TY - THES A1 - Abt, Raimond T1 - Implementing Aspects of Quantum Information into the AdS/CFT Correspondence T1 - Aspekte der Quanteninformation in der AdS/CFT-Korrespondenz N2 - In recent years many discoveries have been made that reveal a close relation between quantum information and geometry in the context of the AdS/CFT correspondence. In this duality between a conformal quantum field theory (CFT) and a theory of gravity on Anti-de Sitter spaces (AdS) quantum information quantities in CFT are associated with geometric objects in AdS. Subject of this thesis is the examination of this intriguing property of AdS/CFT. We study two central elements of quantum information: subregion complexity -- which is a measure for the effort required to construct a given reduced state -- and the modular Hamiltonian -- which is given by the logarithm of a considered reduced state. While a clear definition for subregion complexity in terms of unitary gates exists for discrete systems, a rigorous formulation for quantum field theories is not known. In AdS/CFT, subregion complexity is proposed to be related to certain codimension one regions on the AdS side. The main focus of this thesis lies on the examination of such candidates for gravitational duals of subregion complexity. We introduce the concept of \textit{topological complexity}, which considers subregion complexity to be given by the integral over the Ricci scalar of codimension one regions in AdS. The Gauss-Bonnet theorem provides very general expressions for the topological complexity of CFT\(_2\) states dual to global AdS\(_3\), BTZ black holes and conical defects. In particular, our calculations show that the topology of the considered codimension one bulk region plays an essential role for topological complexity. Moreover, we study holographic subregion complexity (HSRC), which associates the volume of a particular codimension one bulk region with subregion complexity. We derive an explicit field theory expression for the HSRC of vacuum states. The formulation of HSRC in terms of field theory quantities may allow to investigate whether this bulk object indeed provides a concept of subregion complexity on the CFT side. In particular, if this turns out to be the case, our expression for HSRC may be seen as a field theory definition of subregion complexity. We extend our expression to states dual to BTZ black holes and conical defects. A further focus of this thesis is the modular Hamiltonian of a family of states \(\rho_\lambda\) depending on a continuous parameter \(\lambda\). Here \(\lambda\) may be associated with the energy density or the temperature, for instance. The importance of the modular Hamiltonian for quantum information is due to its contribution to relative entropy -- one of the very few objects in quantum information with a rigorous definition for quantum field theories. The first order contribution in \(\tilde{\lambda}=\lambda-\lambda_0\) of the modular Hamiltonian to the relative entropy between \(\rho_\lambda\) and a reference state \(\rho_{\lambda_0}\) is provided by the first law of entanglement. We study under which circumstances higher order contributions in \(\tilde{\lambda}\) are to be expected. We show that for states reduced to two entangling regions \(A\), \(B\) the modular Hamiltonian of at least one of these regions is expected to provide higher order contributions in \(\tilde{\lambda}\) to the relative entropy if \(A\) and \(B\) saturate the Araki-Lieb inequality. The statement of the Araki-Lieb inequality is that the difference between the entanglement entropies of \(A\) and \(B\) is always smaller or equal to the entanglement entropy of the union of \(A\) and \(B\). Regions for which this inequality is saturated are referred to as entanglement plateaux. In AdS/CFT the relation between geometry and quantum information provides many examples for entanglement plateaux. We apply our result to several of them, including large intervals for states dual to BTZ black holes and annuli for states dual to black brane geometries. N2 - In den letzten Jahren wurden viele Entdeckungen gemacht, welche eine enge Beziehung zwischen Quanteninformation und Geometrie im Kontext der AdS/CFT-Korrespondenz aufzeigen. In dieser Dualität zwischen einer konformen Quantenfeldtheorie (CFT) und einer Gravitationstheorie auf Anti-de-Sitter-Räumen (AdS) werden Quanteninformationsgrößen der CFT mit geometrischen Objekten in AdS assoziiert. In der vorliegenden Arbeit wird dieser faszinierende Aspekt von AdS/CFT untersucht. Wir studieren zwei Objekte welche eine zentrale Rolle in der Quanteninformation spielen: Die Teilregionkomplexität (subregion complexity) -- welche ein Maß für den nötigen Aufwand zur Konstruktion eines vorgegebenen reduzierten Zustandes ist -- und den modularen Hamiltonoperator -- welcher durch den Logarithmus eines reduzierten Zustandes gegeben ist. Während eine klare Definition der Teilregionkomplexität mittels unitärer Gatter für diskrete Systeme angegeben werden kann, ist eine präzise Formulierung für Quantenfeldtheorien nicht bekannt. In der AdS/CFT-Korrespondenz wird angenommen, dass die Teilregionkomplexität mit bestimmten Regionen der Kodimension eins in AdS-Räumen in Beziehung stehen. Der Hauptfokus der vorliegenden Arbeit ist die Untersuchung derartiger Kandidaten für Gravitationsduale der Teilregionkomplexität. Wir führen das Konzept der \textit{topologischen Komplexität} (topological complexity) ein, welches das Integral über den Ricci-Skalar bestimmter Teilregionen von AdS-Räumen als das Gravitationsdual der Teilregionkomplexität ansieht. Der Satz von Gauss-Bonnet erlaubt es uns sehr allgemeine Ausdrücke für die Teilregionkomplexität von CFT\(_2\)-Zuständen mit globalem AdS\(_3\), BTZ-Schwarzen-Löchern oder konischen Defekten als Gravitationsdual zu konstruieren. Unsere Berechnungen zeigen insbesondere, dass die Topologie der betrachteten Kodimension-Eins-Regionen eine große Rolle für die topologische Komplexität spielt. Weiterhin befassen wir uns mit der holographischen Teilregionkomplexität (holographic subregion complexity, HSRC), welche annimmt, dass die Teilregionkomplexität durch das Volumen bestimmter Kodimension-Eins-Regionen in AdS-Räumen gegeben ist. Wir leiten einen expliziten Ausdruck für die HSRC von Vakuumzuständen in Größen der Feldtheorie her. Die Formulierung der HSRC in Feldtheoriegrößen könnte es ermöglichen zu untersuchen ob diese Größe tatsächlich als die Teilregionkomplexität der CFT interpretiert werden kann. Sollte sich dies bestätigen, kann unser Feldtheorieausdruck für HSRC als Definition für die Teilregionkomplexität der CFT angesehen werden. Wir verallgemeinern unseren Ausdruck für HSRC dahingehend, dass er auch für Zustände dual zu BTZ-Schwarzen-Löchern und konischen Defekten gültig ist. Ein weiterer Fokus der vorliegenden Arbeit ist der modulare Hamiltonoperator einer Familie von Zuständen \(\rho_\lambda\), welche von einem kontinuierlichen Parameter \(\lambda\) abhängen. Hierbei kann \(\lambda\) beispielsweise der Energiedichte oder der Temperatur entsprechen. Die Bedeutung des modularen Hamiltonoperator für die Quanteninformation ist auf seinen Beitrag zur relativen Entropie zurückzuführen -- eine der wenigen Größen der Quanteninformation für welche eine formale Definition für Quantenfeldtheorien bekannt ist. Der Beitrag erster Ordnung in \(\tilde{\lambda}=\lambda-\lambda_0\) des modularen Hamiltonoperators zur relativen Entropie zwischen \(\rho_\lambda\) und einem Referenzzustand \(\rho_{\lambda_0}\) ist gegeben durch den ersten Hauptsatz der Verschränkung (first law of entanglement). Wir untersuchen unter welchen Umständen Beiträge höherer Ordnung in \(\tilde{\lambda}\) zu erwarten sind. Wir zeigen, dass für Zustände die auf zwei Teilregionen \(A\), \(B\) reduziert wurden in der Regel mindestens einer dieser Beiträge höherer Ordnung in \(\tilde{\lambda}\) zur relativen Entropie liefert, wenn \(A\) und \(B\) die Araki-Lieb-Ungleichung saturieren. Die Araki-Lieb-Ungleichung besagt, dass die Differenz der Verschränkungsentropien von \(A\) und \(B\) stets kleiner oder gleich der Verschränkungsentropie der Vereinigung von \(A\) und \(B\) ist. Regionen für welche die Araki-Lieb-Ungleichung saturiert ist werden als Verschränkungsplateaus (entanglement plateaux) bezeichnet. In der AdS/CFT-Korrespondenz gibt es aufgrund der Beziehung zwischen Quanteninformation und Geometrie viele Beispiele für derartige Plateaus. Wir wenden unser Resultat auf einige dieser an. Unter anderem diskutieren wir große Intervalle für Zustände dual zu BTZ-Schwarzen-Löchern und Annuli für Zustände dual zu schwarzen Branen. KW - AdS-CFT-Korrespondenz KW - AdS/CFT KW - Complexity KW - Quantum Information KW - Modular Hamiltonian KW - AdS/CFT KW - Komplexität KW - Quanteninformation KW - Modularer Hamiltonoperator Y1 - 2019 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-188012 ER - TY - THES A1 - Reyes, Ignacio A. T1 - Aspects of quantum gravity in AdS\(_3\)/CFT\(_2\) T1 - Aspekte der Quantengravitation in AdS\(_3\)/CFT\(_2\) N2 - The quest for finding a unifying theory for both quantum theory and gravity lies at the heart of much of the research in high energy physics. Although recent years have witnessed spectacular experimental confirmation of our expectations from Quantum Field Theory and General Relativity, the question of unification remains as a major open problem. In this context, the perturbative aspects of quantum black holes represent arguably the best of our knowledge of how to proceed in this pursue. In this thesis we investigate certain aspects of quantum gravity in 2 + 1 dimensional anti-de Sitter space (AdS3), and its connection to Conformal field theories in 1 + 1 dimensions (CFT2), via the AdS/CFT correspondence. We study the thermodynamics properties of higher spin black holes. By focusing on the spin-4 case, we show that black holes carrying higher spin charges display a rich phase diagram in the grand canonical ensemble, including phase transitions of the Hawking-Page type, first order inter-black hole transitions, and a second order critical point. We investigate recent proposals on the connection between bulk codimension-1 volumes and computational complexity in the CFT. Using Tensor Networks we provide concrete evidence of why these bulk volumes are related to the number of gates in a quantum circuit, and exhibit their topological properties. We provide a novel formula to compute this complexity directly in terms of entanglement entropies, using techniques from Kinematic space. We then move in a slightly different direction, and study the quantum properties of black holes via de Functional Renormalisation Group prescription coming from Asymptotic safety. We avoid the arbitrary scale setting by restricting to a narrower window in parameter space, where only Newton’s coupling and the cosmological constant are allowed to vary. By one assumption on the properties of Newton’s coupling, we find black hole solutions explicitly. We explore their thermodynamical properties, and discover that very large black holes exhibit very unusual features. N2 - Die Suche nach einer vereinheitlichten Theorie zwischen Quantenmechanik und Gravitation ist von zentraler Bedeutung in der Hochenergiephysik. Trotz bahnbrechenden experimentellen Bestätigungen unserer Erwartungen aus der Quantenfeldtheorie und der allgemeinen Relativitätstheorie in der jungeren Vergangenheit, bleibt die Frage nach einer vereinheitlichten Theorie unbeantwortet. In diesem Zusammenhang stellen störungstheoretische Aspekte quantenmechanischer schwarzer Löcher wohl eine der besten Anhaltspunkte dar, um diesen Ziel näher zu kommen. In dieser Dissertation beschäftigen wir uns mit Merkmalen 3d-dimensionaler schwarzer Löcher im Anti-de-Sitter-Raum (AdS3) und ihrem Zusammenhang zu (1+1)-dimensionalen konformen Feldtheorien (CFT2) auf der Grundlage der AdS/CFT-Korrespondenz. Wir untersuchen thermodynamische Eigenschaften schwarzer Löcher mit höherem Spin, insbesondere dem Fall von Spin 4. Hier zeigen wir, dass schwarze Löcher mit höheren Spin Ladungen im kanonischen Ensemble ein reiches Phasendiagramm aufweisen. Besonders bemerkenswert sind das Auftreten von Phasenübergangen des Hawking-Page-Typs, Phasenübergängen erster Ordnung zwischen schwarzen Löchern sowie eines kritischen Punktes zweiter Ordnung. Ein weiterer Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit vermuteten Zusammenhngen zwischen Bulk-Kodimension 1 Volumina und Komplexität in der CFT. Mittels Tensor- Netzwerken liefern wir konkrete Hinweise für die Korrelation zwischen diesen Volumina sowie der Anzahl an ”Gates” in einem Quantenschaltkreis und legen ihre topologischen Merkmale dar. Zudem entwickeln wir, unter Verwendung des kinematischen Raumes, eine neue Formel anhand derer sich diese Komplexität direkt anhand von Verschränkungsentropien berechnen lässt. Im Weiteren ändern wir unser Werkzeug und untersuchen Quanteneigenschaften schwarzer Löcher mittels Methoden der funktionalen Renormierungsgruppe basierend auf asymptotischer Sicherheit. Wir beschränken uns auf ein kleines Fenster im Parameterraum, in 4 welchen bloß Newtons Kopplungskonstante und die kosmologische Konstante variieren dürfen, und vermeiden hierdurch das Setzen einer beliebigen Skale. Eine einzige Annahme an die Eigenschaften der Newtonschen Kopplung, liefert uns explizite Lösungen schwarzer Löcher. Beim Untersuchen derer thermodynamischen Eigenschaften entdecken wir sehr ungewöhnliche Merkmale bei besonders großen schwarzen Löchern dieser Klasse. KW - Black holes KW - AdS/CFT KW - correspondence KW - quantum gravity Y1 - 2019 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-175613 ER -