TY - JOUR A1 - Schäffner, M. A1 - Schlömerkemper, A. T1 - On Lennard-Jones systems with finite range interactions and their asymptotic analysis JF - Networks and Heterogeneous Media N2 - The aim of this work is to provide further insight into the qualitative behavior of mechanical systems that are well described by Lennard-Jones type interactions on an atomistic scale. By means of Gamma-convergence techniques, we study the continuum limit of one-dimensional chains of atoms with finite range interactions of Lennard-Jones type, including the classical Lennard-Jones potentials. So far, explicit formula for the continuum limit were only available for the case of nearest and next-to-nearest neighbour interactions. In this work, we provide an explicit expression for the continuum limit in the case of finite range interactions. The obtained homogenization formula is given by the convexification of a Cauchy-Born energy density. Furthermore, we study rescaled energies in which bulk and surface contributions scale in the same way. The related discrete-to-continuum limit yields a rigorous derivation of a one-dimensional version of Griffith' fracture energy and thus generalizes earlier derivations for nearest and next-to-nearest neighbors to the case of finite range interactions. A crucial ingredient to our proofs is a novel decomposition of the energy that allows for re fined estimates. KW - Discrete-to-continuum limits KW - atomistic models KW - Gamma-convergence KW - Cauchy-Born rule KW - variational fracture Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-228428 VL - 13 IS - 1 ER - TY - JOUR A1 - Kienle-Garrido, Melina-Lorén A1 - Breitenbach, Tim A1 - Chudej, Kurt A1 - Borzì, Alfio T1 - Modeling and numerical solution of a cancer therapy optimal control problem JF - Applied Mathematics N2 - A mathematical optimal-control tumor therapy framework consisting of radio- and anti-angiogenesis control strategies that are included in a tumor growth model is investigated. The governing system, resulting from the combination of two well established models, represents the differential constraint of a non-smooth optimal control problem that aims at reducing the volume of the tumor while keeping the radio- and anti-angiogenesis chemical dosage to a minimum. Existence of optimal solutions is proved and necessary conditions are formulated in terms of the Pontryagin maximum principle. Based on this principle, a so-called sequential quadratic Hamiltonian (SQH) method is discussed and benchmarked with an “interior point optimizer―a mathematical programming language” (IPOPT-AMPL) algorithm. Results of numerical experiments are presented that successfully validate the SQH solution scheme. Further, it is shown how to choose the optimisation weights in order to obtain treatment functions that successfully reduce the tumor volume to zero. KW - cancer KW - therapy KW - optimal control problem Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-177152 VL - 9 IS - 8 ER - TY - THES A1 - Steck, Daniel T1 - Lagrange Multiplier Methods for Constrained Optimization and Variational Problems in Banach Spaces T1 - Lagrange-Multiplier-Verfahren für Restringierte Optimierung und Variationsprobleme in Banach-Räumen N2 - This thesis is concerned with a class of general-purpose algorithms for constrained minimization problems, variational inequalities, and quasi-variational inequalities in Banach spaces. A substantial amount of background material from Banach space theory, convex analysis, variational analysis, and optimization theory is presented, including some results which are refinements of those existing in the literature. This basis is used to formulate an augmented Lagrangian algorithm with multiplier safeguarding for the solution of constrained optimization problems in Banach spaces. The method is analyzed in terms of local and global convergence, and many popular problem classes such as nonlinear programming, semidefinite programming, and function space optimization are shown to be included as special cases of the general setting. The algorithmic framework is then extended to variational and quasi-variational inequalities, which include, by extension, Nash and generalized Nash equilibrium problems. For these problem classes, the convergence is analyzed in detail. The thesis then presents a rich collection of application examples for all problem classes, including implementation details and numerical results. N2 - Die vorliegende Arbeit handelt von einer Klasse allgemein anwendbarer Verfahren zur Lösung restringierter Optimierungsprobleme, Variations- und Quasi-Variationsungleichungen in Banach-Räumen. Zur Vorbereitung wird eine erhebliche Menge an Grundmaterial präsentiert. Dies beinhaltet die Theorie von Banach-Räumen, konvexe und variationelle Analysis sowie Optimierungstheorie. Manche der angegebenen Resultate sind hierbei Verfeinerungen der entsprechenden Ergebnisse aus der Literatur. Im Anschluss wird ein Augmented-Lagrange-Verfahren für restingierte Optimierungsprobleme in Banach-Räumen präsentiert. Der Algorithmus wird hinsichtlich lokaler und globaler Konvergenz untersucht, und viele typische Problemklassen wie nichtlineare Programme, semidefinite Programme oder Optimierungsprobleme in Funktionenräumen werden als Spezialfälle aufgezeigt. Der Algorithmus wird dann auf Variations- und Quasi-Variationsungleichungen verallgemeinert, wodurch implizit auch (verallgemeinerte) Nash-Gleichgewichtsprobleme abgehandelt werden. Für diese Problemklassen werden eigene Konvergenzanalysen betrieben. Die Dissertation beinhaltet zudem eine umfangreiche Sammlung von Anwendungsbeispielen und zugehörigen numerischen Ergebnissen. KW - Optimierung KW - Nash-Gleichgewicht KW - Variationsungleichung KW - Banach-Raum KW - Quasi-Variational Inequality KW - Generalized Nash Equilibrium Problem KW - Quasi-Variationsungleichung KW - Verallgemeinertes Nash-Gleichgewichtsproblem Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-174444 ER - TY - THES A1 - Schötz, Matthias T1 - Convergent Star Products and Abstract O*-Algebras T1 - Konvergente Sternprodukte und Abstrakte O*-Algebren N2 - Diese Dissertation behandelt ein Problem aus der Deformationsquantisierung: Nachdem man die Quantisierung eines klassischen Systems konstruiert hat, würde man gerne ihre mathematischen Eigenschaften verstehen (sowohl die des klassischen Systems als auch die des Quantensystems). Falls beide Systeme durch *-Algebren über dem Körper der komplexen Zahlen beschrieben werden, bedeutet dies dass man die Eigenschaften bestimmter *-Algebren verstehen muss: Welche Darstellungen gibt es? Was sind deren Eigenschaften? Wie können die Zustände in diesen Darstellungen beschrieben werden? Wie kann das Spektrum der Observablen beschrieben werden? Um eine hinreichend allgemeine Behandlung dieser Fragen zu ermöglichen, wird das Konzept von abstrakten O*-Algebren entwickelt. Dies sind im Wesentlichen *-Algebren zusammen mit einem Kegel positiver linearer Funktionale darauf (z.B. die stetigen positiven linearen Funktionale wenn man mit einer *-Algebra startet, die mit einer gutartigen Topologie versehen ist). Im Anschluss daran wird dieser Ansatz dann auf zwei Beispiele aus der Deformationsquantisierung angewandt, die im Detail untersucht werden. N2 - This thesis discusses and proposes a solution for one problem arising from deformation quantization: Having constructed the quantization of a classical system, one would like to understand its mathematical properties (of both the classical and quantum system). Especially if both systems are described by ∗-algebras over the field of complex numbers, this means to understand the properties of certain ∗-algebras: What are their representations? What are the properties of these representations? How can the states be described in these representations? How can the spectrum of the observables be described? In order to allow for a sufficiently general treatment of these questions, the concept of abstract O ∗-algebras is introduced. Roughly speaking, these are ∗ -algebras together with a cone of positive linear functionals on them (e.g. the continuous ones if one starts with a ∗-algebra that is endowed with a well-behaved topology). This language is then applied to two examples from deformation quantization, which will be studied in great detail. KW - deformation quantization KW - convergent star product KW - *-algebra KW - Deformationsquantisierung Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-174355 ER - TY - THES A1 - Sapozhnikova, Kateryna T1 - Robust Stability of Differential Equations with Maximum T1 - Robuste Stabilität von Differenzialgleichungen mit Maximum N2 - In this thesis stability and robustness properties of systems of functional differential equations which dynamics depends on the maximum of a solution over a prehistory time interval is studied. Max-operator is analyzed and it is proved that due to its presence such kind of systems are particular case of state dependent delay differential equations with piecewise continuous delay function. They are nonlinear, infinite-dimensional and may reduce to one-dimensional along its solution. Stability analysis with respect to input is accomplished by trajectory estimate and via averaging method. Numerical method is proposed. N2 - In dieser These werden die Eigenschaften der Stabilität und Robustheit von Systemen funktioneller Differentialgleichungen untersucht, deren Dynamik von einem Maximum in der Lösung eines vergangenen Zeitintervalls abhängt. Der Max-Operator wird analysiert und durch seine Anwesenheit ist bewiesen, dass diese Art von Systemen einen spezifischen Fall von zustandsabhängigen Verzögerungsdifferenzialgleichungen mit stückweiser, kontinuierlicher Verzögerungsfunktion darstellen. Sie sind nicht-linear, unendlich dimensional und entlang ihrer Lösung können sie eindimensional werden. Die Stabilitätsanalyse, unter Berücksichtigung der Eingabe, wird sowohl durch eine Richtungsschätzung, als auch mittels der Durchschnittsmethode durchgeführt. Eine numerische Methode wird vorgeschlagen. KW - Functional differential equations KW - Nonlinear systems KW - Stability KW - Differentialgleichung KW - Nichtlineares System KW - Stabilität Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-173945 ER - TY - THES A1 - Klotzky, Jens T1 - Well-posedness of a fluid-particle interaction model T1 - Existenz und Eindeutigkeit von Entropielösungen eines Partikel-Fluid-Modells N2 - This thesis considers a model of a scalar partial differential equation in the presence of a singular source term, modeling the interaction between an inviscid fluid represented by the Burgers equation and an arbitrary, finite amount of particles moving inside the fluid, each one acting as a point-wise drag force with a particle related friction constant. \begin{align*} \partial_t u + \partial_x (u^2/2) &= \sum_{i \in N(t)} \lambda_i \Big(h_i'(t)-u(t,h_i(t)\Big)\delta(x-h_i(t)) \end{align*} The model was introduced for the case of a single particle by Lagoutière, Seguin and Takahashi, is a first step towards a better understanding of interaction between fluids and solids on the level of partial differential equations and has the unique property of considering entropy admissible solutions and the interaction with shockwaves. The model is extended to an arbitrary, finite number of particles and interactions like merging, splitting and crossing of particle paths are considered. The theory of entropy admissibility is revisited for the cases of interfaces and discontinuous flux conservation laws, existing results are summarized and compared, and adapted for regions of particle interactions. To this goal, the theory of germs introduced by Andreianov, Karlsen and Risebro is extended to this case of non-conservative interface coupling. Exact solutions for the Riemann Problem of particles drifting apart are computed and analysis on the behavior of entropy solutions across the particle related interfaces is used to determine physically relevant and consistent behavior for merging and splitting of particles. Well-posedness of entropy solutions to the Cauchy problem is proven, using an explicit construction method, L-infinity bounds, an approximation of the particle paths and compactness arguments to obtain existence of entropy solutions. Uniqueness is shown in the class of weak entropy solutions using almost classical Kruzkov-type analysis and the notion of L1-dissipative germs. Necessary fundamentals of hyperbolic conservation laws, including weak solutions, shocks and rarefaction waves and the Rankine-Hugoniot condition are briefly recapitulated. N2 - Diese Arbeit befasst sich mit dem Modell einer skalaren partiellen Differentialgleichung mit singulärem Quellterm, das die Interaktion zwischen einem reibungsfreiem Fluid, dargestellt durch die Burgers Gleichung, und einer gegebenen, endlichen Menge von sich in dem Fluid bewegenden Partikeln beschreibt, die eine punktweise Zugkraft auf das Fluid auswirken und durch eine entsprechende Reibungskonstante charakterisiert sind. \begin{align*} \partial_t u + \partial_x (u^2/2) &= \sum_{i \in N(t)} \lambda_i \Big(h_i'(t)-u(t,h_i(t)\Big)\delta(x-h_i(t)) \end{align*} Das Modell wurde für den Fall der Interaktion mit einem einzelnen Partikel durch Lagoutière, Seguin and Takahashi eingeführt, stellt einen ersten Schritt zu einem besseren Verständnis der Interaktion zwischen einem Fluid und Festkörpern auf dem Level der partiellen Differentialgleichungen dar und hat die einzigartige Eigenschaft, dass Entropielösungen und die Interaktion mit Schockwellen berücksichtigt werden. Das Modell wird zu einer beliebigen, endlichen Anzahl von Partikeln erweitert und Interaktionen wie das Verschmelzen und Spaltung von Partikeln werden behandelt. Existierende Theorie der Entropie-Zulässigkeit im Hinblick auf Interfaces und Erhaltungsgleichungen mit unstetiger Flussfunktion wird zusammengefasst, die Resultate werden verglichen und für die Regionen mit Partikelinteraktionen angepasst. Zu diesem Zweck wird die Theorie der Germs, eingeführt von Andreianov, Karlsen und Risebro, auf den vorliegenden Fall eines nicht-erhaltenden Interfaces erweitert. Für das Riemann Problem von auseinanderdriftenden Partikeln werden die exakten Lösungen berechnet und eine Analyse des Verhaltens von Entropielösungen über die von den Partikeln erzeugten Interface wird genutzt, um ein physikalisch sinnvolles und mit der Theorie eines einzelnen Partikels konsistentes Verhalten beim Verschmelzen und Spalten von Partikeln herzuleiten. Mit Hilfe einer expliziten Konstruktionsmethode, hergeleiteten L-infinity Beschränkungen, einer Approximation der Partikelpfade und Kompaktheitsargumenten wird gezeigt, dass das entsprechende Cauchy Problem wohlgestellt ist. Eindeutigkeit im Raum der schwachen Entropielösungen wird mit beinahe klassischen Argumenten der Theorie von Kruzkov sowie der Theorie von L1-dissipativen Germs gezeigt. Notwendige Grundlagen zu hyperbolischen Erhaltungsgleichungen, unter anderem die Theorie schwacher Lösungen, Schock- und Verdünnungswellen sowie die Rankine-Hugoniot Bedingung, werden in Grundzügen am Anfang der Arbeit wiederholt. KW - Hyperbolische Differentialgleichung KW - Entropielösung KW - Fluid-Partikel-Strömung KW - Burgers-Gleichung KW - Korrekt gestelltes Problem KW - Existenz und Eindeutigkeit KW - Entropiebedingung KW - Well-posedness KW - Entropy admissibility condition Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-169009 ER - TY - THES A1 - Pörner, Frank T1 - Regularization Methods for Ill-Posed Optimal Control Problems T1 - Regularisierungsverfahren für schlecht gestellte Optimalsteuerungsprobleme N2 - This thesis deals with the construction and analysis of solution methods for a class of ill-posed optimal control problems involving elliptic partial differential equations as well as inequality constraints for the control and state variables. The objective functional is of tracking type, without any additional \(L^2\)-regularization terms. This makes the problem ill-posed and numerically challenging. We split this thesis in two parts. The first part deals with linear elliptic partial differential equations. In this case, the resulting solution operator of the partial differential equation is linear, making the objective functional linear-quadratic. To cope with additional control constraints we introduce and analyse an iterative regularization method based on Bregman distances. This method reduces to the proximal point method for a specific choice of the regularization functional. It turns out that this is an efficient method for the solution of ill-posed optimal control problems. We derive regularization error estimates under a regularity assumption which is a combination of a source condition and a structural assumption on the active sets. If additional state constraints are present we combine an augmented Lagrange approach with a Tikhonov regularization scheme to solve this problem. The second part deals with non-linear elliptic partial differential equations. This significantly increases the complexity of the optimal control as the associated solution operator of the partial differential equation is now non-linear. In order to regularize and solve this problem we apply a Tikhonov regularization method and analyse this problem with the help of a suitable second order condition. Regularization error estimates are again derived under a regularity assumption. These results are then extended to a sparsity promoting objective functional. N2 - Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Konstruktion und Analyse von Lösungsverfahren für schlecht gestellte Steuerungsprobleme. Die Nebenbedingungen sind in der Form von elliptischen partiellen Differentialgleichungen, sowie Ungleichungsrestriktionen für die Steuerung und den zugehörigen Zustand gegeben. Das Zielfunktional besteht aus einem Tracking-Type-Term ohne zusätzliche \(L^2\)-Regularisierungsterme. Dies führt dazu, dass das Optimalsteuerungsproblem schlecht gestellt ist, was die numerische Berechnung einer Lösung erschwert. Diese Arbeit ist in zwei Teile aufgeteilt. Der erste Teil beschäftigt sich mit linearen elliptischen partiellen Differentialgleichungen. In diesem Fall ist der zugehörige Lösungsoperator der partiellen Differentialgleichung linear und das Zielfunktional linear-quadratisch. Um die zusätzlichen Steuerungsrestriktionen zu behandeln, betrachten wir ein iteratives Verfahren welches auf einer Regularisierung mit Bregman-Abständen basiert. Für eine spezielle Wahl des Regularisierungsfunktionals vereinfacht sich dieses Verfahren zu dem Proximal-Point-Verfahren. Die Analyse des Verfahrens zeigt, dass es ein effizientes und gut geeignetes Verfahren ist, um schlecht gestellte Optimalsteuerungsprobleme zu lösen. Mithilfe einer Regularitätsannahme werden Konvergenzraten für den Regularisierungsfehler hergeleitet. Diese Regularitätsannahme ist eine Kombination einer Source-Condition sowie einer struktuellen Annahme an die aktiven Mengen. Wenn zusätzlich Zustandsrestriktionen vorhanden sind, wird zur Lösung eine Kombination aus dem Augmented Lagrange Ansatz sowie einer Tikhonov-Regularisierung angewendet. Der zweite Teil dieser Arbeit betrachtet nicht-lineare partielle Differentialgleichungen. Dies erhöht die Komplexität des Optimalsteuerungsproblem signifikant, da der Lösungsoperator der partiellen Differentialgleichung nun nicht-linear ist. Zur Lösung wird eine Tikhonov-Regularisierung betrachtet. Mithilfe einer geeigneten Bedingung zweiter Ordnung wird dieses Verfahren analysiert. Auch hier werden Konvergenzraten mithilfe einer Regularitätsannahme bestimmt. Anschließend werden diese Methoden auf ein Funktional mit einem zusätzlichen \(L^1\)-Term angewendet. N2 - Ill-posed optimization problems appear in a wide range of mathematical applications, and their numerical solution requires the use of appropriate regularization techniques. In order to understand these techniques, a thorough analysis is inevitable. The main subject of this book are quadratic optimal control problems subject to elliptic linear or semi-linear partial differential equations. Depending on the structure of the differential equation, different regularization techniques are employed, and their analysis leads to novel results such as rate of convergence estimates. KW - Optimale Steuerung KW - Regularisierung KW - Elliptische Differentialgleichung KW - optimal control KW - partial differential equation KW - Bregman distance KW - regularization KW - error estimate Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-163153 SN - 978-3-95826-086-3 (Print) SN - 978-3-95826-087-0 (Online) N1 - Parallel erschienen als Druckausgabe in Würzburg University Press, ISBN 978-3-95826-086-3, 26,90 EUR. PB - Würzburg University Press CY - Würzburg ET - 1. Auflage ER - TY - THES A1 - Technau, Marc T1 - On Beatty sets and some generalisations thereof T1 - Über Beatty-Mengen und einige Verallgemeinerungen dieser N2 - Beatty sets (also called Beatty sequences) have appeared as early as 1772 in the astronomical studies of Johann III Bernoulli as a tool for easing manual calculations and - as Elwin Bruno Christoffel pointed out in 1888 - lend themselves to exposing intricate properties of the real irrationals. Since then, numerous researchers have explored a multitude of arithmetic properties of Beatty sets; the interrelation between Beatty sets and modular inversion, as well as Beatty sets and the set of rational primes, being the central topic of this book. The inquiry into the relation to rational primes is complemented by considering a natural generalisation to imaginary quadratic number fields. N2 - Zu gegebener Beatty-Menge \(\mathscr{B}(\alpha,\beta) = \{ n\alpha+\beta : n\in\mathbb{N} \}\) mit irrationalem \(\alpha>1\) und \(\beta\in\mathbb{R}\), sowie gegebener Primzahl \(p\) und hierzu teilerfremdem \(z\) untersuchen wir das Problem der Auffindung von Punkten \((m,\tilde{m})\) auf der modularen Hyperbel \[ \mathscr{H}_{z,p} = \{(m,\tilde{m}) \in \mathbb{Z}^2\cap[1,p )^2 : m\tilde{m}\equiv z\mod p\} \] mit \(\max\{ m, \tilde{m} \}\) so klein wie möglich, d.h. wir für gewisse \(\alpha\) beweisen nichttriviale Abschätzungen für \[ \min\{ \max\{ m, \tilde{m} \} : (m,\tilde{m})\in\mathscr{H}_{z,p}, \, m\in\mathscr{B}(\alpha,\beta) \}. \] Der Beweis fußt auf neuen Abschätzungen für unvollständige Kloosterman-Summen entlang \(\mathscr{B}(\alpha,\beta)\), welche durch das Speisen einer Methode von Banks und Shparlinski mit neuen Abschätzungen für die periodische Autokorrelation der endlichen Folge \[ 0,\, \operatorname{e}_p(y\overline{1}),\, \operatorname{e}_p(y\overline{2}),\, \ldots,\, \operatorname{e}_p(y\overline{p-1}), \quad \text{with \(y\) indivisible by \(p\)}, \] erhalten werden; (Hierbei bezeichnet \(\overline{m}\) die eindeutige natürliche Zahl \(m'\in[1,p)\) mit \(mm'\equiv 1\bmod p\) und wir schreiben \(\operatorname{e}_p(x) = \exp(2\pi i x/p)\).) Für letzteres adaptieren wir Ideen von Kloosterman. Des weiteren untersuchen wir Mengen der Form \(\{\lfloor m\alpha_1+n\alpha_2+\beta\rfloor : m,n\in\mathbb{N} \}\). Wir zeigen, dass diese stets in einer gewöhnlichen Beatty-Menge \(\mathscr{B}(\tilde{\alpha},\tilde{\beta})\) enthalten sind und geben zulässige Werte für \(\tilde{\alpha}\) und \(\tilde{\beta}\) an. Das Komplement \(\mathscr{C} = \mathscr{B}(\tilde{\alpha},\tilde{\beta}) \setminus \{\lfloor m\alpha_1+n\alpha_2+\beta\rfloor : m,n\in\mathbb{N} \}\) erweist sich als endliche Menge und wir bestimmen obere Schranken für das Supremum von \(\mathscr{C}\). Die Beweise gründen sich auf einfache Verteilungseigenschaften der Folge der Nachkommastellen \(\{n\alpha_1^{-1}\alpha_2\}\), \(n=1,2,\ldots\), sofern \(\alpha_1^{-1}\alpha_2\) irrational ist, und berufen sich anderenfalls auf die Endlichkeit der Frobenius-Zahl einer geeignet gewählten Instanz des Frobeniusschen Münzproblems. Abschließend verallgemeinern wir die Definition von Beatty-Mengen auf imaginär-quadratische Zahlkörper in einer natürlichen Weise. Hat der fragliche Zahlkörper Klassenzahl \(1\), so können wir zeigen, dass diese Beatty-artigen Mengen unendlich viele Primelemente enthalten, sofern der zugehörige Parameter \(\alpha\) nicht im betrachteten Zahlkörper enthalten ist. Für den speziellen Zahlkörper \(\mathbb{Q}(i)\) erhalten wir unter Benutzung des Hurwitzschen Kettenbruch-Algorithmus eine Zahlkörper-Variante eines früheren Resultats von Steuding und dem Autor, welches ein Beatty-Analogon des klassischen Linnikschen Satzes über die kleinste Primzahl in einer arithmetischen Progression darstellt. Die erwähnten Resultate werden durch Zahlkörper-Varianten von klassischen Ergebnissen über die Verteilung von \(\{ p\vartheta \}\), \(p=2,3,5,7,11,\ldots\), \(\vartheta\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\), erhalten; Diese wurden kürzlich von Baier mittels der Harmanschen Siebmethode für \(\mathbb{Q}(i)\) bewiesen. Wir übertragen die zugehörigen Überlegungen auf Zahlkörper mit Klassenzahl \(1\). N2 - For Beatty sets \(\mathscr{B}(\alpha,\beta) = \{ n\alpha+\beta : n\in\mathbb{N} \}\) with irrational \(\alpha>1\) and \(\beta\in\mathbb{R}\), and \(p\) prime and coprime to \(z\), we investigate the problem of detecting points \((m,\tilde{m})\) on the modular hyperbola \[ \mathscr{H}_{z,p} = \{(m,\tilde{m}) \in \mathbb{Z}^2\cap[1,p )^2 : m\tilde{m}\equiv z\mod p\} \] with \(\max\{ m, \tilde{m} \}\) as small as possible, i.e., we obtain non-trivial estimates for \[ \min\{ \max\{ m, \tilde{m} \} : (m,\tilde{m})\in\mathscr{H}_{z,p}, \, m\in\mathscr{B}(\alpha,\beta) \} \] for certain \(\alpha\). The proof rests on new estimates for incomplete Kloosterman sums along \(\mathscr{B}(\alpha,\beta)\) which are in turn obtained on supplying a method due to Banks and Shparlinski with a new estimate for the periodic autocorrelation of the finite sequence \[ 0,\, \operatorname{e}_p(y\overline{1}),\, \operatorname{e}_p(y\overline{2}),\, \ldots,\, \operatorname{e}_p(y\overline{p-1}), \quad \text{with \(y\) indivisible by \(p\)}, \] (\(\overline{m}\) denoting the unique integer \(m'\in[1,p)\) with \(mm'\equiv 1\bmod p\) and \(\operatorname{e}_p(x) = \exp(2\pi i x/p)\), the latter being obtained from adapting an argument due to Kloosterman. Furthermore, we investigate sets of the shape \(\{\lfloor m\alpha_1+n\alpha_2+\beta\rfloor : m,n\in\mathbb{N} \}\). We show that they are always contained in some ordinary Beatty set \(\mathscr{B}(\tilde{\alpha},\tilde{\beta})\) where we give admissible choices for \(\tilde{\alpha}\) and \(\tilde{\beta}\). Their respective complement \(\mathscr{C}\) in this ordinary Beatty set is shown to be finite and bounds for the supremum of \(\mathscr{C}\) are provided. The proofs are based on basic distribution properties of the sequence of fractional parts \(\{n\alpha_1^{-1}\alpha_2\}\), \(n=1,2,\ldots\), when \(\alpha_1^{-1}\alpha_2\) is irrational, and appeal to the finiteness of the Frobenius number associated with a suitably chosen instance of the Frobenius coin problem otherwise. Lastly, we generalise the definition of Beatty sets to imaginary quadratic number fields in a natural fashion. Assuming the number field in question to have class number \(1\), we are able to show that these Beatty-type sets contain infinitely many prime elements provided that the parameter corresponding to \(\alpha\) from above is not contained in the number field. When the number field is \(\mathbb{Q}(i)\), then, using the Hurwitz continued fraction expansion, we obtain a number field analogue of a previous result of Steuding and the author, who gave a Beatty set analogue of Linnik's famous theorem on the least prime number in an arithmetic progression. These results are obtained from number field analogues of classical results about the distribution of \(\{ p\vartheta \}\), \(p=2,3,5,7,11,\ldots\), \(\vartheta\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\), which were worked out recently by Baier for \(\mathbb{Q}(i)\) using Harman's sieve method. We generalise these arguments to imaginary quadratic number fields with class number \(1\). KW - Zahlentheorie KW - Beatty sequence KW - Kloosterman sum KW - prime number KW - distribution modulo one KW - Diophantine approximation KW - imaginary quadratic field Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-163303 SN - 978-3-95826-088-7 (Print) SN - 978-3-95826-089-4 (Online) N1 - Parallel erschienen als Druckausgabe in Würzburg University Press, ISBN 978-3-95826-088-7, 21,80 EUR. PB - Würzburg University Press CY - Würzburg ET - 1. Auflage ER - TY - GEN A1 - Breitenbach, Tim T1 - Codes of examples for SQH method N2 - Code examples for the paper "On the SQH Scheme to Solve Nonsmooth PDE Optimal Control Problems" by Tim Breitenbach and Alfio Borzì published in the journal "Numerical Functional Analysis and Optimization", in 2019, DOI: 10.1080/01630563.2019.1599911 KW - Code examples KW - SQH method Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-167587 ER - TY - GEN A1 - Breitenbach, Tim T1 - Codes of examples for SQH method N2 - Code examples for the paper "On the SQH Scheme to Solve Nonsmooth PDE Optimal Control Problems" by Tim Breitenbach and Alfio Borzì published in the journal "Numerical Functional Analysis and Optimization", in 2019, DOI: 10.1080/01630563.2019.1599911 KW - Code examples KW - SQH method Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-165669 ER -