TY - THES A1 - Tutschku, Christian Klaus T1 - Anomaly Induced Transport And Hall Viscous Effects In 2+1 Space-Time Dimensions T1 - Anomaliebasierter Transport und Hall-Viskose Effekte in 2+1 Raum-Zeit Dimensionen N2 - The main goal of this thesis is to elucidate the sense in which recent experimental progress in condensed matter physics, namely the verification of two-dimensional Dirac-like materials and their control in ballistic- as well as hydrodynamic transport experiments enables the observation of a well-known 'high-energy' phenomenon: The parity anomaly of planar quantum electrodynamics (QED\(_{2+1}\)). In a nutshell, the low-energy physics of two-dimensional Quantum Anomalous Hall (QAH) insulators like (Hg,Mn)Te quantum wells or magnetically doped (Bi,Sb)Te thin films can be described by the combined response of two 2+1 space-time dimensional Chern insulators with a linear dispersion in momentum. Due to their Dirac-like spectra, each of those Chern insulators is directly related to the parity anomaly of planar quantum electrodynamics. However, in contrast to a pure QED\(_{2+1}\) system, the Lagrangian of each Chern insulator is described by two different mass terms: A conventional momentum-independent Dirac mass \(m\), as well as a momentum-dependent so-called Newtonian mass term \(B \vert \mathbf{k} \vert^2\). According to the parity anomaly it is not possible to well-define a parity- and U(1) gauge invariant quantum system in 2+1 space-time dimensions. More precisely, starting with a parity symmetric theory at the classical level, insisting on gauge-invariance at the quantum level necessarily induces parity-odd terms in the calculation of the quantum effective action. The role of the Dirac mass term in the calculation of the effective QED\(_{2+1}\) action has been initially studied in Phys. Rev. Lett. 51, 2077 (1983). Even in the presence of a Dirac mass, the associated fermion determinant diverges and lacks gauge invariance. This requires a proper regularization/renormalizaiton scheme and, as such, transfers the peculiarities of the parity anomaly to the massive case. In the scope of this thesis, we connect the momentum-dependent Newtonian mass term of a Chern insulator to the parity anomaly. In particular, we reveal, that in the calculation of the effective action, before renormalization, the Newtonian mass term acts similarly to a parity-breaking element of a high-energy regularization scheme. This calculation allows us to derive the finite frequency correction to the DC Hall conductivity of a QAH insulator. We derive that the leading order AC correction contains a term proportional to the Chern number. This term originates from the Newtonian mass and can be measured via electrical or via magneto-optical experiments. The Newtonian mass, in particular, significantly changes the resonance structure of the AC Hall conductivity in comparison to pure Dirac systems like graphene. In addition, we study the effective action of the aforementioned Chern insulators in external out-of-plane magnetic fields. We show that as a consequence of the parity anomaly the QAH phase in (Hg,Mn)Te quantum wells or in magnetically doped (Bi,Sb)Te thin films survives in out-of-plane magnetic fields, violates the Onsager relation, and can therefore be distinguished from a conventional quantum Hall (QH) response. As a smoking-gun of the QAH phase in increasing magnetic fields, we predict a transition from a quantized Hall plateau with \(\sigma_\mathrm{xy}= -\mathrm{e}^2/\mathrm{h}\) to a not perfectly quantized plateau which is caused by scattering processes between counter-propagating QH and QAH edge states. This transition is expected to be of significant relevance in paramagnetic QAH insulators like (Hg,Mn)Te/CdTe quantum wells, in which the exchange interaction competes against the out-of-plane magnetic field. All of the aforementioned results do not incorporate finite temperature effects. In order to shed light on such phenomena, we further analyze the finite temperature Hall response of 2+1 dimensional Chern insulators under the combined influence of a chemical potential and an out-of-plane magnetic field. As we have mentioned above, this non-dissipative transport coefficient is directly related to the parity anomaly of planar quantum electrodynamics. Within the scope of our analysis we show that the parity anomaly itself is not renormalized by finite temperature effects. However, the parity anomaly induces two terms of different physical origin in the effective Chern-Simons action of a QAH insulator, which are directly proportional to its Hall conductivity. The first term is temperature and chemical potential independent and solely encodes the intrinsic topological response. The second term specifies the non-topological thermal response of conduction- and valence band modes, respectively. We show that the relativistic mass \(m\) of a Chern insulator counteracts finite temperature effects, whereas its non-relativistic Newtonian mass \(B \vert \mathbf{k} \vert^2 \) enhances these corrections. In addition, we are extending our associated analysis to finite out-of-plane magnetic fields, and relate the thermal response of a Chern insulator therein to the spectral asymmetry, which is a measure of the parity anomaly in out-of-plane magnetic fields. In the second part of this thesis, we study the hydrodynamic properties of two-dimensional electron systems with a broken time-reversal and parity symmetry. Within this analysis we are mainly focusing on the non-dissipative transport features originating from a peculiar hydrodynamic transport coefficient: The Hall viscosity \(\eta_\mathrm{H}\). In out-of-plane magnetic fields, the Hall viscous force directly competes with the Lorentz force, as both mechanisms contribute to the overall Hall voltage. In our theoretical considerations, we present a way of uniquely distinguishing these two contributions in a two-dimensional channel geometry by calculating their functional dependencies on all external parameters. We are in particular deriving that the ratio of the Hall viscous contribution to the Lorentz force contribution is negative and that its absolute value decreases with an increasing width, slip-length and carrier density. Instead, it increases with the electron-electron mean free path in the channel geometry considered. We show that in typical materials such as GaAs the Hall viscous contribution can dominate the Lorentz signal up to a few tens of millitesla until the total Hall voltage vanishes and eventually is exceeded by the Lorentz contribution. Last but not least, we derive that the total Hall electric field has a parabolic form originating from Lorentz effects. Most remarkably, the offset of this parabola is directly characterized by the Hall viscosity. Therefore, in summary, our results pave the way to measure and to identify the Hall viscosity via both global and local measurements of the entire Hall voltage. N2 - Das zentrale Leitmotiv dieser Dissertation besteht darin, zwei unterschiedliche theoretische Konzepte aus verschiedenen Teilbereichen der Physik zu verbinden, um dadurch neue Perspektiven zu erschließen. Im Wesentlichen zielt die Arbeit darauf ab, die quantenfeldtheoretischen Konstrukte der Paritäts- als auch der chiralen Anomalie aus der Hochenergiephysik auf die Festkörperphysik von sogenannten zwei-dimensionalen Quanten Anomalen Hall (QAH) Isolatoren zu übertragen. Die Dirac-artige Bandstruktur dieser neuartigen Materialien ermöglicht es, Effekte freier quantenelektrodynamischer Teilchen in 2+1 Raumzeit Dimensionen im Festkörperlabor direkt messbar zu machen. Um die zentralen Erkenntnisse dieser Arbeit nachvollziehen zu können ist das Verständnis zweier Konstrukte unumgänglich: (1) Unter einer Quantenanomalie versteht man den Symmetriebruch einer klassischen Theorie während des Quantisierungsprozesses. Um eine konsistente Quantentheorie formulieren zu können, ist es in einem quanten-anomalen System nicht möglich, alle klassischen Symmetrien auf der Quantenebene aufrechtzuerhalten. (2) Unter zwei-dimensionalen QAH Isolatoren versteht man planare Halbleiter mit einer endlichen, transversalen (Hall-) Leitfähigkeit in der Abwesenheit eines externen Magnetfeldes. Derartige Halbleiter werden zum Beispiel in (Hg,Mn)Te/CdTe Schichtsystemen oder in dünnen magnetisierten (Bi,Sb)Te Filmen vorhergesagt und zum Teil bereits experimentell nachgewiesen. Die nieder-energie Theorie um die Bandlücke der oben genannten QAH Systeme wird gemeinsam durch die Physik zweier sogenannter Chern Isolatoren beschrieben. Jeder Chern Isolator besitzt eine lineare Dispersion im Impulsraum und gleicht somit der Theorie quantenelektrodynamischer Teilchen in 2+1 Raumzeit Dimensionen QED\(_{2+1}\). Darauf basierend ist jeder Chern Isolator für sich direkt mit der Paritätsanomalie verbunden. Um die effektive Bandkrümmung im Festkörper zu charakterisieren unterscheidet sich das Modell eines Chern Isolators von der entsprechenden QED\(_{2+1}\) Theorie um einen quadratischen Masse-Term im Impuls, die sogenannte Newtonsche Masse \( B \vert \mathbf{k}\vert^2 \). Zusammen mit dem impulsunabhängigen Dirac Masseterm \(m\) definiert jene paritätsbrechende Masse die Energielücke eines Chern Isolators. Wie bereits in (1) erwähnt tritt die Paritätsanomalie während der Quantisierung klassisch paritätssymmetrischer Systeme auf. Quantisiert man beispielsweise eine masselose QED\(_{2+1}\) Theorie, so induziert man während der Berechnung der Fermion Determinante paritätsbrechende Terme in der zugehörigen effektiven Wirkung. Obgleich eine nichtverschwindende Dirac-Masse die Paritätssymmetrie auf klassischer Ebene bricht, ist die zugehörige Fermion Determinante UV divergent als auch Eichsymmetrie brechend und Bedarf daher eines geeigneten Regularisierung/Renormierungsschemas. Diese Eigenschaft erlaubt es Konsequenzen der Paritätsanomalie ebenfalls in massiven Systemen zu identifizieren. Die Auswirkungen einer Dirac-Masse für die Berechnung der effektiven Wirkung eines QED\(_{2+1}\) Systems wurden inertial in der wegweißenden Publikation Phys. Rev. Lett. 51, 2077 (1983) analysiert. Im Rahmen dieser Dissertation eruieren wir die Implikationen der Newtonschen Masse eines Chern Isolators auf die entsprechende Berechnung der Fermion Determinante und beleuchten damit die effektive Bandkrümmung eines Festkörpers im Kontext einer diskreten Raumzeit Anomalie. Wir zeigen insbesondere, dass die Newtonsche Masse vor dem unumgänglichen Renormierungprozess den paritätsbrechenden Elementen verschiedener hochenergetischer Regularisierungsschemata ähnelt, wie zum Beispiel Wilson Fermionen. Mittels dieser Berechnung leiten wir ebenfalls die Wechselstromleitfähigkeit der genannten QAH Isolatoren her. Wir zeigen, dass die führende Frequenzkorrektur in diesen Systemen einen Term proportional zur Chern Zahl enthält. Jener Beitrag basiert auf der zugrundeliegenden Galilei Invarianz und ist insbesondere durch magneto-optische Experimente nachzuweisen. Weiter eruieren wir, dass der genannte Term fundamental die Resonanzstruktur der Hall Leitfähigkeit beeinflusst, sodass diese maßgeblich von der entsprechenden Größe eines puren Dirac Systems wie Graphen abweicht. Zudem analysieren wir in dieser Arbeit die Physik von 2+1 dimensionalen Chern Isolatoren in externen Magnetfeldern die orthogonal auf der zugrundeliegenden Raum-Mannigfaltigkeit stehen -sogenannte orbitale Magnetfelder. Wir zeigen dass als direkte Konsequenz der Paritätsanomalie die QAH Phase in orbitalen Magnetfelder überlebt, darin die Onsager Relationen bricht und somit von konventionellen QH Systemen unterschieden werden kann, obgleich beide topologischen Phasen durch die selbe Chern Klasse beschrieben sind. Als experimentelle Signatur der QAH Phase in adiabatisch zunehmenden orbitalen Magnetfeldern sagen wir den Übergang eines quantisierten Hall Plateaus mit \(\sigma_\mathrm{xy}= -\mathrm{e}^2/\mathrm{h}\) zu einem nicht-quantisierten, rauschenden Hall Plateau vorher. Der Mittelwert des letzteren Plateaus hängt stark von Streuprozessen zwischen entgegengesetzt propagierenden QH und QAH Randzuständen ab. Insbesondere in (Hg,Mn)Te/CdTe Schichtsystemen ist der vorhergesagte Übergang von großem Interesse da in jenen Systemen die Austauschwechelwirkung mit dem polarisierenden Magnetfeld konkurriert. All die oben genannten Ergebnisse vernachlässigen thermische Effekte. Um den Einfluss einer endlichen Umgebungstemperatur auf die Physik von QAH Isolatoren zu untersuchen, analysieren wir im Rahmen dieser Dissertation ebenfalls die Hall Leitfähigkeit 2+1 dimensionaler Chern Isolatoren bei endlicher Temperatur und unter dem Einfluss beliebiger chemischer Potentiale sowie orbitaler Magnetfelder. Wie oben bereits erwähnt hängt dieser nicht dissipative Transportkoeffizient direkt mit der Paritätsanomalie eines masselosen QED\(_{2+1}\) Systems zusammen. Wir zeigen mittels unserer Analyse, dass die Paritätsanomalie an sich nicht durch endliche Temperatureffekte beeinflusst wird. Allerdings induziert jene Anomalie in der effektiven Wirkung eines Chern Isolators zwei Beitrage unterschiedlichen physikalischen Ursprungs. Einer der Terme ist unabhängig vom chemischen Potential und der Temperatur da er ausschließlich die intrinsische topologische Phase des Systems codiert. Der andere Term definiert die thermisch angeregten Zustände im Leitungs- bzw. im Valenzband und ist somit nicht-topologischen Ursprungs. Insbesondere zeigen wir, dass in der topologisch nicht trivialen Phase eines Chern Isolators die Dirac Masse den endlichen Temperatureffekten entgegenwirkt, während die nicht-relativistische Newtonsche Masse jene Korrekturen verstärkt. Neben diesen Effekten bei verschwindendem orbitalem Magnetfeld verallgemeinern wir unsere thermischen Betrachtungen hinsichtlich der Effekte quantisierender orbitaler Magnetfelder. Insbesondere verknüpfen wir die Leitfähigkeit von QAH Isolatoren bei endlicher Temperatur zur sogenannten Spektralen Asymmetrie. Diese Größe kann als Signatur der Paritätsanomalie in orbitalen Magnetfeldern interpretiert werden. Im zweiten großen Kapitel dieser Dissertation analysieren wir den hydrodynamischen Ladungs-transport in zwei-dimensionalen Elektronensystemen, in denen sowohl die Zeitumkehr- als auch die Paritätssymmetrie gebrochen sind. Unseren Forschungsschwerpunkt legen wir hierbei vor Allem auf nicht-dissipative Transporteigenschaften, die sich mittels der Hall Viskosität aus den Navier-Stokes Gleichungen ergeben. In orbitalen Magnetfeldern konkurrieren aufgrund dieses paritätsbrechenden Transportkoeffizient zwei transversale Kräfte miteinander: Die sogenannte Hall viskose Kraft und die wohlbekannte Lorentzkraft. Zusammen definieren beide Kräfte die gesamte Hall Spannung des Systems. In den Ausführungen dieser Arbeit zeigen wir wie die genannten unterschiedlichen Beiträge in zweidimensionalen Transportkanälen anhand ihrer verschiedenen funktionellen Abhängigkeiten von den Systemparametern unterschieden werden können. Wir eruieren, dass das Verhältnis zwischen dem Hall viskosen Beitrag und dem Lorentz basierten Beitrag negativ ist und dessen Absolutbetrag mit zunehmender Kanalbreite, Rutsch-Länge [engl. slip length] und Ladungsträgerdichte abnimmt. Im Gegensatz dazu wächst jener Betrag mit der mittleren Elektron-Elektron Streulänge. Im Rahmen dieser Dissertation zeigen wir, dass in typischen GaAs Fermi Flüssigkeiten der Hall viskose Beitrag das Lorentz Signal bis hin zu einer orbitalen Magnetfeldstärke im zehnstelligen Milli-Tesla Bereich dominieren kann. Im Anschluss nimmt das Verhältnis dieser Größen ab, verschwindet bei einem kritischen Magnetfeld und wird schlussendlich durch das Lorentz Signal dominiert. Zuletzt zeigen wir, dass das transversale elektrische Feld in den genannten Experimenten eine parabolische Form besitzt, welche auf dem Lorentz Beitrag basiert. Im Gegensatz dazu ist der konstante Offset dieser Parabel hauptsächlich durch die Hall Viskosität definiert. Zusammen weisen die hier genannten Eigenschaften einen möglichen Weg zur experimentellen Bestimmung der Hall Viskosität mittels lokaler- oder globaler Spannungsmessungen auf. KW - Anomalie KW - Regularisierung KW - Topologie KW - Quanten-Hall-Effekt KW - Viskosität KW - Parity Anomaly KW - Chiral Anomaly KW - Quantum Anomalous Hall Effect KW - Chern Insulator KW - Hall Viscosity KW - Dirac System KW - Quantum Field Theory KW - Spectral Asymmetry KW - Effective Action Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-239131 ER - TY - THES A1 - Böttcher, Jan Frederic T1 - Fate of Topological States of Matter in the Presence of External Magnetic Fields T1 - Schicksal von topologischen Zuständen in der Gegenwart von externen magnetischen Feldern N2 - The quantum Hall (QH) effect, which can be induced in a two-dimensional (2D) electron gas by an external magnetic field, paved the way for topological concepts in condensed matter physics. While the QH effect can for that reason not exist without Landau levels, there is a plethora of topological phases of matter that can exist even in the absence of a magnetic field. For instance, the quantum spin Hall (QSH), the quantum anomalous Hall (QAH), and the three-dimensional (3D) topological insulator (TI) phase are insulating phases of matter that owe their nontrivial topology to an inverted band structure. The latter results from a strong spin-orbit interaction or, generally, from strong relativistic corrections. The main objective of this thesis is to explore the fate of these preexisting topological states of matter, when they are subjected to an external magnetic field, and analyze their connection to quantum anomalies. In particular, the realization of the parity anomaly in solid state systems is discussed. Furthermore, band structure engineering, i.e., changing the quantum well thickness, the strain, and the material composition, is employed to manipulate and investigate various topological properties of the prototype TI HgTe. Like the QH phase, the QAH phase exhibits unidirectionally propagating metallic edge channels. But in contrast to the QH phase, it can exist without Landau levels. As such, the QAH phase is a condensed matter analog of the parity anomaly. We demonstrate that this connection facilitates a distinction between QH and QAH states in the presence of a magnetic field. We debunk therefore the widespread belief that these two topological phases of matter cannot be distinguished, since they are both described by a $\mathbb{Z}$ topological invariant. To be more precise, we demonstrate that the QAH topology remains encoded in a peculiar topological quantity, the spectral asymmetry, which quantifies the differences in the number of states between the conduction and valence band. Deriving the effective action of QAH insulators in magnetic fields, we show that the spectral asymmetry is thereby linked to a unique Chern-Simons term which contains the information about the QAH edge states. As a consequence, we reveal that counterpropagating QH and QAH edge states can emerge when a QAH insulator is subjected to an external magnetic field. These helical-like states exhibit exotic properties which make it possible to disentangle QH and QAH phases. Our findings are of particular importance for paramagnetic TIs in which an external magnetic field is required to induce the QAH phase. A byproduct of the band inversion is the formation of additional extrema in the valence band dispersion at large momenta (the `camelback'). We develop a numerical implementation of the $8 \times 8$ Kane model to investigate signatures of the camelback in (Hg,Mn)Te quantum wells. Varying the quantum well thickness, as well as the Mn-concentration, we show that the class of topologically nontrivial quantum wells can be subdivided into direct gap and indirect gap TIs. In direct gap TIs, we show that, in the bulk $p$-regime, pinning of the chemical potential to the camelback can cause an onset to QH plateaus at exceptionally low magnetic fields (tens of mT). In contrast, in indirect gap TIs, the camelback prevents the observation of QH plateaus in the bulk $p$-regime up to large magnetic fields (a few tesla). These findings allowed us to attribute recent experimental observations in (Hg,Mn)Te quantum wells to the camelback. Although our discussion focuses on (Hg,Mn)Te, our model should likewise apply to other topological materials which exhibit a camelback feature in their valence band dispersion. Furthermore, we employ the numerical implementation of the $8\times 8$ Kane model to explore the crossover from a 2D QSH to a 3D TI phase in strained HgTe quantum wells. The latter exhibit 2D topological surface states at their interfaces which, as we demonstrate, are very sensitive to the local symmetry of the crystal lattice and electrostatic gating. We determine the classical cyclotron frequency of surface electrons and compare our findings with experiments on strained HgTe. N2 - Der Quanten-Hall (QH) Effekt, welcher in einem zwei-dimensionalen (2D) Elektronengas durch ein externes Magnetfeld erzeugt werden kann, ebnete den Weg für topologische Konzepte in der Physik der kondensierten Materie. Während der QH Effekt aus diesem Grund nicht ohne Landau Level existieren kann, gibt es eine Vielzahl von neuartigen topologischen Phasen, die auch in der Abwesenheit von Magnetfeldern existieren können. Zum Beispiel stellen die Quanten-Spin-Hall (QSH), die Quanten-Anomale-Hall (QAH) und die drei-dimensionale (3D) topologische Isolator-Phase isolierende, topologische Phasen dar, die Ihre nicht-triviale Topologie einer invertierten Bandstruktur verdanken. Letztere wird durch eine starke Spin-Bahn Wechselwirkung, oder im Allgemeinen durch starke relativistische Korrekturen, erzeugt. Das Hauptziel dieser Thesis ist es dabei das Schicksal dieser bereits bestehenden topologischen Zustände in Magnetfeldern zu erforschen und deren Verbindungen zu Quantenanomalien aufzuzeigen. In diesem Zusammenhang werden wir insbesondere die Realisierung der Paritätsanomalie in Festkörpersystemen diskutieren. Weitergehend wenden wir Bandstruktur-Engineering an, d.h. die Veränderung der Quantentrogdicke, der Verspannung und der Materialkomposition, um die vielfältigen topologischen Eigenschaften des topologischen Isolators (TIs) HgTe zu manipulieren und zu untersuchen. Wie die QH Phase, zeichnet sich die QAH Phase durch unidirektional propagierende, metallische Randkanäle aus. Aber im Vergleich zur QH Phase, kann sie auch ohne Landau Level existieren. Die QAH Phase stellt daher ein Kondensierte-Materie-Analogon zur Paritätsanomalie dar. Wir zeigen, dass diese Verbindung es uns ermöglicht in der Gegenwart eines Magnetfelds zwischen QH und QAH Zuständen zu unterscheiden. Damit widerlegen wir den weitverbreiten Glauben, dass diese zwei topologischen Phasen nicht unterschieden werden können, da beide durch eine $\mathbb{Z}$ topologische Invariante beschrieben sind. Etwas genauer gesagt, zeigen wir, dass die QAH Topologie in einer besonderen topologischen Invarianten kodiert bleibt, der spektralen Asymmetrie. Diese quantifiziert die Differenz in der Anzahl von Zuständen in Leitungs- und Valenzbändern. Indem wir die effektive Wirkung eines QAH Isolators im Magnetfeld herleiten, zeigen wir, dass die spektrale Asymmetrie dabei mit einem einzigartigen Chern-Simons Term verbunden ist, welcher die Information über die QAH Randkanäle beinhaltet. Wenn ein QAH Isolator einem externen Magnetfeld ausgesetzt wird, kann dies zur Bildung von gegenläufigen QH und QAH Randkanälen führen. Diese helikalartigen Randzustände besitzen exotische Eigenschaften, die es uns ermöglichen QH und QAH Phasen zu unterscheiden. Unsere Ergebnisse sind insbesondere für paramagnetische TIs von Bedeutung, da für diese ein externes Magnetfeld von Nöten ist, um die QAH Phase zu induzieren. Ein Nebenprodukt der Bandinversion ist die Bildung von zusätzlichen Extrema in der Dispersion des Valenzbands bei großen Impulsen (oft auch als `Kamelrücken' bezeichnet). Wir entwickeln eine numerische Implementierung des $8 \times 8$ Kane Modells um die Signaturen des Kamelrückens in (Hg,Mn)Te Quantentrögen zu untersuchen. Indem die Quantentrogdicke und die Mn-Konzentration variiert wird, zeigen wir, dass die Klasse von topologisch nicht-trivialen Materialien weiter in direkte und indirekte TIs unterteilt werden kann. Für direkte TIs mit $p$-Ladungsträgerdichten, zeigen wir, dass die Anheftung des chemischen Potentials an den Kamelrücken zu einem Beginn von QH-Plateaus bei ungewöhnlich kleinen Magnetfeldern (zweistelliger mT-Bereich) führen kann. Im Gegensatz dazu verhindert der Kamelrücken bei indirekten TIs die Beobachtung von QH Plateaus im $p$-Bereich bis zu großen Magnetfeldern (einige Tesla). Diese Ergebnisse erlauben es uns jüngste experimentelle Beobachtungen in (Hg,Mn)Te Quantentrögen der Existenz des Kamelrückens zuzuschreiben. Obwohl sich unsere Diskussion dabei auf (Hg,Mn)Te beschränkt, sollte sich unser Modell leicht auch auf andere topologische Materialien mit einer kamelartigen Struktur im Valenzband übertragen lassen. Zusätzlich haben wir die numerische Implementierung des $8 \times 8$ Kane Modells verwendet, um den Übergang von einer 2D QSH zu einer 3D TI Phase in verspannten HgTe Quantentrögen zu untersuchen. Diese Halbleitermaterialien zeichnen sich durch 2D topologische Oberflächenzustände an Grenzflächen aus, welche, wie wir zeigen, sehr sensitiv für die lokale Kristallsymmetrie des Gitters und elektrostatische Ladung sind. Wir bestimmen die klassische Zyklotronfrequenz der Oberflächenelektronen und vergleichen diese mit experimentellen Messungen an verspannten HgTe Qunatentrögen. KW - Topologie KW - Festkörperphysik KW - Magnetfeld KW - Feldtheorie KW - Topological Insulators KW - Parity Anomaly Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-220451 ER -