TY - THES A1 - Trumpf, Jochen T1 - On the geometry and parametrization of almost invariant subspaces and observer theory T1 - Über die Geometrie und Parametrisierung von fast invarianten Unterräumen und Beobachtertheorie N2 - In my Ph.D. thesis "On the geometry and parametrization of almost invariant subspaces and observer theory" I consider the set of almost conditioned invariant subspaces of fixed dimension for a given fixed linear finite-dimensional time-invariant observable control system in state space form. Almost conditioned invariant subspaces were introduced by Willems. They generalize the concept of a conditioned invariant subspace requiring the invariance condition to hold only up to an arbitrarily small deviation in the metric of the state space. One of the goals of the theory of almost conditioned invariant subspaces was to identify the subspaces appearing as limits of sequences of conditioned invariant subspaces. An example due to {\"O}zveren, Verghese and Willsky, however, shows that the set of almost conditioned invariant subspaces is not big enough. I address this question in a joint paper with Helmke and Fuhrmann (Towards a compactification of the set of conditioned invariant subspaces, Systems and Control Letters, 48(2):101-111, 2003). Antoulas derived a description of conditioned invariant subspaces as kernels of permuted and truncated reachability matrices of controllable pairs of the appropriate size. This description was used by Helmke and Fuhrmann to construct a diffeomorphism from the set of similarity classes of certain controllable pairs onto the set of tight conditioned invariant subspaces. In my thesis I generalize this result to almost conditioned invariant subspaces describing them in terms of restricted system equivalence classes of controllable triples. Furthermore, I identify the controllable pairs appearing in the kernel representations of conditioned invariant subspaces as being induced by corestrictions of the original system to the subspace. Conditioned invariant subspaces are known to be closely related to partial observers. In fact, a tracking observer for a linear function of the state of the observed system exists if and only if the kernel of that function is conditioned invariant. In my thesis I show that the system matrices of the observers are in fact the corestrictions of the observed system to the kernels of the observed functions. They in turn are closely related to partial realizations. Exploring this connection further, I prove that the set of tracking observer parameters of fixed size, i.e. tracking observers of fixed order together with the functions they are tracking, is a smooth manifold. Furthermore, I construct a vector bundle structure for the set of conditioned invariant subspaces of fixed dimension together with their friends, i.e. the output injections making the subspaces invariant, over that manifold. Willems and Trentelman generalized the concept of a tracking observer by including derivatives of the output of the observed system in the observer equations (PID-observers). They showed that a PID-observer for a linear function of the state of the observed system exists if and only if the kernel of that function is almost conditioned invariant. In my thesis I replace PID-observers by singular systems, which has the advantage that the system matrices of the observers coincide with the matrices appearing in the kernel representations of the subspaces. In a second approach to the parametrization of conditioned invariant subspaces Hinrichsen, M{\"u}nzner and Pr{\"a}tzel-Wolters, Fuhrmann and Helmke and Ferrer, F. Puerta, X. Puerta and Zaballa derived a description of conditioned invariant subspaces in terms of images of block Toeplitz type matrices. They used this description to construct a stratification of the set of conditioned invariant subspaces of fixed dimension into smooth manifolds. These so called Brunovsky strata consist of all the subspaces with fixed restriction indices. They constructed a cell decomposition of the Brunovsky strata into so called Kronecker cells. In my thesis I show that in the tight case this cell decomposition is induced by a Bruhat decomposition of a generalized flag manifold. I identify the adherence order of the cell decomposition as being induced by the reverse Bruhat order. N2 - In meiner Doktorarbeit "On the geometry and parametrization of almost invariant subspaces and observer theory" betrachte ich die Menge der fast (C,A)-invarianten Unterräume fester Dimension zu einem vorgegebenen linearen endlichdimensionalen zeitinvarianten beobachtbaren Kontrollsystem in Zustandsraumdarstellung. Der Begriff der fast (C,A)-invarianten Unterräume geht auf Willems zurück. Er verallgemeinert das Konzept eines (C,A)-invarianten Unterraums dahingehend, daß die Invarianzeigenschaft nur bis auf eine beliebig kleine Abweichung in der Metrik des Zustandsraumes erfüllt sein muß. Eines der Ziele der Theorie der fast (C,A)-invarianten Unterräume war es, diejenigen Unterräume zu charakterisieren, die als Grenzwerte von Folgen (C,A)-invarianter Unterräume auftreten. Özveren, Verghese und Willsky haben jedoch ein Beispiel angegeben, das zeigt, daß die Menge der fast (C,A)-invarianten Unterräume hierfür nicht groß genug ist. Auf diese Problematik gehe ich in einer gemeinsamen Arbeit mit U. Helmke und P.A. Fuhrmann (Towards a compactification of the set of conditioned invariant subspaces, Systems and Control Letters, 48(2):101-111, 2003) ein, die nicht Teil meiner Dissertation ist. Antoulas hat eine Beschreibung von (C,A)-invarianten Unterräumen als Kerne von permutierten und abgeschnittenen Erreichbarkeitsmatrizen geeigneter Größe angegeben. Diese Beschreibung benutzen Fuhrmann und Helmke um einen Diffeomorphismus von der Menge der Ähnlichkeitsklassen bestimmter kontrollierbarer Matrizenpaare auf die Menge der "tight" (C,A)-invarianten Unterräume zu konstruieren. In meiner Dissertation verallgemeinere ich dieses Resultat auf fast (C,A)-invariante Unterräume, indem ich sie mit Hilfe von "restricted system equivalence"-Klassen kontrollierbarer Matrizentripel darstelle. Darüberhinaus identifiziere ich die kontrollierbaren Matrizenpaare, die in der Kerndarstellung (C,A)-invarianter Unterräume auftreten, als Korestriktionen des ursprünglichen Systems auf den jeweiligen Unterraum. Es besteht eine enge Verbindung zwischen (C,A)-invarianten Unterräumen und partiellen Beobachtern. In der Tat existiert ein "tracking" Beobachter für eine lineare Funktion des Zustandes des beobachteten Systems genau dann, wenn der Kern dieser Funktion (C,A)-invariant ist. In meiner Dissertation zeige ich, daß die Systemmatrizen der Beobachter mit den Korestriktionen des beobachteten Systems auf die Kerne der beobachteten Funktionen übereinstimmen. Diese wiederum stehen in enger Beziehung zu partiellen Realisierungen. Weiter beweise ich, daß die Menge der "tracking" Beobachter-Parameter fester Größe, das heißt der "tracking" Beobachter fester Ordnung zusammen mit den beobachteten Funktionen, eine glatte Mannigfaltigkeitsstruktur trägt. Ich konstruiere eine Vektorbündelstruktur auf der Menge der (C,A)-invarianten Unterräume fester Dimension zusammen mit ihren "Freunden", das heißt den "output injections", welche den jeweiligen Unterraum invariant machen, wobei die Beobachtermannigfaltigkeit als Basisraum dient. Willems und Trentelman haben das Konzept eines "tracking" Beobachter verallgemeinert, indem sie auch Ableitungen des Ausgangs des beobachteten Systems in die Beobachtergleichungen aufnahmen (PID-Beobachter). Sie haben gezeigt, daß ein PID-Beobachter für eine lineare Funktion des Zustands des beobachteten Systems genau dann existiert, wenn der Kern dieser Funktion fast (C,A)-invariant ist. In meiner Dissertation ersetze ich die PID-Beobachter durch singuläre Systeme, was den Vorteil hat, daß die Systemmatrizen des Beobachters mit den Matrizen übereinstimmen, die in der Kerndarstellung des Unterraums auftauchen. (C,A)-invariante Unterräume lassen sich auch als Bildräume von Block-Toeplitz-Matrizen beschreiben. Hinrichsen, Münzner und Prätzel-Wolters, Fuhrmann und Helmke, und Ferrer, F. Puerta, X. Puerta und Zaballa benutzen diesen Zugang, um eine Stratifizierung der Menge der (C,A)-invarianten Unterräume fester Dimension in glatte Mannigfaltigkeiten zu konstruieren. Diese sogenannten Brunovsky-Strata bestehen aus all den Unterräumen, für die die Einschränkung des Systems auf den Unterraum jeweils vorgegebene Beobachtbarkeitsindizes hat. Obige Autoren konstruieren auch eine Zellzerlegung der Brunovsky-Strata in sogenannte Kronecker-Zellen. In meiner Dissertation zeige ich, daß im "tight" Fall diese Zellzerlegung von einer Bruhat-Zerlegung einer verallgemeinerten Fahnenmannigfaltigkeit induziert wird. Ich identifiziere die Adhärenzordnung der Zellzerlegung als inverse Bruhat-Ordnung. KW - Invarianter Unterraum KW - Kontrollsystem KW - geometrische Kontrolltheorie KW - Parametrisierung KW - Unterräume KW - Beobachter KW - geometric control KW - parametrization KW - subspaces KW - observer Y1 - 2002 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-5034 ER - TY - THES A1 - Baumann, Sabine Christine T1 - Mapping, analysis, and interpretation of the glacier inventory data from Jotunheimen, South Norway, since the maximum of the 'Little Ice Age' T1 - Kartierung, Analyse und Interpretation der Gletscherinventardaten von Jotunheimen, Süd-Norwegen, seit dem Maximum der "Kleinen Eiszeit" N2 - Glacier outlines during the ‘Little Ice Age’ maximum in Jotunheimen were mapped by using remote sensing techniques (vertical aerial photos and satellite imagery), glacier outlines from the 1980s and 2003, a digital terrain model (DTM), geomorphological maps of individual glaciers, and field-GPS measurements. The related inventory data (surface area, minimum and maximum altitude) and several other variables (e.g. slope, range) were calculated automatically by using a geographical information system. The length of the glacier flowline was mapped manually based on the glacier outlines at the maximum of the ‘Little Ice Age’ and the DTM. The glacier data during the maximum of the ‘Little Ice Age’ were compared with the Norwegian glacier inventory of 2003. Based on the glacier inventories during the maximum of the ‘Little Ice Age’, the 1980s and 2003, a simple parameterization after HAEBERLI & HOELZLE (1995) was performed to estimate unmeasured glacier variables, as e.g. surface velocity or mean net mass balance. Input data were composed of surface glacier area, minimum and maximum elevation, and glacier length. The results of the parameterization were compared with the results of previous parameterizations in the European Alps and the Southern Alps of New Zealand (HAEBERLI & HOELZLE 1995; HOELZLE et al. 2007). A relationship between these results of the inventories and of the parameterization and climate and climate changes was made. N2 - Die Gletscherumrisse während des Maximalstandes der „Kleinen Eiszeit“ in Jotunheimen wurden unter der Verwendung von Fernerkundungstechniken (vertikale Luftbilder und Satellitenbilder), von Gletscherumrissen aus den 1980er Jahren und von 2003, von einem digitalen Geländemodel (DTM), von geomorphologischen Karten einzelner Gletscher und von GPS-Messungen im Gelände kartiert. Die daraus erzielten Inventardaten (Gletscherfläche, minimale und maximale Höhe) und einige andere Variablen (z.B. Hangneigung, Höhendifferenz) wurden automatisch mit einem geographischen Informationssystem berechnet. Die Länge der Gletscherfließlinie wurde basierend auf den Gletscherumrissen zum Maximum der „Kleinen Eiszeit“ und dem DTM manuell kartiert. Die Gletscherdaten zum Maximalstand der „Kleinen Eiszeit“ wurden mit dem Gletscherinventar von 2003 verglichen. Basierend auf den letscherinventaren zum Maximum der „Kleinen Eiszeit“, von den 1980er Jahren und von 2003 wurde eine einfache Parametrisierung nach HAEBERLI & HOELZLE (1995) durchgeführt, um ungemessene Gletschervariablen, wie z.B. Oberflächengeschwindigkeit oder mittlere Netto-Massenbilanz, abzuschätzen. Eingabedaten bestanden aus Gletscherfläche, minimaler und maximale Höhe und der Gletscherlänge. Die Resultate der Parametrisierung wurden mit den Ergebnissen früherer Parametrisierungen aus den Europäischen Alpen und den Southern Alps auf Neuseeland verglichen (HAEBERLI & HOELZLE 1995; HOELZLE et al. 2007). Eine Verbindung zwischen diesen Ergebnissen aus den Inventaren und der Parametrisierung und dem Klima und der Klimaänderung wurde hergestellt. KW - Gletscher KW - Gletscherrückzug KW - Norwegen KW - Kleine Eiszeit KW - Inventar KW - Parametrisierung KW - Klimaänderung KW - Klima KW - Fernerkundung KW - Satellitenfernerkundung KW - Geoinformationssystem KW - glacier KW - Little Ice Age KW - Norway (South) KW - inventory KW - parameterization Y1 - 2009 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-46320 ER -