TY - THES A1 - Wisheckel, Florian T1 - Some Applications of D-Norms to Probability and Statistics T1 - Einige Anwendungen von D-Normen in Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik N2 - This cumulative dissertation is organized as follows: After the introduction, the second chapter, based on “Asymptotic independence of bivariate order statistics” (2017) by Falk and Wisheckel, is an investigation of the asymptotic dependence behavior of the components of bivariate order statistics. We find that the two components of the order statistics become asymptotically independent for certain combinations of (sequences of) indices that are selected, and it turns out that no further assumptions on the dependence of the two components in the underlying sample are necessary. To establish this, an explicit representation of the conditional distribution of bivariate order statistics is derived. Chapter 3 is from “Conditional tail independence in archimedean copula models” (2019) by Falk, Padoan and Wisheckel and deals with the conditional distribution of an Archimedean copula, conditioned on one of its components. We show that its tails are independent under minor conditions on the generator function, even if the unconditional tails were dependent. The theoretical findings are underlined by a simulation study and can be generalized to Archimax copulas. “Generalized pareto copulas: A key to multivariate extremes” (2019) by Falk, Padoan and Wisheckel lead to Chapter 4 where we introduce a nonparametric approach to estimate the probability that a random vector exceeds a fixed threshold if it follows a Generalized Pareto copula. To this end, some theory underlying the concept of Generalized Pareto distributions is presented first, the estimation procedure is tested using a simulation and finally applied to a dataset of air pollution parameters in Milan, Italy, from 2002 until 2017. The fifth chapter collects some additional results on derivatives of D-norms, in particular a condition for the existence of directional derivatives, and multivariate spacings, specifically an explicit formula for the second-to-last bivariate spacing. N2 - Diese kumulative Dissertation ist wie folgt aufgebaut: Nach der Einleitung wird im zweiten Kapitel, welches auf “Asymptotic independence of bivariate order statistics” (2017) von Falk und Wisheckel beruht, die asymptotische Abhängigkeitsstruktur von bivariaten Ordnungsstatistiken untersucht. Dazu wird eine explizite Darstellung der bedingten Verteilung einer bivariaten Ordnungsstatistik hergeleitet. Kapitel 3, basierend auf “Conditional tail independence in archimedean copula models” (2019) von Falk, Padoan und Wisheckel, zeigt, dass unter schwachen Anforderungen an den Generator einer Archimedischen Copula die übrigen Komponenten unabhängig werden, wenn man auf eine davon bedingt. Das insbesondere auch dann, wenn die Komponenten ohne die Bedingung abhängig waren. Die theoretischen Erkenntnisse werden anhand von Simulationsergebnissen verdeutlicht. “Generalized pareto copulas: A key to multivariate extremes” (2019) von Falk, Padoan und Wisheckel liefert Kapitel 4. Es wird ein nichtparametrischer Ansatz vorgestellt um die Überschreitungswahrscheinlichkeit eines Zufallsvektors über einen festen, hohen Schwellenwert zu schätzen, wenn dieser einer verallgemeinerten Pareto Copula folgt. Das Verfahren wird in den theoretischen Rahmen eingebettet, anhand einer Simulation validiert und auf Luftverschmutzungsdaten in Mailand, Italien, von 2002 bis 2017 angewendet. Im fünften Kapitel werden einige weitere Ergebnisse gesammelt: es geht um Ableitungen von D-Normen, insbesondere um eine Bedingung, die die Existenz der Richtungsableitungen sicherstellt. Außerdem werden multivariate Spacings thematisiert. KW - Kopula KW - Bedingte Unabhängigkeit KW - Extremwertstatistik KW - D-Norms KW - Multivariate order statistics KW - Archimedean copula KW - Extreme value copula KW - Exceedance Stability KW - Generalized Pareto copula KW - Asymptotic independence KW - multivariate generalized Pareto distribution KW - confidence interval KW - Pareto-Verteilung KW - Copula Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-212140 ER - TY - THES A1 - Aulbach, Stefan T1 - Contributions to Extreme Value Theory in Finite and Infinite Dimensions: With a Focus on Testing for Generalized Pareto Models T1 - Beiträge zur endlich- und unendlichdimensionalen Extremwerttheorie: Mit einem Schwerpunkt auf Tests auf verallgemeinerte Pareto-Modelle N2 - Extreme value theory aims at modeling extreme but rare events from a probabilistic point of view. It is well-known that so-called generalized Pareto distributions, which are briefly reviewed in Chapter 1, are the only reasonable probability distributions suited for modeling observations above a high threshold, such as waves exceeding the height of a certain dike, earthquakes having at least a certain intensity, and, after applying a simple transformation, share prices falling below some low threshold. However, there are cases for which a generalized Pareto model might fail. Therefore, Chapter 2 derives certain neighborhoods of a generalized Pareto distribution and provides several statistical tests for these neighborhoods, where the cases of observing finite dimensional data and of observing continuous functions on [0,1] are considered. By using a notation based on so-called D-norms it is shown that these tests consistently link both frameworks, the finite dimensional and the functional one. Since the derivation of the asymptotic distributions of the test statistics requires certain technical restrictions, Chapter 3 analyzes these assumptions in more detail. It provides in particular some examples of distributions that satisfy the null hypothesis and of those that do not. Since continuous copula processes are crucial tools for the functional versions of the proposed tests, it is also discussed whether those copula processes actually exist for a given set of data. Moreover, some practical advice is given how to choose the free parameters incorporated in the test statistics. Finally, a simulation study in Chapter 4 compares the in total three different test statistics with another test found in the literature that has a similar null hypothesis. This thesis ends with a short summary of the results and an outlook to further open questions. N2 - Gegenstand der Extremwerttheorie ist die wahrscheinlichkeitstheoretische Modellierung von extremen, aber seltenen Ereignissen. Es ist wohlbekannt, dass sog. verallgemeinerte Pareto-Verteilungen, die in Kapitel 1 kurz zusammengefasst werden, die einzigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind, mit denen sich Überschreitungen über hohe Schwellenwerte geeignet modellieren lassen, wie z. B. Fluthöhen, die einen Deich überschreiten, Erdbeben einer gewissen Mindeststärke, oder - nach einer einfachen Transformation - Aktienkurse, die einen festen Wert unterschreiten. Jedoch gibt es auch Fälle, in denen verallgemeinerte Pareto-Modelle fehlschlagen könnten. Deswegen beschäftigt sich Kapitel 2 mit gewissen Umgebungen einer verallgemeinerten Pareto-Verteilung und leitet mehrere statistische Tests auf diese Umgebungen her. Dabei werden sowohl multivariate Daten als auch Datensätze bestehend aus stetigen Funktionen auf [0,1] betrachtet. Durch Verwendung einer Notation basierend auf sog. D-Normen wird insbesondere gezeigt, dass die vorgestellten Testverfahren beide Fälle, den multivariaten und den funktionalen, auf natürliche Weise miteinander verbinden. Da das asymptotische Verhalten dieser Tests von einigen technischen Voraussetzungen abhängt, werden diese Annahmen in Kapitel 3 detaillierter analysiert. Insbesondere werden Beispiele für Verteilungen betrachtet, die die Nullhypothese erfüllen, und solche, die das nicht tun. Aufgrund ihrer Bedeutung für die funktionale Version der Tests wird auch der Frage nachgegangen, ob sich ein Datensatz durch stetige Copula-Prozesse beschreiben lässt. Außerdem wird auf die Wahl der freien Parameter in den Teststatistiken eingegangen. Schließlich befasst sich Kapitel 4 mit den Ergebnissen einer Simulationsstudie, um die insgesamt drei Testverfahren mit einem ähnlichen Test aus der Literatur zu vergleichen. Diese Arbeit endet mit einer kurzen Zusammenfassung und einem Ausblick auf weiterführende Fragestellungen. KW - Extremwertstatistik KW - Pareto-Verteilung KW - Copula KW - Stochastischer Prozess KW - Anpassungstest KW - Extreme Value Theory KW - Generalized Pareto Distribution KW - D-Norm KW - Copula KW - Stochastic Process KW - Continuous Sample Path KW - Nonparametric Inference KW - Goodness-of-Fit Test KW - Order Statistics KW - Monte Carlo Simulation KW - Extremwerttheorie Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-127162 N1 - Details sind zu finden unter http://www.ism.ac.jp/editsec/aism/aism-permissions.html und http://www.ism.ac.jp/editsec/aism/aism-info-author.html ER - TY - THES A1 - Hofmann, Daniel T1 - Characterization of the D-Norm Corresponding to a Multivariate Extreme Value Distribution T1 - Eine Charakterisierung der D-Norm einer multivariaten Extremwertverteilung N2 - It is well-known that a multivariate extreme value distribution can be represented via the D-Norm. However not every norm yields a D-Norm. In this thesis a necessary and sufficient condition is given for a norm to define an extreme value distribution. Applications of this theorem includes a new proof for the bivariate case, the Pickands dependence function and the nested logistic model. Furthermore the GPD-Flow is introduced and first insights were given such that if it converges it converges against the copula of complete dependence. N2 - Es ist wohlbekannt dass sich eine multivariate Extremwertverteilung mittels der D-Norm darstellen lässt. Jedoch liefert nicht jede Norm eine D-Norm. In dieser Arbeit wird eine notwendige und hinreichende Bedingung an eine Norm hergeleitet, so dass diese Norm eine Extremwertverteilung definiert. Anwendungen dieses Satzes sind unter anderem einer neuer Beweis für den bivariaten Fall, die Pickands Abhängigkeitsfunktion und das Nestes Logistic Model. Desweiteren wird der GPD-Fluss eingeführt und erste Untersuchungen wurden durchgeführt. Zum Beispiel die Tatsache, dass wenn der GPD-Fluss konvergiert, dann gegen die Copula der kompletten Abhängigkeit. KW - Kopula KW - Extremwertverteilung KW - D-Norm KW - multivariate Extreme Value Distribution KW - GPD KW - GPD-Flow KW - Copula Y1 - 2009 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-41347 ER -