb:20-opus-213846},
  school      = {Universit{\"a}t W{\"u}rzburg},
  year      = {2020},
  abstract  = {This thesis is concerned with the solution of control and state constrained optimal control problems, which are governed by elliptic partial differential equations. Problems of this type are challenging since they suffer from the low regularity of the multiplier corresponding to the state constraint. Applying an augmented Lagrangian method we overcome these difficulties by working with multiplier approximations in \$L^2(\Omega)\$. For each problem class, we introduce the solution algorithm, carry out a thoroughly convergence analysis and illustrate our theoretical findings with numerical examples. The thesis is divided into two parts. The first part focuses on classical PDE constrained optimal control problems. We start by studying linear-quadratic objective functionals, which include the standard tracking type term and an additional regularization term as well as the case, where the regularization term is replaced by an \$L^1(\Omega)\$-norm term, which makes the problem ill-posed. We deepen our study of the augmented Lagrangian algorithm by examining the more complicated class of optimal control problems that are governed by a semilinear partial differential equation. The second part investigates the broader class of multi-player control problems. While the examination of jointly convex generalized Nash equilibrium problems (GNEP) is a simple extension of the linear elliptic optimal control case, the complexity is increased significantly for pure GNEPs. The existence of solutions of jointly convex GNEPs is well-studied. However, solution algorithms may suffer from non-uniqueness of solutions. Therefore, the last part of this thesis is devoted to the analysis of the uniqueness of normalized equilibria.},
  subject      = {Optimale Kontrolle},
  language  = {en}
}
@phdthesis{Poerner2018,
  author    = {P{\"o}rner, Frank},
  title     = {Regularization Methods for Ill-Posed Optimal Control Problems},
  edition   = {1. Auflage},
  publisher = {W{\"u}rzburg University Press},
  address   = {W{\"u}rzburg},
  isbn      = {978-3-95826-086-3 (Print)},
  doi       = {10.25972/WUP-978-3-95826-087-0},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bvb:20-opus-163153},
  school      = {W{\"u}rzburg University Press},
  pages     = {xiii, 166},
  year      = {2018},
  abstract  = {This thesis deals with the construction and analysis of solution methods for a class of ill-posed optimal control problems involving elliptic partial differential equations as well as inequality constraints for the control and state variables. The objective functional is of tracking type, without any additional \(L^2\)-regularization terms. This makes the problem ill-posed and numerically challenging. We split this thesis in two parts. The first part deals with linear elliptic partial differential equations. In this case, the resulting solution operator of the partial differential equation is linear, making the objective functional linear-quadratic. To cope with additional control constraints we introduce and analyse an iterative regularization method based on Bregman distances. This method reduces to the proximal point method for a specific choice of the regularization functional. It turns out that this is an efficient method for the solution of ill-posed optimal control problems. We derive regularization error estimates under a regularity assumption which is a combination of a source condition and a structural assumption on the active sets. If additional state constraints are present we combine an augmented Lagrange approach with a Tikhonov regularization scheme to solve this problem. The second part deals with non-linear elliptic partial differential equations. This significantly increases the complexity of the optimal control as the associated solution operator of the partial differential equation is now non-linear. In order to regularize and solve this problem we apply a Tikhonov regularization method and analyse this problem with the help of a suitable second order condition. Regularization error estimates are again derived under a regularity assumption. These results are then extended to a sparsity promoting objective functional.},
  subject      = {Optimale Steuerung},
  language  = {en}
}
@phdthesis{Wurst2015,
  author    = {Wurst, Jan-Eric},
  title     = {Hp-Finite Elements for PDE-Constrained Optimization},
  publisher = {W{\"u}rzburg University Press},
  address   = {W{\"u}rzburg},
  isbn      = {978-3-95826-024-5 (print)},
  doi       = {10.25972/WUP-978-3-95826-025-2},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bvb:20-opus-115027},
  school      = {W{\"u}rzburg University Press},
  pages     = {188},
  year      = {2015},
  abstract  = {Diese Arbeit behandelt die hp-Finite Elemente Methode (FEM) f{\"u}r linear quadratische Optimal-steuerungsprobleme. Dabei soll ein Zielfunktional, welches die Entfernung zu einem angestrebten Zustand und hohe Steuerungskosten (als Regularisierung) bestraft, unter der Nebenbedingung einer elliptischen partiellen Differentialgleichung minimiert werden. Bei der Anwesenheit von Steuerungsbeschr{\"a}nkungen k{\"o}nnen die notwendigen Bedingungen erster Ordnung, die typischerweise f{\"u}r numerische L{\"o}sungsverfahren genutzt werden, als halbglatte Projektionsformel formuliert werden. Folglich sind optimale L{\"o}sungen oftmals auch nicht-glatt. Die Technik der hp-Diskretisierung ber{\"u}cksichtigt diese Tatsache und approximiert raue Funktionen auf feinen Gittern, w{\"a}hrend Elemente h{\"o}herer Ordnung auf Gebieten verwendet werden, auf denen die L{\"o}sung glatt ist. Die erste Leistung dieser Arbeit ist die erfolgreiche Anwendung der hp-FEM auf zwei verwandte Problemklassen: Neumann- und Interface-Steuerungsprobleme. Diese werden zun{\"a}chst mit entsprechenden a-priori Verfeinerungsstrategien gel{\"o}st, mit der randkonzentrierten (bc) FEM oder interface konzentrierten (ic) FEM. Diese Strategien generieren Gitter, die stark in Richtung des Randes beziehungsweise des Interfaces verfeinert werden. Um f{\"u}r beide Techniken eine algebraische Reduktion des Approximationsfehlers zu beweisen, wird eine elementweise interpolierende Funktion konstruiert. Außerdem werden die lokale und globale Regularit{\"a}t von L{\"o}sungen behandelt, weil sie entscheidend f{\"u}r die Konvergenzgeschwindigkeit ist. Da die bc- und ic- FEM kleine Polynomgrade f{\"u}r Elemente verwenden, die den Rand beziehungsweise das Interface ber{\"u}hren, k{\"o}nnen eine neue L2- und L∞-Fehlerabsch{\"a}tzung hergeleitet werden. Letztere bildet die Grundlage f{\"u}r eine a-priori Strategie zum Aufdatieren des Regularisierungsparameters im Zielfunktional, um Probleme mit bang-bang Charakter zu l{\"o}sen. Zudem wird die herk{\"o}mmliche hp-Idee, die daraus besteht das Gitter geometrisch in Richtung der Ecken des Gebiets abzustufen, auf die L{\"o}sung von Optimalsteuerungsproblemen {\"u}bertragen (vc-FEM). Es gelingt, Regularit{\"a}t in abz{\"a}hlbar normierten R{\"a}umen f{\"u}r die Variablen des gekoppelten Optimalit{\"a}tssystems zu zeigen. Hieraus resultiert die exponentielle Konvergenz im Bezug auf die Anzahl der Freiheitsgrade. Die zweite Leistung dieser Arbeit ist die Entwicklung einer v{\"o}llig adaptiven hp-Innere-Punkte-Methode, die Probleme mit verteilter oder Neumann Steuerung l{\"o}sen kann. Das zugrundeliegende Barriereproblem besitzt ein nichtlineares Optimilit{\"a}tssystem, das eine numerische Herausforderung beinhaltet: die stabile Berechnung von Integralen {\"u}ber Funktionen mit m{\"o}glichen Singularit{\"a}ten in Elementen h{\"o}herer Ordnung. Dieses Problem wird dadurch gel{\"o}st, dass die Steuerung an den Integrationspunkten {\"u}berwacht wird. Die Zul{\"a}ssigkeit an diesen Punkten wird durch einen Gl{\"a}ttungsschritt garantiert. In dieser Arbeit werden sowohl die Konvergenz eines Innere-Punkte-Verfahrens mit Gl{\"a}ttungsschritt als auch a-posteriori Schranken f{\"u}r den Diskretisierungsfehler gezeigt. Dies f{\"u}hrt zu einem adaptiven L{\"o}sungsalgorithmus, dessen Gitterverfeinerung auf der Entwicklung der L{\"o}sung in eine Legendre Reihe basiert. Hierbei dient das Abklingverhalten der Koeffizienten als Glattheitsindikator und wird f{\"u}r die Entscheidung zwischen h- und p-Verfeinerung herangezogen.},
  subject      = {Finite-Elemente-Methode},
  language  = {en}
}
@phdthesis{Winkler2008,
  author    = {Winkler, Ralf},
  title     = {Schwache Randwertprobleme von Systemen elliptischen Charakters auf konischen Gebieten},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bvb:20-opus-34544},
  school      = {Universit{\"a}t W{\"u}rzburg},
  year      = {2008},
  abstract  = {In der vorliegenden Arbeit werden lineare Systeme elliptischer partieller Differentialgleichungen in schwacher Formulierung auf konischen Gebieten untersucht. Auf einem zun{\"a}chst unbeschr{\"a}nkten Kegelgebiet betrachten wir den Fall beschr{\"a}nkter und nur von den Winkelvariablen abh{\"a}ngiger Koeffizientenfunktionen. Die durch selbige definierte Bilinearform gen{\"u}ge einer G{\aa}rdingschen Ungleichung. In gewichteten Sobolevr{\"a}umen werden Existenz- und Eindeutigkeitsfragen gekl{\"a}rt, wobei das Problem mittels Fouriertransformation auf eine von einem komplexen Parameter abh{\"a}ngige Familie T(·) von Fredholmoperatoren zur{\"u}ckgef{\"u}hrt wird. Unter Anwendung des Residuenkalk{\"u}ls gewinnen wir eine Darstellung der L{\"o}sung in Form einer Zerlegung in einen glatten Anteil einerseits sowie eine endliche Summe von Singul{\"a}rfunktionen andererseits. Durch Abschneidetechniken werden die gewonnenen Erkenntnisse auf den Fall schwach formulierter elliptischer Systeme auf beschr{\"a}nkten Kegelgebieten unter Formulierung in gew{\"o}hnlichen, nicht-gewichteten Sobolevr{\"a}umen angewendet. Die f{\"u}r Regularit{\"a}tsfragen maßgeblichen Eigenwerte der Operatorfunktion T mit minimalem positiven Imagin{\"a}rteil werden im letzten Kapitel der Arbeit am Beispiel der ebenen elastischen Gleichungen numerisch bestimmt.},
  subject      = {Elliptische Differentialgleichung},
  language  = {de}
}