TY - THES A1 - Warnecke, Sandra T1 - Numerical schemes for multi-species BGK equations based on a variational procedure applied to multi-species BGK equations with velocity-dependent collision frequency and to quantum multi-species BGK equations T1 - Numerische Verfahren für multispezies BGK Gleichungen mittels Variationsansatz angewandt auf multispezies BGK Gleichungen mit geschwindigkeitsabhängiger Stoßfrequenz sowie auf quantenmechanische multispezies BGK Gleichungen N2 - We consider a multi-species gas mixture described by a kinetic model. More precisely, we are interested in models with BGK interaction operators. Several extensions to the standard BGK model are studied. Firstly, we allow the collision frequency to vary not only in time and space but also with the microscopic velocity. In the standard BGK model, the dependence on the microscopic velocity is neglected for reasons of simplicity. We allow for a more physical description by reintroducing this dependence. But even though the structure of the equations remains the same, the so-called target functions in the relaxation term become more sophisticated being defined by a variational procedure. Secondly, we include quantum effects (for constant collision frequencies). This approach influences again the resulting target functions in the relaxation term depending on the respective type of quantum particles. In this thesis, we present a numerical method for simulating such models. We use implicit-explicit time discretizations in order to take care of the stiff relaxation part due to possibly large collision frequencies. The key new ingredient is an implicit solver which minimizes a certain potential function. This procedure mimics the theoretical derivation in the models. We prove that theoretical properties of the model are preserved at the discrete level such as conservation of mass, total momentum and total energy, positivity of distribution functions and a proper entropy behavior. We provide an array of numerical tests illustrating the numerical scheme as well as its usefulness and effectiveness. N2 - Wir betrachten ein Gasgemisch, das aus mehreren Spezies zusammengesetzt ist und durch kinetische Modelle beschrieben werden kann. Dabei interessieren wir uns vor allem für Modelle mit BGK-Wechselwirkungsoperatoren. Verschiedene Erweiterungen des Standard-BGK-Modells werden untersucht. Im ersten Modell nehmen wir eine Abhängigkeit der Stoßfrequenzen von der mikroskopischen Geschwindigkeit hinzu. Im Standard-BGK-Modell wird diese Abhängigkeit aus Gründen der Komplexität vernachlässigt. Wir nähern uns der physikalischen Realität weiter an, indem wir die Abhängigkeit von der mikroskopischen Geschwindigkeit beachten. Die Struktur der Gleichungen bleibt erhalten, allerdings hat dies Auswirkungen auf die sogenannten Zielfunktionen im Relaxationsterm, welche sodann durch einen Variationsansatz definiert werden. Das zweite Modell berücksichtigt Quanteneffekte (für konstante Stoßfrequenzen), was wiederum die Zielfunktionen im Relaxationsterm beeinflusst. Diese unterscheiden sich abhängig von den jeweils betrachteten, quantenmechanischen Teilchentypen. In dieser Doktorarbeit stellen wir numerische Verfahren vor, die auf oben beschriebene Modelle angewandt werden können. Wir legen eine implizite-explizite Zeitdiskretisierung zu Grunde, da die Relaxationsterme für große Stoßfrequenzen steif werden können. Das Kernstück ist ein impliziter Löser, der eine gewisse Potenzialfunktion minimiert. Dieses Vorgehen imitiert die theoretische Herleitung in den Modellen. Wir zeigen, dass die Eigenschaften des Modells auch auf der diskreten Ebene vorliegen. Dies beinhaltet die Massen-, Gesamtimpuls- und Gesamtenergieerhaltung, die Positivität von Verteilungsfunktionen sowie das gewünschte Verhalten der Entropie. Wir führen mehrere numerische Tests durch, die die Eigenschaften, die Nützlichkeit und die Zweckmäßigkeit des numerischen Verfahrens aufzeigen. N2 - Many applications require reliable numerical simulations of realistic set-ups e.g. plasma physics. This book gives a short introduction into kinetic models of gas mixtures describing the time evolution of rarefied gases and plasmas. Recently developed models are presented which extend existing literature by including more physical phenomena. We develop a numerical scheme for these more elaborated equations. The scheme is proven to maintain the physical properties of the models at the discrete level. We show several numerical test cases inspired by physical experiments. KW - Kinetische Gastheorie KW - Simulation KW - Numerisches Verfahren KW - Gasgemisch KW - Plasma KW - multi-fluid mixture KW - kinetic model KW - entropy minimization KW - IMEX KW - velocity-dependent collision frequency Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-282378 SN - 978-3-95826-192-1 SN - 978-3-95826-193-8 N1 - Parallel erschienen als Druckausgabe in Würzburg University Press, ISBN 978-3-95826-192-1, 32,90 EUR. PB - Würzburg University Press CY - Würzburg ET - 1. Auflage ER - TY - THES A1 - Luitz, David J. T1 - Numerical methods and applications in many fermion systems T1 - Numerische Methoden und Anwendungen in Vielfermionensystemen N2 - This thesis presents results covering several topics in correlated many fermion systems. A Monte Carlo technique (CT-INT) that has been implemented, used and extended by the author is discussed in great detail in chapter 3. The following chapter discusses how CT-INT can be used to calculate the two particle Green’s function and explains how exact frequency summations can be obtained. A benchmark against exact diagonalization is presented. The link to the dynamical cluster approximation is made in the end of chapter 4, where these techniques are of immense importance. In chapter 5 an extensive CT-INT study of a strongly correlated Josephson junction is shown. In particular, the signature of the first order quantum phase transition between a Kondo and a local moment regime in the Josephson current is discussed. The connection to an experimental system is made with great care by developing a parameter extraction strategy. As a final result, we show that it is possible to reproduce experimental data from a numerically exact CT-INT model-calculation. The last topic is a study of graphene edge magnetism. We introduce a general effective model for the edge states, incorporating a complicated interaction Hamiltonian and perform an exact diagonalization study for different parameter regimes. This yields a strong argument for the importance of forbidden umklapp processes and of the strongly momentum dependent interaction vertex for the formation of edge magnetism. Additional fragments concerning the use of a Legendre polynomial basis for the representation of the two particle Green’s function, the analytic continuation of the self energy for the Anderson Kane Mele Model, as well as the generation of test data with a given covariance matrix are documented in the appendix. A final appendix provides some very important matrix identities that are used for the discussion of technical details of CT-INT. N2 - In der vorliegenden Dissertation werden verschiedene Themen aus dem Feld der stark korrelierten Viel-Fermionensysteme präsentiert. Zunächst wird in Kapitel 3 eine Monte Carlo Methode (CT-INT), welche der Autor implementiert, angewandt und erweitert hat, auf detaillierte Weise eingeführt. Das nachfolgende Kapitel diskutiert wie die Zweiteilchen Greensche Funktion in CT-INT berechnet werden kann und wie exakte Frequenzsummen ausgewertet werden können. Dies wird in einem Vergleich mit Daten aus exakter Diagonalisierung demonstriert. Abschließend wird die Verbindung zur dynamischen Cluster Näherung am Ende von Kapitel 4 aufgezeigt, wo diese Methoden von außerordentlicher Bedeutung sind. In Kapitel 5 wird eine umfangreiche CT-INT Studie eines stark korrelierten Josephson Kontakts vorgestellt. Insbesondere wird die Verbindung zwischen dem Phasenübergang erster Ordnung von einem Kondoregime zu einem Regime mit lokalem magnetischem Moment mit der Phasenverschiebung um pi des Josephson-Stroms herausgearbeitet. Es wird gezeigt, wie der Übergang zu einem realen experimentellen System durchgeführt werden kann, wobei besondere Sorgfalt auf die Entwicklung einer Strategie zur Extraktion der Modellparameter aus den experimentellen Daten gelegt wurde. Als Endergebnis demonstrieren wir, dass es es möglich ist, experimentelle Daten mit Hilfe einer numerisch exakten Modellrechnung zu reproduzieren. Als letztes Projekt wird eine Untersuchung des Randmagnetismus von Graphen vorgestellt. Dazu wird ein allgemeines effektives Modell eingeführt, welches einen komplizierten Wechselwirkungshamiltonian enthält. Hierfür wird eine Studie mit Hilfe von exakter Diagonalisierung des Hamiltonians in verschiedenen Parameterbereichen erarbeitet, wodurch wir argumentieren können, dass das Verbot von Umklappprozessen und die starke Impulsabhängigkeit der Wechselwirkung für die Bildung des Randmagnetismus verantwortlich sind. Zusätzlich dokumentieren einige Fragmente im Anhang theoretische Arbeiten zur Benutzung einer Basis von Legendre Polynomen zur Darstellung der Zweiteilchen Greenschen Funktion, zur analytischen Fortsetzung der Selbstenergie für das Anderson Kane Mele Modell sowie zur Erstellung von Testdaten mit einer analytisch bestimmbaren Kovarianzmatrix. Ein Anhang mit einigen Matrix Identitäten die wichtig für die Diskussion der technischen Details von CT-INT sind schließt diese Arbeit ab. KW - Fermionensystem KW - DCA KW - CT-INT KW - QMC KW - Monte Carlo KW - Strong correlations KW - Numerisches Verfahren KW - Festkörpertheorie Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-75927 ER - TY - THES A1 - Jöstingmeier, Martin T1 - On the competition of superconductivity, antiferromagnetism and charge order in the high-Tc compounds T1 - Über das Wechselspiel von Supraleitung, Antiferromagnetismus und Ladungsordung in den Kuprat-Supraleitern N2 - Diese Arbeit läßt sich in zwei grobe Abschnitte gliedern. Der erste Teil umfaßt die Kapitel 1-3, in denen drei verschiedene Konzepte beschrieben werden, die zum Verständis stark korrelierter Vielteilchen-Systeme dienen. Dies sind zunächst einmal die SO(5)-Theorie in Kapitel 3, die den allgemeinen Rahmen vorgibt und auf der numerischen Seite die Stochastische Reihen Entwicklung (SSE) in Kapitel 1 und der Contractor Renormierungsgruppen Ansatz (CORE), s.Kapitel 2). Die zentrale Idee dieser Dissertationsschrift besteht darin, diese verschiedenen Konzepte zu kombinieren, um ein besseres Verständnis der Hochtemperatursupraleiter zu erhalten. Im zweiten Teil dieser Arbeit (Kap. 4 und Kap. 5) werden die so gewonnenen Ergebnisse dargestellt. Die zentrale Idee dieser Arbeit, d.h. die Kombination der SO(5)-Theorie mit den Fähigkeiten bosonischer Quanten-Monte-Carlo Verfahren und den überlegungen der Renormierungsgruppe, hat sich sich am Beispiel der Physik der Hochtemperatur-Supraleiter als sehr tragfähig erwiesen. Die numerischen Simulationen reproduzieren bei den behandelten Modelle eine Reihe wichtiger experimenteller Daten. Die Grundlage für eine künftige weitere schrittweise Erweiterung des Modells wurde so geschaffen. Eine offene Frage ist z.B. die Restaurierung der SO(5)-Symmetrie an einem multi-kritischen Punkt, wenn die längerreichweitigen Wechselwirkungen mit in das Modell einbezogen sind. N2 - This thesis contains two major parts: The first part introduces the reader into three independent concepts of treating strongly correlated many body physics. These are, on the analytical side the SO(5)-theory (Chap.3), which poses the general frame. On the numerical side these are the Stochastic Series Expansion (SSE) (Chap.1) and the Contractor Renormalization Group (CORE) approach (Chap. 2}). The central idea of this thesis was to combine these above concepts, in order to achieve a better understanding of the high-T_c superconductors (HTSC). The results obtained by this combination can be found in the second major part of this thesis (chapters 4 and 5). The main idea of this thesis, i.e., to combine the SO(5)-theory with the capabilities of bosonic Quantum-Monte Carlo simulations and those of the CORE approach, has been proven to be a very successful Ansatz. Two different approaches, one based on symmetry and one on renormalization-group arguments, motivate an effective bosonic Hamiltonian. In a subsequent step the effective Hamiltonian has been simulated efficiently using the SSE. The results reproduce salient experiments on high-T_c superconductors. In addition, it has been shown that the model can be extended to capture also charge ordering. These results also form a profound basis for further studies, for example one could address the open question of SO(5)-symmetry restoration at a multicritical point in the extended pSO(5) model, where longer ranged interactions are included. KW - Hochtemperatursupraleitung KW - Simulation KW - Numerisches Verfahren KW - Supraleitung KW - Antiferromagnetismus KW - Ladungsordung KW - Kuprat-Supraleiter KW - SO(5)-Theorie der Supraleitung KW - superconductivity KW - antiferromagnetism KW - charge density waves KW - cuprate-superconductor KW - SO(5)-theory of superconductivity Y1 - 2005 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-13036 ER - TY - THES A1 - Gallego Valencia, Juan Pablo T1 - On Runge-Kutta discontinuous Galerkin methods for compressible Euler equations and the ideal magneto-hydrodynamical model T1 - Runge-Kutta Discontinuous-Galerkin Verfahren für die kompressiblen Euler Gleichungen und das ideale magnetohydrodynamische Modell N2 - An explicit Runge-Kutta discontinuous Galerkin (RKDG) method is used to device numerical schemes for both the compressible Euler equations of gas dynamics and the ideal magneto- hydrodynamical (MHD) model. These systems of conservation laws are known to have discontinuous solutions. Discontinuities are the source of spurious oscillations in the solution profile of the numerical approximation, when a high order accurate numerical method is used. Different techniques are reviewed in order to control spurious oscillations. A shock detection technique is shown to be useful in order to determine the regions where the spurious oscillations appear such that a Limiter can be used to eliminate these numeric artifacts. To guarantee the positivity of specific variables like the density and the pressure, a positivity preserving limiter is used. Furthermore, a numerical flux, proven to preserve the entropy stability of the semi-discrete DG scheme for the MHD system is used. Finally, the numerical schemes are implemented using the deal.II C++ libraries in the dflo code. The solution of common test cases show the capability of the method. N2 - Ein explizite Runge-Kutta discontinous Galerkin (RKDG) Verfahren wird angewendet, um numerische Diskretisierungen, sowohl für die kompressiblen Eulergleichungen der Gasdynamik, als auch für die idealen Magnetohydrodynamik (MHD) Gleichungen zu entwickeln. Es ist bekannt, dass diese System von Erhaltungsgleichungen unstetige Lösungen besitzen. Unstetigkeiten sind die Quelle von störenden Oszillationen im Lösungsprofil der numerischen Näherung, wenn ein numerisches Verfahren von hoher Ordnung verwendet wird. Verschiedene Techniken werden miteinander verglichen um störende Oszillationen zu kontrollieren, die bei der Approximation von Unstetigkeiten in der Lösung auftreten. Ein Verfahren zur Lokalisierung von Schockwellen wird vorgestellt und es wird gezeigt, dass dieses Verfahren nützlich ist um Regionen, in denen störende Oszillationen auftreten, zu bestimmen, so dass ein Limiter verwendet werden kann um diese numerischen Artefakte zu eliminieren. Um die Positivität spezieller Variablen, wie die Dichte und den Druck, zu bewahren, wird ein spezieller „positivitätserhaltender“ Limiter verwendet. Des Weiteren wird ein numerischer Fluss, für den bewiesenermaßen das semi-diskrete DG Verfahren für das MHD System Entropie-Stabil ist, verwendet. Abschließend werden die numerischen Verfahren unter Verwendung der deal.II C++ Bibliotheken im dflo code implementiert. Simulationen bekannter Testbeispiele zeigen das Potential dieses numerischen Verfahrens. KW - explicit discontinuous Galerkin KW - conservation laws KW - numerical methods KW - Euler equations KW - MHD KW - Eulersche Differentialgleichung KW - Galerkin-Methode KW - Numerisches Verfahren Y1 - 2017 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-148874 ER - TY - THES A1 - Akindeinde, Saheed Ojo T1 - Numerical Verification of Optimality Conditions in Optimal Control Problems T1 - Numerischen Verifizierung von Optimalitätsbedingungen für Optimalsteurungsprobleme N2 - This thesis is devoted to numerical verification of optimality conditions for non-convex optimal control problems. In the first part, we are concerned with a-posteriori verification of sufficient optimality conditions. It is a common knowledge that verification of such conditions for general non-convex PDE-constrained optimization problems is very challenging. We propose a method to verify second-order sufficient conditions for a general class of optimal control problem. If the proposed verification method confirms the fulfillment of the sufficient condition then a-posteriori error estimates can be computed. A special ingredient of our method is an error analysis for the Hessian of the underlying optimization problem. We derive conditions under which positive definiteness of the Hessian of the discrete problem implies positive definiteness of the Hessian of the continuous problem. The results are complemented with numerical experiments. In the second part, we investigate adaptive methods for optimal control problems with finitely many control parameters. We analyze a-posteriori error estimates based on verification of second-order sufficient optimality conditions using the method developed in the first part. Reliability and efficiency of the error estimator are shown. We illustrate through numerical experiments, the use of the estimator in guiding adaptive mesh refinement. N2 - Diese Arbeit widmet sich der numerischen Verifizierung von Optimalitaetsbedingungen fuer nicht konvexe Optimalsteuerungsprobleme. Im ersten Teil beschaeftigen wir uns mit der a-posteriori Ueberpruefung von hinreichenden Optimalitaetskriterien. Es ist bekannt, dass der Nachweis solcher Bedingungen fuer allgemeine nicht konvexe Optimierungsproblemem mit Nebenbedingungen in Form von partiellen Differentialgleichungen sehr schwierig ist. Wir stellen eine Methode vor, um die hinreichenden Bedingungen zweiter Ordnung fuer eine allgemeine Problemklasse zu testen. Falls die vorgeschlagene Strategie bestaetigt, dass diese Bedingungen erfuellt sind, koennen a-posteriori Fehlerschaetzungen berechnet werden. Ein wesentlicher Bestandteil unserer Methode ist eine Fehleranalyse fuer die Hessematrix des zugrunde liegenden Optimierungsproblems. Es werden Bedingungen hergeleitet, unter denen die positive Definitheit der Hessematrix des diskreten Problems die positive Definitheit der Hessematrix fuer das kontinuierliche Problem nach sich zieht. Diese Ergebnisse werden durch numerische Experimente ergaenzt. Im zweiten Teil untersuchen wir adaptive (Diskretisierungs-)methoden fuer Optimalsteuerungsprobleme mit endlich vielen Kontrollparametern. Basierend auf dem Nachweis hinreichender Optimalitaetsbedingungen zweiter Ordnung analysieren wir a posteriori Fehlerschaetzungen. Dies geschieht unter der Nutzung der Resultate des ersten Teils der Arbeit. Es wird die Zuverlaessigkeit und Effizienz des Fehlerschaetzers bewiesen. Mittels weiterer numerischer Experimente illustrieren wir, wie der Fehlerschaetzer zur Steuerung adaptiver Gitterverfeinerung eingesetzt werden kann. KW - Optimale Kontrolle KW - Nichtkonvexe Optimierung KW - Numerisches Verfahren KW - non-convex optimal control problems KW - sufficient optimality conditions KW - a-posteriori error estimates KW - numerical approximations KW - adaptive refinement Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-76065 ER -