TY - JOUR A1 - Karl, Veronika A1 - Neitzel, Ira A1 - Wachsmuth, Daniel T1 - A Lagrange multiplier method for semilinear elliptic state constrained optimal control problems JF - Computational Optimization and Applications N2 - In this paper we apply an augmented Lagrange method to a class of semilinear ellip-tic optimal control problems with pointwise state constraints. We show strong con-vergence of subsequences of the primal variables to a local solution of the original problem as well as weak convergence of the adjoint states and weak-* convergence of the multipliers associated to the state constraint. Moreover, we show existence of stationary points in arbitrary small neighborhoods of local solutions of the original problem. Additionally, various numerical results are presented. KW - optimal control KW - semilinear elliptic operators KW - state constraints KW - augmented Lagrange method Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-232811 SN - 0926-6003 VL - 77 ER - TY - THES A1 - Sprengel, Martin T1 - A Theoretical and Numerical Analysis of a Kohn-Sham Equation and Related Control Problems T1 - Eine theoretische und numerische Untersuchung einer Kohn-Sham-Gleichung und verwandter Steuerungsprobleme N2 - In this work, multi-particle quantum optimal control problems are studied in the framework of time-dependent density functional theory (TDDFT). Quantum control problems are of great importance in both fundamental research and application of atomic and molecular systems. Typical applications are laser induced chemical reactions, nuclear magnetic resonance experiments, and quantum computing. Theoretically, the problem of how to describe a non-relativistic system of multiple particles is solved by the Schrödinger equation (SE). However, due to the exponential increase in numerical complexity with the number of particles, it is impossible to directly solve the Schrödinger equation for large systems of interest. An efficient and successful approach to overcome this difficulty is the framework of TDDFT and the use of the time-dependent Kohn-Sham (TDKS) equations therein. This is done by replacing the multi-particle SE with a set of nonlinear single-particle Schrödinger equations that are coupled through an additional potential. Despite the fact that TDDFT is widely used for physical and quantum chemical calculation and software packages for its use are readily available, its mathematical foundation is still under active development and even fundamental issues remain unproven today. The main purpose of this thesis is to provide a consistent and rigorous setting for the TDKS equations and of the related optimal control problems. In the first part of the thesis, the framework of density functional theory (DFT) and TDDFT are introduced. This includes a detailed presentation of the different functional sets forming DFT. Furthermore, the known equivalence of the TDKS system to the original SE problem is further discussed. To implement the TDDFT framework for multi-particle computations, the TDKS equations provide one of the most successful approaches nowadays. However, only few mathematical results concerning these equations are available and these results do not cover all issues that arise in the formulation of optimal control problems governed by the TDKS model. It is the purpose of the second part of this thesis to address these issues such as higher regularity of TDKS solutions and the case of weaker requirements on external (control) potentials that are instrumental for the formulation of well-posed TDKS control problems. For this purpose, in this work, existence and uniqueness of TDKS solutions are investigated in the Galerkin framework and using energy estimates for the nonlinear TDKS equations. In the third part of this thesis, optimal control problems governed by the TDKS model are formulated and investigated. For this purpose, relevant cost functionals that model the purpose of the control are discussed. Henceforth, TDKS control problems result from the requirement of optimising the given cost functionals subject to the differential constraint given by the TDKS equations. The analysis of these problems is novel and represents one of the main contributions of the present thesis. In particular, existence of minimizers is proved and their characterization by TDKS optimality systems is discussed in detail. To this end, Fréchet differentiability of the TDKS model and of the cost functionals is addressed considering \(H^1\) cost of the control. This part is concluded by deriving the reduced gradient in the \(L^2\) and \(H^1\) inner product. While the \(L^2\) optimization is widespread in the literature, the choice of the \(H^1\) gradient is motivated in this work by theoretical consideration and by resulting numerical advantages. The last part of the thesis is devoted to the numerical approximation of the TDKS optimality systems and to their solution by gradient-based optimization techniques. For the former purpose, Strang time-splitting pseudo-spectral schemes are discussed including a review of some recent theoretical estimates for these schemes and a numerical validation of these estimates. For the latter purpose, nonlinear (projected) conjugate gradient methods are implemented and are used to validate the theoretical analysis of this thesis with results of numerical experiments with different cost functional settings. N2 - In dieser Arbeit werden quantenmechanische Vielteilchen-Optimalsteuerungsprobleme im Rahmen der zeitabhängigen Dichtefunktionaltheorie (TDDFT) untersucht. Quantenmechanische Optimalsteuerungsprobleme sind sowohl in der Grundlagenforschung atomarer und molekularer Systeme als auch in entsprechenden Anwendungen von großer Bedeutung. Typische Anwendungen sind laserinduzierte chemische Reaktionen, Kernspinresonanzexperimente und Quantencomputer. Theoretisch ist das Problem einer nicht-relativistischen Beschreibung von Vielteilchensystemen mit der Schrödingergleichung (SG) gelöst. Tatsächlich ist es aber wegen des exponentiellen Anstiegs der numerischen Komplexität mit der Teilchenzahl unmöglich, die Schrödingergleichung für große Systeme von Interesse direkt zu lösen. Ein effizienter und erfolgreicher Ansatz diese Schwierigkeit zu überwinden ist die TDDFT und die Verwendung der zeitabhängigen Kohn-Sham-Gleichungen (TDKS) im Rahmen der TDDFT. Diese ersetzen die Vielteichlchen-SG durch ein System nichtlinearer Einteilchen-SGn, die mittels eines zusätzlichen Potentials gekoppelt sind. Obwohl die TDDFT für physikalische und quantenchemische Rechungen weit verbreitet ist und Softwarepakete zur direkten Verwendung zur Verfügung stehen, sind die mathematischen Grundlagen der TDDFT noch in der Entwicklung und grundlegende Vermutungen sind noch immer unbewiesen. Das Hauptanliegen der vorliegenden Arbeit ist es, einen konsistenten und mathematisch präzisen Rahmen für die TDKS-Gleichungen und verwandte Optimalsteuerungsprobleme zu liefern. Im ersten Teil der Arbeit wird die Dichtefunktionaltheorie (DFT) und die TDDFT eingeführt. Diese Einführung enthält eine detaillierte Darstellung der für die DFT relevanten Funktionenmengen. Außerdem wird die bereits bekannte Äquivalenz zwischen dem ursprünglichen Schrödingerproblem und dem TDKS-System mathematisch weitergehend diskutiert. Der derzeit erfolgreichste Ansatz, Vielteichenrechnungen im Rahmen der TDDFT umzusetzen, sind die TDKS-Gleichungen. Es sind jedoch bisher nur wenige mathematische Resultate über diese Gleichungen verfügbar und diese Ergebnisse behandeln nicht alle Probleme, die bei der Formulierung von Optimalsteuerungsproblemen bei TDKS-Gleichungen auftreten. Es ist das Ziel des zweiten Teils dieser Arbeit, diese für die Wohldefiniertheit der Formulierung der Optimalsteuerungsaufgabe maßgeblichen Probleme, wie die höhere Regularität der Lösungen der TDKS-Gleichungen und schwächere Voraussetzungen an das externe Kontrollpotential, zu behandeln. Dazu wird die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen der nichtlinearen TDKS-Gleichungen mit dem Galerkin-Ansatz und Energieabschätzungen untersucht. Im dritten Teil dieser Arbeit werden Probleme optimaler Steuerung bei TDKS-Gleichungen formuliert und untersucht. Dafür werden relevante Kostenfunktionale, die das Ziel der Steuerung modellieren, diskutiert. Die Optimalsteuerungsprobleme ergeben sich aus der Optimierung dieser Kosten unter der Nebenbedingung der TDKS-Gleichungen. Die Analyse dieser Probleme ist neu und stellt eines der Hauptergebnisse der vorliegenden Arbeit dar. Insbesondere wird die Existenz einer optimalen Steuerung bewiesen und ihre Charakterisierung mittels eines TDKS-Optimalitätssystem im Detail diskutiert. Dazu wird die Fréchet-Differenzierbarkeit des TDKS-Models und des Kostenfunktionals mit \(H^1\)-Steuerungskosten betrachtet. Abschließend wird der reduzierte Gradient im \(L^2\)- und im \(H^1\)-Skalarprodukt hergeleitet. Während die \(L^2\)-Optimierung in der Literatur weit verbreitet ist, wird in dieser Arbeit die Verwendung des \(H^1\)-Gradienten mit theoretischen Argumenten und resultierenden numerischen Vorteilen motiviert. Der letzte Teil dieser Arbeit ist der numerischen Approximation des TDKS-Optimalitätssystems und seiner Lösung mittels gradientenbasierter Optimierungsmethoden gewidmet. Für ersteres wird die Strang Zeitsplitting-Pseudospektralmethode diskutiert, eine Zusammenfassung einiger aktueller theoretischer Abschätzungen für dieses Schema angegeben und diese Abschätzungen numerisch überprüft. Für letzteres wird das (projizierte) nichtlineare Verfahren der konjugierten Gradienten (NCG) implementiert und verwendet um die theoretische Analyse dieser Arbeit mit den Ergebnissen numerischer Rechnungen für verschiedene Kostenfunktionale zu validieren. KW - Optimale Kontrolle KW - Dichtefunktionalformalismus KW - Optimierung KW - TDDFT KW - TD Kohn-Sham equations KW - optimal control Y1 - 2017 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-153545 ER - TY - THES A1 - Karl, Veronika T1 - Augmented Lagrangian Methods for State Constrained Optimal Control Problems T1 - Augmentierte Lagrange-Verfahren für zustandsbeschränkte Optimalsteuerungsprobleme N2 - This thesis is concerned with the solution of control and state constrained optimal control problems, which are governed by elliptic partial differential equations. Problems of this type are challenging since they suffer from the low regularity of the multiplier corresponding to the state constraint. Applying an augmented Lagrangian method we overcome these difficulties by working with multiplier approximations in $L^2(\Omega)$. For each problem class, we introduce the solution algorithm, carry out a thoroughly convergence analysis and illustrate our theoretical findings with numerical examples. The thesis is divided into two parts. The first part focuses on classical PDE constrained optimal control problems. We start by studying linear-quadratic objective functionals, which include the standard tracking type term and an additional regularization term as well as the case, where the regularization term is replaced by an $L^1(\Omega)$-norm term, which makes the problem ill-posed. We deepen our study of the augmented Lagrangian algorithm by examining the more complicated class of optimal control problems that are governed by a semilinear partial differential equation. The second part investigates the broader class of multi-player control problems. While the examination of jointly convex generalized Nash equilibrium problems (GNEP) is a simple extension of the linear elliptic optimal control case, the complexity is increased significantly for pure GNEPs. The existence of solutions of jointly convex GNEPs is well-studied. However, solution algorithms may suffer from non-uniqueness of solutions. Therefore, the last part of this thesis is devoted to the analysis of the uniqueness of normalized equilibria. N2 - Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Lösung von kontroll- und zustandsbeschränkten Optimalsteuerungsproblemen mit elliptischen partiellen Differentialgleichungen als Nebenbedingungen. Da die zur Zustandsbeschränkung zugehörigen Multiplikatoren nur eine niedrige Regularität aufweisen, sind Probleme dieses Typs besonders anspruchsvoll. Zur Lösung dieser Problemklasse wird ein augmentiertes Lagrange-Verfahren angewandt, das Annäherungen der Multiplikatoren in $L^2(\Omega)$ verwendet. Für jede Problemklasse erfolgt eine Präsentation des Lösungsalgorithmus, eine sorgfältige Konvergenzanalysis sowie eine Veranschaulichung der theoretischen Ergebnisse durch numerische Beispiele. Die Arbeit ist in zwei verschiedene Themenbereiche gegliedert. Der erste Teil widmet sich klassischen Optimalsteuerungsproblemen. Dabei wird zuerst der linear-quadratische und somit konvexe Fall untersucht. Hier setzt sich das Kostenfunktional aus einem Tracking-Type Term sowie einem $L^2(\Omega)$-Regularisierungsterm oder einem $L^1(\Omega)$-Term zusammen. Wir erweitern unsere Analysis auf nichtkonvexe Probleme. In diesem Fall erschwert die Nichtlinearität der zugrundeliegenden partiellen Differentialgleichung die Konvergenzanalysis des zugehörigen Optimalsteuerungsproblems maßgeblich. Der zweite Teil der Arbeit nutzt die Grundlagen, die im ersten Teil erarbeitet wurden und untersucht die allgemeiner gehaltene Problemklasse der Nash-Mehrspielerprobleme. Während die Untersuchung von konvexen verallgemeinerten Nash-Gleichsgewichtsproblemen (engl.: Generalized Nash Equilibrium Problem, kurz: GNEP) mit einer für alle Spieler identischen Restriktion eine einfache Erweiterung von linear elliptischen Optimalsteuerungsproblemen darstellt, erhöht sich der Schwierigkeitsgrad für Mehrspielerprobleme ohne gemeinsame Restriktion drastisch. Die Eindeutigkeit von normalisierten Nash-Gleichgewichten ist, im Gegensatz zu deren Existenz, nicht ausreichend erforscht, was insbesondere eine Schwierigkeit für Lösungsalgorithmen darstellt. Aus diesem Grund wird im letzten Teil dieser Arbeit die Eindeutigkeit von Lösungen gesondert betrachtet. KW - Optimale Kontrolle KW - Optimierung KW - Nash-Gleichgewicht KW - optimal control KW - state constraints KW - augmented Lagrangian method KW - Elliptische Differentialgleichung KW - Optimale Steuerung Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-213846 ER - TY - THES A1 - Wurst, Jan-Eric T1 - Hp-Finite Elements for PDE-Constrained Optimization N2 - Diese Arbeit behandelt die hp-Finite Elemente Methode (FEM) für linear quadratische Optimal-steuerungsprobleme. Dabei soll ein Zielfunktional, welches die Entfernung zu einem angestrebten Zustand und hohe Steuerungskosten (als Regularisierung) bestraft, unter der Nebenbedingung einer elliptischen partiellen Differentialgleichung minimiert werden. Bei der Anwesenheit von Steuerungsbeschränkungen können die notwendigen Bedingungen erster Ordnung, die typischerweise für numerische Lösungsverfahren genutzt werden, als halbglatte Projektionsformel formuliert werden. Folglich sind optimale Lösungen oftmals auch nicht-glatt. Die Technik der hp-Diskretisierung berücksichtigt diese Tatsache und approximiert raue Funktionen auf feinen Gittern, während Elemente höherer Ordnung auf Gebieten verwendet werden, auf denen die Lösung glatt ist. Die erste Leistung dieser Arbeit ist die erfolgreiche Anwendung der hp-FEM auf zwei verwandte Problemklassen: Neumann- und Interface-Steuerungsprobleme. Diese werden zunächst mit entsprechenden a-priori Verfeinerungsstrategien gelöst, mit der randkonzentrierten (bc) FEM oder interface konzentrierten (ic) FEM. Diese Strategien generieren Gitter, die stark in Richtung des Randes beziehungsweise des Interfaces verfeinert werden. Um für beide Techniken eine algebraische Reduktion des Approximationsfehlers zu beweisen, wird eine elementweise interpolierende Funktion konstruiert. Außerdem werden die lokale und globale Regularität von Lösungen behandelt, weil sie entscheidend für die Konvergenzgeschwindigkeit ist. Da die bc- und ic- FEM kleine Polynomgrade für Elemente verwenden, die den Rand beziehungsweise das Interface berühren, können eine neue L2- und L∞-Fehlerabschätzung hergeleitet werden. Letztere bildet die Grundlage für eine a-priori Strategie zum Aufdatieren des Regularisierungsparameters im Zielfunktional, um Probleme mit bang-bang Charakter zu lösen. Zudem wird die herkömmliche hp-Idee, die daraus besteht das Gitter geometrisch in Richtung der Ecken des Gebiets abzustufen, auf die Lösung von Optimalsteuerungsproblemen übertragen (vc-FEM). Es gelingt, Regularität in abzählbar normierten Räumen für die Variablen des gekoppelten Optimalitätssystems zu zeigen. Hieraus resultiert die exponentielle Konvergenz im Bezug auf die Anzahl der Freiheitsgrade. Die zweite Leistung dieser Arbeit ist die Entwicklung einer völlig adaptiven hp-Innere-Punkte-Methode, die Probleme mit verteilter oder Neumann Steuerung lösen kann. Das zugrundeliegende Barriereproblem besitzt ein nichtlineares Optimilitätssystem, das eine numerische Herausforderung beinhaltet: die stabile Berechnung von Integralen über Funktionen mit möglichen Singularitäten in Elementen höherer Ordnung. Dieses Problem wird dadurch gelöst, dass die Steuerung an den Integrationspunkten überwacht wird. Die Zulässigkeit an diesen Punkten wird durch einen Glättungsschritt garantiert. In dieser Arbeit werden sowohl die Konvergenz eines Innere-Punkte-Verfahrens mit Glättungsschritt als auch a-posteriori Schranken für den Diskretisierungsfehler gezeigt. Dies führt zu einem adaptiven Lösungsalgorithmus, dessen Gitterverfeinerung auf der Entwicklung der Lösung in eine Legendre Reihe basiert. Hierbei dient das Abklingverhalten der Koeffizienten als Glattheitsindikator und wird für die Entscheidung zwischen h- und p-Verfeinerung herangezogen. N2 - This thesis deals with the hp-finite element method (FEM) for linear quadratic optimal control problems. Here, a tracking type functional with control costs as regularization shall be minimized subject to an elliptic partial differential equation. In the presence of control constraints, the first order necessary conditions, which are typically used to find optimal solutions numerically, can be formulated as a semi-smooth projection formula. Consequently, optimal solutions may be non-smooth as well. The hp-discretization technique considers this fact and approximates rough functions on fine meshes while using higher order finite elements on domains where the solution is smooth. The first main achievement of this thesis is the successful application of hp-FEM to two related problem classes: Neumann boundary and interface control problems. They are solved with an a-priori refinement strategy called boundary concentrated (bc) FEM and interface concentrated (ic) FEM, respectively. These strategies generate grids that are heavily refined towards the boundary or interface. We construct an elementwise interpolant that allows to prove algebraic decay of the approximation error for both techniques. Additionally, a detailed analysis of global and local regularity of solutions, which is critical for the speed of convergence, is included. Since the bc- and ic-FEM retain small polynomial degrees for elements touching the boundary and interface, respectively, we are able to deduce novel error estimates in the L2- and L∞-norm. The latter allows an a-priori strategy for updating the regularization parameter in the objective functional to solve bang-bang problems. Furthermore, we apply the traditional idea of the hp-FEM, i.e., grading the mesh geometrically towards vertices of the domain, for solving optimal control problems (vc-FEM). In doing so, we obtain exponential convergence with respect to the number of unknowns. This is proved with a regularity result in countably normed spaces for the variables of the coupled optimality system. The second main achievement of this thesis is the development of a fully adaptive hp-interior point method that can solve problems with distributed or Neumann control. The underlying barrier problem yields a non-linear optimality system, which poses a numerical challenge: the numerically stable evaluation of integrals over possibly singular functions in higher order elements. We successfully overcome this difficulty by monitoring the control variable at the integration points and enforcing feasibility in an additional smoothing step. In this work, we prove convergence of an interior point method with smoothing step and derive a-posteriori error estimators. The adaptive mesh refinement is based on the expansion of the solution in a Legendre series. The decay of the coefficients serves as an indicator for smoothness that guides between h- and p-refinement. KW - Finite-Elemente-Methode KW - Optimale Kontrolle KW - Elliptische Differentialgleichung KW - finite elements KW - optimal control KW - higher order methods KW - partial differetial equations Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-115027 SN - 978-3-95826-024-5 (print) SN - 978-3-95826-025-2 (online) PB - Würzburg University Press CY - Würzburg ER - TY - THES A1 - Merger, Juri T1 - Optimal Control and Function Identification in Biological Processes T1 - Optimalsteuerung und Funktionenidentifikation bei biologischen Prozessen N2 - Mathematical modelling, simulation, and optimisation are core methodologies for future developments in engineering, natural, and life sciences. This work aims at applying these mathematical techniques in the field of biological processes with a focus on the wine fermentation process that is chosen as a representative model. In the literature, basic models for the wine fermentation process consist of a system of ordinary differential equations. They model the evolution of the yeast population number as well as the concentrations of assimilable nitrogen, sugar, and ethanol. In this thesis, the concentration of molecular oxygen is also included in order to model the change of the metabolism of the yeast from an aerobic to an anaerobic one. Further, a more sophisticated toxicity function is used. It provides simulation results that match experimental measurements better than a linear toxicity model. Moreover, a further equation for the temperature plays a crucial role in this work as it opens a way to influence the fermentation process in a desired way by changing the temperature of the system via a cooling mechanism. From the view of the wine industry, it is necessary to cope with large scale fermentation vessels, where spatial inhomogeneities of concentrations and temperature are likely to arise. Therefore, a system of reaction-diffusion equations is formulated in this work, which acts as an approximation for a model including computationally very expensive fluid dynamics. In addition to the modelling issues, an optimal control problem for the proposed reaction-diffusion fermentation model with temperature boundary control is presented and analysed. Variational methods are used to prove the existence of unique weak solutions to this non-linear problem. In this framework, it is possible to exploit the Hilbert space structure of state and control spaces to prove the existence of optimal controls. Additionally, first-order necessary optimality conditions are presented. They characterise controls that minimise an objective functional with the purpose to minimise the final sugar concentration. A numerical experiment shows that the final concentration of sugar can be reduced by a suitably chosen temperature control. The second part of this thesis deals with the identification of an unknown function that participates in a dynamical model. For models with ordinary differential equations, where parts of the dynamic cannot be deduced due to the complexity of the underlying phenomena, a minimisation problem is formulated. By minimising the deviations of simulation results and measurements the best possible function from a trial function space is found. The analysis of this function identification problem covers the proof of the differentiability of the function–to–state operator, the existence of minimisers, and the sensitivity analysis by means of the data–to–function mapping. Moreover, the presented function identification method is extended to stochastic differential equations. Here, the objective functional consists of the difference of measured values and the statistical expected value of the stochastic process solving the stochastic differential equation. Using a Fokker-Planck equation that governs the probability density function of the process, the probabilistic problem of simulating a stochastic process is cast to a deterministic partial differential equation. Proofs of unique solvability of the forward equation, the existence of minimisers, and first-order necessary optimality conditions are presented. The application of the function identification framework to the wine fermentation model aims at finding the shape of the toxicity function and is carried out for the deterministic as well as the stochastic case. N2 - Mathematische Modellierung, Simulation und Optimierung sind wichtige Methoden für künftige Entwicklungen in Ingenieurs-, Natur- und Biowissenschaften. Ziel der vorliegende Arbeit ist es diese mathematische Methoden im Bereich von biologischen Prozessen anzuwenden. Dabei wurde die Weingärung als repräsentatives Modell ausgewählt. Erste Modelle der Weingärung, die man in der Literatur findet, bestehen aus gewöhnlichen Differentialgleichungen. Diese modellieren den Verlauf der Populationszahlen der Hefe, sowie die Konzentrationen von verwertbarem Stickstoff, Zucker und Ethanol. In dieser Arbeit wird auch die Konzentration von molekularem Sauerstoff betrachtet um den Wandel des Stoffwechsels der Hefe von aerob zu anaerob zu erfassen. Weiterhin wird eine ausgefeiltere Toxizitätsfunktion benutzt. Diese führt zu Simulationsergebnissen, die im Vergleich zu einem linearen Toxizitätsmodell experimentelle Messungen besser reproduzieren können. Außerdem spielt eine weitere Gleichung für die zeitliche Entwicklung der Temperatur eine wichtige Rolle in dieser Arbeit. Diese eröffnet die Möglichkeit den Gärprozess in einer gewünschten Weise zu beeinflussen, indem man die Temperatur durch einen Kühlmechanismus verändert. Für industrielle Anwendungen muss man sich mit großen Fermentationsgefäßen befassen, in denen räumliche Abweichungen der Konzentrationen und der Temperatur sehr wahrscheinlich sind. Daher ist in dieser Arbeit ein System von Reaktion-Diffusions Gleichungen formuliert, welches eine Approximation an ein Modell mit rechenaufwändiger Strömungsmechanik darstellt. Neben der Modellierung wird in dieser Arbeit ein Optimalsteuerungsproblem für das vorgestellte Gärmodell mit Reaktions-Diffusions Gleichungen und Randkontrolle der Temperatur gezeigt und analysiert. Variationelle Methoden werden benutzt, um die Existenz von eindeutigen schwachen Lösungen von diesem nicht-linearen Modell zu beweisen. Das Ausnutzen der Hilbertraumstruktur von Zustands- und Kontrolraum macht es möglich die Existenz von Optimalsteuerungen zu beweisen. Zusätzlich werden notwendige Optimalitätsbedingungen erster Ordnung vorgestellt. Diese charakterisieren Kontrollen, die das Zielfunktional minimieren. Ein numerisches Experiment zeigt, dass die finale Konzentration des Zuckers durch eine passend ausgewählte Steuerung reduziert werden kann. Der zweite Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit der Identifizierung einer unbekannten Funktion eines dynamischen Modells. Es wird ein Minimierungsproblem für Modelle mit gewöhnlichen Differentialgleichungen, bei denen ein Teil der Dynamik aufgrund der Komplexität der zugrundeliegenden Phänomene nicht hergeleitet werden kann, formuliert. Die bestmögliche Funktion aus einem Testfunktionenraum wird dadurch ausgewählt, dass Abweichungen von Simulationsergebnissen und Messungen minimiert werden. Die Analyse dieses Problems der Funktionenidentifikation beinhaltet den Beweis der Differenzierbarkeit des Funktion–zu–Zustand Operators, die Existenz von Minimierern und die Sensitivitätsanalyse mit Hilfe der Messung–zu–Funktion Abbildung. Weiterhin wird diese Funktionenidentifikationsmethode für stochastische Differentialgleichungen erweitert. Dabei besteht das Zielfunktional aus dem Abstand von Messwerten und dem Erwartungswert des stochastischen Prozesses, der die stochastische Differentialgleichung löst. In dem man die Fokker-Planck Gleichung benutzt wird das wahrscheinlichkeitstheoretische Problem einen stochastischen Prozess zu simulieren in eine deterministische partielle Differentialgleichung überführt. Es werden Beweise für die eindeutige Lösbarkeit der Vorwärtsgleichung, die Existenz von Minimierern und die notwendigen Bedingungen erster Ordnung geführt. Die Anwendung der Funktionenidentifikation auf die Weingärung zielt darauf ab die Form der Toxizitätsfunktion herauszufinden und wird sowohl für den deterministischen als auch für den stochastischen Fall durchgeführt. KW - optimal control KW - reaction-diffusion KW - wine fermentation KW - function identification KW - infinite dimensional optimization KW - Optimale Kontrolle KW - Fermentation KW - Wein KW - Infinite Optimierung Y1 - 2016 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-138900 ER - TY - JOUR A1 - Roy, S. A1 - Borzì, A. A1 - Habbal, A. T1 - Pedestrian motion modelled by Fokker-Planck Nash games JF - Royal Society Open Science N2 - A new approach to modelling pedestrians' avoidance dynamics based on a Fokker–Planck (FP) Nash game framework is presented. In this framework, two interacting pedestrians are considered, whose motion variability is modelled through the corresponding probability density functions (PDFs) governed by FP equations. Based on these equations, a Nash differential game is formulated where the game strategies represent controls aiming at avoidance by minimizing appropriate collision cost functionals. The existence of Nash equilibria solutions is proved and characterized as a solution to an optimal control problem that is solved numerically. Results of numerical experiments are presented that successfully compare the computed Nash equilibria to the output of real experiments (conducted with humans) for four test cases. KW - Fokker–Planck equation KW - Nash equilibrium KW - pedestrian motion KW - differential games KW - avoidance KW - optimal control Y1 - 2017 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-170395 VL - 4 IS - 9 ER - TY - JOUR A1 - Schindele, Andreas A1 - Borzì, Alfio T1 - Proximal Methods for Elliptic Optimal Control Problems with Sparsity Cost Functional JF - Applied Mathematics N2 - First-order proximal methods that solve linear and bilinear elliptic optimal control problems with a sparsity cost functional are discussed. In particular, fast convergence of these methods is proved. For benchmarking purposes, inexact proximal schemes are compared to an inexact semismooth Newton method. Results of numerical experiments are presented to demonstrate the computational effectiveness of proximal schemes applied to infinite-dimensional elliptic optimal control problems and to validate the theoretical estimates. KW - semismooth Newton method KW - optimal control KW - elliptic PDE KW - nonsmooth optimization KW - proximal method Y1 - 2016 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-145850 VL - 7 IS - 9 ER - TY - THES A1 - Pörner, Frank T1 - Regularization Methods for Ill-Posed Optimal Control Problems T1 - Regularisierungsverfahren für schlecht gestellte Optimalsteuerungsprobleme N2 - This thesis deals with the construction and analysis of solution methods for a class of ill-posed optimal control problems involving elliptic partial differential equations as well as inequality constraints for the control and state variables. The objective functional is of tracking type, without any additional \(L^2\)-regularization terms. This makes the problem ill-posed and numerically challenging. We split this thesis in two parts. The first part deals with linear elliptic partial differential equations. In this case, the resulting solution operator of the partial differential equation is linear, making the objective functional linear-quadratic. To cope with additional control constraints we introduce and analyse an iterative regularization method based on Bregman distances. This method reduces to the proximal point method for a specific choice of the regularization functional. It turns out that this is an efficient method for the solution of ill-posed optimal control problems. We derive regularization error estimates under a regularity assumption which is a combination of a source condition and a structural assumption on the active sets. If additional state constraints are present we combine an augmented Lagrange approach with a Tikhonov regularization scheme to solve this problem. The second part deals with non-linear elliptic partial differential equations. This significantly increases the complexity of the optimal control as the associated solution operator of the partial differential equation is now non-linear. In order to regularize and solve this problem we apply a Tikhonov regularization method and analyse this problem with the help of a suitable second order condition. Regularization error estimates are again derived under a regularity assumption. These results are then extended to a sparsity promoting objective functional. N2 - Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Konstruktion und Analyse von Lösungsverfahren für schlecht gestellte Steuerungsprobleme. Die Nebenbedingungen sind in der Form von elliptischen partiellen Differentialgleichungen, sowie Ungleichungsrestriktionen für die Steuerung und den zugehörigen Zustand gegeben. Das Zielfunktional besteht aus einem Tracking-Type-Term ohne zusätzliche \(L^2\)-Regularisierungsterme. Dies führt dazu, dass das Optimalsteuerungsproblem schlecht gestellt ist, was die numerische Berechnung einer Lösung erschwert. Diese Arbeit ist in zwei Teile aufgeteilt. Der erste Teil beschäftigt sich mit linearen elliptischen partiellen Differentialgleichungen. In diesem Fall ist der zugehörige Lösungsoperator der partiellen Differentialgleichung linear und das Zielfunktional linear-quadratisch. Um die zusätzlichen Steuerungsrestriktionen zu behandeln, betrachten wir ein iteratives Verfahren welches auf einer Regularisierung mit Bregman-Abständen basiert. Für eine spezielle Wahl des Regularisierungsfunktionals vereinfacht sich dieses Verfahren zu dem Proximal-Point-Verfahren. Die Analyse des Verfahrens zeigt, dass es ein effizientes und gut geeignetes Verfahren ist, um schlecht gestellte Optimalsteuerungsprobleme zu lösen. Mithilfe einer Regularitätsannahme werden Konvergenzraten für den Regularisierungsfehler hergeleitet. Diese Regularitätsannahme ist eine Kombination einer Source-Condition sowie einer struktuellen Annahme an die aktiven Mengen. Wenn zusätzlich Zustandsrestriktionen vorhanden sind, wird zur Lösung eine Kombination aus dem Augmented Lagrange Ansatz sowie einer Tikhonov-Regularisierung angewendet. Der zweite Teil dieser Arbeit betrachtet nicht-lineare partielle Differentialgleichungen. Dies erhöht die Komplexität des Optimalsteuerungsproblem signifikant, da der Lösungsoperator der partiellen Differentialgleichung nun nicht-linear ist. Zur Lösung wird eine Tikhonov-Regularisierung betrachtet. Mithilfe einer geeigneten Bedingung zweiter Ordnung wird dieses Verfahren analysiert. Auch hier werden Konvergenzraten mithilfe einer Regularitätsannahme bestimmt. Anschließend werden diese Methoden auf ein Funktional mit einem zusätzlichen \(L^1\)-Term angewendet. N2 - Ill-posed optimization problems appear in a wide range of mathematical applications, and their numerical solution requires the use of appropriate regularization techniques. In order to understand these techniques, a thorough analysis is inevitable. The main subject of this book are quadratic optimal control problems subject to elliptic linear or semi-linear partial differential equations. Depending on the structure of the differential equation, different regularization techniques are employed, and their analysis leads to novel results such as rate of convergence estimates. KW - Optimale Steuerung KW - Regularisierung KW - Elliptische Differentialgleichung KW - optimal control KW - partial differential equation KW - Bregman distance KW - regularization KW - error estimate Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-163153 SN - 978-3-95826-086-3 (Print) SN - 978-3-95826-087-0 (Online) N1 - Parallel erschienen als Druckausgabe in Würzburg University Press, ISBN 978-3-95826-086-3, 26,90 EUR. PB - Würzburg University Press CY - Würzburg ET - 1. Auflage ER -