TY - THES A1 - Mönius, Katja T1 - Algebraic and Arithmetic Properties of Graph Spectra T1 - Algebraische und Arithmetische Eigenschaften von Graph Spektren N2 - In the present thesis we investigate algebraic and arithmetic properties of graph spectra. In particular, we study the algebraic degree of a graph, that is the dimension of the splitting field of the characteristic polynomial of the associated adjacency matrix over the rationals, and examine the question whether there is a relation between the algebraic degree of a graph and its structural properties. This generalizes the yet open question ``Which graphs have integral spectra?'' stated by Harary and Schwenk in 1974. We provide an overview of graph products since they are useful to study graph spectra and, in particular, to construct families of integral graphs. Moreover, we present a relation between the diameter, the maximum vertex degree and the algebraic degree of a graph, and construct a potential family of graphs of maximum algebraic degree. Furthermore, we determine precisely the algebraic degree of circulant graphs and find new criteria for isospectrality of circulant graphs. Moreover, we solve the inverse Galois problem for circulant graphs showing that every finite abelian extension of the rationals is the splitting field of some circulant graph. Those results generalize a theorem of So who characterized all integral circulant graphs. For our proofs we exploit the theory of Schur rings which was already used in order to solve the isomorphism problem for circulant graphs. Besides that, we study spectra of zero-divisor graphs over finite commutative rings. Given a ring \(R\), the zero-divisor graph over \(R\) is defined as the graph with vertex set being the set of non-zero zero-divisors of \(R\) where two vertices \(x,y\) are adjacent if and only if \(xy=0\). We investigate relations between the eigenvalues of a zero-divisor graph, its structural properties and the algebraic properties of the respective ring. N2 - In der vorliegenden Dissertation untersuchen wir algebraische und arithmetische Eigenschaften von Graph Spektren. Insbesondere studieren wir den algebraischen Grad eines Graphen, d.h. die Dimension des Zerfällungskörpers des charakteristischen Polynoms der zugehörigen Adjazenzmatrix über den rationalen Zahlen, und beschäftigen uns mit der Frage, ob es einen Zusammenhang zwischen dem algebraischen Grad eines Graphen und seinen strukturellen Eigenschaften gibt. Dies verallgemeinert die bis heute noch offene Fragestellung "Welche Graphen haben ganzzahliges Spektrum?", welche 1974 von Harary und Schwenk aufgeworfen wurde. Wir geben einen Überblick über verschiedene Graphprodukte, da diese oftmals hilfreich sind bei der Untersuchung von Graph Spektren, und konstruieren damit Familien von integralen Graphen. Außerdem stellen wir einen Zusammenhang zwischen dem Diameter, dem maximalen Eckengrad und dem algebraischen Grad von Graphen vor, und konstruieren eine potenzielle Familie von Graphen, welche alle maximalen algebraischen Grad haben. Zudem bestimmen wir den algebraischen Grad zirkulärer Graphen und finden neue Kriterien für Isospektralität solcher Graphen. Darüber hinaus lösen wir das inverse Galois Problem für zirkuläre Graphen, indem wir zeigen, dass jede endliche abelsche Erweiterung der rationalen Zahlen Zerfällungskörper eines zirkulären Graphen ist. Diese Resultate verallgemeinern einen Satz von So, in dem sämtliche integrale zirkuläre Graphen charakterisiert werden. Für unsere Beweise verwenden wir die Theorie der Schur Ringe, die bereits verwendet wurde, um das Isomorphieproblem für zirkuläre Graphen zu lösen. Zu guter Letzt untersuchen wir Spektren von Nullteilergraphen über kommutativen Ringen. Zu einem gegebenen Ring \(R\) ist der zugehörige Nullteilergraph über \(R\) definiert als der Graph, dessen Eckenmenge den Nullteilern von \(R\) entspricht, und in dem je zwei Ecken \(x,y\) benachbart sind, wenn \(xy=0\) gilt. Wir studieren Zusammenhänge zwischen den Eigenwerten von Nullteilergraphen, deren strukturellen Eigenschaften und den algebraischen Eigenschaften der entsprechenden Ringe. KW - Algebraische Zahlentheorie KW - Graph KW - Graph spectrum KW - Integral graph KW - Cayley graph KW - Schur ring KW - Zero-divisor graph KW - Kombinatorik Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-230850 ER - TY - THES A1 - Lange, Stanislav T1 - Optimization of Controller Placement and Information Flow in Softwarized Networks T1 - Optimierungsverfahren für Controllerplatzierung und Informationsaustausch in softwarisierten Netzen N2 - The Software Defined Networking (SDN) paradigm offers network operators numerous improvements in terms of flexibility, scalability, as well as cost efficiency and vendor independence. However, in order to maximize the benefit from these features, several new challenges in areas such as management and orchestration need to be addressed. This dissertation makes contributions towards three key topics from these areas. Firstly, we design, implement, and evaluate two multi-objective heuristics for the SDN controller placement problem. Secondly, we develop and apply mechanisms for automated decision making based on the Pareto frontiers that are returned by the multi-objective optimizers. Finally, we investigate and quantify the performance benefits for the SDN control plane that can be achieved by integrating information from external entities such as Network Management Systems (NMSs) into the control loop. Our evaluation results demonstrate the impact of optimizing various parameters of softwarized networks at different levels and are used to derive guidelines for an efficient operation. N2 - Heutige Kommunikationsnetze müssen ein breites Spektrum an Applikationen mit sehr heterogenen Anforderungen unterstützen sowie mit einer kontinuierlich steigenden Anzahl an Nutzern und Endgeräten skalieren. Softwarisierte Netze, welche sich insbesondere durch Paradigmen wie Software Defined Networking (SDN) und Network Functions Virtualization (NFV) kennzeichnen, zielen auf eine Erhöhung der Flexibilität und Skalierbarkeit ab, um diesen Anforderungen auch in Zukunft gerecht zu werden. Um jedoch in vollem Umfang von den Vorteilen dieser Paradigmen zu profitieren, müssen neue Fragestellungen adressiert werden. Diese umfassen insbesondere die Platzierung neuer Entitäten im Netz sowie deren Integration in bestehende Architekturen und ihre Interaktion mit vorhandenen Komponenten. In dieser Dissertation werden Optimierungsverfahren entwickelt und bewertet, welche zu verschiedenen Zeitpunkten im Lebenszyklus softwarisierter Netze eingesetzt werden und ihre Performanz sowie Automatisierbarkeit steigern. Diese umfassen Verfahren für das Platzieren von Kontrollentitäten in SDN-basierten Netzen, welche eine effiziente Dimensionierung während der Planungsphase ermöglichen. Zudem werden diese Verfahren um Mechanismen erweitert, welche eine automatisierte Anpassung an dynamische Veränderungen ermöglichen und somit die Effizienz des Netzes aufrechterhalten. Zuletzt wird die Integration von Daten aus externen Informationsquellen wie Netzmanagementsystemen in SDN-Komponenten untersucht, um deren Entscheidungen und somit die Performanz im gesamten Netz zu optimieren. T3 - Würzburger Beiträge zur Leistungsbewertung Verteilter Systeme - 03/18 KW - Leistungsbewertung KW - Graph KW - Optimierung KW - Telekommunikationsnetz KW - Platzierungsalgorithmen KW - Softwarisierte Netze Y1 - 2019 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-174570 SN - 1432-8801 ER - TY - THES A1 - Fleszar, Krzysztof T1 - Network-Design Problems in Graphs and on the Plane T1 - Netzwerk-Design-Probleme in Graphen und auf der Ebene N2 - A network design problem defines an infinite set whose elements, called instances, describe relationships and network constraints. It asks for an algorithm that, given an instance of this set, designs a network that respects the given constraints and at the same time optimizes some given criterion. In my thesis, I develop algorithms whose solutions are optimum or close to an optimum value within some guaranteed bound. I also examine the computational complexity of these problems. Problems from two vast areas are considered: graphs and the Euclidean plane. In the Maximum Edge Disjoint Paths problem, we are given a graph and a subset of vertex pairs that are called terminal pairs. We are asked for a set of paths where the endpoints of each path form a terminal pair. The constraint is that any two paths share at most one inner vertex. The optimization criterion is to maximize the cardinality of the set. In the hard-capacitated k-Facility Location problem, we are given an integer k and a complete graph where the distances obey a given metric and where each node has two numerical values: a capacity and an opening cost. We are asked for a subset of k nodes, called facilities, and an assignment of all the nodes, called clients, to the facilities. The constraint is that the number of clients assigned to a facility cannot exceed the facility's capacity value. The optimization criterion is to minimize the total cost which consists of the total opening cost of the facilities and the total distance between the clients and the facilities they are assigned to. In the Stabbing problem, we are given a set of axis-aligned rectangles in the plane. We are asked for a set of horizontal line segments such that, for every rectangle, there is a line segment crossing its left and right edge. The optimization criterion is to minimize the total length of the line segments. In the k-Colored Non-Crossing Euclidean Steiner Forest problem, we are given an integer k and a finite set of points in the plane where each point has one of k colors. For every color, we are asked for a drawing that connects all the points of the same color. The constraint is that drawings of different colors are not allowed to cross each other. The optimization criterion is to minimize the total length of the drawings. In the Minimum Rectilinear Polygon for Given Angle Sequence problem, we are given an angle sequence of left (+90°) turns and right (-90°) turns. We are asked for an axis-parallel simple polygon where the angles of the vertices yield the given sequence when walking around the polygon in counter-clockwise manner. The optimization criteria considered are to minimize the perimeter, the area, and the size of the axis-parallel bounding box of the polygon. N2 - Ein Netzwerk-Design-Problem definiert eine unendliche Menge, deren Elemente, als Instanzen bezeichnet, Beziehungen und Beschränkungen in einem Netzwerk beschreiben. Die Lösung eines solchen Problems besteht aus einem Algorithmus, der auf die Eingabe einer beliebigen Instanz dieser Menge ein Netzwerk entwirft, welches die gegebenen Beschränkungen einhält und gleichzeitig ein gegebenes Kriterium optimiert. In meiner Dissertation habe ich Algorithmen entwickelt, deren Netzwerke stets optimal sind oder nachweisbar nahe am Optimum liegen. Zusätzlich habe ich die Berechnungskomplexität dieser Probleme untersucht. Dabei wurden Probleme aus zwei weiten Gebieten betrachtet: Graphen und der Euklidische Ebene. Im Maximum-Edge-Disjoint-Paths-Problem besteht die Eingabe aus einem Graphen und einer Teilmenge von Knotenpaaren, die wir mit Terminalpaare bezeichnen. Gesucht ist eine Menge von Pfaden, die Terminalpaare verbinden. Die Beschränkung ist, dass keine zwei Pfade einen gleichen inneren Knoten haben dürfen. Das Optimierungskriterium ist die Maximierung der Kardinalität dieser Menge. Im Hard-Capacitated-k-Facility-Location-Problem besteht die Eingabe aus einer Ganzzahl k und einem vollständigen Graphen, in welchem die Distanzen einer gegebenen Metrik unterliegen und in welchem jedem Knoten sowohl eine numerische Kapazität als auch ein Eröffnungskostenwert zugeschrieben ist. Gesucht ist eine Teilmenge von k Knoten, Facilities genannt, und eine Zuweisung aller Knoten, Clients genannt, zu den Facilities. Die Beschränkung ist, dass die Anzahl der Clients, die einer Facility zugewiesen sind, nicht deren Kapazität überschreiten darf. Das Optimierungskriterium ist die Minimierung der Gesamtkosten bestehend aus den Gesamteröffnungskosten der Facilities sowie der Gesamtdistanz zwischen den Clients und den ihnen zugewiesenen Facilities. Im Stabbing-Problem besteht die Eingabe aus einer Menge von achsenparallelen Rechtecken in der Ebene. Gesucht ist eine Menge von horizontalen Geradenstücken mit der Randbedingung, dass die linke und rechte Seite eines jeden Rechtecks von einem Geradenstück verbunden ist. Das Optimierungskriterium ist die Minimierung der Gesamtlänge aller Geradenstücke. Im k-Colored-Non-Crossing-Euclidean-Steiner-Forest-Problem besteht die Eingabe aus einer Ganzzahl k und einer endlichen Menge von Punkten in der Ebene, wobei jeder Punkt in einer von k Farben gefärbt ist. Gesucht ist für jede Farbe eine Zeichnung, in welcher alle Punkte der Farbe verbunden sind. Die Beschränkung ist, dass Zeichnungen verschiedener Farben sich nicht kreuzen dürfen. Das Optimierungskriterium ist die Minimierung des Gesamtintenverbrauchs, das heißt, der Gesamtlänge der Zeichnungen. Im Minimum-Rectilinear-Polygon-for-Given-Angle-Sequence-Problem besteht die Eingabe aus einer Folge von Links- (+90°) und Rechtsabbiegungen (-90°). Gesucht ist ein achsenparalleles Polygon dessen Eckpunkte die gegebene Folge ergeben, wenn man das Polygon gegen den Uhrzeigersinn entlangläuft. Die Optimierungskriterien sind die Minimierung des Umfangs und der inneren Fläche des Polygons sowie der Größe des notwendigen Zeichenblattes, d.h., des kleinsten Rechteckes, das das Polygon einschließt. N2 - Given points in the plane, connect them using minimum ink. Though the task seems simple, it turns out to be very time consuming. In fact, scientists believe that computers cannot efficiently solve it. So, do we have to resign? This book examines such NP-hard network-design problems, from connectivity problems in graphs to polygonal drawing problems on the plane. First, we observe why it is so hard to optimally solve these problems. Then, we go over to attack them anyway. We develop fast algorithms that find approximate solutions that are very close to the optimal ones. Hence, connecting points with slightly more ink is not hard. KW - Euklidische Ebene KW - Algorithmus KW - Komplexität KW - NP-schweres Problem KW - Graph KW - approximation algorithm KW - hardness KW - optimization KW - graphs KW - network KW - Optimierungsproblem KW - Approximationsalgorithmus KW - complexity KW - Euclidean plane Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-154904 SN - 978-3-95826-076-4 (Print) SN - 978-3-95826-077-1 (Online) N1 - Parallel erschienen als Druckausgabe in Würzburg University Press, ISBN 978-3-95826-076-4, 28,90 EUR. PB - Würzburg University Press CY - Würzburg ET - 1. Auflage ER - TY - THES A1 - Fink, Martin T1 - Crossings, Curves, and Constraints in Graph Drawing T1 - Kreuzungen, Kurven und Constraints beim Zeichnen von Graphen N2 - In many cases, problems, data, or information can be modeled as graphs. Graphs can be used as a tool for modeling in any case where connections between distinguishable objects occur. Any graph consists of a set of objects, called vertices, and a set of connections, called edges, such that any edge connects a pair of vertices. For example, a social network can be modeled by a graph by transforming the users of the network into vertices and friendship relations between users into edges. Also physical networks like computer networks or transportation networks, for example, the metro network of a city, can be seen as graphs. For making graphs and, thereby, the data that is modeled, well-understandable for users, we need a visualization. Graph drawing deals with algorithms for visualizing graphs. In this thesis, especially the use of crossings and curves is investigated for graph drawing problems under additional constraints. The constraints that occur in the problems investigated in this thesis especially restrict the positions of (a part of) the vertices; this is done either as a hard constraint or as an optimization criterion. N2 - Viele Probleme, Informationen oder Daten lassen sich mit Hilfe von Graphen modellieren. Graphen können überall dort eingesetzt werden, wo Verbindungen zwischen unterscheidbaren Objekten auftreten. Ein Graph besteht aus einer Menge von Objekten, genannt Knoten, und einer Menge von Verbindungen, genannt Kanten, zwischen je einem Paar von Knoten. Ein soziales Netzwerk lässt sich etwa als Graph modellieren, indem die teilnehmenden Personen als Knoten und Freundschaftsbeziehungen als Kanten dargestellt werden. Physikalische Netzwerke wie etwa Computernetze oder Transportnetze - wie beispielsweise das U-Bahnliniennetz einer Stadt - lassen sich ebenfalls als Graph auffassen. Um Graphen und die damit modellierten Daten gut erfassen zu können benötigen wir eine Visualisierung. Das Graphenzeichnen befasst sich mit dem Entwickeln von Algorithmen zur Visualisierung von Graphen. Diese Dissertation beschäftigt sich insbesondere mit dem Einsatz von Kreuzungen und Kurven beim Zeichnen von Graphen unter Nebenbedingungen (Constraints). Die in den untersuchten Problemen auftretenden Nebenbedingungen sorgen unter anderem dafür, dass die Lage eines Teils der Knoten - als feste Anforderung oder als Optimierungskriterium - vorgegeben ist. KW - Graphenzeichnen KW - Kreuzung KW - Kurve KW - Graph KW - graph drawing KW - crossing minimization KW - curves KW - labeling KW - metro map KW - Kreuzungsminimierung KW - Landkartenbeschriftung KW - U-Bahnlinienplan Y1 - 2014 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-98235 SN - 978-3-95826-002-3 (print) SN - 978-3-95826-003-0 (online) PB - Würzburg University Press ER - TY - THES A1 - Spoerhase, Joachim T1 - Competitive and Voting Location T1 - Kompetitive und präferenzbasierte Standortprobleme N2 - We consider competitive location problems where two competing providers place their facilities sequentially and users can decide between the competitors. We assume that both competitors act non-cooperatively and aim at maximizing their own benefits. We investigate the complexity and approximability of such problems on graphs, in particular on simple graph classes such as trees and paths. We also develop fast algorithms for single competitive location problems where each provider places a single facilty. Voting location, in contrast, aims at identifying locations that meet social criteria. The provider wants to satisfy the users (customers) of the facility to be opened. In general, there is no location that is favored by all users. Therefore, a satisfactory compromise has to be found. To this end, criteria arising from voting theory are considered. The solution of the location problem is understood as the winner of a virtual election among the users of the facilities, in which the potential locations play the role of the candidates and the users represent the voters. Competitive and voting location problems turn out to be closely related. N2 - Wir betrachten kompetitive Standortprobleme, bei denen zwei konkurrierende Anbieter ihre Versorger sequenziell platzieren und die Kunden sich zwischen den Konkurrenten entscheiden können. Wir nehmen an, dass beide Konkurrenten nicht-kooperativ agieren und auf die Maximierung ihres eigenen Vorteils abzielen. Wir untersuchen die Komplexität und Approximierbarkeit solcher Probleme auf Graphen, insbesondere auf einfachen Graphklassen wie Bäumen und Pfaden. Ferner entwickeln wir schnelle Algorithmen für kompetitive Einzelstandortprobleme, bei denen jeder Anbieter genau einen Versorger errichtet. Im Gegensatz dazu geht es bei Voting-Standortproblemen um die Bestimmung eines Standorts, der die Benutzer oder Kunden soweit wie möglich zufrieden stellt. Solche Fragestellungen sind beispielsweise bei der Planung öffentlicher Einrichtungen relevant. In den meisten Fällen gibt es keinen Standort, der von allen Benutzern favorisiert wird. Daher muss ein Kompromiss gefunden werden. Hierzu werden Kriterien betrachtet, die auch in Wahlsystemen eingesetzt werden: Ein geeigneter Standort wird als Sieger einer gedachten Wahl verstanden, bei der die möglichen Standorte die zur Wahl stehenden Kandidaten und die Kunden die Wähler darstellen. Kompetitive Standortprobleme und Voting-Standortprobleme erweisen sich als eng miteinander verwandt. KW - Standortproblem KW - NP-hartes Problem KW - Approximationsalgorithmus KW - Graph KW - Effizienter Algorithmus KW - competitive location KW - voting location KW - NP-hardness KW - approximation algorithm KW - efficient algorithm KW - graph KW - tree KW - graph decomposition Y1 - 2009 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-52978 ER -