TY - THES A1 - Zott, Maximilian T1 - Extreme Value Theory in Higher Dimensions - Max-Stable Processes and Multivariate Records T1 - Höherdimensionale Extremwerttheorie - Max-Stabile Prozesse und Multivariate Rekorde N2 - Die Extremwerttheorie behandelt die stochastische Modellierung seltener und extremer Ereignisse. Während fundamentale Theorien in der klassischen Stochastik, wie etwa die Gesetze der großen Zahlen oder der zentrale Grenzwertsatz das asymptotische Verhalten der Summe von Zufallsvariablen untersucht, liegt in der Extremwerttheorie der Fokus auf dem Maximum oder dem Minimum einer Menge von Beobachtungen. Die Grenzverteilung des normierten Stichprobenmaximums unter einer Folge von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen kann durch sogenannte max-stabile Verteilungen charakterisiert werden. In dieser Dissertation werden verschiedene Aspekte der Theorie der max-stabilen Zufallsvektoren und stochastischen Prozesse behandelt. Insbesondere wird der Begriff der 'Differenzierbarkeit in Verteilung' eines max-stabilen Prozesses eingeführt und untersucht. Ferner werden 'verallgemeinerte max-lineare Modelle' eingeführt, um einen bekannten max-stabilen Zufallsvektor durch einen max-stabilen Prozess zu interpolieren. Darüber hinaus wird der Zusammenhang von extremwerttheoretischen Methoden mit der Theorie der multivariaten Rekorde hergestellt. Insbesondere werden sogenannte 'vollständige' und 'einfache' Rekorde eingeführt, und deren asymptotisches Verhalten untersucht. N2 - Extreme value theory is concerned with the stochastic modeling of rare and extreme events. While fundamental theories of classical stochastics - such as the laws of small numbers or the central limit theorem - are used to investigate the asymptotic behavior of the sum of random variables, extreme value theory focuses on the maximum or minimum of a set of observations. The limit distribution of the normalized sample maximum among a sequence of independent and identically distributed random variables can be characterized by means of so-called max-stable distributions. This dissertation concerns with different aspects of the theory of max-stable random vectors and stochastic processes. In particular, the concept of 'differentiability in distribution' of a max-stable process is introduced and investigated. Moreover, 'generalized max-linear models' are introduced in order to interpolate a known max-stable random vector by a max-stable process. Further, the connection between extreme value theory and multivariate records is established. In particular, so-called 'complete' and 'simple' records are introduced as well as it is examined their asymptotic behavior. KW - Stochastischer Prozess KW - Extremwertstatistik KW - max-stable process KW - max-linear model KW - Wahrscheinlichkeitsrechnung KW - Rekord Y1 - 2016 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-136614 ER - TY - JOUR A1 - Zillober, Christian T1 - A globally convergent version of the method of moving asymptotes N2 - No abstract available Y1 - 1993 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-31984 ER - TY - CHAP A1 - Zillober, Christian T1 - Sequential convex programming in theory and praxis N2 - In this paper, convex approximation methods, suclt as CONLIN, the method of moving asymptotes (MMA) and a stabilized version of MMA (Sequential Convex Programming), are discussed with respect to their convergence behaviour. In an extensive numerical study they are :finally compared with other well-known optimization methods at 72 examples of sizing problems. Y1 - 1993 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-35513 ER - TY - THES A1 - Zhai, Xiaomin T1 - Design, Development and Evaluation of a Virtual Classroom and Teaching Contents for Bernoulli Stochastics T1 - Design, Entwicklung und Evaluierung einer virtuellen Lernumgebung und des Lehrstoffs für die Bernoulli Stochastik N2 - This thesis is devoted to Bernoulli Stochastics, which was initiated by Jakob Bernoulli more than 300 years ago by his master piece 'Ars conjectandi', which can be translated as 'Science of Prediction'. Thus, Jakob Bernoulli's Stochastics focus on prediction in contrast to the later emerging disciplines probability theory, statistics and mathematical statistics. Only recently Jakob Bernoulli's focus was taken up von Collani, who developed a unified theory of uncertainty aiming at making reliable and accurate predictions. In this thesis, teaching material as well as a virtual classroom are developed for fostering ideas and techniques initiated by Jakob Bernoulli and elaborated by Elart von Collani. The thesis is part of an extensively construed project called 'Stochastikon' aiming at introducing Bernoulli Stochastics as a unified science of prediction and measurement under uncertainty. This ambitious aim shall be reached by the development of an internet-based comprehensive system offering the science of Bernoulli Stochastics on any level of application. So far it is planned that the 'Stochastikon' system (http://www.stochastikon.com/) will consist of five subsystems. Two of them are developed and introduced in this thesis. The first one is the e-learning programme 'Stochastikon Magister' and the second one 'Stochastikon Graphics' that provides the entire Stochastikon system with graphical illustrations. E-learning is the outcome of merging education and internet techniques. E-learning is characterized by the facts that teaching and learning are independent of place and time and of the availability of specially trained teachers. Knowledge offering as well as knowledge transferring are realized by using modern information technologies. Nowadays more and more e-learning environments are based on the internet as the primary tool for communication and presentation. E-learning presentation tools are for instance text-files, pictures, graphics, audio and videos, which can be networked with each other. There could be no limit as to the access to teaching contents. Moreover, the students can adapt the speed of learning to their individual abilities. E-learning is particularly appropriate for newly arising scientific and technical disciplines, which generally cannot be presented by traditional learning methods sufficiently well, because neither trained teachers nor textbooks are available. The first part of this dissertation introduces the state of the art of e-learning in statistics, since statistics and Bernoulli Stochastics are both based on probability theory and exhibit many similar features. Since Stochastikon Magister is the first e-learning programme for Bernoulli Stochastics, the educational statistics systems is selected for the purpose of comparison and evaluation. This makes sense as both disciplines are an attempt to handle uncertainty and use methods that often can be directly compared. The second part of this dissertation is devoted to Bernoulli Stochastics. This part aims at outlining the content of two courses, which have been developed for the anticipated e-learning programme Stochastikon Magister in order to show the difficulties in teaching, understanding and applying Bernoulli Stochastics. The third part discusses the realization of the e-learning programme Stochastikon Magister, its design and implementation, which aims at offering a systematic learning of principles and techniques developed in Bernoulli Stochastics. The resulting e-learning programme differs from the commonly developed e-learning programmes as it is an attempt to provide a virtual classroom that simulates all the functions of real classroom teaching. This is in general not necessary, since most of the e-learning programmes aim at supporting existing classroom teaching. The forth part presents two empirical evaluations of Stochastikon Magister. The evaluations are performed by means of comparisons between traditional classroom learning in statistics and e-learning of Bernoulli Stochastics. The aim is to assess the usability and learnability of Stochastikon Magister. Finally, the fifth part of this dissertation is added as an appendix. It refers to Stochastikon Graphics, the fifth component of the entire Stochastikon system. Stochastikon Graphics provides the other components with graphical representations of concepts, procedures and results obtained or used in the framework of Bernoulli Stochastics. The primary aim of this thesis is the development of an appropriate software for the anticipated e-learning environment meant for Bernoulli Stochastics, while the preparation of the necessary teaching material constitutes only a secondary aim used for demonstrating the functionality of the e-learning platform and the scientific novelty of Bernoulli Stochastics. To this end, a first version of two teaching courses are developed, implemented and offered on-line in order to collect practical experiences. The two courses, which were developed as part of this projects are submitted as a supplement to this dissertation. For the time being the first experience with the e-learning programme Stochastikon Magister has been made. Students of different faculties of the University of Würzburg, as well as researchers and engineers, who are involved in the Stochastikon project have obtained access to Stochastikon Magister via internet. They have registered for Stochastikon Magister and participated in the course programme. This thesis reports on two assessments of these first experiences and the results will lead to further improvements with respect to content and organization of Stochastikon Magister. N2 - Diese Dissertation ist der Bernoulli Stochastik gewidmet, die von Jakob Bernoulli von mehr als 300 Jahren begonnen wurde und zwar mit seinem Hauptwerk 'Ars conjectandi', was mit 'Wissenschaft der Vorhersagen' übersetzt werden kann. Im Zentrum von Jakob Bernoullis Stochastik stehen Vorhersagen im Gegensatz zu den später entstandenen Disziplinen Wahrscheinlichkeitstheorie, Statistik und Mathematische Statistik. Vor Kurzem wurde Jakob Bernoullis Vorschlag von Elart von Collani aufgegriffen, der daraus eine einheitliche Theorie der Unsicherheit entwickelte mit dem Ziel zuverlässige und genaue Vorhersagen zu erlauben. In dieser Dissertation wird eine virtuelle Lernumgebung und der entsprechende Lehrstoff für die Ideen und Resultate von Jakob Bernoulli und Elart von Collani entwickelt. Die Dissertation ist Teil des groß angelegten Projekts 'Stochastikon' dessen Ziel es ist, die Bernoulli Stochastik als allgemeine Wissenschaft der Vorhersage und des Messens unter Unsicherheit zu etablieren. Dieses ehrgeizige Ziel soll mit Hilfe eines umfassenden Internet-Systems erreicht werden, das die Bernoulli Stochastik für alle Gebiete der Anwendung zur Verfügung stellt. Zur Zeit besteht das Stochastikon-System (http://www.stochastikon.com/) aus fünf Teilsystemen. Zwei dieser Systeme sind im Rahmen dieser Dissertation entstanden. Das erste ist das E-Learning Programm 'Stochastikon Magister' und das zweite heißt 'Stochastikon Graphics'. Es beliefert das gesamte Stochastikon Systems mit grafischen Darstellungen. E-Learning entsteht durch Anwendung moderner Informationstechnologien auf die Ausbildung. E-Learning zeichnet sich dadurch aus, dass Lehren und Lernen unabhängig von Ort und Zeit und vom Vorhandensein von speziell ausgebildeten Lehrern ist. Das Angebot und Übermittlung von Wissen erfolgt mit Hilfe der modernen Informationstechnologien. Heutzutage basieren immer mehr E-Learning Programme auf dem Internet, das zum wichtigstes Mittel der Wissensvermittlung und Wissensdarstellung geworden ist. Für die Darstellung des Lehrstoffes im Rahmen des E-Learning existieren kaum Grenzen und darüber hinaus können die Studenten die Lerngeschwindigkeit ihren eigenen Bedürfnissen anpassen. E-Learning ist dabei besonders geeignet für neue wissenschaftliche und technische Disziplinen, die mangels Lehrer und Lehrmaterialien nicht mit Hilfe traditioneller Lernmethoden unterrichtet werden können. Im ersten Teil der Dissertation wird der State of the Art im Bereich der E-Learning Porgramme im Fach Statistik dargestellt, da Statistik und Bernoulli Stochastik beide auf der Wahrscheinlichkeitstheorie basieren und daher viele Ähnlichkeiten aufweisen. Stochastikon Magister ist das erste E-Learning Programm im Rahmen der Bernoulli Stochastik und daher werden zum Vergleich und zur Evaluierung Lehrsysteme aus der Statistik verwendet. Dies ist schon deshalb sinnvoll, weil beide Diszipline sich mit der Unsicherheit beschäftigen und in vielen Fällen die entsprechenden Methoden direkt miteinander verglichen werden können. Der zweite Teil der Dissertation enthält eine kurze Einführung in die Bernoulli Stochastik und zwar anhand von zwei Kursen die im Rahmen der Dissertation entwickelt wurden. Dieser Teil soll die Schwierigkeiten veranschaulichen, die beim Lehren, Verstehen und Anwenden der Bernoulli Stochastik überwunden werden müssen. Im dritten Teil der Dissertation wird die Realisierung des E-Learning Programms Stochastikon Magister diskutiert. Charakteristisch für das E-Learning Programm Stochastikon Magister ist der Versuch ein vollständiges virtuelles Klassenzimmer zu verwirklichen in dem alle Funktionen des traditionellen Schulunterrichts simuliert werden. Dies ist im Allgemeinen nicht notwendig, da das Ziel der meisten E-Learning Programme nur aus der Unterstützung eines traditionellen Lehrprogrammes besteht. Der vierte Teil der Dissertation besteht aus einer empirischen Evaluation des Stochastikon Magisters. Dabei wird eine traditionelle Statistikausbildung mit der Ausbildung in Bernoulli Stochastik auf der Grundlage des E-Learning Programms Stochastikon Magister verglichen. Ziel ist es die Bedienungsfreundlichkeit des Magisters und die Erlernbarkeit der Bernoulli Stochastik nachzuweisen. Der fünfte Teil schließlich besteht aus einem Anhang, der die fünfte Komponente des Stochastik Systems (Stochasticon Graphics) beschreibt. Stochasticon Graphics sorgt dafür, dass alle übrigen Komponenten mit graphischen Abbildungen der Konzepte, Verfahren und Resultate versorgt werden. Das Hauptziel dieser Dissertation ist die Entwicklung geeigneter Software für eine E-Learning-Umgebung für das Fach Bernoulli Stochastik. Die Bereitstellung des entsprechenden Lehrstoff stellt dabei ein sekundäres, aber notwendiges Ziel dar. Notwendig um vor allem die Funktionalität der E-Learning Plattform und die wissenschaftliche Neuheit der Bernoulli Stochastik demonstrieren zu können. Dazu wurden erste Versionen von zwei Kursen entwickelt und on-line angeboten, um Erfahrungen zu sammeln. Die beiden Kurse, die im Rahmen dieser Dissertation entwickelt worden sind, sind als Anhang der Dissertation beigefügt. Zur Zeit werden die ersten Erfahrungen mit dem E-Learning Programm Stochastikon Magister gemacht. Studenten verschiedener Fakultäten der Universität Würzburg aber auch Wissenschaftler und Techniker, die im Rahmen des Stochastikon Projekts mitarbeiten, haben die Kurse belegt und absolviert. Die Ergebnisse dieser ersten Erfahrungen werden in der Dissertation dargestellt und sie werden zu weiteren Verbesserungen des E-Learning Programms führen. KW - Moment KW - Wahrscheinlichkeitsverteilung KW - E-Learning KW - Stochastik KW - Vorhersagetheorie KW - Unsicherheit KW - Zufall KW - Ignoranz KW - Bernoulli Raum KW - Vorhersageverfahren KW - Bernoulli KW - Jakob KW - Uncertainty KW - Randomness KW - Ignorance KW - Bernoulli Space KW - Prediction Procedure Y1 - 2010 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-56106 ER - TY - THES A1 - Zenk, Markus T1 - On Numerical Methods for Astrophysical Applications T1 - Über numerische Methoden für astrophysikalische Anwendungen N2 - Diese Arbeit befasst sich mit der Approximation der Lösungen von Modellen zur Beschreibung des Strömungsverhaltens in Atmosphären. Im Speziellen umfassen die hier behandelten Modelle die kompressiblen Euler Gleichungen der Gasdynamik mit einem Quellterm bezüglich der Gravitation und die Flachwassergleichungen mit einem nicht konstanten Bodenprofil. Verschiedene Methoden wurden bereits entwickelt um die Lösungen dieser Gleichungen zu approximieren. Im Speziellen geht diese Arbeit auf die Approximation von Lösungen nahe des Gleichgewichts und, im Falle der Euler Gleichungen, bei kleinen Mach Zahlen ein. Die meisten numerischen Methoden haben die Eigenschaft, dass die Qualität der Approximation sich mit der Anzahl der Freiheitsgrade verbessert. In der Praxis werden deswegen diese numerischen Methoden auf großen Computern implementiert um eine möglichst hohe Approximationsgüte zu erreichen. Jedoch sind auch manchmal diese großen Maschinen nicht ausreichend, um die gewünschte Qualität zu erreichen. Das Hauptaugenmerk dieser Arbeit ist darauf gerichtet, die Qualität der Approximation bei gleicher Anzahl von Freiheitsgrade zu verbessern. Diese Arbeit ist im Zusammenhang einer Kollaboration zwischen Prof. Klingenberg des Mathemaitschen Instituts in Würzburg und Prof. Röpke des Astrophysikalischen Instituts in Würzburg entstanden. Das Ziel dieser Kollaboration ist es, Methoden zur Berechnung von stellarer Atmosphären zu entwickeln. In dieser Arbeit werden vor allem zwei Problemstellungen behandelt. Die erste Problemstellung bezieht sich auf die akkurate Approximation des Quellterms, was zu den so genannten well-balanced Schemata führt. Diese erlauben genaue Approximationen von Lösungen nahe des Gleichgewichts. Die zweite Problemstellung bezieht sich auf die Approximation von Strömungen bei kleinen Mach Zahlen. Es ist bekannt, dass Lösungen der kompressiblen Euler Gleichungen zu Lösungen der inkompressiblen Euler Gleichungen konvergieren, wenn die Mach Zahl gegen null geht. Klassische numerische Schemata zeigen ein stark diffusives Verhalten bei kleinen Mach Zahlen. Das hier entwickelte Schema fällt in die Kategorie der asymptotic preserving Schematas, d.h. das numerische Schema ist auf einem diskrete Level kompatibel mit dem auf dem Kontinuum gezeigten verhalten. Zusätzlich wird gezeigt, dass die Diffusion des hier entwickelten Schemas unabhängig von der Mach Zahl ist. In Kapitel 3 wird ein HLL approximativer Riemann Löser für die Approximation der Lösungen der Flachwassergleichungen mit einem nicht konstanten Bodenprofil angewendet und ein well-balanced Schema entwickelt. Die meisten well-balanced Schemata für die Flachwassergleichungen behandeln nur den Fall eines Fluids im Ruhezustand, die so genannten Lake at Rest Lösungen. Hier wird ein Schema entwickelt, welches sich mit allen Gleichgewichten befasst. Zudem wird eine zweiter Ordnung Methode entwickelt, welche im Gegensatz zu anderen in der Literatur nicht auf einem iterativen Verfahren basiert. Numerische Experimente werden durchgeführt um die Vorteile des neuen Verfahrens zu zeigen. In Kapitel 4 wird ein Suliciu Relaxations Löser angepasst um die hydrostatischen Gleichgewichte der Euler Gleichungen mit einem Gravitationspotential aufzulösen. Die Gleichungen der hydrostatischen Gleichgewichte sind unterbestimmt und lassen deshalb keine Eindeutigen Lösungen zu. Es wird jedoch gezeigt, dass das neue Schema für eine große Klasse dieser Lösungen die well-balanced Eigenschaft besitzt. Für bestimmte Klassen werden Quadraturformeln zur Approximation des Quellterms entwickelt. Es wird auch gezeigt, dass das Schema robust, d.h. es erhält die Positivität der Masse und Energie, und stabil bezüglich der Entropieungleichung ist. Die numerischen Experimente konzentrieren sich vor allem auf den Einfluss der Quadraturformeln auf die well-balanced Eigenschaften. In Kapitel 5 wird ein Suliciu Relaxations Schema angepasst für Simulationen im Bereich kleiner Mach Zahlen. Es wird gezeigt, dass das neue Schema asymptotic preserving und die Diffusion kontrolliert ist. Zudem wird gezeigt, dass das Schema für bestimmte Parameter robust ist. Eine Stabilität wird aus einer Chapman-Enskog Analyse abgeleitet. Resultate numerische Experimente werden gezeigt um die Vorteile des neuen Verfahrens zu zeigen. In Kapitel 6 werden die Schemata aus den Kapiteln 4 und 5 kombiniert um das Verhalten des numerischen Schemas bei Flüssen mit kleiner Mach Zahl in durch die Gravitation geschichteten Atmosphären zu untersuchen. Es wird gezeigt, dass das Schema well-balanced ist. Die Robustheit und die Stabilität werden analog zu Kapitel 5 behandelt. Auch hier werden numerische Tests durchgeführt. Es zeigt sich, dass das neu entwickelte Schema in der Lage ist, die Dynamiken besser Aufzulösen als vor der Anpassung. Das Kapitel 7 beschäftigt sich mit der Entwicklung eines multidimensionalen Schemas basierend auf der Suliciu Relaxation. Jedoch ist die Arbeit an diesem Ansatz noch nicht beendet und numerische Resultate können nicht präsentiert werden. Es wird aufgezeigt, wo sich die Schwächen dieses Ansatzes befinden und weiterer Entwicklungsbedarf besteht. N2 - This work is concerned with the numerical approximation of solutions to models that are used to describe atmospheric or oceanographic flows. In particular, this work concen- trates on the approximation of the Shallow Water equations with bottom topography and the compressible Euler equations with a gravitational potential. Numerous methods have been developed to approximate solutions of these models. Of specific interest here are the approximations of near equilibrium solutions and, in the case of the Euler equations, the low Mach number flow regime. It is inherent in most of the numerical methods that the quality of the approximation increases with the number of degrees of freedom that are used. Therefore, these schemes are often run in parallel on big computers to achieve the best pos- sible approximation. However, even on those big machines, the desired accuracy can not be achieved by the given maximal number of degrees of freedom that these machines allow. The main focus in this work therefore lies in the development of numerical schemes that give better resolution of the resulting dynamics on the same number of degrees of freedom, compared to classical schemes. This work is the result of a cooperation of Prof. Klingenberg of the Institute of Mathe- matics in Wu¨rzburg and Prof. R¨opke of the Astrophysical Institute in Wu¨rzburg. The aim of this collaboration is the development of methods to compute stellar atmospheres. Two main challenges are tackled in this work. First, the accurate treatment of source terms in the numerical scheme. This leads to the so called well-balanced schemes. They allow for an accurate approximation of near equilibrium dynamics. The second challenge is the approx- imation of flows in the low Mach number regime. It is known that the compressible Euler equations tend towards the incompressible Euler equations when the Mach number tends to zero. Classical schemes often show excessive diffusion in that flow regime. The here devel- oped scheme falls into the category of an asymptotic preserving scheme, i.e. the numerical scheme reflects the behavior that is computed on the continuous equations. Moreover, it is shown that the diffusion of the numerical scheme is independent of the Mach number. In chapter 3, an HLL-type approximate Riemann solver is adapted for simulations of the Shallow Water equations with bottom topography to develop a well-balanced scheme. In the literature, most schemes only tackle the equilibria when the fluid is at rest, the so called Lake at rest solutions. Here a scheme is developed to accurately capture all the equilibria of the Shallow Water equations. Moreover, in contrast to other works, a second order extension is proposed, that does not rely on an iterative scheme inside the reconstruction procedure, leading to a more efficient scheme. In chapter 4, a Suliciu relaxation scheme is adapted for the resolution of hydrostatic equilibria of the Euler equations with a gravitational potential. The hydrostatic relations are underdetermined and therefore the solutions to that equations are not unique. However, the scheme is shown to be well-balanced for a wide class of hydrostatic equilibria. For specific classes, some quadrature rules are computed to ensure the exact well-balanced property. Moreover, the scheme is shown to be robust, i.e. it preserves the positivity of mass and energy, and stable with respect to the entropy. Numerical results are presented in order to investigate the impact of the different quadrature rules on the well-balanced property. In chapter 5, a Suliciu relaxation scheme is adapted for the simulations of low Mach number flows. The scheme is shown to be asymptotic preserving and not suffering from excessive diffusion in the low Mach number regime. Moreover, it is shown to be robust under certain parameter combinations and to be stable from an Chapman-Enskog analysis. Numerical results are presented in order to show the advantages of the new approach. In chapter 6, the schemes developed in the chapters 4 and 5 are combined in order to investigate the performance of the numerical scheme in the low Mach number regime in a gravitational stratified atmosphere. The scheme is shown the be well-balanced, robust and stable with respect to a Chapman-Enskog analysis. Numerical tests are presented to show the advantage of the newly proposed method over the classical scheme. In chapter 7, some remarks on an alternative way to tackle multidimensional simulations are presented. However no numerical simulations are performed and it is shown why further research on the suggested approach is necessary. KW - Strömung KW - Numerical Methods KW - Hyperbolic Partial Differential Equations KW - Well-Balanced KW - Asymptotic Preserving KW - Atmosphäre KW - Mathematisches Modell KW - PDE Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-162669 ER - TY - THES A1 - Wurst, Jan-Eric T1 - Hp-Finite Elements for PDE-Constrained Optimization N2 - Diese Arbeit behandelt die hp-Finite Elemente Methode (FEM) für linear quadratische Optimal-steuerungsprobleme. Dabei soll ein Zielfunktional, welches die Entfernung zu einem angestrebten Zustand und hohe Steuerungskosten (als Regularisierung) bestraft, unter der Nebenbedingung einer elliptischen partiellen Differentialgleichung minimiert werden. Bei der Anwesenheit von Steuerungsbeschränkungen können die notwendigen Bedingungen erster Ordnung, die typischerweise für numerische Lösungsverfahren genutzt werden, als halbglatte Projektionsformel formuliert werden. Folglich sind optimale Lösungen oftmals auch nicht-glatt. Die Technik der hp-Diskretisierung berücksichtigt diese Tatsache und approximiert raue Funktionen auf feinen Gittern, während Elemente höherer Ordnung auf Gebieten verwendet werden, auf denen die Lösung glatt ist. Die erste Leistung dieser Arbeit ist die erfolgreiche Anwendung der hp-FEM auf zwei verwandte Problemklassen: Neumann- und Interface-Steuerungsprobleme. Diese werden zunächst mit entsprechenden a-priori Verfeinerungsstrategien gelöst, mit der randkonzentrierten (bc) FEM oder interface konzentrierten (ic) FEM. Diese Strategien generieren Gitter, die stark in Richtung des Randes beziehungsweise des Interfaces verfeinert werden. Um für beide Techniken eine algebraische Reduktion des Approximationsfehlers zu beweisen, wird eine elementweise interpolierende Funktion konstruiert. Außerdem werden die lokale und globale Regularität von Lösungen behandelt, weil sie entscheidend für die Konvergenzgeschwindigkeit ist. Da die bc- und ic- FEM kleine Polynomgrade für Elemente verwenden, die den Rand beziehungsweise das Interface berühren, können eine neue L2- und L∞-Fehlerabschätzung hergeleitet werden. Letztere bildet die Grundlage für eine a-priori Strategie zum Aufdatieren des Regularisierungsparameters im Zielfunktional, um Probleme mit bang-bang Charakter zu lösen. Zudem wird die herkömmliche hp-Idee, die daraus besteht das Gitter geometrisch in Richtung der Ecken des Gebiets abzustufen, auf die Lösung von Optimalsteuerungsproblemen übertragen (vc-FEM). Es gelingt, Regularität in abzählbar normierten Räumen für die Variablen des gekoppelten Optimalitätssystems zu zeigen. Hieraus resultiert die exponentielle Konvergenz im Bezug auf die Anzahl der Freiheitsgrade. Die zweite Leistung dieser Arbeit ist die Entwicklung einer völlig adaptiven hp-Innere-Punkte-Methode, die Probleme mit verteilter oder Neumann Steuerung lösen kann. Das zugrundeliegende Barriereproblem besitzt ein nichtlineares Optimilitätssystem, das eine numerische Herausforderung beinhaltet: die stabile Berechnung von Integralen über Funktionen mit möglichen Singularitäten in Elementen höherer Ordnung. Dieses Problem wird dadurch gelöst, dass die Steuerung an den Integrationspunkten überwacht wird. Die Zulässigkeit an diesen Punkten wird durch einen Glättungsschritt garantiert. In dieser Arbeit werden sowohl die Konvergenz eines Innere-Punkte-Verfahrens mit Glättungsschritt als auch a-posteriori Schranken für den Diskretisierungsfehler gezeigt. Dies führt zu einem adaptiven Lösungsalgorithmus, dessen Gitterverfeinerung auf der Entwicklung der Lösung in eine Legendre Reihe basiert. Hierbei dient das Abklingverhalten der Koeffizienten als Glattheitsindikator und wird für die Entscheidung zwischen h- und p-Verfeinerung herangezogen. N2 - This thesis deals with the hp-finite element method (FEM) for linear quadratic optimal control problems. Here, a tracking type functional with control costs as regularization shall be minimized subject to an elliptic partial differential equation. In the presence of control constraints, the first order necessary conditions, which are typically used to find optimal solutions numerically, can be formulated as a semi-smooth projection formula. Consequently, optimal solutions may be non-smooth as well. The hp-discretization technique considers this fact and approximates rough functions on fine meshes while using higher order finite elements on domains where the solution is smooth. The first main achievement of this thesis is the successful application of hp-FEM to two related problem classes: Neumann boundary and interface control problems. They are solved with an a-priori refinement strategy called boundary concentrated (bc) FEM and interface concentrated (ic) FEM, respectively. These strategies generate grids that are heavily refined towards the boundary or interface. We construct an elementwise interpolant that allows to prove algebraic decay of the approximation error for both techniques. Additionally, a detailed analysis of global and local regularity of solutions, which is critical for the speed of convergence, is included. Since the bc- and ic-FEM retain small polynomial degrees for elements touching the boundary and interface, respectively, we are able to deduce novel error estimates in the L2- and L∞-norm. The latter allows an a-priori strategy for updating the regularization parameter in the objective functional to solve bang-bang problems. Furthermore, we apply the traditional idea of the hp-FEM, i.e., grading the mesh geometrically towards vertices of the domain, for solving optimal control problems (vc-FEM). In doing so, we obtain exponential convergence with respect to the number of unknowns. This is proved with a regularity result in countably normed spaces for the variables of the coupled optimality system. The second main achievement of this thesis is the development of a fully adaptive hp-interior point method that can solve problems with distributed or Neumann control. The underlying barrier problem yields a non-linear optimality system, which poses a numerical challenge: the numerically stable evaluation of integrals over possibly singular functions in higher order elements. We successfully overcome this difficulty by monitoring the control variable at the integration points and enforcing feasibility in an additional smoothing step. In this work, we prove convergence of an interior point method with smoothing step and derive a-posteriori error estimators. The adaptive mesh refinement is based on the expansion of the solution in a Legendre series. The decay of the coefficients serves as an indicator for smoothness that guides between h- and p-refinement. KW - Finite-Elemente-Methode KW - Optimale Kontrolle KW - Elliptische Differentialgleichung KW - finite elements KW - optimal control KW - higher order methods KW - partial differetial equations Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-115027 SN - 978-3-95826-024-5 (print) SN - 978-3-95826-025-2 (online) PB - Würzburg University Press CY - Würzburg ER - TY - THES A1 - Wongkaew, Suttida T1 - On the control through leadership of multi-agent systems T1 - Die Steuerung durch den Hauptagent von Multi-Agenten -Systemen N2 - The investigation of interacting multi-agent models is a new field of mathematical research with application to the study of behavior in groups of animals or community of people. One interesting feature of multi-agent systems is collective behavior. From the mathematical point of view, one of the challenging issues considering with these dynamical models is development of control mechanisms that are able to influence the time evolution of these systems. In this thesis, we focus on the study of controllability, stabilization and optimal control problems for multi-agent systems considering three models as follows: The first one is the Hegselmann Krause opinion formation (HK) model. The HK dynamics describes how individuals' opinions are changed by the interaction with others taking place in a bounded domain of confidence. The study of this model focuses on determining feedback controls in order to drive the agents' opinions to reach a desired agreement. The second model is the Heider social balance (HB) model. The HB dynamics explains the evolution of relationships in a social network. One purpose of studying this system is the construction of control function in oder to steer the relationship to reach a friendship state. The third model that we discuss is a flocking model describing collective motion observed in biological systems. The flocking model under consideration includes self-propelling, friction, attraction, repulsion, and alignment features. We investigate a control for steering the flocking system to track a desired trajectory. Common to all these systems is our strategy to add a leader agent that interacts with all other members of the system and includes the control mechanism. Our control through leadership approach is developed using classical theoretical control methods and a model predictive control (MPC) scheme. To apply the former method, for each model the stability of the corresponding linearized system near consensus is investigated. Further, local controllability is examined. However, only in the Hegselmann-Krause opinion formation model, the feedback control is determined in order to steer agents' opinions to globally converge to a desired agreement. The MPC approach is an optimal control strategy based on numerical optimization. To apply the MPC scheme, optimal control problems for each model are formulated where the objective functions are different depending on the desired objective of the problem. The first-oder necessary optimality conditions for each problem are presented. Moreover for the numerical treatment, a sequence of open-loop discrete optimality systems is solved by accurate Runge-Kutta schemes, and in the optimization procedure, a nonlinear conjugate gradient solver is implemented. Finally, numerical experiments are performed to investigate the properties of the multi-agent models and demonstrate the ability of the proposed control strategies to drive multi-agent systems to attain a desired consensus and to track a given trajectory. N2 - Die Untersuchung von interagierende Multiagent-Modellen ist ein neues mathematisches Forschungsfeld, das sich mit dem Gruppenverhalten von Tieren beziehungsweise Sozialverhalten von Menschen. Eine interessante Eigenschaft der Multiagentensysteme ist kollektives Verhalten. Eine der herausfordernden Themen, die sich mit diesen dynamischen Modellen befassen, ist in der mathematischen Sicht eine Entwicklung der Regelungsmechanismen, die die Zeitevolution dieser Systemen beeinflussen können. In der Doktorarbeit fokussieren wir uns hauptsächlich auf die Studie von Problemen der Steuerbarkeit, Stabilität und optimalen Regelung für Multiagentensysteme anhand drei Modellen wie folgt: Das erste ist die Hegselmann- Krause opinion formation Modell. Die HK-Dynamik beschreibt die Änderung der Meinungen von einzelnen Personen aufgrund der Interaktionen mit den Anderen. Die Studie dieses Model fokussiert auf bestimmte Regelungen, um die Meinungen der Agenten zu betreiben, damit eine gewünschte Zustimmung erreicht wird. Das zweite Model ist das Heider social balance (HB) Modell. Die HB-Dynamik beschreibt die Evolution von Beziehungen in einem sozialen Netzwerk. Ein Ziel der Untersuchung dieses Systems ist die Konstruktion der Regelungsfunktion um die Beziehungen zu steuern, damit eine Freundschaft erreicht wird. Das dritte Modell ist ein Schar-Modell, das in biologischen Systemen beobachteten kollektive Bewegung beschreibt. Das Schar-Model unter Berücksichtigung beinhaltet Selbstantrieb, Friktion, Attraktion Repulsion und Anpassungsfähigkeiten. Wir untersuchen einen Regler für die Steuerung des Schar-Systems, um eine gewünschte Trajektorie zu verfolgen. Üblich wie alle dieser Systeme soll laut unsere Strategie ein Hauptagent, der sich mit alle anderen Mitgliedern des Systems interagieren, hinzugefügt werden und das Regelungsmechanismus inkludiert werden. Unserer Regelung anhand dem Vorgehen mit Führungsverhalten ist unter Verwendung von klassischen theoretischen Regelungsmethode und ein Schema der modellpr ädiktiven Regelung entwickelt. Zur Ausführung der genannten Methode wird für jedes Modell die Stabilität der korrespondierenden Linearsystem in der Nähe von Konsensus untersucht. Ferner wird die lokale Regelbarkeit geprüft. Nur in dem Hegselmann-Krause opinion formation Modell. Der Regler wird so bestimmt, dass die Meinungen der Agenten gesteuert werden können. Dadurch konvergiert es global zu eine gewünschten Zustimmung. Die MPC-Vorgehensweise ist eine optimale Regelung Strategie, die auf numerische Optimierung basiert. Zu Verwendung des MPC-Shema werden die optimalen Regelungsproblemen für jedes Modell formuliert, wo sich die objektive Funktionen in Abhängigkeit von den gewünschten objective des Problems unterscheidet. Die erforderliche Optimalitätsbedingungen erster Ordnung für jedes Problem sind präsentiert. Auÿerdem für die numerische Prozess, eine Sequenz von offenen diskreten Optimalitätssystemen ist nach dem expliziten Runge-Kutta Schema gelöst. In dem Optimierungsverfahren ist ein nicht linear konjugierter Gradientlöser umgesetzt. Schlieÿlich sind numerische Experimenten in der Lage, die Eigenschaften der Multiagent-Modellen zu untersuchen und die Fähigkeiten der gezielten Regelstrategie zu beweisen. Die Strategie nutzt zu betreiben Multiagentensysteme, um einen gewünschten Konsensus zu erreichen und eine gegebene Trajektorie zu verfolgen. KW - Controllability KW - Optimal control problem KW - Multi-agent systems KW - Mehragentensystem KW - Optimale Kontrolle Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-120914 ER - TY - THES A1 - Wolfrom, Martin T1 - Isoparametric hypersurfaces with a homogeneous focal manifold T1 - Isoparametrische Hyperflächen mit einer homogenen Fokalmannigfaltigkeit N2 - The classification of isoparametric hypersurfaces in spheres with a homogeneous focal manifold is a project that has been started by Linus Kramer. It extends results by E. Cartan and Hsiang and Lawson. Kramer does most part of this classification in his Habilitationsschrift. In particular he obtains a classification for the cases where the homogeneous focal manifold is at least 2-connected. Results of E. Cartan, Dorfmeister and Neher, and Takagi also solve parts of the classification problem. This thesis completes the classification. We classify all closed isoparametric hypersurfaces in spheres with g>2 distinct principal curvatures one of whose multiplicities is 2 such that the lower dimensional focal manifold is homogeneous. The methods are essentially the same as in Kramer's 'Habilitationsschrift'. The cohomology of the focal manifolds in question is known. This leads to two topological classification problems, which are also solved in this thesis. We classify simply connected homogeneous spaces of compact Lie groups with the same integral cohomology ring as a product of spheres S^2 x S^m and m odd on the one hand and a truncated polynomial ring Q[a]/(a^m) with one generator of even degree and m > 1 as its rational cohomology ring on the other hand. N2 - Die Klassifikation der isoparametrischen Hyperflächen mit einer homogenen Fokalmannigfaltigkeit ist ein Projekt, das von Linus Kramer initiiert wurde. Es verallgemeinert Ergebnisse von E. Cartan und von Hsiang und Lawson. Kramer vollzieht den Großteil dieser Klassifikation in seiner Habilitationsschrift. Genauer gesagt, erhält er eine Klassifikation für die Fälle, in denen die homogene Fokalmannigfaltigkeit mindestens 2-zusammenhängend ist. Ergebnisse von E. Cartan, von Dorfmeister und Neher und von Takagi lösen ebenfalls Teile des Problems. Diese Dissertation schließt die Klassifikation ab. Wir klassifizieren alle abgeschlossenen isoparametrischen Hyperflächen in Sphären mit g>2 verschiedenen Hauptkrümmungen, deren eine Vielfachheit 2 ist, wobei die der Dimension nach kleinere Fokalmannigfaltigkeit homogen ist. Die Methoden sind im Wesentlichen die gleichen wie in Kramers Habilitationsschrift. Die Kohomologie der fraglichen Fokalmannigfaltigkeiten ist bekannt. Dies führt zu zwei topologischen Klassifikationsproblemen, die ebenfalls in dieser Dissertation gelöst werden. Wir klassifizieren einfach zusammenhängende homogene Räume kompakter Lie-Gruppen, welche einerseits den gleichen ganzzahligen Kohomologiering haben wie ein Sphären-Produkt S^2 x S^m, m ungerade, oder andererseits einen abgeschnittenen Polynomring Q[a]/(a^m) in einem Erzeuger von geradem Grad und m>1 als Kohomologiering haben. KW - Isoparametrische Hyperfläche KW - Sphäre KW - Fokalmannigfaltigkeit KW - Klassifikation KW - Homogener Raum KW - Kompakte Lie-Gruppe KW - Kohomologie Y1 - 2002 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-3505 ER - TY - THES A1 - Wissel, Julia T1 - A new biased estimator for multivariate regression models with highly collinear variables T1 - Ein neuer verzerrter Schätzer für lineare Regressionsmodelle mit stark korrelierten Regressoren N2 - Es ist wohlbekannt, dass der Kleinste-Quadrate-Schätzer im Falle vorhandener Multikollinearität eine große Varianz besitzt. Eine Möglichkeit dieses Problem zu umgehen, besteht in der Verwendung von verzerrten Schätzern, z.B den Ridge-Schätzer. In dieser Arbeit wird ein neues Schätzverfahren vorgestellt, dass auf Addition einer kleinen Konstanten omega auf die Regressoren beruht. Der dadurch erzeugte Schätzer wird in Abhängigkeit von omega beschrieben und es wird gezeigt, dass dessen Mean Squared Error kleiner ist als der des Kleinste-Quadrate-Schätzers im Falle von stark korrelierten Regressoren. N2 - It is well known, that the least squares estimator performs poorly in the presence of multicollinearity. One way to overcome this problem is using biased estimators, e.g. ridge regression estimators. In this study an estimation procedure is proposed based on adding a small quantity omega on some or each regressor. The resulting biased estimator is described in dependence of omega and furthermore it is shown that its mean squared error is smaller than the one corresponding to the least squares estimator in the case of highly correlated regressors. KW - Starke Kopplung KW - Korrelation KW - Regressionsanalyse KW - Kollinearität KW - Ridge-Regression KW - Lineare Regression KW - regression KW - ridge regression KW - collinearity KW - bias Y1 - 2009 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-36383 ER - TY - THES A1 - Wisheckel, Florian T1 - Some Applications of D-Norms to Probability and Statistics T1 - Einige Anwendungen von D-Normen in Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik N2 - This cumulative dissertation is organized as follows: After the introduction, the second chapter, based on “Asymptotic independence of bivariate order statistics” (2017) by Falk and Wisheckel, is an investigation of the asymptotic dependence behavior of the components of bivariate order statistics. We find that the two components of the order statistics become asymptotically independent for certain combinations of (sequences of) indices that are selected, and it turns out that no further assumptions on the dependence of the two components in the underlying sample are necessary. To establish this, an explicit representation of the conditional distribution of bivariate order statistics is derived. Chapter 3 is from “Conditional tail independence in archimedean copula models” (2019) by Falk, Padoan and Wisheckel and deals with the conditional distribution of an Archimedean copula, conditioned on one of its components. We show that its tails are independent under minor conditions on the generator function, even if the unconditional tails were dependent. The theoretical findings are underlined by a simulation study and can be generalized to Archimax copulas. “Generalized pareto copulas: A key to multivariate extremes” (2019) by Falk, Padoan and Wisheckel lead to Chapter 4 where we introduce a nonparametric approach to estimate the probability that a random vector exceeds a fixed threshold if it follows a Generalized Pareto copula. To this end, some theory underlying the concept of Generalized Pareto distributions is presented first, the estimation procedure is tested using a simulation and finally applied to a dataset of air pollution parameters in Milan, Italy, from 2002 until 2017. The fifth chapter collects some additional results on derivatives of D-norms, in particular a condition for the existence of directional derivatives, and multivariate spacings, specifically an explicit formula for the second-to-last bivariate spacing. N2 - Diese kumulative Dissertation ist wie folgt aufgebaut: Nach der Einleitung wird im zweiten Kapitel, welches auf “Asymptotic independence of bivariate order statistics” (2017) von Falk und Wisheckel beruht, die asymptotische Abhängigkeitsstruktur von bivariaten Ordnungsstatistiken untersucht. Dazu wird eine explizite Darstellung der bedingten Verteilung einer bivariaten Ordnungsstatistik hergeleitet. Kapitel 3, basierend auf “Conditional tail independence in archimedean copula models” (2019) von Falk, Padoan und Wisheckel, zeigt, dass unter schwachen Anforderungen an den Generator einer Archimedischen Copula die übrigen Komponenten unabhängig werden, wenn man auf eine davon bedingt. Das insbesondere auch dann, wenn die Komponenten ohne die Bedingung abhängig waren. Die theoretischen Erkenntnisse werden anhand von Simulationsergebnissen verdeutlicht. “Generalized pareto copulas: A key to multivariate extremes” (2019) von Falk, Padoan und Wisheckel liefert Kapitel 4. Es wird ein nichtparametrischer Ansatz vorgestellt um die Überschreitungswahrscheinlichkeit eines Zufallsvektors über einen festen, hohen Schwellenwert zu schätzen, wenn dieser einer verallgemeinerten Pareto Copula folgt. Das Verfahren wird in den theoretischen Rahmen eingebettet, anhand einer Simulation validiert und auf Luftverschmutzungsdaten in Mailand, Italien, von 2002 bis 2017 angewendet. Im fünften Kapitel werden einige weitere Ergebnisse gesammelt: es geht um Ableitungen von D-Normen, insbesondere um eine Bedingung, die die Existenz der Richtungsableitungen sicherstellt. Außerdem werden multivariate Spacings thematisiert. KW - Kopula KW - Bedingte Unabhängigkeit KW - Extremwertstatistik KW - D-Norms KW - Multivariate order statistics KW - Archimedean copula KW - Extreme value copula KW - Exceedance Stability KW - Generalized Pareto copula KW - Asymptotic independence KW - multivariate generalized Pareto distribution KW - confidence interval KW - Pareto-Verteilung KW - Copula Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-212140 ER -