TY - THES A1 - Travers, Stephen T1 - Structural Properties of NP-Hard Sets and Uniform Characterisations of Complexity Classes T1 - Strukturelle Eigenschaften NP-harter Mengen und uniforme Charakterisierungen von Komplexitätsklassen N2 - This thesis is devoted to the study of computational complexity theory, a branch of theoretical computer science. Computational complexity theory investigates the inherent difficulty in designing efficient algorithms for computational problems. By doing so, it analyses the scalability of computational problems and algorithms and places practical limits on what computers can actually accomplish. Computational problems are categorised into complexity classes. Among the most important complexity classes are the class NP and the subclass of NP-complete problems, which comprises many important optimisation problems in the field of operations research. Moreover, with the P-NP-problem, the class NP represents the most important unsolved question in computer science. The first part of this thesis is devoted to the study of NP-complete-, and more generally, NP-hard problems. It aims at improving our understanding of this important complexity class by systematically studying how altering NP-hard sets affects their NP-hardness. This research is related to longstanding open questions concerning the complexity of unions of disjoint NP-complete sets, and the existence of sparse NP-hard sets. The second part of the thesis is also dedicated to complexity classes but takes a different perspective: In a sense, after investigating the interior of complexity classes in the first part, the focus shifts to the description of complexity classes and thereby to the exterior in the second part. It deals with the description of complexity classes through leaf languages, a uniform framework which allows us to characterise a great variety of important complexity classes. The known concepts are complemented by a new leaf-language model. To a certain extent, this new approach combines the advantages of the known models. The presented results give evidence that the connection between the theory of formal languages and computational complexity theory might be closer than formerly known. N2 - Diese Dissertation behandelt die Komplexitätstheorie, ein zentrales Teilgebiet der Theoretischen Informatik. Die Komplexitätstheorie untersucht die inhärente Schwierigkeit, effiziente Algorithmen für Berechnungsprobleme zu entwerfen. Sie analysiert die Skalierbarkeit von Berechnungsproblemen und Algorithmen und stellt grundsätzliche Grenzen für die Leistungsfähigkeit von Computern auf. Berechnungsprobleme werden in Komplexitätsklassen kategorisiert. Dabei spielen die Klasse NP und die in ihr enthaltene Klasse der NP-vollständigen Probleme eine wichtige Rolle. Letztere umfasst zahlreiche in der Praxis bedeutsame Probleme aus dem Bereich Operations Research. Darüber hinaus repräsentiert die Klasse NP mit dem P-NP Problem gleichfalls das wichtigste ungelöste Problem in der Informatik. Der erste Teil dieser Dissertation ist der Untersuchung NP-vollständiger und noch allgemeiner, NP-harter Mengen gewidmet. Durch eine systematische Untersuchung der Frage, wie sich partielle Modifikationen von Mengen auf deren NP-Härte auswirken, soll das Verständnis dieser wichtigen Komplexitätsklasse verbessert werden. Die Untersuchungen in diesem Bereich stehen in enger Verbindung zu wichtigen ungelösten Fragen, wie beispielsweise der Frage nach der Komplexität von Vereinigungen disjunkter NP-vollständiger Mengen und darüber hinaus der Frage nach der Existenz dünner, NP-harter Mengen. Der zweite Teil der Dissertation beschäftigt sich ebenfalls mit der Komplexitätstheorie, nimmt dabei aber eine andere Perspektive ein: Während im ersten Teil mit der Untersuchung struktureller Eigenschaften innere Aspekte von Komplexitätsklassen im Vordergrund stehen dreht es sich im zweiten Teil um die Beschreibung von Komplexitätsklassen. Dabei werden so genannte Blattsprachen verwendet, welche einen uniformen Beschreibungsmechanismus für Komplexitätsklassen darstellen. Die bestehenden Blattsprachen-Konzepte werden durch einen neuen Ansatz ergänzt, der in einem gewissen Sinne die Vorteile der bekannten Ansätze vereint. Die erzielten Ergebnisse sind Evidenz dafür, dass die Verbindung zwischen der Theorie der formalen Sprachen und der Komplexitätstheorie noch enger ist als bislang vermutet. KW - Berechnungskomplexität KW - Komplexität KW - Theoretische Informatik KW - NP-Vollständigkeit KW - Strukturelle Komplexität KW - NP-complete sets KW - structural complexity Y1 - 2007 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-27124 ER - TY - THES A1 - Meister, Daniel T1 - The complexity of membership problems for finite recurrent systems and minimal triangulations T1 - Die Komplexität der Enthaltenseinprobleme für rekurrente Systeme und minimale Triangulationen N2 - The dissertation thesis studies the complexity of membership problems. Generally, membership problems consider the question whether a given object belongs to a set. Object and set are part of the input. The thesis studies the complexity of membership problems for two special kinds of sets. The first problem class asks whether a given natural number belongs to a set of natural numbers. The set of natural numbers is defined via finite recurrent systems: sets are built by iterative application of operations, like union, intersection, complementation and arithmetical operations, to already defined sets. This general problem implies further problems by restricting the set of used operations. The thesis contains completeness results for well-known complexity classes as well as undecidability results for these problems. The second problem class asks whether a given graph is a minimal triangulation of another graph. A graph is a triangulation of another graph, if it is a chordal spanning supergraph of the second graph. If no proper supergraph of the first graph is a triangulation of the second graph, the first graph is a minimal triangulation of the second graph. The complexity of the membership problem for minimal triangulations of several graph classes is investigated. Restricted variants are solved by linear-time algorithms. These algorithms rely on appropriate characterisations of minimal triangulations. N2 - Die Dissertation beschäftigt sich mit der Komplexität von Enthaltenseinproblemen. Allgemein gesprochen, interessieren sich Enthaltenseinprobleme für die Frage, ob ein gegebenes Objekt zu einer Menge gehört. Sowohl Objekt als auch Menge sind Teil der Eingabe. Die Arbeit untersucht die Komplexität dieser Fragestellung für zwei konkrete Mengenklassen. Zum ersten soll entschieden werden, ob eine natürliche Zahl zu einer Menge natürlicher Zahlen gehört. Entscheidend für die Komplexität dieses Problems ist die Darstellung der Menge natürlicher Zahlen. Es werden rekurrente Systeme verwendet, die Mengen natürlicher Zahlen durch iterierte Anwendung einfacher Operationen, wie die drei Mengenoperationen Vereinigung, Durchschnitt, Komplementbildung und arithmetische Operationen, auf bereits konstruierte Mengen definieren. Beschränkt man die Menge verwendeter Operationen, ergibt sich eine Vielzahl von Problemen, deren Komplexitäten bestimmt werden. Es werden Vollständigkeitsresultate für bekannte Komplexitätsklassen wie auch Unentscheidbarkeit gezeigt. Zum zweiten soll entschieden werden, ob ein Graph eine minimale Triangulation eines anderen Graphen ist. Ein Graph ist Triangulation eines anderen Graphen, wenn er ein chordaler aufspannender Obergraph des zweiten Graphen ist. Ist kein echter Obergraph des ersten Graphen eine Triangulation des zweiten Graphen, so ist der erste Graph eine minimale Triangulation des zweiten Graphen. Ein Graph kann mehrere minimale Triangulationen besitzen. Untersucht wird die Komplexität des Enthaltenseinproblems für minimale Triangulationen für verschiedene Graphenklassen, und es werden Linearzeitalgorithmen zur Lösung einer eingeschränkten Variante des jeweiligen Problems angegeben. Die Algorithmen basieren alle auf geeigneten Charakterisierungen minimaler Triangulationen. KW - Komplexität KW - Triangulation KW - Komplexität KW - Enthaltenseinproblem KW - rekurrente Systeme KW - minimale Triangulationen KW - complexity KW - membership problem KW - finite recurrent systems KW - minimal triangulations Y1 - 2006 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-18837 ER - TY - THES A1 - Löffler, Andre T1 - Constrained Graph Layouts: Vertices on the Outer Face and on the Integer Grid T1 - Graphzeichnen unter Nebenbedingungen: Knoten auf der Außenfacette und mit ganzzahligen Koordinaten N2 - Constraining graph layouts - that is, restricting the placement of vertices and the routing of edges to obey certain constraints - is common practice in graph drawing. In this book, we discuss algorithmic results on two different restriction types: placing vertices on the outer face and on the integer grid. For the first type, we look into the outer k-planar and outer k-quasi-planar graphs, as well as giving a linear-time algorithm to recognize full and closed outer k-planar graphs Monadic Second-order Logic. For the second type, we consider the problem of transferring a given planar drawing onto the integer grid while perserving the original drawings topology; we also generalize a variant of Cauchy's rigidity theorem for orthogonal polyhedra of genus 0 to those of arbitrary genus. N2 - Das Einschränken von Zeichnungen von Graphen, sodass diese bestimmte Nebenbedingungen erfüllen - etwa solche, die das Platzieren von Knoten oder den Verlauf von Kanten beeinflussen - sind im Graphzeichnen allgegenwärtig. In dieser Arbeit befassen wir uns mit algorithmischen Resultaten zu zwei speziellen Einschränkungen, nämlich dem Platzieren von Knoten entweder auf der Außenfacette oder auf ganzzahligen Koordinaten. Für die erste Einschränkung untersuchen wir die außen k-planaren und außen k-quasi-planaren Graphen und geben einen auf monadische Prädikatenlogik zweiter Stufe basierenden Algorithmus an, der überprüft, ob ein Graph voll außen k-planar ist. Für die zweite Einschränkung untersuchen wir das Problem, eine gegebene planare Zeichnung eines Graphen auf das ganzzahlige Koordinatengitter zu transportieren, ohne dabei die Topologie der Zeichnung zu verändern; außerdem generalisieren wir eine Variante von Cauchys Starrheitssatz für orthogonale Polyeder von Geschlecht 0 auf solche von beliebigem Geschlecht. KW - Graphenzeichnen KW - Komplexität KW - Algorithmus KW - Algorithmische Geometrie KW - Kombinatorik KW - Planare Graphen KW - Polyeder KW - Konvexe Zeichnungen Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-215746 SN - 978-3-95826-146-4 SN - 978-3-95826-147-1 N1 - Parallel erschienen als Druckausgabe in Würzburg University Press, ISBN 978-3-95826-146-4, 32,90 EUR PB - Würzburg University Press CY - Würzburg ET - 1. Auflage ER - TY - THES A1 - Fleszar, Krzysztof T1 - Network-Design Problems in Graphs and on the Plane T1 - Netzwerk-Design-Probleme in Graphen und auf der Ebene N2 - A network design problem defines an infinite set whose elements, called instances, describe relationships and network constraints. It asks for an algorithm that, given an instance of this set, designs a network that respects the given constraints and at the same time optimizes some given criterion. In my thesis, I develop algorithms whose solutions are optimum or close to an optimum value within some guaranteed bound. I also examine the computational complexity of these problems. Problems from two vast areas are considered: graphs and the Euclidean plane. In the Maximum Edge Disjoint Paths problem, we are given a graph and a subset of vertex pairs that are called terminal pairs. We are asked for a set of paths where the endpoints of each path form a terminal pair. The constraint is that any two paths share at most one inner vertex. The optimization criterion is to maximize the cardinality of the set. In the hard-capacitated k-Facility Location problem, we are given an integer k and a complete graph where the distances obey a given metric and where each node has two numerical values: a capacity and an opening cost. We are asked for a subset of k nodes, called facilities, and an assignment of all the nodes, called clients, to the facilities. The constraint is that the number of clients assigned to a facility cannot exceed the facility's capacity value. The optimization criterion is to minimize the total cost which consists of the total opening cost of the facilities and the total distance between the clients and the facilities they are assigned to. In the Stabbing problem, we are given a set of axis-aligned rectangles in the plane. We are asked for a set of horizontal line segments such that, for every rectangle, there is a line segment crossing its left and right edge. The optimization criterion is to minimize the total length of the line segments. In the k-Colored Non-Crossing Euclidean Steiner Forest problem, we are given an integer k and a finite set of points in the plane where each point has one of k colors. For every color, we are asked for a drawing that connects all the points of the same color. The constraint is that drawings of different colors are not allowed to cross each other. The optimization criterion is to minimize the total length of the drawings. In the Minimum Rectilinear Polygon for Given Angle Sequence problem, we are given an angle sequence of left (+90°) turns and right (-90°) turns. We are asked for an axis-parallel simple polygon where the angles of the vertices yield the given sequence when walking around the polygon in counter-clockwise manner. The optimization criteria considered are to minimize the perimeter, the area, and the size of the axis-parallel bounding box of the polygon. N2 - Ein Netzwerk-Design-Problem definiert eine unendliche Menge, deren Elemente, als Instanzen bezeichnet, Beziehungen und Beschränkungen in einem Netzwerk beschreiben. Die Lösung eines solchen Problems besteht aus einem Algorithmus, der auf die Eingabe einer beliebigen Instanz dieser Menge ein Netzwerk entwirft, welches die gegebenen Beschränkungen einhält und gleichzeitig ein gegebenes Kriterium optimiert. In meiner Dissertation habe ich Algorithmen entwickelt, deren Netzwerke stets optimal sind oder nachweisbar nahe am Optimum liegen. Zusätzlich habe ich die Berechnungskomplexität dieser Probleme untersucht. Dabei wurden Probleme aus zwei weiten Gebieten betrachtet: Graphen und der Euklidische Ebene. Im Maximum-Edge-Disjoint-Paths-Problem besteht die Eingabe aus einem Graphen und einer Teilmenge von Knotenpaaren, die wir mit Terminalpaare bezeichnen. Gesucht ist eine Menge von Pfaden, die Terminalpaare verbinden. Die Beschränkung ist, dass keine zwei Pfade einen gleichen inneren Knoten haben dürfen. Das Optimierungskriterium ist die Maximierung der Kardinalität dieser Menge. Im Hard-Capacitated-k-Facility-Location-Problem besteht die Eingabe aus einer Ganzzahl k und einem vollständigen Graphen, in welchem die Distanzen einer gegebenen Metrik unterliegen und in welchem jedem Knoten sowohl eine numerische Kapazität als auch ein Eröffnungskostenwert zugeschrieben ist. Gesucht ist eine Teilmenge von k Knoten, Facilities genannt, und eine Zuweisung aller Knoten, Clients genannt, zu den Facilities. Die Beschränkung ist, dass die Anzahl der Clients, die einer Facility zugewiesen sind, nicht deren Kapazität überschreiten darf. Das Optimierungskriterium ist die Minimierung der Gesamtkosten bestehend aus den Gesamteröffnungskosten der Facilities sowie der Gesamtdistanz zwischen den Clients und den ihnen zugewiesenen Facilities. Im Stabbing-Problem besteht die Eingabe aus einer Menge von achsenparallelen Rechtecken in der Ebene. Gesucht ist eine Menge von horizontalen Geradenstücken mit der Randbedingung, dass die linke und rechte Seite eines jeden Rechtecks von einem Geradenstück verbunden ist. Das Optimierungskriterium ist die Minimierung der Gesamtlänge aller Geradenstücke. Im k-Colored-Non-Crossing-Euclidean-Steiner-Forest-Problem besteht die Eingabe aus einer Ganzzahl k und einer endlichen Menge von Punkten in der Ebene, wobei jeder Punkt in einer von k Farben gefärbt ist. Gesucht ist für jede Farbe eine Zeichnung, in welcher alle Punkte der Farbe verbunden sind. Die Beschränkung ist, dass Zeichnungen verschiedener Farben sich nicht kreuzen dürfen. Das Optimierungskriterium ist die Minimierung des Gesamtintenverbrauchs, das heißt, der Gesamtlänge der Zeichnungen. Im Minimum-Rectilinear-Polygon-for-Given-Angle-Sequence-Problem besteht die Eingabe aus einer Folge von Links- (+90°) und Rechtsabbiegungen (-90°). Gesucht ist ein achsenparalleles Polygon dessen Eckpunkte die gegebene Folge ergeben, wenn man das Polygon gegen den Uhrzeigersinn entlangläuft. Die Optimierungskriterien sind die Minimierung des Umfangs und der inneren Fläche des Polygons sowie der Größe des notwendigen Zeichenblattes, d.h., des kleinsten Rechteckes, das das Polygon einschließt. N2 - Given points in the plane, connect them using minimum ink. Though the task seems simple, it turns out to be very time consuming. In fact, scientists believe that computers cannot efficiently solve it. So, do we have to resign? This book examines such NP-hard network-design problems, from connectivity problems in graphs to polygonal drawing problems on the plane. First, we observe why it is so hard to optimally solve these problems. Then, we go over to attack them anyway. We develop fast algorithms that find approximate solutions that are very close to the optimal ones. Hence, connecting points with slightly more ink is not hard. KW - Euklidische Ebene KW - Algorithmus KW - Komplexität KW - NP-schweres Problem KW - Graph KW - approximation algorithm KW - hardness KW - optimization KW - graphs KW - network KW - Optimierungsproblem KW - Approximationsalgorithmus KW - complexity KW - Euclidean plane Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-154904 SN - 978-3-95826-076-4 (Print) SN - 978-3-95826-077-1 (Online) N1 - Parallel erschienen als Druckausgabe in Würzburg University Press, ISBN 978-3-95826-076-4, 28,90 EUR. PB - Würzburg University Press CY - Würzburg ET - 1. Auflage ER - TY - INPR A1 - Dandekar, Thomas T1 - Some general system properties of a living observer and the environment he explores N2 - In a nice assay published in Nature in 1993 the physicist Richard God III started from a human observer and made a number of witty conclusions about our future prospects giving estimates for the existence of the Berlin Wall, the human race and all the rest of the universe. In the same spirit, we derive implications for "the meaning of life, the universe and all the rest" from few principles. Adams´ absurd answer "42" tells the lesson "garbage in / garbage out" - or suggests that the question is non calculable. We show that experience of "meaning" and to decide fundamental questions which can not be decided by formal systems imply central properties of life: Ever higher levels of internal representation of the world and an escalating tendency to become more complex. An observer, "collecting observations" and three measures for complexity are examined. A theory on living systems is derived focussing on their internal representation of information. Living systems are more complex than Kolmogorov complexity ("life is NOT simple") and overcome decision limits (Gödel theorem) for formal systems as illustrated for cell cycle. Only a world with very fine tuned environments allows life. Such a world is itself rather complex and hence excessive large in its space of different states – a living observer has thus a high probability to reside in a complex and fine tuned universe. N2 - Dieser Aufsatz ist ein Preprint und Discussion Paper und versucht - ähnlich wie ein hervorragendes Beispiel eines Physikers, Richard God III (1993 in Nature veröffentlicht) mit einfachen Grundannahmen sehr generelle Prinzipien für uns abzuleiten. In meinem Aufsatz sind das insbesondere Prinzipien für Beobachten, für die Existenz eines Beobachters und sogar für die Existenz unserer komplexen Welt, die Fortentwicklung von Leben, die Entstehung von Bedeutung und das menschliche Entscheiden von Grundlagenfragen. Aufs erste kann so ein weitgehendes Anliegen nicht wirklich vollständig und akkurat gelingen, der Aufsatz möchte deshalb auch nur eine amüsante Spekulation sein, exakte (und bescheidenere) Teilaussagen werden aber später dann auch nach peer Review veröffentlicht werden. KW - Komplex KW - Entscheidung KW - Natürliche Auslese KW - Evolution KW - Bedeutung KW - Komplexität KW - Gödel KW - Entscheidungen KW - complexity KW - decision KW - evolution KW - selection KW - meaning Y1 - 2007 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-33537 ER - TY - THES A1 - Abt, Raimond T1 - Implementing Aspects of Quantum Information into the AdS/CFT Correspondence T1 - Aspekte der Quanteninformation in der AdS/CFT-Korrespondenz N2 - In recent years many discoveries have been made that reveal a close relation between quantum information and geometry in the context of the AdS/CFT correspondence. In this duality between a conformal quantum field theory (CFT) and a theory of gravity on Anti-de Sitter spaces (AdS) quantum information quantities in CFT are associated with geometric objects in AdS. Subject of this thesis is the examination of this intriguing property of AdS/CFT. We study two central elements of quantum information: subregion complexity -- which is a measure for the effort required to construct a given reduced state -- and the modular Hamiltonian -- which is given by the logarithm of a considered reduced state. While a clear definition for subregion complexity in terms of unitary gates exists for discrete systems, a rigorous formulation for quantum field theories is not known. In AdS/CFT, subregion complexity is proposed to be related to certain codimension one regions on the AdS side. The main focus of this thesis lies on the examination of such candidates for gravitational duals of subregion complexity. We introduce the concept of \textit{topological complexity}, which considers subregion complexity to be given by the integral over the Ricci scalar of codimension one regions in AdS. The Gauss-Bonnet theorem provides very general expressions for the topological complexity of CFT\(_2\) states dual to global AdS\(_3\), BTZ black holes and conical defects. In particular, our calculations show that the topology of the considered codimension one bulk region plays an essential role for topological complexity. Moreover, we study holographic subregion complexity (HSRC), which associates the volume of a particular codimension one bulk region with subregion complexity. We derive an explicit field theory expression for the HSRC of vacuum states. The formulation of HSRC in terms of field theory quantities may allow to investigate whether this bulk object indeed provides a concept of subregion complexity on the CFT side. In particular, if this turns out to be the case, our expression for HSRC may be seen as a field theory definition of subregion complexity. We extend our expression to states dual to BTZ black holes and conical defects. A further focus of this thesis is the modular Hamiltonian of a family of states \(\rho_\lambda\) depending on a continuous parameter \(\lambda\). Here \(\lambda\) may be associated with the energy density or the temperature, for instance. The importance of the modular Hamiltonian for quantum information is due to its contribution to relative entropy -- one of the very few objects in quantum information with a rigorous definition for quantum field theories. The first order contribution in \(\tilde{\lambda}=\lambda-\lambda_0\) of the modular Hamiltonian to the relative entropy between \(\rho_\lambda\) and a reference state \(\rho_{\lambda_0}\) is provided by the first law of entanglement. We study under which circumstances higher order contributions in \(\tilde{\lambda}\) are to be expected. We show that for states reduced to two entangling regions \(A\), \(B\) the modular Hamiltonian of at least one of these regions is expected to provide higher order contributions in \(\tilde{\lambda}\) to the relative entropy if \(A\) and \(B\) saturate the Araki-Lieb inequality. The statement of the Araki-Lieb inequality is that the difference between the entanglement entropies of \(A\) and \(B\) is always smaller or equal to the entanglement entropy of the union of \(A\) and \(B\). Regions for which this inequality is saturated are referred to as entanglement plateaux. In AdS/CFT the relation between geometry and quantum information provides many examples for entanglement plateaux. We apply our result to several of them, including large intervals for states dual to BTZ black holes and annuli for states dual to black brane geometries. N2 - In den letzten Jahren wurden viele Entdeckungen gemacht, welche eine enge Beziehung zwischen Quanteninformation und Geometrie im Kontext der AdS/CFT-Korrespondenz aufzeigen. In dieser Dualität zwischen einer konformen Quantenfeldtheorie (CFT) und einer Gravitationstheorie auf Anti-de-Sitter-Räumen (AdS) werden Quanteninformationsgrößen der CFT mit geometrischen Objekten in AdS assoziiert. In der vorliegenden Arbeit wird dieser faszinierende Aspekt von AdS/CFT untersucht. Wir studieren zwei Objekte welche eine zentrale Rolle in der Quanteninformation spielen: Die Teilregionkomplexität (subregion complexity) -- welche ein Maß für den nötigen Aufwand zur Konstruktion eines vorgegebenen reduzierten Zustandes ist -- und den modularen Hamiltonoperator -- welcher durch den Logarithmus eines reduzierten Zustandes gegeben ist. Während eine klare Definition der Teilregionkomplexität mittels unitärer Gatter für diskrete Systeme angegeben werden kann, ist eine präzise Formulierung für Quantenfeldtheorien nicht bekannt. In der AdS/CFT-Korrespondenz wird angenommen, dass die Teilregionkomplexität mit bestimmten Regionen der Kodimension eins in AdS-Räumen in Beziehung stehen. Der Hauptfokus der vorliegenden Arbeit ist die Untersuchung derartiger Kandidaten für Gravitationsduale der Teilregionkomplexität. Wir führen das Konzept der \textit{topologischen Komplexität} (topological complexity) ein, welches das Integral über den Ricci-Skalar bestimmter Teilregionen von AdS-Räumen als das Gravitationsdual der Teilregionkomplexität ansieht. Der Satz von Gauss-Bonnet erlaubt es uns sehr allgemeine Ausdrücke für die Teilregionkomplexität von CFT\(_2\)-Zuständen mit globalem AdS\(_3\), BTZ-Schwarzen-Löchern oder konischen Defekten als Gravitationsdual zu konstruieren. Unsere Berechnungen zeigen insbesondere, dass die Topologie der betrachteten Kodimension-Eins-Regionen eine große Rolle für die topologische Komplexität spielt. Weiterhin befassen wir uns mit der holographischen Teilregionkomplexität (holographic subregion complexity, HSRC), welche annimmt, dass die Teilregionkomplexität durch das Volumen bestimmter Kodimension-Eins-Regionen in AdS-Räumen gegeben ist. Wir leiten einen expliziten Ausdruck für die HSRC von Vakuumzuständen in Größen der Feldtheorie her. Die Formulierung der HSRC in Feldtheoriegrößen könnte es ermöglichen zu untersuchen ob diese Größe tatsächlich als die Teilregionkomplexität der CFT interpretiert werden kann. Sollte sich dies bestätigen, kann unser Feldtheorieausdruck für HSRC als Definition für die Teilregionkomplexität der CFT angesehen werden. Wir verallgemeinern unseren Ausdruck für HSRC dahingehend, dass er auch für Zustände dual zu BTZ-Schwarzen-Löchern und konischen Defekten gültig ist. Ein weiterer Fokus der vorliegenden Arbeit ist der modulare Hamiltonoperator einer Familie von Zuständen \(\rho_\lambda\), welche von einem kontinuierlichen Parameter \(\lambda\) abhängen. Hierbei kann \(\lambda\) beispielsweise der Energiedichte oder der Temperatur entsprechen. Die Bedeutung des modularen Hamiltonoperator für die Quanteninformation ist auf seinen Beitrag zur relativen Entropie zurückzuführen -- eine der wenigen Größen der Quanteninformation für welche eine formale Definition für Quantenfeldtheorien bekannt ist. Der Beitrag erster Ordnung in \(\tilde{\lambda}=\lambda-\lambda_0\) des modularen Hamiltonoperators zur relativen Entropie zwischen \(\rho_\lambda\) und einem Referenzzustand \(\rho_{\lambda_0}\) ist gegeben durch den ersten Hauptsatz der Verschränkung (first law of entanglement). Wir untersuchen unter welchen Umständen Beiträge höherer Ordnung in \(\tilde{\lambda}\) zu erwarten sind. Wir zeigen, dass für Zustände die auf zwei Teilregionen \(A\), \(B\) reduziert wurden in der Regel mindestens einer dieser Beiträge höherer Ordnung in \(\tilde{\lambda}\) zur relativen Entropie liefert, wenn \(A\) und \(B\) die Araki-Lieb-Ungleichung saturieren. Die Araki-Lieb-Ungleichung besagt, dass die Differenz der Verschränkungsentropien von \(A\) und \(B\) stets kleiner oder gleich der Verschränkungsentropie der Vereinigung von \(A\) und \(B\) ist. Regionen für welche die Araki-Lieb-Ungleichung saturiert ist werden als Verschränkungsplateaus (entanglement plateaux) bezeichnet. In der AdS/CFT-Korrespondenz gibt es aufgrund der Beziehung zwischen Quanteninformation und Geometrie viele Beispiele für derartige Plateaus. Wir wenden unser Resultat auf einige dieser an. Unter anderem diskutieren wir große Intervalle für Zustände dual zu BTZ-Schwarzen-Löchern und Annuli für Zustände dual zu schwarzen Branen. KW - AdS-CFT-Korrespondenz KW - AdS/CFT KW - Complexity KW - Quantum Information KW - Modular Hamiltonian KW - AdS/CFT KW - Komplexität KW - Quanteninformation KW - Modularer Hamiltonoperator Y1 - 2019 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-188012 ER -