TY - THES A1 - Mönius, Katja T1 - Algebraic and Arithmetic Properties of Graph Spectra T1 - Algebraische und Arithmetische Eigenschaften von Graph Spektren N2 - In the present thesis we investigate algebraic and arithmetic properties of graph spectra. In particular, we study the algebraic degree of a graph, that is the dimension of the splitting field of the characteristic polynomial of the associated adjacency matrix over the rationals, and examine the question whether there is a relation between the algebraic degree of a graph and its structural properties. This generalizes the yet open question ``Which graphs have integral spectra?'' stated by Harary and Schwenk in 1974. We provide an overview of graph products since they are useful to study graph spectra and, in particular, to construct families of integral graphs. Moreover, we present a relation between the diameter, the maximum vertex degree and the algebraic degree of a graph, and construct a potential family of graphs of maximum algebraic degree. Furthermore, we determine precisely the algebraic degree of circulant graphs and find new criteria for isospectrality of circulant graphs. Moreover, we solve the inverse Galois problem for circulant graphs showing that every finite abelian extension of the rationals is the splitting field of some circulant graph. Those results generalize a theorem of So who characterized all integral circulant graphs. For our proofs we exploit the theory of Schur rings which was already used in order to solve the isomorphism problem for circulant graphs. Besides that, we study spectra of zero-divisor graphs over finite commutative rings. Given a ring \(R\), the zero-divisor graph over \(R\) is defined as the graph with vertex set being the set of non-zero zero-divisors of \(R\) where two vertices \(x,y\) are adjacent if and only if \(xy=0\). We investigate relations between the eigenvalues of a zero-divisor graph, its structural properties and the algebraic properties of the respective ring. N2 - In der vorliegenden Dissertation untersuchen wir algebraische und arithmetische Eigenschaften von Graph Spektren. Insbesondere studieren wir den algebraischen Grad eines Graphen, d.h. die Dimension des Zerfällungskörpers des charakteristischen Polynoms der zugehörigen Adjazenzmatrix über den rationalen Zahlen, und beschäftigen uns mit der Frage, ob es einen Zusammenhang zwischen dem algebraischen Grad eines Graphen und seinen strukturellen Eigenschaften gibt. Dies verallgemeinert die bis heute noch offene Fragestellung "Welche Graphen haben ganzzahliges Spektrum?", welche 1974 von Harary und Schwenk aufgeworfen wurde. Wir geben einen Überblick über verschiedene Graphprodukte, da diese oftmals hilfreich sind bei der Untersuchung von Graph Spektren, und konstruieren damit Familien von integralen Graphen. Außerdem stellen wir einen Zusammenhang zwischen dem Diameter, dem maximalen Eckengrad und dem algebraischen Grad von Graphen vor, und konstruieren eine potenzielle Familie von Graphen, welche alle maximalen algebraischen Grad haben. Zudem bestimmen wir den algebraischen Grad zirkulärer Graphen und finden neue Kriterien für Isospektralität solcher Graphen. Darüber hinaus lösen wir das inverse Galois Problem für zirkuläre Graphen, indem wir zeigen, dass jede endliche abelsche Erweiterung der rationalen Zahlen Zerfällungskörper eines zirkulären Graphen ist. Diese Resultate verallgemeinern einen Satz von So, in dem sämtliche integrale zirkuläre Graphen charakterisiert werden. Für unsere Beweise verwenden wir die Theorie der Schur Ringe, die bereits verwendet wurde, um das Isomorphieproblem für zirkuläre Graphen zu lösen. Zu guter Letzt untersuchen wir Spektren von Nullteilergraphen über kommutativen Ringen. Zu einem gegebenen Ring \(R\) ist der zugehörige Nullteilergraph über \(R\) definiert als der Graph, dessen Eckenmenge den Nullteilern von \(R\) entspricht, und in dem je zwei Ecken \(x,y\) benachbart sind, wenn \(xy=0\) gilt. Wir studieren Zusammenhänge zwischen den Eigenwerten von Nullteilergraphen, deren strukturellen Eigenschaften und den algebraischen Eigenschaften der entsprechenden Ringe. KW - Algebraische Zahlentheorie KW - Graph KW - Graph spectrum KW - Integral graph KW - Cayley graph KW - Schur ring KW - Zero-divisor graph KW - Kombinatorik Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-230850 ER - TY - THES A1 - Löffler, Andre T1 - Constrained Graph Layouts: Vertices on the Outer Face and on the Integer Grid T1 - Graphzeichnen unter Nebenbedingungen: Knoten auf der Außenfacette und mit ganzzahligen Koordinaten N2 - Constraining graph layouts - that is, restricting the placement of vertices and the routing of edges to obey certain constraints - is common practice in graph drawing. In this book, we discuss algorithmic results on two different restriction types: placing vertices on the outer face and on the integer grid. For the first type, we look into the outer k-planar and outer k-quasi-planar graphs, as well as giving a linear-time algorithm to recognize full and closed outer k-planar graphs Monadic Second-order Logic. For the second type, we consider the problem of transferring a given planar drawing onto the integer grid while perserving the original drawings topology; we also generalize a variant of Cauchy's rigidity theorem for orthogonal polyhedra of genus 0 to those of arbitrary genus. N2 - Das Einschränken von Zeichnungen von Graphen, sodass diese bestimmte Nebenbedingungen erfüllen - etwa solche, die das Platzieren von Knoten oder den Verlauf von Kanten beeinflussen - sind im Graphzeichnen allgegenwärtig. In dieser Arbeit befassen wir uns mit algorithmischen Resultaten zu zwei speziellen Einschränkungen, nämlich dem Platzieren von Knoten entweder auf der Außenfacette oder auf ganzzahligen Koordinaten. Für die erste Einschränkung untersuchen wir die außen k-planaren und außen k-quasi-planaren Graphen und geben einen auf monadische Prädikatenlogik zweiter Stufe basierenden Algorithmus an, der überprüft, ob ein Graph voll außen k-planar ist. Für die zweite Einschränkung untersuchen wir das Problem, eine gegebene planare Zeichnung eines Graphen auf das ganzzahlige Koordinatengitter zu transportieren, ohne dabei die Topologie der Zeichnung zu verändern; außerdem generalisieren wir eine Variante von Cauchys Starrheitssatz für orthogonale Polyeder von Geschlecht 0 auf solche von beliebigem Geschlecht. KW - Graphenzeichnen KW - Komplexität KW - Algorithmus KW - Algorithmische Geometrie KW - Kombinatorik KW - Planare Graphen KW - Polyeder KW - Konvexe Zeichnungen Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-215746 SN - 978-3-95826-146-4 SN - 978-3-95826-147-1 N1 - Parallel erschienen als Druckausgabe in Würzburg University Press, ISBN 978-3-95826-146-4, 32,90 EUR PB - Würzburg University Press CY - Würzburg ET - 1. Auflage ER - TY - THES A1 - Gregor, Thomas T1 - {0,1}-Matrices with Rectangular Rule T1 - {0,1}-Matrizen mit Rechtecksregel N2 - The incidence matrices of many combinatorial structures satisfy the so called rectangular rule, i.e., the scalar product of any two lines of the matrix is at most 1. We study a class of matrices with rectangular rule, the regular block matrices. Some regular block matrices are submatrices of incidence matrices of finite projective planes. Necessary and sufficient conditions are given for regular block matrices, to be submatrices of projective planes. Moreover, regular block matrices are related to another combinatorial structure, the symmetric configurations. In particular, it turns out, that we may conclude the existence of several symmetric configurations from the existence of a projective plane, using this relationship. N2 - Die Inzidenzmatrizen vieler kombinatorischer Strukturen erfüllen die sogenannte Rechtecksregel, d.h. das Skalarprodukt zweier beliebiger Zeilen der Matrix ist höchstens 1. Weiterhin wird eine Klasse von Matrizen mit Rechtecksregel untersucht, von denen einige auch Untermatrizen von Inzidenzmatrizen endlicher projektiver Ebenen sind. Es werden notwendige und hinreichende Bedingungen angegeben, wann dies der Fall ist. Darüberhinaus gibt es eine enge Beziehung zwischen dieser Klasse von Matrizen und einer anderen Struktur, den symmetrischen Konfigurationen. Es stellt sich unter anderem heraus, dass aus der Existenz einer projektiven Ebene mittels dieser Beziehung die Existenz verschiedener symmetrischer Konfigurationen gefolgert werden kann. KW - Projektive Ebene KW - Inzidenzmatrix KW - Kombinatorik KW - Endliche Geometrie KW - Symmetrische Konfiguration KW - (0 KW - 1)-Matrix KW - finite projective plane KW - incidence matrix KW - design KW - symmetric configuration KW - (0 KW - 1)-matrix Y1 - 2008 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-28389 ER - TY - THES A1 - Kramer, Helmut T1 - Inzidenzmatrizen endlicher projektiver Ebenen T1 - Incidence matrices of finite projective planes N2 - Ziel dieser Arbeit ist eine computerunterstützte Suche nach, bis auf Isomorphie, allen projektiven Ebenen zu einer gegebenen Ordnung durch Berechnung ihrer Inzidenzmatrix. Dies gelingt durch geeignete Vorstrukturierung der Matrix mit Hilfe der Doppelordnung bis Ordnung 9 auf einem aktuellen PC. In diesem Zusammenhang ist insbesondere durch einen genügend schnellen Algorithmus das Problem zu lösen, ob zwei Inzidenzmatrizen zu derselben projektiven Ebene gehören. Die besondere Struktur, die die berechneten Beispiele von doppelgeordneten Inzidenzmatrizen der desarguesschen Ebenen aufzeigen, wird zudem durch theoretische Überlegungen untermauert. In einem letzten Kapitel wird noch eine Verbindung der projektiven Ebenen zu besonderen Blockplänen geschaffen. N2 - In this dissertation we go on a computer search for all finite projective planes of a certain order by calculating its incidence matrix. By double ordering of the matrix we can handle this problem up to order 9 on an ordinary PC. In this context we have to solve the problem, whether two incidence matrices are from the same plane, by creating a sufficient fast algorithm. Furthermore we clarify the pretty symmetry of the computed double ordered incidence matrices of the desarguan planes even by theoretical approach. In the last chapter we study a connection between the projective planes and a special kind of block designs. KW - Projektive Ebene KW - Matrix KW - Berechnung KW - Geometrie KW - projektive Ebene KW - Inzidenzmatrix KW - Blockplan KW - Kombinatorik KW - geometry KW - projective plane KW - incidence matrix KW - block design KW - combinatorial theory Y1 - 2004 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-11215 ER -