TY - THES A1 - Bartsch, Jan T1 - Theoretical and numerical investigation of optimal control problems governed by kinetic models T1 - Theoretische und numerische Untersuchung von Optimalsteuerungsproblemen mit kinetischen Modellen N2 - This thesis is devoted to the numerical and theoretical analysis of ensemble optimal control problems governed by kinetic models. The formulation and study of these problems have been put forward in recent years by R.W. Brockett with the motivation that ensemble control may provide a more general and robust control framework for dynamical systems. Following this formulation, a Liouville (or continuity) equation with an unbounded drift function is considered together with a class of cost functionals that include tracking of ensembles of trajectories of dynamical systems and different control costs. Specifically, $L^2$, $H^1$ and $L^1$ control costs are taken into account which leads to non--smooth optimization problems. For the theoretical investigation of the resulting optimal control problems, a well--posedness theory in weighted Sobolev spaces is presented for Liouville and related transport equations. Specifically, existence and uniqueness results for these equations and energy estimates in suitable norms are provided; in particular norms in weighted Sobolev spaces. Then, non--smooth optimal control problems governed by the Liouville equation are formulated with a control mechanism in the drift function. Further, box--constraints on the control are imposed. The control--to--state map is introduced, that associates to any control the unique solution of the corresponding Liouville equation. Important properties of this map are investigated, specifically, that it is well--defined, continuous and Frechet differentiable. Using the first two properties, the existence of solutions to the optimal control problems is shown. While proving the differentiability, a loss of regularity is encountered, that is natural to hyperbolic equations. This leads to the need of the investigation of the control--to--state map in the topology of weighted Sobolev spaces. Exploiting the Frechet differentiability, it is possible to characterize solutions to the optimal control problem as solutions to an optimality system. This system consists of the Liouville equation, its optimization adjoint in the form of a transport equation, and a gradient inequality. Numerical methodologies for solving Liouville and transport equations are presented that are based on a non--smooth Lagrange optimization framework. For this purpose, approximation and solution schemes for such equations are developed and analyzed. For the approximation of the Liouville model and its optimization adjoint, a combination of a Kurganov--Tadmor method, a Runge--Kutta scheme, and a Strang splitting method are discussed. Stability and second--order accuracy of these resulting schemes are proven in the discrete $L^1$ norm. In addition, conservation of mass and positivity preservation are confirmed for the solution method of the Liouville model. As numerical optimization strategy, an adapted Krylow--Newton method is applied. Since the control is considered to be an element of $H^1$ and to obey certain box--constraints, a method for calculating a $H^1$ projection is presented. Since the optimal control problem is non-smooth, a semi-smooth adaption of Newton's method is taken into account. Results of numerical experiments are presented that successfully validate the proposed deterministic framework. After the discussion of deterministic schemes, the linear space--homogeneous Keilson--Storer master equation is investigated. This equation was originally developed for the modelling of Brownian motion of particles immersed in a fluid and is a representative model of the class of linear Boltzmann equations. The well--posedness of the Keilson--Storer master equation is investigated and energy estimates in different topologies are derived. To solve this equation numerically, Monte Carlo methods are considered. Such methods take advantage of the kinetic formulation of the Liouville equation and directly implement the behaviour of the system of particles under consideration. This includes the probabilistic behaviour of the collisions between particles. Optimal control problems are formulated with an objective that is constituted of certain expected values in velocity space and the $L^2$ and $H^1$ costs of the control. The problems are governed by the Keilson--Storer master equation and the control mechanism is considered to be within the collision kernel. The objective of the optimal control of this model is to drive an ensemble of particles to acquire a desired mean velocity and to achieve a desired final velocity configuration. Existence of solutions of the optimal control problem is proven and a Keilson--Storer optimality system characterizing the solution of the proposed optimal control problem is obtained. The optimality system is used to construct a gradient--based optimization strategy in the framework of Monte--Carlo methods. This task requires to accommodate the resulting adjoint Keilson--Storer model in a form that is consistent with the kinetic formulation. For this reason, we derive an adjoint Keilson--Storer collision kernel and an additional source term. A similar approach is presented in the case of a linear space--inhomogeneous kinetic model with external forces and with Keilson--Storer collision term. In this framework, a control mechanism in the form of an external space--dependent force is investigated. The purpose of this control is to steer the multi--particle system to follow a desired mean velocity and position and to reach a desired final configuration in phase space. An optimal control problem using the formulation of ensemble controls is stated with an objective that is constituted of expected values in phase space and $H^1$ costs of the control. For solving the optimal control problems, a gradient--based computational strategy in the framework of Monte Carlo methods is developed. Part of this is the denoising of the distribution functions calculated by Monte Carlo algorithms using methods of the realm of partial differential equations. A standalone C++ code is presented that implements the developed non--linear conjugated gradient strategy. Results of numerical experiments confirm the ability of the designed probabilistic control framework to operate as desired. An outlook section about optimal control problems governed by non--linear space--inhomogeneous kinetic models completes this thesis. N2 - Diese Arbeit widmet sich der numerischen und theoretischen Analyse von Proble- men der optimalen Kontrolle von Ensembles, die durch kinetische Modelle gesteuert werden. Die Formulierung und Untersuchung von Ensemble–Kontrollproblemen wur- den in den letzten Jahren von R.W. Brockett vorgeschlagen und vorangetrieben, mit der Motivation, dass Ensemblekontrolle einen allgemeineren und robusteren Rahmen für die Kontrolle von dynamischen Systemen bieten kann. In Anlehnung an diese Formulierung der Ensemble–Steuerung werden eine Liouville– (oder Kontinuitäts– ) Gleichung mit unbeschränkter Driftfunktion und eine Klasse von Kostenfunk- tionalen miteinbezogen, die das Nachverfolgen der Ensembles und verschiedener Kon- trollkosten berücksichtigen. Insbesondere werden L2, H1 und L1 Kontrollkosten be- trachtet. Für die theoretische Untersuchung der resultierenden Optimalsteuerungs- problemen wird eine Gutgestelltheitstheorie in gewichteten Sobolev–Räumen für die Liouville– und Transportgleichungen vorgestellt. Insbesondere werden Existenz– und Eindeutigkeitsresultate sowie Energieabschätzungen in geeigneten Normen präsen- tiert; insbesondere in gewichteten Sobolev–Räumen. Dann wird eine Klasse von nicht–glatten Optimalsteuerungsproblemen formuliert mit der Liouville–Gleichung als Nebenbedingung und einem Kontrollmechanismus in der Driftfunktion. Weiter- hin werden Box–Einschränkungen angenommen. ... KW - Optimale Kontrolle KW - Optimierung / Nebenbedingung KW - Liouville and transport equations KW - Ensemble optimal control Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-249066 ER - TY - THES A1 - Karl, Veronika T1 - Augmented Lagrangian Methods for State Constrained Optimal Control Problems T1 - Augmentierte Lagrange-Verfahren für zustandsbeschränkte Optimalsteuerungsprobleme N2 - This thesis is concerned with the solution of control and state constrained optimal control problems, which are governed by elliptic partial differential equations. Problems of this type are challenging since they suffer from the low regularity of the multiplier corresponding to the state constraint. Applying an augmented Lagrangian method we overcome these difficulties by working with multiplier approximations in $L^2(\Omega)$. For each problem class, we introduce the solution algorithm, carry out a thoroughly convergence analysis and illustrate our theoretical findings with numerical examples. The thesis is divided into two parts. The first part focuses on classical PDE constrained optimal control problems. We start by studying linear-quadratic objective functionals, which include the standard tracking type term and an additional regularization term as well as the case, where the regularization term is replaced by an $L^1(\Omega)$-norm term, which makes the problem ill-posed. We deepen our study of the augmented Lagrangian algorithm by examining the more complicated class of optimal control problems that are governed by a semilinear partial differential equation. The second part investigates the broader class of multi-player control problems. While the examination of jointly convex generalized Nash equilibrium problems (GNEP) is a simple extension of the linear elliptic optimal control case, the complexity is increased significantly for pure GNEPs. The existence of solutions of jointly convex GNEPs is well-studied. However, solution algorithms may suffer from non-uniqueness of solutions. Therefore, the last part of this thesis is devoted to the analysis of the uniqueness of normalized equilibria. N2 - Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Lösung von kontroll- und zustandsbeschränkten Optimalsteuerungsproblemen mit elliptischen partiellen Differentialgleichungen als Nebenbedingungen. Da die zur Zustandsbeschränkung zugehörigen Multiplikatoren nur eine niedrige Regularität aufweisen, sind Probleme dieses Typs besonders anspruchsvoll. Zur Lösung dieser Problemklasse wird ein augmentiertes Lagrange-Verfahren angewandt, das Annäherungen der Multiplikatoren in $L^2(\Omega)$ verwendet. Für jede Problemklasse erfolgt eine Präsentation des Lösungsalgorithmus, eine sorgfältige Konvergenzanalysis sowie eine Veranschaulichung der theoretischen Ergebnisse durch numerische Beispiele. Die Arbeit ist in zwei verschiedene Themenbereiche gegliedert. Der erste Teil widmet sich klassischen Optimalsteuerungsproblemen. Dabei wird zuerst der linear-quadratische und somit konvexe Fall untersucht. Hier setzt sich das Kostenfunktional aus einem Tracking-Type Term sowie einem $L^2(\Omega)$-Regularisierungsterm oder einem $L^1(\Omega)$-Term zusammen. Wir erweitern unsere Analysis auf nichtkonvexe Probleme. In diesem Fall erschwert die Nichtlinearität der zugrundeliegenden partiellen Differentialgleichung die Konvergenzanalysis des zugehörigen Optimalsteuerungsproblems maßgeblich. Der zweite Teil der Arbeit nutzt die Grundlagen, die im ersten Teil erarbeitet wurden und untersucht die allgemeiner gehaltene Problemklasse der Nash-Mehrspielerprobleme. Während die Untersuchung von konvexen verallgemeinerten Nash-Gleichsgewichtsproblemen (engl.: Generalized Nash Equilibrium Problem, kurz: GNEP) mit einer für alle Spieler identischen Restriktion eine einfache Erweiterung von linear elliptischen Optimalsteuerungsproblemen darstellt, erhöht sich der Schwierigkeitsgrad für Mehrspielerprobleme ohne gemeinsame Restriktion drastisch. Die Eindeutigkeit von normalisierten Nash-Gleichgewichten ist, im Gegensatz zu deren Existenz, nicht ausreichend erforscht, was insbesondere eine Schwierigkeit für Lösungsalgorithmen darstellt. Aus diesem Grund wird im letzten Teil dieser Arbeit die Eindeutigkeit von Lösungen gesondert betrachtet. KW - Optimale Kontrolle KW - Optimierung KW - Nash-Gleichgewicht KW - optimal control KW - state constraints KW - augmented Lagrangian method KW - Elliptische Differentialgleichung KW - Optimale Steuerung Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-213846 ER - TY - THES A1 - Breitenbach, Tim T1 - A sequential quadratic Hamiltonian scheme for solving optimal control problems with non-smooth cost functionals T1 - Ein sequentielles quadratisches Hamilton Schema um Optimalsteuerprobleme mit nicht-glatten Kostenfunktionalen zu lösen N2 - This thesis deals with a new so-called sequential quadratic Hamiltonian (SQH) iterative scheme to solve optimal control problems with differential models and cost functionals ranging from smooth to discontinuous and non-convex. This scheme is based on the Pontryagin maximum principle (PMP) that provides necessary optimality conditions for an optimal solution. In this framework, a Hamiltonian function is defined that attains its minimum pointwise at the optimal solution of the corresponding optimal control problem. In the SQH scheme, this Hamiltonian function is augmented by a quadratic penalty term consisting of the current control function and the control function from the previous iteration. The heart of the SQH scheme is to minimize this augmented Hamiltonian function pointwise in order to determine a control update. Since the PMP does not require any differ- entiability with respect to the control argument, the SQH scheme can be used to solve optimal control problems with both smooth and non-convex or even discontinuous cost functionals. The main achievement of the thesis is the formulation of a robust and efficient SQH scheme and a framework in which the convergence analysis of the SQH scheme can be carried out. In this framework, convergence of the scheme means that the calculated solution fulfills the PMP condition. The governing differential models of the considered optimal control problems are ordinary differential equations (ODEs) and partial differential equations (PDEs). In the PDE case, elliptic and parabolic equations as well as the Fokker-Planck (FP) equation are considered. For both the ODE and the PDE cases, assumptions are formulated for which it can be proved that a solution to an optimal control problem has to fulfill the PMP. The obtained results are essential for the discussion of the convergence analysis of the SQH scheme. This analysis has two parts. The first one is the well-posedness of the scheme which means that all steps of the scheme can be carried out and provide a result in finite time. The second part part is the PMP consistency of the solution. This means that the solution of the SQH scheme fulfills the PMP conditions. In the ODE case, the following results are obtained that state well-posedness of the SQH scheme and the PMP consistency of the corresponding solution. Lemma 7 states the existence of a pointwise minimum of the augmented Hamiltonian. Lemma 11 proves the existence of a weight of the quadratic penalty term such that the minimization of the corresponding augmented Hamiltonian results in a control updated that reduces the value of the cost functional. Lemma 12 states that the SQH scheme stops if an iterate is PMP optimal. Theorem 13 proves the cost functional reducing properties of the SQH control updates. The main result is given in Theorem 14, which states the pointwise convergence of the SQH scheme towards a PMP consistent solution. In this ODE framework, the SQH method is applied to two optimal control problems. The first one is an optimal quantum control problem where it is shown that the SQH method converges much faster to an optimal solution than a globalized Newton method. The second optimal control problem is an optimal tumor treatment problem with a system of coupled highly non-linear state equations that describe the tumor growth. It is shown that the framework in which the convergence of the SQH scheme is proved is applicable for this highly non-linear case. Next, the case of PDE control problems is considered. First a general framework is discussed in which a solution to the corresponding optimal control problem fulfills the PMP conditions. In this case, many theoretical estimates are presented in Theorem 59 and Theorem 64 to prove in particular the essential boundedness of the state and adjoint variables. The steps for the convergence analysis of the SQH scheme are analogous to that of the ODE case and result in Theorem 27 that states the PMP consistency of the solution obtained with the SQH scheme. This framework is applied to different elliptic and parabolic optimal control problems, including linear and bilinear control mechanisms, as well as non-linear state equations. Moreover, the SQH method is discussed for solving a state-constrained optimal control problem in an augmented formulation. In this case, it is shown in Theorem 30 that for increasing the weight of the augmentation term, which penalizes the violation of the state constraint, the measure of this state constraint violation by the corresponding solution converges to zero. Furthermore, an optimal control problem with a non-smooth L\(^1\)-tracking term and a non-smooth state equation is investigated. For this purpose, an adjoint equation is defined and the SQH method is used to solve the corresponding optimal control problem. The final part of this thesis is devoted to a class of FP models related to specific stochastic processes. The discussion starts with a focus on random walks where also jumps are included. This framework allows a derivation of a discrete FP model corresponding to a continuous FP model with jumps and boundary conditions ranging from absorbing to totally reflecting. This discussion allows the consideration of the drift-control resulting from an anisotropic probability of the steps of the random walk. Thereafter, in the PMP framework, two drift-diffusion processes and the corresponding FP models with two different control strategies for an optimal control problem with an expectation functional are considered. In the first strategy, the controls depend on time and in the second one, the controls depend on space and time. In both cases a solution to the corresponding optimal control problem is characterized with the PMP conditions, stated in Theorem 48 and Theorem 49. The well-posedness of the SQH scheme is shown in both cases and further conditions are discussed that ensure the convergence of the SQH scheme to a PMP consistent solution. The case of a space and time dependent control strategy results in a special structure of the corresponding PMP conditions that is exploited in another solution method, the so-called direct Hamiltonian (DH) method. N2 - Diese Dissertation handelt von einem neuen so genannten sequentiellen quadratischen Hamilton (SQH) iterativen Schema um Optimalsteuerungsprobleme mit Differentialmodellen und Kostenfunktionalen, die von glatt bis zu unstetig und nicht-konvex reichen, zu lösen. Dieses Schema basiert auf dem Pontryagin Maximumprinzip (PMP), welches notwendige Optimalitätsbedingungen für eine optimale Lösung zur Verfügung stellt. In diesem Rahmen wird eine Hamiltonfunktion definiert, die ihr Minimum punktweise an der optimalen Lösung des entsprechenden Optimalsteuerungsproblems annimmt. In diesem SQH Schema wird diese Hamiltonfunktion durch einen quadratischen Strafterm erweitert, der aus der aktuellen Steuerungsfunktion und der Steuerungsfunktion aus der vorherigen Iteration besteht. Das Herzstück des SQH Schemas ist die punktweise Minimierung dieser erweiterten Hamiltonfunktion um eine Aktualisierung der Steuerungsfunktion zu bestimmen. Da das PMP keine Differenzierbarkeit in Bezug auf das Steuerungsfunktionsargument verlangt, kann das SQH Schema dazu benutzt werden, Optimalsteuerungsprobleme mit sowohl glatten als auch nicht-konvexen oder sogar unstetigen Kostenfunktionalen zu lösen. Das Hauptergebnis dieser Dissertation ist die Formulierung eines robusten und effizienten SQH Schemas und eines Rahmens, in dem die Konvergenzanalyse des SQH Schemas ausgeführt werden kann. In diesem Rahmen bedeutet Konvergenz des Schemas, dass die berechnete Lösung die PMP Bedingung erfüllt. Die steuernden Differentialmodelle der betrachteten Optimalsteuerungsprobleme sind gewöhnliche Differentialgleichungen (ODEs) und partielle Differentialgleichungen (PDEs). Im PDE Fall werden elliptische und parabolische Gleichungen, sowie die Fokker-Planck (FP) Gleichung betrachtet. Für sowohl den ODE als auch den PDE Fall werden Annahmen formuliert, für die bewiesen werden kann, dass eine Lösung eines Optimalsteuerungsproblems das PMP erfüllen muss. Die erhaltenen Resultate sind für die Diskussion der Konvergenzanalyse des SQH Schemas essentiell. Diese Analyse hat zwei Teile. Der erste ist die Wohlgestelltheit des Schemas, was bedeutet, dass alle Schritte des Schemas ausgeführt werden können und ein Ergebnis in endlicher Zeit liefern. Der zweite Teil ist die PMP Konsistenz der Lösung. Das bedeutet, dass die Lösung des SQH Schemas die PMP Bedingungen erfüllt. Im ODE Fall werden die folgenden Resultate erhalten, die die Wohlgestelltheit des Schemas und die PMP Konsistenz der entsprechenden Lösung darlegen. Lemma 7 legt die Existenz eines punktweisen Minimums der erweiterten Hamiltonfunktion dar. Lemma 11 beweist die Existenz eines Gewichtes des quadratischen Strafterms, sodass die Minimierung der entsprechenden erweiterten Hamiltonfunktion zu einer Kontrollaktualisierung führt, die den Wert des Kostenfunktionals verringert. Lemma 12 legt dar, dass das SQH Schema stehen bleibt falls eine Iterierte PMP optimal ist. Satz 13 beweist die Kostenfunktional verringernden Eigenschaften der SQH Steuerungsfunktionsaktualisierung. Das Hauptresultat ist in Satz 14 gegeben, welches die punktweise Konvergenz des SQH Schemas gegen eine PMP konsistente Lösung darlegt. Das SQH-Verfahren wird in diesem ODE Rahmen auf zwei Optimalsteuerungsprobleme angewendet. Das erste ist ein optimales Quantensteuerungsproblem, bei dem gezeigt wird, dass das SQH-Verfahren viel schneller zu einer optimalen Lösung konvergiert als ein globalisiertes Newton-Verfahren. Das zweite Optimalsteuerungsproblem ist ein optimales Tumorbehandlungsproblem mit einem System gekoppelter hochgradig nicht-linearer Zustandsgleichungen, die das Tumorwachstum beschreiben. Es wird gezeigt, dass der Rahmen, in dem die Konvergenz des SQH Schemas bewiesen wird, auf diesen hochgradig nicht-linearen Fall anwendbar ist. Als nächstes wird der Fall von PDE Optimalsteuerungsprobleme betrachtet. Zunächst wird ein allgemeiner Rahmen diskutiert, in dem eine Lösung des entsprechenden Optimalsteuerungsproblem die PMP Bedingungen erfüllt. In diesem Fall werden viele theoretische Abschätzungen in Satz 59 und Satz 64 bewiesen, die insbesondere die essentielle Beschränktheit von Zustands- und Adjungiertenvariablen beweisen. Die Schritte für die Konvergenzanalyse des SQH Schemas sind analog zu denen des ODE Falls und führen zu Satz 27, der die PMP Konsistenz der Lösung, erhalten durch das SQH Schemas, darlegt. Dieser Rahmen wird auf verschiedene elliptische und parabolische Optimalsteuerungsprobleme angewendet, die lineare und bilineare Steuerungsmechanismen beinhalten, genauso wie nicht-lineare Zustandsgleichungen. Darüber hinaus wird das SQH-Verfahren zum Lösen eines zustandsbeschränkten Optimalsteuerungsproblems in einer erweiterten Formulieren diskutiert. Es wird in Satz 30 gezeigt, dass wenn man das Gewicht des Erweiterungsterms, der die Verletzung der Zustandsbeschränkung bestraft, erhöht, das Maß dieser Zustandsbeschränkungsverletzung durch die entsprechende Lösung gegen null konvergiert. Weiterhin wird ein Optimalsteuerungsproblem mit einem nicht-glatten L\(^1\)-Zielverfolgungsterm und einer nicht-glatten Zustandsgleichung untersucht. Für diesen Zweck wird eine adjungierte Gleichung definiert und das SQHVerfahren wird benutzt um das entsprechende Optimalsteuerungsproblem zu lösen. Der letzte Teil dieser Dissertation ist einer Klasse von FP Modellen gewidmet, die auf bestimmte stochastische Prozesse bezogen sind. Die Diskussion beginnt mit dem Fokus auf Random Walks bei dem auch Sprünge mit enthalten sind. Dieser Rahmen erlaubt die Herleitung eines diskreten FP Modells, das einem kontinuierlichen FP Modell mit Sprüngen und Randbedingungen entspricht, die sich zwischen absorbierend bis komplett reflektierend bewegen. Diese Diskussion erlaubt die Betrachtung der Driftsteuerung, die aus einer anisotropen Wahrscheinlichkeit für die Schritte des Random Walks resultiert. Danach werden zwei Drift-Diffusionsprozesse und die entsprechenden FP Modelle mit zwei verschiedenen Steuerungsstrategien für ein Optimalsteuerungsproblem mit Erwartungswertfunktional betrachtet. In der ersten Strategie hängen die Steuerungsfunktionen von der Zeit ab und in der zweiten hängen die Steuerungsfunktionen von Ort und Zeit ab. In beiden Fällen wird eine Lösung zum entsprechendem Optimalsteuerungsproblem mit den PMP Bedingungen charakterisiert, dargestellt in Satz 48 und Satz 49. Die Wohlgestelltheit des SQH Schemas ist in beiden Fällen gezeigt und weitere Bedingungen, die die Konvergenz des SQH Schemas zu einer PMP konsistenten Lösung sicherstellen, werden diskutiert. Der Fall einer Ort und Zeit abhängigen Steuerungsstrategie führt auf eine spezielle Struktur der entsprechenden PMP Bedingungen, die in einem weiteren Lösungsverfahren ausgenutzt werden, dem sogenannten direkten Hamiltonfunktionsverfahren (DH). KW - Optimale Kontrolle KW - Scheme for solving optimal control problems KW - Non-smooth optimal control KW - Pontryagin maximum principle KW - Sequential quadratic Hamiltonian scheme Y1 - 2019 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-182170 ER - TY - THES A1 - Gaviraghi, Beatrice T1 - Theoretical and numerical analysis of Fokker-Planck optimal control problems for jump-diffusion processes T1 - Theoretische und numerische Analyse von Fokker-Planck Optimalsteuerungsproblemen von Sprung-Diffusions-Prozessen N2 - The topic of this thesis is the theoretical and numerical analysis of optimal control problems, whose differential constraints are given by Fokker-Planck models related to jump-diffusion processes. We tackle the issue of controlling a stochastic process by formulating a deterministic optimization problem. The key idea of our approach is to focus on the probability density function of the process, whose time evolution is modeled by the Fokker-Planck equation. Our control framework is advantageous since it allows to model the action of the control over the entire range of the process, whose statistics are characterized by the shape of its probability density function. We first investigate jump-diffusion processes, illustrating their main properties. We define stochastic initial-value problems and present results on the existence and uniqueness of their solutions. We then discuss how numerical solutions of stochastic problems are computed, focusing on the Euler-Maruyama method. We put our attention to jump-diffusion models with time- and space-dependent coefficients and jumps given by a compound Poisson process. We derive the related Fokker-Planck equations, which take the form of partial integro-differential equations. Their differential term is governed by a parabolic operator, while the nonlocal integral operator is due to the presence of the jumps. The derivation is carried out in two cases. On the one hand, we consider a process with unbounded range. On the other hand, we confine the dynamic of the sample paths to a bounded domain, and thus the behavior of the process in proximity of the boundaries has to be specified. Throughout this thesis, we set the barriers of the domain to be reflecting. The Fokker-Planck equation, endowed with initial and boundary conditions, gives rise to Fokker-Planck problems. Their solvability is discussed in suitable functional spaces. The properties of their solutions are examined, namely their regularity, positivity and probability mass conservation. Since closed-form solutions to Fokker-Planck problems are usually not available, one has to resort to numerical methods. The first main achievement of this thesis is the definition and analysis of conservative and positive-preserving numerical methods for Fokker-Planck problems. Our SIMEX1 and SIMEX2 (Splitting-Implicit-Explicit) schemes are defined within the framework given by the method of lines. The differential operator is discretized by a finite volume scheme given by the Chang-Cooper method, while the integral operator is approximated by a mid-point rule. This leads to a large system of ordinary differential equations, that we approximate with the Strang-Marchuk splitting method. This technique decomposes the original problem in a sequence of different subproblems with simpler structure, which are separately solved and linked to each other through initial conditions and final solutions. After performing the splitting step, we carry out the time integration with first- and second-order time-differencing methods. These steps give rise to the SIMEX1 and SIMEX2 methods, respectively. A full convergence and stability analysis of our schemes is included. Moreover, we are able to prove that the positivity and the mass conservation of the solution to Fokker-Planck problems are satisfied at the discrete level by the numerical solutions computed with the SIMEX schemes. The second main achievement of this thesis is the theoretical analysis and the numerical solution of optimal control problems governed by Fokker-Planck models. The field of optimal control deals with finding control functions in such a way that given cost functionals are minimized. Our framework aims at the minimization of the difference between a known sequence of values and the first moment of a jump-diffusion process; therefore, this formulation can also be considered as a parameter estimation problem for stochastic processes. Two cases are discussed, in which the form of the cost functional is continuous-in-time and discrete-in-time, respectively. The control variable enters the state equation as a coefficient of the Fokker-Planck partial integro-differential operator. We also include in the cost functional a $L^1$-penalization term, which enhances the sparsity of the solution. Therefore, the resulting optimization problem is nonconvex and nonsmooth. We derive the first-order optimality systems satisfied by the optimal solution. The computation of the optimal solution is carried out by means of proximal iterative schemes in an infinite-dimensional framework. N2 - Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der theoretischen und numerischen Analyse von Optimalsteuerungsproblemen, deren Nebenbedingungen die Fokker-Planck-Gleichungen von Sprung-Diffusions-Prozessen sind. Unsere Strategie baut auf der Formulierung eines deterministischen Problems auf, um einen stochastischen Prozess zu steuern. Der Ausgangspunkt ist, die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion des Prozesses zu betrachten, deren zeitliche Entwicklung durch die Fokker-Planck-Gleichung modelliert wird. Dieser Ansatz ist vorteilhaft, da er es ermöglicht, den gesamten Bereich des Prozesses durch die Wirkung der Steuerung zu beeinflussen. Zuerst beschäftigen wir uns mit Sprung-Diffusions-Prozessen. Wir definieren Ausgangswertprobleme, die durch stochastische Differentialgleichungen beschrieben werden, und präsentieren Ergebnisse zur Existenz und Eindeutigkeit ihrer Lösungen. Danach diskutieren wir, wie numerische Lösungen stochastischer Probleme berechnet werden, wobei wir uns auf die Euler-Maruyama-Methode konzentrieren. Wir wenden unsere Aufmerksamkeit auf Sprung-Diffusions-Modelle mit zeit- und raumabhängigen Koeffizienten und Sprüngen, die durch einen zusammengesetzten Poisson-Prozess modelliert sind. Wir leiten die zugehörigen Fokker-Planck-Glei-chungen her, die die Form von partiellen Integro-Differentialgleichungen haben. Ihr Differentialterm wird durch einen parabolischen Operator beschrieben, während der nichtlokale Integraloperator Spr\"{u}nge modelliert. Die Ableitung wird auf zwei unterschiedlichen Arten ausgef\"{u}hrt, je nachdem, ob wir einen Prozess mit unbegrenztem oder beschränktem Bereich betrachten. In dem zweiten Fall muss das Verhalten des Prozesses in der Nähe der Grenzen spezifiziert werden; in dieser Arbeit setzen wir reflektierende Grenzen. Die Fokker-Planck-Gleichung, zusammen mit einem Anfangswert und geeigneten Randbedingungen, erzeugt das Fokker-Planck-Problem. Die Lösbarkeit dieses Pro-blems in geeigneten Funktionenräumen und die Eigenschaften dessen Lösung werden diskutiert, nämlich die Positivität und die Wahrscheinlichkeitsmassenerhaltung. Da analytische Lösungen von Fokker-Planck-Problemen oft nicht verfügbar sind, m\"{u}ssen numerische Methoden verwendet werden. Die erste bemerkenswerte Leistung dieser Arbeit ist die Definition und Analyse von konservativen numerischen Verfahren, die Fokker-Planck-Probleme lösen. Unsere SIMEX1 und SIMEX2 (Splitting-Implizit-Explizit) Schemen basieren auf der Linienmethode. Der Differentialoperator wird durch das Finite-Volumen-Schema von Chang und Cooper diskretisiert, während der Integraloperator durch eine Mittelpunktregel angenähert wird. Dies führt zu einem großen System von gewöhnlichen Differentialgleichungen, das mit der Strang-Marchuk-Splitting-Methode gelöst wird. Diese Technik teilt das ursprüngliche Problem in eine Folge verschiedener Teilprobleme mit einer einfachen Struktur, die getrennt gelöst werden und danach durch deren Anfangswerte miteinander verbunden werden. Dank der Splitting-Methode kann jedes Teilproblem implizit oder explizit gelöst werden. Schließlich wird die numerische Integration des Anfangswertsproblems mit zwei Verfahren durchgeführt, n\"{a}mlich dem Euler-Verfahren und dem Predictor-Corrector-Verfahren. Eine umfassende Konvergenz- und Stabilitätsanalyse unserer Systeme ist enthalten. Darüber hinaus können wir beweisen, dass die Positivität und die Massenerhaltung der Lösung von Fokker-Planck-Problemen auf diskreter Ebene durch die numerischen Lösungen erfüllt werden, die mit den SIMEX-Schemen berechnet wurden. Die zweite bemerkenswerte Leistung dieser Arbeit ist die theoretische Analyse und die numerische Behandlung von Optimalsteuerungsproblemen, deren Nebenbedingungen die Fokker-Planck-Probleme von Sprung-Diffusions-Prozessen sind. Der Bereich der optimalen Steuerung befasst sich mit der Suche nach einer optimalen Funktion, die eine gegebene Zielfunktion minimiert. Wir zielen auf die Minimierung des Unterschieds zwischen einer bekannten Folge von Werten und dem ersten Moment eines Sprung-Diffusions-Prozesses. Auf diese Weise kann unsere Formulierung auch als ein Parameterschätzungsproblem für stochastische Prozesse angesehen werden. Zwei Fälle sind erläutert, in denen die Zielfunktion zeitstetig beziehungsweise zeitdiskret ist. Da die Steuerung ein Koeffizient des Integro-Differentialoperators der Zustandsglei-chung ist und die Zielfunktion einen $ L^1 $-Term beinhaltet, der die dünne Besetzung der Lösung erhöht, ist das Optimierungsproblem nichtkonvex und nichtglatt. Die von der optimalen L\"{o}sung erf\"{u}llten notwendigen Bedingungen werden hergeleitet, die man mit einem System beschreiben kann. Die Berechnung optimaler Lösungen wird mithilfe von Proximal-Methoden durchgeführt, die entsprechend um den unendlichdimensionalen Fall erweitert wurden. KW - Numerical analysis KW - Fokker-Planck KW - optimal control problems KW - jump-diffusion processes KW - Fokker-Planck-Gleichung KW - Optimale Kontrolle Y1 - 2017 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-145645 ER - TY - THES A1 - Sprengel, Martin T1 - A Theoretical and Numerical Analysis of a Kohn-Sham Equation and Related Control Problems T1 - Eine theoretische und numerische Untersuchung einer Kohn-Sham-Gleichung und verwandter Steuerungsprobleme N2 - In this work, multi-particle quantum optimal control problems are studied in the framework of time-dependent density functional theory (TDDFT). Quantum control problems are of great importance in both fundamental research and application of atomic and molecular systems. Typical applications are laser induced chemical reactions, nuclear magnetic resonance experiments, and quantum computing. Theoretically, the problem of how to describe a non-relativistic system of multiple particles is solved by the Schrödinger equation (SE). However, due to the exponential increase in numerical complexity with the number of particles, it is impossible to directly solve the Schrödinger equation for large systems of interest. An efficient and successful approach to overcome this difficulty is the framework of TDDFT and the use of the time-dependent Kohn-Sham (TDKS) equations therein. This is done by replacing the multi-particle SE with a set of nonlinear single-particle Schrödinger equations that are coupled through an additional potential. Despite the fact that TDDFT is widely used for physical and quantum chemical calculation and software packages for its use are readily available, its mathematical foundation is still under active development and even fundamental issues remain unproven today. The main purpose of this thesis is to provide a consistent and rigorous setting for the TDKS equations and of the related optimal control problems. In the first part of the thesis, the framework of density functional theory (DFT) and TDDFT are introduced. This includes a detailed presentation of the different functional sets forming DFT. Furthermore, the known equivalence of the TDKS system to the original SE problem is further discussed. To implement the TDDFT framework for multi-particle computations, the TDKS equations provide one of the most successful approaches nowadays. However, only few mathematical results concerning these equations are available and these results do not cover all issues that arise in the formulation of optimal control problems governed by the TDKS model. It is the purpose of the second part of this thesis to address these issues such as higher regularity of TDKS solutions and the case of weaker requirements on external (control) potentials that are instrumental for the formulation of well-posed TDKS control problems. For this purpose, in this work, existence and uniqueness of TDKS solutions are investigated in the Galerkin framework and using energy estimates for the nonlinear TDKS equations. In the third part of this thesis, optimal control problems governed by the TDKS model are formulated and investigated. For this purpose, relevant cost functionals that model the purpose of the control are discussed. Henceforth, TDKS control problems result from the requirement of optimising the given cost functionals subject to the differential constraint given by the TDKS equations. The analysis of these problems is novel and represents one of the main contributions of the present thesis. In particular, existence of minimizers is proved and their characterization by TDKS optimality systems is discussed in detail. To this end, Fréchet differentiability of the TDKS model and of the cost functionals is addressed considering \(H^1\) cost of the control. This part is concluded by deriving the reduced gradient in the \(L^2\) and \(H^1\) inner product. While the \(L^2\) optimization is widespread in the literature, the choice of the \(H^1\) gradient is motivated in this work by theoretical consideration and by resulting numerical advantages. The last part of the thesis is devoted to the numerical approximation of the TDKS optimality systems and to their solution by gradient-based optimization techniques. For the former purpose, Strang time-splitting pseudo-spectral schemes are discussed including a review of some recent theoretical estimates for these schemes and a numerical validation of these estimates. For the latter purpose, nonlinear (projected) conjugate gradient methods are implemented and are used to validate the theoretical analysis of this thesis with results of numerical experiments with different cost functional settings. N2 - In dieser Arbeit werden quantenmechanische Vielteilchen-Optimalsteuerungsprobleme im Rahmen der zeitabhängigen Dichtefunktionaltheorie (TDDFT) untersucht. Quantenmechanische Optimalsteuerungsprobleme sind sowohl in der Grundlagenforschung atomarer und molekularer Systeme als auch in entsprechenden Anwendungen von großer Bedeutung. Typische Anwendungen sind laserinduzierte chemische Reaktionen, Kernspinresonanzexperimente und Quantencomputer. Theoretisch ist das Problem einer nicht-relativistischen Beschreibung von Vielteilchensystemen mit der Schrödingergleichung (SG) gelöst. Tatsächlich ist es aber wegen des exponentiellen Anstiegs der numerischen Komplexität mit der Teilchenzahl unmöglich, die Schrödingergleichung für große Systeme von Interesse direkt zu lösen. Ein effizienter und erfolgreicher Ansatz diese Schwierigkeit zu überwinden ist die TDDFT und die Verwendung der zeitabhängigen Kohn-Sham-Gleichungen (TDKS) im Rahmen der TDDFT. Diese ersetzen die Vielteichlchen-SG durch ein System nichtlinearer Einteilchen-SGn, die mittels eines zusätzlichen Potentials gekoppelt sind. Obwohl die TDDFT für physikalische und quantenchemische Rechungen weit verbreitet ist und Softwarepakete zur direkten Verwendung zur Verfügung stehen, sind die mathematischen Grundlagen der TDDFT noch in der Entwicklung und grundlegende Vermutungen sind noch immer unbewiesen. Das Hauptanliegen der vorliegenden Arbeit ist es, einen konsistenten und mathematisch präzisen Rahmen für die TDKS-Gleichungen und verwandte Optimalsteuerungsprobleme zu liefern. Im ersten Teil der Arbeit wird die Dichtefunktionaltheorie (DFT) und die TDDFT eingeführt. Diese Einführung enthält eine detaillierte Darstellung der für die DFT relevanten Funktionenmengen. Außerdem wird die bereits bekannte Äquivalenz zwischen dem ursprünglichen Schrödingerproblem und dem TDKS-System mathematisch weitergehend diskutiert. Der derzeit erfolgreichste Ansatz, Vielteichenrechnungen im Rahmen der TDDFT umzusetzen, sind die TDKS-Gleichungen. Es sind jedoch bisher nur wenige mathematische Resultate über diese Gleichungen verfügbar und diese Ergebnisse behandeln nicht alle Probleme, die bei der Formulierung von Optimalsteuerungsproblemen bei TDKS-Gleichungen auftreten. Es ist das Ziel des zweiten Teils dieser Arbeit, diese für die Wohldefiniertheit der Formulierung der Optimalsteuerungsaufgabe maßgeblichen Probleme, wie die höhere Regularität der Lösungen der TDKS-Gleichungen und schwächere Voraussetzungen an das externe Kontrollpotential, zu behandeln. Dazu wird die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen der nichtlinearen TDKS-Gleichungen mit dem Galerkin-Ansatz und Energieabschätzungen untersucht. Im dritten Teil dieser Arbeit werden Probleme optimaler Steuerung bei TDKS-Gleichungen formuliert und untersucht. Dafür werden relevante Kostenfunktionale, die das Ziel der Steuerung modellieren, diskutiert. Die Optimalsteuerungsprobleme ergeben sich aus der Optimierung dieser Kosten unter der Nebenbedingung der TDKS-Gleichungen. Die Analyse dieser Probleme ist neu und stellt eines der Hauptergebnisse der vorliegenden Arbeit dar. Insbesondere wird die Existenz einer optimalen Steuerung bewiesen und ihre Charakterisierung mittels eines TDKS-Optimalitätssystem im Detail diskutiert. Dazu wird die Fréchet-Differenzierbarkeit des TDKS-Models und des Kostenfunktionals mit \(H^1\)-Steuerungskosten betrachtet. Abschließend wird der reduzierte Gradient im \(L^2\)- und im \(H^1\)-Skalarprodukt hergeleitet. Während die \(L^2\)-Optimierung in der Literatur weit verbreitet ist, wird in dieser Arbeit die Verwendung des \(H^1\)-Gradienten mit theoretischen Argumenten und resultierenden numerischen Vorteilen motiviert. Der letzte Teil dieser Arbeit ist der numerischen Approximation des TDKS-Optimalitätssystems und seiner Lösung mittels gradientenbasierter Optimierungsmethoden gewidmet. Für ersteres wird die Strang Zeitsplitting-Pseudospektralmethode diskutiert, eine Zusammenfassung einiger aktueller theoretischer Abschätzungen für dieses Schema angegeben und diese Abschätzungen numerisch überprüft. Für letzteres wird das (projizierte) nichtlineare Verfahren der konjugierten Gradienten (NCG) implementiert und verwendet um die theoretische Analyse dieser Arbeit mit den Ergebnissen numerischer Rechnungen für verschiedene Kostenfunktionale zu validieren. KW - Optimale Kontrolle KW - Dichtefunktionalformalismus KW - Optimierung KW - TDDFT KW - TD Kohn-Sham equations KW - optimal control Y1 - 2017 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-153545 ER - TY - THES A1 - Schindele, Andreas T1 - Proximal methods in medical image reconstruction and in nonsmooth optimal control of partial differential equations T1 - Proximale Methoden in der medizinischen Bildrekonstruktion und in der nicht-glatten optimalen Steuerung von partiellen Differenzialgleichungen N2 - Proximal methods are iterative optimization techniques for functionals, J = J1 + J2, consisting of a differentiable part J2 and a possibly nondifferentiable part J1. In this thesis proximal methods for finite- and infinite-dimensional optimization problems are discussed. In finite dimensions, they solve l1- and TV-minimization problems that are effectively applied to image reconstruction in magnetic resonance imaging (MRI). Convergence of these methods in this setting is proved. The proposed proximal scheme is compared to a split proximal scheme and it achieves a better signal-to-noise ratio. In addition, an application that uses parallel imaging is presented. In infinite dimensions, these methods are discussed to solve nonsmooth linear and bilinear elliptic and parabolic optimal control problems. In particular, fast convergence of these methods is proved. Furthermore, for benchmarking purposes, truncated proximal schemes are compared to an inexact semismooth Newton method. Results of numerical experiments are presented to demonstrate the computational effectiveness of our proximal schemes that need less computation time than the semismooth Newton method in most cases. Results of numerical experiments are presented that successfully validate the theoretical estimates. N2 - Proximale Methoden sind iterative Optimierungsverfahren für Funktionale J = J1 +J2, die aus einem differenzierbaren Teil J2 und einem möglicherweise nichtdifferenzierbaren Teil bestehen. In dieser Arbeit werden proximale Methoden für endlich- und unendlichdimensionale Optimierungsprobleme diskutiert. In endlichen Dimensionen lösen diese `1- und TV-Minimierungsprobleme welche erfolgreich in der Bildrekonstruktion der Magnetresonanztomographie (MRT) angewendet wurden. Die Konvergenz dieser Methoden wurde in diesem Zusammenhang bewiesen. Die vorgestellten proximalen Methoden wurden mit einer geteilten proximalen Methode verglichen und konnten ein besseres Signal-Rausch-Verhältnis erzielen. Zusätzlich wurde eine Anwendung präsentiert, die parallele Bildgebung verwendet. Diese Methoden werden auch für unendlichdimensionale Probleme zur Lösung von nichtglatten linearen und bilinearen elliptischen und parabolischen optimalen Steuerungsproblemen diskutiert. Insbesondere wird die schnelle Konvergenz dieser Methoden bewiesen. Außerdem werden abgeschnittene proximale Methoden mit einem inexakten halbglatten Newtonverfahren verglichen. Die numerischen Ergebnisse demonstrieren die Effektivität der proximalen Methoden, welche im Vergleich zu den halbglatten Newtonverfahren in den meisten Fällen weniger Rechenzeit benötigen. Zusätzlich werden die theoretischen Abschätzungen bestätigt. KW - Optimale Kontrolle KW - Proximal-Punkt-Verfahren KW - Bildrekonstruktion KW - Komprimierte Abtastung KW - Optimal Control KW - Elliptic equations KW - Parabolic equations KW - Proximal Method KW - Semismooth Newton Method KW - Medical image reconstruction KW - Sparsity KW - Total Variation KW - Compressed Sensing KW - Magnetic Resonance Imaging KW - Partielle Differentialgleichung Y1 - 2016 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-136569 ER - TY - THES A1 - Merger, Juri T1 - Optimal Control and Function Identification in Biological Processes T1 - Optimalsteuerung und Funktionenidentifikation bei biologischen Prozessen N2 - Mathematical modelling, simulation, and optimisation are core methodologies for future developments in engineering, natural, and life sciences. This work aims at applying these mathematical techniques in the field of biological processes with a focus on the wine fermentation process that is chosen as a representative model. In the literature, basic models for the wine fermentation process consist of a system of ordinary differential equations. They model the evolution of the yeast population number as well as the concentrations of assimilable nitrogen, sugar, and ethanol. In this thesis, the concentration of molecular oxygen is also included in order to model the change of the metabolism of the yeast from an aerobic to an anaerobic one. Further, a more sophisticated toxicity function is used. It provides simulation results that match experimental measurements better than a linear toxicity model. Moreover, a further equation for the temperature plays a crucial role in this work as it opens a way to influence the fermentation process in a desired way by changing the temperature of the system via a cooling mechanism. From the view of the wine industry, it is necessary to cope with large scale fermentation vessels, where spatial inhomogeneities of concentrations and temperature are likely to arise. Therefore, a system of reaction-diffusion equations is formulated in this work, which acts as an approximation for a model including computationally very expensive fluid dynamics. In addition to the modelling issues, an optimal control problem for the proposed reaction-diffusion fermentation model with temperature boundary control is presented and analysed. Variational methods are used to prove the existence of unique weak solutions to this non-linear problem. In this framework, it is possible to exploit the Hilbert space structure of state and control spaces to prove the existence of optimal controls. Additionally, first-order necessary optimality conditions are presented. They characterise controls that minimise an objective functional with the purpose to minimise the final sugar concentration. A numerical experiment shows that the final concentration of sugar can be reduced by a suitably chosen temperature control. The second part of this thesis deals with the identification of an unknown function that participates in a dynamical model. For models with ordinary differential equations, where parts of the dynamic cannot be deduced due to the complexity of the underlying phenomena, a minimisation problem is formulated. By minimising the deviations of simulation results and measurements the best possible function from a trial function space is found. The analysis of this function identification problem covers the proof of the differentiability of the function–to–state operator, the existence of minimisers, and the sensitivity analysis by means of the data–to–function mapping. Moreover, the presented function identification method is extended to stochastic differential equations. Here, the objective functional consists of the difference of measured values and the statistical expected value of the stochastic process solving the stochastic differential equation. Using a Fokker-Planck equation that governs the probability density function of the process, the probabilistic problem of simulating a stochastic process is cast to a deterministic partial differential equation. Proofs of unique solvability of the forward equation, the existence of minimisers, and first-order necessary optimality conditions are presented. The application of the function identification framework to the wine fermentation model aims at finding the shape of the toxicity function and is carried out for the deterministic as well as the stochastic case. N2 - Mathematische Modellierung, Simulation und Optimierung sind wichtige Methoden für künftige Entwicklungen in Ingenieurs-, Natur- und Biowissenschaften. Ziel der vorliegende Arbeit ist es diese mathematische Methoden im Bereich von biologischen Prozessen anzuwenden. Dabei wurde die Weingärung als repräsentatives Modell ausgewählt. Erste Modelle der Weingärung, die man in der Literatur findet, bestehen aus gewöhnlichen Differentialgleichungen. Diese modellieren den Verlauf der Populationszahlen der Hefe, sowie die Konzentrationen von verwertbarem Stickstoff, Zucker und Ethanol. In dieser Arbeit wird auch die Konzentration von molekularem Sauerstoff betrachtet um den Wandel des Stoffwechsels der Hefe von aerob zu anaerob zu erfassen. Weiterhin wird eine ausgefeiltere Toxizitätsfunktion benutzt. Diese führt zu Simulationsergebnissen, die im Vergleich zu einem linearen Toxizitätsmodell experimentelle Messungen besser reproduzieren können. Außerdem spielt eine weitere Gleichung für die zeitliche Entwicklung der Temperatur eine wichtige Rolle in dieser Arbeit. Diese eröffnet die Möglichkeit den Gärprozess in einer gewünschten Weise zu beeinflussen, indem man die Temperatur durch einen Kühlmechanismus verändert. Für industrielle Anwendungen muss man sich mit großen Fermentationsgefäßen befassen, in denen räumliche Abweichungen der Konzentrationen und der Temperatur sehr wahrscheinlich sind. Daher ist in dieser Arbeit ein System von Reaktion-Diffusions Gleichungen formuliert, welches eine Approximation an ein Modell mit rechenaufwändiger Strömungsmechanik darstellt. Neben der Modellierung wird in dieser Arbeit ein Optimalsteuerungsproblem für das vorgestellte Gärmodell mit Reaktions-Diffusions Gleichungen und Randkontrolle der Temperatur gezeigt und analysiert. Variationelle Methoden werden benutzt, um die Existenz von eindeutigen schwachen Lösungen von diesem nicht-linearen Modell zu beweisen. Das Ausnutzen der Hilbertraumstruktur von Zustands- und Kontrolraum macht es möglich die Existenz von Optimalsteuerungen zu beweisen. Zusätzlich werden notwendige Optimalitätsbedingungen erster Ordnung vorgestellt. Diese charakterisieren Kontrollen, die das Zielfunktional minimieren. Ein numerisches Experiment zeigt, dass die finale Konzentration des Zuckers durch eine passend ausgewählte Steuerung reduziert werden kann. Der zweite Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit der Identifizierung einer unbekannten Funktion eines dynamischen Modells. Es wird ein Minimierungsproblem für Modelle mit gewöhnlichen Differentialgleichungen, bei denen ein Teil der Dynamik aufgrund der Komplexität der zugrundeliegenden Phänomene nicht hergeleitet werden kann, formuliert. Die bestmögliche Funktion aus einem Testfunktionenraum wird dadurch ausgewählt, dass Abweichungen von Simulationsergebnissen und Messungen minimiert werden. Die Analyse dieses Problems der Funktionenidentifikation beinhaltet den Beweis der Differenzierbarkeit des Funktion–zu–Zustand Operators, die Existenz von Minimierern und die Sensitivitätsanalyse mit Hilfe der Messung–zu–Funktion Abbildung. Weiterhin wird diese Funktionenidentifikationsmethode für stochastische Differentialgleichungen erweitert. Dabei besteht das Zielfunktional aus dem Abstand von Messwerten und dem Erwartungswert des stochastischen Prozesses, der die stochastische Differentialgleichung löst. In dem man die Fokker-Planck Gleichung benutzt wird das wahrscheinlichkeitstheoretische Problem einen stochastischen Prozess zu simulieren in eine deterministische partielle Differentialgleichung überführt. Es werden Beweise für die eindeutige Lösbarkeit der Vorwärtsgleichung, die Existenz von Minimierern und die notwendigen Bedingungen erster Ordnung geführt. Die Anwendung der Funktionenidentifikation auf die Weingärung zielt darauf ab die Form der Toxizitätsfunktion herauszufinden und wird sowohl für den deterministischen als auch für den stochastischen Fall durchgeführt. KW - optimal control KW - reaction-diffusion KW - wine fermentation KW - function identification KW - infinite dimensional optimization KW - Optimale Kontrolle KW - Fermentation KW - Wein KW - Infinite Optimierung Y1 - 2016 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-138900 ER - TY - THES A1 - Wongkaew, Suttida T1 - On the control through leadership of multi-agent systems T1 - Die Steuerung durch den Hauptagent von Multi-Agenten -Systemen N2 - The investigation of interacting multi-agent models is a new field of mathematical research with application to the study of behavior in groups of animals or community of people. One interesting feature of multi-agent systems is collective behavior. From the mathematical point of view, one of the challenging issues considering with these dynamical models is development of control mechanisms that are able to influence the time evolution of these systems. In this thesis, we focus on the study of controllability, stabilization and optimal control problems for multi-agent systems considering three models as follows: The first one is the Hegselmann Krause opinion formation (HK) model. The HK dynamics describes how individuals' opinions are changed by the interaction with others taking place in a bounded domain of confidence. The study of this model focuses on determining feedback controls in order to drive the agents' opinions to reach a desired agreement. The second model is the Heider social balance (HB) model. The HB dynamics explains the evolution of relationships in a social network. One purpose of studying this system is the construction of control function in oder to steer the relationship to reach a friendship state. The third model that we discuss is a flocking model describing collective motion observed in biological systems. The flocking model under consideration includes self-propelling, friction, attraction, repulsion, and alignment features. We investigate a control for steering the flocking system to track a desired trajectory. Common to all these systems is our strategy to add a leader agent that interacts with all other members of the system and includes the control mechanism. Our control through leadership approach is developed using classical theoretical control methods and a model predictive control (MPC) scheme. To apply the former method, for each model the stability of the corresponding linearized system near consensus is investigated. Further, local controllability is examined. However, only in the Hegselmann-Krause opinion formation model, the feedback control is determined in order to steer agents' opinions to globally converge to a desired agreement. The MPC approach is an optimal control strategy based on numerical optimization. To apply the MPC scheme, optimal control problems for each model are formulated where the objective functions are different depending on the desired objective of the problem. The first-oder necessary optimality conditions for each problem are presented. Moreover for the numerical treatment, a sequence of open-loop discrete optimality systems is solved by accurate Runge-Kutta schemes, and in the optimization procedure, a nonlinear conjugate gradient solver is implemented. Finally, numerical experiments are performed to investigate the properties of the multi-agent models and demonstrate the ability of the proposed control strategies to drive multi-agent systems to attain a desired consensus and to track a given trajectory. N2 - Die Untersuchung von interagierende Multiagent-Modellen ist ein neues mathematisches Forschungsfeld, das sich mit dem Gruppenverhalten von Tieren beziehungsweise Sozialverhalten von Menschen. Eine interessante Eigenschaft der Multiagentensysteme ist kollektives Verhalten. Eine der herausfordernden Themen, die sich mit diesen dynamischen Modellen befassen, ist in der mathematischen Sicht eine Entwicklung der Regelungsmechanismen, die die Zeitevolution dieser Systemen beeinflussen können. In der Doktorarbeit fokussieren wir uns hauptsächlich auf die Studie von Problemen der Steuerbarkeit, Stabilität und optimalen Regelung für Multiagentensysteme anhand drei Modellen wie folgt: Das erste ist die Hegselmann- Krause opinion formation Modell. Die HK-Dynamik beschreibt die Änderung der Meinungen von einzelnen Personen aufgrund der Interaktionen mit den Anderen. Die Studie dieses Model fokussiert auf bestimmte Regelungen, um die Meinungen der Agenten zu betreiben, damit eine gewünschte Zustimmung erreicht wird. Das zweite Model ist das Heider social balance (HB) Modell. Die HB-Dynamik beschreibt die Evolution von Beziehungen in einem sozialen Netzwerk. Ein Ziel der Untersuchung dieses Systems ist die Konstruktion der Regelungsfunktion um die Beziehungen zu steuern, damit eine Freundschaft erreicht wird. Das dritte Modell ist ein Schar-Modell, das in biologischen Systemen beobachteten kollektive Bewegung beschreibt. Das Schar-Model unter Berücksichtigung beinhaltet Selbstantrieb, Friktion, Attraktion Repulsion und Anpassungsfähigkeiten. Wir untersuchen einen Regler für die Steuerung des Schar-Systems, um eine gewünschte Trajektorie zu verfolgen. Üblich wie alle dieser Systeme soll laut unsere Strategie ein Hauptagent, der sich mit alle anderen Mitgliedern des Systems interagieren, hinzugefügt werden und das Regelungsmechanismus inkludiert werden. Unserer Regelung anhand dem Vorgehen mit Führungsverhalten ist unter Verwendung von klassischen theoretischen Regelungsmethode und ein Schema der modellpr ädiktiven Regelung entwickelt. Zur Ausführung der genannten Methode wird für jedes Modell die Stabilität der korrespondierenden Linearsystem in der Nähe von Konsensus untersucht. Ferner wird die lokale Regelbarkeit geprüft. Nur in dem Hegselmann-Krause opinion formation Modell. Der Regler wird so bestimmt, dass die Meinungen der Agenten gesteuert werden können. Dadurch konvergiert es global zu eine gewünschten Zustimmung. Die MPC-Vorgehensweise ist eine optimale Regelung Strategie, die auf numerische Optimierung basiert. Zu Verwendung des MPC-Shema werden die optimalen Regelungsproblemen für jedes Modell formuliert, wo sich die objektive Funktionen in Abhängigkeit von den gewünschten objective des Problems unterscheidet. Die erforderliche Optimalitätsbedingungen erster Ordnung für jedes Problem sind präsentiert. Auÿerdem für die numerische Prozess, eine Sequenz von offenen diskreten Optimalitätssystemen ist nach dem expliziten Runge-Kutta Schema gelöst. In dem Optimierungsverfahren ist ein nicht linear konjugierter Gradientlöser umgesetzt. Schlieÿlich sind numerische Experimenten in der Lage, die Eigenschaften der Multiagent-Modellen zu untersuchen und die Fähigkeiten der gezielten Regelstrategie zu beweisen. Die Strategie nutzt zu betreiben Multiagentensysteme, um einen gewünschten Konsensus zu erreichen und eine gegebene Trajektorie zu verfolgen. KW - Controllability KW - Optimal control problem KW - Multi-agent systems KW - Mehragentensystem KW - Optimale Kontrolle Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-120914 ER - TY - THES A1 - Wurst, Jan-Eric T1 - Hp-Finite Elements for PDE-Constrained Optimization N2 - Diese Arbeit behandelt die hp-Finite Elemente Methode (FEM) für linear quadratische Optimal-steuerungsprobleme. Dabei soll ein Zielfunktional, welches die Entfernung zu einem angestrebten Zustand und hohe Steuerungskosten (als Regularisierung) bestraft, unter der Nebenbedingung einer elliptischen partiellen Differentialgleichung minimiert werden. Bei der Anwesenheit von Steuerungsbeschränkungen können die notwendigen Bedingungen erster Ordnung, die typischerweise für numerische Lösungsverfahren genutzt werden, als halbglatte Projektionsformel formuliert werden. Folglich sind optimale Lösungen oftmals auch nicht-glatt. Die Technik der hp-Diskretisierung berücksichtigt diese Tatsache und approximiert raue Funktionen auf feinen Gittern, während Elemente höherer Ordnung auf Gebieten verwendet werden, auf denen die Lösung glatt ist. Die erste Leistung dieser Arbeit ist die erfolgreiche Anwendung der hp-FEM auf zwei verwandte Problemklassen: Neumann- und Interface-Steuerungsprobleme. Diese werden zunächst mit entsprechenden a-priori Verfeinerungsstrategien gelöst, mit der randkonzentrierten (bc) FEM oder interface konzentrierten (ic) FEM. Diese Strategien generieren Gitter, die stark in Richtung des Randes beziehungsweise des Interfaces verfeinert werden. Um für beide Techniken eine algebraische Reduktion des Approximationsfehlers zu beweisen, wird eine elementweise interpolierende Funktion konstruiert. Außerdem werden die lokale und globale Regularität von Lösungen behandelt, weil sie entscheidend für die Konvergenzgeschwindigkeit ist. Da die bc- und ic- FEM kleine Polynomgrade für Elemente verwenden, die den Rand beziehungsweise das Interface berühren, können eine neue L2- und L∞-Fehlerabschätzung hergeleitet werden. Letztere bildet die Grundlage für eine a-priori Strategie zum Aufdatieren des Regularisierungsparameters im Zielfunktional, um Probleme mit bang-bang Charakter zu lösen. Zudem wird die herkömmliche hp-Idee, die daraus besteht das Gitter geometrisch in Richtung der Ecken des Gebiets abzustufen, auf die Lösung von Optimalsteuerungsproblemen übertragen (vc-FEM). Es gelingt, Regularität in abzählbar normierten Räumen für die Variablen des gekoppelten Optimalitätssystems zu zeigen. Hieraus resultiert die exponentielle Konvergenz im Bezug auf die Anzahl der Freiheitsgrade. Die zweite Leistung dieser Arbeit ist die Entwicklung einer völlig adaptiven hp-Innere-Punkte-Methode, die Probleme mit verteilter oder Neumann Steuerung lösen kann. Das zugrundeliegende Barriereproblem besitzt ein nichtlineares Optimilitätssystem, das eine numerische Herausforderung beinhaltet: die stabile Berechnung von Integralen über Funktionen mit möglichen Singularitäten in Elementen höherer Ordnung. Dieses Problem wird dadurch gelöst, dass die Steuerung an den Integrationspunkten überwacht wird. Die Zulässigkeit an diesen Punkten wird durch einen Glättungsschritt garantiert. In dieser Arbeit werden sowohl die Konvergenz eines Innere-Punkte-Verfahrens mit Glättungsschritt als auch a-posteriori Schranken für den Diskretisierungsfehler gezeigt. Dies führt zu einem adaptiven Lösungsalgorithmus, dessen Gitterverfeinerung auf der Entwicklung der Lösung in eine Legendre Reihe basiert. Hierbei dient das Abklingverhalten der Koeffizienten als Glattheitsindikator und wird für die Entscheidung zwischen h- und p-Verfeinerung herangezogen. N2 - This thesis deals with the hp-finite element method (FEM) for linear quadratic optimal control problems. Here, a tracking type functional with control costs as regularization shall be minimized subject to an elliptic partial differential equation. In the presence of control constraints, the first order necessary conditions, which are typically used to find optimal solutions numerically, can be formulated as a semi-smooth projection formula. Consequently, optimal solutions may be non-smooth as well. The hp-discretization technique considers this fact and approximates rough functions on fine meshes while using higher order finite elements on domains where the solution is smooth. The first main achievement of this thesis is the successful application of hp-FEM to two related problem classes: Neumann boundary and interface control problems. They are solved with an a-priori refinement strategy called boundary concentrated (bc) FEM and interface concentrated (ic) FEM, respectively. These strategies generate grids that are heavily refined towards the boundary or interface. We construct an elementwise interpolant that allows to prove algebraic decay of the approximation error for both techniques. Additionally, a detailed analysis of global and local regularity of solutions, which is critical for the speed of convergence, is included. Since the bc- and ic-FEM retain small polynomial degrees for elements touching the boundary and interface, respectively, we are able to deduce novel error estimates in the L2- and L∞-norm. The latter allows an a-priori strategy for updating the regularization parameter in the objective functional to solve bang-bang problems. Furthermore, we apply the traditional idea of the hp-FEM, i.e., grading the mesh geometrically towards vertices of the domain, for solving optimal control problems (vc-FEM). In doing so, we obtain exponential convergence with respect to the number of unknowns. This is proved with a regularity result in countably normed spaces for the variables of the coupled optimality system. The second main achievement of this thesis is the development of a fully adaptive hp-interior point method that can solve problems with distributed or Neumann control. The underlying barrier problem yields a non-linear optimality system, which poses a numerical challenge: the numerically stable evaluation of integrals over possibly singular functions in higher order elements. We successfully overcome this difficulty by monitoring the control variable at the integration points and enforcing feasibility in an additional smoothing step. In this work, we prove convergence of an interior point method with smoothing step and derive a-posteriori error estimators. The adaptive mesh refinement is based on the expansion of the solution in a Legendre series. The decay of the coefficients serves as an indicator for smoothness that guides between h- and p-refinement. KW - Finite-Elemente-Methode KW - Optimale Kontrolle KW - Elliptische Differentialgleichung KW - finite elements KW - optimal control KW - higher order methods KW - partial differetial equations Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-115027 SN - 978-3-95826-024-5 (print) SN - 978-3-95826-025-2 (online) PB - Würzburg University Press CY - Würzburg ER - TY - THES A1 - Mauder, Markus T1 - Time-Optimal Control of the Bi-Steerable Robot: A Case Study in Optimal Control of Nonholonomic Systems T1 - Zeitoptimale Steuerung des zweiachsgelenkten Roboters: Eine Fallstudie zur optimalen Steuerung nichtholonomer Systeme N2 - In this thesis, time-optimal control of the bi-steerable robot is addressed. The bi-steerable robot, a vehicle with two independently steerable axles, is a complex nonholonomic system with applications in many areas of land-based robotics. Motion planning and optimal control are challenging tasks for this system, since standard control schemes do not apply. The model of the bi-steerable robot considered here is a reduced kinematic model with the driving velocity and the steering angles of the front and rear axle as inputs. The steering angles of the two axles can be set independently from each other. The reduced kinematic model is a control system with affine and non-affine inputs, as the driving velocity enters the system linearly, whereas the steering angles enter nonlinearly. In this work, a new approach to solve the time-optimal control problem for the bi-steerable robot is presented. In contrast to most standard methods for time-optimal control, our approach does not exclusively rely on discretization and purely numerical methods. Instead, the Pontryagin Maximum Principle is used to characterize candidates for time-optimal solutions. The resultant boundary value problem is solved by optimization to obtain solutions to the path planning problem over a given time horizon. The time horizon is decreased and the path planning is iterated to approximate a time-optimal solution. An optimality condition is introduced which depends on the number of cusps, i.e., reversals of the driving direction of the robot. This optimality condition allows to single out non-optimal solutions with too many cusps. In general, our approach only gives approximations of time-optimal solutions, since only normal regular extremals are considered as solutions to the path planning problem, and the path planning is terminated when an extremal with minimal number of cusps is found. However, for most desired configurations, normal regular extremals with the minimal number of cusps provide time-optimal solutions for the bi-steerable robot. The convergence of the approach is analyzed and its probabilistic completeness is shown. Moreover, simulation results on time-optimal solutions for the bi-steerable robot are presented. N2 - In dieser Dissertation wird die zeitoptimale Steuerung des zweiachsgelenkten Roboters behandelt. Der zweiachsgelenkte Roboter, ein Fahrzeug mit zwei voneinander unabhängig lenkbaren Achsen, ist ein komplexes nichtholonomes System mit Anwendungen in vielen Bereichen der Land-Robotik. Bahnplanung und optimale Steuerung sind anspruchsvolle Aufgaben für dieses System, da Standardverfahren hierfür nicht anwendbar sind. Das hier betrachtete Modell des zweiachsgelenkten Roboters ist ein reduziertes kinematisches Modell mit der Fahrgeschwindigkeit und den Lenkwinkeln als Eingangsgrößen. Die Lenkwinkel der beiden Achsen können unabhängig voneinander vorgegeben werden. Das reduzierte kinematische Modell ist ein Kontrollsystem mit affinen und nichtaffinen Eingängen, da die Fahrgeschwindigkeit linear in das System eingeht, während die Lenkwinkel nichtlineare Eingangsgrößen sind. In dieser Arbeit wird ein neuer Ansatz zur Lösung des zeitoptimalen Steuerungsproblems für den zweiachsgelenkten Roboter vorgestellt. Im Gegensatz zu den meisten Standardmethoden für die zeitoptimale Steuerung basiert unser Ansatz nicht ausschließlich auf Diskretisierung und rein numerischen Verfahren. Stattdessen wird das Pontryagin Maximum Prinzip angewendet, um Kandidaten für zeitoptimale Lösungen zu charakterisieren. Das sich dabei ergebende Randwertproblem wird durch Optimierung gelöst, um Lösungen für das Bahnplanungsproblem über einem bestimmten Zeithorizont zu erhalten. Die Bahnplanung wird über einem abnehmenden Zeithorizont iteriert, um eine zeitoptimale Lösung zu approximieren. Eine Optimalitätsbedingung wird eingeführt, die von der Anzahl der Richtungsumkehrungen des Roboters abhängt. Diese Optimalitätsbedingung erlaubt es, nichtoptimale Lösungen mit zu vielen Richtungsumkehrungen auszusondern. Im Allgemeinen liefert unser Ansatz nur Approximationen zeitoptimaler Lösungen, da nur normale reguläre Extremalen als Lösungen für das Bahnplanungsproblem betrachtet werden und die Bahnplanung beendet wird, sobald eine Extremale mit der minimalen Anzahl von Richtungsumkehrungen gefunden wurde. Allerdings ergeben normale reguläre Extremalen mit der minimalen Anzahl von Richtungsumkehrungen für die meisten Zielkonfigurationen des zweiachsgelenkten Roboters zeitoptimale Lösungen. Die Konvergenz des Ansatzes wird untersucht und seine probabilistische Vollständigkeit wird bewiesen. Des Weiteren werden Simulationsergebnisse für zeitoptimale Lösungen des zweiachsgelenkten Roboters präsentiert. KW - Mobiler Roboter KW - Optimale Kontrolle KW - Zeitoptimale Regelung KW - zweiachsgelenkter Roboter KW - nichtholonomes System KW - zeitoptimale Steuerung KW - Pontryagin Maximum Prinzip KW - Nichtlineare Kontrolltheorie KW - Steuerbarkeit KW - bi-steerable robot KW - nonholonomic system KW - time-optimal control KW - Pontryagin Maximum Principle Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-75036 ER - TY - THES A1 - Akindeinde, Saheed Ojo T1 - Numerical Verification of Optimality Conditions in Optimal Control Problems T1 - Numerischen Verifizierung von Optimalitätsbedingungen für Optimalsteurungsprobleme N2 - This thesis is devoted to numerical verification of optimality conditions for non-convex optimal control problems. In the first part, we are concerned with a-posteriori verification of sufficient optimality conditions. It is a common knowledge that verification of such conditions for general non-convex PDE-constrained optimization problems is very challenging. We propose a method to verify second-order sufficient conditions for a general class of optimal control problem. If the proposed verification method confirms the fulfillment of the sufficient condition then a-posteriori error estimates can be computed. A special ingredient of our method is an error analysis for the Hessian of the underlying optimization problem. We derive conditions under which positive definiteness of the Hessian of the discrete problem implies positive definiteness of the Hessian of the continuous problem. The results are complemented with numerical experiments. In the second part, we investigate adaptive methods for optimal control problems with finitely many control parameters. We analyze a-posteriori error estimates based on verification of second-order sufficient optimality conditions using the method developed in the first part. Reliability and efficiency of the error estimator are shown. We illustrate through numerical experiments, the use of the estimator in guiding adaptive mesh refinement. N2 - Diese Arbeit widmet sich der numerischen Verifizierung von Optimalitaetsbedingungen fuer nicht konvexe Optimalsteuerungsprobleme. Im ersten Teil beschaeftigen wir uns mit der a-posteriori Ueberpruefung von hinreichenden Optimalitaetskriterien. Es ist bekannt, dass der Nachweis solcher Bedingungen fuer allgemeine nicht konvexe Optimierungsproblemem mit Nebenbedingungen in Form von partiellen Differentialgleichungen sehr schwierig ist. Wir stellen eine Methode vor, um die hinreichenden Bedingungen zweiter Ordnung fuer eine allgemeine Problemklasse zu testen. Falls die vorgeschlagene Strategie bestaetigt, dass diese Bedingungen erfuellt sind, koennen a-posteriori Fehlerschaetzungen berechnet werden. Ein wesentlicher Bestandteil unserer Methode ist eine Fehleranalyse fuer die Hessematrix des zugrunde liegenden Optimierungsproblems. Es werden Bedingungen hergeleitet, unter denen die positive Definitheit der Hessematrix des diskreten Problems die positive Definitheit der Hessematrix fuer das kontinuierliche Problem nach sich zieht. Diese Ergebnisse werden durch numerische Experimente ergaenzt. Im zweiten Teil untersuchen wir adaptive (Diskretisierungs-)methoden fuer Optimalsteuerungsprobleme mit endlich vielen Kontrollparametern. Basierend auf dem Nachweis hinreichender Optimalitaetsbedingungen zweiter Ordnung analysieren wir a posteriori Fehlerschaetzungen. Dies geschieht unter der Nutzung der Resultate des ersten Teils der Arbeit. Es wird die Zuverlaessigkeit und Effizienz des Fehlerschaetzers bewiesen. Mittels weiterer numerischer Experimente illustrieren wir, wie der Fehlerschaetzer zur Steuerung adaptiver Gitterverfeinerung eingesetzt werden kann. KW - Optimale Kontrolle KW - Nichtkonvexe Optimierung KW - Numerisches Verfahren KW - non-convex optimal control problems KW - sufficient optimality conditions KW - a-posteriori error estimates KW - numerical approximations KW - adaptive refinement Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-76065 ER - TY - THES A1 - Saska, Martin T1 - Trajectory planning and optimal control for formations of autonomous robots T1 - Die Bahnplanung und die optimale Steuerung für Formationen der autonomen Roboter N2 - In this thesis, we present novel approaches for formation driving of nonholonomic robots and optimal trajectory planning to reach a target region. The methods consider a static known map of the environment as well as unknown and dynamic obstacles detected by sensors of the formation. The algorithms are based on leader following techniques, where the formation of car-like robots is maintained in a shape determined by curvilinear coordinates. Beyond this, the general methods of formation driving are specialized and extended for an application of airport snow shoveling. Detailed descriptions of the algorithms complemented by relevant stability and convergence studies will be provided in the following chapters. Furthermore, discussions of the applicability will be verified by various simulations in existing robotic environments and also by a hardware experiment. N2 - In dieser Arbeit präsentieren wir neuartige Algorithmen für die Steuerung der Formationen der nichtholonomen Roboter und ihre optimale Bahnplanung. Die Algorithmen beruhen auf "leader-follower" Techniken. Die Formationen der "car-like" Roboter sind in einer bestimmten Form von "curvilinear" Koordinaten gehalten. Die Steuerungmethoden der Formationen sind spezialisiert und erweitert um ihre Anwendung auf das Flughafenschneeschaufeln. In dieser Arbeit werden die detaillierten Beschreibungen der Algorithmen durch entsprechende Stabilität- und Konvergenz-Studien gestellt. Ihre Anwendbarkeit wird durch verschiedene Simulationen und eine Hardware-Experiment überprüft. T3 - Forschungsberichte in der Robotik = Research Notes in Robotics - 3 KW - Autonomer Roboter KW - Mobiler Roboter KW - Optimale Kontrolle KW - Formation KW - Steuerung KW - formation driving KW - mobile robots KW - snow shoveling KW - receding horizon control KW - model predictive control KW - trajectory planning Y1 - 2009 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-53175 SN - 978-3-923959-56-3 ER - TY - THES A1 - Herbort, Oliver T1 - Encoding Redundancy for Task-dependent Optimal Control : A Neural Network Model of Human Reaching T1 - Redundante Repräsentationen als Grundlage aufgabenbezogener optimaler Steuerung:Ein neuronales Netzwerk Modell menschlicher Zeigebewegungen N2 - The human motor system is adaptive in two senses. It adapts to the properties of the body to enable effective control. It also adapts to different situational requirements and constraints. This thesis proposes a new neural network model of both kinds of adaptivity for the motor cortical control of human reaching movements, called SURE_REACH (sensorimotor unsupervised learning redundancy resolving control architecture). In this neural network approach, the kinematic and sensorimotor redundancy of a three-joint planar arm is encoded in task-independent internal models by an unsupervised learning scheme. Before a movement is executed, the neural networks prepare a movement plan from the task-independent internal models, which flexibly incorporates external, task-specific constraints. The movement plan is then implemented by proprioceptive or visual closed-loop control. This structure enables SURE_REACH to reach hand targets while incorporating task-specific contraints, for example adhering to kinematic constraints, anticipating the demands of subsequent movements, avoiding obstacles, or reducing the motion of impaired joints. Besides this functionality, the model accounts for temporal aspects of human reaching movements or for data from priming experiments. Additionally, the neural network structure reflects properties of motor cortical networks like interdependent population encoded body space representations, recurrent connectivity, or associative learning schemes. This thesis introduces and describes the new model, relates it to current computational models, evaluates its functionality, relates it to human behavior and neurophysiology, and finally discusses potential extensions as well as the validity of the model. In conclusion, the proposed model grounds highly flexible task-dependent behavior in a neural network framework and unsupervised sensorimotor learning. N2 - Das motorische System des Menschen ist in zweierlei Hinsicht anpassungsfähig. Es passt sich den Eigenschaften des Körpers an, um diesen effektiv zu kontrollieren. Es passt sich aber auch unterschiedlichen situationsabhängigen Erfordernissen und Beschränkungen an. Diese Dissertation stellt ein neues neuronales Netzwerk Modell der motor-kortikalen Steuerung von menschlichen Zeigebewegungen vor, das beide Arten von Anpassungsfähigkeit integriert (SURE_REACH, Sensumotorische, unüberwacht lernende, redundanzauflösende Kontrollarchitektur). Das neuronale Netzwerk speichert kinematische und sensumotorische Redundanz eines planaren, dreigelenkigen Armes in aufgabenunabhängigen internen Modellen mittels unüberwachter Lernverfahrenen. Vor der Ausführung einer Bewegung bereitet das neuronale Netzwerk einen Bewegungsplan vor. Dieser basiert auf den aufgabenunabhängigen internen Modells und passt sich flexibel äu"seren, aufgabenabhängigen Erfordernissen an. Der Bewegungsplan wird dann durch propriozeptive oder visuelle Regelung umgesetzt. Auf diese Weise erklärt SURE_REACH Bewegungen zu Handzielen die aufgabenabhängige Erfordernisse berücksichtigen, zum Beispiel werden kinematische Beschränkungen miteinbezogen, Erfordernisse nachfolgender Aufgaben antizipiert, Hindernisse vermieden oder Bewegungen verletzter Gelenke reduziert. Desweiteren werden zeitliche Eigenschaften menschlicher Bewegungen oder die Ergebnisse von Primingexperimenten erklärt. Die neuronalen Netzwerke bilden zudem Eigenschaften motor-kortikaler Netzwerke ab, zum Beispiel wechselseitig abhängige Raumrepräsentationen, rekurrente Verbindungen oder assoziative Lernverfahren. Diese Dissertation beschreibt das neue Modell, vergleicht es mit anderen Modellen, untersucht seine Funktionalität, stellt Verbindungen zu menschlichem Verhalten und menschlicher Neurophysiologie her und erörtert schlie"slich mögliche Erweiterungen und die Validität des Models. Zusammenfassend stellt das vorgeschlagene Model eine Erklärung für flexibles aufgabenbezogenes Verhalten auf ein Fundament aus neuronalen Netzwerken und unüberwachten sensumotorischen Lernen. KW - Bewegungssteuerung KW - Motorisches Lernen KW - Redundanz KW - Neuronales Netz KW - Optimale Kontrolle KW - Computersimulation KW - Populationscodes KW - dynamisches Programmieren KW - flexibles Verhalten KW - population codes KW - dynamic programming KW - flexible behavior Y1 - 2008 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-26032 ER - TY - THES A1 - Selle, Reimer Andreas T1 - Adaptive Polarization Pulse Shaping and Modeling of Light-Matter Interactions with Neural Networks T1 - Adaptive Polarisationspulsformung und Modellierung von Licht-Materie-Wechselwirkungen mit Neuronalen Netzwerken N2 - The technique of ultrafast polarization shaping is applied to a model quantum system, the potassium dimer. The polarization dependence of the multiphoton ionization dynamics in this molecule is first investigated in pump–probe experiments, and it is then more generally addressed and exploited in an adaptive quantum control experiment utilizing near–IR polarization–shaped laser pulses. The extension of these polarization shaping techniques to the UV spectral range is presented, and methods for the generation and characterization of polarization–shaped laser pulses in the UV are introduced. Systematic scans of double–pulse sequences are introduced for the investigation and interpretation of control mechanisms. This concept is first introduced and illustrated for an optical demonstration experiment, and it is then applied for the analysis of the intrapulse dumping mechanism that is observed in the excitation of a large dye molecule in solution with ultrashort laser pulses. Shaped laser pulses are employed as a means for obtaining copious amounts of data on light–matter interactions. Neural networks are introduced as a novel tool for generating computer–based models for these interactions from the accumulated data. The viability of this approach is first tested for second harmonic generation (SHG) and molecular fluorescence processes. Neural networks are then utilized for modeling the far more complex coherent strong–field dynamics of potassium atoms. N2 - Die Technik der ultraschnellen Polarisationspulsformung wird auf ein Modell-Quantensystem, das Kalium-Dimer angewandt. Die Polarisationsabhängigkeit der Ionisationsdynamik wird zunächst mit Anrege-Abfrage-Experimenten untersucht, und anschließend in einem adaptiven Optimierungsexperiment mit polarisationsgeformten Nahinfrarot-Laserpulsen ausgenutzt. Die Polarisationspulsformungstechnik wird auf den ultravioletten Spektralbereich erweitert, und es werden Methoden zur Erzeugung und Charakterisierung von polarisationsgeformten UV-Pulsen vorgestellt. Systematische Abtastungen von Doppelpulsfolgen werden für die Untersuchung und Interpretation von Kontrollmechanismen vorgestellt. Geformte Laserpulse werden verwendet, um umfangreiche Daten über die Licht-Materie Wechselwirkung zu sammeln. Neuronale Netzwerke werden erstmals dazu verwendet, um aus den Daten numerische Modelle für die Wechselwirkung von Licht und Materie zu erzeugen. Die Durchführbarkeit dieses Ansatzes wird zunächst an SHG und Fluoreszenzprozessen demonstriert. Neuronale Netzwerke werden desweiteren dazu verwendet, um die weitaus komplexere Dynamik von Kaliumatomen in starken elektromagnetischen Feldern zu modellieren. KW - Lasertechnologie KW - Impulslaser KW - Optimale Kontrolle KW - Pulsformung KW - Neuronale Netzwerke KW - adaptive Optimierung KW - Polarisation KW - pulse shaping KW - neural networks KW - adaptive optimization KW - polarization Y1 - 2007 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-25596 ER -