@phdthesis{Wurst2015,
  author    = {Wurst, Jan-Eric},
  title     = {Hp-Finite Elements for PDE-Constrained Optimization},
  publisher = {W{\"u}rzburg University Press},
  address   = {W{\"u}rzburg},
  isbn      = {978-3-95826-024-5 (print)},
  doi       = {10.25972/WUP-978-3-95826-025-2},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bvb:20-opus-115027},
  school      = {W{\"u}rzburg University Press},
  pages     = {188},
  year      = {2015},
  abstract  = {Diese Arbeit behandelt die hp-Finite Elemente Methode (FEM) f{\"u}r linear quadratische Optimal-steuerungsprobleme. Dabei soll ein Zielfunktional, welches die Entfernung zu einem angestrebten Zustand und hohe Steuerungskosten (als Regularisierung) bestraft, unter der Nebenbedingung einer elliptischen partiellen Differentialgleichung minimiert werden. Bei der Anwesenheit von Steuerungsbeschr{\"a}nkungen k{\"o}nnen die notwendigen Bedingungen erster Ordnung, die typischerweise f{\"u}r numerische L{\"o}sungsverfahren genutzt werden, als halbglatte Projektionsformel formuliert werden. Folglich sind optimale L{\"o}sungen oftmals auch nicht-glatt. Die Technik der hp-Diskretisierung ber{\"u}cksichtigt diese Tatsache und approximiert raue Funktionen auf feinen Gittern, w{\"a}hrend Elemente h{\"o}herer Ordnung auf Gebieten verwendet werden, auf denen die L{\"o}sung glatt ist. Die erste Leistung dieser Arbeit ist die erfolgreiche Anwendung der hp-FEM auf zwei verwandte Problemklassen: Neumann- und Interface-Steuerungsprobleme. Diese werden zun{\"a}chst mit entsprechenden a-priori Verfeinerungsstrategien gel{\"o}st, mit der randkonzentrierten (bc) FEM oder interface konzentrierten (ic) FEM. Diese Strategien generieren Gitter, die stark in Richtung des Randes beziehungsweise des Interfaces verfeinert werden. Um f{\"u}r beide Techniken eine algebraische Reduktion des Approximationsfehlers zu beweisen, wird eine elementweise interpolierende Funktion konstruiert. Außerdem werden die lokale und globale Regularit{\"a}t von L{\"o}sungen behandelt, weil sie entscheidend f{\"u}r die Konvergenzgeschwindigkeit ist. Da die bc- und ic- FEM kleine Polynomgrade f{\"u}r Elemente verwenden, die den Rand beziehungsweise das Interface ber{\"u}hren, k{\"o}nnen eine neue L2- und L∞-Fehlerabsch{\"a}tzung hergeleitet werden. Letztere bildet die Grundlage f{\"u}r eine a-priori Strategie zum Aufdatieren des Regularisierungsparameters im Zielfunktional, um Probleme mit bang-bang Charakter zu l{\"o}sen. Zudem wird die herk{\"o}mmliche hp-Idee, die daraus besteht das Gitter geometrisch in Richtung der Ecken des Gebiets abzustufen, auf die L{\"o}sung von Optimalsteuerungsproblemen {\"u}bertragen (vc-FEM). Es gelingt, Regularit{\"a}t in abz{\"a}hlbar normierten R{\"a}umen f{\"u}r die Variablen des gekoppelten Optimalit{\"a}tssystems zu zeigen. Hieraus resultiert die exponentielle Konvergenz im Bezug auf die Anzahl der Freiheitsgrade. Die zweite Leistung dieser Arbeit ist die Entwicklung einer v{\"o}llig adaptiven hp-Innere-Punkte-Methode, die Probleme mit verteilter oder Neumann Steuerung l{\"o}sen kann. Das zugrundeliegende Barriereproblem besitzt ein nichtlineares Optimilit{\"a}tssystem, das eine numerische Herausforderung beinhaltet: die stabile Berechnung von Integralen {\"u}ber Funktionen mit m{\"o}glichen Singularit{\"a}ten in Elementen h{\"o}herer Ordnung. Dieses Problem wird dadurch gel{\"o}st, dass die Steuerung an den Integrationspunkten {\"u}berwacht wird. Die Zul{\"a}ssigkeit an diesen Punkten wird durch einen Gl{\"a}ttungsschritt garantiert. In dieser Arbeit werden sowohl die Konvergenz eines Innere-Punkte-Verfahrens mit Gl{\"a}ttungsschritt als auch a-posteriori Schranken f{\"u}r den Diskretisierungsfehler gezeigt. Dies f{\"u}hrt zu einem adaptiven L{\"o}sungsalgorithmus, dessen Gitterverfeinerung auf der Entwicklung der L{\"o}sung in eine Legendre Reihe basiert. Hierbei dient das Abklingverhalten der Koeffizienten als Glattheitsindikator und wird f{\"u}r die Entscheidung zwischen h- und p-Verfeinerung herangezogen.},
  subject      = {Finite-Elemente-Methode},
  language  = {en}
}