@article{SchenkelUhlemann2010,
  author    = {Schenkel, Alexander and Uhlemann, Christoph F.},
  title     = {Field Theory on Curved Noncommutative Spacetimes},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bvb:20-opus-68648},
  year      = {2010},
  abstract  = {We study classical scalar field theories on noncommutative curved spacetimes. Following the approach of Wess et al. [Classical Quantum Gravity 22 (2005), 3511 and Classical Quantum Gravity 23 (2006), 1883], we describe noncommutative spacetimes by using (Abelian) Drinfel'd twists and the associated ?-products and ?-differential geometry. In particular, we allow for position dependent noncommutativity and do not restrict ourselves to the Moyal-Weyl deformation. We construct action functionals for real scalar fields on noncommutative curved spacetimes, and derive the corresponding deformed wave equations. We provide explicit examples of deformed Klein-Gordon operators for noncommutative Minkowski, de Sitter, Schwarzschild and Randall-Sundrum spacetimes, which solve the noncommutative Einstein equations. We study the construction of deformed Green's functions and provide a diagrammatic approach for their perturbative calculation. The leading noncommutative corrections to the Green's functions for our examples are derived.},
  subject      = {Physik},
  language  = {en}
}
@phdthesis{Schenkel2011,
  author    = {Schenkel, Alexander},
  title     = {Noncommutative Gravity and Quantum Field Theory on Noncommutative Curved Spacetimes},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bvb:20-opus-65823},
  school      = {Universit{\"a}t W{\"u}rzburg},
  year      = {2011},
  abstract  = {{\"U}ber die letzten Jahrzehnte hat sich die nichtkommutative Geometrie zu einem etablierten Teilgebiet der reinen Mathematik und der theoretischen Physik entwickelt. Die Entdeckung, dass gewisse Grenzf{\"a}lle der Quantengravitation und Stringtheorie zu nichtkommutativer Geometrie f{\"u}hren, motivierte die Suche nach Physik jenseits des Standardmodells der Elementarteilchenphysik und der Einstein'schen allgemeinen Relativit{\"a}tstheorie im Rahmen von nichtkommutativen Geometrien. Einen ergiebigen Ansatz zu letzteren Theorien, welcher Deformationsquantisierung (Sternprodukte) mit Methoden aus der Theorie der Quantengruppen kombiniert, wurde von der Gruppe um Julius Wess entwickelt. Die resultierende Gravitationstheorie ist nicht nur imstande nichtkommutative Effekte der Raumzeit zu beschreiben, sondern sie erf{\"u}llt ebenfalls ein generalisiertes allgemeines Kovarianzprinzip, welches durch eine deformierte Hopf Algebra von Diffeomorphismen beschrieben wird. Gegenstand des ersten Teils dieser Dissertation ist es Symmetriereduktion im Rahmen von nichtkommutativer Gravitation zu verstehen und damit exakte L{\"o}sungen der nichtkommutativen Einstein'schen Gleichungen zu konstruieren. Diese Untersuchungen sind von großer Bedeutung um den physikalischen Inhalt dieser Theorien herauszuarbeiten und den Kontakt zu Anwendungen, z.B. im Rahmen nichtkommutativer Kosmologie und Physik schwarzer L{\"o}cher, herzustellen. Wir verallgemeinern die {\"u}bliche Methode der Symmetriereduktion, welche eine Standardtechnik im Auffinden von L{\"o}sungen der Einstein'schen Gleichungen ist, auf nichtkommutative Gravitation. Es wird gezeigt, dass unsere Methode zur nichtkommutativen Symmetriereduktion f{\"u}r ein gegebenes symmetrisches System zu bevorzugten Deformationen f{\"u}hrt. F{\"u}r Abelsche Drinfel'd Twists klassifizieren wir alle konsistenten Deformationen von r{\"a}umlich flachen Friedmann-Robertson-Walker Kosmologien und des Schwarzschild'schen schwarzen Loches. Aufgrund der deformierten Symmetriestruktur dieser Modelle k{\"o}nnen wir viele Beispiele von exakten L{\"o}sungen der nichtkommutativen Einstein'schen Gleichungen finden, bei welchen das nichtkommutative Metrikfeld mit dem klassischen {\"u}bereinstimmt. Im Fokus des zweiten Teils sind Quantenfeldtheorien auf nichtkommutativen gekr{\"u}mmten Raumzeiten. Dazu entwickeln wir einen neuen Formalismus, welcher algebraische Methoden der Quantenfeldtheorie mit nichtkommutativer Differentialgeometrie verkn{\"u}pft. Als Resultat unseres Ansatzes erhalten wir eine Observablenalgebra f{\"u}r skalare Quantenfeldtheorien auf einer großen Klasse von nichtkommutativen gekr{\"u}mmten Raumzeiten. Es wird eine pr{\"a}zise Relation zwischen dieser Algebra und der Observablenalgebra der undeformierten Quantenfeldtheorie hergeleitet. Wir studieren ebenfalls explizite Beispiele von deformierten Wellenoperatoren und finden, dass im Gegensatz zu dem einfachsten Modell des Moyal-Weyl deformierten Minkowski-Raumes, im Allgemeinen schon die Propagation freier Felder durch die nichtkommutative Geometrie beeinflusst wird. Die Effekte von konvergenten Deformationen werden in einfachen Spezialf{\"a}llen untersucht, und wir beobachten neue Aspekte in diesen Quantenfeldtheorien, welche sich in formalen Deformationen nicht zeigten. Zus{\"a}tzlich zu der erwarteten Nichtlokalit{\"a}t finden wir, dass sich die Beziehung zwischen der deformierten und der undeformierten Quantenfeldtheorie nichttrivial ver{\"a}ndert. Wir beweisen, dass dies zu einem verbesserten Verhalten der nichtkommutativen Theorie bei kurzen Abst{\"a}nden, d.h. im Ultravioletten, f{\"u}hrt. Im dritten Teil dieser Arbeit entwickeln wir Elemente eines leistungsf{\"a}higeren, jedoch abstrakteren, mathematischen Ansatzes zur Beschreibung der nichtkommutativen Gravitation. Das Hauptaugenmerk liegt auf globalen Aspekten von Homomorphismen zwischen und Zusammenh{\"a}ngen auf nichtkommutativen Vektorb{\"u}ndeln, welche fundamentale Objekte in der mathematischen Beschreibung von nichtkommutativer Gravitation sind. Wir beweisen, dass sich alle Homomorphismen und Zusammenh{\"a}nge der deformierten Theorie mittels eines Quantisierungsisomorphismus aus den undeformierten Homomorphismen und Zusammenh{\"a}ngen ableiten lassen. Es wird ebenfalls untersucht wie sich Homomorphismen und Zusammenh{\"a}nge auf Tensorprodukte von Moduln induzieren lassen. Das Verst{\"a}ndnis dieser Induktion erlaubt es uns die nichtkommutative Gravitationstheorie von Wess et al. um allgemeine Tensorfelder zu erweitern. Als eine nichttriviale Anwendung des neuen Formalismus erweitern wir unsere Studien zu exakten L{\"o}sungen der nichtkommutativen Einstein'schen Gleichungen auf allgemeinere Klassen von Deformationen.},
  subject      = {Nichtkommutative Geometrie},
  language  = {en}
}