TY - THES A1 - Winkler, Marco T1 - On the Role of Triadic Substructures in Complex Networks T1 - Über die Bedeutung von Dreiecksstrukturen in komplexen Netzwerken N2 - In the course of the growth of the Internet and due to increasing availability of data, over the last two decades, the field of network science has established itself as an own area of research. With quantitative scientists from computer science, mathematics, and physics working on datasets from biology, economics, sociology, political sciences, and many others, network science serves as a paradigm for interdisciplinary research. One of the major goals in network science is to unravel the relationship between topological graph structure and a network’s function. As evidence suggests, systems from the same fields, i.e. with similar function, tend to exhibit similar structure. However, it is still vague whether a similar graph structure automatically implies likewise function. This dissertation aims at helping to bridge this gap, while particularly focusing on the role of triadic structures. After a general introduction to the main concepts of network science, existing work devoted to the relevance of triadic substructures is reviewed. A major challenge in modeling triadic structure is the fact that not all three-node subgraphs can be specified independently of each other, as pairs of nodes may participate in multiple of those triadic subgraphs. In order to overcome this obstacle, we suggest a novel class of generative network models based on so called Steiner triple systems. The latter are partitions of a graph’s vertices into pair-disjoint triples (Steiner triples). Thus, the configurations on Steiner triples can be specified independently of each other without overdetermining the network’s link structure. Subsequently, we investigate the most basic realization of this new class of models. We call it the triadic random graph model (TRGM). The TRGM is parametrized by a probability distribution over all possible triadic subgraph patterns. In order to generate a network instantiation of the model, for all Steiner triples in the system, a pattern is drawn from the distribution and adjusted randomly on the Steiner triple. We calculate the degree distribution of the TRGM analytically and find it to be similar to a Poissonian distribution. Furthermore, it is shown that TRGMs possess non-trivial triadic structure. We discover inevitable correlations in the abundance of certain triadic subgraph patterns which should be taken into account when attributing functional relevance to particular motifs – patterns which occur significantly more frequently than expected at random. Beyond, the strong impact of the probability distributions on the Steiner triples on the occurrence of triadic subgraphs over the whole network is demonstrated. This interdependence allows us to design ensembles of networks with predefined triadic substructure. Hence, TRGMs help to overcome the lack of generative models needed for assessing the relevance of triadic structure. We further investigate whether motifs occur homogeneously or heterogeneously distributed over a graph. Therefore, we study triadic subgraph structures in each node’s neighborhood individually. In order to quantitatively measure structure from an individual node’s perspective, we introduce an algorithm for node-specific pattern mining for both directed unsigned, and undirected signed networks. Analyzing real-world datasets, we find that there are networks in which motifs are distributed highly heterogeneously, bound to the proximity of only very few nodes. Moreover, we observe indication for the potential sensitivity of biological systems to a targeted removal of these critical vertices. In addition, we study whole graphs with respect to the homogeneity and homophily of their node-specific triadic structure. The former describes the similarity of subgraph distributions in the neighborhoods of individual vertices. The latter quantifies whether connected vertices are structurally more similar than non-connected ones. We discover these features to be characteristic for the networks’ origins. Moreover, clustering the vertices of graphs regarding their triadic structure, we investigate structural groups in the neural network of C. elegans, the international airport-connection network, and the global network of diplomatic sentiments between countries. For the latter we find evidence for the instability of triangles considered socially unbalanced according to sociological theories. Finally, we utilize our TRGM to explore ensembles of networks with similar triadic substructure in terms of the evolution of dynamical processes acting on their nodes. Focusing on oscillators, coupled along the graphs’ edges, we observe that certain triad motifs impose a clear signature on the systems’ dynamics, even when embedded in a larger network structure. N2 - Im Zuge des Wachstums des Internets und der Verfügbarkeit nie da gewesener Datenmengen, hat sich, während der letzten beiden Jahrzehnte, die Netzwerkwissenschaft zu einer eigenständigen Forschungsrichtung entwickelt. Mit Wissenschaftlern aus quantitativen Feldern wie der Informatik, Mathematik und Physik, die Datensätze aus Biologie, den Wirtschaftswissenschaften, Soziologie, Politikwissenschaft und vielen weiteren Anwendungsgebieten untersuchen, stellt die Netzwerkwissenschaft ein Paradebeispiel interdisziplinärer Forschung dar. Eines der grundlegenden Ziele der Netzwerkwissenschaft ist es, den Zusammenhang zwischen der topologischen Struktur und der Funktion von Netzwerken herauszufinden. Es gibt zahlreiche Hinweise, dass Netz-werke aus den gleichen Bereichen, d.h. Systeme mit ähnlicher Funktion, auch ähnliche Graphstrukturen aufweisen. Es ist allerdings nach wie vor unklar, ob eine ähnliche Graphstruktur generell zu gleicher Funktionsweise führt. Es ist das Ziel der vorliegenden Dissertation, zur Klärung dieser Frage beizutragen. Das Hauptaugenmerk wird hierbei auf der Rolle von Dreiecksstrukturen liegen. Nach einer allgemeinen Einführung der wichtigsten Grundlagen der Theorie komplexer Netzwerke, wird eine Übersicht über existierende Arbeiten zur Bedeutung von Dreiecksstrukturen gegeben. Eine der größten Herausforderungen bei der Modellierung triadischer Strukturen ist die Tatsache, dass nicht alle Dreiecksbeziehungen in einem Graphen unabhängig voneinander bestimmt werden können, da zwei Knoten an mehreren solcher Dreiecksbeziehungen beteiligt sein können. Um dieses Problem zu lösen, führen wir, basierend auf sogenannten Steiner-Tripel-Systemen, eine neue Klasse generativer Netzwerkmodelle ein. Steiner-Tripel-Systeme sind Zerlegungen der Knoten eines Graphen in paarfremde Tripel (Steiner-Tripel). Daher können die Konfigurationen auf Steiner-Tripeln unabhängig voneinander gewählt werden, ohne dass dies zu einer Überbestimmung der Netzwerkstruktur führen würde. Anschließend untersuchen wir die grundlegendste Realisierung dieser neuen Klasse von Netzwerkmodellen, die wir das triadische Zufallsgraph-Modell (engl. triadic random graph model, TRGM) nennen. TRGMs werden durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über alle möglichen Dreiecksstrukturen parametrisiert. Um ein konkretes Netzwerk zu erzeugen wird für jedes Steiner-Tripel eine Dreiecksstruktur gemäß der Wahrscheinlichkeitsverteilung gezogen und zufällig auf dem Tripel orientiert. Wir berechnen die Knotengradverteilung des TRGM analytisch und finden heraus, dass diese einer Poissonverteilung ähnelt. Des Weiteren wird gezeigt, dass TRGMs nichttriviale Dreiecksstrukturen aufweisen. Außerdem finden wir unvermeidliche Korrelationen im Auftreten bestimmter Subgraphen, derer man sich bewusst sein sollte. Insbesondere wenn es darum geht, die Bedeutung sogenannter Motive (Strukturen, die signifikant häufiger als zufällig erwartet auftreten) zu beurteilen. Darüber hinaus wird der starke Einfluss der Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den Steiner-Tripeln, auf die generelle Dreiecksstruktur der erzeugten Netzwerke gezeigt. Diese Abhängigkeit ermöglicht es, Netzwerkensembles mit vorgegebener Dreiecksstruktur zu konzipieren. Daher helfen TRGMs dabei, den bestehenden Mangel an generativen Netzwerkmodellen, zur Beurteilung der Bedeutung triadischer Strukturen in Graphen, zu beheben. Es wird ferner untersucht, wie homogen Motive räumlich über Graphstrukturen verteilt sind. Zu diesem Zweck untersuchen wir das Auftreten von Dreiecksstrukturen in der Umgebung jedes Knotens separat. Um die Struktur individueller Knoten quantitativ erfassen zu können, führen wir einen Algorithmus zur knotenspezifischen Musterauswertung (node-specific pattern mining) ein, der sowohl auf gerichtete, als auch auf Graphen mit positiven und negativen Kanten angewendet werden kann. Bei der Analyse realer Datensätze beobachten wir, dass Motive in einigen Netzen hochgradig heterogen verteilt, und auf die Umgebung einiger, weniger Knoten beschränkt sind. Darüber hinaus finden wir Hinweise auf die mögliche Fehleranfälligkeit biologischer Systeme auf ein gezieltes Entfernen ebendieser Knoten. Des Weiteren studieren wir ganze Graphen bezüglich der Homogenität und Homophilie ihrer knotenspezifischen Dreiecksmuster. Erstere beschreibt die Ähnlichkeit der lokalen Dreiecksstrukturen zwischen verschiedenen Knoten. Letztere gibt an, ob sich verbundene Knoten bezüglich ihrer Dreiecksstruktur ähnlicher sind, als nicht verbundene Knoten. Wir stellen fest, dass diese Eigenschaften charakteristisch für die Herkunft der jeweiligen Netzwerke sind. Darüber hinaus gruppieren wir die Knoten verschiedener Systeme bezüglich der Ähnlichkeit ihrer lokalen Dreiecksstrukturen. Hierzu untersuchen wir das neuronale Netz von C. elegans, das internationale Flugverbindungsnetzwerk, sowie das Netzwerk internationaler Beziehungen zwischen Staaten. In Letzterem finden wir Hinweise darauf, dass Dreieckskonfigurationen, die nach soziologischen Theorien als unbalanciert gelten, besonders instabil sind. Schließlich verwenden wir unser TRGM, um Netzwerkensembles mit ähnlicher Dreiecksstruktur bezüglich der Eigenschaften dynamischer Prozesse, die auf ihren Knoten ablaufen, zu untersuchen. Wir konzentrieren uns auf Oszillatoren, die entlang der Kanten der Graphen miteinander gekoppelt sind. Hierbei beobachten wir, dass bestimmte Dreiecksmotive charakteristische Merkmale im dynamischen Verhalten der Systeme hinterlassen. Dies ist auch der Fall, wenn die Motive in eine größere Netzwerkstruktur eingebettet sind. KW - Netzwerk KW - Komplexes System KW - Substruktur KW - Dreieck KW - Networks KW - Complex Systems KW - Statistics KW - Machine Learning KW - Biological Networks KW - Statistische Physik KW - Statistische Mechanik KW - Data Mining KW - Maschinelles Lernen KW - Graphentheorie Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-116022 SN - 978-3-7375-5654-5 PB - epubli GmbH CY - Berlin ER - TY - THES A1 - Cardoso Barato, Andre T1 - Nonequilibrium phase transitions and surface growth T1 - Nicht-Gleichgewicht Phasenübergänge und Wachstumsprozesse N2 - This thesis is concerned with the statistical physics of various systems far from thermal equilibrium, focusing on universal critical properties, scaling laws and the role of fluctuations. To this end we study several models which serve as paradigmatic examples, such as surface growth and non-equilibrium wetting as well as phase transitions into absorbing states. As a particular interesting example of a model with a non-conventional scaling behavior, we study a simplified model for pulsed laser deposition by rate equations and Monte Carlo simulations. We consider a set of equations, where islands are assumed to be point-like, as well as an improved one that takes the size of the islands into account. The first set of equations is solved exactly but its predictive power is restricted to the first few pulses. The improved set of equations is integrated numerically, is in excellent agreement with simulations, and fully accounts for the crossover from continuous to pulsed deposition. Moreover, we analyze the scaling of the nucleation density and show numerical results indicating that a previously observed logarithmic scaling does not apply. In order to understand the impact of boundaries on critical phenomena, we introduce particle models displaying a boundary-induced absorbing state phase transition. These are one-dimensional systems consisting of a single site (the boundary) where creation and annihilation of particles occur, while particles move diffusively in the bulk. We study different versions of these models and confirm that, except for one exactly solvable bosonic variant exhibiting a discontinuous transition with trivial exponents, all the others display a non-trivial behavior, with critical exponents differing from their mean-field values, representing a universality class. We show that these systems are related to a $(0+1)$-dimensional non-Markovian model, meaning that in nonequilibrium a phase transition can take place even in zero dimensions, if time long-range interactions are considered. We argue that these models constitute the simplest universality class of phase transition into an absorbing state, because the transition is induced by the dynamics of a single site. Moreover, this universality class has a simple field theory, corresponding to a zero dimensional limit of direct percolation with L{\'e}vy flights in time. Another boundary phenomena occurs if a nonequilibrium growing interface is exposed to a substrate, in this case a nonequilibrium wetting transition may take place. This transition can be studied through Langevin equations or discrete growth models. In the first case, the Kardar-Parisi-Zhang equation, which defines a very robust universality class for nonequilibrium moving interfaces, is combined with a soft-wall potential. While in the second, microscopic models, in the corresponding universality class, with evaporation and deposition of particles in the presence of hard-wall are studied. Equilibrium wetting is related to a particular case of the problem, corresponding to the Edwards-Wilkinson equation with a potential in the continuum approach or to the fulfillment of detailed balance in the microscopic models. In this thesis we present the analytical and numerical methods used to investigate the problem and the very rich behavior that is observed with them. The entropy production for a Markov process with a nonequilibrium stationary state is expected to give a quantitative measure of the distance form equilibrium. In the final chapter of this thesis, we consider a Kardar-Parisi-Zhang interface and investigate how entropy production varies with the interface velocity and its dependence on the interface slope, which are quantities that characterize how far the stationary state of the interface is away from equilibrium. We obtain results in agreement with the idea that the entropy production gives a measure of the distance from equilibrium. Moreover we use the same model to study fluctuation relations. The fluctuation relation is a symmetry in the large deviation function associated to the probability of the variation of entropy during a fixed time interval. We argue that the entropy and height are similar quantities within the model we consider and we calculate the Legendre transform of the large deviation function associated to the height for small systems. We observe that there is no fluctuation relation for the height, nevertheless its large deviation function is still symmetric. N2 - Diese Dissertationsschrift befasst sich mit der statistischen Physik verschiedener Systeme fernab vom thermischen Gleichgewicht. Im Mittelpunkt stehen dabei die kritischen Eigenschaften, Skalierungsgesetze sowie die Rolle von Fluktuation. Dazu werden als paradigmatische Beispiele verschiedene Modellsysteme untersucht, unter anderem Wachstumsprozesse, Benetzungsphänomene fernab vom Gleichgewicht sowie Phasenübergänge in absorbierende Zustände. Als ein besonders interessantes Beispiel mit einem unkonventionellen Skalierungsverhalten wird zunächst ein Modell für gepulste Laserdeposition sowohl numerisch als auch mit Ratengleichungen untersucht. Wir betrachten dazu eine Approximation, das auf der Annahme punktförmiger Teilchen beruht, sowie ein verbessertes Gleichungssystem, das die Ausdehnung der deponierten Inseln mit berücksichtigt. Die numerisch integrierten Lösungen dieses verbesserten Systems stimmen mit den Simulationsresultaten hervorragend überein und reproduzieren ebenfalls den Crossover von kontinuierlicher zu gepulster Deposition. Darüber hinaus wird das Skalierungsverhalten der Nukleationsdichte im Detail untersucht und eine kürzlich eingeführte Hypothese logarithmischer Skalengesetze in Frage gestellt. Um den Einfluss von Randtermen auf kritische Phänomene unter Nichtgleichgewichtsbedingungen besser zu verstehen, wird ein Modell mit einem randinduzierten Phasenübergang eingeführt. Der Rand besteht aus hier einem einzigen Gitterplatz, an dem Teilchen erzeugt und vernichtet werden können, während die Teilchen im Innern des Systems lediglich diffundieren können. Es werden verschiedene Varianten dieses Modells untersucht, die mit Ausnahme einer bestimmten bosonischen Variante zu einer neuen Universalitätsklasse mit einem nichttrivialen kritischen Verhalten gehören. In der Arbeit wird gezeigt, dass diese Systeme effektiv auf ein 0+1-dimensionales Modell mit einer zeitlich nichtlokalen Dynamik reduziert werden können, dass also Phasenübergänge in nicht-Markovschen Nichtgleichgewichtssystemen sogar in 0 räumlichen Dimensionen, d.h. einem einzigen Punkt möglich sind. Es handelt sich wahrscheinlich um den einfachsten nichttrivialen Phasenübergang dieser Art, der formal dem nulldimensionalen Limes der sogenannten gerichteten Perkolation mit zeitlichen Levy-Flügen entspricht. Eine andere Art von Randeffekten tritt auf, wenn ein Wachstumsprozess fernab vom Gleichgewicht auf einem inerten Substrat stattfindet, wobei es zu einem Benetzungsphasenübergang kommen kann. Solche Systeme können anhand ihrer Langevin-Gleichung, z.B. der Kardar-Parisi-Zhang (KPZ)-Gleichung in einem geeigneten Potential, oder auf der Basis diskreter Wachstumsprozesse mit Deposition und Verdampfung von Teilchen auf einem Substrat untersucht werden. Benetzungsübergänge im thermischen Gleichgewicht stellen sich als Spezialfall heraus, der durch die Edwards-Wilkinson-Gleichung bzw. detaillierte Balance beschrieben wird. Die vorliegende Arbeit stellt analytische und numerische Methoden vor und demonstriert die reichhaltige Phänomenologie solcher Modelle. Das letzte Kapitel befasst sich mit der Rolle von Fluktuationen und der Entropieproduktion von Nichtgleichgewichtssystemen. Um zu überprüfen, ob sich die Entropieproduktion als ein Maß für den Abstand vom Gleichgewicht eignet, wird wiederum ein einfacher Wachstumsprozess untersucht, der diese Hypothese bestätigt. Das gleiche Modell wird benutzt, um verschiedene Fluktuationsrelationen zu testen, die auf Symmetrien in der Wahrscheinlichkeitsverteilung extremer Fluktionationen beruhen. Obwohl die Entropie und die Höhe der deponierten Schicht im stationären Zustand formal ähnliche Eigenschaften besitzen, gelingt es nicht, ein Fluktuationstheorem für die Höhenvariablen zu formulieren, obwohl die entsprechende Wahrscheinlichkeitsverteilung symmetrisch ist. Dies legt den Schluss nahe, dass Fluktuationstheoreme grundsätzlich nur auf der Basis von Wahrscheinlichkeitsströmen konstruiert werden können. KW - Nichtgleichgewichtsstatistik KW - Phasenumwandlung KW - Wachstumsprozess KW - Wachstum an Oberflächen KW - Statistische Mechanik KW - Skalierungsgesetz KW - Nonequilibrium Statistical Physics KW - Surface growth KW - Wetting KW - Phase transitions into absorbing states KW - Scaling KW - Fluctuations Y1 - 2010 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-50122 ER -