TY - JOUR A1 - Steuding, Jörn A1 - Tongsomporn, Janyarak T1 - On the order of growth of Lerch zeta functions JF - Mathematics N2 - We extend Bourgain’s bound for the order of growth of the Riemann zeta function on the critical line to Lerch zeta functions. More precisely, we prove L(λ, α, 1/2 + it) ≪ t\(^{13/84+ϵ}\) as t → ∞. For both, the Riemann zeta function as well as for the more general Lerch zeta function, it is conjectured that the right-hand side can be replaced by t\(^ϵ\) (which is the so-called Lindelöf hypothesis). The growth of an analytic function is closely related to the distribution of its zeros. KW - Lerch zeta function KW - Hurwitz zeta function KW - (approximate) functional equation KW - order of growth KW - exponent pairs KW - MSC 11M35 Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-303981 SN - 2227-7390 VL - 11 IS - 3 ER - TY - JOUR A1 - Heins, Michael A1 - Roth, Oliver A1 - Waldmann, Stefan T1 - Convergent star products on cotangent bundles of Lie groups JF - Mathematische Annalen N2 - For a connected real Lie group G we consider the canonical standard-ordered star product arising from the canonical global symbol calculus based on the half-commutator connection of G. This star product trivially converges on polynomial functions on T\(^*\)G thanks to its homogeneity. We define a nuclear Fréchet algebra of certain analytic functions on T\(^*\)G, for which the standard-ordered star product is shown to be a well-defined continuous multiplication, depending holomorphically on the deformation parameter \(\hbar\). This nuclear Fréchet algebra is realized as the completed (projective) tensor product of a nuclear Fréchet algebra of entire functions on G with an appropriate nuclear Fréchet algebra of functions on \({\mathfrak {g}}^*\). The passage to the Weyl-ordered star product, i.e. the Gutt star product on T\(^*\)G, is shown to preserve this function space, yielding the continuity of the Gutt star product with holomorphic dependence on \(\hbar\). KW - Lie groups KW - star products Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-324324 SN - 0025-5831 VL - 386 IS - 1-2 ER - TY - JOUR A1 - Jotz, M. A1 - Mehta, R. A. A1 - Papantonis, T. T1 - Modules and representations up to homotopy of Lie n-algebroids JF - Journal of Homotopy and Related Structures N2 - This paper studies differential graded modules and representations up to homotopy of Lie n-algebroids, for general \(n\in {\mathbb {N}}\). The adjoint and coadjoint modules are described, and the corresponding split versions of the adjoint and coadjoint representations up to homotopy are explained. In particular, the case of Lie 2-algebroids is analysed in detail. The compatibility of a Poisson bracket with the homological vector field of a Lie n-algebroid is shown to be equivalent to a morphism from the coadjoint module to the adjoint module, leading to an alternative characterisation of non-degeneracy of higher Poisson structures. Moreover, the Weil algebra of a Lie n-algebroid is computed explicitly in terms of splittings, and representations up to homotopy of Lie n-algebroids are used to encode decomposed VB-Lie n-algebroid structures on double vector bundles. KW - Lie n-algebroids KW - representations up to homotopy KW - differential graded modules KW - Poisson algebras KW - adjoint and coadjoint representations Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-324333 SN - 2193-8407 VL - 18 IS - 1 ER - TY - JOUR A1 - Gerber, Sebastian A1 - Quarder, Jascha A1 - Greefrath, Gilbert A1 - Siller, Hans-Stefan T1 - Promoting adaptive intervention competence for teaching simulations and mathematical modelling with digital tools BT - theoretical background and empirical analysis of a university course in teacher education JF - Frontiers in Education N2 - Providing adaptive, independence-preserving and theory-guided support to students in dealing with real-world problems in mathematics lessons is a major challenge for teachers in their professional practice. This paper examines this challenge in the context of simulations and mathematical modelling with digital tools: in addition to mathematical difficulties when autonomously working out individual solutions, students may also experience challenges when using digital tools. These challenges need to be closely examined and diagnosed, and might – if necessary – have to be overcome by intervention in such a way that the students can subsequently continue working independently. Thus, if a difficulty arises in the working process, two knowledge dimensions are necessary in order to provide adapted support to students. For teaching simulations and mathematical modelling with digital tools, more specifically, these knowledge dimensions are: pedagogical content knowledge about simulation and modelling processes supported by digital tools (this includes knowledge about phases and difficulties in the working process) and pedagogical content knowledge about interventions during the mentioned processes (focussing on characteristics of suitable interventions as well as their implementation and effects on the students’ working process). The two knowledge dimensions represent cognitive dispositions as the basis for the conceptualisation and operationalisation of a so-called adaptive intervention competence for teaching simulations and mathematical modelling with digital tools. In our article, we present a domain-specific process model and distinguish different types of teacher interventions. Then we describe the design and content of a university course at two German universities aiming to promote this domain-specific professional adaptive intervention competence, among others. In a study using a quasi-experimental pre-post design (N = 146), we confirm that the structure of cognitive dispositions of adaptive intervention competence for teaching simulations and mathematical modelling with digital tools can be described empirically by a two-dimensional model. In addition, the effectiveness of the course is examined and confirmed quantitatively. Finally, the results are discussed, especially against the background of the sample and the research design, and conclusions are derived for possibilities of promoting professional adaptive intervention competence in university courses. KW - adaptive intervention competence KW - diagnosis KW - simulation KW - mathematical modelling KW - digital tools KW - teacher education KW - pedagogical content knowledge KW - technology Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-323701 SN - 2504-284X VL - 8 ER - TY - THES A1 - Jia, Xiaoxi T1 - Augmented Lagrangian Methods invoking (Proximal) Gradient-type Methods for (Composite) Structured Optimization Problems T1 - Erweiterte Lagrange-Methoden, die (proximale) Gradientenmethoden für (zusammengesetzte) strukturierte Optimierungsprobleme aufrufen N2 - This thesis, first, is devoted to the theoretical and numerical investigation of an augmented Lagrangian method for the solution of optimization problems with geometric constraints, subsequently, as well as constrained structured optimization problems featuring a composite objective function and set-membership constraints. It is then concerned to convergence and rate-of-convergence analysis of proximal gradient methods for the composite optimization problems in the presence of the Kurdyka--{\L}ojasiewicz property without global Lipschitz assumption. N2 - Diese Dissertation widmet sich zunächst der theoretischen und numerischen Untersuchung eines erweiterten Lagrange-Verfahrens zur Lösung von Optimierungsproblemen mit geometrischen Nebenbedingungen, in weiterer Folge, sowie eingeschränkten strukturierten Optimierungsproblemen mit einer zusammengesetzten Zielfunktion und Mengenzugehörigkeitsbeschränkungen. Es befasst sich dann mit der Konvergenz- und Konvergenzanalyse von Proximalgradientenverfahren für zusammengesetzte Optimierungsprobleme in Gegenwart der Kurdyka--{\L}ojasiewicz-Eigenschaft ohne globale Lipschitz-Annahme. KW - Augmented Lagrangian methods KW - Geometric constraints KW - Composite optimization problems KW - Kurdyka--{\L}ojasiewicz property KW - Local Lipschitz continuity KW - Optimierung KW - Numerisches Verfahren KW - Lagrange-Methode Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-323745 ER - TY - THES A1 - Biersack, Florian T1 - Topological Properties of Quasiconformal Automorphism Groups T1 - Topologische Eigenschaften quasikonformer Automorphismengruppen N2 - The goal of this thesis is to study the topological and algebraic properties of the quasiconformal automorphism groups of simply and multiply connected domains in the complex plain, in which the quasiconformal automorphism groups are endowed with the supremum metric on the underlying domain. More precisely, questions concerning central topological properties such as (local) compactness, (path)-connectedness and separability and their dependence on the boundary of the corresponding domains are studied, as well as completeness with respect to the supremum metric. Moreover, special subsets of the quasiconformal automorphism group of the unit disk are investigated, and concrete quasiconformal automorphisms are constructed. Finally, a possible application of quasiconformal unit disk automorphisms to symmetric cryptography is presented, in which a quasiconformal cryptosystem is defined and studied. N2 - Das Ziel dieser Arbeit ist es, die topologischen und algebraischen Eigenschaften der quasikonformen Automorphismengruppen von einfach und mehrfach zusammenhängenden Gebieten in der komplexen Zahlenebene zu untersuchen, in denen die quasikonformen Automorphismengruppen mit der Supremum-Metrik auf dem zugrunde liegenden Gebiet versehen sind. Die Arbeit befasst sich mit Fragen zu zentralen topologischen Eigenschaften wie (lokaler) Kompaktheit, (Weg-)Zusammenhang und Separabilität sowie deren Abhängigkeit der Ränder der entsprechenden Gebiete, sowie mit der Vollständigkeit bezüglich der betrachteten Supremums-Metrik. Darüber hinaus werden spezielle Teilmengen der quasikonformen Automorphismengruppe des Einheitskreises untersucht und konkrete quasikonforme Automorphismen konstruiert. Schließlich wird eine mögliche Anwendung von quasikonformen Einheitskreis-Automorphismen auf symmetrische Kryptographie vorgestellt, bei der ein quasikonformes Kryptosystem definiert und untersucht wird. KW - Quasikonforme Abbildung KW - Automorphismengruppe KW - Quasiconformal automorphism KW - Uniform topology Y1 - 2024 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-359177 ER - TY - THES A1 - Scherz, Jan T1 - Weak Solutions to Mathematical Models of the Interaction between Fluids, Solids and Electromagnetic Fields T1 - Schwache Lösungen für mathematische Modelle der Wechselwirkung zwischen Flüssigkeiten, Festkörpern und elektromagnetischen Feldern N2 - We analyze the mathematical models of two classes of physical phenomena. The first class of phenomena we consider is the interaction between one or more insulating rigid bodies and an electrically conducting fluid, inside of which the bodies are contained, as well as the electromagnetic fields trespassing both of the materials. We take into account both the cases of incompressible and compressible fluids. In both cases our main result yields the existence of weak solutions to the associated system of partial differential equations, respectively. The proofs of these results are built upon hybrid discrete-continuous approximation schemes: Parts of the systems are discretized with respect to time in order to deal with the solution-dependent test functions in the induction equation. The remaining parts are treated as continuous equations on the small intervals between consecutive discrete time points, allowing us to employ techniques which do not transfer to the discretized setting. Moreover, the solution-dependent test functions in the momentum equation are handled via the use of classical penalization methods. The second class of phenomena we consider is the evolution of a magnetoelastic material. Here too, our main result proves the existence of weak solutions to the corresponding system of partial differential equations. Its proof is based on De Giorgi's minimizing movements method, in which the system is discretized in time and, at each discrete time point, a minimization problem is solved, the associated Euler-Lagrange equations of which constitute a suitable approximation of the original equation of motion and magnetic force balance. The construction of such a minimization problem is made possible by the realization that, already on the continuous level, both of these equations can be written in terms of the same energy and dissipation potentials. The functional for the discrete minimization problem can then be constructed on the basis of these potentials. N2 - Wir analysieren die mathematischen Modelle von zwei Arten physikalischer Phänomene. Die erste Art von Phänomenen, die wir betrachten, ist die Wechselwirkung zwischen einem oder mehreren isolierenden starren Körpern und einem elektrisch leitenden Fluid, das die Körper umgibt, sowie den elektromagnetischen Feldern in beiden Materialien. Wir untersuchen sowohl den Fall inkompressibler als auch kompressibler Fluide. In beiden Fällen liefert unser Hauptresultat die Existenz von schwachen Lösungen für das zugehörige System partieller Differentialgleichungen. Die Beweise dieser Resultate beruhen auf hybriden diskret-kontinuierlichen Approximationsmethoden: Teile der Systeme werden in der Zeit diskretisiert, um das Problem der lösungsabhängigen Testfunktionen in der Induktionsgleichung zu bewältigen. Die verbleibenden Gleichungen werden als kontinuierliche Gleichungen auf den kleinen Intervallen zwischen aufeinanderfolgenden diskreten Zeitpunkten behandelt, sodass wir Techniken anwenden können, die sich nicht auf das diskretisierte System übertragen lassen. Darüber hinaus wird das Problem der lösungsabhängigen Testfunktionen in der Impulsgleichung durch die Verwendung klassischer Penalisierungsmethoden gelöst. Die zweite Art von Phänomenen, die wir betrachten, ist die Entwicklung eines magnetoelastischen Materials. Auch hier beweist unser Hauptresultat die Existenz schwacher Lösungen für das zugehörige System partieller Differentialgleichungen. Der Beweis basiert auf der Methode von De Giorgi, bei der das System in der Zeit diskretisiert und in jedem diskreten Zeitpunkt ein Minimierungsproblem gelöst wird, dessen zugehörige Euler-Lagrange-Gleichungen eine geeignete Approximation an die ursprüngliche Bewegungsgleichung und mikromagnetische Gleichung darstellen. Die Konstruktion eines solchen Minimierungsproblems wird durch die Erkenntnis ermöglicht, dass diese beiden Gleichungen bereits im kontinuierlichen System mithilfe derselben Energie- und Dissipationspotenziale ausgedrückt werden können. Das Funktional für das diskrete Minimierungsproblem kann dann auf Grundlage dieser Potenziale konstruiert werden. KW - Fluid-Struktur-Wechselwirkung KW - Magnetoelastizität KW - Magnetohydrodynamik KW - Navier-Stokes-Gleichung KW - Zeitdiskrete Approximation KW - Fluid-structure interaction KW - Magnetoelasticity KW - Magnetohydrodynamics KW - Minimizing movements KW - Navier-Stokes equations KW - Rothe method Y1 - 2024 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-349205 ER - TY - THES A1 - Körner, Jacob T1 - Theoretical and numerical analysis of Fokker–Planck optimal control problems by first– and second–order optimality conditions T1 - Theoretische und numerische Analysis von Fokker-Planck optimalen Steuerungsproblemen mittels Optimalitätsbedingung erster und zweiter Ordnung N2 - In this thesis, a variety of Fokker--Planck (FP) optimal control problems are investigated. Main emphasis is put on a first-- and second--order analysis of different optimal control problems, characterizing optimal controls, establishing regularity results for optimal controls, and providing a numerical analysis for a Galerkin--based numerical scheme. The Fokker--Planck equation is a partial differential equation (PDE) of linear parabolic type deeply connected to the theory of stochastic processes and stochastic differential equations. In essence, it describes the evolution over time of the probability distribution of the state of an object or system of objects under the influence of both deterministic and stochastic forces. The FP equation is a cornerstone in understanding and modeling phenomena ranging from the diffusion and motion of molecules in a fluid to the fluctuations in financial markets. Two different types of optimal control problems are analyzed in this thesis. On the one hand, Fokker--Planck ensemble optimal control problems are considered that have a wide range of applications in controlling a system of multiple non--interacting objects. In this framework, the goal is to collectively drive each object into a desired state. On the other hand, tracking--type control problems are investigated, commonly used in parameter identification problems or stemming from the field of inverse problems. In this framework, the aim is to determine certain parameters or functions of the FP equation, such that the resulting probability distribution function takes a desired form, possibly observed by measurements. In both cases, we consider FP models where the control functions are part of the drift, arising only from the deterministic forces of the system. Therefore, the FP optimal control problem has a bilinear control structure. Box constraints on the controls may be present, and the focus is on time--space dependent controls for ensemble--type problems and on only time--dependent controls for tracking--type optimal control problems. In the first chapter of the thesis, a proof of the connection between the FP equation and stochastic differential equations is provided. Additionally, stochastic optimal control problems, aiming to minimize an expected cost value, are introduced, and the corresponding formulation within a deterministic FP control framework is established. For the analysis of this PDE--constrained optimal control problem, the existence, and regularity of solutions to the FP problem are investigated. New $L^\infty$--estimates for solutions are established for low space dimensions under mild assumptions on the drift. Furthermore, based on the theory of Bessel potential spaces, new smoothness properties are derived for solutions to the FP problem in the case of only time--dependent controls. Due to these properties, the control--to--state map, which associates the control functions with the corresponding solution of the FP problem, is well--defined, Fréchet differentiable and compact for suitable Lebesgue spaces or Sobolev spaces. The existence of optimal controls is proven under various assumptions on the space of admissible controls and objective functionals. First--order optimality conditions are derived using the adjoint system. The resulting characterization of optimal controls is exploited to achieve higher regularity of optimal controls, as well as their state and co--state functions. Since the FP optimal control problem is non--convex due to its bilinear structure, a first--order analysis should be complemented by a second--order analysis. Therefore, a second--order analysis for the ensemble--type control problem in the case of $H^1$--controls in time and space is performed, and sufficient second--order conditions are provided. Analogous results are obtained for the tracking--type problem for only time--dependent controls. The developed theory on the control problem and the first-- and second--order optimality conditions is applied to perform a numerical analysis for a Galerkin discretization of the FP optimal control problem. The main focus is on tracking-type problems with only time--dependent controls. The idea of the presented Galerkin scheme is to first approximate the PDE--constrained optimization problem by a system of ODE--constrained optimization problems. Then, conditions on the problem are presented such that the convergence of optimal controls from one problem to the other can be guaranteed. For this purpose, a class of bilinear ODE--constrained optimal control problems arising from the Galerkin discretization of the FP problem is analyzed. First-- and second--order optimality conditions are established, and a numerical analysis is performed. A discretization with linear finite elements for the state and co--state problem is investigated, while the control functions are approximated by piecewise constant or piecewise quadratic continuous polynomials. The latter choice is motivated by the bilinear structure of the optimal control problem, allowing to overcome the discrepancies between a discretize--then--optimize and optimize--then--discretize approach. Moreover, second--order accuracy results are shown using the space of continuous, piecewise quadratic polynomials as the discrete space of controls. Lastly, the theoretical results and the second--order convergence rates are numerically verified. N2 - In dieser Dissertation werden verschiedene Fokker--Planck (FP) optimale Steuerungsprobleme untersucht. Die Schwerpunkte liegen auf einer Analyse von Optimalitätsbedingungen erster und zweiter Ordnung, der Charakterisierung optimaler Steuerungen, dem Herleiten höhere Regularität von optimalen Kontrollen sowie einer theoretischen numerischen Analyse für ein numerisches Verfahren basierend auf einer Galerkin Approximation. Die Fokker--Planck Gleichung ist eine lineare, parabolische, partielle Differentialgleichung (PDE), die aus dem Gebiet stochastischer Differentialgleichungen und stochastischer Prozesse stammt. Im Wesentlichen beschreibt sie die zeitliche Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsverteilung des Zustands eines Objekts bzw. eines Systems von Objekten unter dem Einfluss sowohl deterministischer als auch stochastischer Kräfte. Die Fokker--Planck Gleichung ist ein Eckpfeiler zum Verständnis und Modellieren von Phänomenen, die von der Diffusion und Bewegung von Molekülen in einer Flüssigkeit bis hin zu den Schwankungen in Finanzmärkten reichen. Zwei verschiedene Arten von optimalen Kontrollproblemen werden in dieser Arbeit umfassend analysiert. Einerseits werden Fokker--Planck Ensemble Steuerungsprobleme betrachtet, die in der Kontrolle von Systemen mit mehreren nicht wechselwirkenden Objekten vielfältige Anwendungen haben. In diesem Gebiet ist das Ziel, alle Objekte gemeinsam in einen gewünschten Zustand zu lenken. Andererseits werden Tracking Kontrollprobleme untersucht, die häufig bei Parameteridentifikationsproblemen auftreten oder aus dem Bereich inverser Probleme stammen. Hier besteht das Ziel darin, bestimmte Parameter oder Funktionen der Fokker--Planck Gleichung derart zu bestimmen, dass die resultierende Wahrscheinlichkeitsverteilung eine gewünschte Form annimmt, welche beispielsweise durch Messungen beobachtet wurde. In beiden Fällen betrachten wir FP Modelle, bei denen die Kontrollfunktion Teil des sogenannten Drifts ist, das heißt der Teil, der nur aus den deterministischen Kräften des Systems resultiert. Daher hat das FP Kontrollproblem eine bilineare Struktur. Untere und obere Schranken für die Kontrollfunktionen können vorhanden sein, und der Fokus liegt auf zeit-- und raumabhängigen Steuerungen für Ensemble Kontrollprobleme, sowie auf nur zeitlich abhängigen Steuerungen für Tracking Kontrollprobleme. Am Anfang der Dissertation wird ein Beweis für den Zusammenhang zwischen der FP Gleichung und stochastischen Differentialgleichungen dargelegt. Darüber hinaus werden stochastische optimale Steuerungsprobleme eingeführt, deren Ziel es ist, einen erwarteten Kostenwert zu minimieren. Zusätzlich wird das Problem als ein deterministisches FP Kontrollproblem formuliert. Für die Analyse dieses Kontrollproblems wird die Existenz und Regularität von Lösungen für die FP Differentialgleichung untersucht. Neue $L^\infty$--Abschätzungen für Lösungen werden für niedrige Raumdimensionen unter schwachen Annahmen an den Drift bewiesen. Zusätzlich werden, basierend auf der Theorie über Bessel Potentialräume, neue Glattheitseigenschaften für Lösungen des FP--Problems im Falle zeitabhängiger Steuerungen erarbeitet. Aufgrund dieser Eigenschaften ist die sogenannte control--to--state Abbildung, welche die Kontrollfunktion mit der entsprechenden Lösung des FP Problems verknüpft, wohldefiniert, Fréchet--differenzierbar und kompakt für geeignete Lebesgue--Räume oder Sobolev--Räume. Die Existenz optimaler Steuerungen wird unter verschiedenen Annahmen an den Funktionenraum der Kontrollen und des Kostenfunktionals bewiesen. Optimalitätsbedingungen erster Ordnung werden unter Verwendung des adjungierten Systems aufgestellt. Die daraus resultierende Charakterisierung optimaler Steuerungen wird genutzt, um eine höhere Regularität optimaler Steuerungen sowie ihrer Zustandsfunktion und des adjungierten Problems zu erhalten. Da das FP Kontrollproblem aufgrund der bilinearen Struktur nicht konvex ist, sollte eine Analyse von Optimalitätsbedingungen erster Ordnung durch eine Analyse von Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung ergänzt werden. Dies wird für das Ensemble Kontrollproblem im Fall von zeit-- und ortsabhängigen Steuerungen mit $H^1$--Regularität durchgeführt, und hinreichende Bedingungen für lokale Minimierer werden hergeleitet. Analoge Ergebnisse werden für das Tracking--Problem für nur zeitabhängige Steuerungen bewiesen. Die entwickelte Theorie zu diesem optimalen Steuerungsproblem und dessen Optimalitätsbedingungen wird angewendet, um eine numerische Analyse für eine Galerkin--Diskretisierung des FP Kontrollproblems durchzuführen. Der Schwerpunkt liegt auf Tracking--Problemen mit nur zeitabhängigen Steuerungen. Die Idee des vorgestellten Galerkin--Verfahrens besteht darin, das PDE--Optimierungsproblem zunächst durch ein System von Optimierungsproblemen mit gewöhnlichen Differentialgleichungen (ODE) als Nebenbedingung zu approximieren. Dann werden Bedingungen an das Problem präsentiert, sodass die Konvergenz optimaler Steuerungen von einem Problem zum anderen garantiert werden kann. Zu diesem Zweck wird eine Klasse bilinearer ODE--Kontrollprobleme analysiert, welche sich aus der Galerkin--Diskretisierung des FP Problems ergeben. Optimalitätsbedingungen erster und zweiter Ordnung werden bewiesen, und eine numerische Analyse wird durchgeführt. Eine Diskretisierung mit linearen Finiten--Elementen der Zustands-- und Adjungiertengleichung wird untersucht, während die Kontrollfunktionen durch stückweise konstante oder stetige, stückweise quadratische Polynome approximiert werden. Diese Wahl wird durch die bilineare Struktur des optimalen Kontrollproblems begründet, da sie es ermöglicht, die Diskrepanzen zwischen einem Ansatz von ,,zuerst diskretisieren dann optimieren" und ,,zuerst optimieren, dann diskretisieren" zu überwinden. Durch die Verwendung stetiger, stückweise quadratischer Polynome als Diskretisierung der Steuerungen kann außerdem quadratische Konvergenzordnung gezeigt werden. Abschließend werden die theoretischen Ergebnisse und die Konvergenzraten zweiter Ordnung numerisch verifiziert. KW - Parabolische Differentialgleichung KW - Fokker-Planck-Gleichung KW - Optimale Kontrolle KW - Optimalitätsbedingung KW - Finite-Elemente-Methode KW - accuracy estimate Y1 - 2024 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-362997 ER - TY - THES A1 - Birke, Claudius B. T1 - Low Mach and Well-Balanced Numerical Methods for Compressible Euler and Ideal MHD Equations with Gravity T1 - Low Mach und Well-Balanced Numerische Verfahren für die kompressiblen Euler und idealen MHD Gleichungen mit Gravitation N2 - Physical regimes characterized by low Mach numbers and steep stratifications pose severe challenges to standard finite volume methods. We present three new methods specifically designed to navigate these challenges by being both low Mach compliant and well-balanced. These properties are crucial for numerical methods to efficiently and accurately compute solutions in the regimes considered. First, we concentrate on the construction of an approximate Riemann solver within Godunov-type finite volume methods. A new relaxation system gives rise to a two-speed relaxation solver for the Euler equations with gravity. Derived from fundamental mathematical principles, this solver reduces the artificial dissipation in the subsonic regime and preserves hydrostatic equilibria. The solver is particularly stable as it satisfies a discrete entropy inequality, preserves positivity of density and internal energy, and suppresses checkerboard modes. The second scheme is designed to solve the equations of ideal MHD and combines different approaches. In order to deal with low Mach numbers, it makes use of a low-dissipation version of the HLLD solver and a partially implicit time discretization to relax the CFL time step constraint. A Deviation Well-Balancing method is employed to preserve a priori known magnetohydrostatic equilibria and thereby reduces the magnitude of spatial discretization errors in strongly stratified setups. The third scheme relies on an IMEX approach based on a splitting of the MHD equations. The slow scale part of the system is discretized by a time-explicit Godunov-type method, whereas the fast scale part is discretized implicitly by central finite differences. Numerical dissipation terms and CFL time step restriction of the method depend solely on the slow waves of the explicit part, making the method particularly suited for subsonic regimes. Deviation Well-Balancing ensures the preservation of a priori known magnetohydrostatic equilibria. The three schemes are applied to various numerical experiments for the compressible Euler and ideal MHD equations, demonstrating their ability to accurately simulate flows in regimes with low Mach numbers and strong stratification even on coarse grids. N2 - Physikalische Regime mit sehr niedrigen Machzahlen und starken Abschichtungen stellen konventionelle Finite Volumen Verfahren vor erhebliche Herausforderungen. In dieser Arbeit präsentieren wir drei neue Verfahren, die in der Lage sind, die Herausforderungen zu bewältigen. Die neuen Verfahren sind speziell an kleine Machzahlen angepasst und können (magneto-)hydrostatische Gleichgewichte exakt erhalten. Diese Eigenschaften sind essentiell für eine effiziente Berechnung präziser Lösungen in den betrachteten Regimen. Zunächst konzentrieren wir uns auf die Konstruktion eines approximativen Riemannlösers innerhalb von Godunov-artigen Finite Volumen Verfahren. Ein neues Relaxationssystem führt zu einem Relaxationslöser für die Euler Gleichungen mit Gravitation, der zwei Relaxationsgeschwindigkeiten verwendet. Abgeleitet von grundlegenden mathematischen Prinzipien reduziert dieser Löser die künstliche Dissipation im subsonischen Bereich und erhält hydrostatische Gleichgewichte. Der Löser ist besonders stabil, da er eine diskrete Entropieungleichung erfüllt, die Positivität von Dichte und interner Energie bewahrt und Schachbrettmuster unterdrückt. Das zweite Verfahren löst die idealen MHD Gleichungen und kombiniert verschiedene Ansätze, um die einzelnen numerischen Herausforderungen zu bewältigen. Für einen effizienten Umgang mit niedrigen Machzahlen wird eine Variante des HLLD Lösers mit künstlich niedriger Dissipation sowie eine teilweise implizite Zeitdiskretisierung zur Lockerung der CFL Zeitschrittbeschränkung gewählt. Eine Deviation Well-Balancing Methode wird angewendet, um magnetohydrostatische Gleichgewichte zu bewahren und dadurch das Ausmaß von räumlichen Diskretisierungsfehlern in stark geschichteten Atmosphären zu reduzieren. Das dritte Verfahren verwendet einen IMEX Ansatz, welcher auf einer Aufspaltung der MHD Gleichungen basiert. Das Teilsystem mit langsamen Ausbreitungsgeschwindigkeiten wird durch eine zeit-explizite Godunov-artige Methode diskretisiert, während das Teilsystem mit schnellen Ausbreitungsgeschwindigkiten implizit durch zentrale finite Differenzen diskretisiert wird. Numerische Dissipationsterme und die CFL Zeitschrittbeschränkung der Methode hängen somit nur von den langsamen Wellen des expliziten Teils ab, so dass die Methode besonders für subsonische Regime geeignet ist. Deviation Well-Balancing gewährleistet die Erhaltung a priori bekannter magnetohydrostatischer Gleichgewichte. Die drei Verfahren werden auf numerische Experimente für die kompressiblen Euler und idealen MHD Gleichungen angewendet und zeigen darin ihre Fähigkeit, Strömungen in Regimen mit niedrigen Machzahlen und starker Schichtung auch auf groben diskreten Gittern akkurat zu simulieren. KW - Magnetohydrodynamik KW - Numerische Strömungssimulation KW - Finite-Volumen-Methode KW - relaxation method KW - IMEX scheme KW - low Mach number KW - well-balanced Y1 - 2024 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-363303 ER - TY - THES A1 - Bossert, Patrick T1 - Statistical structure and inference methods for discrete high-frequency observations of SPDEs in one and multiple space dimensions T1 - Statistische Struktur und Inferenzmethoden für diskrete hochfrequente Beobachtungen von SPDEs in einer und mehreren Raumdimensionen N2 - The focus of this thesis is on analysing a linear stochastic partial differential equation (SPDE) with a bounded domain. The first part of the thesis commences with an examination of a one-dimensional SPDE. In this context, we construct estimators for the parameters of a parabolic SPDE based on discrete observations of a solution in time and space on a bounded domain. We establish central limit theorems for a high-frequency asymptotic regime, showing substantially smaller asymptotic variances compared to existing estimation methods. Moreover, asymptotic confidence intervals are directly feasible. Our approach builds upon realized volatilities and their asymptotic illustration as the response of a log-linear model with a spatial explanatory variable. This yields efficient estimators based on realized volatilities with optimal rates of convergence and minimal variances. We demonstrate our results by Monte Carlo simulations. Extending this framework, we analyse a second-order SPDE model in multiple space dimensions in the second part of this thesis and develop estimators for the parameters of this model based on discrete observations in time and space on a bounded domain. While parameter estimation for one and two spatial dimensions was established in recent literature, this is the first work that generalizes the theory to a general, multi-dimensional framework. Our methodology enables the construction of an oracle estimator for volatility within the underlying model. For proving central limit theorems, we use a high-frequency observation scheme. To showcase our results, we conduct a Monte Carlo simulation, highlighting the advantages of our novel approach in a multi-dimensional context. N2 - Der Fokus dieser Dissertation liegt auf der Analyse von linearen stochastischen partiellen Differentialgleichungen (SPDEs) auf einem beschränkten Raum. Der erste Teil der Arbeit befasst sich mit der Untersuchung einer eindimensionalen SPDE. In diesem Zusammenhang konstruieren wir Schätzer für die Parameter einer parabolischen SPDE basierend auf diskreten Beobachtungen einer Lösung in Zeit und Raum. Wir leiten zentrale Grenzwertsätze innerhalb eines hochfrequenten Beobachtungsschemas her und zeigen dabei, dass die neu entwickelten Schätzer wesentlich kleinere asymptotische Varianzen im Vergleich zu bestehenden Schätzmethoden besitzen. Darüber hinaus sind asymptotische Konfidenzintervalle direkt realisierbar. Unser Ansatz basiert auf realisierten Volatilitäten und ihrer asymptotischen Darstellung durch ein log-lineares Modell mit einer räumlichen erklärenden Variable. Dies ergibt effiziente Schätzer basierend auf realisierten Volatilitäten mit optimalen Konvergenzraten und minimalen Varianzen. Wir demonstrieren unsere Ergebnisse mithilfe von Monte-Carlo-Simulationen. Den ersten Teil erweiternd, analysieren wir im zweiten Teil dieser Arbeit ein SPDE-Modell zweiter Ordnung in mehreren Raumdimensionen und entwickeln Schätzer für die Parameter dieses Modells basierend auf diskreten Beobachtungen in Zeit und Raum auf einem begrenzten Gebiet. Während die Parameterschätzung für eine und zwei Raumdimensionen in der Literatur bereits behandelt wurde, ist dies die erste Arbeit, die die Theorie auf einen multidimensionalen Rahmen verallgemeinert. Unsere Methodik ermöglicht die Konstruktion eines Orakelschätzers für den Volatilitätsparameter innerhalb des zugrundeliegenden Modells. Für den Beweis zentraler Grenzwertsätze verwenden wir ein hochfrequentes Beobachtungsschema. Um unsere Ergebnisse zu veranschaulichen, führen wir eine Monte-Carlo-Simulation durch, wobei wir die zugrundeliegende Simulationsmethodik hierfür herleiten. KW - Stochastische partielle Differentialgleichung KW - Multi-dimensional SPDEs KW - Central limit theorem under dependence KW - High-frequency data KW - Least squares estimation KW - One-dimensional SPDEs Y1 - 2024 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-361130 ER -