TY  - THES
A1  - Iuga, Maria
T1  - Ab Initio and Finite Element Simulations of Material Properties in Multiphase Ceramics
T1  - Ab Initio und Finite-Elemente Simulationen der Materialeigenschaften in der Mehrphasen-Keramik
N2  - In the present study numerical methods are employed within the framework of multiscale modeling. Quantum mechanics and finite element method simulations have been used in order to calculate thermoelastic properties of ceramics. At the atomic scale, elastic constants of ten different ceramics (Al2O3, alpha- and beta-SiC, TiO2-rutile and anatase, AlN, BN, CaF2, TiB2, ZrO2) were calculated from the first principles (ab-initio) using the density functional theory with the general gradient approximation. The simulated elastic moduli were compared with measured values. These results have shown that the ab-initio computations can be used independently from experiment to predict elastic behavior and can provide a basis for the modeling of structural and elastic properties of more complex composite ceramics. In order to simulate macroscopic material properties of composite ceramics from the material properties of the constituting phases, 3D finite element models were used. The influence of microstructural features such as pores and grain boundaries on the effective thermoelastic properties is studied through a diversity of geometries like truncated spheres in cubic and random arrangement, modified Voronoi polyhedra, etc. A 3D model is used for modeling the microstructure of the ceramic samples. The measured parameters, like volume fractions of the two phases, grain size ratios and grain boundary areas are calculated for each structure. The theoretical model is then varied to fit the geometrical data derived from experimental samples. The model considerations are illustrated on two types of bi-continuous materials, a porous ceramic, alumina (Al2O3) and a dense ceramic, zirconia-alumina composite (ZA). For the present study, alumina samples partially sintered at temperatures between 800 and 1320 C, with fractional densities between 58.4% and 97% have been used. For ZA ceramic the zirconia powder was partially stabilized and the ratio between alumina and zirconia was varied. For these two examples of ceramics, Young’s modulus and thermal conductivity were calculated and compared to experimental data of samples of the respective microstructure. Comparing the experimental and simulated values of Young’s modulus for Al2O3 ceramic a good agreement was obtained. For the thermal conductivity the consideration of thermal boundary resistance (TBR) was necessary. It was shown that for different values of TBR the experimental data lie within the simulated thermal conductivities. In the case of ZA ceramic also a good agreement between simulated and experimental values was observed. For smaller ZrO2 fractions, a larger Young’s modulus and thermal conductivity was observed in the experimental samples. The discrepancies have been discussed by taking into account the effect of pressure. Considering the dependence of the thermoelastic properties on the pressure, it has been shown that the thermal stresses resulting from the cooling process were insufficient to explain the discrepancies between experimental and simulated thermoelastic properties.
N2  - In der vorliegenden Arbeit wurden im Rahmen einer Multiskalen-Modellierung quantenmechanische und Finite-Elemente-Simulationen verwendet, um thermoelastische Eigenschaften keramischer Materialien zu untersuchen. Auf atomarer Skala wurden die elastischen Konstanten von zehn unterschiedlichen Keramiken berechnet: Al2O3, alpha- und beta-SiC, TiO2-Rutil und Anatas, AlN, BN, CaF2, TiB2, ZrO2, wobei die Dichtefunktionaltheorie mit der verallgemeinerten Gradientennäherung verwendet wurde. Die simulierten elastischen Konstanten wurden mit gemessenen Werten verglichen. Diese Ergebnisse haben gezeigt, dass die quantenmechanischen Berechnungen unabhängig vom Experiment verwendet werden können, um elastisches Verhalten vorauszusagen. Außerdem stehen sie als Grundlage für das Modellieren der strukturellen und elastischen Eigenschaften der komplexeren keramischen Kompositen zur Verfügung. Um makroskopische Eigenschaften keramischer Komposite aus den Eigenschaften der beteiligten Phasen zu simulieren, wurden 3D Finite Elemente Modelle benutzt. Der Einfluss von Mikrostrukturmerkmalen, wie Poren und Korngrenzen, auf die thermoelastischen Eigenschaften wurde in verschiedenen Geometrien wie z.B. abgeschnittene Kugeln in kubischer und zufälliger Anordnung oder Voronoi-Polyeder studiert. 3D-Modelle wurden auch für das Modellieren der Mikrostruktur experimenteller Proben benutzt. Parameter, wie der Volumenanteil der beteiligten Phasen, die Korngrößenverhältnisse und die Korngrenzflächenanteile wurden für jede Struktur gemessen. Das theoretische Strukturmodell wurde dann variiert, um es an die geometrischen Daten der experimentellen Proben anzupassen. Das Modell wurde an zwei Materialtypen, einer porösen Keramik, Aluminiumoxid (Al2O3) und einer dichten Keramik, einem Komposit aus Aluminiumoxid und Zirkonoxid (ZA) angewendet. Für die vorliegende Arbeit wurden die Al2O3 Proben teilgesintert, bei Temperaturen zwischen 800 und 1320 C, mit Dichten zwischen 58.4% und 97%. Für die ZA Keramik wurde das ZrO2 Pulver partiell stabilisiert und das Verhältnis zwischen Al2O3 und ZrO2 verändert. Für diese zwei Keramiken wurden der Young Modul und die Wärmeleitfähigkeit errechnet und mit den experimentellen Daten verglichen. Der Young Modul der Al2O3 Keramik zeigte eine gute Übereinstimmung zwischen experimentellen und simulierten Werten. Für die Wärmeleitfähigkeit wurde die Berücksichtigung des Wärmewiderstands an Korngrenzen notwendig. Es zeigte sich, dass die experimentellen Daten für den Wärmewiderstand mit dem simulierten Wert kompatibel sind. Im Fall der ZA-Keramik wurde bei höheren ZrO2 - Volumenanteilen ebenfalls eine gute Übereinstimmung zwischen simulierten und experimentellen Werten des Young-Moduls und der Wärmeleitfähigkeit beobachtet. Bei kleineren ZrO2 -Volumenanteilen wurden jedoch ein größerer Young-Modul und eine größere Wärmeleitfähigkeit in den experimentellen Proben beobachtet. Um diese Unterschiede zu erklären, wurde der Einfluss des Drucks auf die thermoelastischen Eigenschaften berechnet. Es wurde gezeigt, dass die thermischen Spannungen, die aus dem Abkühlungsprozess resultieren, nicht ausreichen, um die Unterschiede zwischen experimentellen und simulierten Eigenschaften zu erklären.
KW  - Finite-Elemente-Methode
KW  - quantenmechanische Simulationen
KW  - Finite-Elemente Methode
KW  - Mikrostrukturen
KW  - thermoelastische Eigenschaften
KW  - mehrphasen Keramiken
KW  - quantum mechanics simulations
KW  - finite element method
KW  - microstructure
KW  - thermoelastic properties
KW  - multiphase ceramics
Y1  - 2007
U6  - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-26246
ER  - 
TY  - THES
A1  - Wurst, Jan-Eric
T1  - Hp-Finite Elements for PDE-Constrained Optimization
N2  - Diese Arbeit behandelt die hp-Finite Elemente Methode (FEM) für linear quadratische Optimal-steuerungsprobleme. Dabei soll ein Zielfunktional, welches die Entfernung zu einem angestrebten Zustand und hohe Steuerungskosten (als Regularisierung) bestraft, unter der Nebenbedingung einer elliptischen partiellen Differentialgleichung minimiert werden. Bei der Anwesenheit von Steuerungsbeschränkungen können die notwendigen Bedingungen erster Ordnung, die typischerweise für numerische Lösungsverfahren genutzt werden, als halbglatte Projektionsformel formuliert werden. Folglich sind optimale Lösungen oftmals auch nicht-glatt. Die Technik der hp-Diskretisierung berücksichtigt diese Tatsache und approximiert raue Funktionen auf feinen Gittern, während Elemente höherer Ordnung auf Gebieten verwendet werden, auf denen die Lösung glatt ist.
Die erste Leistung dieser Arbeit ist die erfolgreiche Anwendung der hp-FEM auf zwei verwandte Problemklassen: Neumann- und Interface-Steuerungsprobleme. Diese werden zunächst mit entsprechenden a-priori Verfeinerungsstrategien gelöst, mit der randkonzentrierten (bc) FEM oder interface konzentrierten (ic) FEM. Diese Strategien generieren Gitter, die stark in Richtung des Randes beziehungsweise des Interfaces verfeinert werden. Um für beide Techniken eine algebraische Reduktion des Approximationsfehlers zu beweisen, wird eine elementweise interpolierende Funktion konstruiert. Außerdem werden die lokale und globale Regularität von Lösungen behandelt, weil sie entscheidend für die Konvergenzgeschwindigkeit ist.
Da die bc- und ic- FEM kleine Polynomgrade für Elemente verwenden, die den Rand beziehungsweise das Interface berühren, können eine neue L2- und L∞-Fehlerabschätzung hergeleitet werden. Letztere bildet die Grundlage für eine a-priori Strategie zum Aufdatieren des Regularisierungsparameters im Zielfunktional, um Probleme mit bang-bang Charakter zu lösen. Zudem wird die herkömmliche hp-Idee, die daraus besteht das Gitter geometrisch in Richtung der Ecken des Gebiets abzustufen, auf die Lösung von Optimalsteuerungsproblemen übertragen (vc-FEM). Es gelingt, Regularität in abzählbar normierten Räumen für die Variablen des gekoppelten Optimalitätssystems zu zeigen. Hieraus resultiert die exponentielle Konvergenz im Bezug auf die Anzahl der Freiheitsgrade.
Die zweite Leistung dieser Arbeit ist die Entwicklung einer völlig adaptiven hp-Innere-Punkte-Methode, die Probleme mit verteilter oder Neumann Steuerung lösen kann. Das zugrundeliegende Barriereproblem besitzt ein nichtlineares Optimilitätssystem, das eine numerische Herausforderung beinhaltet: die stabile Berechnung von Integralen über Funktionen mit möglichen Singularitäten in
Elementen höherer Ordnung. Dieses Problem wird dadurch gelöst, dass die Steuerung an den Integrationspunkten überwacht wird. Die Zulässigkeit an diesen Punkten wird durch einen Glättungsschritt garantiert.
In dieser Arbeit werden sowohl die Konvergenz eines Innere-Punkte-Verfahrens mit Glättungsschritt als auch a-posteriori Schranken für den Diskretisierungsfehler gezeigt. Dies führt zu einem adaptiven Lösungsalgorithmus, dessen Gitterverfeinerung auf der Entwicklung der Lösung in eine Legendre Reihe basiert. Hierbei dient das Abklingverhalten der Koeffizienten als Glattheitsindikator und wird für die Entscheidung zwischen h- und p-Verfeinerung herangezogen.
N2  - This thesis deals with the hp-finite element method (FEM) for linear quadratic optimal control problems. Here, a tracking type functional with control costs as regularization shall be minimized subject to an elliptic partial differential equation. In the presence of control constraints, the first order necessary conditions, which are typically used to find optimal solutions numerically, can be formulated as a semi-smooth projection formula. Consequently, optimal solutions may be non-smooth as well. The hp-discretization technique considers this fact and approximates rough functions on fine meshes while using higher order finite elements on domains where the solution is smooth.
The first main achievement of this thesis is the successful application of hp-FEM to two related problem classes: Neumann boundary and interface control problems. They are solved with an a-priori refinement strategy called boundary concentrated (bc) FEM and interface concentrated (ic) FEM, respectively. These strategies generate grids that are heavily refined towards the boundary or interface. We construct an elementwise interpolant that allows to prove algebraic decay of the approximation error for both techniques. Additionally, a detailed analysis of global and local regularity of solutions, which is critical for the speed of convergence, is included. Since the bc- and ic-FEM retain small polynomial degrees for elements touching the boundary and interface, respectively, we are able to deduce novel error estimates in the L2- and L∞-norm. The latter allows an a-priori strategy for updating the regularization parameter in the objective functional to solve bang-bang problems.
Furthermore, we apply the traditional idea of the hp-FEM, i.e., grading the mesh geometrically towards vertices of the domain, for solving optimal control problems (vc-FEM). In doing so, we obtain exponential convergence with respect to the number of unknowns. This is proved with a regularity result in countably normed spaces for the variables of the coupled optimality system.
The second main achievement of this thesis is the development of a fully adaptive hp-interior point method that can solve problems with distributed or Neumann control. The underlying barrier problem yields a non-linear optimality system, which poses a numerical challenge: the numerically stable evaluation of integrals over possibly singular functions in higher order elements. We successfully overcome this difficulty by monitoring the control variable at the integration points and enforcing feasibility in an additional smoothing step. In this work, we prove convergence of an interior point method with smoothing step and derive a-posteriori error estimators. The adaptive mesh refinement is based on the expansion of the solution in a Legendre series. The decay of the coefficients serves as an indicator for smoothness that guides between h- and p-refinement.
KW  - Finite-Elemente-Methode
KW  - Optimale Kontrolle
KW  - Elliptische Differentialgleichung
KW  - finite elements
KW  - optimal control
KW  - higher order methods
KW  - partial differetial equations
Y1  - 2015
U6  - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-115027
SN  - 978-3-95826-024-5 (print)
SN  - 978-3-95826-025-2 (online)
PB  - Würzburg University Press
CY  - Würzburg
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TY  - THES
A1  - Herrmann, Marc
T1  - The Total Variation on Surfaces and of Surfaces
T1  - Die totale Variation auf Oberflächen und von Oberflächen
N2  - This thesis is concerned with applying the total variation (TV) regularizer to surfaces and different types of shape optimization problems. The resulting problems are challenging since they suffer from the non-differentiability of the TV-seminorm, but unlike most other priors it favors piecewise constant solutions, which results in piecewise flat geometries for shape optimization problems.The first part of this thesis deals with an analogue of the TV image reconstruction approach [Rudin, Osher, Fatemi (Physica D, 1992)] for images on smooth surfaces. A rigorous analytical framework is developed for this model and its Fenchel predual, which is a quadratic optimization problem with pointwise inequality constraints on the surface. A function space interior point method is proposed to solve it. Afterwards, a discrete variant (DTV) based on a nodal quadrature formula is defined for piecewise polynomial, globally discontinuous and continuous finite element functions on triangulated surface meshes. DTV has favorable properties, which include a convenient dual representation. Next, an analogue of the total variation prior for the normal vector field along the boundary of smooth shapes in 3D is introduced. Its analysis is based on a differential geometric setting in which the unit normal vector is viewed as an element of the two-dimensional sphere manifold. Shape calculus is used to characterize the relevant derivatives and an variant of the split Bregman method for manifold valued functions is proposed. This is followed by an extension of the total variation prior for the normal vector field for piecewise flat surfaces and the previous variant of split Bregman method is adapted. Numerical experiments confirm that the new prior favours polyhedral shapes.
N2  - Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Anwendung der totalen Variation (TV) als Regularisierung auf Oberflächen und in verschiedenen Problemen der Formoptimierung. Die daraus entstehenden Optimierungsprobleme sind aufgrund der TV-Seminorm nicht differenzierbar und daher eine Herausforderung. Allerdings werden dadurch, im Gegensatz zu anderen Regularisierungen, stückweise konstante Lösungen favorisiert. Dies führt bei Problemen der Formoptimierung zu stückweise flachen Geometrien. Der erste Teil dieser Arbeit widmet sich der Erweiterung des Ansatzes zur mathematischen Bildverarbeitung [Rudin, Osher, Fatemi (Physica D, 1992)] von flachen Bildern auf glatte Oberflächen und deren Texturen. Für das damit verbundene Optimierungsproblem wird das Fenchel präduale Problem hergeleitet. Dies ist ein quadratisches Optimierungsproblem mit Ungleichungsrestriktionen für dessen Lösung ein Innere-Punkte-Verfahren in Funktionenräumen vorgestellt wird. Basierend auf einer Quadraturformel, wird im Anschluss eine diskrete Variante (DTV) der TV-Seminorm für global unstetige und stetige Finite- Elemente-Funktionen auf triangulierten Oberflächen entwickelt. (DTV) besitzt positive Eigenschaften, wie eine praktische duale Darstellung. Im letzten Teil wird zuerst ein TV-Analogon für die Oberflächennormale von glatten Formen in 3D gezeigt und mit Hilfe von Differentialgeometrie analysiert. Danach wird eine mögliche Erweiterungen für stückweise glatte Oberflächen vorgestellt. Zur Lösung von beiden Regularisierungen wird eine Variante des Split-Bregman-Verfahrens für Funktionen mitWerten auf Mannigfaltigkeiten benutzt.
KW  - Gestaltoptimierung
KW  - optimization
KW  - total variation
KW  - Formoptimierung
KW  - Shape Optimization
KW  - Optimierung
KW  - Totale Variation
KW  - Finite-Elemente-Methode
Y1  - 2021
U6  - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-240736
ER  -