TY - THES A1 - Buchholzer, Hannes T1 - The Semismooth Newton Method for the Solution of Reactive Transport Problems Including Mineral Precipitation-Dissolution Reactions T1 - Das Semismooth-Newtonverfahren für die Lösung von reaktiven Transportproblemen einschließlich Auflösungs-Fällungs-Reaktionen mit Mineralien N2 - In dieser Arbeit befassen wir uns mit einem reaktiven Transportmodell mit Niederschlags-Auflösung Reaktionen das aus den Geowissenschaften stammt. Es besteht aus PDGs, gewöhnlichen Differentialgleichungen, algebraischen Gleichungen und Komplementaritätsbedingungen. Nach Diskretisation dieses Modells erhalten wir eine großes nichtlineares und nichtglattes Gleichungssystem. Wir lösen dieses System mit der semismoothen Newtonverfahren, das von Qi und Sun eingeführt wurde. Der Fokus dieser Arbeit ist in der Anwendung und Konvergenz dieses Algorithmus. Wir zeigen, dass dieser Algorithmus für dieses Problem wohldefiniert ist und sogar lokal quadratisch konvergiert gegen eine BD-reguläre Lösung. Wir befassen uns auch mit den dabei entstehenden linearen Gleichungssystemen, die sehr groß und dünn besetzt sind, und wie sie effizient gelöst werden können. Ein wichtiger Bestandteil dieser Untersuchung ist die Beschränktheit einer gewissen matrixwertigen Funktion, die in einem eigenen Kapitel gezeigt wird. Als Seitenbetrachtung untersuchen wir wie die extremalen Eigenwerte (und Singulärwerte) von gewissen PDE-Operatoren, welche in unserem diskretisierten Modell vorkommen, genau abgeschätzt werden können. N2 - In this thesis we consider a reactive transport model with precipitation dissolution reactions from the geosciences. It consists of PDEs, ODEs, algebraic equations (AEs) and complementary conditions (CCs). After discretization of this model we get a huge nonlinear and nonsmooth equation system. We tackle this system with the semismooth Newton method introduced by Qi and Sun. The focus of this thesis is on the application and convergence of this algorithm. We proof that this algorithm is well defined for this problem and local even quadratic convergent for a BD-regular solution. We also deal with the arising linear equation systems, which are large and sparse, and how they can be solved efficiently. An integral part of this investigation is the boundedness of a certain matrix-valued function, which is shown in a separate chapter. As a side quest we study how extremal eigenvalues (and singular values) of certain PDE-operators, which are involved in our discretized model, can be estimated accurately. KW - Komplementaritätsproblem KW - Newton-Verfahren KW - System von partiellen Differentialgleichungen KW - Angewandte Geowissenschaften KW - semismooth KW - nichtglatt KW - semismooth Newton method KW - complementary problems KW - PDE KW - large-scale KW - Carbon dioxide capture Y1 - 2011 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-65342 ER - TY - THES A1 - Petra, Stefania T1 - Semismooth least squares methods for complementarity problems T1 - Semismoothe Least Squares Methoden für Komplementaritätsprobleme N2 - This thesis is concerned with numerical methods for solving nonlinear and mixed complementarity problems. Such problems arise from a variety of applications such as equilibria models of economics, contact and structural mechanics problems, obstacle problems, discrete-time optimal control problems etc. In this thesis we present a new formulation of nonlinear and mixed complementarity problems based on the Fischer-Burmeister function approach. Unlike traditional reformulations, our approach leads to an over-determined system of nonlinear equations. This has the advantage that certain drawbacks of the Fischer-Burmeister approach are avoided. Among other favorable properties of the new formulation, the natural merit function turns out to be differentiable. To solve the arising over-determined system we use a nonsmooth damped Levenberg-Marquardt-type method and investigate its convergence properties. Under mild assumptions, it can be shown that the global and local fast convergence results are similar to some of the better equation-based method. Moreover, the new method turns out to be significantly more robust than the corresponding equation-based method. For the case of large complementarity problems, however, the performance of this method suffers from the need for solving the arising linear least squares problem exactly at each iteration. Therefore, we suggest a modified version which allows inexact solutions of the least squares problems by using an appropriate iterative solver. Under certain assumptions, the favorable convergence properties of the original method are preserved. As an alternative method for mixed complementarity problems, we consider a box constrained least squares formulation along with a projected Levenberg-Marquardt-type method. To globalize this method, trust region strategies are proposed. Several ingredients are used to improve this approach: affine scaling matrices and multi-dimensional filter techniques. Global convergence results as well as local superlinear/quadratic convergence are shown under appropriate assumptions. Combining the advantages of the new methods, a new software for solving mixed complementarity problems is presented. N2 - Diese Dissertation behandelt numerische Verfahren zur Lösung nichtlinearer und gemischer Komplementaritätsprobleme. Solche Probleme ergeben sich aus einer Vielzahl von Anwendungen wie z.B. ökonomische Gleichgewichtmodelle, Kontakt- und Strukturprobleme der Mechanik, Hindernisprobleme, Probleme der optimalen Steuerung usw.. Als erstes wird eine neue Umformulierung der nichtlinearen und gemischen Komplementaritätsproblemen vorgestellt, die auf der Fischer-Burmeister Funktion basiert. Im Gegensatz zu bekannten Umformulierungen führt unsere zu einem überbestimmten nichtlinearen Gleichungssystem. Dadurch werden bestimmte Nachteile der Fischer-Burmeister Umformulierung vermieden. Eine vorteilhafte Eigenschaft der neuen Formulierung ist die Differenzierbarkeit der Straffunktion. Um das resultierende überbestimmte Gleichungsystem zu lösen benutzen wir eine nichtglattes gedämpftes Levenberg-Marquardt Verfahren und untersuchen dessen Konvergenzeigenschaften. Unter milden Annahmen kann gezeigt werden, dass die globalen und lokalen schnellen Konvergenzresultate der etwas besseren Methoden erhalten bleiben. Außerdem scheint die neue Methode deutlich robuster zu sein als andere Methoden die ebenfalls auf einer Umformulierung der Komplementaritätsprobleme als Gleichungsystem beruhen. Im Falle grosser Komplementaritätsprobleme leidet die Leistung dieser Methode jedoch, da in jedem Iterationsschritt die exakte Lösung eines grossdimensionalem linearem Ausgleichsproblem anfällt. Folglich schlagen wir eine geänderte Version vor, die inexakte Lösungen dieser Ausgleichsprobleme zulässt, durch Verwendung eines iterativen Lösers. Unter bestimmten Annahmen bleiben die vorteilhaften Konvergenzeigenschaften der ursprünglichen Methode erhalten. Als alternative Methode für gemischte Komplementaritätprobleme betrachten wir eine Box-restringierte Umformulierung zusammen mit einem projizierten Levenberg-Marquardt Verfahren. Zu Globalisierungszwecken wird eine Trust-Region Strategie vorgeschlagen. Skalierungmatrizen und mehrdimensionale Filtertechniken werden benutzt, um das Verfahren zu verbessern. Globale Konvergenz, sowie lokal superlineare/quadratische Konvergenz kann unter adäquaten Voraussetzungen gezeigt werden. Schließlich wird eine Software zur Lösung der gemischten Komplementaritätsprobleme, welche die Vorteile der neuen Methoden kombiniert. KW - Komplementaritätsproblem KW - nichtlineare & gemischte Komplementaritätsprobleme KW - nichtglatte Newton-artige Verfahren KW - globale Konvergenz KW - nonlinear and mixed complementarity problems KW - semismooth Newton-type methods KW - nonlinear least squares reformulation KW - global convergence Y1 - 2006 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-18660 ER -