TY - THES A1 - Scherz, Jan T1 - Weak Solutions to Mathematical Models of the Interaction between Fluids, Solids and Electromagnetic Fields T1 - Schwache Lösungen für mathematische Modelle der Wechselwirkung zwischen Flüssigkeiten, Festkörpern und elektromagnetischen Feldern N2 - We analyze the mathematical models of two classes of physical phenomena. The first class of phenomena we consider is the interaction between one or more insulating rigid bodies and an electrically conducting fluid, inside of which the bodies are contained, as well as the electromagnetic fields trespassing both of the materials. We take into account both the cases of incompressible and compressible fluids. In both cases our main result yields the existence of weak solutions to the associated system of partial differential equations, respectively. The proofs of these results are built upon hybrid discrete-continuous approximation schemes: Parts of the systems are discretized with respect to time in order to deal with the solution-dependent test functions in the induction equation. The remaining parts are treated as continuous equations on the small intervals between consecutive discrete time points, allowing us to employ techniques which do not transfer to the discretized setting. Moreover, the solution-dependent test functions in the momentum equation are handled via the use of classical penalization methods. The second class of phenomena we consider is the evolution of a magnetoelastic material. Here too, our main result proves the existence of weak solutions to the corresponding system of partial differential equations. Its proof is based on De Giorgi's minimizing movements method, in which the system is discretized in time and, at each discrete time point, a minimization problem is solved, the associated Euler-Lagrange equations of which constitute a suitable approximation of the original equation of motion and magnetic force balance. The construction of such a minimization problem is made possible by the realization that, already on the continuous level, both of these equations can be written in terms of the same energy and dissipation potentials. The functional for the discrete minimization problem can then be constructed on the basis of these potentials. N2 - Wir analysieren die mathematischen Modelle von zwei Arten physikalischer Phänomene. Die erste Art von Phänomenen, die wir betrachten, ist die Wechselwirkung zwischen einem oder mehreren isolierenden starren Körpern und einem elektrisch leitenden Fluid, das die Körper umgibt, sowie den elektromagnetischen Feldern in beiden Materialien. Wir untersuchen sowohl den Fall inkompressibler als auch kompressibler Fluide. In beiden Fällen liefert unser Hauptresultat die Existenz von schwachen Lösungen für das zugehörige System partieller Differentialgleichungen. Die Beweise dieser Resultate beruhen auf hybriden diskret-kontinuierlichen Approximationsmethoden: Teile der Systeme werden in der Zeit diskretisiert, um das Problem der lösungsabhängigen Testfunktionen in der Induktionsgleichung zu bewältigen. Die verbleibenden Gleichungen werden als kontinuierliche Gleichungen auf den kleinen Intervallen zwischen aufeinanderfolgenden diskreten Zeitpunkten behandelt, sodass wir Techniken anwenden können, die sich nicht auf das diskretisierte System übertragen lassen. Darüber hinaus wird das Problem der lösungsabhängigen Testfunktionen in der Impulsgleichung durch die Verwendung klassischer Penalisierungsmethoden gelöst. Die zweite Art von Phänomenen, die wir betrachten, ist die Entwicklung eines magnetoelastischen Materials. Auch hier beweist unser Hauptresultat die Existenz schwacher Lösungen für das zugehörige System partieller Differentialgleichungen. Der Beweis basiert auf der Methode von De Giorgi, bei der das System in der Zeit diskretisiert und in jedem diskreten Zeitpunkt ein Minimierungsproblem gelöst wird, dessen zugehörige Euler-Lagrange-Gleichungen eine geeignete Approximation an die ursprüngliche Bewegungsgleichung und mikromagnetische Gleichung darstellen. Die Konstruktion eines solchen Minimierungsproblems wird durch die Erkenntnis ermöglicht, dass diese beiden Gleichungen bereits im kontinuierlichen System mithilfe derselben Energie- und Dissipationspotenziale ausgedrückt werden können. Das Funktional für das diskrete Minimierungsproblem kann dann auf Grundlage dieser Potenziale konstruiert werden. KW - Fluid-Struktur-Wechselwirkung KW - Magnetoelastizität KW - Magnetohydrodynamik KW - Navier-Stokes-Gleichung KW - Zeitdiskrete Approximation KW - Fluid-structure interaction KW - Magnetoelasticity KW - Magnetohydrodynamics KW - Minimizing movements KW - Navier-Stokes equations KW - Rothe method Y1 - 2024 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-349205 ER - TY - THES A1 - Dippell, Marvin T1 - Constraint Reduction in Algebra, Geometry and Deformation Theory T1 - Constraint Reduktion in Algebra, Geometrie und Deformationsquantisierung N2 - To study coisotropic reduction in the context of deformation quantization we introduce constraint manifolds and constraint algebras as the basic objects encoding the additional information needed to define a reduction. General properties of various categories of constraint objects and their compatiblity with reduction are examined. A constraint Serre-Swan theorem, identifying constraint vector bundles with certain finitely generated projective constraint modules, as well as a constraint symbol calculus are proved. After developing the general deformation theory of constraint algebras, including constraint Hochschild cohomology and constraint differential graded Lie algebras, the second constraint Hochschild cohomology for the constraint algebra of functions on a constraint flat space is computed. N2 - Um koisotrope Reduktion im Kontext der Deformationsquantisierung zu betrachten, werden constraint Mannigfaltigkeiten und constraint Algebren als grundlegende Objekte definiert. Wichtige Eigenschaften verschiedener zugehöriger Kategorien, sowie deren Kompatibilität mit Reduktion werden untersucht. In Analogie zum klassischen Serre-Swan-Theorem können constraint Vektorbündel mit bestimmten endlich erzeugt projektiven constraint Moduln identifiziert werden. Außerdem wird ein Symbolkalkül für constraint Multidifferenzialoperatoren eingeführt. Nach der Entwicklung der allgemeinen Deformationstheorie von constraint Algebren mithilfe von constraint Hochschild Kohomologie und constraint differentiell gradierten Lie-Algebren, wird die zweite constraint Hochschild Kohomologie im Fall eines endlich dimensionalen constraint Vektorraums berechnet. KW - Differentialgeometrie KW - Deformationsquantisierung KW - Coisotropic reduction KW - Symplektische Geometrie Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-301670 ER - TY - THES A1 - Jia, Xiaoxi T1 - Augmented Lagrangian Methods invoking (Proximal) Gradient-type Methods for (Composite) Structured Optimization Problems T1 - Erweiterte Lagrange-Methoden, die (proximale) Gradientenmethoden für (zusammengesetzte) strukturierte Optimierungsprobleme aufrufen N2 - This thesis, first, is devoted to the theoretical and numerical investigation of an augmented Lagrangian method for the solution of optimization problems with geometric constraints, subsequently, as well as constrained structured optimization problems featuring a composite objective function and set-membership constraints. It is then concerned to convergence and rate-of-convergence analysis of proximal gradient methods for the composite optimization problems in the presence of the Kurdyka--{\L}ojasiewicz property without global Lipschitz assumption. N2 - Diese Dissertation widmet sich zunächst der theoretischen und numerischen Untersuchung eines erweiterten Lagrange-Verfahrens zur Lösung von Optimierungsproblemen mit geometrischen Nebenbedingungen, in weiterer Folge, sowie eingeschränkten strukturierten Optimierungsproblemen mit einer zusammengesetzten Zielfunktion und Mengenzugehörigkeitsbeschränkungen. Es befasst sich dann mit der Konvergenz- und Konvergenzanalyse von Proximalgradientenverfahren für zusammengesetzte Optimierungsprobleme in Gegenwart der Kurdyka--{\L}ojasiewicz-Eigenschaft ohne globale Lipschitz-Annahme. KW - Augmented Lagrangian methods KW - Geometric constraints KW - Composite optimization problems KW - Kurdyka--{\L}ojasiewicz property KW - Local Lipschitz continuity Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-323745 ER - TY - JOUR A1 - Weishäupl, Sebastian T1 - The weak Gram law for Hecke \(L\)-functions JF - The Ramanujan Journal N2 - We generalize a theorem by Titchmarsh about the mean value of Hardy’s \(Z\)-function at the Gram points to the Hecke \(L\)-functions, which in turn implies the weak Gram law for them. Instead of proceeding analogously to Titchmarsh with an approximate functional equation we employ a different method using contour integration. KW - Gram’s law KW - Gram points KW - Hecke eigenforms KW - Hecke L-functions Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-324404 SN - 1382-4090 VL - 60 IS - 4 ER - TY - JOUR A1 - Lu, Lu A1 - Mönius, Katja T1 - Algebraic degree of Cayley graphs over abelian groups and dihedral groups JF - Journal of Algebraic Combinatorics N2 - For a graph \(\Gamma\) , let K be the smallest field containing all eigenvalues of the adjacency matrix of \(\Gamma\) . The algebraic degree \(\deg (\Gamma )\) is the extension degree \([K:\mathbb {Q}]\). In this paper, we completely determine the algebraic degrees of Cayley graphs over abelian groups and dihedral groups. KW - Cayley graph KW - integral graph KW - algebraic degree Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-324380 SN - 0925-9899 VL - 57 IS - 3 ER - TY - JOUR A1 - Greefrath, Gilbert A1 - Oldenburg, Reinhard A1 - Siller, Hans-Stefan A1 - Ulm, Volker A1 - Weigand, Hans-Georg T1 - Mathematics students’ characteristics of basic mental models of the derivative JF - Journal für Mathematik-Didaktik N2 - The concept of derivative is characterised with reference to four basic mental models. These are described as theoretical constructs based on theoretical considerations. The four basic mental models—local rate of change, tangent slope, local linearity and amplification factor—are not only quantified empirically but are also validated. To this end, a test instrument for measuring students’ characteristics of basic mental models is presented and analysed regarding quality criteria. Mathematics students (n = 266) were tested with this instrument. The test results show that the four basic mental models of the derivative can be reconstructed among the students with different characteristics. The tangent slope has the highest agreement values across all tasks. The agreement on explanations based on the basic mental model of rate of change is not as strongly established among students as one would expect due to framework settings in the school system by means of curricula and educational standards. The basic mental model of local linearity plays a rather subordinate role. The amplification factor achieves the lowest agreement values. In addition, cluster analysis was conducted to identify different subgroups of the student population. Moreover, the test results can be attributed to characteristics of the task types as well as to the students’ previous experiences from mathematics classes by means of qualitative interpretation. These and other results of students’ basic mental models of the derivative are presented and discussed in detail. N2 - Der Begriff der Ableitung wird anhand von vier Grundvorstellungen charakterisiert. Diese werden als theoretische Konstrukte beschrieben, die auf theoretischen Überlegungen beruhen. Die vier Grundvorstellungen – lokale Änderungsrate, Tangentensteigung, lokale Linearität und Verstärkungsfaktor – werden empirisch quantifiziert und validiert. Zu diesem Zweck wird ein Testinstrument zur Messung der Charakteristika dieser Grundvorstellungen von Lernenden erstellt, bzgl. Gütekriterien ausgewertet und an Mathematikstudierenden (n = 266) getestet. Die Ergebnisse zeigen, dass die vier Grundvorstellungen der Ableitung bei den Lernenden mit unterschiedlichen Merkmalen rekonstruiert werden können. Die Tangentensteigung weist über alle Aufgaben hinweg die höchsten Übereinstimmungswerte auf. Die Übereinstimmung bei Erklärungen, die auf der Grundvorstellung der lokalen Änderungsrate beruhen, ist bei den Studierenden nicht so stark ausgeprägt, wie man es aufgrund der Rahmenbedingungen im Schulsystem durch Lehrpläne und Bildungsstandards erwarten würde. Die Grundvorstellung der lokalen Linearität spielt eine eher untergeordnete Rolle. Der Verstärkungsfaktor erzielt die geringsten Übereinstimmungswerte. Darüber hinaus wurde eine Clusteranalyse durchgeführt, um verschiedene Untergruppen der Schülerpopulation zu identifizieren. Die Testergebnisse können mittels qualitativer Interpretation auf Merkmale der Aufgabentypen sowie auf die Vorerfahrungen der Studierenden aus dem Mathematikunterricht zurückgeführt werden. Diese und weitere Ergebnisse zu den grundlegenden mentalen Modellen der Studierenden zur Ableitung werden ausführlich dargestellt und diskutiert. KW - derivative KW - basic mental models KW - structure KW - test instrument KW - Ableitung KW - Grundvorstellung KW - Struktur KW - Testinstrument Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-324317 SN - 0173-5322 VL - 44 IS - 1 ER - TY - JOUR A1 - Siller, Hans-Stefan A1 - Elschenbroich, Hans-Jürgen A1 - Greefrath, Gilbert A1 - Vorhölter, Katrin T1 - Mathematical modelling of exponential growth as a rich learning environment for mathematics classrooms JF - ZDM Mathematics Education N2 - Mathematical concepts are regularly used in media reports concerning the Covid-19 pandemic. These include growth models, which attempt to explain or predict the effectiveness of interventions and developments, as well as the reproductive factor. Our contribution has the aim of showing that basic mental models about exponential growth are important for understanding media reports of Covid-19. Furthermore, we highlight how the coronavirus pandemic can be used as a context in mathematics classrooms to help students understand that they can and should question media reports on their own, using their mathematical knowledge. Therefore, we first present the role of mathematical modelling in achieving these goals in general. The same relevance applies to the necessary basic mental models of exponential growth. Following this description, based on three topics, namely, investigating the type of growth, questioning given course models, and determining exponential factors at different times, we show how the presented theoretical aspects manifest themselves in teaching examples when students are given the task of reflecting critically on existing media reports. Finally, the value of the three topics regarding the intended goals is discussed and conclusions concerning the possibilities and limits of their use in schools are drawn. KW - basic mental models KW - exponential growth KW - mathematics classrooms KW - mathematical modelling KW - growth models Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-324393 SN - 1863-9690 VL - 55 IS - 1 ER - TY - JOUR A1 - Steuding, Jörn A1 - Tongsomporn, Janyarak T1 - On the order of growth of Lerch zeta functions JF - Mathematics N2 - We extend Bourgain’s bound for the order of growth of the Riemann zeta function on the critical line to Lerch zeta functions. More precisely, we prove L(λ, α, 1/2 + it) ≪ t\(^{13/84+ϵ}\) as t → ∞. For both, the Riemann zeta function as well as for the more general Lerch zeta function, it is conjectured that the right-hand side can be replaced by t\(^ϵ\) (which is the so-called Lindelöf hypothesis). The growth of an analytic function is closely related to the distribution of its zeros. KW - Lerch zeta function KW - Hurwitz zeta function KW - (approximate) functional equation KW - order of growth KW - exponent pairs KW - MSC 11M35 Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-303981 SN - 2227-7390 VL - 11 IS - 3 ER - TY - JOUR A1 - Heins, Michael A1 - Roth, Oliver A1 - Waldmann, Stefan T1 - Convergent star products on cotangent bundles of Lie groups JF - Mathematische Annalen N2 - For a connected real Lie group G we consider the canonical standard-ordered star product arising from the canonical global symbol calculus based on the half-commutator connection of G. This star product trivially converges on polynomial functions on T\(^*\)G thanks to its homogeneity. We define a nuclear Fréchet algebra of certain analytic functions on T\(^*\)G, for which the standard-ordered star product is shown to be a well-defined continuous multiplication, depending holomorphically on the deformation parameter \(\hbar\). This nuclear Fréchet algebra is realized as the completed (projective) tensor product of a nuclear Fréchet algebra of entire functions on G with an appropriate nuclear Fréchet algebra of functions on \({\mathfrak {g}}^*\). The passage to the Weyl-ordered star product, i.e. the Gutt star product on T\(^*\)G, is shown to preserve this function space, yielding the continuity of the Gutt star product with holomorphic dependence on \(\hbar\). KW - Lie groups KW - star products Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-324324 SN - 0025-5831 VL - 386 IS - 1-2 ER - TY - JOUR A1 - Jotz, M. A1 - Mehta, R. A. A1 - Papantonis, T. T1 - Modules and representations up to homotopy of Lie n-algebroids JF - Journal of Homotopy and Related Structures N2 - This paper studies differential graded modules and representations up to homotopy of Lie n-algebroids, for general \(n\in {\mathbb {N}}\). The adjoint and coadjoint modules are described, and the corresponding split versions of the adjoint and coadjoint representations up to homotopy are explained. In particular, the case of Lie 2-algebroids is analysed in detail. The compatibility of a Poisson bracket with the homological vector field of a Lie n-algebroid is shown to be equivalent to a morphism from the coadjoint module to the adjoint module, leading to an alternative characterisation of non-degeneracy of higher Poisson structures. Moreover, the Weil algebra of a Lie n-algebroid is computed explicitly in terms of splittings, and representations up to homotopy of Lie n-algebroids are used to encode decomposed VB-Lie n-algebroid structures on double vector bundles. KW - Lie n-algebroids KW - representations up to homotopy KW - differential graded modules KW - Poisson algebras KW - adjoint and coadjoint representations Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-324333 SN - 2193-8407 VL - 18 IS - 1 ER -