TY - THES A1 - Schnells, Vera T1 - Fractional Insulators and their Parent Hamiltonians T1 - Fraktionale Isolatoren und die zugehörigen Hamiltonoperatoren N2 - In the past few years, two-dimensional quantum liquids with fractional excitations have been a topic of high interest due to their possible application in the emerging field of quantum computation and cryptography. This thesis is devoted to a deeper understanding of known and new fractional quantum Hall states and their stabilization in local models. We pursue two different paths, namely chiral spin liquids and fractionally quantized, topological phases. The chiral spin liquid is one of the few examples of spin liquids with fractional statistics. Despite its numerous promising properties, the microscopic models for this state proposed so far are all based on non-local interactions, making the experimental realization challenging. In the first part of this thesis, we present the first local parent Hamiltonians, for which the Abelian and non-Abelian chiral spin liquids are the exact and, modulo a topological degeneracy, unique ground states. We have developed a systematic approach to find an annihilation operator of the chiral spin liquid and construct from it a many-body interaction which establishes locality. For various system sizes and lattice geometries, we numerically find largely gapped eigenspectra and confirm to an accuracy of machine precision the uniqueness of the chiral spin liquid as ground state of the respective system. Our results provide an exact spin model in which fractional quantization can be studied. Topological insulators are one of the most actively studied topics in current condensed matter physics research. With the discovery of the topological insulator, one question emerged: Is there an interaction-driven set of fractionalized phases with time reversal symmetry? One intuitive approach to the theoretical construction of such a fractional topological insulator is to take the direct product of a fractional quantum Hall state and its time reversal conjugate. However, such states are well studied conceptually and do not lead to new physics, as the idea of taking a state and its mirror image together without any entanglement between the states has been well understood in the context of topological insulators. Therefore, the community has been looking for ways to implement some topological interlocking between different spin species. Yet, for all practical purposes so far, time reversal symmetry has appeared to limit the set of possible fractional states to those with no interlocking between the two spin species. In the second part of this thesis, we propose a new universality class of fractionally quantized, topologically ordered insulators, which we name “fractional insulator”. Inspired by the fractional quantum Hall effect, spin liquids, and fractional Chern insulators, we develop a wave function approach to a new class of topological order in a two-dimensional crystal of spin-orbit coupled electrons. The idea is simply to allow the topological order to violate time reversal symmetry, while all locally observable quantities remain time reversal invariant. We refer to this situation as “topological time reversal symmetry breaking”. Our state is based on the Halperin double layer states and can be viewed as a two-layer system of an ↑-spin and a ↓-spin sphere. The construction starts off with Laughlin states for the ↑-spin and ↓-spin electrons and an interflavor term, which creates correlations between the two layers. With a careful parameter choice, we obtain a state preserving time reversal symmetry locally, and label it the “311-state”. For systems of up to six ↑-spin and six ↓-spin electrons, we manage to construct an approximate parent Hamiltonian with a physically realistic, local interaction. N2 - In den letzten Jahren waren zweidimensionale Quantenflu¨ssigkeiten mit fraktionalen Anregungen aufgrund ihrer möglichen Anwendung auf dem aufstrebenden Forschungsgebiet der Quantencomputer und Quantenkryptographie von großem Interesse. Diese Dissertation hat sich zum Ziel gesetzt, einem tieferen Verständnis bekannter und neuer fraktionaler Quanten-Hall-Zust¨ande und ihrer Stabilisierung in lokalen Modellen beizutragen. In diesem Zusammenhang werden zwei Themen betrachtet: Chirale Spinflüssigkeiten und fraktional quantisierte, topologische Phasen. Die chirale Spinflüssigkeit ist eines der wenigen Beispiele fu¨r Spinflu¨ssigkeiten mit fraktionaler Statistik. Trotz ihrer zahlreichen vielversprechenden Eigenschaften beruhen die bisher vorgeschlagenen mikroskopischen Modelle für diesen Zustand alle auf nichtlokalen Wechselwirkungen. Dies erschwert eine experimentelle Realisierung. Im ersten Teil dieser Dissertation stellen wir die ersten Eltern-Hamiltonoperatoren vor, für die die Abelschen und nicht-Abelschen chiralen Spinflüssigkeiten die exakten und, abgesehen von einer topologischen Entartung, einzigen Grundzustände sind. Wir haben eine Methode entwickelt, um ausgehend von einem Vernichtungsoperator für die chirale Spinflüssigkeit eine lokale Mehrkörper-Wechselwirkung zu konstruieren. Numerisch finden wir für verschiedene Systemgrößen und Gittergeometrien Eigenspektren mit großer Anregungslücke und können mit Maschinengenauigkeit die Eindeutigkeit der chiralen Spinflüssigkeit als Grundzustand des jeweiligen Systems bestätigen. Damit liefern unsere Ergebnisse ein exaktes Spinmodell, in dem fraktionale Quantisierung untersucht werden kann. Topologische Isolatoren sind derzeit eines der am häufigsten untersuchten Themen in der Physik der kondensierten Materie. Mit ihrer Entdeckung kam die Frage auf: Gibt es eine verschränkte Gruppe fraktionaler Phasen mit Zeitumkehrsymmetrie? Ein intuitiver Ansatz für die theoretische Konstruktion eines solchen fraktionalen topologischen Isolators besteht darin, das direkte Produkt eines fraktionalen Quanten-HallZustands und seines Zeitumkehrkonjugats zu bilden. Solche Zustände bringen jedoch konzeptionell keinen Mehrwert, da Systeme bestehend aus einem Zustand und seinem Spiegelbild ohne zusätzliche Verschränkung im Kontext der topologischen Isolatoren im Detail erforscht sind. Daher wird aktuell nach Möglichkeiten gesucht, eine topologische Verschränkung zwischen verschiedenen Spinarten umzusetzen. Für alle Anwendungen in der Praxis scheint die Zeitumkehrsymmetrie jedoch die Menge möglicher fraktionaler Zustände auf solche ohne Verschränkung zwischen den beiden Spinspezies zu begrenzen. Im zweiten Teil dieser Dissertation schlagen wir eine neue Universalitätsklasse von fraktional quantisierten, topologisch geordneten Isolatoren vor, die wir “fraktionalen Isolator” nennen. Inspiriert vom fraktionalen Quanten-Hall-Effekt, Spin-Flüssigkeiten und fraktionalen Chern-Isolatoren entwickeln wir eine Wellenfunktion, die eine neue Klasse topologischer Ordnung in einem zweidimensionalen Kristall aus SpinOrbit-gekoppelten Elektronen beschreibt. Unser Ansatz basiert darauf, die topologische Ordnung gegen die Zeitumkehrsymmetrie verstoßen zu lassen, während alle lokal beobachtbaren Größen zeitumkehrinvariant sind. Wir bezeichnen diese Situation als “topologische Zeitumkehrsymmetriebrechung”. Unser Zustand basiert auf den Halperin-Doppelschichtzuständen und kann als ein Zweischichtensystem aus einer ↑-Spinund einer ↓-Spin-Sphäre betrachtet werden. Die Konstruktion beginnt mit zwei Laughlin-Zuständen für die ↑-Spin- und ↓-Spin-Elektronen und einem Wechselwirkungsterm, der eine Verschränkung zwischen den beiden Schichten erzeugt. Wir erhalten einen neuen Zustand, den “311-Zustand”, der lokal zeitumkehrinvariant ist. Für Systeme mit bis zu sechs ↑-Spin- und sechs ↓-Spin-Elektronen finden wir einen approximativen Eltern-Hamiltonoperator mit einer physikalisch realistischen, lokalen Wechselwirkung. KW - Spinflüssigkeit KW - Topologischer Isolator KW - Quantum many-body systems KW - Fractional quantum Hall effect KW - Chiral spin liquids KW - Topological insulators KW - Quantum Hall effect KW - Quanten-Vielteilchensysteme KW - Fraktionaler Quanten-Hall-Effekt KW - Chirale Spinflússigkeiten KW - Topologische Isolatoren KW - Quanten-Hall-Effekt Y1 - 2019 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-185616 ER - TY - THES A1 - Budich, Jan Carl T1 - Fingerprints of Geometry and Topology on Low Dimensional Mesoscopic Systems T1 - Signaturen der Geometrie und Topologie in niedrigdimensionalen mesoskopischen Systemen N2 - In this PhD thesis, the fingerprints of geometry and topology on low dimensional mesoscopic systems are investigated. In particular, holographic non-equilibrium transport properties of the quantum spin Hall phase, a two dimensional time reversal symmetric bulk insulating phase featuring one dimensional gapless helical edge modes are studied. In these metallic helical edge states, the spin and the direction of motion of the charge carriers are locked to each other and counter-propagating states at the same energy are conjugated by time reversal symmetry. This phenomenology entails a so called topological protection against elastic single particle backscattering by time reversal symmetry. We investigate the limitations of this topological protection by studying the influence of inelastic processes as induced by the interplay of phonons and extrinsic spin orbit interaction and by taking into account multi electron processes due to electron-electron interaction, respectively. Furthermore, we propose possible spintronics applications that rely on a spin charge duality that is uniquely associated with the quantum spin Hall phase. This duality is present in the composite system of two helical edge states with opposite helicity as realized on the two opposite edges of a quantum spin Hall sample with ribbon geometry. More conceptually speaking, the quantum spin Hall phase is the first experimentally realized example of a symmetry protected topological state of matter, a non-interacting insulating band structure which preserves an anti-unitary symmetry and is topologically distinct from a trivial insulator in the same symmetry class with totally localized and hence independent atomic orbitals. In the first part of this thesis, the reader is provided with a fairly self-contained introduction into the theoretical concepts underlying the timely research field of topological states of matter. In this context, the topological invariants characterizing these novel states are viewed as global analogues of the geometric phase associated with a cyclic adiabatic evolution. Whereas the detailed discussion of the topological invariants is necessary to gain deeper insight into the nature of the quantum spin Hall effect and related physical phenomena, the non-Abelian version of the local geometric phase is employed in a proposal for holonomic quantum computing with spin qubits in quantum dots. N2 - In dieser Doktorarbeit wird der Zusammenhang zwischen den mathematischen Bereichen der modernen Differentialgeometrie sowie der Topologie und den physikalischen Eigenschaften niedrigdimensionaler mesoskopischer Systeme erläutert. Insbesondere werden Phänomene des holographischen Quantentransportes in Quanten Spin Hall Systemen fernab des thermodynamischen Gleichgewichtes untersucht. Die Quanten Spin Hall Phase ist ein zweidimensionaler, zeitumkehrsymmetrischer elektrisch isolierender Zustand, dessen charakteristische Eigenschaft eindimensionale metallische Randzustände sind. Diese im Englischen als “helical edge states” bezeichneten Randkanäle zeichnen sic h dadurch aus, dass Spin und Bewegungsrichtung der Ladungsträger fest miteinander verknüpft sind und zwei Zustände mit gleicher Energie aber unterschiedlicher Bewegungsrichtung stets durch die Symmetrieoperation der Zeitumkehr zusammenhängen. Diese Phänomenologie bedingt einen sogenannten topologischen Schutz durch Zeitumkehrsymmetrie gegen elastische Einteilchenrückstreuung. Wir beschäftigen uns mit den Grenzen dieses Schutzes, indem wir inelastische Rückstreuprozesse in Betracht ziehen, wie sie etwa durch das Wechselspiel von extrinsischer Spin-Bahn Kopplung und Gitterschwingungen induziert werden können, oder aber indem wir Mehrteilchen-Streuprozesse untersuchen, welche die Coulomb-Wechselwirkung ermöglicht. Desweiteren werden Anwendungen aus dem Gebiet der Spintronik vorgeschlagen, welche auf einer dem Quanten Spin Hall Effekt eigenen Dualität zwischen dem Spin und dem Ladungsfreiheitsgrad beruhen. Diese Dualität existiert in einem aus zwei Randzuständen mit entgegengesetzter Helizität zusammengesetzten System, wie etwa durch zwei gegenüberliegende Ränder einer streifenförmigen Probe im Quanten Spin Hall Zustand realisiert. Konzeptionell gesehen ist der Quanten Spin Hall Zustand das erste experimentell nachgewiesene Beispiel eines symmetriegeschützten topologischen Zustandes nichtwechselwirkender Materie, also eines Bandisolators, welcher eine antiunitäre Symmetrie besitzt und sich von einem trivialen Isolator mit gleicher Symmetrie aber ausschliesslich lokalisierten und daher voneinander unabhängigen atomaren Orbitalen topologisch unterscheidet. Im ersten Teil dieser Dissertation geben wir eine Einführung in die theoretischen Konzepte, welche dem Forschungsgebiet der nichtwechselwirkenden topologischen Zustände zugrunde liegen. In diesem Zusammenhang werden die topologischen Invarianten, welche diese neuartigen Zustände charakterisieren, als globales Analogon zur lokalen geometrischen Phase dargestellt, welche mit einer zyklischen adiabatischen Entwicklung eines physikalischen Systems verknüpft ist. Während die ausführliche Diskussion der globalen Invarianten einem tieferen Verständnis des Quanten Spin Hall Effektes und damit verwandten physikalischen Phänomenen dienen soll, wird die nicht-Abelsche Variante der lokalen geometrischen Phase für einen Vorschlag zur Realisierung von holonomiebasierter Quanteninformationsverarbeitung genutzt. Das Quantenbit der von uns vorgeschlagenen Architektur ist ein in einem Quantenpunkt eingesperrter Spinfreiheitsgrad. KW - Topologischer Isolator KW - Quantenspinsystem KW - Quanten-Hall-Effekt KW - Topologische Isolatoren KW - Quanten Spin Hall Effekt KW - Berry Phase KW - Topology KW - Topological Insulator KW - Topolgical Phase KW - Quantum spin Hall KW - Keldysh formalism KW - Adiabatic Theorem of quantum mechanics Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-76847 ER -