TY  - THES
A1  - Schnells, Vera
T1  - Fractional Insulators and their Parent Hamiltonians
T1  - Fraktionale Isolatoren und die zugehörigen Hamiltonoperatoren
N2  - In the past few years, two-dimensional quantum liquids with fractional excitations have been a topic of high interest due to their possible application in the emerging field of quantum computation and cryptography. This thesis is devoted to a deeper understanding of known and new fractional quantum Hall states and their stabilization in local models. We pursue two different paths, namely chiral spin liquids and fractionally quantized, topological phases.

The chiral spin liquid is one of the few examples of spin liquids with fractional statistics. Despite its numerous promising properties, the microscopic models for this state proposed so far are all based on non-local interactions, making the experimental realization challenging. In the first part of this thesis, we present the first local parent Hamiltonians, for which the Abelian and non-Abelian chiral spin liquids are the exact and, modulo a topological degeneracy, unique ground states. We have developed a systematic approach to find an annihilation operator of the chiral spin liquid and construct from it a many-body interaction which establishes locality. For various system sizes and lattice geometries, we numerically find largely gapped eigenspectra and confirm to an accuracy of machine precision the uniqueness of the chiral spin liquid as ground state of the respective system. Our results provide an exact spin model in which fractional quantization can be studied.

Topological insulators are one of the most actively studied topics in current condensed matter physics research. With the discovery of the topological insulator, one question emerged: Is there an interaction-driven set of fractionalized phases with time reversal symmetry? One intuitive approach to the theoretical construction of such a fractional topological insulator is to take the direct product of a fractional quantum Hall state and its time reversal conjugate. However, such states are well studied conceptually and do not lead to new physics, as the idea of taking a state and its mirror image together without any entanglement between the states has been well understood in the context of topological insulators. Therefore, the community has been looking for ways to implement some topological interlocking between different spin species. Yet, for all practical purposes so far, time reversal symmetry has appeared to limit the set of possible fractional states to those with no interlocking between the two spin species.

In the second part of this thesis, we propose a new universality class of fractionally quantized, topologically ordered insulators, which we name “fractional insulator”. Inspired by the fractional quantum Hall effect, spin liquids, and fractional Chern insulators, we develop a wave function approach to a new class of topological order in a two-dimensional crystal of spin-orbit coupled electrons. The idea is simply to allow the topological order to violate time reversal symmetry, while all locally observable quantities remain time reversal invariant. We refer to this situation as “topological time reversal symmetry breaking”. Our state is based on the Halperin double layer states and can be viewed as a two-layer system of an ↑-spin and a ↓-spin sphere. The construction starts off with Laughlin states for the ↑-spin and ↓-spin electrons and an interflavor term, which creates correlations between the two layers. With a careful parameter choice, we obtain a state preserving time reversal symmetry locally, and label it the “311-state”. For systems of up to six ↑-spin and six ↓-spin electrons, we manage to construct an approximate parent Hamiltonian with a physically realistic, local interaction.
N2  - In den letzten Jahren waren zweidimensionale Quantenflu¨ssigkeiten mit fraktionalen Anregungen aufgrund ihrer möglichen Anwendung auf dem aufstrebenden Forschungsgebiet der Quantencomputer und Quantenkryptographie von großem Interesse. Diese Dissertation hat sich zum Ziel gesetzt, einem tieferen Verständnis bekannter und neuer fraktionaler Quanten-Hall-Zust¨ande und ihrer Stabilisierung in lokalen Modellen beizutragen. In diesem Zusammenhang werden zwei Themen betrachtet: Chirale Spinflüssigkeiten und fraktional quantisierte, topologische Phasen. Die chirale Spinflüssigkeit ist eines der wenigen Beispiele fu¨r Spinflu¨ssigkeiten mit fraktionaler Statistik. Trotz ihrer zahlreichen vielversprechenden Eigenschaften beruhen die bisher vorgeschlagenen mikroskopischen Modelle für diesen Zustand alle auf nichtlokalen Wechselwirkungen. Dies erschwert eine experimentelle Realisierung. Im ersten Teil dieser Dissertation stellen wir die ersten Eltern-Hamiltonoperatoren vor, für die die Abelschen und nicht-Abelschen chiralen Spinflüssigkeiten die exakten und, abgesehen von einer topologischen Entartung, einzigen Grundzustände sind. Wir haben eine Methode entwickelt, um ausgehend von einem Vernichtungsoperator für die chirale Spinflüssigkeit eine lokale Mehrkörper-Wechselwirkung zu konstruieren. Numerisch finden wir für verschiedene Systemgrößen und Gittergeometrien Eigenspektren mit großer Anregungslücke und können mit Maschinengenauigkeit die Eindeutigkeit der chiralen Spinflüssigkeit als Grundzustand des jeweiligen Systems bestätigen. Damit liefern unsere Ergebnisse ein exaktes Spinmodell, in dem fraktionale Quantisierung untersucht werden kann. Topologische Isolatoren sind derzeit eines der am häufigsten untersuchten Themen in der Physik der kondensierten Materie. Mit ihrer Entdeckung kam die Frage auf: Gibt es eine verschränkte Gruppe fraktionaler Phasen mit Zeitumkehrsymmetrie? Ein intuitiver Ansatz für die theoretische Konstruktion eines solchen fraktionalen topologischen Isolators besteht darin, das direkte Produkt eines fraktionalen Quanten-HallZustands und seines Zeitumkehrkonjugats zu bilden. Solche Zustände bringen jedoch konzeptionell keinen Mehrwert, da Systeme bestehend aus einem Zustand und seinem Spiegelbild ohne zusätzliche Verschränkung im Kontext der topologischen Isolatoren im Detail erforscht sind. Daher wird aktuell nach Möglichkeiten gesucht, eine topologische Verschränkung zwischen verschiedenen Spinarten umzusetzen. Für alle Anwendungen in der Praxis scheint die Zeitumkehrsymmetrie jedoch die Menge möglicher fraktionaler Zustände auf solche ohne Verschränkung zwischen den beiden Spinspezies zu begrenzen. Im zweiten Teil dieser Dissertation schlagen wir eine neue Universalitätsklasse von fraktional quantisierten, topologisch geordneten Isolatoren vor, die wir “fraktionalen Isolator” nennen. Inspiriert vom fraktionalen Quanten-Hall-Effekt, Spin-Flüssigkeiten und fraktionalen Chern-Isolatoren entwickeln wir eine Wellenfunktion, die eine neue Klasse topologischer Ordnung in einem zweidimensionalen Kristall aus SpinOrbit-gekoppelten Elektronen beschreibt. Unser Ansatz basiert darauf, die topologische Ordnung gegen die Zeitumkehrsymmetrie verstoßen zu lassen, während alle lokal beobachtbaren Größen zeitumkehrinvariant sind. Wir bezeichnen diese Situation als “topologische Zeitumkehrsymmetriebrechung”. Unser Zustand basiert auf den Halperin-Doppelschichtzuständen und kann als ein Zweischichtensystem aus einer ↑-Spinund einer ↓-Spin-Sphäre betrachtet werden. Die Konstruktion beginnt mit zwei Laughlin-Zuständen für die ↑-Spin- und ↓-Spin-Elektronen und einem Wechselwirkungsterm, der eine Verschränkung zwischen den beiden Schichten erzeugt. Wir erhalten einen neuen Zustand, den “311-Zustand”, der lokal zeitumkehrinvariant ist. Für Systeme mit bis zu sechs ↑-Spin- und sechs ↓-Spin-Elektronen finden wir einen approximativen Eltern-Hamiltonoperator mit einer physikalisch realistischen, lokalen Wechselwirkung.
KW  - Spinflüssigkeit
KW  - Topologischer Isolator
KW  - Quantum many-body systems
KW  - Fractional quantum Hall effect
KW  - Chiral spin liquids
KW  - Topological insulators
KW  - Quantum Hall effect
KW  - Quanten-Vielteilchensysteme
KW  - Fraktionaler Quanten-Hall-Effekt
KW  - Chirale Spinflússigkeiten
KW  - Topologische Isolatoren
KW  - Quanten-Hall-Effekt
Y1  - 2019
U6  - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-185616
ER  - 
TY  - THES
A1  - Jürgens, Stefan
T1  - Correlated Topological Materials
T1  - Korrelierte Topologische Materialien
N2  - The topic of this PhD thesis is the combination of topologically non-trivial phases with correlation effects stemming from Coulomb interaction between the electrons in a condensed matter system. Emphasis is put on both emerging benefits as well as hindrances, e.g. concerning the topological protection in the presence of strong interactions. 

The physics related to topological effects is established in Sec. 2. Based on the topological band theory, we introduce topological materials including Chern insulators, topological insulators in two and three dimensions as well as Weyl semimetals. Formalisms for a controlled treatment of Coulomb correlations are presented in Sec. 3, starting with the topological field theory. The Random Phase Approximation is introduced as a perturbative approach, while in the strongly interacting limit the theory of quantum Hall ferromagnetism applies. Interactions in one dimension are special, and are treated through the Luttinger liquid description. The section ends with an overview of the expected benefits offered by the combination of topology and interactions, see Sec. 3.3. 

These ideas are then elaborated in the research part. In Chap. II, we consider weakly interacting 2D topological insulators, described by the Bernevig-Hughes-Zhang model. This is applicable, e.g., to quantum well structures made of HgTe/CdTe or InAs/GaSb. The bulk band structure is here a mixture stemming from linear Dirac and quadratic Schrödinger fermions. We study the low-energy excitations in Random Phase Approximation, where a new interband plasmon emerges due to the combined Dirac and Schrödinger physics, which is absent in the separate limits. Already present in the undoped limit, one finds it also at finite doping, where it competes with the usual intraband plasmon. The broken particle-hole symmetry in HgTe quantum wells allows for an effective separation of the two in the excitation spectrum for experimentally accessible parameters, in the right range for Raman or electron loss spectroscopy. The interacting bulk excitation spectrum shows here clear differences between the topologically trivial and topologically non-trivial regime. An even stronger signal in experiments is expected from the optical conductivity of the system. It thus offers a quantitative way to identify the topological phase of 2D topological insulators from a bulk measurement. 

In Chap. III, we study a strongly interacting system, forming an ordered, quantum Hall ferromagnetic state. The latter can arise also in weakly interacting materials with an applied strong magnetic field. Here, electrons form flat Landau levels, quenching the kinetic energy such that Coulomb interaction can be dominant. These systems define the class of quantum Hall topological insulators: topologically non-trivial states at finite magnetic field, where the counter-propagating edge states are protected by a symmetry (spatial or spin) other than time-reversal. Possible material realizations are 2D topological insulators like HgTe heterostructures and graphene. In our analysis, we focus on the vicinity of the topological phase transition, where the system is in a strongly interacting quantum Hall ferromagnetic state. The bulk and edge physics can be described by a nonlinear \sigma-model for the collective order parameter of the ordered state. We find that an emerging, continuous U(1) symmetry offers topological protection. If this U(1) symmetry is preserved, the topologically non-trivial phase persists in the presence of interactions, and we find a helical Luttinger liquid at the edge. The latter is highly tunable by the magnetic field, where the effective interaction strength varies from weakly interacting at zero field, K \approx 1, to diverging interaction strength at the phase transition, K -> 0. 

In the last Chap. IV, we investigate whether a Weyl semimetal and a 3D topological insulator phase can exist together at the same time, with a combined, hybrid surface state at the joint boundaries. An overlap between the two can be realized by Coulomb interaction or a spatial band overlap of the two systems. A tunnel coupling approach allows us to derive the hybrid surface state Hamiltonian analytically, enabling a detailed study of its dispersion relation. For spin-symmetric coupling, new Dirac nodes emerge out of the combination of a single Dirac node and a Fermi arc. Breaking the spin symmetry through the coupling, the dispersion relation is gapped and the former Dirac node gets spin-polarized. We propose experimental realizations of the hybrid physics, including compressively strained HgTe as well as heterostructures of topological insulator and Weyl semimetal materials, connected to each other, e.g., by Coulomb interaction.
N2  - Das Thema dieser Doktorarbeit ist die Kombination von topologisch nicht-trivialen (TnT) Phasen mit Coulomb Wechselwirkungseffekten, die zwischen den Elektronen eines Systems der kondensierten Materie auftreten. Ein Schwerpunkt wird sowohl auf die sich ergebenen Vorteile als auch möglichen Nachteile gelegt, z.B. bezogen auf den topologischen Schutz in der Gegenwart von starker Wechselwirkung. 

Die topologischen Effekte in der Physik werden in Kap. 2 vorgestellt. Basierend auf der topologischen Bandtheorie führen wir die topologischen Materialien ein, inklusive Chern Isolatoren, topologischer Isolatoren (TIs) in zwei und drei Dimensionen und Weyl Halbmetallen (WSMs). Die Formalismen für eine kontrollierte Behandlung der Coulomb Korrelationen werden in Kap. 3 präsentiert, beginnend mit der topologischen Feldtheorie. Die Random Phase Approximation bietet einen störungstheoretischen Ansatz, während im Bereich der starken Wechselwirkung die Theorie des Quanten-Hall-Ferromagnetismus greift. Wechselwirkende Systeme in einer Dimension sind besonders und werden von uns als Luttinger Flüssigkeit beschrieben. Das Kapitel endet mit einem Überblick über die zu erwartenden Vorteile und Möglichkeiten einer Kombination von Topologie und Korrelationen in Kap. 3.3. 

Diese Ideen werden im Forschungsteil weiter ausgeführt. In Kap. II beschäftigen wir uns mit schwach wechselwirkenden, zweidimensionalen (2D) TIs, beschrieben durch das Bernevig-Hughes-Zhang Modell. Dies ist z.B. anwendbar für Quantentrogstrukturen basierend auf HgTe/CdTe oder InAs/GaSb. Die Bandstruktur im Volumen ist hier gegeben durch eine Mischung aus linearen Dirac and quadratischen Schrödinger Fermionen. Wir untersuchen die Anregungen für kleine Energien mittels Random Phase Approximation und finden ein neues Interbandplasmon, das aus der Kombination von Dirac und Schrödinger Physik entspringt und in den jeweiligen Grenzfällen nicht existiert. Während es bereits im undotierten Fall zu finden ist, konkurriert es bei endlicher Dotierung mit dem gewöhnlichen Intrabandplasmon. Die gebrochene Teilchen-Loch Symmetrie in HgTe Quantentrögen ermöglicht eine Trennung der Beiden im Anregungsspektrum, für experimentell zugängliche Parameter in der richtigen Größenordnung für Raman- oder Elektronenspektroskopie. Das wechselwirkende Anregungsspektrum des Bulk zeigt hier klare Unterschiede zwischen dem topologisch trivialen und nicht-trivialen Regime. Ein noch deutlicheres experimentelles Signal erwarten wir von der optischen Leitfähigkeit des Systems, welche somit eine quantitative Möglichkeit bietet, zwischen den topologischen Phasen eines 2D TIs mittels einer Bulk Messung zu unterscheiden. 

In Kap. III untersuchen wir stark-wechselwirkende Systeme, die sich in einem geordneten, Quanten-Hall-Ferromagnetischen (QHFM) Zustand befinden. Dieser Zustand kann auch in schwach-wechselwirkenden Systemen in einem starken magnetischen Feld auftreten. In diesem Fall bilden die Elektronen flache Landau-Niveaus mit minimierter kinetischer Energie aus, sodass die Coulomb Wechselwirkung dominiert. Solche Systeme bilden die Klasse der Quanten-Hall topologischen Isolatoren (QHTIs): TnT Zustände bei endlichem Magnetfeld, deren gegenläufige Randzustände nicht durch Zeitumkehr, sondern durch räumliche oder spin Symmetrien geschützt werden. Infrage kommende Materialien sind 2D TIs wie HgTe Heterostrukturen oder Graphen. Unsere Analyse fokussiert sich auf die Umgebung des topologischen Phasenübergangs, in der sich das System in dem stark-wechselwirkenden QHFM Zustand befindet. Hier kann die Physik sowohl des Bulks als auch die der Randzustände mittels des nichtlinearen \sigma-Modells für den Ordnungsparameter beschrieben werden. Wir zeigen, dass eine effektive, kontinuierliche U(1) Symmetrie für den topologischen Schutz sorgt. Ist diese Symmetrie erhalten, bleibt die TnT Phase auch für starke Wechselwirkungen bestehen und die Randzustände bilden eine helikale Luttinger Flüssigkeit. Diese kann durch das magnetische Feld stark beeinflusst werden, sodass die effektive Wechselwirkungsstärke zwischen schwach wechselwirkend für vernachlässigbares Feld, K \approx 1, und stark wechselwirkend am topologischen Phasenübergang, K -> 0, variiert. 

Im letzten Kap. IV erforschen wir, ob WSM- and drei-dimensionale TI-Phasen zeitgleich und am selben Ort existieren können, mit einem hybriden Oberflächenzustand an der gemeinsamen Grenzfläche. Ein entsprechender Austausch zwischen den Materialien kann durch Coulomb Wechselwirkung oder eine räumliche Bandüberlagerung realisiert werden. Ein Tunnelkopplungsansatz erlaubt es uns, den hybriden Oberflächenhamiltonian analytisch herzuleiten und ermöglicht so eine detaillierte Analyse der Oberflächendispersionsrelation. Im Fall von spin-symmetrischer Kopplung entstehen weitere Diracpunkte aus der Kombination eines einzelnen Diracpunktes und eines Fermibogens. Bricht man die Spinsymmetrie durch die Kopplung entstehen Bandlücken in der Oberflächendispersion und die ursprünglichen Diracpunkte werden spinpolarisiert. Wir schlagen experimentelle Umsetzungen dieser hybriden Physik vor, z.B. kompressiv verspanntes HgTe oder auch Heterostrukturen aus TI and WSM Materialien.
KW  - Topologie
KW  - Elektronenkorrelation
KW  - Mesoskopisches System
KW  - Topological insulators
KW  - Weyl semimetals
KW  - Correlation effects
KW  - Topologischer Isolator
Y1  - 2017
U6  - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-152202
ER  -