TY  - THES
A1  - Wongkaew, Suttida
T1  - On the control through leadership of multi-agent systems
T1  - Die Steuerung durch den Hauptagent von Multi-Agenten -Systemen
N2  - The investigation of  interacting multi-agent models is a new field of mathematical research with application to the study of behavior in groups of animals or community of people. One interesting feature of multi-agent systems is collective behavior. From the mathematical point of view, one of the challenging issues considering with these dynamical models is development of control mechanisms that are able to influence the time evolution of these systems.

In this thesis,  we  focus on the study of controllability, stabilization and optimal control problems for multi-agent systems considering three models as follows: The first one is the Hegselmann Krause opinion formation (HK) model. The HK dynamics describes how individuals' opinions are changed by the interaction with others taking place in a bounded domain of confidence. The study of this model focuses on determining  feedback controls in order to drive the agents' opinions to reach a desired agreement.  The second model is the Heider social balance (HB) model. The HB dynamics explains the evolution of relationships in a social network. One purpose of studying this system is the construction of control function in oder to steer the relationship to reach a friendship state. The third model that we discuss is a flocking model describing collective motion observed in biological systems. The flocking model under consideration includes self-propelling, friction, attraction, repulsion, and alignment features. We investigate a control for steering  the flocking system to track a desired trajectory. Common to all these systems is our strategy to add a leader agent that interacts with all other members of the system and includes the control mechanism.

Our control through leadership approach is developed using classical theoretical control methods and a model predictive control (MPC) scheme. To apply the former method, for each model the stability of the corresponding linearized system near consensus is investigated. Further, local controllability is examined. However, only in the
Hegselmann-Krause opinion formation model, the feedback control is determined in order to steer agents' opinions to globally converge to a desired agreement. The  MPC approach is  an optimal control strategy based on numerical optimization. To apply the MPC scheme, optimal control problems for each model are formulated where the objective functions are different depending on the desired objective of the problem. The first-oder necessary optimality conditions for each problem are presented. Moreover for the numerical treatment, a sequence of open-loop discrete optimality systems is solved by accurate Runge-Kutta schemes, and in the optimization procedure, a nonlinear conjugate gradient solver is implemented. Finally, numerical experiments are performed to investigate the properties of the multi-agent models and demonstrate the ability of the proposed control strategies to drive  multi-agent systems to attain a desired consensus and to track a given trajectory.
N2  - Die Untersuchung von interagierende Multiagent-Modellen ist ein neues mathematisches Forschungsfeld, das sich mit dem Gruppenverhalten von Tieren beziehungsweise Sozialverhalten von Menschen. Eine interessante Eigenschaft der Multiagentensysteme ist kollektives Verhalten. Eine der herausfordernden Themen, die sich mit diesen dynamischen Modellen befassen, ist in der mathematischen Sicht eine Entwicklung der Regelungsmechanismen, die die Zeitevolution dieser Systemen beeinflussen können.
In der Doktorarbeit fokussieren wir uns hauptsächlich auf die Studie von Problemen der Steuerbarkeit, Stabilität und optimalen Regelung für Multiagentensysteme anhand drei Modellen wie folgt: Das erste ist die Hegselmann- Krause opinion formation Modell. Die HK-Dynamik beschreibt die Änderung der Meinungen von einzelnen Personen aufgrund der Interaktionen mit den Anderen. Die Studie dieses Model fokussiert auf bestimmte Regelungen, um die Meinungen der Agenten zu betreiben, damit eine gewünschte Zustimmung erreicht wird. Das zweite Model ist das Heider social balance (HB) Modell. Die HB-Dynamik beschreibt die Evolution von Beziehungen in einem sozialen Netzwerk. Ein Ziel der Untersuchung dieses Systems ist die Konstruktion der Regelungsfunktion um die Beziehungen zu steuern, damit eine Freundschaft erreicht wird. Das dritte Modell ist ein Schar-Modell, das in biologischen Systemen beobachteten kollektive Bewegung beschreibt. Das Schar-Model unter Berücksichtigung beinhaltet Selbstantrieb, Friktion, Attraktion Repulsion und Anpassungsfähigkeiten. Wir untersuchen einen Regler für die Steuerung des Schar-Systems, um eine gewünschte Trajektorie zu verfolgen. Üblich wie alle dieser Systeme soll laut unsere Strategie ein Hauptagent, der sich mit alle anderen Mitgliedern des Systems interagieren, hinzugefügt werden und das Regelungsmechanismus inkludiert werden.
Unserer Regelung anhand dem Vorgehen mit Führungsverhalten ist unter Verwendung von klassischen theoretischen Regelungsmethode und ein Schema der modellpr ädiktiven Regelung entwickelt. Zur Ausführung der genannten Methode wird für jedes Modell die Stabilität der korrespondierenden Linearsystem in der Nähe von Konsensus untersucht. Ferner wird die lokale Regelbarkeit geprüft. Nur in dem Hegselmann-Krause opinion formation Modell. Der Regler wird so bestimmt, dass die Meinungen der Agenten gesteuert werden können. Dadurch konvergiert es global zu eine gewünschten Zustimmung. Die MPC-Vorgehensweise ist eine optimale Regelung Strategie, die auf numerische Optimierung basiert. Zu Verwendung des MPC-Shema werden die optimalen Regelungsproblemen für jedes Modell formuliert, wo sich die objektive Funktionen in Abhängigkeit von den gewünschten objective des Problems unterscheidet. Die erforderliche Optimalitätsbedingungen erster Ordnung für jedes
Problem sind präsentiert. Auÿerdem für die numerische Prozess, eine Sequenz von offenen diskreten Optimalitätssystemen ist nach dem expliziten Runge-Kutta Schema gelöst. In dem Optimierungsverfahren ist ein nicht linear konjugierter Gradientlöser umgesetzt. Schlieÿlich sind numerische Experimenten in der Lage, die Eigenschaften der Multiagent-Modellen zu untersuchen und die Fähigkeiten der gezielten Regelstrategie zu beweisen. Die Strategie nutzt zu betreiben Multiagentensysteme, um einen gewünschten Konsensus zu erreichen und eine gegebene Trajektorie zu verfolgen.
KW  - Controllability
KW  - Optimal control problem
KW  - Multi-agent systems
KW  - Mehragentensystem
KW  - Optimale Kontrolle
Y1  - 2015
U6  - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-120914
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TY  - THES
A1  - Ciaramella, Gabriele
T1  - Exact and non-smooth control of quantum spin systems
T1  - Exakte und nicht-glatte Kontrolle von Quanten-Spin-Systemen
N2  - An efficient and accurate computational framework for solving control problems governed by quantum spin systems is presented. Spin systems are extremely important in modern quantum technologies such as nuclear magnetic resonance spectroscopy, quantum imaging and quantum computing. In these applications, two classes of quantum control problems arise: optimal control problems and exact-controllability problems, with a bilinear con- trol structure. These models correspond to the Schrödinger-Pauli equation, describing the time evolution of a spinor, and the Liouville-von Neumann master equation, describing the time evolution of a spinor and a density operator. This thesis focuses on quantum control problems governed by these models. An appropriate definition of the optimiza- tion objectives and of the admissible set of control functions allows to construct controls with specific properties. These properties are in general required by the physics and the technologies involved in quantum control applications. A main purpose of this work is to address non-differentiable quantum control problems. For this reason, a computational framework is developed to address optimal-control prob- lems, with possibly L1 -penalization term in the cost-functional, and exact-controllability problems. In both cases the set of admissible control functions is a subset of a Hilbert space. The bilinear control structure of the quantum model, the L1 -penalization term and the control constraints generate high non-linearities that make difficult to solve and analyse the corresponding control problems. The first part of this thesis focuses on the physical description of the spin of particles and of the magnetic resonance phenomenon. Afterwards, the controlled Schrödinger- Pauli equation and the Liouville-von Neumann master equation are discussed. These equations, like many other controlled quantum models, can be represented by dynamical systems with a bilinear control structure. In the second part of this thesis, theoretical investigations of optimal control problems, with a possible L1 -penalization term in the objective and control constraints, are consid- ered. In particular, existence of solutions, optimality conditions, and regularity properties of the optimal controls are discussed. In order to solve these optimal control problems, semi-smooth Newton methods are developed and proved to be superlinear convergent. The main difficulty in the implementation of a Newton method for optimal control prob- lems comes from the dimension of the Jacobian operator. In a discrete form, the Jacobian is a very large matrix, and this fact makes its construction infeasible from a practical point of view. For this reason, the focus of this work is on inexact Krylov-Newton methods, that combine the Newton method with Krylov iterative solvers for linear systems, and allows to avoid the construction of the discrete Jacobian. In the third part of this thesis, two methodologies for the exact-controllability of quan- tum spin systems are presented. The first method consists of a continuation technique, while the second method is based on a particular reformulation of the exact-control prob- lem. Both these methodologies address minimum L2 -norm exact-controllability problems. In the fourth part, the thesis focuses on the numerical analysis of quantum con- trol problems. In particular, the modified Crank-Nicolson scheme as an adequate time discretization of the Schrödinger equation is discussed, the first-discretize-then-optimize strategy is used to obtain a discrete reduced gradient formula for the differentiable part of the optimization objective, and implementation details and globalization strategies to guarantee an adequate numerical behaviour of semi-smooth Newton methods are treated. In the last part of this work, several numerical experiments are performed to vali- date the theoretical results and demonstrate the ability of the proposed computational framework to solve quantum spin control problems.
N2  - Effiziente und genaue Methoden zum Lösen von Kontrollproblemen, die durch Quantum- Spin-Systemen gesteuert werden, werden vorgestellt. Spin-Systeme sind in moderner Quantentechnologie wie Kernspinresonanzspektroskopie, Quantenbildgebung und Quan- tencomputern äußerst wichtig. In diesen Anwendungen treten zwei Arten von Quan- tenkontrollproblemen auf: Optimalsteuerungsprobleme und Exaktsteuerungsprobleme beide mit einer bilinearen Kontrollstruktur. Diese Modelle entsprechen der Schrödinger- Pauli-Gleichung, die die Zeitentwicklung eines Spinors beschreibt, und der Liouville-von- Neumann-Mastergleichung, die die Zeitentwicklung eines Spinors und eines Dichteoper- ators beschreibt. Diese Arbeit konzentriert sich auf Quantenkontrollprobleme, die durch diese Modelle beschrieben werden. Eine entsprechende Definition des Optimierungsziels und der zulässigen Menge von Kontrollfunktionen erlaubt die Konstruktion von Steuerun- gen mit speziellen Eigenschaften. Diese Eigenschaften werden im Allgemeinen von der Physik und der in Quantenkontrolle verwendeten Technologie gefordert.
Ein Hauptziel diser Arbeit ist die Untersuchung nicht-differenzierbarer Quantenkon- trollprobleme. Deshalb werden Rechenmethoden entwickelt um Optimalsteuerungsprob- lemen, die einen L1-Term im Kostenfunktional enthalten, und Exaktsteuerungsprobleme zu lösen. In beiden Fällen ist die zulässige Menge ein Teilraum eines Hilbertraumes. Die bilineare Kontrollstruktur des Quantenmodells, der L1-Kostenterm und die Nebenbedin- gungen der Kontrolle erzeugen starke Nichtlinearitäten, die die Lösung und Analyse der entsprechenden Problemen schwierig gestalten.
Der erste Teil der Disseration konzentriert sich auf die physikalische Beschreibung des Spins von Teilchen und Phänomenen magnetischer Resonanz. Anschließend wird die kon- trollierte Schrödinger-Pauli-Gleichung und die Liouville-von-Neumann-Mastergleichung diskutiert. Diese Gleichungen können ebenso wie viele andere kontrollierte Quantenmod- elle durch ein dynamisches System mit biliniearer Kontrollstruktur dargestellt werden.
Im zweiten Teil der Arbeit wird eine theoretische Untersuchung der Optimalsteuer- ungsprobleme, die einen L1-Kostenterm und Einschränkungen der Kontrolle enthalten können, durchgeführt. Insbesondere wird die Existenz von Lösungen und Optimalitäts- bedingungen und die Regularität der optimalen Kontrolle diskutiert. Um diese Optimal- steuerungsprobleme zu lösen werden halbglatte Newtonverfahren entwickelt und ihre su- perlineare Konvergenz bewiesen. Die Hauptschwierigkeit bei der Implementierung eines Newtonverfahrens für Optimalsteuerungsprobleme ist die Dimension des Jacobiopera- tors. In einer diskreten Form ist der Jacobioperator eine sehr große Matrix, war die Konstruktion in der Praxis undurchführbar macht. Daher konzentriert sich diese Ar- beit auf inexakte Krylov-Newton-Verfahren, die Newtonverfahren mit iterativen Krylov- Lösern für lineare Gleichungssysteme kombinieren, was die Konstruktion der diskreten Jacobimatrix  erübrigt.
Im dritten Teil der Disseration werden zwei Methoden für die Lösung von exakte Steuerbarkeit Problemen für Quanten-Spin-Systemen vorgestellt. Die erste Methode ist eine Fortsetzungstechnik während die zweite Methode auf einer bestimmten Refor- mulierung des exakten Kontrollproblems basiert. Beide Verfahren widmen sich L2-Norm exakten Steuerbarkeitsproblemen.
Im vierten Teil die Disseration konzentriert sich auf die numerische Analyse von Quan- tenkontrollproblemen. Insbesondere wird das modifizierte Crank-Nicolson-Verfahren als eine geeignete Zeitdiskretisierung der Schrödingergleichung diskutiert. Es wird erst diskretisiert und nachfolgend optimiert, um den diskreten reduzierten Gradienten für den differenzierbaren Teil des Optimierungsziels zu erhalten. Die Details der Implemen- tierung und der Globalisierungsstrategie, die angemessenes numerisches Verhalten der halbglatten Newtonverfahren garantiert, werden behandelt.
Im letzten Teil dieser Arbeit werden verschiedene numerische Experimente durchge- führt um die theoretischen Ergebnisse zu validieren und die Fähigkeiten de vorgeschla- genen Lösungsstrategie für Quanten-Spin-Kontrollproblemen zu validieren.
KW  - Quantum control
KW  - Spin systems
KW  - Nonsmooth optimization
KW  - Exact-controllability
KW  - Spinsystem
KW  - Nichtglatte Optimierung
KW  - Kontrolltheorie
Y1  - 2015
U6  - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-118386
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TY  - THES
A1  - Srichan, Teerapat
T1  - Discrete Moments of Zeta-Functions with respect to random and ergodic transformations
T1  - Diskrete Momente von Zetafunktionen mit zufälligen und ergodentheoretischen Transformationen
N2  - In the thesis discrete moments of the Riemann zeta-function and allied Dirichlet series are studied. 

In the first part the asymptotic value-distribution of zeta-functions is studied where the samples are taken from a Cauchy random walk on a vertical line inside the critical strip. Building on techniques by Lifshits and Weber analogous results for the Hurwitz zeta-function are derived. Using Atkinson’s dissection this is even generalized to Dirichlet L-functions associated with a primitive character. Both results indicate that the expectation value equals one which shows that the values of these
zeta-function are small on average. 

The second part deals with the logarithmic derivative of the Riemann zeta-function on vertical lines and here the samples are with respect to an explicit ergodic transformation. Extending work of Steuding, discrete moments are evaluated and an equivalent formulation for the Riemann Hypothesis in terms of ergodic theory is obtained.

In the third and last part of the thesis, the phenomenon of universality with respect
to stochastic processes is studied. It is shown that certain random shifts of the zeta-function can approximate non-vanishing analytic target functions as good as we please. This result relies on Voronin's universality theorem.
N2  - Die Dissertation behandelt diskrete Momente der Riemannschen Zetafunktion und verwandter Dirichletreihen.

Im ersten Teil wird die asymptotische Werteverteilung von Zetafunktionen studiert, wobei die Werte zufällig auf einer vertikalen Geraden im kritischen Streifen gemäß einer Cauchyschen Irrfahrt summiert werden. Auf einer Vorarbeit von Lifshits und Weber aufbauend werden analoge Resultate für die Hurwitz Zetafunktion erzielt. Mit Hilfe der Atkinsonschen Formel gelingt eine weitere Verallgemeinerung für Dirichletsche L-Funktion zu einem primitiven Charakter. Beide Ergebnisse zeigen, dass der Erwartungswert stets eins beträgt, womit die jeweilige Zetafunktion im Mittel betragsmäßig klein ist.

Der zweite Teil befasst sich mit der logarithmischen Ableitung der Riemannschen Zetafunktion auf vertikalen Geraden, wobei hier die Werte einer ergodischen Transformation entstammen. Eine Arbeit von Steuding verallgemeinernd werden diskrete Momente berechnet und eine äquivalente Formulierung der Riemannschen Vermutung in ergodentheoretischer Sprache erzielt.

Im dritten und letzten Teil der Dissertation wird das Phänomen der Universalität unter dem Aspekt stochastischer Prozesse studiert. Es wird gezeigt, dass gewisse zufällige Translate der Zetafunktion nullstellenfreie analytische Zielfunktionen beliebig gut approximieren. Dieses Ergebnis basiert auf dem Voroninschen Universalitätssatz.
KW  - Riemannsche Zetafunktion
KW  - Zeta-function
KW  - random walk
KW  - ergodic transformation
KW  - Dirichlet-Reihe
KW  - Riemann Hypothesis
Y1  - 2015
U6  - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-118395
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TY  - THES
A1  - Geiselhart, Roman
T1  - Advances in the stability analysis of large-scale discrete-time systems
T1  - Fortschritte in der Stabilitätsanalyse großskaliger zeitdiskreter Systeme
N2  - Several aspects of the stability analysis of large-scale discrete-time systems are considered. An important feature is that the right-hand side does not have have to be continuous.
In particular, constructive approaches to compute Lyapunov functions are derived and applied to several system classes.
For large-scale systems, which are considered as an interconnection of smaller subsystems, we derive a new class of small-gain results, which do not require the subsystems to be robust in some sense. Moreover, we do not only study sufficiency of the conditions, but rather state an assumption under which these conditions are also necessary.
Moreover, gain construction methods are derived for several types of aggregation, quantifying how large a prescribed set of interconnection gains can be in order that a small-gain condition holds.
N2  - Es werden großskalige zeitdiskrete Systeme betrachtet, deren rechte Seite nicht als stetig angenommen wird.
Konstruktive Ansätze um Lyapunovfunktionen zu berechnen werden hergeleitet und auf mehrere Systemklassen angewandt. Für großskalige Systeme, die beschrieben sind durch die Kopplung kleinerer Systeme, wird eine neue Klasse von sogenannten Small-Gain Resultaten vorgestellt, die nicht verlangt, dass die Subsysteme robust sein müssen. Zudem untersuchen wir die Notwendigkeit der geforderten Bedingungen. Zusätzlich werden Gainkonstruktionsmethoden für verschiedene Typen von Verknüpfung hergeleitet, welche quantifizieren, wie groß eine vorgegebene Menge von Kopplungsgains sein kann, so dass eine Small-Gain-Bedingung erfüllt ist.
KW  - Ljapunov-Funktion
KW  - Konstruktionsmethoden
KW  - Ljapunov-Stabilitätstheorie
KW  - Nichtlineare Funktionalgleichung
Y1  - 2015
U6  - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-112963
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TY  - THES
A1  - Mohammadi, Masoumeh
T1  - Analysis of discretization schemes for Fokker-Planck equations and related optimality systems
T1  - Analyse von Diskretisierungsmethoden für Fokker-Planck-Gleichungen und verwandte Optimalitätssysteme
N2  - The Fokker-Planck (FP) equation is a fundamental model in  thermodynamic kinetic theories and 
statistical mechanics. 
In general, the FP equation appears in a number of different fields in natural sciences, for instance in solid-state physics, quantum optics, chemical physics, theoretical biology, and circuit theory. These equations also provide a powerful mean to define 
robust control strategies for random models. The FP equations are partial differential equations (PDE)  describing the time evolution of the probability density function (PDF) of stochastic  processes. 
These equations are of different types depending on the underlying stochastic process. 
In particular, they are parabolic PDEs for the PDF of Ito processes, and hyperbolic PDEs for piecewise deterministic processes (PDP).

A fundamental axiom of probability calculus requires that the integral of the PDF over all the allowable state space must be equal to one, for all time. Therefore, for the purpose of accurate numerical simulation, a discretized FP equation must guarantee conservativeness of the total probability. Furthermore, since the 
solution of the FP equation represents a probability density, any numerical scheme that approximates the FP equation is required to guarantee the positivity of the solution. In addition, an approximation scheme must be accurate and stable. 
For these purposes, for parabolic FP equations on bounded domains, we investigate the Chang-Cooper (CC) scheme for space discretization and first- and 
second-order backward time differencing. We prove that the resulting 
space-time discretization schemes are accurate, conditionally stable, conservative, and preserve positivity.
Further, we discuss a finite difference discretization for the FP system corresponding to a PDP process in a bounded domain. 
 
Next, we discuss FP equations in unbounded domains. 
In this case, finite-difference or finite-element methods cannot be applied. By employing a suitable set of basis functions, spectral methods allow to treat unbounded domains. Since  FP  solutions decay exponentially at infinity, we consider Hermite functions as basis functions, which are Hermite polynomials multiplied by a Gaussian.
To this end, the Hermite spectral discretization is applied
to two different FP equations; the parabolic PDE corresponding to  Ito processes, and the system of hyperbolic PDEs corresponding to a PDP process. The resulting discretized schemes are analyzed. Stability and spectral accuracy of the Hermite spectral discretization of the FP problems is proved. Furthermore, we investigate the conservativity of the solutions of FP equations discretized with the Hermite spectral scheme.

In the last part of this thesis, we discuss optimal control problems governed by FP equations on the characterization of their solution by optimality systems. We then investigate the Hermite spectral discretization of FP optimality systems in unbounded domains.  
Within the framework of Hermite discretization, we obtain sparse-band systems of ordinary differential equations. We analyze the accuracy of the discretization schemes by showing spectral convergence in approximating the state, the adjoint, and the control variables that appear in the FP optimality systems. 
To validate our theoretical estimates, we present results of numerical experiments.
N2  - Die Fokker-Planck (FP) Gleichung ist ein grundlegendes Modell in thermodynamischen kinetischen Theorien und der statistischen Mechanik. Die FP-Gleichungen sind partielle Differentialgleichungen (PDE), welche die zeitliche Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) von stochastischen Prozessen beschreiben. Diese Gleichungen sind von verschiedenen Arten, abhängig von dem zugrunde liegenden stochastischen Prozess. Insbesondere sind dies parabolische PDEs für die PDF von Ito Prozessen,  und hyperbolische PDEs für teilweise deterministische Prozesse (PDP).

Ein grundlegendes Axiom der Wahrscheinlichkeitsrechnung verlangt, dass das Integral der PDF über den ganzen Raum für alle Zeit muss gleich sein muss. Daher muss eine diskretisierte FP Gleichung  Konservativität der Gesamtwahrscheinlichkeit  garantieren. Da die Lösung der FP Gleichung eine Wahrscheinlichkeitsdichte darstellt, muss das numerische Verfahren, das die FP-Gleichung approximiert,  die Positivität der Lösung  gewährleisten. Darüber hinaus muss ein Approximationsschema genau und stabil sein.

Für FP-Gleichungen auf begrenzte Bereiche untersuchen wir das Chang-Cooper (CC) Schema. Wir beweisen, dass die Diskretisierungsmethoden genau, bedingt stabil und konservativ sind, und Positivität bewahren.  Als nächstes diskutieren wir FP Gleichungen in unbeschränkten Gebieten und wir wählen die Hermite spektrale Diskretisierung. Die resultierenden diskretisierten Schemata werden analysiert. Stabilität und spektrale Genauigkeit der Hermiten spektralen Diskretisierung ist bewiesen. Darüber hinaus untersuchen wir die Konservativität der numerischen Lösungen der FP Gleichungen.

Im letzten Teil dieser Arbeit diskutieren wir Probleme der optimalen Steuerung, die von FP Gleichungen geregelt werden. Wir untersuchen dann die Hermite spektrale Diskretisierung von FP Optimalitätssystemen in unbeschränkten Gebieten. Wir erhalten spärliche Band-Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen. Wir analysieren die Genauigkeit der Diskretisierungsmethoden, indem wir spektrale Konvergenz bei der Annäherung des zustandes, das Adjoint, und die Stellgrößen, die in den FP Optimalitätssystemen erscheinen, aufzeigen.

Um unsere theoretischen Schätzungen zu bestätigen, präsentieren wir Ergebnisse von numerischen Experimenten.
KW  - Fokker-Planck-Gleichung
KW  - Fokker-Planck optimality systems
Y1  - 2015
U6  - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-111494
ER  -