TY - THES A1 - Solak, Ebru T1 - Almost Completely Decomposable Groups of Type (1,2) T1 - Fast vollständig zerlegbare Gruppen vom Typ (1,2) N2 - A torsion free abelian group of finite rank is called almost completely decomposable if it has a completely decomposable subgroup of finite index. A p-local, p-reduced almost completely decomposable group of type (1,2) is briefly called a (1,2)-group. Almost completely decomposable groups can be represented by matrices over the ring Z/hZ, where h is the exponent of the regulator quotient. This particular choice of representation allows for a better investigation of the decomposability of the group. Arnold and Dugas showed in several of their works that (1,2)-groups with regulator quotient of exponent at least p^7 allow infinitely many isomorphism types of indecomposable groups. It is not known if the exponent 7 is minimal. In this dissertation, this problem is addressed. N2 - Eine fast vollständig zerlegbare Gruppe ist eine torsionsfreie abelsche Gruppe endlichen Ranges,die eine vollständig zerlegbare Untergruppe von endlichem Index enthält. Fast vollständig zerlegbare Gruppen gestatten eine Darstellung durch Matrizen über dem Ring Z/hZ, wobei h der Exponent des Regulatorquotienten ist. Auf dieser Matrixdarstellung aufsetzend kann man das Zerlegungsverhalten von Gruppen untersuchen. Arnold und Dugas haben in mehreren Arbeiten gezeigt, dass es unendlich viele Isomorphietypen unzerlegbarer fast vollständig zerlegbarer Gruppen gibt,sobald der Exponent des Regulatorquotienten grösser gleich sieben ist. Allerdings ist unbekannt, ob sieben der kleinste Exponent mit dieser Eigenschaft ist. Wir untersuchen dieses Problem für p-lokale fast vollständig zerlegbare Gruppen vom Typ (1,2). KW - Torsionsfreie abelsche Gruppe KW - Darstellungsmatrix KW - Abelsche Gruppe KW - Torsion-free abelian groups KW - abelian groups KW - almost completely decomposable groups KW - representing matrix Y1 - 2007 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-24794 ER - TY - THES A1 - Nahler, Michael T1 - Isomorphism classes of almost completely decomposable groups T1 - Isomorphieklassen fast vollständig zerlegbarer Gruppen N2 - In this thesis we investigate near-isomorphism classes and isomorphism classes of almost completely decomposable groups. In Chapter 2 we introduce the concept of almost completely decomposable groups and sum up their most important facts. A local group is an almost completely decomposable group with a primary regulator quotient. A uniform group is a rigid local group with a homocyclic regulator quotient. In Chapter 3 a weakening of isomorphism, called type-isomorphism, appears. It is shown that type-isomorphism agrees with Lady's near-isomorphism. By the Main Decomposition Theorem and the Primary Reduction Theorem we are allowed to restrict ourselves on clipped local groups, namely groups without a direct rank-one summand. In Chapter 4 we collect facts of matrices over commutative rings with an identity element. Matrices over the local ring (Z / p^e Z) of residue classes of the rational integers modulo a prime power play an important role. In Chapter 5 we introduce representing matrices of finite essential extensions. Here a normal form for local groups is found by the Gauß algorithm. Uniform groups have representing matrices in Hermite normal form. The classification problems for almost completely decomposable groups up to isomorphism and up to near-isomorphism can be rephrased as equivalence problems for the representing matrices. In Chapter 6 we derive a criterion for the representing matrices of local groups in Gauß normal form. In Chapter 7 we formulate the matrix criterion for uniform groups. Two representing matrices in Hermite normal form describe isomorphic groups if and only if the rest blocks of the representing matrices are T-diagonally equivalent. Starting from a fixed near-isomorphism class in Chapter 8 we investigate isomorphism classes of uniform groups. We count groups and isomorphism classes. In Chapter 9 we specialize on uniform groups of rank 2r with a regulator quotient of rank r such that the rest block of the representing matrix is invertible and normed. N2 - In dieser Dissertation untersuchen wir Near-Isomorphieklassen und Isomorphieklassen von fast vollständig zerlegbaren Gruppen. In Kapitel 2 führen wir den Begriff von fast vollständig zerlegbaren Gruppen ein und fassen ihre wichtigsten Eigenschaften zusammen. Eine lokale Gruppe ist eine fast vollständig zerlegbaren Gruppe mit einem primären Regulatorquotienten. Eine uniforme Gruppe ist eine rigid lokale Gruppe mit einem homozyklischen Regulatorquotienten. In Kapitel 3 erscheint eine Abschwächung von Isomorphie, genannt Typ-Isomorphie. Es wurde gezeigt, dass Typ-Isomorphie mit der Near-Isomorphie von Lady übereinstimmt. Wegen des Hauptzerlegungssatzes und des primären Reduktionssatzes können wir uns auf clipped lokale Gruppen beschränken, also Gruppen ohne direkten Rang-eins Summanden. In Kapitel 4 sammeln wir Eigenschaften von Matrizen über kommutativen Ringen mit Eins. Matrizen über dem lokalen Ring (Z / p^e Z) von Restklassen modulo einer Primzahlpotenz spielen eine wichtige Rolle. In Kapitel 5 führen wir Darstellungsmatrizen von endlichen wesentlichen Erweiterungen ein. Hier wird eine Normalform für lokale Gruppen mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus gefunden. Uniforme Gruppen haben eine Darstellungsmatix in Hermite Normalform. Die Klassifikationsprobleme von fast vollständig zerlegbaren Gruppen bis auf Isomorphie und bis auf Near-Isomorphie können als Äquivalenzprobleme für die Darstellungsmatrizen umformuliert werden. In Kapitel 6 leiten wir ein Kriterium ab für die Darstellungsmatrizen von lokalen Gruppen in Gaußscher Normalform. In Kaptel 7 formulieren wir das Matrixkriterium für uniforme Gruppen. Zwei Darstellungsmatrizen in Hermite Normalform beschreiben genau dann isomorphe Gruppen, wenn die Restblöcke ihrer Darstellungsmatrizen T-diagonal äquivalent sind. Ausgehend von einer festgehaltenen Near-Isomorphieklasse untersuchen wir Isomorphieklassen von uniformen Gruppen in Kapitel 8. Wir zählen Gruppen und Isomorphieklassen. In Kapitel 9 spezialisieren wir uns auf uniforme Gruppen vom Rang 2r und mit einem Regulatorquotienten vom Rang r, so dass der Restblock der Darstellungsmatrix invertierbar und normiert ist. KW - Fast vollständig zerlegbare Gruppe KW - Isomorphieklasse KW - Darstellungsmatrix KW - fast vollständig zerlegbare Gruppe KW - isomorph KW - near-isomorph KW - Isomorphie KW - Near-Isomorphie KW - Darstellungsmatrix KW - almost completely decomosable group KW - isomorphic KW - near-isomorphic KW - isomorpism KW - near-isomorphism KW - representing matrix Y1 - 2001 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-2817 ER -