TY  - THES
A1  - Iuga, Maria
T1  - Ab Initio and Finite Element Simulations of Material Properties in Multiphase Ceramics
T1  - Ab Initio und Finite-Elemente Simulationen der Materialeigenschaften in der Mehrphasen-Keramik
N2  - In the present study numerical methods are employed within the framework of multiscale modeling. Quantum mechanics and finite element method simulations have been used in order to calculate thermoelastic properties of ceramics. At the atomic scale, elastic constants of ten different ceramics (Al2O3, alpha- and beta-SiC, TiO2-rutile and anatase, AlN, BN, CaF2, TiB2, ZrO2) were calculated from the first principles (ab-initio) using the density functional theory with the general gradient approximation. The simulated elastic moduli were compared with measured values. These results have shown that the ab-initio computations can be used independently from experiment to predict elastic behavior and can provide a basis for the modeling of structural and elastic properties of more complex composite ceramics. In order to simulate macroscopic material properties of composite ceramics from the material properties of the constituting phases, 3D finite element models were used. The influence of microstructural features such as pores and grain boundaries on the effective thermoelastic properties is studied through a diversity of geometries like truncated spheres in cubic and random arrangement, modified Voronoi polyhedra, etc. A 3D model is used for modeling the microstructure of the ceramic samples. The measured parameters, like volume fractions of the two phases, grain size ratios and grain boundary areas are calculated for each structure. The theoretical model is then varied to fit the geometrical data derived from experimental samples. The model considerations are illustrated on two types of bi-continuous materials, a porous ceramic, alumina (Al2O3) and a dense ceramic, zirconia-alumina composite (ZA). For the present study, alumina samples partially sintered at temperatures between 800 and 1320 C, with fractional densities between 58.4% and 97% have been used. For ZA ceramic the zirconia powder was partially stabilized and the ratio between alumina and zirconia was varied. For these two examples of ceramics, Young’s modulus and thermal conductivity were calculated and compared to experimental data of samples of the respective microstructure. Comparing the experimental and simulated values of Young’s modulus for Al2O3 ceramic a good agreement was obtained. For the thermal conductivity the consideration of thermal boundary resistance (TBR) was necessary. It was shown that for different values of TBR the experimental data lie within the simulated thermal conductivities. In the case of ZA ceramic also a good agreement between simulated and experimental values was observed. For smaller ZrO2 fractions, a larger Young’s modulus and thermal conductivity was observed in the experimental samples. The discrepancies have been discussed by taking into account the effect of pressure. Considering the dependence of the thermoelastic properties on the pressure, it has been shown that the thermal stresses resulting from the cooling process were insufficient to explain the discrepancies between experimental and simulated thermoelastic properties.
N2  - In der vorliegenden Arbeit wurden im Rahmen einer Multiskalen-Modellierung quantenmechanische und Finite-Elemente-Simulationen verwendet, um thermoelastische Eigenschaften keramischer Materialien zu untersuchen. Auf atomarer Skala wurden die elastischen Konstanten von zehn unterschiedlichen Keramiken berechnet: Al2O3, alpha- und beta-SiC, TiO2-Rutil und Anatas, AlN, BN, CaF2, TiB2, ZrO2, wobei die Dichtefunktionaltheorie mit der verallgemeinerten Gradientennäherung verwendet wurde. Die simulierten elastischen Konstanten wurden mit gemessenen Werten verglichen. Diese Ergebnisse haben gezeigt, dass die quantenmechanischen Berechnungen unabhängig vom Experiment verwendet werden können, um elastisches Verhalten vorauszusagen. Außerdem stehen sie als Grundlage für das Modellieren der strukturellen und elastischen Eigenschaften der komplexeren keramischen Kompositen zur Verfügung. Um makroskopische Eigenschaften keramischer Komposite aus den Eigenschaften der beteiligten Phasen zu simulieren, wurden 3D Finite Elemente Modelle benutzt. Der Einfluss von Mikrostrukturmerkmalen, wie Poren und Korngrenzen, auf die thermoelastischen Eigenschaften wurde in verschiedenen Geometrien wie z.B. abgeschnittene Kugeln in kubischer und zufälliger Anordnung oder Voronoi-Polyeder studiert. 3D-Modelle wurden auch für das Modellieren der Mikrostruktur experimenteller Proben benutzt. Parameter, wie der Volumenanteil der beteiligten Phasen, die Korngrößenverhältnisse und die Korngrenzflächenanteile wurden für jede Struktur gemessen. Das theoretische Strukturmodell wurde dann variiert, um es an die geometrischen Daten der experimentellen Proben anzupassen. Das Modell wurde an zwei Materialtypen, einer porösen Keramik, Aluminiumoxid (Al2O3) und einer dichten Keramik, einem Komposit aus Aluminiumoxid und Zirkonoxid (ZA) angewendet. Für die vorliegende Arbeit wurden die Al2O3 Proben teilgesintert, bei Temperaturen zwischen 800 und 1320 C, mit Dichten zwischen 58.4% und 97%. Für die ZA Keramik wurde das ZrO2 Pulver partiell stabilisiert und das Verhältnis zwischen Al2O3 und ZrO2 verändert. Für diese zwei Keramiken wurden der Young Modul und die Wärmeleitfähigkeit errechnet und mit den experimentellen Daten verglichen. Der Young Modul der Al2O3 Keramik zeigte eine gute Übereinstimmung zwischen experimentellen und simulierten Werten. Für die Wärmeleitfähigkeit wurde die Berücksichtigung des Wärmewiderstands an Korngrenzen notwendig. Es zeigte sich, dass die experimentellen Daten für den Wärmewiderstand mit dem simulierten Wert kompatibel sind. Im Fall der ZA-Keramik wurde bei höheren ZrO2 - Volumenanteilen ebenfalls eine gute Übereinstimmung zwischen simulierten und experimentellen Werten des Young-Moduls und der Wärmeleitfähigkeit beobachtet. Bei kleineren ZrO2 -Volumenanteilen wurden jedoch ein größerer Young-Modul und eine größere Wärmeleitfähigkeit in den experimentellen Proben beobachtet. Um diese Unterschiede zu erklären, wurde der Einfluss des Drucks auf die thermoelastischen Eigenschaften berechnet. Es wurde gezeigt, dass die thermischen Spannungen, die aus dem Abkühlungsprozess resultieren, nicht ausreichen, um die Unterschiede zwischen experimentellen und simulierten Eigenschaften zu erklären.
KW  - Finite-Elemente-Methode
KW  - quantenmechanische Simulationen
KW  - Finite-Elemente Methode
KW  - Mikrostrukturen
KW  - thermoelastische Eigenschaften
KW  - mehrphasen Keramiken
KW  - quantum mechanics simulations
KW  - finite element method
KW  - microstructure
KW  - thermoelastic properties
KW  - multiphase ceramics
Y1  - 2007
U6  - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-26246
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TY  - THES
A1  - Wurst, Jan-Eric
T1  - Hp-Finite Elements for PDE-Constrained Optimization
N2  - Diese Arbeit behandelt die hp-Finite Elemente Methode (FEM) für linear quadratische Optimal-steuerungsprobleme. Dabei soll ein Zielfunktional, welches die Entfernung zu einem angestrebten Zustand und hohe Steuerungskosten (als Regularisierung) bestraft, unter der Nebenbedingung einer elliptischen partiellen Differentialgleichung minimiert werden. Bei der Anwesenheit von Steuerungsbeschränkungen können die notwendigen Bedingungen erster Ordnung, die typischerweise für numerische Lösungsverfahren genutzt werden, als halbglatte Projektionsformel formuliert werden. Folglich sind optimale Lösungen oftmals auch nicht-glatt. Die Technik der hp-Diskretisierung berücksichtigt diese Tatsache und approximiert raue Funktionen auf feinen Gittern, während Elemente höherer Ordnung auf Gebieten verwendet werden, auf denen die Lösung glatt ist.
Die erste Leistung dieser Arbeit ist die erfolgreiche Anwendung der hp-FEM auf zwei verwandte Problemklassen: Neumann- und Interface-Steuerungsprobleme. Diese werden zunächst mit entsprechenden a-priori Verfeinerungsstrategien gelöst, mit der randkonzentrierten (bc) FEM oder interface konzentrierten (ic) FEM. Diese Strategien generieren Gitter, die stark in Richtung des Randes beziehungsweise des Interfaces verfeinert werden. Um für beide Techniken eine algebraische Reduktion des Approximationsfehlers zu beweisen, wird eine elementweise interpolierende Funktion konstruiert. Außerdem werden die lokale und globale Regularität von Lösungen behandelt, weil sie entscheidend für die Konvergenzgeschwindigkeit ist.
Da die bc- und ic- FEM kleine Polynomgrade für Elemente verwenden, die den Rand beziehungsweise das Interface berühren, können eine neue L2- und L∞-Fehlerabschätzung hergeleitet werden. Letztere bildet die Grundlage für eine a-priori Strategie zum Aufdatieren des Regularisierungsparameters im Zielfunktional, um Probleme mit bang-bang Charakter zu lösen. Zudem wird die herkömmliche hp-Idee, die daraus besteht das Gitter geometrisch in Richtung der Ecken des Gebiets abzustufen, auf die Lösung von Optimalsteuerungsproblemen übertragen (vc-FEM). Es gelingt, Regularität in abzählbar normierten Räumen für die Variablen des gekoppelten Optimalitätssystems zu zeigen. Hieraus resultiert die exponentielle Konvergenz im Bezug auf die Anzahl der Freiheitsgrade.
Die zweite Leistung dieser Arbeit ist die Entwicklung einer völlig adaptiven hp-Innere-Punkte-Methode, die Probleme mit verteilter oder Neumann Steuerung lösen kann. Das zugrundeliegende Barriereproblem besitzt ein nichtlineares Optimilitätssystem, das eine numerische Herausforderung beinhaltet: die stabile Berechnung von Integralen über Funktionen mit möglichen Singularitäten in
Elementen höherer Ordnung. Dieses Problem wird dadurch gelöst, dass die Steuerung an den Integrationspunkten überwacht wird. Die Zulässigkeit an diesen Punkten wird durch einen Glättungsschritt garantiert.
In dieser Arbeit werden sowohl die Konvergenz eines Innere-Punkte-Verfahrens mit Glättungsschritt als auch a-posteriori Schranken für den Diskretisierungsfehler gezeigt. Dies führt zu einem adaptiven Lösungsalgorithmus, dessen Gitterverfeinerung auf der Entwicklung der Lösung in eine Legendre Reihe basiert. Hierbei dient das Abklingverhalten der Koeffizienten als Glattheitsindikator und wird für die Entscheidung zwischen h- und p-Verfeinerung herangezogen.
N2  - This thesis deals with the hp-finite element method (FEM) for linear quadratic optimal control problems. Here, a tracking type functional with control costs as regularization shall be minimized subject to an elliptic partial differential equation. In the presence of control constraints, the first order necessary conditions, which are typically used to find optimal solutions numerically, can be formulated as a semi-smooth projection formula. Consequently, optimal solutions may be non-smooth as well. The hp-discretization technique considers this fact and approximates rough functions on fine meshes while using higher order finite elements on domains where the solution is smooth.
The first main achievement of this thesis is the successful application of hp-FEM to two related problem classes: Neumann boundary and interface control problems. They are solved with an a-priori refinement strategy called boundary concentrated (bc) FEM and interface concentrated (ic) FEM, respectively. These strategies generate grids that are heavily refined towards the boundary or interface. We construct an elementwise interpolant that allows to prove algebraic decay of the approximation error for both techniques. Additionally, a detailed analysis of global and local regularity of solutions, which is critical for the speed of convergence, is included. Since the bc- and ic-FEM retain small polynomial degrees for elements touching the boundary and interface, respectively, we are able to deduce novel error estimates in the L2- and L∞-norm. The latter allows an a-priori strategy for updating the regularization parameter in the objective functional to solve bang-bang problems.
Furthermore, we apply the traditional idea of the hp-FEM, i.e., grading the mesh geometrically towards vertices of the domain, for solving optimal control problems (vc-FEM). In doing so, we obtain exponential convergence with respect to the number of unknowns. This is proved with a regularity result in countably normed spaces for the variables of the coupled optimality system.
The second main achievement of this thesis is the development of a fully adaptive hp-interior point method that can solve problems with distributed or Neumann control. The underlying barrier problem yields a non-linear optimality system, which poses a numerical challenge: the numerically stable evaluation of integrals over possibly singular functions in higher order elements. We successfully overcome this difficulty by monitoring the control variable at the integration points and enforcing feasibility in an additional smoothing step. In this work, we prove convergence of an interior point method with smoothing step and derive a-posteriori error estimators. The adaptive mesh refinement is based on the expansion of the solution in a Legendre series. The decay of the coefficients serves as an indicator for smoothness that guides between h- and p-refinement.
KW  - Finite-Elemente-Methode
KW  - Optimale Kontrolle
KW  - Elliptische Differentialgleichung
KW  - finite elements
KW  - optimal control
KW  - higher order methods
KW  - partial differetial equations
Y1  - 2015
U6  - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-115027
SN  - 978-3-95826-024-5 (print)
SN  - 978-3-95826-025-2 (online)
PB  - Würzburg University Press
CY  - Würzburg
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TY  - THES
A1  - Herrmann, Marc
T1  - The Total Variation on Surfaces and of Surfaces
T1  - Die totale Variation auf Oberflächen und von Oberflächen
N2  - This thesis is concerned with applying the total variation (TV) regularizer to surfaces and different types of shape optimization problems. The resulting problems are challenging since they suffer from the non-differentiability of the TV-seminorm, but unlike most other priors it favors piecewise constant solutions, which results in piecewise flat geometries for shape optimization problems.The first part of this thesis deals with an analogue of the TV image reconstruction approach [Rudin, Osher, Fatemi (Physica D, 1992)] for images on smooth surfaces. A rigorous analytical framework is developed for this model and its Fenchel predual, which is a quadratic optimization problem with pointwise inequality constraints on the surface. A function space interior point method is proposed to solve it. Afterwards, a discrete variant (DTV) based on a nodal quadrature formula is defined for piecewise polynomial, globally discontinuous and continuous finite element functions on triangulated surface meshes. DTV has favorable properties, which include a convenient dual representation. Next, an analogue of the total variation prior for the normal vector field along the boundary of smooth shapes in 3D is introduced. Its analysis is based on a differential geometric setting in which the unit normal vector is viewed as an element of the two-dimensional sphere manifold. Shape calculus is used to characterize the relevant derivatives and an variant of the split Bregman method for manifold valued functions is proposed. This is followed by an extension of the total variation prior for the normal vector field for piecewise flat surfaces and the previous variant of split Bregman method is adapted. Numerical experiments confirm that the new prior favours polyhedral shapes.
N2  - Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Anwendung der totalen Variation (TV) als Regularisierung auf Oberflächen und in verschiedenen Problemen der Formoptimierung. Die daraus entstehenden Optimierungsprobleme sind aufgrund der TV-Seminorm nicht differenzierbar und daher eine Herausforderung. Allerdings werden dadurch, im Gegensatz zu anderen Regularisierungen, stückweise konstante Lösungen favorisiert. Dies führt bei Problemen der Formoptimierung zu stückweise flachen Geometrien. Der erste Teil dieser Arbeit widmet sich der Erweiterung des Ansatzes zur mathematischen Bildverarbeitung [Rudin, Osher, Fatemi (Physica D, 1992)] von flachen Bildern auf glatte Oberflächen und deren Texturen. Für das damit verbundene Optimierungsproblem wird das Fenchel präduale Problem hergeleitet. Dies ist ein quadratisches Optimierungsproblem mit Ungleichungsrestriktionen für dessen Lösung ein Innere-Punkte-Verfahren in Funktionenräumen vorgestellt wird. Basierend auf einer Quadraturformel, wird im Anschluss eine diskrete Variante (DTV) der TV-Seminorm für global unstetige und stetige Finite- Elemente-Funktionen auf triangulierten Oberflächen entwickelt. (DTV) besitzt positive Eigenschaften, wie eine praktische duale Darstellung. Im letzten Teil wird zuerst ein TV-Analogon für die Oberflächennormale von glatten Formen in 3D gezeigt und mit Hilfe von Differentialgeometrie analysiert. Danach wird eine mögliche Erweiterungen für stückweise glatte Oberflächen vorgestellt. Zur Lösung von beiden Regularisierungen wird eine Variante des Split-Bregman-Verfahrens für Funktionen mitWerten auf Mannigfaltigkeiten benutzt.
KW  - Gestaltoptimierung
KW  - optimization
KW  - total variation
KW  - Formoptimierung
KW  - Shape Optimization
KW  - Optimierung
KW  - Totale Variation
KW  - Finite-Elemente-Methode
Y1  - 2021
U6  - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-240736
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TY  - THES
A1  - Körner, Jacob
T1  - Theoretical and numerical analysis of Fokker–Planck optimal control problems by first– and second–order optimality conditions
T1  - Theoretische und numerische Analysis von Fokker-Planck optimalen Steuerungsproblemen mittels Optimalitätsbedingung erster und zweiter Ordnung
N2  - In this thesis, a variety of Fokker--Planck (FP) optimal control problems are investigated. Main emphasis is put on a first-- and second--order analysis of different optimal control problems, characterizing optimal controls, establishing regularity results for optimal controls, and providing a  numerical analysis for a Galerkin--based numerical scheme. 

The Fokker--Planck equation is a partial differential equation (PDE) of linear parabolic type deeply connected to the theory of stochastic processes and stochastic differential equations. In essence, it describes the evolution over time of the probability distribution of the state of an object or system of objects  under the influence of both deterministic and stochastic forces. 
The FP equation is a cornerstone in understanding and modeling phenomena ranging from the diffusion and motion of molecules in a fluid to the fluctuations in financial markets. 

Two different types of optimal control problems are  analyzed in this thesis. On the one hand, Fokker--Planck ensemble optimal control problems are considered that have a wide range of applications in controlling a system of multiple non--interacting objects. In this framework, the goal is to collectively drive each object into a desired state.
On the other hand, tracking--type control problems are investigated, commonly used in parameter identification problems or stemming from the field of inverse problems. 
In this framework, the aim is to determine certain parameters or functions of the FP equation, such that the resulting probability distribution function takes a desired form,  possibly   observed by measurements.
In both cases, we consider FP models where the control functions are part of the drift, arising only from the deterministic forces of the system. Therefore, the FP optimal control problem has a bilinear control structure.
Box constraints on the controls may be present, and the focus is on time--space dependent controls for ensemble--type problems and on only time--dependent controls for tracking--type optimal control problems.

In the first chapter of the thesis, a  proof of the connection between the FP equation and stochastic differential equations is provided. Additionally, stochastic optimal control problems, aiming to minimize an expected cost value, are introduced,  and the corresponding formulation within a  deterministic FP control framework is established.
For the analysis of this PDE--constrained optimal control problem, the existence, and regularity of solutions to the FP problem are investigated. New $L^\infty$--estimates for solutions are established for low space dimensions under mild assumptions on the drift. Furthermore, based on the theory of Bessel potential spaces, new smoothness properties are derived for solutions to the FP problem in the case of only time--dependent controls. Due to these properties, the control--to--state map, which associates the control functions with the corresponding solution of the FP problem, is well--defined, Fréchet differentiable and compact for suitable Lebesgue spaces or Sobolev spaces.
The existence of optimal controls is proven under various assumptions on the space of admissible controls and objective functionals. First--order optimality conditions are derived using the adjoint system. The resulting characterization of optimal controls is exploited to achieve higher regularity of optimal controls, as well as their state and co--state functions.
Since the FP optimal control problem is non--convex due to its bilinear structure, a first--order analysis should be complemented by a second--order analysis.
Therefore, a second--order analysis for the ensemble--type control problem in the case of $H^1$--controls in time and space is performed, and sufficient second--order conditions are provided. Analogous results are obtained for the tracking--type problem for only time--dependent controls. 

The developed theory on the control problem and the first-- and second--order optimality conditions is applied to perform a numerical analysis for a Galerkin discretization of the FP optimal control problem. The main focus is on tracking-type  problems with only time--dependent controls. The idea of the presented Galerkin scheme is to first approximate the PDE--constrained optimization problem by a system of ODE--constrained optimization problems. Then, conditions on the problem are presented such that the convergence of optimal controls from one problem to the other can be guaranteed.
For this purpose, a class of bilinear ODE--constrained optimal control problems arising from the Galerkin discretization of the FP problem  is analyzed. First-- and second--order optimality conditions are established, and a numerical analysis is performed. A discretization with linear finite elements for the state and co--state problem is investigated, while the control functions are approximated by piecewise constant or  piecewise quadratic  continuous polynomials. The latter choice is motivated by the bilinear structure of the optimal control problem, allowing to overcome the discrepancies between a discretize--then--optimize and optimize--then--discretize approach. Moreover, second--order accuracy results are shown using the space of continuous, piecewise quadratic polynomials as the discrete space of controls. Lastly, the theoretical results and the second--order convergence rates are numerically verified.
N2  - In dieser Dissertation werden verschiedene Fokker--Planck (FP) optimale Steuerungsprobleme untersucht. Die Schwerpunkte liegen auf einer Analyse von Optimalitätsbedingungen erster und zweiter Ordnung, der Charakterisierung optimaler Steuerungen, dem Herleiten höhere Regularität von optimalen Kontrollen sowie einer theoretischen numerischen Analyse für ein numerisches Verfahren basierend auf einer Galerkin Approximation.

Die Fokker--Planck Gleichung ist eine lineare, parabolische, partielle Differentialgleichung (PDE), die aus dem Gebiet stochastischer Differentialgleichungen und stochastischer Prozesse stammt. Im Wesentlichen beschreibt sie die zeitliche Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsverteilung des Zustands eines Objekts bzw. eines Systems von Objekten unter dem Einfluss sowohl deterministischer als auch stochastischer Kräfte. Die Fokker--Planck Gleichung ist ein Eckpfeiler zum Verständnis und Modellieren von Phänomenen, die von der Diffusion und Bewegung von Molekülen in einer Flüssigkeit bis hin zu den Schwankungen in Finanzmärkten reichen.

Zwei verschiedene Arten von optimalen Kontrollproblemen werden in dieser Arbeit umfassend analysiert. Einerseits werden Fokker--Planck Ensemble Steuerungsprobleme betrachtet, die in der Kontrolle von Systemen mit mehreren nicht wechselwirkenden Objekten vielfältige Anwendungen haben. In diesem Gebiet ist das Ziel, alle Objekte gemeinsam in einen gewünschten Zustand zu lenken. Andererseits werden Tracking Kontrollprobleme untersucht, die häufig bei Parameteridentifikationsproblemen auftreten oder aus dem Bereich inverser Probleme stammen. Hier besteht das Ziel darin, bestimmte Parameter oder Funktionen der Fokker--Planck Gleichung derart zu bestimmen, dass die resultierende Wahrscheinlichkeitsverteilung eine gewünschte Form annimmt, welche beispielsweise durch Messungen beobachtet wurde. In beiden Fällen betrachten wir FP Modelle, bei denen die Kontrollfunktion Teil des sogenannten Drifts ist, das heißt der Teil, der nur aus den deterministischen Kräften des Systems resultiert. Daher hat das FP Kontrollproblem  eine bilineare Struktur. Untere und obere Schranken für die Kontrollfunktionen können vorhanden sein, und der Fokus liegt auf zeit-- und raumabhängigen Steuerungen für Ensemble Kontrollprobleme, sowie auf nur zeitlich abhängigen Steuerungen für Tracking Kontrollprobleme.

Am Anfang der Dissertation wird ein Beweis für den Zusammenhang zwischen der FP Gleichung und stochastischen Differentialgleichungen dargelegt. Darüber hinaus werden stochastische optimale Steuerungsprobleme eingeführt, deren Ziel es ist, einen erwarteten Kostenwert zu minimieren. Zusätzlich wird das Problem als ein deterministisches FP Kontrollproblem formuliert. Für die Analyse dieses Kontrollproblems wird die Existenz und Regularität von Lösungen für die FP Differentialgleichung untersucht. Neue $L^\infty$--Abschätzungen für Lösungen werden für niedrige Raumdimensionen unter schwachen Annahmen an den Drift bewiesen. Zusätzlich werden, basierend auf der Theorie über Bessel Potentialräume, neue Glattheitseigenschaften für Lösungen des FP--Problems im Falle zeitabhängiger Steuerungen erarbeitet. Aufgrund dieser Eigenschaften ist die sogenannte control--to--state Abbildung, welche die Kontrollfunktion mit der entsprechenden Lösung des FP Problems verknüpft, wohldefiniert, Fréchet--differenzierbar und kompakt für geeignete Lebesgue--Räume oder Sobolev--Räume.

Die Existenz optimaler Steuerungen wird unter verschiedenen Annahmen an den Funktionenraum der Kontrollen und des Kostenfunktionals bewiesen. Optimalitätsbedingungen erster Ordnung werden unter Verwendung des adjungierten Systems aufgestellt. Die daraus resultierende Charakterisierung optimaler Steuerungen wird genutzt, um  eine höhere Regularität optimaler Steuerungen sowie ihrer Zustandsfunktion und des adjungierten Problems zu erhalten. Da das FP Kontrollproblem aufgrund der bilinearen Struktur nicht konvex ist, sollte eine Analyse von Optimalitätsbedingungen erster Ordnung durch eine Analyse von Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung ergänzt werden. Dies wird für das Ensemble Kontrollproblem im Fall von zeit-- und ortsabhängigen Steuerungen mit $H^1$--Regularität durchgeführt, und hinreichende Bedingungen für lokale Minimierer werden hergeleitet. Analoge Ergebnisse werden für das Tracking--Problem für nur zeitabhängige Steuerungen bewiesen.

Die entwickelte Theorie zu diesem optimalen Steuerungsproblem und dessen Optimalitätsbedingungen wird angewendet, um eine numerische Analyse für eine Galerkin--Diskretisierung des FP Kontrollproblems durchzuführen. Der Schwerpunkt liegt auf Tracking--Problemen mit nur zeitabhängigen Steuerungen. Die Idee des vorgestellten Galerkin--Verfahrens besteht darin, das PDE--Optimierungsproblem zunächst durch ein System von Optimierungsproblemen mit gewöhnlichen Differentialgleichungen (ODE) als Nebenbedingung zu approximieren. Dann werden Bedingungen an das Problem präsentiert, sodass die Konvergenz optimaler Steuerungen von einem Problem zum anderen garantiert werden kann. Zu diesem Zweck wird eine Klasse bilinearer ODE--Kontrollprobleme analysiert, welche sich aus der Galerkin--Diskretisierung des FP Problems ergeben. Optimalitätsbedingungen erster und zweiter Ordnung werden bewiesen, und eine numerische Analyse wird durchgeführt. Eine Diskretisierung mit linearen Finiten--Elementen der Zustands-- und Adjungiertengleichung wird untersucht, während die Kontrollfunktionen durch stückweise konstante oder stetige, stückweise quadratische Polynome approximiert werden. Diese Wahl wird durch die bilineare Struktur des optimalen Kontrollproblems begründet, da sie es ermöglicht, die Diskrepanzen zwischen einem Ansatz von ,,zuerst diskretisieren dann optimieren" und ,,zuerst optimieren, dann diskretisieren" zu überwinden. Durch die Verwendung stetiger, stückweise quadratischer Polynome als Diskretisierung der Steuerungen kann außerdem quadratische Konvergenzordnung gezeigt werden. Abschließend werden die theoretischen Ergebnisse und die Konvergenzraten zweiter Ordnung numerisch verifiziert.
KW  - Parabolische Differentialgleichung
KW  - Fokker-Planck-Gleichung
KW  - Optimale Kontrolle
KW  - Optimalitätsbedingung
KW  - Finite-Elemente-Methode
KW  - accuracy estimate
Y1  - 2024
U6  - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-362997
ER  -