TY  - THES
A1  - Curtef, Oana
T1  - Rayleigh–quotient optimization on tensor products of Grassmannians
T1  - Rayleigh–Quotient Optimierung auf Tensorprodukte von Graßmann-Mannigfaltigkeiten
N2  - Applications in various research areas such as signal processing, quantum computing, and computer vision, can be described as constrained optimization tasks on certain subsets of tensor products of vector spaces. In this work, we make use of techniques from Riemannian geometry and analyze optimization tasks on subsets of so-called simple tensors which can be equipped with a differentiable structure. In particular, we introduce a generalized Rayleigh-quotient function on the tensor product of Grassmannians and on the tensor product of Lagrange- Grassmannians. Its optimization enables a unified approach to well-known tasks from different areas of numerical linear algebra, such as: best low-rank approximations of tensors (data compression), computing geometric measures of entanglement (quantum computing) and subspace clustering (image processing). We perform a thorough analysis on the critical points of the generalized Rayleigh-quotient and develop intrinsic numerical methods for its optimization. Explicitly, using the techniques from Riemannian optimization, we present two type of algorithms: a Newton-like and a conjugated gradient algorithm. Their performance is analysed and compared with established methods from the literature.
N2  - Viele Fragestellungen aus den unterschiedlichen mathematischen Disziplinen, wie z.B. Signalverarbeitung, Quanten-Computing und Computer-Vision, können als Optimierungsprobleme auf Teilmengen von Tensorprodukten von Vektorräumen beschrieben werden. In dieser Arbeit verwenden wir Techniken aus der Riemannschen Geometrie, um Optimierungsprobleme für Mengen von sogenannten einfachen Tensoren, welche mit einer differenzierbaren Struktur ausgestattet werden können, zu untersuchen. Insbesondere führen wir eine verallgemeinerte Rayleigh-Quotienten-Funktion auf dem Tensorprodukt von Graßmann-Mannigfaltigkeiten bzw. Lagrange-Graßmann-Mannigfaltigkeiten ein. Dies führt zu einem einheitlichen Zugang zu bekannten Problemen aus verschiedenen Bereichen der numerischen linearen Algebra, wie z.B. die Niedrig–Rang–Approximation von Tensoren (Datenkompression), die Beschreibung geometrischer Maße für Quantenverschränkung (Quanten-Computing) und Clustering (Bildverarbeitung). Wir führen eine gründliche Analyse der kritischen Punkte des verallgemeinerten Rayleigh-Quotienten durch und entwickeln intrinsische numerische Methoden für dessen Optimierung. Wir stellen zwei Arten von Algorithmen vor, die wir mit Hilfe von Techniken aus der Riemannsche Optimierung entwickeln: eine mit Gemeinsamkeiten zum Newton-Verfahren und eine zum CG-Verfahren ähnliche. Wir analysieren die Performance der Algorithmen und vergleichen sie mit gängigen Methoden aus der Literatur.
KW  - Optimierung
KW  - Riemannsche Optimierung
KW  - Newtonverfahren
KW  - Verfahren der konjugierten Gradienten
KW  - Maße für Quantenverschränkung
KW  - Riemannian optimization
KW  - Grassmann Manifold
KW  - Newton method
KW  - Conjugate gradient method
KW  - tensor rank
KW  - subspace clustering
KW  - enatnglement measure
KW  - Riemannsche Geometrie
KW  - Grassmann-Mannigfaltigkeit
KW  - Konjugierte-Gradienten-Methode
KW  - Newton-Verfahren
Y1  - 2012
U6  - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-83383
ER  -