@phdthesis{Zeeb2013,
  author    = {Zeeb, Steffen},
  title     = {Chaos Synchronization in Time-Delayed Coupled Networks},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bvb:20-opus-78966},
  school      = {Universit{\"a}t W{\"u}rzburg},
  year      = {2013},
  abstract  = {Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Untersuchung verschiedener Aspekte der Chaos Synchronisation von Netzwerken mit zeitverz{\"o}gerten Kopplungen. Ein Netzwerk aus identischen chaotischen Einheiten kann vollst{\"a}ndig und isochron synchronisieren, auch wenn der Signalaustausch einer starken Zeitverz{\"o}gerung unterliegt. Im ersten Teil der Arbeit werden Systeme mit mehreren Zeitverz{\"o}gerungen betrachtet. Dabei erstrecken sich die verschiedenen Zeitverz{\"o}gerungen jeweils {\"u}ber einen weiten Bereich an Gr{\"o}ßenordnungen. Es wird gezeigt, dass diese Zeitverz{\"o}gerungen im Lyapunov Spektrum des Systems auftreten; verschiedene Teile des Spektrums skalieren jeweils mit einer der Zeitverz{\"o}gerungen. Anhand des Skalierungsverhaltens des maximalen Lyapunov Exponenten k{\"o}nnen verschiedene Arten von Chaos definiert werden. Diese bestimmen die Synchronisationseigenschaften eines Netzwerkes und werden insbesondere wichtig bei hierarchischen Netzwerken, d.h. bei Netzwerken bestehend aus Unternetzwerken, bei welchen Signale innerhalb des Unternetzwerkes auf einer anderen Zeitskala ausgetauscht werden als zwischen verschiedenen Unternetzwerken. F{\"u}r ein solches System kann sowohl vollst{\"a}ndige als auch Unternetzwerksynchronisation auftreten. Skaliert der maximale Lyapunov Exponent mit der k{\"u}rzeren Zeitverz{\"o}gerung des Unternetzwerkes dann k{\"o}nnen nur die Elemente des Unternetzwerkes synchronisieren. Skaliert der maximale Lyapunov Exponent allerdings mit der l{\"a}ngeren Zeitverz{\"o}gerung kann das komplette Netzwerk vollst{\"a}ndig synchronisieren. Dies wird analytisch f{\"u}r die Bernoulli Abbildung und numerisch f{\"u}r die Zelt Abbildung gezeigt. Der zweite Teil befasst sich mit der Attraktordimension und ihrer {\"A}nderung am {\"U}bergang zur vollst{\"a}ndiger Chaos Synchronisation. Aus dem Lyapunov Spektrum des Systems wird die Kaplan-Yorke Dimension berechnet und es wird gezeigt, dass diese am Synchronisations{\"u}bergang aus physikalischen Gr{\"u}nden einen Sprung haben muss. Aus der Zeitreihe der Dynamik des Systems wird die Korrelationsdimension bestimmt und anschließend mit der Kaplan-Yorke Dimension verglichen. F{\"u}r Bernoulli Systeme finden wir in der Tat eine Diskontinuit{\"a}t in der Korrelationsdimension. Die St{\"a}rke des Sprungs der Kaplan-Yorke Dimension wird f{\"u}r ein Netzwerk aus Bernoulli Einheiten als Funktion der Netzwerkgr{\"o}ße berechnet. Desweiteren wird das Skalierungsverhalten der Kaplan-Yorke Dimension sowie der Kolmogoroventropie in Abh{\"a}ngigkeit der Systemgr{\"o}ße und der Zeitverz{\"o}gerung untersucht. Zu guter Letzt wird eine Verstimmung der Einheiten, d.h., ein "parameter mismatch", eingef{\"u}hrt und analysiert wie diese das Verhalten der Attraktordimension {\"a}ndert. Im dritten und letzten Teil wird die lineare Antwort eines synchronisierten chaotischen Systems auf eine kleine externe St{\"o}rung untersucht. Diese St{\"o}rung bewirkt eine Abweichung der Einheiten vom perfekt synchronisierten Zustand. Die Verteilung der Abst{\"a}nde zwischen zwei Einheiten dient als Maß f{\"u}r die lineare Antwort des Systems. Diese Verteilung sowie ihre Momente werden numerisch und f{\"u}r Spezialf{\"a}lle auch analytisch berechnet. Wir finden, dass im synchronisierten Zustand, in Abh{\"a}ngigkeit der Parameter des Systems, Verteilungen auftreten k{\"o}nnen die einem Potenzgesetz gehorchen und dessen Momente divergieren. Als weiteres Maß f{\"u}r die lineare Antwort wird die Bit Error Rate einer {\"u}bermittelten bin{\"a}ren Nachricht verwendet. The Bit Error Rate ist durch ein Integral {\"u}ber die Verteilung der Abst{\"a}nde gegeben. In dieser Arbeit wird sie vorwiegend numerisch untersucht und wir finden ein komplexes, nicht monotones Verhalten als Funktion der Kopplungsst{\"a}rke. F{\"u}r Spezialf{\"a}lle weist die Bit Error Rate eine "devil's staircase" auf, welche mit einer fraktalen Struktur in der Verteilung der Abst{\"a}nde verkn{\"u}pft ist. Die lineare Antwort des Systems auf eine harmonische St{\"o}rung wird ebenfalls untersucht. Es treten Resonanzen auf, welche in Abh{\"a}ngigkeit von der Zeitverz{\"o}gerung unterdr{\"u}ckt oder verst{\"a}rkt werden. Eine bi-direktional gekoppelte Kette aus drei Einheiten kann eine St{\"o}rung vollst{\"a}ndig heraus filtern, so dass die Bit Error Rate und auch das zweite Moment verschwinden.},
  subject      = {Chaostheorie},
  language  = {en}
}