@phdthesis{Zeeb2013,
  author    = {Zeeb, Steffen},
  title     = {Chaos Synchronization in Time-Delayed Coupled Networks},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bvb:20-opus-78966},
  school      = {Universit{\"a}t W{\"u}rzburg},
  year      = {2013},
  abstract  = {Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Untersuchung verschiedener Aspekte der Chaos Synchronisation von Netzwerken mit zeitverz{\"o}gerten Kopplungen. Ein Netzwerk aus identischen chaotischen Einheiten kann vollst{\"a}ndig und isochron synchronisieren, auch wenn der Signalaustausch einer starken Zeitverz{\"o}gerung unterliegt. Im ersten Teil der Arbeit werden Systeme mit mehreren Zeitverz{\"o}gerungen betrachtet. Dabei erstrecken sich die verschiedenen Zeitverz{\"o}gerungen jeweils {\"u}ber einen weiten Bereich an Gr{\"o}ßenordnungen. Es wird gezeigt, dass diese Zeitverz{\"o}gerungen im Lyapunov Spektrum des Systems auftreten; verschiedene Teile des Spektrums skalieren jeweils mit einer der Zeitverz{\"o}gerungen. Anhand des Skalierungsverhaltens des maximalen Lyapunov Exponenten k{\"o}nnen verschiedene Arten von Chaos definiert werden. Diese bestimmen die Synchronisationseigenschaften eines Netzwerkes und werden insbesondere wichtig bei hierarchischen Netzwerken, d.h. bei Netzwerken bestehend aus Unternetzwerken, bei welchen Signale innerhalb des Unternetzwerkes auf einer anderen Zeitskala ausgetauscht werden als zwischen verschiedenen Unternetzwerken. F{\"u}r ein solches System kann sowohl vollst{\"a}ndige als auch Unternetzwerksynchronisation auftreten. Skaliert der maximale Lyapunov Exponent mit der k{\"u}rzeren Zeitverz{\"o}gerung des Unternetzwerkes dann k{\"o}nnen nur die Elemente des Unternetzwerkes synchronisieren. Skaliert der maximale Lyapunov Exponent allerdings mit der l{\"a}ngeren Zeitverz{\"o}gerung kann das komplette Netzwerk vollst{\"a}ndig synchronisieren. Dies wird analytisch f{\"u}r die Bernoulli Abbildung und numerisch f{\"u}r die Zelt Abbildung gezeigt. Der zweite Teil befasst sich mit der Attraktordimension und ihrer {\"A}nderung am {\"U}bergang zur vollst{\"a}ndiger Chaos Synchronisation. Aus dem Lyapunov Spektrum des Systems wird die Kaplan-Yorke Dimension berechnet und es wird gezeigt, dass diese am Synchronisations{\"u}bergang aus physikalischen Gr{\"u}nden einen Sprung haben muss. Aus der Zeitreihe der Dynamik des Systems wird die Korrelationsdimension bestimmt und anschließend mit der Kaplan-Yorke Dimension verglichen. F{\"u}r Bernoulli Systeme finden wir in der Tat eine Diskontinuit{\"a}t in der Korrelationsdimension. Die St{\"a}rke des Sprungs der Kaplan-Yorke Dimension wird f{\"u}r ein Netzwerk aus Bernoulli Einheiten als Funktion der Netzwerkgr{\"o}ße berechnet. Desweiteren wird das Skalierungsverhalten der Kaplan-Yorke Dimension sowie der Kolmogoroventropie in Abh{\"a}ngigkeit der Systemgr{\"o}ße und der Zeitverz{\"o}gerung untersucht. Zu guter Letzt wird eine Verstimmung der Einheiten, d.h., ein "parameter mismatch", eingef{\"u}hrt und analysiert wie diese das Verhalten der Attraktordimension {\"a}ndert. Im dritten und letzten Teil wird die lineare Antwort eines synchronisierten chaotischen Systems auf eine kleine externe St{\"o}rung untersucht. Diese St{\"o}rung bewirkt eine Abweichung der Einheiten vom perfekt synchronisierten Zustand. Die Verteilung der Abst{\"a}nde zwischen zwei Einheiten dient als Maß f{\"u}r die lineare Antwort des Systems. Diese Verteilung sowie ihre Momente werden numerisch und f{\"u}r Spezialf{\"a}lle auch analytisch berechnet. Wir finden, dass im synchronisierten Zustand, in Abh{\"a}ngigkeit der Parameter des Systems, Verteilungen auftreten k{\"o}nnen die einem Potenzgesetz gehorchen und dessen Momente divergieren. Als weiteres Maß f{\"u}r die lineare Antwort wird die Bit Error Rate einer {\"u}bermittelten bin{\"a}ren Nachricht verwendet. The Bit Error Rate ist durch ein Integral {\"u}ber die Verteilung der Abst{\"a}nde gegeben. In dieser Arbeit wird sie vorwiegend numerisch untersucht und wir finden ein komplexes, nicht monotones Verhalten als Funktion der Kopplungsst{\"a}rke. F{\"u}r Spezialf{\"a}lle weist die Bit Error Rate eine "devil's staircase" auf, welche mit einer fraktalen Struktur in der Verteilung der Abst{\"a}nde verkn{\"u}pft ist. Die lineare Antwort des Systems auf eine harmonische St{\"o}rung wird ebenfalls untersucht. Es treten Resonanzen auf, welche in Abh{\"a}ngigkeit von der Zeitverz{\"o}gerung unterdr{\"u}ckt oder verst{\"a}rkt werden. Eine bi-direktional gekoppelte Kette aus drei Einheiten kann eine St{\"o}rung vollst{\"a}ndig heraus filtern, so dass die Bit Error Rate und auch das zweite Moment verschwinden.},
  subject      = {Chaostheorie},
  language  = {en}
}
@phdthesis{Heiligenthal2012,
  author    = {Heiligenthal, Sven},
  title     = {Strong and Weak Chaos in Networks of Semiconductor Lasers with Time-Delayed Couplings},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bvb:20-opus-77958},
  school      = {Universit{\"a}t W{\"u}rzburg},
  year      = {2012},
  abstract  = {This thesis deals with the chaotic dynamics of nonlinear networks consisting of semiconductor lasers which have time-delayed self-feedbacks or mutual couplings. These semiconductor lasers are simulated numerically by the Lang-Kobayashi equations. The central issue is how the chaoticity of the lasers, measured by the maximal Lyapunov exponent, changes when the delay time is changed. It is analysed how this change of chaoticity with increasing delay time depends on the reflectivity of the mirror for the self-feedback or the strength of the mutal coupling, respectively. The consequences of the different types of chaos for the effect of chaos synchronization of mutually coupled semiconductor lasers are deduced and discussed. At the beginning of this thesis, the master stability formalism for the stability analysis of nonlinear networks with delay is explained. After the description of the Lang-Kobayashi equations and their linearizations as a model for the numerical simulation of semiconductor lasers with time-delayed couplings, the artificial sub-Lyapunov exponent \$\lambda_{0}\$ is introduced. It is explained how the sign of the sub-Lyapunov exponent can be determined by experiments. The notions of "strong chaos" and "weak chaos" are introduced and distinguished by their different scaling properties of the maximal Lyapunov exponent with the delay time. The sign of the sub-Lyapunov exponent \$\lambda_{0}\$ is shown to determine the occurence of strong or weak chaos. The transition sequence "weak to strong chaos and back to weak chaos" upon monotonically increasing the coupling strength \$\sigma\$ of a single laser's self-feedback is shown for numerical calculations of the Lang-Kobayashi equations. At the transition between strong and weak chaos, the sub-Lyapunov exponent vanishes, \$\lambda_{0}=0\$, resulting in a special scaling behaviour of the maximal Lyapunov exponent with the delay time. Transitions between strong and weak chaos by changing \$\sigma\$ can also be found for the R{\"o}ssler and Lorenz dynamics. The connection between the sub-Lyapunov exponent and the time-dependent eigenvalues of the Jacobian for the internal laser dynamics is analysed. Counterintuitively, the difference between strong and weak chaos is not directly visible from the trajectory although the difference of the trajectories induces the transitions between the two types of chaos. In addition, it is shown that a linear measure like the auto-correlation function cannot unambiguously reveal the difference between strong and weak chaos either. Although the auto-correlations after one delay time are significantly higher for weak chaos than for strong chaos, it is not possible to detect a qualitative difference. If two time-scale separated self-feedbacks are present, the shorter feedback has to be taken into account for the definition of a new sub-Lyapunov exponent \$\lambda_{0,s}\$, which in this case determines the occurence of strong or weak chaos. If the two self-feedbacks have comparable delay times, the sub-Lyapunov exponent \$\lambda_{0}\$ remains the criterion for strong or weak chaos. It is shown that the sub-Lyapunov exponent scales with the square root of the effective pump current \$\sqrt{p-1}\$, both in its magnitude and in the position of the critical coupling strengths. For networks with several distinct sub-Lyapunov exponents, it is shown that the maximal sub-Lyapunov exponent of the network determines whether the network's maximal Lyapunov exponent scales strongly or weakly with increasing delay time. As a consequence, complete synchronization of a network is excluded for arbitrary networks which contain at least one strongly chaotic laser. Furthermore, it is demonstrated that the sub-Lyapunov exponent of a driven laser depends on the number of the incoherently superimposed inputs from unsynchronized input lasers. For networks of delay-coupled lasers operating in weak chaos, the condition \$|\gamma_{2}|<\mathrm{e}^{-\lambda_{\mathrm{m}}\,\tau}\$ for stable chaos synchronization is deduced using the master stability formalism. Hence, synchronization of any network depends only on the properties of a single laser with self-feedback and the eigenvalue gap of the coupling matrix. The characteristics of the master stability function for the Lang-Kobayashi dynamics is described, and consequently, the master stability function is refined to allow for precise practical prediction of synchronization. The prediction of synchronization with the master stability function is demonstrated for bidirectional and unidirectional networks. Furthermore, the master stability function is extended for two distinct delay times. Finally, symmetries and resonances for certain values of the ratio of the delay times are shown for the master stability function of the Lang-Kobyashi equations.},
  subject      = {Halbleiterlaser},
  language  = {en}
}