@phdthesis{Kraus2004,
  author    = {Kraus, Christiane},
  title     = {On some maximal convergence theorems for real analytic functions in R^N},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bvb:20-opus-9795},
  school      = {Universit{\"a}t W{\"u}rzburg},
  year      = {2004},
  abstract  = {Ausgangspunkt dieser Arbeit war eine Publikation von D. Braess [Bra01], in der die Approximationsg{\"u}te der Funktionen \$\$ \frac{1}{((x-x_0)^2 + (y-y_0)^2)^s}, \qquad x_0^2 + y_0^2 \ge 1, \quad s \in (0,\infty),\$\$ auf der Einheitskreisscheibe \$x^2+y^2 \le 1\$ durch reelle Polynome untersucht wurde. Braess's Ergebnisse und insbesondere die von ihm angesprochenen offenen Probleme waren von besonderem Interesse, da sie Anlaß zu der Vermutung gaben, dass die klassische Theorie der ``Maximalen Konvergenz'' in Sinne von Walsh auf (zun{\"a}chst) die oben erw{\"a}hnten reell analytischen Funktionen erweitert werden kann. (Die Theorie der Maximalen Konvergenz bringt die Approximationsg{\"u}te einer Funktion auf einer kompakten Menge durch Polynome mit der Analyzit{\"a}t dieser Funktion in Verbindung.) \\ Hauptgegenstand der Arbeit ist die Erweiterung des klassischen ``Maximalen Konvergenz''--Konzeptes auf reell analytische Funktionen in h{\"o}heren Dimensionen. Es werden verschiedene maximale Konvergenzs{\"a}tze sowohl in einer als auch in mehreren Ver{\"a}nderlichen bewiesen. \\ Die Arbeit gliedert sich in drei Hauptteile. \\[2mm] Im ersten Teil wird der theoretische Hintergrund der ``Maximalen Konvergenz'' mit dem Problemkreis von Braess in Zusammenhang gebracht. Es wird gezeigt, dass f{\"u}r betrags-quadratisch holomorphe Funktionen folgender Satz gilt: \\ { \bf {Satz 1}}: Es sei \$g\$ eine holomorphe Funktion auf der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe \$\overline{\mathbb{D}}:=\{ z \in \mathbb{C} : |z| \le 1\}\$ und \$F(x,y):= |g(x+iy)|^2\$, \$x,y \in \mathbb{R}\$. Dann gilt: \$\$ \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{E_n ( \overline{\mathbb{D}},F)} = \frac{1}{\rho}\$\$ genau dann, wenn \$g\$ auf \$ \{ z \in \mathbb{C} : |z| < \rho \}\$ holomorph ist, aber auf keiner echt gr\"o\3eren Kreisscheibe, wobei \$\$ E_n ( \overline{\mathbb{D}},F)= \inf \{ ||F -P_n||_{\overline{\mathbb{D}}}, \, P_n: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \mbox{ Polynom vom Grad } \le n \}.\$\$ Dieser Satz beinhaltet nicht nur die Ergebnisse von Braess [Bra01], sondern erweitert ihn, und beantwortet die von Braess aufgeworfenen Fragen vollst{\"a}ndig. Zudem zeigt der Satz die genaue Analogie des klassischen ``Maximalen Konvergenz''--Konzeptes f{\"u}r die Funktionenklasse der betrag--quadratisch holomorphen Funktionen im \$\mathbb{R}^2\$. \\[2mm] In der Literatur gibt es viele Verallgemeinerungen des ``Maximalen Konvergenz''--Begriffes f{\"u}r mehrere komplexe Ver{\"a}nderlichen. Im Hinblick auf die vorliegende Arbeit sind besonders die Artikel [Sic62] und [Sic81] zu erw{\"a}hnen. Diese bereits bekannten Ergebnisse werden im zweiten Teil der Arbeit herangezogen, um den ``Maximalen Konvergenz''--Begriff auf mehrere reelle Ver{\"a}nderlichen zu erweitern. Man beachte, dass der entscheidende Unterschied hier in der polynomialen Approximationsklasse liegt. \\[2mm] Der dritte Teil befaßt sich mit der Verallgemeinerung des Satzes 1 in mehreren Ver{\"a}nderlichen. Eng verbunden mit diesem Problemkreis ist die Charakterisierung einer gewissen Extremalfunktion. Diese Funktion wird zur Bestimmung des Analyzit{\"a}tsbereichs der zu approximierenden Funktion ben{\"o}tigt. Mittels geeigneter Darstellung der Extremalfunktion und Charakterisierung des Analyzit{\"a}tsbereichs gelingt es schließlich, den folgenden Hauptsatz der vorliegenden Arbeit zu beweisen:\\ { \bf { Satz 2}}: Es seien \$g,h\$ holomorphe Funktionen auf der abgeschlossenen Einheitskugel \$\overline{\mathbb{D}}_N:=\{ z \in \mathbb{C}^N : |z| \le 1\}\$ und \$F(x,y):= g(x+iy) \overline{h(x+iy)}\$, \$x,y \in \mathbb{R}^N\$. Dann gilt: \$\$ \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{E_n ( \overline{\mathbb{D}}_N,F)} = \frac{1}{\rho}\$\$ genau dann, wenn \$g,h\$ auf \${\mathbb{D}}_{N,\rho}:= \{ z \in \mathbb{C}^N : |z| < \rho \}\$ holomorph sind, und mindestens eine der zwei Funktionen \$g,h\$ auf keinem echt gr\"o\3eren Ball als \$\mathbb{D}_{N,\rho}\$ holomorph fortsetzbar ist. Hierbei bezeichnet \$\$ E_n ( \overline{\mathbb{D}}_N,F)= \inf \{ ||F -P_n||_{\overline{\mathbb{D}}_N}, \, P_n: \mathbb{R}^{2N} \to \mathbb{C} \mbox{ Polynom vom Grad } \le n \}.\$\$ \$[\$Bra01\$]\$ Braess, D., {\it Note on the Approximation of Powers of the Distance in Two-Dimensional Domains}, Constructive Approximation (2001), {\bf 17} No. 1, 147-151. \\ \$[\$Sic62\$]\$ Siciak, J., {\it On some extremal functions and their applications in the theory of analytic functions of several complex variables}, Trans. Amer. Math. Soc. (1962), {\bf 105}, 322--357. \\ \$[\$Sic81\$]\$ Siciak, J., {\it Extremal plurisubharmonic functions in \$\mathbb{C}^N\$}, Ann. Pol. Math. (1981), {\bf 39}, 175--211.},
  subject      = {Reelle Funktion},
  language  = {de}
}