TY  - THES
A1  - Schnells, Vera
T1  - Fractional Insulators and their Parent Hamiltonians
T1  - Fraktionale Isolatoren und die zugehörigen Hamiltonoperatoren
N2  - In the past few years, two-dimensional quantum liquids with fractional excitations have been a topic of high interest due to their possible application in the emerging field of quantum computation and cryptography. This thesis is devoted to a deeper understanding of known and new fractional quantum Hall states and their stabilization in local models. We pursue two different paths, namely chiral spin liquids and fractionally quantized, topological phases.

The chiral spin liquid is one of the few examples of spin liquids with fractional statistics. Despite its numerous promising properties, the microscopic models for this state proposed so far are all based on non-local interactions, making the experimental realization challenging. In the first part of this thesis, we present the first local parent Hamiltonians, for which the Abelian and non-Abelian chiral spin liquids are the exact and, modulo a topological degeneracy, unique ground states. We have developed a systematic approach to find an annihilation operator of the chiral spin liquid and construct from it a many-body interaction which establishes locality. For various system sizes and lattice geometries, we numerically find largely gapped eigenspectra and confirm to an accuracy of machine precision the uniqueness of the chiral spin liquid as ground state of the respective system. Our results provide an exact spin model in which fractional quantization can be studied.

Topological insulators are one of the most actively studied topics in current condensed matter physics research. With the discovery of the topological insulator, one question emerged: Is there an interaction-driven set of fractionalized phases with time reversal symmetry? One intuitive approach to the theoretical construction of such a fractional topological insulator is to take the direct product of a fractional quantum Hall state and its time reversal conjugate. However, such states are well studied conceptually and do not lead to new physics, as the idea of taking a state and its mirror image together without any entanglement between the states has been well understood in the context of topological insulators. Therefore, the community has been looking for ways to implement some topological interlocking between different spin species. Yet, for all practical purposes so far, time reversal symmetry has appeared to limit the set of possible fractional states to those with no interlocking between the two spin species.

In the second part of this thesis, we propose a new universality class of fractionally quantized, topologically ordered insulators, which we name “fractional insulator”. Inspired by the fractional quantum Hall effect, spin liquids, and fractional Chern insulators, we develop a wave function approach to a new class of topological order in a two-dimensional crystal of spin-orbit coupled electrons. The idea is simply to allow the topological order to violate time reversal symmetry, while all locally observable quantities remain time reversal invariant. We refer to this situation as “topological time reversal symmetry breaking”. Our state is based on the Halperin double layer states and can be viewed as a two-layer system of an ↑-spin and a ↓-spin sphere. The construction starts off with Laughlin states for the ↑-spin and ↓-spin electrons and an interflavor term, which creates correlations between the two layers. With a careful parameter choice, we obtain a state preserving time reversal symmetry locally, and label it the “311-state”. For systems of up to six ↑-spin and six ↓-spin electrons, we manage to construct an approximate parent Hamiltonian with a physically realistic, local interaction.
N2  - In den letzten Jahren waren zweidimensionale Quantenflu¨ssigkeiten mit fraktionalen Anregungen aufgrund ihrer möglichen Anwendung auf dem aufstrebenden Forschungsgebiet der Quantencomputer und Quantenkryptographie von großem Interesse. Diese Dissertation hat sich zum Ziel gesetzt, einem tieferen Verständnis bekannter und neuer fraktionaler Quanten-Hall-Zust¨ande und ihrer Stabilisierung in lokalen Modellen beizutragen. In diesem Zusammenhang werden zwei Themen betrachtet: Chirale Spinflüssigkeiten und fraktional quantisierte, topologische Phasen. Die chirale Spinflüssigkeit ist eines der wenigen Beispiele fu¨r Spinflu¨ssigkeiten mit fraktionaler Statistik. Trotz ihrer zahlreichen vielversprechenden Eigenschaften beruhen die bisher vorgeschlagenen mikroskopischen Modelle für diesen Zustand alle auf nichtlokalen Wechselwirkungen. Dies erschwert eine experimentelle Realisierung. Im ersten Teil dieser Dissertation stellen wir die ersten Eltern-Hamiltonoperatoren vor, für die die Abelschen und nicht-Abelschen chiralen Spinflüssigkeiten die exakten und, abgesehen von einer topologischen Entartung, einzigen Grundzustände sind. Wir haben eine Methode entwickelt, um ausgehend von einem Vernichtungsoperator für die chirale Spinflüssigkeit eine lokale Mehrkörper-Wechselwirkung zu konstruieren. Numerisch finden wir für verschiedene Systemgrößen und Gittergeometrien Eigenspektren mit großer Anregungslücke und können mit Maschinengenauigkeit die Eindeutigkeit der chiralen Spinflüssigkeit als Grundzustand des jeweiligen Systems bestätigen. Damit liefern unsere Ergebnisse ein exaktes Spinmodell, in dem fraktionale Quantisierung untersucht werden kann. Topologische Isolatoren sind derzeit eines der am häufigsten untersuchten Themen in der Physik der kondensierten Materie. Mit ihrer Entdeckung kam die Frage auf: Gibt es eine verschränkte Gruppe fraktionaler Phasen mit Zeitumkehrsymmetrie? Ein intuitiver Ansatz für die theoretische Konstruktion eines solchen fraktionalen topologischen Isolators besteht darin, das direkte Produkt eines fraktionalen Quanten-HallZustands und seines Zeitumkehrkonjugats zu bilden. Solche Zustände bringen jedoch konzeptionell keinen Mehrwert, da Systeme bestehend aus einem Zustand und seinem Spiegelbild ohne zusätzliche Verschränkung im Kontext der topologischen Isolatoren im Detail erforscht sind. Daher wird aktuell nach Möglichkeiten gesucht, eine topologische Verschränkung zwischen verschiedenen Spinarten umzusetzen. Für alle Anwendungen in der Praxis scheint die Zeitumkehrsymmetrie jedoch die Menge möglicher fraktionaler Zustände auf solche ohne Verschränkung zwischen den beiden Spinspezies zu begrenzen. Im zweiten Teil dieser Dissertation schlagen wir eine neue Universalitätsklasse von fraktional quantisierten, topologisch geordneten Isolatoren vor, die wir “fraktionalen Isolator” nennen. Inspiriert vom fraktionalen Quanten-Hall-Effekt, Spin-Flüssigkeiten und fraktionalen Chern-Isolatoren entwickeln wir eine Wellenfunktion, die eine neue Klasse topologischer Ordnung in einem zweidimensionalen Kristall aus SpinOrbit-gekoppelten Elektronen beschreibt. Unser Ansatz basiert darauf, die topologische Ordnung gegen die Zeitumkehrsymmetrie verstoßen zu lassen, während alle lokal beobachtbaren Größen zeitumkehrinvariant sind. Wir bezeichnen diese Situation als “topologische Zeitumkehrsymmetriebrechung”. Unser Zustand basiert auf den Halperin-Doppelschichtzuständen und kann als ein Zweischichtensystem aus einer ↑-Spinund einer ↓-Spin-Sphäre betrachtet werden. Die Konstruktion beginnt mit zwei Laughlin-Zuständen für die ↑-Spin- und ↓-Spin-Elektronen und einem Wechselwirkungsterm, der eine Verschränkung zwischen den beiden Schichten erzeugt. Wir erhalten einen neuen Zustand, den “311-Zustand”, der lokal zeitumkehrinvariant ist. Für Systeme mit bis zu sechs ↑-Spin- und sechs ↓-Spin-Elektronen finden wir einen approximativen Eltern-Hamiltonoperator mit einer physikalisch realistischen, lokalen Wechselwirkung.
KW  - Spinflüssigkeit
KW  - Topologischer Isolator
KW  - Quantum many-body systems
KW  - Fractional quantum Hall effect
KW  - Chiral spin liquids
KW  - Topological insulators
KW  - Quantum Hall effect
KW  - Quanten-Vielteilchensysteme
KW  - Fraktionaler Quanten-Hall-Effekt
KW  - Chirale Spinflússigkeiten
KW  - Topologische Isolatoren
KW  - Quanten-Hall-Effekt
Y1  - 2019
U6  - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-185616
ER  - 
TY  - THES
A1  - Fink, Mario
T1  - Unconventional and topological superconductivity in correlated non-centrosymmetric systems with spin-orbit coupling
T1  - Unkonventionelle und topologische Supraleitung in (nicht)zentrosymmetrischen korrelierten System mit Spin-Bahn-Kopplung
N2  - Despite its history of more than one hundred years, the phenomenon of
superconductivity has not lost any of its allure. During that time the concept
and perception of the superconducting state - both from an experimental and
theoretical point of view - has evolved in way that has
triggered increasing interest. What was initially believed to simply be the
disappearance of electrical resistivity, turned out to be a universal and
inevitable result of quantum statistics, characterized by many more
aspects apart from its zero resistivity. The insights of
BCS-theory eventually helped to uncover its deep connection to particle physics
and consequently led to the formulation of the Anderson-Higgs-mechanism. The
very core of this theory is the concept of gauge symmetry (breaking). Within the
framework of condensed-matter theory, gauge invariance is only one of several
symmetry groups which are crucial for the description and classification of
superconducting states. \\

In this thesis, we employ time-reversal, inversion, point group and spin
symmetries to investigate and derive possible Hamiltonians featuring spin-orbit
interaction in two and three spatial dimensions.

In particular, this thesis aims at a generalization of existing numerical
concepts to open up the path to spin-orbit coupled (non)centrosymmetric
superconductors in multi-orbital models.
This is done in a two-fold way: On the one hand, we formulate - based on the
Kohn-Luttinger effect - the perturbative renormalization group in the
weak-coupling limit. On the other hand, we define the spinful flow equations of
the effective action in the framework of functional renormalization, which is
valid for finite interaction strength as well. Both perturbative and functional
renormalization groups produce a low-energy effective (spinful) theory that
eventually gives rise to a particular superconducting state, which is investigated
on the level of the irreducible two-particle vertex. The symbiotic relationship
between both perturbative  and functional renormalization can be traced back to
the fact that, while the perturbative renormalization at infinitesimal coupling
is only capable of dealing with the Cooper instability, the functional
renormalization can investigate a plethora of instabilities both in the
particle-particle and particle-hole channels. \\

Time-reversal and inversion are the two key symmetries, which are being used to
discriminate between two scenarios. If both time-reversal and inversion symmetry
are present, the Fermi surface will be two-fold degenerate and characterized by a
pseudospin degree of freedom. In contrast, if inversion symmetry is broken, the
Fermi surface will be spin-split and labeled by helicity. In both cases, we
construct the symmetry allowed states in the particle-particle as well as the
particle-hole channel. The methods presented are formally unified and implemented
in a modern object-oriented reusable and extendable C++ code.
This methodological implementation is employed to one member of both families of
pseudospin and helicity characterized systems. For the pseudospin case, we choose
the intriguing matter of strontium ruthenate, which has been heavily
investigated for already twenty-four years, but still keeps puzzling researchers.
Finally, as the helicity based application, we consider the oxide heterostructure
LaAlO$_{3}$/SrTiO$_{3}$, which became famous for its highly mobile two-
dimensional electron gas and is suspected to host topological superconductivity.
N2  - Trotz seiner über hundertjährigen Geschichte seit seiner Entdeckung hat das Phänomen der
Supraleitung nichts von seiner ursprünglichen Faszination eingebüßt. Vielmehr
hat sich in der Zwischenzeit der Begriff und das Verständnis des
supraleitenden Zustandes in einer Weise weiterentwickelt, die das Interesse daran
eher hat zunehmen lassen. Was anfänglich ausschließlich für ein Verschwinden
des elektrischen Widerstands gehalten wurde, ist tatsächlich ein universelles
und unvermeidliches Resultat der Quantenstatistik und besitzt viel mehr
bemerkenswerte Eigenschaften als nur den widerstandslosen elektrischen Transport.
Die Erkenntnisse der BCS-Theorie haben schließlich dazu geführt die tiefe
Verbindung zur Teilchenphysik zu offenbaren und trugen entscheidend zur
Formulierung des Anderson-Higgs-Mechanismus bei. Der wichtigste Baustein dieser
Theorie ist das Konzept der (Brechung der) Eichsymmetrie. Im Rahmen der
Festkörperphysik ist die Eichsymmetrie nur eine von mehreren Symmetrien, die
eine essentielle Rolle für die Beschreibung und Einordnung von Phänomenen der
Supraleitung spielen. \\

In dieser Arbeit wenden wir Zeitumkehr-, (räumliche) Inversions-, Punktgruppen- und
Spin-Symmetrien an, um mögliche Hamilton-Operatoren in zwei und drei räumlichen
Dimensionen, welche Spin-Bahn-Kopplung enthalten, herzuleiten und zu untersuchen. 
Diese Arbeit zielt auf eine Verallgemeinerung von existierenden numerischen
Konzepten ab und erschließt den Weg die supraleitenden Eigenschaften von Modellen
mit starker Spin-Bahn-Kopplung und mit oder ohne Inversionszentrum zu untersuchen.
Dies geschieht mit Hilfe zweier methodischer Ansätze. Erstens formulieren wir
aufbauend auf dem Kohn-Luttinger Effekt die störungstheoretische
Renormierungsgruppe im Limes schwacher Kopplung. Zweitens verwenden wir die
spinaufgelösten Flussgleichungen der effektiven Wirkung im Rahmen der funktionalen
Renormierungsgruppe, die auch für endliche Wechselwirkungsstärke gültig sind.
Die symbiotische Ergänzung der perturbativen und funktionalen Renormierungsgruppen
ist darauf zurückzuführen, dass es mit der perturbativen Methode zwar möglich ist
die Cooper Instabilität bei infinitesimaler Wechselwirkung numerisch exakt zu
berechnen, aber nur die funktionale Renormierungsgruppe auch Teilchen-Loch
Kondensate zugänglich macht. \\

Zeitumkehr- und Inversionssymmetrie sind die beiden Schlüsselsymmetrien, die
verwendet werden, um zwei Szenarien zu unterscheiden. Falls sowohl Zeitumkehr-
als auch Inversionssymmetrie gültig sind, sind die Fermiflächen zweifach entartet und durch
einen Pseudospin-Freiheitsgrad charakterisiert. Im Gegensatz dazu führt der
Verlust der Inversionssymmetrie zur Spinaufspaltung der Fermiflächen, die dann
durch die sogenannte Helizität gekennzeichnet sind. In beiden Fällen leiten wir
alle symmetrie-erlaubten Zustände her, welche die entsprechenden Teilchen-Teilchen
und Teilchen-Loch Kondensate beschreiben. 
Die vorstellten und verallgemeinerten Methoden sind im Rahmen dieser Arbeit
formal miteinander verbunden und in einem modernen objektorientierten
C++ Quellcode implementiert worden. \\

Als erste vorläufige Anwendungen für diese methodische Implementierung betrachten
wir zwei Systeme, die jeweils einer der beiden Familien zugeordnet werden können.
Zum einen berechnen wir in der Pseudospin-Formulierung der perturbativen und
funktionalen Renormierungsgruppen die Instabilitäten eines Dreiorbital-Modells
für Strontiumruthenat, das seit seiner erstmaligen Synthese trotz intensiver
Forschung immer noch Rätsel aufgibt. Zum anderen betrachten wir das zweidimensionale
Elektronengas, das sich an der Schnittstelle zwischen LaAlO$_{3}$ und SrTiO$_{3}$
bildet und welches durch seine hohe Ladungsträgermobilität
bekannt geworden ist.
KW  - Quanten-Vielteilchensysteme
KW  - Korrelierte Fermionen
KW  - Spin-Bahn-Kopplung
KW  - Perturbative/Funktionale Renormierungsgruppe
KW  - Unkonventionelle/Topologische Supraleitung
KW  - Quantum many-body systems
KW  - Correlated Fermions
KW  - Spin-Orbit interaction
KW  - Unconventional/Topological superconductivity
KW  - Perturbative/Functional Renormalization Group
Y1  - 2019
U6  - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-175034
ER  -