TY  - THES
A1  - Zeeb, Steffen
T1  - Chaos Synchronization in Time-Delayed Coupled Networks
T1  - Chaos Synchronisation in zeitverzögert gekoppelten Netzwerken
N2  - Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Untersuchung verschiedener Aspekte der Chaos Synchronisation von Netzwerken mit zeitverzögerten Kopplungen. Ein Netzwerk aus identischen chaotischen Einheiten kann vollständig und isochron synchronisieren, auch wenn der Signalaustausch einer starken Zeitverzögerung unterliegt. Im ersten Teil der Arbeit werden Systeme mit mehreren Zeitverzögerungen betrachtet. Dabei erstrecken sich die verschiedenen Zeitverzögerungen jeweils über einen weiten Bereich an Größenordnungen. Es wird gezeigt, dass diese Zeitverzögerungen im Lyapunov Spektrum des Systems auftreten; verschiedene Teile des Spektrums skalieren jeweils mit einer der Zeitverzögerungen. Anhand des Skalierungsverhaltens des maximalen Lyapunov Exponenten können verschiedene Arten von Chaos definiert werden. Diese bestimmen die Synchronisationseigenschaften eines Netzwerkes und werden insbesondere wichtig bei hierarchischen Netzwerken, d.h. bei Netzwerken bestehend aus Unternetzwerken, bei welchen Signale innerhalb des Unternetzwerkes auf einer anderen Zeitskala ausgetauscht werden als zwischen verschiedenen Unternetzwerken. Für ein solches System kann sowohl vollständige als auch Unternetzwerksynchronisation auftreten. Skaliert der maximale Lyapunov Exponent mit der kürzeren Zeitverzögerung des Unternetzwerkes dann können nur die Elemente des Unternetzwerkes synchronisieren. Skaliert der maximale Lyapunov Exponent allerdings mit der längeren Zeitverzögerung kann das komplette Netzwerk vollständig synchronisieren. Dies wird analytisch für die Bernoulli Abbildung und numerisch für die Zelt Abbildung gezeigt. Der zweite Teil befasst sich mit der Attraktordimension und ihrer Änderung am Übergang zur vollständiger Chaos Synchronisation. Aus dem Lyapunov Spektrum des Systems wird die Kaplan-Yorke Dimension berechnet und es wird gezeigt, dass diese am Synchronisationsübergang aus physikalischen Gründen einen Sprung haben muss. Aus der Zeitreihe der Dynamik des Systems wird die Korrelationsdimension bestimmt und anschließend mit der Kaplan-Yorke Dimension verglichen. Für Bernoulli Systeme finden wir in der Tat eine Diskontinuität in der Korrelationsdimension. Die Stärke des Sprungs der Kaplan-Yorke Dimension wird für ein Netzwerk aus Bernoulli Einheiten als Funktion der Netzwerkgröße berechnet. Desweiteren wird das Skalierungsverhalten der Kaplan-Yorke Dimension sowie der Kolmogoroventropie in Abhängigkeit der Systemgröße und der Zeitverzögerung untersucht. Zu guter Letzt wird eine Verstimmung der Einheiten, d.h., ein "parameter mismatch", eingeführt und analysiert wie diese das Verhalten der Attraktordimension ändert. Im dritten und letzten Teil wird die lineare Antwort eines synchronisierten chaotischen Systems auf eine kleine externe Störung untersucht. Diese Störung bewirkt eine Abweichung der Einheiten vom perfekt synchronisierten Zustand. Die Verteilung der Abstände zwischen zwei Einheiten dient als Maß für die lineare Antwort des Systems. Diese Verteilung sowie ihre Momente werden numerisch und für Spezialfälle auch analytisch berechnet. Wir finden, dass im synchronisierten Zustand, in Abhängigkeit der Parameter des Systems, Verteilungen auftreten können die einem Potenzgesetz gehorchen und dessen Momente divergieren. Als weiteres Maß für die lineare Antwort wird die Bit Error Rate einer übermittelten binären Nachricht verwendet. The Bit Error Rate ist durch ein Integral über die Verteilung der Abstände gegeben. In dieser Arbeit wird sie vorwiegend numerisch untersucht und wir finden ein komplexes, nicht monotones Verhalten als Funktion der Kopplungsstärke. Für Spezialfälle weist die Bit Error Rate eine "devil's staircase" auf, welche mit einer fraktalen Struktur in der Verteilung der Abstände verknüpft ist. Die lineare Antwort des Systems auf eine harmonische Störung wird ebenfalls untersucht. Es treten Resonanzen auf, welche in Abhängigkeit von der Zeitverzögerung unterdrückt oder verstärkt werden. Eine bi-direktional gekoppelte Kette aus drei Einheiten kann eine Störung vollständig heraus filtern, so dass die Bit Error Rate und auch das zweite Moment verschwinden.
N2  - In this thesis we study various aspects of chaos synchronization of time-delayed coupled chaotic maps. A network of identical nonlinear units interacting by time-delayed couplings can synchronize to a common chaotic trajectory. Even for large delay times the system can completely synchronize without any time shift. In the first part we study chaotic systems with multiple time delays that range over several orders of magnitude. We show that these time scales emerge in the Lyapunov spectrum: Different parts of the spectrum scale with the different delays. We define various types of chaos depending on the scaling of the maximum exponent. The type of chaos determines the synchronization ability of coupled networks. This is, in particular, relevant for the synchronization properties of networks of networks where time delays within a subnetwork are shorter than the corresponding time delays between the different subnetworks. If the maximum Lyapunov exponent scales with the short intra-network delay, only the elements within a subnetwork can synchronize. If, however, the maximum Lyapunov exponent scales with the long inter-network connection, complete synchronization of all elements is possible. The results are illustrated analytically for Bernoulli maps and numerically for tent maps. In the second part the attractor dimension at the transition to complete chaos synchronization is investigated. In particular, we determine the Kaplan-Yorke dimension from the spectrum of Lyapunov exponents for iterated maps. We argue that the Kaplan-Yorke dimension must be discontinuous at the transition and compare it to the correlation dimension. For a system of Bernoulli maps we indeed find a jump in the correlation dimension. The magnitude of the discontinuity in the Kaplan-Yorke dimension is calculated for networks of Bernoulli units as a function of the network size. Furthermore the scaling of the Kaplan-Yorke dimension as well as of the Kolmogorov entropy with system size and time delay is investigated. Finally, we study the change in the attractor dimension for systems with parameter mismatch. In the third and last part the linear response of synchronized chaotic systems to small external perturbations is studied. The distribution of the distances from the synchronization manifold, i.e., the deviations between two synchronized chaotic units due to external perturbations on the transmitted signal, is used as a measure of the linear response. It is calculated numerically and, for some special cases, analytically. Depending on the model parameters this distribution has power law tails in the region of synchronization leading to diverging moments. The linear response is also quantified by means of the bit error rate of a transmitted binary message which perturbs the synchronized system. The bit error rate is given by an integral over the distribution of distances and is studied numerically for Bernoulli, tent and logistic maps. It displays a complex nonmonotonic behavior in the region of synchronization. For special cases the distribution of distances has a fractal structure leading to a devil's staircase for the bit error rate as a function of coupling strength. The response to small harmonic perturbations shows resonances related to coupling and feedback delay times. A bi-directionally coupled chain of three units can completely filter out the perturbation. Thus the second moment and the bit error rate become zero.
KW  - Chaostheorie
KW  - Synchronisierung
KW  - Netzwerk
KW  - Nonlinear Dynamics
KW  - Chaos
KW  - Synchronization
KW  - Networks
KW  - Chaotisches System
KW  - Attraktor
KW  - Dynamisches System
KW  - Nichtlineares System
Y1  - 2013
U6  - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-78966
ER  - 
TY  - THES
A1  - Heiligenthal, Sven
T1  - Strong and Weak Chaos in Networks of Semiconductor Lasers with Time-Delayed Couplings
T1  - Starkes und Schwaches Chaos in Netzwerken aus Halbleiterlasern mit zeitverzögerten Kopplungen
N2  - This thesis deals with the chaotic dynamics of nonlinear networks consisting of semiconductor lasers which have time-delayed self-feedbacks or mutual couplings. These semiconductor lasers are simulated numerically by the Lang-Kobayashi equations. The central issue is how the chaoticity of the lasers, measured by the maximal Lyapunov exponent, changes when the delay time is changed. It is analysed how this change of chaoticity with increasing delay time depends on the reflectivity of the mirror for the self-feedback or the strength of the mutal coupling, respectively. The consequences of the different types of chaos for the effect of chaos synchronization of mutually coupled semiconductor lasers are deduced and discussed. At the beginning of this thesis, the master stability formalism for the stability analysis of nonlinear networks with delay is explained. After the description of the Lang-Kobayashi equations and their linearizations as a model for the numerical simulation of semiconductor lasers with time-delayed couplings, the artificial sub-Lyapunov exponent $\lambda_{0}$ is introduced. It is explained how the sign of the sub-Lyapunov exponent can be determined by experiments. The notions of "strong chaos" and "weak chaos" are introduced and distinguished by their different scaling properties of the maximal Lyapunov exponent with the delay time. The sign of the sub-Lyapunov exponent $\lambda_{0}$ is shown to determine the occurence of strong or weak chaos. The transition sequence "weak to strong chaos and back to weak chaos" upon monotonically increasing the coupling strength $\sigma$ of a single laser's self-feedback is shown for numerical calculations of the Lang-Kobayashi equations. At the transition between strong and weak chaos, the sub-Lyapunov exponent vanishes, $\lambda_{0}=0$, resulting in a special scaling behaviour of the maximal Lyapunov exponent with the delay time. Transitions between strong and weak chaos by changing $\sigma$ can also be found for the Rössler and Lorenz dynamics. The connection between the sub-Lyapunov exponent and the time-dependent eigenvalues of the Jacobian for the internal laser dynamics is analysed. Counterintuitively, the difference between strong and weak chaos is not directly visible from the trajectory although the difference of the trajectories induces the transitions between the two types of chaos. In addition, it is shown that a linear measure like the auto-correlation function cannot unambiguously reveal the difference between strong and weak chaos either. Although the auto-correlations after one delay time are significantly higher for weak chaos than for strong chaos, it is not possible to detect a qualitative difference. If two time-scale separated self-feedbacks are present, the shorter feedback has to be taken into account for the definition of a new sub-Lyapunov exponent $\lambda_{0,s}$, which in this case determines the occurence of strong or weak chaos. If the two self-feedbacks have comparable delay times, the sub-Lyapunov exponent $\lambda_{0}$ remains the criterion for strong or weak chaos. It is shown that the sub-Lyapunov exponent scales with the square root of the effective pump current $\sqrt{p-1}$, both in its magnitude and in the position of the critical coupling strengths. For networks with several distinct sub-Lyapunov exponents, it is shown that the maximal sub-Lyapunov exponent of the network determines whether the network's maximal Lyapunov exponent scales strongly or weakly with increasing delay time. As a consequence, complete synchronization of a network is excluded for arbitrary networks which contain at least one strongly chaotic laser. Furthermore, it is demonstrated that the sub-Lyapunov exponent of a driven laser depends on the number of the incoherently superimposed inputs from unsynchronized input lasers. For networks of delay-coupled lasers operating in weak chaos, the condition $|\gamma_{2}|<\mathrm{e}^{-\lambda_{\mathrm{m}}\,\tau}$ for stable chaos synchronization is deduced using the master stability formalism. Hence, synchronization of any network depends only on the properties of a single laser with self-feedback and the eigenvalue gap of the coupling matrix. The characteristics of the master stability function for the Lang-Kobayashi dynamics is described, and consequently, the master stability function is refined to allow for precise practical prediction of synchronization. The prediction of synchronization with the master stability function is demonstrated for bidirectional and unidirectional networks. Furthermore, the master stability function is extended for two distinct delay times. Finally, symmetries and resonances for certain values of the ratio of the delay times are shown for the master stability function of the Lang-Kobyashi equations.
N2  - Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der chaotischen Dynamik von nichtlinearen Netzwerken, die aus Halbleiterlasern bestehen, welche ihrerseits eine zeitverzögerte Selbstrückkopplung oder gegenseitige Kopplungen aufweisen. Diese Halbleiterlaser werden numerisch mit Hilfe der Lang-Kobayashi-Gleichungen simuliert. Die zentrale Fragestellung ist dabei, wie sich die Chaotizität der Laser, die in Form des größten Lyanpunov-Exponenten gemessen wird, mit der Verzögerungszeit ändert. Des Weiteren wird untersucht, wie diese Veränderung der Chaotizität bei Zunahme der zeitlichen Verzögerung entweder von der Reflektivität des Spiegels der Selbstrückkopplung oder aber von der Stärke der gegenseitigen Kopplungen abhängt. Die Folgen der unterschiedlichen Arten von Chaos für den Effekt der Chaossynchronisation gegenseitig gekoppelter Halbleiterlaser werden hergeleitet und diskutiert. Zu Beginn dieser Arbeit wird zunächst der Master-Stability-Formalismus für die Stabilitätsanalyse von nichtlinearen Netzwerken mit Zeitverzögerung erklärt. Nach der Beschreibung der Lang-Kobayshi-Gleichungen und deren Linearisierungen als Modell für die numerische Simulation von Halbleiterlasern mit zeitverzögerten Kopplungen wird der künstliche Sub-Lyapunov-Exponent $\lambda_{0}$ eingeführt. Es wird erläutert, wie das Vorzeichen des Sub-Lyapunov-Exponenten in Experimenten bestimmt werden kann. Die Termini "starkes Chaos" und "schwaches Chaos" werden eingeführt. Diese werden auf Basis der unterschiedlichen Skalierungseigenschaften des größten Lyapunov-Exponenten mit der Verzögerungszeit unterschieden. Es wird gezeigt, dass das Vorzeichen des Sub-Lyapunov-Exponenten $\lambda_{0}$ das Auftreten von starkem oder schwachem Chaos bestimmt. Die Übergangssequenz "schwaches zu starkem Chaos und wieder zurück zu schwachem Chaos" bei monotoner Erhöhung der Kopplungsstärke $\sigma$ eines einzelnen Lasers mit Selbstrückkopplung wird für numerische Berechnungen der Lang-Kobayashi-Gleichungen dargestellt. Beim Übergang zwischen starkem und schwachem Chaos verschwindet der Sub-Lyapunov-Exponent, $\lambda_{0}=0$, was zu einem speziellen Skalierungsverhalten des größten Lyapunov-Exponenten mit der Verzögerungszeit führt. Übergänge zwischen starkem und schwachem Chaos durch Änderung von $\sigma$ können auch für die Rössler- und Lorenz-Dynamik gefunden werden. Der Zusammenhang zwischen dem Sub-Lyapunov-Exponenten und den zeitabhängigen Eigenwerten der Jacobi-Matrix der internen Laserdynamik wird analysiert. Anders als intuitiv erwartet, ist der Unterschied zwischen starkem und schwachem Chaos nicht unmittelbar anhand der Trajektorie ersichtlich, obwohl der Unterschied der Trajektorien die Übergänge zwischen den beiden Chaosarten induziert. Darüber hinaus wird gezeigt, dass ein lineares Maß wie die Autokorrelationsfunktion den Unterschied zwischen starkem und schwachem Chaos auch nicht eindeutig aufzeigen kann. Obwohl die um eine Verzögerungszeit verschobenen Autokorrelationen für schwaches Chaos signifikant größer als für starkes Chaos sind, ist es nicht möglich, einen qualitativen Unterschied festzustellen. Bei Vorliegen zweier zeitskalenseparierter Selbstrückkopplungen muss die kürzere Rückkopplung bei der Definition eines neuen Sub-Lyapunov-Exponenten $\lambda_{0,s}$ berücksichtigt werden, welcher dann das Auftreten von starkem oder schwachem Chaos bestimmt. Falls die beiden Selbstrückkopplungen vergleichbare Verzögerungszeiten aufweisen, so ist der Sub-Lyapunov-Exponent $\lambda_{0}$ nach wie vor das Kriterium für starkes oder schwaches Chaos. Es wird gezeigt, dass der Sub-Lyapunov-Exponent mit der Quadratwurzel des effektiven Pumpstroms $\sqrt{p-1}$ skaliert, und zwar sowohl bezüglich seiner Größe als auch bezüglich der Position der kritischen Kopplungsstärken. Für Netzwerke mit mehreren unterschiedlichen Sub-Lyapunov-Exponenten wird gezeigt, dass der größte Sub-Lyapunov-Exponent des Netzwerks bestimmt, ob der größte Lyapunov-Exponent des Netzwerks mit zunehmender Verzögerungszeit stark oder schwach skaliert. Folglich ist vollständige Synchronisation eines Netzwerks für beliebige Netzwerke, die wenigstens einen stark chaotischen Laser beinhalten, ausgeschlossen. Zudem wird gezeigt, dass der Sub-Lyapunov-Exponent eines getriebenen Lasers von der Anzahl der inkohärent superponierten Eingangssignale der nicht synchronisierten Eingangslaser abhängt. Für Netzwerke aus zeitverzögert gekoppelten Lasern, die im schwachen Chaos betrieben werden, wird die Bedingung $|\gamma_{2}|<\mathrm{e}^{-\lambda_{\mathrm{m}}\,\tau}$ für stabile Chaossynchronisation mit Hilfe des Master-Stability-Formalismus hergeleitet. Folglich hängt die Synchronisation eines jeden Netzwerks nur von den Eigenschaften eines einzelnen Lasers mit Selbstrückkopplung und von der Eigenwertlücke der Kopplungsmatrix ab. Die spezifischen Eigenschaften der Master-Stability-Funktion der Lang-Kobayashi-Dynamik werden beschrieben, und dementsprechend wird die Master-Stability-Funktion angepasst, um eine präzise praktische Vorhersage von Synchronisation zu ermöglichen. Die Vorhersage von Synchronisation mittels der Master-Stability-Funktion wird für bidirektionale und unidirektionale Netzwerke demonstriert. Ferner wird die Master-Stability-Funktion für den Fall zweier unterschiedlicher Verzögerungszeiten erweitert. Schließlich werden Symmetrien und Resonanzen bei bestimmten Werten des Verhältnisses der Verzögerungszeiten für die Master-Stability-Funktion der Lang-Kobyashi-Gleichungen aufgezeigt.
KW  - Halbleiterlaser
KW  - Nichtlineares dynamisches System
KW  - Chaotisches System
KW  - Nonlinear Dynamics
KW  - Chaos
KW  - Synchronization
KW  - Networks
KW  - Delay-Differential Equations
KW  - Semiconductor Lasers
KW  - Simulation
KW  - Chaostheorie
KW  - Nichtlineares System
KW  - Dynamisches System
KW  - Synchronisierung
KW  - Netzwerk
Y1  - 2012
U6  - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-77958
ER  - 
TY  - THES
A1  - Englert, Anja
T1  - Chaossynchronisation in Netzwerken mit zeitverzögerten Kopplungen
T1  - Chaos synchronization in networks with time-delayed couplings
N2  - Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Chaossynchronisation in Netzwerken mit zeitverzögerten Kopplungen. Ein Netzwerk chaotischer Einheiten kann isochron und vollständig synchronisieren, auch wenn der Austausch der Signale einer oder mehreren Verzögerungszeiten unterliegt. In einem Netzwerk identischer Einheiten hat sich als Stabilitätsanalyse die Methode der Master Stability Funktion von Pecora und Carroll etabliert. Diese entspricht für ein Netzwerk gekoppelter iterativer Bernoulli-Abbildungen Polynomen vom Grade der größten Verzögerungszeit. Das Stabilitätsproblem reduziert sich somit auf die Untersuchung der Nullstellen dieser Polynome hinsichtlich ihrer Lage bezüglich des Einheitskreises. Eine solche Untersuchung kann beispielsweise numerisch mit dem Schur-Cohn-Theorem erfolgen, doch auch analytische Ergebnisse lassen sich erzielen. In der vorliegenden Arbeit werden Bernoulli-Netzwerke mit einer oder mehreren zeitverzögerten Kopplungen und/oder Rückkopplungen untersucht. Hierbei werden Aussagen über Teile des Stabilitätsgebietes getroffen, welche unabhängig von den Verzögerungszeiten sind. Des Weiteren werden Aussagen zu Systemen gemacht, welche sehr große Verzögerungszeiten aufweisen. Insbesondere wird gezeigt, dass in einem Bernoulli-Netzwerk keine stabile Chaossynchronisation möglich ist, wenn die vorhandene Verzögerungszeit sehr viel größer ist als die Zeitskala der lokalen Dynamik, bzw. der Lyapunovzeit. Außerdem wird in bestimmten Systemen mit mehreren Verzögerungszeiten anhand von Symmetriebetrachtungen stabile Chaossynchronisation ausgeschlossen, wenn die Verzögerungszeiten in bestimmten Verhältnissen zueinander stehen. So ist in einem doppelt bidirektional gekoppeltem Paar ohne Rückkopplung und mit zwei verschiedenen Verzögerungszeiten stabile Chaossynchronisation nicht möglich, wenn die Verzögerungszeiten in einem Verhältnis von teilerfremden ungeraden ganzen Zahlen zueinander stehen. Es kann zudem Chaossynchronisation ausgeschlossen werden, wenn in einem bipartiten Netzwerk mit zwei großen Verzögerungszeiten zwischen diesen eine kleine Differenz herrscht. Schließlich wird ein selbstkonsistentes Argument vorgestellt, das das Auftreten von Chaossynchronisation durch die Mischung der Signale der einzelnen Einheiten interpretiert und sich unter anderem auf die Teilerfremdheit der Zyklen eines Netzes stützt. Abschließend wird untersucht, ob einige der durch die Bernoulli-Netzwerke gefundenen Ergebnisse sich auf andere chaotische Netzwerke übertragen lassen. Hervorzuheben ist die sehr gute Übereinstimmung der Ergebnisse eines Bernoulli-Netzwerkes mit den Ergebnissen eines gleichartigen Netzwerkes gekoppelter Halbleiterlasergleichungen, sowie die Übereinstimmungen mit experimentellen Ergebnissen eines Systems von Halbleiterlasern.
N2  - A network consisting of chaotic units can exhibit isochronal and complete synchronisation even if the signals need certain delay times from one unit to another. A common method to analyze the stability of such a synchronization is the master stability function by Pecora and Carroll. For a network of coupled iterative Bernoulli maps the master stability function reduces to the solution of polynoms with degree of the largest delay time. Therefore analyzing the stability means analyzing the roots of these polynomials concerning their value with respect to the unit circle. This can be done numerically by using the Schur-Cohn theorem, but analytic results are possible, as well. In this work Bernoulli networks with one or more time-delayed couplings and/or self-feedbacks are analyzed. Parts of the stability region which are independent of the value of the delay times have been found. Furthermore systems with large time delays have been analyzed. There is no stable chaos synchronization if the delay time is much larger than the internal time scale or the Lyapunov time, respectively. Stable synchronization can be excluded for certain systems with several delay times due to symmetry arguments concerning the ratios between the delay times. For example, a pair which is bidirectionally coupled with two delay times cannot exhibit stable chaos synchronization if these two delay times are in a ratio of relatively prime, odd numbers. Furthermore, chaos synchronization can be excluded for a bipartite network in which two large delay times differ by a small amount. Finally, a self consistent argument is presented which interprets chaos synchronization as a result of mixing signals of each unit in the network and which is supported by results of non-negative matrices concerning relatively prime cycles in a network. The results of the Bernoulli networks are tested on several chaotic networks. There is a very good agreement of the analytic results of Bernoulli networks with networks of coupled semiconductor laser equations as well as a very good agreement with real life experiments of semiconductor laser systems.
KW  - Chaos
KW  - Chaostheorie
KW  - Synchronisierung
KW  - Netzwerk
KW  - Chaos
KW  - Synchronization
KW  - Network
Y1  - 2011
U6  - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-65454
ER  -