TY - BOOK A1 - Marohn, Frank T1 - On statistical information of extreme order statistics N2 - No abstract available KW - Rangstatistik KW - Extremwert KW - Statistik Y1 - 1990 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-47866 N1 - Zugl.: Siegen, Univ.-Gesamthochschule, Diss., 1990 ER - TY - JOUR A1 - Marohn, Frank T1 - Global sufficiency of extreme order statistics in location models of Weibull type N2 - In Janssen and Reiss (1988) it was shown that in a location model of a Weibull type sample with shape parameter -1 < a < 1 the k(n) lower extremes are asymptotically local sufficient. In the present paper we show that even global sufficiency holds. Moreover, it turns out that convergence of the given statistical experiments in the deficiency metric does not only hold for compact parameter sets but for the whole real line. KW - Extremwertstatistik KW - Weibull-Verteilung Y1 - 1991 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-47874 ER - TY - CHAP A1 - Falk, Michael A1 - Marohn, Frank T1 - Laws of small numbers : Some applications to conditional curve estimation N2 - No abstract available KW - Gesetz der kleinen Zahlen KW - Poisson-Prozess KW - Regressionsanalyse KW - Extremwertstatistik Y1 - 1992 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-45841 N1 - Essays to the memory of Professor Jozsef Mogyorodi ER - TY - JOUR A1 - Falk, Michael A1 - Marohn, Frank T1 - Von Mises condition revisited N2 - It is shown that the rate of convergence in the von Mises conditions of extreme value theory determines the distance of the underlying distribution function F from a generalized Pareto distribution. The distance is measured in terms of the pertaining densities with the limit being ultimately attained if and only if F is ultimately a generalized Pareto distribution. Consequently, the rate of convergence of the extremes in an lid sample, whether in terms of the distribution of the largest order statistics or of corresponding empirical truncated point processes, is determined by the rate of convergence in the von Mises condition. We prove that the converse is also true. KW - Von Mises conditions KW - extreme value theory KW - extreme value distribution KW - extreme order statistics KW - generalized Pareto distribution Y1 - 1993 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-45790 ER - TY - JOUR A1 - Falk, Michael A1 - Marohn, Frank T1 - Asymptotically optimal tests for conditional distributions N2 - No abstract available Y1 - 1993 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-45823 ER - TY - JOUR A1 - Zillober, Christian T1 - A globally convergent version of the method of moving asymptotes N2 - No abstract available Y1 - 1993 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-31984 ER - TY - JOUR A1 - Kredler, Christian A1 - Zillober, Christian A1 - Johannes, Frank A1 - Sigl, Georg T1 - An application of preconditioned conjugate gradients to relative placement in chip design N2 - In distance geometry problems and many other applications, we are faced with the optimization of high-dimensional quadratic functions subject to linear equality constraints. A new approach is presented that projects the constraints, preserving sparsity properties of the original quadratic form such that well-known preconditioning techniques for the conjugate gradient method remain applicable. Very-largescale cell placement problems in chip design have been solved successfully with diagonal and incomplete Cholesky preconditioning. Numerical results produced by a FORTRAN 77 program illustrate the good behaviour of the algorithm. Y1 - 1993 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-31996 ER - TY - CHAP A1 - Zillober, Christian T1 - Sequential convex programming in theory and praxis N2 - In this paper, convex approximation methods, suclt as CONLIN, the method of moving asymptotes (MMA) and a stabilized version of MMA (Sequential Convex Programming), are discussed with respect to their convergence behaviour. In an extensive numerical study they are :finally compared with other well-known optimization methods at 72 examples of sizing problems. Y1 - 1993 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-35513 ER - TY - JOUR A1 - Janssen, A. A1 - Marohn, Frank T1 - On statistical information of extreme order statistics, local extreme value alternatives, and Poisson point processes N2 - The aim of the present paper is to clarify the role of extreme order statistics in general statistical models. This is done within the general setup of statistical experiments in LeCam's sense. Under the assumption of monotone likelihood ratios, we prove that a sequence of experiments is asymptotically Gaussian if, and only if, a fixed number of extremes asymptotically does not contain any information. In other words: A fixed number of extremes asymptotically contains information iff the Poisson part of the limit experiment is non-trivial. Suggested by this result, we propose a new extreme value model given by local alternatives. The local structure is described by introducing the space of extreme value tangents. It turns out that under local alternatives a new class of extreme value distributions appears as limit distributions. Moreover, explicit representations of the Poisson limit experiments via Poisson point processes are found. As a concrete example nonparametric tests for Frechet type distributions against stochastically larger alternatives are treated. We find asymptotically optimal tests within certain threshold models. Y1 - 1994 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-45816 ER - TY - CHAP A1 - Marohn, Frank T1 - On testing the exponential and Gumbel distribution N2 - No abstract available KW - Gumbel-Verteilung KW - Extremal–I–Verteilung KW - generalized Pareto distribution KW - extreme value distribution Y1 - 1994 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-45804 ER - TY - JOUR A1 - Marohn, Frank T1 - Asymptotic sufficiency of order statistics for almost regular Weibull type densities N2 - Consider a location family which is defined via a Weibull type density having shape parameter a = 1. We treat the problem, which portion of the order statistics is asymptotically sufficient. It turns out that the intermediate order statistics are relevant. KW - Weibull type density KW - intermediate order statistics KW - asymptotic sufficiency KW - local asymptotic normality Y1 - 1994 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-45837 ER - TY - THES A1 - Keilbach, Rupert T1 - Minimalflächen und Björlingsches Problem in der Relativgeometrie T1 - Minimal surfaces and Björling's problem in relative geometry N2 - In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit Themen aus der affinen Hyperflächentheorie. Nachdem wir die euklidische Normale, die Blaschkesche Affinnormale, eine gewisse Einparameterfamilie von Relativnormalen und die zentroaffine Normale besprochen und eine neue Einparameterfamilie von Relativnormalen definiert haben, behandeln wir die folgenden drei Schwerpunkte: Zuerst befassen wir uns mit Minimalflächen bezüglich verschiedener Volumina und der Rolle der jeweiligen Mittleren Krümmung. Wir berechnen die erste und zweite Variation der Volumina, die von den Normalen der erwähnten Familien induziert werden. Hierbei stellen wir fest, daß die Mittlere Krümmung nicht immer das Verschwinden der ersten Variation des Volumens anzeigt. Anschließend übertragen wir die Begriffe Adjungierte und Assoziierte bei euklidischen Minimalflächen auf Affinminimalflächen: Analog zum euklidischen Fall kann man die Konormale einer Affinminimalfläche durch bestimmte ,,harmonische'' Abbildungen darstellen. Wir geben eine Methode an, wie man aus einer gegebenen Affinminimalfläche weitere gewinnt, indem man diese Abbildungen entsprechend modifiziert. Schließlich lösen wir eine Verallgemeinerung des Björlingschen Problems für Normalen der oben erwähnten Familien: Bei Vorgabe einer Kurve mit zwei Vektorfeldern und der Art der Normalisierung existiert - mit Ausnahmen - je genau eine elliptische und eine hyperbolische Fläche in (pseudo-)isothermen Parametern mit folgenden Eigenschaften: Die Kurve ist eine Parameterlinie, die Normale längs der Kurve stimmt mit dem einen Vektorfeld überein, die Konormale mit dem anderen und die Mittlere und Gaußsche Krümmung erfüllen eine vorgegebene Bedingung. N2 - In this paper we deal with topics of the theory of affine hypersurfaces. After having discussed the euclidean normal, the Blaschke affine normal, a certain one-parameter family of relative normals, and the centroaffine normal and having defined a new one-parameter family of relative normals we treat the following three main subjects: First we examine minimal surfaces relative to different volumes and the influence of the respective mean curvature. We compute the first and second variation of the volumes induced by the normals of the mentioned families. With this we state that the mean curvature does not indicate allways the vanishing of the first variation of the volume. Subsequently we extend the terms adjoint and associated surfaces from euclidean minimal surfaces to affine minimal surfaces: In a similar way as in the euclidean case one can represent the conormal of an affine minimal surface by certain ''harmonic'' mappings. We present a method how to obtain from a given affine minimal surface other ones by modifying these mappings accordingly. Finally we solve a generalization of Björling' s problem for normals of the families mentioned above: Given a curve with two vector fields and the kind of the normalisation there exists - with exceptions - both a unique elliptic and a unique hyperbolic surface in (pseudo-)isothermic parameters with the following properties: The curve is a parameter line, the normal along the curve corresponds with one of the vector fields, the conormal with the other one, and the mean and Gaussian curvature satisfy a given condition. KW - Minimalfläche KW - Relativnormale KW - Relativnormale KW - Affinnormal KW - euklidische Normale KW - zentroaffine Normale KW - Volumen KW - Affinminimalfläche KW - Minimalfläche KW - Mittlere Krümmung KW - relative normal KW - affine normal KW - euclidean normal KW - centroaffine normal KW - volume KW - affine minimal surface KW - minimal surface KW - mean curvature Y1 - 2000 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-2782 ER - TY - THES A1 - Keßler, Manuel T1 - Die Ladyzhenskaya-Konstante in der numerischen Behandlung von Strömungsproblemen T1 - Ladyzhenskaya's Constant in the Numerical Treatment of Fluid Flow Problems N2 - Charakteristisch für die Lösbarkeit von elliptischen partiellen Differentialgleichungssystemen mit Nebenbedingungen ist das Auftreten einer inf-sup-Bedingung. Im prototypischen Fall der Stokes-Gleichungen ist diese auch als Ladyzhenskaya-Bedingung bekannt. Die Gültigkeit dieser Bedingung, bzw. die Existenz der zugehörigen Konstante ist eine Eigenschaft des Gebietes, innerhalb dessen die Differentialgleichung gelöst werden soll. Während die Existenz schon die Lösbarkeit garantiert, ist beispielsweise für Fehleraussagen bei der numerischen Approximation auch die Größe der Konstanten sehr wichtig. Insbesondere auch deshalb, weil eine ähnliche inf-sup-Bedingung auch bei der Diskretisierung mittel Finiter-Elemente-Methoden auftaucht, die hier Babuska-Brezzi-Bedingung heißt. Die Arbeit befaßt sich auf der einen Seite mit einer analytischen Abschätzung der Ladyzhenskaya-Konstante für verschiedene Gebiete, wobei Äquivalenzen mit verwandten Problemen aus der komplexen Analysis (Friedrichs-Ungleichung) und der Strukturmechanik (Kornsche Ungleichung) benutzt werden. Ein weiterer Teil befaßt sich mit dem Zusammenhang zwischen kontinuierlicher Ladyzhenskaya- Konstante und diskreter Babuska-Brezzi-Konstante. Die dabei gefundenen Ergebnisse werden mit Hilfe eines dazu entwickelten leistungsfähigen Finite-Elemente-Programmsystems numerisch verifiziert. Damit können erstmals genaue Abschätzungen der Konstanten in zwei und drei Dimensionen gefunden werden. Aufbauend auf diesen Resultaten wird ein schneller Lösungsalgorithmus für die Stokes-Gleichungen vorgeschlagen und anhand von problematischen Gebieten dessen Überlegenheit gegenüber klassischen Verfahren wie beispielsweise der Uzawa-Iteration demonstriert. Während selbst bei einfachen Geometrien eine Konvergenzbeschleunigung um einen Faktor 5 erwartet werden kann, sind in kritischen Fällen Faktoren bis zu 1000 möglich. N2 - Characteristic for the existence and uniqueness of solutions of elliptic partial differential equation systems with constraints is the occurence of an inf-sup condition. For the typical example of Stokes's equations this is known as Ladyzhenskaya's condition. The validity of this condition or the existence of the corresponding constant is a property of the solution domain under consideration. While simple existence is sufficient for existence and uniqueness of a solution, the size of the constant is also of great interest, for example for error estimation of numerical approximations. An equivalent inf-sup condition is known for finite element discretisations of Stokes's equations. In this context it is called Babuska-Brezzi condition. This thesis is partly concerned with analytical estimates for the size of Ladyzhenskaya's constant. Since the problem is equivalent with another one from complex analysis (Friedrichs's inequality) and one from structural mechanics (Korn's equation), simpler techniques valid for those equations are used for the analysis of the present case. Another topic is the correspondence between the continous condition of Ladyzhenskaya and the discrete one of Babuska-Brezzi. The analytical findings are numerically verified by computations with a specially developed finite element system. For the first time precise estimates for the constants in two and three dimensions may be found. Using these results a fast solution algorithm for Stokes's equations is proposed. On some problematic domains it is demonstrated that the new algorithm is far superior to classic algorithms like Uzawa's iteration. While for simple geometries convergence is sped up by a factor of 5, in critical situations even a 1000 times faster convergence is possible. KW - Stokes-Gleichung KW - Stabilität KW - Finite-Elemente-Methode KW - Ladyzhenskaya Konstante KW - Babuska Brezzi Bedingung KW - Stokes Gleichung KW - Finite Elemente Methode KW - Uzawa Verfahren KW - Spektraltheorie KW - Eigenwert KW - Ladyzhenskaya constant KW - Babuska Brezzi condition KW - Stokes equation KW - finite element method KW - Uzawa iteration KW - spectral theory Y1 - 2000 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-2791 ER - TY - THES A1 - Dirr, Gunther T1 - Differentialgleichungen in Frécheträumen T1 - Differential equations in Fréchet Spaces N2 - Teil 1 der Arbeit beinhaltet eine Zusammenfassung grundlegender funktionalanalytischer Ergebnisse sowie eine Einführung in die Integral- und Differentialrechnung in Frécheträumen. Insbesondere wird in Kapitel 2 eine ausführliche Darstellung des Lebesgue-Bochner-Integrals auf Frécheträumen geliefert. Teil 2 behandelt die Theorie der linearen Differentialgleichungen auf Frécheträumen. Dazu werden in Kapitel 3 stark differenzierbare Halbgruppen und deren infinitesimale Generatoren charakterisiert. In Kapitel 4 werden diese Ergebnisse benutzt, um lineare Evolutionsgleichungen (von hyperbolischem oder parabolischem Typ) zu untersuchen. Teil 3 enthält die zentralen Resultate der Arbeit. In Kapitel 5 werden zwei Existenz- und Eindeutigkeitssätze für nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichungen in zahmen Frécheträumen bewiesen. Kapitel 6 liefert eine Anwendung der Ergebnisse aus Kapitel 5 auf nichtlineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung. N2 - The first part of this thesis gives a summary on some basic results in functional analysis and an introduction to calculus in Fréchet spaces. Particularly, a detailed treatment of the Lebesgue-Bochner integral in Fréchet spaces is developed in chapter 2. Part 2 is devoted to the theory of linear differential equations in Fréchet spaces. Strongly differential semigroups and their infinitesimal generators are characterized in chapter 3. These results are used in chapter 4 to study linear evolution equations (of hyperbolic or parabolic type). The main results of this thesis are contained in part 3. In chapter 5 two existence and uniqueness theorems for nonlinear ordinary differential equations in tame Fréchet spaces are proved. Theses results are applied in chapter 6 to nonlinear partial differential equations of first order. KW - Differentialgleichung KW - Fréchet-Raum KW - gewöhnliche Differentialgleichungen KW - partielle Differentialgleichungen KW - Frécheträume KW - ordinary differential equations KW - partial differential equations KW - Fréchet spaces Y1 - 2001 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-1180417 ER - TY - THES A1 - Dittmann, Ulrich T1 - Coset Types and Tight Subgroups of Almost Completely Decomposable Groups T1 - Nebenklassentypen und tight Untergruppen von fast vollständig zerlegbaren Gruppen N2 - A completely decomposable group is a direct sum of subgroups of the rationals. An almost completely decomposable group is a torsion free abelian group that contains a completely decomposable group as subgroup of finite index. Tight subgroups are maximal subgroups (with respect to set inclusion) among the completely decomposable subgroups of an almost completely decomposable group. In this dissertation we show an extended version of the theorem of Bezout, give a new criterion for the tightness of a completely decomposable subgroup, derive some conditions under which a tight subgroup is regulating and generalize a theorem of Campagna. We give an example of an almost completely decomposable group, all of whose regulating subgroups do not have a quotient with minimal exponent. We show that among the types of elements of a coset modulo a completely decomposable group there exists a unique maximal type and define this type to be -the- coset type. We give criteria for tightness and regulating in term of coset types as well as a representation of the type subgroups using coset types. We introduce the notion of reducible cosets and show their key role for transitions from one completely decomposable subgroup up to another one containing the first one as a proper subgroup. We give an example of a tight, but not regulating subgroup which contains the regulator. We develop the notion of a fully single covered subset of a lattice, show that V-free implies fully single covered, but not necessarily vice versa, and we define an equivalence relation on the set of all finite subsets of a given lattice. We develop some extension of ordinary Hasse diagrams, and apply the lattice theoretic results on the lattice of types and almost completely decomposable groups. N2 - Eine vollständig zerlegbare Gruppe ist eine direkte Summe von Untergruppen der rationalen Zahlen. Eine fast vollständig zerlegbare Gruppe ist eine torsionsfreie abelsche Gruppe, die eine vollständig zerlegbare Gruppe als Untergruppe von endlichem Index enthält. Tight Untergruppen sind bezüglich Mengeninklusion maximale Elemente der Menge der vollständig zerlegbaren Untergruppen einer fast vollständig zerlegbaren Gruppe. In dieser Dissertation zeigen wir eine erweiterte Version des Satzes von Bezout, geben ein neues Kriterium an, mit dem festgestellt werden kann, ob eine Untergruppe tight ist, leiten daraus einige Bedingungen ab, unter denen eine tight Untergruppe regulierend ist, und verallgemeinern einen Satz von Campagna. Wir geben ein Beispiel einer fast vollständig zerlegbaren Gruppe an, deren sämtliche regulierende Untergruppen nicht minimalen Exponenten des Quotienten haben. Wir zeigen, daß unter den Typen der Elemente einer Nebenklasse modulo einer vollständig zerlegbaren Gruppe ein eindeutig definierter maximaler Typ existiert und nennen diesen Typen -den- Nebenklassentypen. Wir geben Kriterien für tight und regulierend mit Hilfe von Nebenklassentypen, sowie eine Darstellung der Typenuntergruppen. Wir führen den Begriff der reduziblen Nebenklassen ein und zeigen die Schlüsselrolle, die diese beim Übergang von einer vollständig zerlegbaren Untergruppe zu einer anderen, die die erste enthält, haben. Wir geben ein Beispiel einer tight Untergruppe an, die nicht regulierend ist, aber den Regulator enthält. Wir führen den Begriff einer "fully single covered" Untermenge eines Verbandes ein, zeigen daß V-frei "fully single covered" impliziert, aber nicht umgekehrt, und definieren eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller endlichen Untermengen eines Verbandes. Wir entwickeln eine Erweiterung der üblichen Hasse Diagramme und wenden die verbandstheoretischen Ergebnisse auf die Typenmenge fast vollständig zerlegbarer Gruppen an. KW - Torsionsfreie Abelsche Gruppe KW - Untergruppe KW - Restklasse KW - Regulator KW - fast vollständig zerlegbare Gruppe KW - tight KW - regulierend KW - Regulator KW - almost completely decomposable group KW - tight KW - regulating KW - regulator Y1 - 2001 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-2762 ER - TY - THES A1 - Nahler, Michael T1 - Isomorphism classes of almost completely decomposable groups T1 - Isomorphieklassen fast vollständig zerlegbarer Gruppen N2 - In this thesis we investigate near-isomorphism classes and isomorphism classes of almost completely decomposable groups. In Chapter 2 we introduce the concept of almost completely decomposable groups and sum up their most important facts. A local group is an almost completely decomposable group with a primary regulator quotient. A uniform group is a rigid local group with a homocyclic regulator quotient. In Chapter 3 a weakening of isomorphism, called type-isomorphism, appears. It is shown that type-isomorphism agrees with Lady's near-isomorphism. By the Main Decomposition Theorem and the Primary Reduction Theorem we are allowed to restrict ourselves on clipped local groups, namely groups without a direct rank-one summand. In Chapter 4 we collect facts of matrices over commutative rings with an identity element. Matrices over the local ring (Z / p^e Z) of residue classes of the rational integers modulo a prime power play an important role. In Chapter 5 we introduce representing matrices of finite essential extensions. Here a normal form for local groups is found by the Gauß algorithm. Uniform groups have representing matrices in Hermite normal form. The classification problems for almost completely decomposable groups up to isomorphism and up to near-isomorphism can be rephrased as equivalence problems for the representing matrices. In Chapter 6 we derive a criterion for the representing matrices of local groups in Gauß normal form. In Chapter 7 we formulate the matrix criterion for uniform groups. Two representing matrices in Hermite normal form describe isomorphic groups if and only if the rest blocks of the representing matrices are T-diagonally equivalent. Starting from a fixed near-isomorphism class in Chapter 8 we investigate isomorphism classes of uniform groups. We count groups and isomorphism classes. In Chapter 9 we specialize on uniform groups of rank 2r with a regulator quotient of rank r such that the rest block of the representing matrix is invertible and normed. N2 - In dieser Dissertation untersuchen wir Near-Isomorphieklassen und Isomorphieklassen von fast vollständig zerlegbaren Gruppen. In Kapitel 2 führen wir den Begriff von fast vollständig zerlegbaren Gruppen ein und fassen ihre wichtigsten Eigenschaften zusammen. Eine lokale Gruppe ist eine fast vollständig zerlegbaren Gruppe mit einem primären Regulatorquotienten. Eine uniforme Gruppe ist eine rigid lokale Gruppe mit einem homozyklischen Regulatorquotienten. In Kapitel 3 erscheint eine Abschwächung von Isomorphie, genannt Typ-Isomorphie. Es wurde gezeigt, dass Typ-Isomorphie mit der Near-Isomorphie von Lady übereinstimmt. Wegen des Hauptzerlegungssatzes und des primären Reduktionssatzes können wir uns auf clipped lokale Gruppen beschränken, also Gruppen ohne direkten Rang-eins Summanden. In Kapitel 4 sammeln wir Eigenschaften von Matrizen über kommutativen Ringen mit Eins. Matrizen über dem lokalen Ring (Z / p^e Z) von Restklassen modulo einer Primzahlpotenz spielen eine wichtige Rolle. In Kapitel 5 führen wir Darstellungsmatrizen von endlichen wesentlichen Erweiterungen ein. Hier wird eine Normalform für lokale Gruppen mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus gefunden. Uniforme Gruppen haben eine Darstellungsmatix in Hermite Normalform. Die Klassifikationsprobleme von fast vollständig zerlegbaren Gruppen bis auf Isomorphie und bis auf Near-Isomorphie können als Äquivalenzprobleme für die Darstellungsmatrizen umformuliert werden. In Kapitel 6 leiten wir ein Kriterium ab für die Darstellungsmatrizen von lokalen Gruppen in Gaußscher Normalform. In Kaptel 7 formulieren wir das Matrixkriterium für uniforme Gruppen. Zwei Darstellungsmatrizen in Hermite Normalform beschreiben genau dann isomorphe Gruppen, wenn die Restblöcke ihrer Darstellungsmatrizen T-diagonal äquivalent sind. Ausgehend von einer festgehaltenen Near-Isomorphieklasse untersuchen wir Isomorphieklassen von uniformen Gruppen in Kapitel 8. Wir zählen Gruppen und Isomorphieklassen. In Kapitel 9 spezialisieren wir uns auf uniforme Gruppen vom Rang 2r und mit einem Regulatorquotienten vom Rang r, so dass der Restblock der Darstellungsmatrix invertierbar und normiert ist. KW - Fast vollständig zerlegbare Gruppe KW - Isomorphieklasse KW - Darstellungsmatrix KW - fast vollständig zerlegbare Gruppe KW - isomorph KW - near-isomorph KW - Isomorphie KW - Near-Isomorphie KW - Darstellungsmatrix KW - almost completely decomosable group KW - isomorphic KW - near-isomorphic KW - isomorpism KW - near-isomorphism KW - representing matrix Y1 - 2001 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-2817 ER - TY - THES A1 - Trumpf, Jochen T1 - On the geometry and parametrization of almost invariant subspaces and observer theory T1 - Über die Geometrie und Parametrisierung von fast invarianten Unterräumen und Beobachtertheorie N2 - In my Ph.D. thesis "On the geometry and parametrization of almost invariant subspaces and observer theory" I consider the set of almost conditioned invariant subspaces of fixed dimension for a given fixed linear finite-dimensional time-invariant observable control system in state space form. Almost conditioned invariant subspaces were introduced by Willems. They generalize the concept of a conditioned invariant subspace requiring the invariance condition to hold only up to an arbitrarily small deviation in the metric of the state space. One of the goals of the theory of almost conditioned invariant subspaces was to identify the subspaces appearing as limits of sequences of conditioned invariant subspaces. An example due to {\"O}zveren, Verghese and Willsky, however, shows that the set of almost conditioned invariant subspaces is not big enough. I address this question in a joint paper with Helmke and Fuhrmann (Towards a compactification of the set of conditioned invariant subspaces, Systems and Control Letters, 48(2):101-111, 2003). Antoulas derived a description of conditioned invariant subspaces as kernels of permuted and truncated reachability matrices of controllable pairs of the appropriate size. This description was used by Helmke and Fuhrmann to construct a diffeomorphism from the set of similarity classes of certain controllable pairs onto the set of tight conditioned invariant subspaces. In my thesis I generalize this result to almost conditioned invariant subspaces describing them in terms of restricted system equivalence classes of controllable triples. Furthermore, I identify the controllable pairs appearing in the kernel representations of conditioned invariant subspaces as being induced by corestrictions of the original system to the subspace. Conditioned invariant subspaces are known to be closely related to partial observers. In fact, a tracking observer for a linear function of the state of the observed system exists if and only if the kernel of that function is conditioned invariant. In my thesis I show that the system matrices of the observers are in fact the corestrictions of the observed system to the kernels of the observed functions. They in turn are closely related to partial realizations. Exploring this connection further, I prove that the set of tracking observer parameters of fixed size, i.e. tracking observers of fixed order together with the functions they are tracking, is a smooth manifold. Furthermore, I construct a vector bundle structure for the set of conditioned invariant subspaces of fixed dimension together with their friends, i.e. the output injections making the subspaces invariant, over that manifold. Willems and Trentelman generalized the concept of a tracking observer by including derivatives of the output of the observed system in the observer equations (PID-observers). They showed that a PID-observer for a linear function of the state of the observed system exists if and only if the kernel of that function is almost conditioned invariant. In my thesis I replace PID-observers by singular systems, which has the advantage that the system matrices of the observers coincide with the matrices appearing in the kernel representations of the subspaces. In a second approach to the parametrization of conditioned invariant subspaces Hinrichsen, M{\"u}nzner and Pr{\"a}tzel-Wolters, Fuhrmann and Helmke and Ferrer, F. Puerta, X. Puerta and Zaballa derived a description of conditioned invariant subspaces in terms of images of block Toeplitz type matrices. They used this description to construct a stratification of the set of conditioned invariant subspaces of fixed dimension into smooth manifolds. These so called Brunovsky strata consist of all the subspaces with fixed restriction indices. They constructed a cell decomposition of the Brunovsky strata into so called Kronecker cells. In my thesis I show that in the tight case this cell decomposition is induced by a Bruhat decomposition of a generalized flag manifold. I identify the adherence order of the cell decomposition as being induced by the reverse Bruhat order. N2 - In meiner Doktorarbeit "On the geometry and parametrization of almost invariant subspaces and observer theory" betrachte ich die Menge der fast (C,A)-invarianten Unterräume fester Dimension zu einem vorgegebenen linearen endlichdimensionalen zeitinvarianten beobachtbaren Kontrollsystem in Zustandsraumdarstellung. Der Begriff der fast (C,A)-invarianten Unterräume geht auf Willems zurück. Er verallgemeinert das Konzept eines (C,A)-invarianten Unterraums dahingehend, daß die Invarianzeigenschaft nur bis auf eine beliebig kleine Abweichung in der Metrik des Zustandsraumes erfüllt sein muß. Eines der Ziele der Theorie der fast (C,A)-invarianten Unterräume war es, diejenigen Unterräume zu charakterisieren, die als Grenzwerte von Folgen (C,A)-invarianter Unterräume auftreten. Özveren, Verghese und Willsky haben jedoch ein Beispiel angegeben, das zeigt, daß die Menge der fast (C,A)-invarianten Unterräume hierfür nicht groß genug ist. Auf diese Problematik gehe ich in einer gemeinsamen Arbeit mit U. Helmke und P.A. Fuhrmann (Towards a compactification of the set of conditioned invariant subspaces, Systems and Control Letters, 48(2):101-111, 2003) ein, die nicht Teil meiner Dissertation ist. Antoulas hat eine Beschreibung von (C,A)-invarianten Unterräumen als Kerne von permutierten und abgeschnittenen Erreichbarkeitsmatrizen geeigneter Größe angegeben. Diese Beschreibung benutzen Fuhrmann und Helmke um einen Diffeomorphismus von der Menge der Ähnlichkeitsklassen bestimmter kontrollierbarer Matrizenpaare auf die Menge der "tight" (C,A)-invarianten Unterräume zu konstruieren. In meiner Dissertation verallgemeinere ich dieses Resultat auf fast (C,A)-invariante Unterräume, indem ich sie mit Hilfe von "restricted system equivalence"-Klassen kontrollierbarer Matrizentripel darstelle. Darüberhinaus identifiziere ich die kontrollierbaren Matrizenpaare, die in der Kerndarstellung (C,A)-invarianter Unterräume auftreten, als Korestriktionen des ursprünglichen Systems auf den jeweiligen Unterraum. Es besteht eine enge Verbindung zwischen (C,A)-invarianten Unterräumen und partiellen Beobachtern. In der Tat existiert ein "tracking" Beobachter für eine lineare Funktion des Zustandes des beobachteten Systems genau dann, wenn der Kern dieser Funktion (C,A)-invariant ist. In meiner Dissertation zeige ich, daß die Systemmatrizen der Beobachter mit den Korestriktionen des beobachteten Systems auf die Kerne der beobachteten Funktionen übereinstimmen. Diese wiederum stehen in enger Beziehung zu partiellen Realisierungen. Weiter beweise ich, daß die Menge der "tracking" Beobachter-Parameter fester Größe, das heißt der "tracking" Beobachter fester Ordnung zusammen mit den beobachteten Funktionen, eine glatte Mannigfaltigkeitsstruktur trägt. Ich konstruiere eine Vektorbündelstruktur auf der Menge der (C,A)-invarianten Unterräume fester Dimension zusammen mit ihren "Freunden", das heißt den "output injections", welche den jeweiligen Unterraum invariant machen, wobei die Beobachtermannigfaltigkeit als Basisraum dient. Willems und Trentelman haben das Konzept eines "tracking" Beobachter verallgemeinert, indem sie auch Ableitungen des Ausgangs des beobachteten Systems in die Beobachtergleichungen aufnahmen (PID-Beobachter). Sie haben gezeigt, daß ein PID-Beobachter für eine lineare Funktion des Zustands des beobachteten Systems genau dann existiert, wenn der Kern dieser Funktion fast (C,A)-invariant ist. In meiner Dissertation ersetze ich die PID-Beobachter durch singuläre Systeme, was den Vorteil hat, daß die Systemmatrizen des Beobachters mit den Matrizen übereinstimmen, die in der Kerndarstellung des Unterraums auftauchen. (C,A)-invariante Unterräume lassen sich auch als Bildräume von Block-Toeplitz-Matrizen beschreiben. Hinrichsen, Münzner und Prätzel-Wolters, Fuhrmann und Helmke, und Ferrer, F. Puerta, X. Puerta und Zaballa benutzen diesen Zugang, um eine Stratifizierung der Menge der (C,A)-invarianten Unterräume fester Dimension in glatte Mannigfaltigkeiten zu konstruieren. Diese sogenannten Brunovsky-Strata bestehen aus all den Unterräumen, für die die Einschränkung des Systems auf den Unterraum jeweils vorgegebene Beobachtbarkeitsindizes hat. Obige Autoren konstruieren auch eine Zellzerlegung der Brunovsky-Strata in sogenannte Kronecker-Zellen. In meiner Dissertation zeige ich, daß im "tight" Fall diese Zellzerlegung von einer Bruhat-Zerlegung einer verallgemeinerten Fahnenmannigfaltigkeit induziert wird. Ich identifiziere die Adhärenzordnung der Zellzerlegung als inverse Bruhat-Ordnung. KW - Invarianter Unterraum KW - Kontrollsystem KW - geometrische Kontrolltheorie KW - Parametrisierung KW - Unterräume KW - Beobachter KW - geometric control KW - parametrization KW - subspaces KW - observer Y1 - 2002 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-5034 ER - TY - THES A1 - Staab, Patricia T1 - Geometrische Eigenschaften von Spiraltypflächen T1 - Geometrical Properties of Spiral Type Surfaces N2 - Spiraltypflächen sind Minimalflächen des dreidimensionalen euklidischen Raums, die sich durch hohe Symmetrie gegenüber komplexen Ähnlichkeitsabbildungen der Minimalkurve auszeichnen. Ihren Namen verdanken Sie folgender Eigenschaft: Sie und ihre komplex Homothetischen sind die einzigen auf Spiralflächen abwickelbaren Minimalflächen. Bekannte Spiraltypflächen sind die Spiralminimalflächen (zugleich Minimal- und Spiralflächen) und die Bourflächen (auf Rotationsflächen abwickelbare Minimalflächen). Das Katenoid und die Enneperfläche sind spezielle Bourflächen. In dieser Arbeit werden die Spiraltypflächen auf ihre geometrischen Eigenschaften untersucht. Wir stellen ihre Periodizitäten und Symmetrien fest und versuchen, ausgezeichnete Flächenkurven auf ihnen zu finden. Wir verwenden eine globale Weierstraß-Darstellung der Spiraltypflächen. In dieser Darstellung ergeben die Flächen eine Schar mit einem komplexen Scharparameter. Anhand dieser Darstellung leiten wir sämtliche Symmetrien der Spiraltypflächen zu linearen Ähnlichkeitsabbildungen der Minimalkurve her. Als Spezialfälle erhalten wir die Symmetrien unter Assoziationen und Derivationen (Drehung der Minimalkurve um einen imaginären Drehwinkel), sowie die reellen Symmetrien (Dreh-, Spiegel- und Strecksymmetrien). Unter den Spiraltypflächen gibt es nur zwei translationssymmetrische Flächen. Die Umorientierung einer Spiraltypfläche entspricht (bis auf komplexe Homothetie) dem Vorzeichenwechsel des Flächenparameters. Im Übrigen kann durch einfache Spiegelungen an den Koordinatenebenen beziehungsweise Drehungen um die Koordinatenachsen das Vorzeichen von Real- beziehungsweise Imaginärteil des Flächenparameters umgekehrt werden. Schließlich stellen wir noch ausgezeichnete Flächenkurven auf den Spiraltypflächen vor: Krümmungslinien, Asymptotenlinien und Geodätische, sowie als deren Verallgemeinerungen die Pseudokrümmungslinien und Pseudogeodätischen. N2 - Spiral type surfaces are minimal surfaces of the three-dimensional euclidean space, which are highly symmetric under similarity transformations of the corresponding complex minimal curve. They are named "spiral type" because these surfaces and their complex homothetics are the only minimal surfaces applicable to spiral surfaces. Well-known spiral type surfaces are the spiral minimal surfaces (which are both minimal and spiral) and the Bour surfaces (which are applicable to surfaces of revolution). The catenoid and the Enneper surface are Bour surfaces. In this paper we examine the geometrical properties of spiral type surfaces. We state their periodicities and symmetries and present special curves on these surfaces. We introduce a global Enneper-Weierstrass parameterization of the spiral type surfaces. Hence, the surfaces can be classified using a complex parameter. From this representation we can derive all symmetries under similarity transformations of the minimal curve. These symmetries contain the associations and derivations (i. e. rotations by imaginary angles) of minimal curves and the real mappings (especially rotations, reflections and central dilations). There are only two spiral type surfaces which are symmetric under translations. A change of orientation of a spiral type surface is equivalent to a combination of complex homothety and negation of the surface parameter. Anyway the sign of the real and imaginary part of the surface parameter can be changed by a simple reflection in a coordinate plane or a rotation around a coordinate axis. Finally we present special curves on spiral type surfaces: lines of curvature, asymptotic curves, geodesics, and the generalizations: pseudo curvature lines and pseudo geodesics. KW - Spiraltypfläche KW - Symmetrie KW - Minimalflächen KW - Minimalkurven KW - Spiraltypflächen KW - Spiralflächen KW - mittlere Krümmung KW - Derivation KW - Symmetrien KW - Pseudogeodätische KW - Minimal surfaces KW - minimal curves KW - spiral type surfaces KW - spiral surfaces KW - mean curvature KW - derivation KW - symmetries KW - pseudo geodesics Y1 - 2002 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-3727 ER - TY - THES A1 - Preiß, Martin T1 - Analytizitätseigenschaften gewichteter zentraler Pfade bei monotonen Komplementaritätsproblemen und ihre Ausnutzung T1 - Analyticity properties of weighted central paths arising with monotone complementarity problems and their exploitation N2 - Die vorliegende Arbeit untersucht die Analytizitätseigenschaften unzulässiger Innerer-Punkte Pfade bei monotonen Komplementaritätsproblemen und diskutiert mögliche algorithmische Anwendungen. In Kapitel 2 werden einige matrixanalytische Konzepte und Resultate zusammengestellt, die für die Beweisführung in den folgenden Kapiteln benötigt werden. Kapitel 3 gibt eine genaue Definition der Begriffe "monotones lineares Komplementaritätsproblem" (LCP) bzw. "semidefinites monotones lineares Komplementaritätsproblem" (SDLCP) und zeigt die Grundidee hinter den Innere-Punkte-Verfahren zur Lösung solcher Probleme. Kapitel 4 beinhaltet die analytischen Hauptresultate für monotone Komplementaritätsprobleme. In Abschnitt 4.1 werden einige wohlbekannte Resultate über die Analytizitätseigenschaften unzulässiger Innerer-Punkte-Pfade für LCP's wiedergegeben. Diese werden in Abschnitt 4.2 auf den semidefiniten Fall übertragen. Unter der Annahme, dass das zugrundeliegende SDLCP eine strikt komplementäre Lösung besitzt, wird gezeigt, dass die Inneren-Punkte-Pfade sogar noch im Randpunkt analytisch sind. Kapitel 5 benutzt die Resultate aus Kapitel 4, um die lokal hohe Konvergenzordnung einer Langschrittmethode zur Lösung von SDLCP's zu zeigen. Kapitel 6 führt eine neue Methode zur Lösung von LCP's und SDLCP's mit Hilfe von Inneren-Punkte-Techniken ein. Dabei werden die Pfadfunktionen derart gewählt, dass alle Iterierten auf unzulässigen zentralen Pfaden liegen. Es wird globale und lokale Konvergenz des Verfahrens bewiesen. N2 - This thesis investigates the analyticity properties of infeasible interior point paths arising with monotone complementarity problems and discusses possible algorithmic applications. Chapter 2 summarizes some matrix analytical concepts and results that are needed for the proofs in the following chapters. Chapter 3 defines the terms "monotone linear complementarity problem" (LCP) and "semidefinite monotone linear complementarity problem" (SDLCP) exactly and shows the basic concept behind interior point methods for solving them. Chapter 4 contains the main analytical results for monotone complementarity problems. After repeating some well-known results on the analyticity properties of infeasible interior point paths for LCP's in section 4.1 these results are extended to the semidefinite case in section 4.2. Under the assumption that the underlying SDLCP has a strictly complementary solution it is shown that the interior point paths are analytical even at the boundary point. Chapter 5 uses the results of chapter 4 to show the locally high order of convergence of a long step method for solving SDLCP's. Chapter 6 introduces a new method for solving LCP's and SDLCP's respectively using interior point techniques. Here, the path functions are chosen in such a way that all the iterates are lying on infeasible central paths. Global and local convergence proofs are given. KW - Innere-Punkte-Methode KW - Innere-Punkte-Verfahren KW - unzulässige Innere-Punkte-Pfade KW - semidefinite Komplementaritätsprobleme KW - analytische Fortsetzung KW - Langschrittmethoden KW - interior point methods KW - infeasible interior point paths KW - semidefinite complementarity problems KW - analytical continuation KW - long step methods Y1 - 2002 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-3969 ER - TY - THES A1 - Bletz-Siebert, Oliver T1 - Homogeneous spaces with the cohomology of sphere products and compact quadrangles T1 - Homogene Räume mit der Kohomologie von Sphärenprodukten und kompakte Vierecke N2 - We consider homogeneous spaces G/H with the same rational homotopy as a product of a 1-sphere and a (m+1)-sphere. We show that these spaces have also the rational cohomology of such a sphere product if H is connected and if the quotient has dimension m+2. Furthermore, we prove that if additionally the fundamental group of G/H is cyclic, then G/H is locally a product of a 1-torus and ofA/H, where A/H is a simply connected rational cohomology (m+1)-sphere (and hence classified). If H fails to be connected, then with U as the connected component of H the G-action on the covering space G/U of G/H has connected stabilizers, and the results apply to G/U. To show that under the assumptions above every natural number may be realized as the order of the group of connected components of H we calculate the cohomology of certain homogeneous spaces. We also determine the rational cohomology of the fibre bundle U-->G-->G/U if G/H meets the assumptions above. This is done by considering the respective Leray-Serre spectral sequence. The structure of the cohomology of U-->G-->G/U then gives a second proof for the structure of compact connected Lie groups acting transitively on spaces with the rational homotopy of a product of a 1-sphere and a (m+1)-sphere. Since a quotient of a homogeneous space with the same rational homotopy or cohomology as a product of a 1-sphere and a (m+1)-sphere is not simply connected, there often arises the question whether or not a considered fibre bundle or fibration is orientable. A large amount of space will therefore be given to the problem of showing that certain fibrations are orientable. For compact connected (m+2)-manifolds with cyclic fundamental groups and with the rational homotopy of a product of a 1-sphere and a (m+1)-sphere we show the following: if a connected Lie group acts transitively on the manifold, then the maximal compact subgroups are either transitive, or their orbits are simply connected rational cohomology spheres of codimension 1. Homogeneous spaces with the same rational cohomology or homotopy as a a product of a 1-sphere and a (m+1)-sphere play a role in the study of different types of geometrical objects. They appear for example as focal manifolds of isoparametric hypersurfaces with four distinct principal curvatures. Further examples of such spaces are the point spaces and the line spaces of compact connected generalized quadrangles. We determine the isometry groups of isoparametric hypersurfaces with 4 principal curvatures of multiplicities 1 and m which are transitive on the focal manifold with non-trivial fundamental group. Buildings were introduced by Jacques Tits to give interpretations of simple groups of Lie type. They are a far-reaching generalization of projective spaces, in particular a generalization of projective planes. There is another generalization of projective planes called generalized polygons. A projective plane is the same as a generalized triangle. The generalized polygons are also contained in the class of buildings: they are the buildings of rank 2. To compact quadrangles one can assign a pair of natural numbers called the topological parameters of the quadrangles. We treat the case k=1. It turns out that there are no other point-transitive compact connected Lie groups for (1,m)-quadrangles than the ones for the real orthogonal quadrangles. Furthermore, we solve the problem of three infinite series of group actions which Kramer left as open problems; there are no quadrangles with the homogeneous spaces in question as point spaces (up to maybe a finite number of small parameters in one of the three series). N2 - Es werden homogene Räume G/H mit der rationalen Homotopie von Produkten von einer 1-Sphäre mit einer (m+1)-Sphäre untersucht. Die Ergebnisse werden auf kompakte Vierecke (das sind die sphärischen kompakten Tits-Gebäude vom Typ C2) und auf isoparametrische Hyperflächen angewandt. Wir zeigen, dass die obigen homogenen Räume auch die rationale Kohomologie des jeweiligen Sphärenprodukts haben, falls H zusammenhängend ist und der Quotient die Dimension m+2 besitzt. Die Kohomologie gewisser homogener Räume wird bestimmt, um zu zeigen, dass die Gruppe der Komponenten von H jede beliebige natürliche Zahl als Ordnung besitzen kann. Falls die Fundamentalgruppe von G/H zyklisch ist, dann ist G/H lokal von der Form Tx(A/H) mit einer eindimensionalen Torusgruppe T und einer homogenen einfach-zusammenhängenden rationalen (m+1)-Kohomologiesphäre A/H; letztere sind klassifiziert. Wir bestimmen mit Hilfe der Leray-Serre-Spektralsequenz auch die rationale Kohomologie des Faserbündels U-->G-->G/U für die Zusammenhangskomponente U von H. Ein Quotient mit der rationalen Homotopie eines Produktes einer 1-Sphäre und einer (m+1)-Sphäre ist nicht einfach zusammenhängend. Deshalb tritt häufig die Frage auf, ob gewisse Faserungen orientierbar sind. Diesem Bereich wird viel Raum gewidmet. Wirkt eine Liegruppe transitiv auf einer kompakten Mannigfaltigkeit mit endlicher Fundamentalgruppe, dann wirkt nach einem Ergebnis von Montgomery auch jede maximale kompakte Untergruppe noch transitiv. Dies ist im Allgemeinen falsch für unendliche Fundamentalgruppen. Aber hier wird gezeigt: Wirkt eine zusammenhängende Liegruppe transitiv auf einer kompakten (m+2)-dimensionalen Mannigfaltigkeit mit zyklischer Fundamentalgruppe und mit der rationalen Homotopie eines Produktes einer 1-Sphäre und einer (m+1)-Sphäre, dann sind die maximalen kompakten Untergruppen transitiv oder ihre Bahnen sind alle einfach zusammenhängende rationale (m+1)-Kohomologiesphären. Diese topologischen Ergebnisse werden auf zwei verschieden Arten von geometrischen Objekten angewandt, nämlich auf Fokalmannigfaltigkeiten isoparametrischer Hyperflächen und auf Punkträume kompakter verallgemeinerter Vierecke. Isoparametrische Hyperflächen in Sphären sind abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten mit konstanten Hauptkrümmungen. Wir wenden unsere obigen Resultate an und bestimmen die transitiven isometrischen Wirkungen auf einer Fokalmannigfaltigkeit, falls es vier Hauptkrümmungen gibt und die Fokalmannigfaltigkeit die rationalen Homotopie eines Produktes einer 1-Sphäre mit einer (m+1)-Sphäre besitzt. Viele kompakte zusammenhängende Polygone gestatten eine transitive Wirkung ihrer Automorphismengruppe auf ihrem Punkt- oder Geradenraum. Wegen der Dualität der Rolle von Punkt- und Geradenraum genügt es Punkt-homogene Vierecke zu betrachten. Einem Punkt-homogenen kompakten zusammenhängenden Viereck lässt sich ein Paar (k,m) natürlicher Zahlen zuordnen, die topologischen Parameter des Viereck. Wir behandeln hier den Fall k=1. Es zeigt sich, dass es keine anderen Punkt-transitive Liegruppen gibt als diejenigen für die reellen orthogonalen Vierecke. Zusätzlich beweisen wir, dass es für drei bestimmte Serien von homogenen Räumen (für die die Frage, ob sie zu verallgemeinerten Vierecken gehören, ein offenes Problem war) keine entsprechenden Vierecke mit den homogenen Räumen als Punkträumen gibt. KW - Homogener Raum KW - Kohomologie KW - homogene Raüme KW - Kohomologie KW - Liegruppen KW - verallgemeinerte Vierecke KW - Gebäude KW - homogeneous spaces KW - cohomology KW - Lie groups KW - generalized quadrangles KW - buildings Y1 - 2002 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-3994 ER - TY - THES A1 - Grahl, Jürgen T1 - Blochsches Prinzip, Lückenreihen und Semidualität T1 - Bloch's Principle, Gap Power Series and Semiduality N2 - Ein bekanntes heuristisches Prinzip von A. Bloch beschreibt die Korrespondenz zwischen Kriterien für die Konstanz ganzer Funktionen und Normalitätskriterien. In der vorliegenden Dissertation untersuchen wir die Gültigkeit des Blochschen Prinzip bei Lückenreihenproblemen sowie Zusammenhänge zwischen Normalitätsfragen und der Semidualität von einer bzw. von zwei Funktionen. Die ersten beiden Kapitel stellen die im folgenden benötigten Hilfsmittel aus der Nevanlinnaschen Wertverteilungstheorie und der Normalitätstheorie bereit. Im dritten Kapitel beweisen wir ein neues Normalitätskriterium für Familien holomorpher Funktionen, für die ein Differentialpolynom einer bestimmten Gestalt nullstellenfrei ist. Dies verallgemeinert frühere Resultate von Hayman, Drasin, Langley und Chen & Hua. Kapitel 4 ist dem Beweis eines unserer im folgenden wichtigsten Hilfsmittel gewidmet: eines tiefliegenden Konvergenzsatzes von H. Cartan über Familien von p-Tupeln holomorpher nullstellenfreier Funktionen, welche einer linearen Relation unterliegen. In Kapitel 5 werden die Konzepte der Dualität und Semidualität eingeführt und die Verbindung zu Normalitätsfragen diskutiert. Die neuen Ergebnisse über Lückenreihen finden sich im sechsten Kapitel. Der Schwerpunkt liegt hierbei zum einen auf sog. AP-Lückenreihen, zum anderen auf allgemeinen Konstruktionsverfahren, mit denen sich neue semiduale Lückenstrukturen aus bereits bekannten gewinnen lassen. Zahlreiche unserer Beweise beruhen wesentlich auf dem Satz von Cartan aus Kapitel 4. Im siebten Kapitel erweitern wir unsere Semidualitätsuntersuchungen auf Mengen aus zwei Funktionen. Wir ziehen Normalitätskriterien (vor allem das in Kapitel 3 bewiesene sowie den Satz von Cartan) heran, um spezielle Mengen als nichtsemidual zu identifizieren. Zuletzt konstruieren wir ein Beispiel einer semidualen Menge aus zwei Funktionen. N2 - A well-known heuristic principle by A. Bloch describes the correspondence between criteria for an entire function being constant and normality criteria. In this thesis we investigate Bloch's Principle in the context of gap power series and connections between normality questions and the question of semiduality of a single function or a set of two functions. The first two chapters provide necessary tools from Nevanlinna's Theory of value distribution and from normality theory. In the third chapter we prove a new normality criterion for families of analytic functions for which a differential polynomial of a certain type is nonvanishing. This extends former results of Hayman, Drasin, Langley and Chen & Hua. Chapter 4 is devoted to the proof of a tool essential for our further investigations: a deep convergence theorem of H. Cartan about families of p-tuples of zero-free analytic functions satisfying a linear relation. In chapter 5 we introduce the concepts of duality and semiduality and discuss connections to normality questions. Our new results on gap power series can be found in chapter 6. Here we focus on so-called AP-gaps and on general methods how to construct new semidual gap structures from already known semidual gap structures. Cartan's Theorem as stated in chapter 4 is crucial for proving most of these results. In chapter 7 we extend our considerations to the question whether sets consisting of two functions are semidual or not. We apply suitable normality criteria (in particular the criterion proved in chapter 3 and Cartan's Theorem) to identify special sets as non-semidual. Finally, we construct an example of a semidual set consisting of two functions. KW - Blochsches Prinzip KW - Semidualtität KW - Lückenreihe KW - Blochsches Prinzip KW - Semidualität KW - Dualität KW - Faltung KW - Lückenreihen KW - normale Familien KW - Satz von Cartan KW - Bloch's Principle KW - semiduality KW - duality KW - convolution KW - gap power series KW - normal families KW - Cartan's Theorem Y1 - 2002 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-3477 ER - TY - THES A1 - Wolfrom, Martin T1 - Isoparametric hypersurfaces with a homogeneous focal manifold T1 - Isoparametrische Hyperflächen mit einer homogenen Fokalmannigfaltigkeit N2 - The classification of isoparametric hypersurfaces in spheres with a homogeneous focal manifold is a project that has been started by Linus Kramer. It extends results by E. Cartan and Hsiang and Lawson. Kramer does most part of this classification in his Habilitationsschrift. In particular he obtains a classification for the cases where the homogeneous focal manifold is at least 2-connected. Results of E. Cartan, Dorfmeister and Neher, and Takagi also solve parts of the classification problem. This thesis completes the classification. We classify all closed isoparametric hypersurfaces in spheres with g>2 distinct principal curvatures one of whose multiplicities is 2 such that the lower dimensional focal manifold is homogeneous. The methods are essentially the same as in Kramer's 'Habilitationsschrift'. The cohomology of the focal manifolds in question is known. This leads to two topological classification problems, which are also solved in this thesis. We classify simply connected homogeneous spaces of compact Lie groups with the same integral cohomology ring as a product of spheres S^2 x S^m and m odd on the one hand and a truncated polynomial ring Q[a]/(a^m) with one generator of even degree and m > 1 as its rational cohomology ring on the other hand. N2 - Die Klassifikation der isoparametrischen Hyperflächen mit einer homogenen Fokalmannigfaltigkeit ist ein Projekt, das von Linus Kramer initiiert wurde. Es verallgemeinert Ergebnisse von E. Cartan und von Hsiang und Lawson. Kramer vollzieht den Großteil dieser Klassifikation in seiner Habilitationsschrift. Genauer gesagt, erhält er eine Klassifikation für die Fälle, in denen die homogene Fokalmannigfaltigkeit mindestens 2-zusammenhängend ist. Ergebnisse von E. Cartan, von Dorfmeister und Neher und von Takagi lösen ebenfalls Teile des Problems. Diese Dissertation schließt die Klassifikation ab. Wir klassifizieren alle abgeschlossenen isoparametrischen Hyperflächen in Sphären mit g>2 verschiedenen Hauptkrümmungen, deren eine Vielfachheit 2 ist, wobei die der Dimension nach kleinere Fokalmannigfaltigkeit homogen ist. Die Methoden sind im Wesentlichen die gleichen wie in Kramers Habilitationsschrift. Die Kohomologie der fraglichen Fokalmannigfaltigkeiten ist bekannt. Dies führt zu zwei topologischen Klassifikationsproblemen, die ebenfalls in dieser Dissertation gelöst werden. Wir klassifizieren einfach zusammenhängende homogene Räume kompakter Lie-Gruppen, welche einerseits den gleichen ganzzahligen Kohomologiering haben wie ein Sphären-Produkt S^2 x S^m, m ungerade, oder andererseits einen abgeschnittenen Polynomring Q[a]/(a^m) in einem Erzeuger von geradem Grad und m>1 als Kohomologiering haben. KW - Isoparametrische Hyperfläche KW - Sphäre KW - Fokalmannigfaltigkeit KW - Klassifikation KW - Homogener Raum KW - Kompakte Lie-Gruppe KW - Kohomologie Y1 - 2002 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-3505 ER - TY - THES A1 - Kraus, Daniela T1 - Conformal pseudo-metrics and some applications T1 - Konforme Pseudo-Metriken und einige Anwendungen N2 - The point of departure for the present work has been the following free boundary value problem for analytic functions $f$ which are defined on a domain $G \subset \mathbb{C}$ and map into the unit disk $\mathbb{D}= \{z \in \mathbb{C} : |z|<1 \}$. Problem 1: Let $z_1, \ldots, z_n$ be finitely many points in a bounded simply connected domain $G \subset \mathbb{C}$. Show that there exists a holomorphic function $f:G \to \mathbb{D}$ with critical points $z_j$ (counted with multiplicities) and no others such that $\lim_{z \to \xi} \frac{|f'(z)|}{1-|f(z)|^2}=1$ for all $\xi \in \partial G$. If $G=\mathbb{D}$, Problem 1 was solved by K?nau [5] in the case of one critical point, and for more than one critical point by Fournier and Ruscheweyh [3]. The method employed by K?nau, Fournier and Ruscheweyh easily extends to more general domains $G$, say bounded by a Dini-smooth Jordan curve, but does not work for arbitrary bounded simply connected domains. In this paper we present a new approach to Problem 1, which shows that this boundary value problem is not an isolated question in complex analysis, but is intimately connected to a number of basic open problems in conformal geometry and non-linear PDE. One of our results is a solution to Problem 1 for arbitrary simply connected domains. However, we shall see that our approach has also some other ramifications, for instance to a well-known problem due to Rellich and Wittich in PDE. Roughly speaking, this paper is broken down into two parts. In a first step we construct a conformal metric in a bounded regular domain $G\subset \mathbb{C}$ with prescribed non-positive Gaussian curvature $k(z)$ and prescribed singularities by solving the first boundary value problem for the Gaussian curvature equation $\Delta u =-k(z) e^{2u}$ in $G$ with prescribed singularities and continuous boundary data. This is related to the Berger-Nirenberg problem in Riemannian geometry, the question which functions on a surface R can arise as the Gaussian curvature of a Riemannian metric on R. The special case, where $k(z)=-4$ and the domain $G$ is bounded by finitely many analytic Jordan curves was treated by Heins [4]. In a second step we show every conformal pseudo-metric on a simply connected domain $G\subseteq \mathbb{C}$ with constant negative Gaussian curvature and isolated zeros of integer order is the pullback of the hyperbolic metric on $\mathbb{D}$ under an analytic map $f:G \to \mathbb{D}$. This extends a theorem of Liouville which deals with the case that the pseudo-metric has no zeros at all. These two steps together allow a complete solution of Problem 1. Contents: Chapter I contains the statement of the main results and connects them with some old and new problems in complex analysis, conformal geometry and PDE: the Uniformization Theorem for Riemann surfaces, the problem of Schwarz-Picard, the Berger-Nirenberg problem, Wittich's problem, etc.. Chapter II and III have preparatory character. In Chapter II we recall some basic results about ordinary differential equations in the complex plane. In our presentation we follow Laine [6], but we have reorganized the material and present a self-contained account of the basic features of Riccati, Schwarzian and second order differential equations. In Chapter III we discuss the first boundary value problem for the Poisson equation. We shall need to consider this problem in the most general situation, which does not seem to be covered in a satisfactory way in the existing literature, see [1,2]. In Chapter IV we turn to a discussion of conformal pseudo-metrics in planar domains. We focus on conformal metrics with prescribed singularities and prescribed non-positive Gaussian curvature. We shall establish the existence of such metrics, that is, we solve the corresponding Gaussian curvature equation by making use of the results of Chapter III. In Chapter V we show that every constantly curved pseudo-metric can be represented as the pullback of either the hyperbolic, the euclidean or the spherical metric under an analytic map. This is proved by using the results of Chapter II. Finally we give in Chapter VI some applications of our results. [1,2] Courant, H., Hilbert, D., Methoden der Mathematischen Physik, Erster/ Zweiter Band, Springer-Verlag, Berlin, 1931/1937. [3] Fournier, R., Ruscheweyh, St., Free boundary value problems for analytic functions in the closed unit disk, Proc. Amer. Math. Soc. (1999), 127 no. 11, 3287-3294. [4] Heins, M., On a class of conformal metrics, Nagoya Math. J. (1962), 21, 1-60. [5] K?nau, R., L?gentreue Randverzerrung bei analytischer Abbildung in hyperbolischer und sph?ischer Geometrie, Mitt. Math. Sem. Giessen (1997), 229, 45-53. [6] Laine, I., Nevanlinna Theory and Complex Differential Equations, de Gruyter, Berlin - New York, 1993. N2 - Der Ausgangspunkt dieser Arbeit war das folgende freie Randwertproblem f? analytische Funktionen $f$, die auf einem Gebiet $G \subset \mathbb{C}$ definiert sind und in den Einheitskreis $\mathbb{D}= \{z \in \mathbb{C} : |z|<1 \}$ abbilden. Problem 1: Es seien $z_1, \ldots, z_n$ endlich viele Punkte in einem beschr?kten einfach zusammenh?genden Gebiet $G \subset \mathbb{C}$. Existiert eine holomorphe Funktion $f:G \to \mathbb{D}$, die genau und nur in $z_j$ kritische Punkte (mit Vielfachheiten gez?lt) besitzt und $\lim_{z \to \xi} \frac{|f'(z)|}{1-|f(z)|^2}=1$ f? alle $\xi \in \partial G$ erf?lt. F? $G=\mathbb{D}$ wurde Problem 1 von K?nau [5] im Fall eines kritischen Punktes gel?t und f? mehr als einen kritischen Punkt von Fournier and Ruscheweyh [3]. Die Methode, die von K?nau, Fournier and Ruscheweyh benutzt wurde, l?st sich auf allgemeinere Gebiete $G$ ?ertragen, aber nicht auf beliebige beschr?kte einfach zusammenh?gende Gebiete. In dieser Arbeit wird ein Zugang zu Problem 1 dargestellt, der das Randwertproblem der Komplexen Analysis mit einer Reihe offener Probleme in der Konformen Geometrie und der Theorie nicht-linearer PDE in Zusammenhang bringt. Insbesondere wird Problem 1 f? beliebige einfach zusammenh?gende Gebiete gel?t. Es wird gezeigt, dass der gew?lte Zugang weitere Verzweigungen aufweist, z.B. zu einem wohlbekannten Problem von Rellich und Wittich in PDE. Die Arbeit besteht aus zwei Hauptteilen. In einem ersten Schritt werden konforme Metriken in einem beschr?kten regul?en Gebiet $G \subset \mathbb{C}$ mit vorgeschriebener nicht-positiver Gau?cher Kr?mung $k(z)$ und vorgeschriebenen Singularit?en konstruiert, indem das erste Randwertproblem f? die Gau?che Kr?mungsgleichung $\Delta u=-k(z) e^{2u}$ in $G$ mit vorgeschriebenen Singularit?en und stetigen Randwerten gel?t wird. Dies steht in Zusammenhang mit dem Berger-Nirenberg Problem, der Frage, welche Funktionen auf einer Riemannschen Fl?he R als Gau?che Kr?mung einer Riemannschen Metrik auf R auftreten k?nen. Der Spezialfall, dass $k(z)=-4$ und das Gebiet $G$ durch endlich viele analytische Jordankurven berandet ist, wurde von Heins [4] gel?t. In einem zweiten Schritt wird gezeigt, dass jede konforme Pseudo-Metrik auf einem einfach zusammenh?genden Gebiet $G \subseteq \mathbb{C}$ mit konstanter negativer Gau?cher Kr?mung und isolierten Nullstellen ganzzahliger Ordnung die Zur?kholung der hyperbolischen Metrik auf $\mathbb{D}$ unter einer holomorphen Funktion $f:G \to \mathbb{D}$ ist. Dies erweitert einen Satz von Liouville, der den Fall einer nullstellenfreien Pseudo-Metrik behandelt. Die beschriebenen zwei Schritte l?en Problem 1 vollst?dig. Inhaltsangabe: Kapitel I enth?t die Ergebnisse der Arbeit und stellt den Zusammenhang mit alten und neuen Problemen in Komplexer Analysis, Konformer Geometrie, und PDE dar: dem Uniformisierungssatz f? Riemannsche Fl?hen, dem Problem von Schwarz-Picard, dem Berger-Nirenberg Problem, Wittichs Problem, etc.. In Kapitel II wird an grundlegende Ergebnisse gew?nlicher Differentialgleichungen in der komplexen Ebene erinnert. Die Darstellung folgt Laine [6]. Das Material ist reorganisiert und enth?t eine Auflistung der wichtigsten Gesichtspunkte von Riccati und Schwarzschen Differentialgleichungen sowie Differentialgleichungen zweiter Ordnung. In Kapitel III wird das erste Randwertproblem f? die Poisson Gleichung diskutiert. Es wird in gr秤ter Allgemeinheit betrachtet, da es scheinbar in der vorhandenen Literatur nicht in einer befriedigenden Weise behandelt wird, siehe [1,2]. In Kapitel IV werden Pseudo-Metriken in ebenen Gebieten diskutiert. Im Mittelpunkt stehen Metriken mit vorgeschriebenen Singularit?en und vorgeschriebener nicht-positiver Gau?cher Kr?mung. Die Existenz solcher Metriken wird mithilfe der Ergebnisse aus Kapitel III bewiesen. In Kapitel V wird gezeigt, dass sich jede Pseudo-Metrik konstanter Kr?mung als Zur?kholung der hyperbolischen, der euklidischen oder der sph?ischen Metrik unter einer analytischen Funktion darstellen l?st. Hierf? werden die Ergebnisse aus Kapitel II herangezogen. Einige Anwendungen der Ergebnisse befinden sich in Kaptil VI. [1,2] Courant, H., Hilbert, D., Methoden der Mathematischen Physik, Erster/ Zweiter Band, Springer-Verlag, Berlin, 1931/1937. [3] Fournier, R., Ruscheweyh, St., Free boundary value problems for analytic functions in the closed unit disk, Proc. Amer. Math. Soc. (1999), 127 no. 11, 3287-3294. [4] Heins, M., On a class of conformal metrics, Nagoya Math. J. (1962), 21, 1-60. [5] K?nau, R., L?gentreue Randverzerrung bei analytischer Abbildung in hyperbolischer und sph?ischer Geometrie, Mitt. Math. Sem. Giessen (1997), 229, 45-53. [6] Laine, I., Nevanlinna Theory and Complex Differential Equations, de Gruyter, Berlin - New York, 1993. KW - Freies Randwertproblem KW - Pseudometrik KW - konforme Pseudo-Metriken KW - freies Randwertproblem KW - Darstellung vonPseudo-Metriken KW - Poisson Gleichung KW - erstes Randwertproblem in PDE KW - conformal pseudo-metrics KW - representation of pseudo-metrics KW - Poisson equation KW - first boundary value problem in PDE Y1 - 2003 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-9193 ER - TY - THES A1 - Nagel, Christian T1 - Glättungsverfahren für semidefinite Programme T1 - Smoothing-type Methods for Semidefinite Programs N2 - In dieser Arbeit werden Algorithmen zur Lösung von linearen semidefiniten Programmen beschrieben. Unter einer geeigneten Regularitätsvoraussetzung ist ein semidefinites Programm äquivalent zu seinen Optimalitätsbedingungen. Die Optimalitätsbedingungen bzw. die Zentralen-Pfad-Bedingungen überführen wir zunächst durch matrixwertige NCP-Funktionen in ein nichtlineares Gleichungssystem. Dieses nichtlineare und teilweise nicht differenzierbare Gleichungssystem lösen wir dann mit einem Newton-ähnlichen Verfahren. Durch die Umformulierung in ein nichtlineares Gleichungssystem muss während der Iteration nicht mehr explizit die positive (Semi-)Definitheit der beteiligten Matrizen beachtet werden. Weiter wird gezeigt, dass dieser Ansatz im Gegensatz zu Inneren-Punkte-Methoden sofort symmetrische Suchrichtungen erzeugt. Um globale Konvergenz zu erhalten, werden verschiedene Globalisierungsstrategien (Schrittweitenbestimmung, Trust-Region-Ansatz) untersucht. Für das betrachtete Prädiktor-Korrektor-Verfahren und das Trust-Region-Verfahren wird lokal superlineare Konvergenz unter strikter Komplementarität und Nichtdegeneriertheit gezeigt. Die theoretische Untersuchung eines nichtglatten Newton-Verfahrens liefert ein lokal quadratisches Konvergenzverhalten ohne strikte Komplementarität, wenn die Nichtdegeneriertheitsvoraussetzung geeignet modifiziert wird. N2 - In this thesis we consider algorithms to compute a solution of linear semidefinite programs. Under a suitable regularity condition a semidefinite program is equivalent to its optimality conditions. These optimality conditions, or central-path-conditions, are reformulated as a nonlinear system of equations via matrix-valued NCP-functions. This nonlinear and partly nonsmooth system of equations is solved with a Newton-type method. Because of the reformulation as a nonlinear system of equations, we do not need the iterates to be positive (semi-)definite. Moreover, this reformulation automatically computes symmetric search directions, in contrast to interior point methods. To obtain global convergence, different globalizations (line search, trust-region) are considered. For the predictor-corrector method and the trust-region-method global and local superlinear convergence is shown under strikt complementarity and nondegeneracy. The theoretical investigation of a nonsmooth version of Newton's methods yields locally quadratic convergence without strict complementarity if the nondegeneracy conditon is modified in a suitable way. KW - Semidefinite Optimierung KW - Semidefinite Programme KW - Newton-Verfahren KW - Glättungsverfahren KW - NCP-Funktionen KW - semidefinite programming KW - Newton's method KW - smoothing-type methods KW - NCP-functions Y1 - 2003 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-8099 ER - TY - THES A1 - Fleischmann, Peter T1 - Bildung reiner Hüllen in vollständig zerlegbaren torsionsfreien abelschen Gruppen T1 - Pure subgroups of completely decomposable torsionfree abelian groups N2 - Reine Untergruppen von vollständig zerlegbaren torsionsfreien abelschen Gruppen werden Butlergruppen genannt. Eine solche Gruppe läßt sich als endliche Summe von rationalen Rang-1-Gruppen darstellen. Eine solche Darstellung ist nicht eindeutig. Daher werden Methoden entwickelt, die zu einer Darstellung mit reinen Summanden führen. Weiter kann aus dieser Darstellung sowohl die kritische Typenmenge als auch die Typuntergruppen direkt abgelesen werden. Dies vereinfacht die Behandlung von Butlergruppen mit dem Computer und gestattet darüberhinaus eine elegantere Darstellung. N2 - A pure subgroup of a completely decomposable torsion free abelian group is called Butler group. These groups can be represented as sum of rational subgroups. A representation with pure summands is developed, such that the critical typeset can be read off and every type-subgroup can be represented as sum of these summands. KW - Torsionsfreie Abelsche Gruppe KW - Abelsche Gruppe KW - Hüllenbildung KW - Reine Untergruppen KW - torsionsfreie abelsche Gruppen KW - pure subgroups KW - torsionfree abelian groups Y1 - 2003 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-5979 ER - TY - THES A1 - Kramer, Helmut T1 - Inzidenzmatrizen endlicher projektiver Ebenen T1 - Incidence matrices of finite projective planes N2 - Ziel dieser Arbeit ist eine computerunterstützte Suche nach, bis auf Isomorphie, allen projektiven Ebenen zu einer gegebenen Ordnung durch Berechnung ihrer Inzidenzmatrix. Dies gelingt durch geeignete Vorstrukturierung der Matrix mit Hilfe der Doppelordnung bis Ordnung 9 auf einem aktuellen PC. In diesem Zusammenhang ist insbesondere durch einen genügend schnellen Algorithmus das Problem zu lösen, ob zwei Inzidenzmatrizen zu derselben projektiven Ebene gehören. Die besondere Struktur, die die berechneten Beispiele von doppelgeordneten Inzidenzmatrizen der desarguesschen Ebenen aufzeigen, wird zudem durch theoretische Überlegungen untermauert. In einem letzten Kapitel wird noch eine Verbindung der projektiven Ebenen zu besonderen Blockplänen geschaffen. N2 - In this dissertation we go on a computer search for all finite projective planes of a certain order by calculating its incidence matrix. By double ordering of the matrix we can handle this problem up to order 9 on an ordinary PC. In this context we have to solve the problem, whether two incidence matrices are from the same plane, by creating a sufficient fast algorithm. Furthermore we clarify the pretty symmetry of the computed double ordered incidence matrices of the desarguan planes even by theoretical approach. In the last chapter we study a connection between the projective planes and a special kind of block designs. KW - Projektive Ebene KW - Matrix KW - Berechnung KW - Geometrie KW - projektive Ebene KW - Inzidenzmatrix KW - Blockplan KW - Kombinatorik KW - geometry KW - projective plane KW - incidence matrix KW - block design KW - combinatorial theory Y1 - 2004 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-11215 ER - TY - THES A1 - Kraus, Christiane T1 - On some maximal convergence theorems for real analytic functions in R^N T1 - On some Maximal Convergence Theorems for Real Analytic Functions in R^N N2 - Ausgangspunkt dieser Arbeit war eine Publikation von D. Braess [Bra01], in der die Approximationsgüte der Funktionen $$ \frac{1}{((x-x_0)^2 + (y-y_0)^2)^s}, \qquad x_0^2 + y_0^2 \ge 1, \quad s \in (0,\infty),$$ auf der Einheitskreisscheibe $x^2+y^2 \le 1$ durch reelle Polynome untersucht wurde. Braess's Ergebnisse und insbesondere die von ihm angesprochenen offenen Probleme waren von besonderem Interesse, da sie Anlaß zu der Vermutung gaben, dass die klassische Theorie der ``Maximalen Konvergenz'' in Sinne von Walsh auf (zunächst) die oben erwähnten reell analytischen Funktionen erweitert werden kann. (Die Theorie der Maximalen Konvergenz bringt die Approximationsgüte einer Funktion auf einer kompakten Menge durch Polynome mit der Analyzität dieser Funktion in Verbindung.) \\ Hauptgegenstand der Arbeit ist die Erweiterung des klassischen ``Maximalen Konvergenz''--Konzeptes auf reell analytische Funktionen in höheren Dimensionen. Es werden verschiedene maximale Konvergenzsätze sowohl in einer als auch in mehreren Veränderlichen bewiesen. \\ Die Arbeit gliedert sich in drei Hauptteile. \\[2mm] Im ersten Teil wird der theoretische Hintergrund der ``Maximalen Konvergenz'' mit dem Problemkreis von Braess in Zusammenhang gebracht. Es wird gezeigt, dass für betrags-quadratisch holomorphe Funktionen folgender Satz gilt: \\ { \bf {Satz 1}}: Es sei $g$ eine holomorphe Funktion auf der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe $\overline{\mathbb{D}}:=\{ z \in \mathbb{C} : |z| \le 1\}$ und $F(x,y):= |g(x+iy)|^2$, $x,y \in \mathbb{R}$. Dann gilt: $$ \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{E_n ( \overline{\mathbb{D}},F)} = \frac{1}{\rho}$$ genau dann, wenn $g$ auf $ \{ z \in \mathbb{C} : |z| < \rho \}$ holomorph ist, aber auf keiner echt gr\"o\3eren Kreisscheibe, wobei $$ E_n ( \overline{\mathbb{D}},F)= \inf \{ ||F -P_n||_{\overline{\mathbb{D}}}, \, P_n: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \mbox{ Polynom vom Grad } \le n \}.$$ Dieser Satz beinhaltet nicht nur die Ergebnisse von Braess [Bra01], sondern erweitert ihn, und beantwortet die von Braess aufgeworfenen Fragen vollständig. Zudem zeigt der Satz die genaue Analogie des klassischen ``Maximalen Konvergenz''--Konzeptes für die Funktionenklasse der betrag--quadratisch holomorphen Funktionen im $\mathbb{R}^2$. \\[2mm] In der Literatur gibt es viele Verallgemeinerungen des ``Maximalen Konvergenz''--Begriffes für mehrere komplexe Veränderlichen. Im Hinblick auf die vorliegende Arbeit sind besonders die Artikel [Sic62] und [Sic81] zu erwähnen. Diese bereits bekannten Ergebnisse werden im zweiten Teil der Arbeit herangezogen, um den ``Maximalen Konvergenz''--Begriff auf mehrere reelle Veränderlichen zu erweitern. Man beachte, dass der entscheidende Unterschied hier in der polynomialen Approximationsklasse liegt. \\[2mm] Der dritte Teil befaßt sich mit der Verallgemeinerung des Satzes 1 in mehreren Veränderlichen. Eng verbunden mit diesem Problemkreis ist die Charakterisierung einer gewissen Extremalfunktion. Diese Funktion wird zur Bestimmung des Analyzitätsbereichs der zu approximierenden Funktion benötigt. Mittels geeigneter Darstellung der Extremalfunktion und Charakterisierung des Analyzitätsbereichs gelingt es schließlich, den folgenden Hauptsatz der vorliegenden Arbeit zu beweisen:\\ { \bf { Satz 2}}: Es seien $g,h$ holomorphe Funktionen auf der abgeschlossenen Einheitskugel $\overline{\mathbb{D}}_N:=\{ z \in \mathbb{C}^N : |z| \le 1\}$ und $F(x,y):= g(x+iy) \overline{h(x+iy)}$, $x,y \in \mathbb{R}^N$. Dann gilt: $$ \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{E_n ( \overline{\mathbb{D}}_N,F)} = \frac{1}{\rho}$$ genau dann, wenn $g,h$ auf ${\mathbb{D}}_{N,\rho}:= \{ z \in \mathbb{C}^N : |z| < \rho \}$ holomorph sind, und mindestens eine der zwei Funktionen $g,h$ auf keinem echt gr\"o\3eren Ball als $\mathbb{D}_{N,\rho}$ holomorph fortsetzbar ist. Hierbei bezeichnet $$ E_n ( \overline{\mathbb{D}}_N,F)= \inf \{ ||F -P_n||_{\overline{\mathbb{D}}_N}, \, P_n: \mathbb{R}^{2N} \to \mathbb{C} \mbox{ Polynom vom Grad } \le n \}.$$ $[$Bra01$]$ Braess, D., {\it Note on the Approximation of Powers of the Distance in Two-Dimensional Domains}, Constructive Approximation (2001), {\bf 17} No. 1, 147-151. \\ $[$Sic62$]$ Siciak, J., {\it On some extremal functions and their applications in the theory of analytic functions of several complex variables}, Trans. Amer. Math. Soc. (1962), {\bf 105}, 322--357. \\ $[$Sic81$]$ Siciak, J., {\it Extremal plurisubharmonic functions in $\mathbb{C}^N$}, Ann. Pol. Math. (1981), {\bf 39}, 175--211. N2 - The starting point for this work was a paper published by D. Braess [Bra01] in the year 2001. There the author studied the approximation behaviour of the functions $$ \frac{1}{((x-x_0)^2 + (y-y_0)^2)^s}, \qquad x_0^2 + y_0^2 \ge 1, \quad s \in (0,\infty),$$ by real valued polynomials on the closed unit disk $x^2+y^2 \le 1$. Braess's results and in particular his questions posed in [Bra01] were of interest as they give rise to ask if the classical theory of ``Maximal Convergence'' introduced by Walsh may be extended to a certain class of real analytic functions, which includes the functions mentioned above. ( The theory of maximal convergence connects the approximation behaviour of a function by polynomials on a compact set with the analyticty of this function.)\\ The main subject of this paper is the extension of the classical ``Maximal Conver\-gence''--concept to real analytic functions in higher dimensions. Several maximal convergence theorems in one as well as in higher dimensions will be proved. The work is divded into three main parts. \\[2mm] The first part links the theoretical background of the ``Maximal Convergence''--concept to Braess's approximation topic. The following theorem will be proved for holomorphic functions of squared modulus type:\\ { \bf {Theorem 1}}: Let $g$ be a holomorphic function on the closed unit disk $\overline{\mathbb{D}}:=\{ z \in \mathbb{C} : |z| \le 1\}$ and let $F(x,y):= |g(x+iy)|^2$, $x,y \in \mathbb{R}$. Then $$ \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{E_n ( \overline{\mathbb{D}},F)} = \frac{1}{\rho}$$ if and only if $g$ is holomorphic on $ \{ z \in \mathbb{C} : |z| < \rho \}$, but on no larger disk containing $\overline{\mathbb{D}} $, where $$ E_n ( \overline{\mathbb{D}},F)= \inf \{ ||F -P_n||_{\overline{\mathbb{D}}}, \, P_n: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \mbox{ polynomial of degree } \le n \}.$$ This theorem doesn't only generalize Braess's results [Bra01], but also solves Braess's open problems. Furthermore, it shows the extension of the classical ``Maximal convergence''--concept to the class of functions of squared modulus type in $\mathbb{R}^2$ . \\[2mm] In the literature there are several generalizations of the ``Maximal Convergence''--term to several complex variables. In view of this work we like to point out the articles [Sic62], [Sic81] and [SZ01]. These known results are used to extend the ``Maximal Convergence''--concept to several real variables. Notice, the decisive difference is the approximation class.\\[2mm] The third part handles the generalization of Theorem 1 to higher dimensions. In this context the characterization of a certain extremal function plays an important rule. This function is used to determine the domain $G$ on which the approximating function can be continued analytically. A special description of $G$ and an explicit representation of the extremal function are the nub to prove the main theorem of this thesis:\\ { \bf { Theorem 2}}: Let $g,h$ be holomorphic functions on the closed unit ball $\overline{\mathbb{D}}_N:=\{ z \in \mathbb{C}^N : |z| \le 1\}$ and let $F(x,y):= g(x+iy) \overline{h(x+iy)}$, $x,y \in \mathbb{R}^N$. Then $$ \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{E_n ( \overline{\mathbb{D}}_N,F)} = \frac{1}{\rho}$$ if and only if $g,h$ are holomorphic on ${\mathbb{D}}_{N,\rho}:= \{ z \in \mathbb{C}^N : |z| < \rho \}$ and at least one of them has no holomorphic extension to any larger domain containing $\overline{\mathbb{D}}_N$, where $$ E_n ( \overline{\mathbb{D}}_N,F)= \inf \{ ||F -P_n||_{\overline{\mathbb{D}}_N} , \, P_n: \mathbb{R}^{2N} \to \mathbb{C} \mbox{ polynomial of degree } \le n \}.$$ $[$Bra01$]$ Braess, D., {\it Note on the Approximation of Powers of the Distance in Two-Dimensional Domains}, Constructive Approximation (2001), {\bf 17} No. 1, 147-151. \\ $[$Sic62$]$ Siciak, J., {\it On some extremal functions and their applications in the theory of analytic functions of several complex variables}, Trans. Amer. Math. Soc. (1962), {\bf 105}, 322--357. \\ $[$Sic81$]$ Siciak, J., {\it Extremal plurisubharmonic functions in $\mathbb{C}^N$}, Ann. Pol. Math. (1981), {\bf 39}, 175--211.\\ $[$SZ01$]$ Skiba, N., Zaharjuta, V. P., {\it Bernstein-Walsh theorems for harmonic functions in $\mathbb{R}^n$}, Isr. Math. Conf. Proc. (2001), {\bf 15}, 357-382. KW - Reelle Funktion KW - Analytische Funktion KW - Konvergenz KW - Maximale KW - Konvergenz KW - Berstein KW - Walsh KW - Sätze KW - Maximal KW - Convergence KW - Bernstein KW - Walsh KW - Theorems Y1 - 2004 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-9795 ER - TY - THES A1 - Seider, David T1 - Solving an eigenvalue problem in laser simulation T1 - Lösen eines Eigenwertproblems bei der Simulation von Lasern N2 - In this thesis a new and powerful approach for modeling laser cavity eigenmodes is presented. This approach is based on an eigenvalue problem for singularly perturbed partial differential operators with complex coefficients; such operators have not been investigated in detail until now. The eigenvalue problem is discretized by finite elements, and convergence of the approximate solution is proved by using an abstract convergence theory also developed in this dissertation. This theory for the convergence of an approximate solution of a (quadratic) eigenvalue problem, which particularly can be applied to a finite element discretization, is interesting on its own, since the ideas can conceivably be used to handle equations with a more complex nonlinearity. The discretized eigenvalue problem essentially is solved by preconditioned GMRES, where the preconditioner is constructed according to the underlying physics of the problem. The power and correctness of the new approach for computing laser cavity eigenmodes is clearly demonstrated by successfully simulating a variety of different cavity configurations. The thesis is organized as follows: Chapter 1 contains a short overview on solving the so-called Helmholtz equation with the help of finite elements. The main part of Chapter 2 is dedicated to the analysis of a one-dimensional model problem containing the main idea of a new model for laser cavity eigenmodes which is derived in detail in Chapter 3. Chapter 4 comprises a convergence theory for the approximate solution of quadratic eigenvalue problems. In Chapter 5, a stabilized finite element discretization of the new model is described and its convergence is proved by applying the theory of Chapter 4. Chapter 6 contains computational aspects of solving the resulting system of equations and, finally, Chapter 7 presents numerical results for various configurations, demonstrating the practical relevance of our new approach. N2 - In dieser Arbeit wird ein neues und mächtiges Verfahren für die Modellierung von Eigenmoden in Laser-Resonatoren vorgestellt. Dieses Verfahren basiert auf einem Eigenwertproblem für singulär gestörte Differentialoperatoren mit komplexen Koeffizienten; solche Operatoren sind bisher noch nicht detailliert untersucht worden. Das Eigenwertproblem wird mit Finiten Elementen diskretisiert, und die Konvergenz der Finite-Elemente-Lösung wird bewiesen durch Anwendung einer abstrakten Konvergenztheorie, die ebenfalls in dieser Dissertation entwickelt wird. Diese Theorie für die Konvergenz einer Näherungslösung eines (quadratischen) Eigenwertproblems ist für sich allein interessant, da die Beweisideen auch auf Fälle mit einer komplizierteren Nichtlinerität angewendet werden können. Das diskretisierte Eigenwertproblem wird im Wesentlichen mit einem vorkonditionierten GMRES-Verfahren gelöst, wobei der Vorkonditionierer unter Beachtung der dem Problem zugrunde liegenden Physik konstruiert wurde. Die Mächtigkeit und Korrektheit unseres neuen Verfahrens zur Bestimmung von Eigenmoden in Laser-Resonatoren wird klar gezeigt dadurch, dass eine Vielzahl verschiedener Konfigurationen damit erfolgreich gerechnet werden können. Die Dissertation ist wie folgt aufgebaut: Kapitel 1 enthält eine kurzen Überblick über das Lösen der sogenannten Helmholtz-Gleichung mit Hilfe von Finiten Elementen. Der Großteil des Kapitels 2 beschäftigt sich mit der Analyse eines eindimensionalen Modellproblems. Dieses Modellproblem enthält die Hauptidee des neuen Modells für Eigenmoden eines Laser-Resonators, welches in Kapitel 3 entwickelt wird. Kapitel 4 beinhaltet eine Konvergenztheorie für Näherungslösungen von quadratischen Eigenwertproblemen. In Kapitel 5 wird eine stabilisierte Finite-Elemente-Diskretisierung des neuen Modells beschrieben, und dessen Konvergenz mit Hilfe der Theorie aus Kapitel 4 bewiesen. Kapitel 6 beschäftigt sich damit, welche Verfahren aus der numerischen linearen Algebra verwendet werden, um das diskrete Problem zu lösen. Schließlich finden sich zum Nachweis der praktischen Relavanz des Verfahrens in Kapitel 7 numerische Ergebnisse für eine Vielzahl von Konfigurationen. KW - Laser KW - Simulation KW - Eigenwert KW - Lasersimulation KW - Eigenmode KW - singulär gestörtes Problem KW - Finite Elemente KW - Konvergenz bei quadratischem Eigenwertproblem KW - laser simulation KW - eigenmode KW - singularly perturbed problem KW - finite elements KW - convergence for quadratic eigenvalue problems Y1 - 2004 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-10057 ER - TY - THES A1 - Joachim, Silvia T1 - Regulatorketten in Butlergruppen T1 - Regulator Chains of Butler Groups N2 - Die fast vollständig zerlegbaren Gruppen bilden eine Teilklasse der Butlergruppen. Das Konzept des Regulators, d.h. der Durchschnitt aller regulierenden Untergruppen, ist unverzichtbar für fast vollständig zerlegbare Gruppen. Dieses Konzept lässt sich in natürlicher Weise auf die ganze Klasse der Butlergruppen fortsetzen. Allerdings lässt sich die Regulatorbildung im allgemeineren Fall der Butlergruppen a priori iterieren. Damit stellt sich erst einmal die Frage, ob es überhaupt Butlergruppen gibt mit Regulatorketten, der Länge größer als 1. Ein erstes Beispiel der Länge 2 wurde 1997 von Lehrmann und Mutzbauer konstruiert. In dieser Dissertation wurden mit konzeptionell neuen Techniken Butlergruppen mit beliebiger vorgegebener endlicher Kettenlänge angegeben. Grundsätzliche Schwierigkeiten bei diesem Unterfangen resultieren aus dem Fehlen, bzw. der Unmöglichkeit, einer kanonischen Darstellung von Butlergruppen. Man verwendet die allseits gebrauchte Summendarstellung für Butlergruppen. Genau an dieser Stelle bedarf es völlig neuer Methoden, verglichen mit den fast vollständig zerlegbaren Gruppen mit ihrer kanonischen Regulatordarstellung. Alle Teilaufgaben bei der anstehenden Konstruktion von Butlergruppen, die für fast vollständig zerlegbare Gruppen Standard sind, werden hierbei problematisch, u.a. die Bildung reiner Hüllen, die Bestimmung regulierender Untergruppen und die Regulatorbildung. N2 - The almost completely decomposable groups form a subclass of the Butler groups. The concept of a regulator, i. e., the intersection of all regulating subgroups, is inevitable for almost completely decomposable groups. This concept can be transferred and continued to the whole class of Butler groups in a natural way. However, forming the regulator for Butler groups usually allows proper iteration. Thus, the primary question is, if there are any Butler groups at all with longer regulator chains, the length longer than 1. A first example of length 2 was constructed by Lehrmann and Mutzbauer in 1997. In this doctoral dissertation Butler groups were constructed of an arbitrarily given finite chain length, using conceptually new techniques. Basic difficulties resulted from the lack, or respectively, the impossibility, of any canonical descriptions of Butler groups. Usually Butler groups are given by the so called sum representation. Precisely here completely new methods are necessary to be applied, compared with the almost completely decomposable groups and their canonical regulator representation. All detailed tasks for the indicated construction of Butler groups, which are standard for almost completely decomposable groups, become problematic, among other things the forming of pure hulls, the determination of regulating subgroups, and the construction of the regulator. KW - Butlergruppe KW - Regulator KW - Butlergruppe KW - regulierende Untergruppen KW - Regulator KW - Butler group KW - regulating subgroup KW - regulator Y1 - 2004 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-10438 ER - TY - THES A1 - Flegel, Michael L. T1 - Constraint qualifications and stationarity concepts for mathematical programs with equilibrium constraints T1 - Regularitätsbedingungen und Stationaritätskonzepte für Mathematische Programme mit Gleichgewichtsnebenbedingungen N2 - An exhaustive discussion of constraint qualifications (CQ) and stationarity concepts for mathematical programs with equilibrium constraints (MPEC) is presented. It is demonstrated that all but the weakest CQ, Guignard CQ, are too strong for a discussion of MPECs. Therefore, MPEC variants of all the standard CQs are introduced and investigated. A strongly stationary point (which is simply a KKT-point) is seen to be a necessary first order optimality condition only under the strongest CQs, MPEC-LICQ, MPEC-SMFCQ and Guignard CQ. Therefore a whole set of KKT-type conditions is investigated. A simple approach is given to acquire A-stationarity to be a necessary first order condition under MPEC-Guiganrd CQ. Finally, a whole chapter is devoted to investigating M-stationary, among the strongest stationarity concepts, second only to strong stationarity. It is shown to be a necessary first order condition under MPEC-Guignard CQ, the weakest known CQ for MPECs. KW - Nichtlineare Optimierung KW - MPEC KW - MPCC KW - M-Stationär KW - Guignard CQ KW - MPEC KW - MPCC KW - M-stationarity KW - Guignard CQ Y1 - 2005 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-12453 ER - TY - BOOK A1 - Falk, Michael A1 - Marohn, Frank A1 - Michel, René A1 - Hofmann, Daniel A1 - Macke, Maria A1 - Tewes, Bernward A1 - Dinges, Peter T1 - A First Course on Time Series Analysis : Examples with SAS N2 - The analysis of real data by means of statistical methods with the aid of a software package common in industry and administration usually is not an integral part of mathematics studies, but it will certainly be part of a future professional work. The present book links up elements from time series analysis with a selection of statistical procedures used in general practice including the statistical software package SAS Statistical Analysis System). Consequently this book addresses students of statistics as well as students of other branches such as economics, demography and engineering, where lectures on statistics belong to their academic training. But it is also intended for the practician who, beyond the use of statistical tools, is interested in their mathematical background. Numerous problems illustrate the applicability of the presented statistical procedures, where SAS gives the solutions. The programs used are explicitly listed and explained. No previous experience is expected neither in SAS nor in a special computer system so that a short training period is guaranteed. This book is meant for a two semester course (lecture, seminar or practical training) where the first two chapters can be dealt with in the first semester. They provide the principal components of the analysis of a time series in the time domain. Chapters 3, 4 and 5 deal with its analysis in the frequency domain and can be worked through in the second term. In order to understand the mathematical background some terms are useful such as convergence in distribution, stochastic convergence, maximum likelihood estimator as well as a basic knowledge of the test theory, so that work on the book can start after an introductory lecture on stochastics. Each chapter includes exercises. An exhaustive treatment is recommended. This book is consecutively subdivided in a statistical part and an SAS-specific part. For better clearness the SAS-specific part, including the diagrams generated with SAS, always starts with a computer symbol, representing the beginning of a session at the computer, and ends with a printer symbol for the end of this session. This book is an open source project under the GNU Free Documentation License. KW - Zeitreihenanalyse KW - SAS KW - Zeitreihenanalyse KW - SAS KW - Time series analyses KW - SAS Y1 - 2005 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-12593 ER - TY - THES A1 - Vodopivec, Andrija T1 - Quasibasen abelscher, nichtseparabler p-Gruppen T1 - Quasibases of abelian, non-separable p-groups N2 - In dieser Arbeit wird der Bau der (abzählbaren) abelschen p-Gruppen untersucht, durch die Betrachtung der dazugehörigen Quasibasen, die als bestimmte erzeugende Systeme der gegebenen p-Gruppe definiert sind. Die Untersuchung wird insbesondere auf die nichtseparablen p-Gruppen und ihre induktiven Quasibasen bezogen. N2 - We describe (countable) p-groups by their relations relative to a quasibasis. In particular, non-separable p-groups will be examined. KW - Abelsche p-Gruppe KW - Quasibasis KW - Ulm-Kaplansky Invarianten KW - p-Gruppen KW - Quasibases KW - Ulm-Kaplansky invariants KW - p-groups Y1 - 2005 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-15359 ER - TY - THES A1 - Kleinsteuber, Martin T1 - Jacobi-type methods on semisimple Lie algebras : a Lie algebraic approach to numerical linear algebra T1 - Jacobi-Verfahren auf halbeinfachen Lie-Algebren N2 - Es wird eine Lie-algebraische Verallgemeinerung sowohl des klassischen als auch des Sortier-Jacobi-Verfahrens für das symmetrische Eigenwertproblem behandelt. Der koordinatenfreie Zugang ermöglicht durch eine neue Betrachtungsweise die Vereinheitlichung strukturierter Eigen- und Singulärwertprobleme, darunter bis dato noch nicht betrachtete Fälle. Für beide Verfahren wird lokal quadratische Konvergenz, sowohl für den regulären als auch für den irregulären Fall, gezeigt. Die Analyse und Verallgemeinerung der sog. speziellen Sweeps für das symmetrische Eigenwertproblem führt zu neuen Sweep-Methoden für strukturierte Eigen- und Singulärwertprobleme, die ein besseres Konvergenzverhalten als die bisher bekannten aufweisen. N2 - A Lie algebraic generalization of the classical and the Sort-Jacobi algorithm for diagonalizing a symmetric matrix has been proposed. The coordinate free setting provides new insights in the nature of Jacobi-type methods and allows a unified treatment of several structured eigenvalue and singular value problems, including so far unstudied normal form problems. Local quadratic convergence has been shown for both types of Jacobi methods with a fully comprehension of the regular and irregular case. New sweep methods have been introduced that generalize the special cyclic sweep for symmetric matrices and ensure local quadratic convergence also for irregular elements. The new sweep methods yield faster convergence behavior than the previously known cyclic schemes. KW - Eigenwert KW - Jacobi-ähnliches Verfahren KW - Jacobi-Eigenwert-Verfahren KW - halbeinfache Lie Algebren KW - strukturierte Normalformprobleme KW - quadratische Konvergenz KW - spezielle Sweep-Methoden KW - Jacobi-type eigenvalue methods KW - semisimple Lie algebras KW - structured normal form problem KW - quadratic convergence KW - special sweeps Y1 - 2005 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-16454 ER - TY - THES A1 - Klug, Andreas T1 - Affine-Scaling Methods for Nonlinear Minimization Problems and Nonlinear Systems of Equations with Bound Constraints T1 - Affine Skalierungsverfahren für nichtlineare Optimierungsaufgaben und nichtlineare Gleichungssyteme mit Box-Restriktionen N2 - In this thesis affine-scaling-methods for two different types of mathematical problems are considered. The first type of problems are nonlinear optimization problems subject to bound constraints. A class of new affine-scaling Newton-type methods is introduced. The methods are shown to be locally quadratically convergent without assuming strict complementarity of the solution. The new methods differ from previous ones mainly in the choice of the scaling matrix. The second type of problems are semismooth system of equations with bound constraints. A new affine-scaling trust-region method for these problems is developed. The method is shown to have strong global and local convergence properties under suitable assumptions. Numerical results are presented for a number of problems arising from different areas. N2 - In dieser Arbeit werden affine Skalierungsverfahren fuer zwei verschiedene mathematische Problemstellungen untersucht. Der erste Problemtyp sind nichtlineare Optimierungsaufgaben mit Box-Restriktionen. Hierfuer wird eine neue Klasse von affinen Skalierungsverfahren eingefuehrt. Fuer diese Verfahren kann lokale quadratische Konvergenz ohne eine strikte Komplementaritaetsannahme bewiesen werde. Die neuen Methoden unterscheiden sich von den bisherigen durch die Wahl der Skalierungsmatrix. Probleme vom zweiten Typ sind semismoothe nichtlineare Gleichungssysteme mit Box-Restriktionen. Ein neues affine Skalierungs Trust-Region-Verfahren fuer diese Probleme wird vorgestellt. Das Verfahren besitzt starke globale und lokale Konvergenzeigenschaften unter ueblichen Voraussetzungen. Fuer eine Vielzahl von Problemstellungen werden numerische Ergebnisse beschrieben. KW - Skalierungsfunktion KW - Optimierung KW - Optimierung KW - Gleichungssysteme KW - Box-Restriktionen KW - Affine Skalierungsverfahren KW - optimization KW - nonlinear systems KW - bound constraints KW - affine scaling methods Y1 - 2006 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-18851 ER - TY - THES A1 - Michel, René T1 - Simulation and Estimation in Multivariate Generalized Pareto Models T1 - Simulationen und Schätzverfahren in multivariaten verallgemeinerten Pareto-Modellen N2 - The investigation of multivariate generalized Pareto distributions (GPDs) in the framework of extreme value theory has begun only lately. Recent results show that they can, as in the univariate case, be used in Peaks over Threshold approaches. In this manuscript we investigate the definition of GPDs from Section 5.1 of Falk et al. (2004), which does not differ in the area of interest from those of other authors. We first show some theoretical properties and introduce important examples of GPDs. For the further investigation of these distributions simulation methods are an important part. We describe several methods of simulating GPDs, beginning with an efficient method for the logistic GPD. This algorithm is based on the Shi transformation, which was introduced by Shi (1995) and was used in Stephenson (2003) for the simulation of multivariate extreme value distributions of logistic type. We also present nonparametric and parametric estimation methods in GPD models. We estimate the angular density nonparametrically in arbitrary dimension, where the bivariate case turns out to be a special case. The asymptotic normality of the corresponding estimators is shown. Also in the parametric estimations, which are mainly based on maximum likelihood methods, the asymptotic normality of the estimators is shown under certain regularity conditions. Finally the methods are applied to a real hydrological data set containing water discharges of the rivers Altmühl and Danube in southern Bavaria. N2 - Die Untersuchung der multivariaten verallgemeinerten Pareto-Verteilungen (GPDs) im Rahmen der Extremwerttheorie hat erst kürzlich begonnen. Neueste Ergebnisse zeigen, dass diese wie im univariaten Fall bei Peaks over Threshold-Ansätzen angewendet werden können. In dieser Arbeit verwenden wir die Definition einer GPD aus Abschnitt 5.1 von Falk et al. (2004), die sich im interessierenden Bereich nicht von der anderer Autoren unterscheidet. Wir zeigen zuerst einige theoretische Eigenschaften und stellen wichtige Beispiele von GPDs vor. Zur weiteren Untersuchung dieser Verteilungen sind Simulationen unerläßlich. Wir stellen mehrere Methoden zur Simulation von GPDs vor, beginnend mit einer effizienten Methode für die logistische GPD. Der entsprechende Algorithmus basiert auf der Shi-Transformation, die von Shi (1995) eingeführt und von Stephenson (2003) verwendet wurde, um logistische multivariate Extremwertverteilungen zu simulieren. Wir führen auch nicht-parametrische und parametrische Schätzverfahren in GPD-Modellen ein. Wir schätzen die Angular Density in beliebiger Dimension, wobei sich der bivariate Fall als ein besonderer herausstellt. Die asymptotische Normalität der entsprechenden Schätzer wird gezeigt. Ebenso zeigen wir für die parametrischen Schätzungen, die hauptsächlich Maximum-Likelihood-Methoden verwenden, die asymptotische Normalität unter geeigneten Regularitätsbedingungen Zum Schluß werden die Methoden auf einen realen hydrologischen Datensatz, bestehend aus Abflussraten der Flüsse Altmühl und Donau in Südbayern, angewendet. KW - Pareto-Verteilung KW - Multivariate verallgemeine Pareto-Verteilungen KW - Extremwerttheorie KW - Überschreitungen KW - Simulation KW - Angular Density KW - Multivariate Generalized Pareto Distributions KW - Peaks over Threshold KW - Extreme Value Theory KW - Simulation KW - Angular Density Y1 - 2006 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-18489 ER - TY - THES A1 - Petra, Stefania T1 - Semismooth least squares methods for complementarity problems T1 - Semismoothe Least Squares Methoden für Komplementaritätsprobleme N2 - This thesis is concerned with numerical methods for solving nonlinear and mixed complementarity problems. Such problems arise from a variety of applications such as equilibria models of economics, contact and structural mechanics problems, obstacle problems, discrete-time optimal control problems etc. In this thesis we present a new formulation of nonlinear and mixed complementarity problems based on the Fischer-Burmeister function approach. Unlike traditional reformulations, our approach leads to an over-determined system of nonlinear equations. This has the advantage that certain drawbacks of the Fischer-Burmeister approach are avoided. Among other favorable properties of the new formulation, the natural merit function turns out to be differentiable. To solve the arising over-determined system we use a nonsmooth damped Levenberg-Marquardt-type method and investigate its convergence properties. Under mild assumptions, it can be shown that the global and local fast convergence results are similar to some of the better equation-based method. Moreover, the new method turns out to be significantly more robust than the corresponding equation-based method. For the case of large complementarity problems, however, the performance of this method suffers from the need for solving the arising linear least squares problem exactly at each iteration. Therefore, we suggest a modified version which allows inexact solutions of the least squares problems by using an appropriate iterative solver. Under certain assumptions, the favorable convergence properties of the original method are preserved. As an alternative method for mixed complementarity problems, we consider a box constrained least squares formulation along with a projected Levenberg-Marquardt-type method. To globalize this method, trust region strategies are proposed. Several ingredients are used to improve this approach: affine scaling matrices and multi-dimensional filter techniques. Global convergence results as well as local superlinear/quadratic convergence are shown under appropriate assumptions. Combining the advantages of the new methods, a new software for solving mixed complementarity problems is presented. N2 - Diese Dissertation behandelt numerische Verfahren zur Lösung nichtlinearer und gemischer Komplementaritätsprobleme. Solche Probleme ergeben sich aus einer Vielzahl von Anwendungen wie z.B. ökonomische Gleichgewichtmodelle, Kontakt- und Strukturprobleme der Mechanik, Hindernisprobleme, Probleme der optimalen Steuerung usw.. Als erstes wird eine neue Umformulierung der nichtlinearen und gemischen Komplementaritätsproblemen vorgestellt, die auf der Fischer-Burmeister Funktion basiert. Im Gegensatz zu bekannten Umformulierungen führt unsere zu einem überbestimmten nichtlinearen Gleichungssystem. Dadurch werden bestimmte Nachteile der Fischer-Burmeister Umformulierung vermieden. Eine vorteilhafte Eigenschaft der neuen Formulierung ist die Differenzierbarkeit der Straffunktion. Um das resultierende überbestimmte Gleichungsystem zu lösen benutzen wir eine nichtglattes gedämpftes Levenberg-Marquardt Verfahren und untersuchen dessen Konvergenzeigenschaften. Unter milden Annahmen kann gezeigt werden, dass die globalen und lokalen schnellen Konvergenzresultate der etwas besseren Methoden erhalten bleiben. Außerdem scheint die neue Methode deutlich robuster zu sein als andere Methoden die ebenfalls auf einer Umformulierung der Komplementaritätsprobleme als Gleichungsystem beruhen. Im Falle grosser Komplementaritätsprobleme leidet die Leistung dieser Methode jedoch, da in jedem Iterationsschritt die exakte Lösung eines grossdimensionalem linearem Ausgleichsproblem anfällt. Folglich schlagen wir eine geänderte Version vor, die inexakte Lösungen dieser Ausgleichsprobleme zulässt, durch Verwendung eines iterativen Lösers. Unter bestimmten Annahmen bleiben die vorteilhaften Konvergenzeigenschaften der ursprünglichen Methode erhalten. Als alternative Methode für gemischte Komplementaritätprobleme betrachten wir eine Box-restringierte Umformulierung zusammen mit einem projizierten Levenberg-Marquardt Verfahren. Zu Globalisierungszwecken wird eine Trust-Region Strategie vorgeschlagen. Skalierungmatrizen und mehrdimensionale Filtertechniken werden benutzt, um das Verfahren zu verbessern. Globale Konvergenz, sowie lokal superlineare/quadratische Konvergenz kann unter adäquaten Voraussetzungen gezeigt werden. Schließlich wird eine Software zur Lösung der gemischten Komplementaritätsprobleme, welche die Vorteile der neuen Methoden kombiniert. KW - Komplementaritätsproblem KW - nichtlineare & gemischte Komplementaritätsprobleme KW - nichtglatte Newton-artige Verfahren KW - globale Konvergenz KW - nonlinear and mixed complementarity problems KW - semismooth Newton-type methods KW - nonlinear least squares reformulation KW - global convergence Y1 - 2006 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-18660 ER - TY - BOOK A1 - Falk, Michael A1 - Marohn, Frank A1 - Michel, René A1 - Hofmann, Daniel A1 - Macke, Maria A1 - Tewes, Bernward A1 - Dinges, Peter T1 - A First Course on Time Series Analysis : Examples with SAS N2 - The analysis of real data by means of statistical methods with the aid of a software package common in industry and administration usually is not an integral part of mathematics studies, but it will certainly be part of a future professional work. The present book links up elements from time series analysis with a selection of statistical procedures used in general practice including the statistical software package SAS Statistical Analysis System). Consequently this book addresses students of statistics as well as students of other branches such as economics, demography and engineering, where lectures on statistics belong to their academic training. But it is also intended for the practician who, beyond the use of statistical tools, is interested in their mathematical background. Numerous problems illustrate the applicability of the presented statistical procedures, where SAS gives the solutions. The programs used are explicitly listed and explained. No previous experience is expected neither in SAS nor in a special computer system so that a short training period is guaranteed. This book is meant for a two semester course (lecture, seminar or practical training) where the first two chapters can be dealt with in the first semester. They provide the principal components of the analysis of a time series in the time domain. Chapters 3, 4 and 5 deal with its analysis in the frequency domain and can be worked through in the second term. In order to understand the mathematical background some terms are useful such as convergence in distribution, stochastic convergence, maximum likelihood estimator as well as a basic knowledge of the test theory, so that work on the book can start after an introductory lecture on stochastics. Each chapter includes exercises. An exhaustive treatment is recommended. This book is consecutively subdivided in a statistical part and an SAS-specific part. For better clearness the SAS-specific part, including the diagrams generated with SAS, always starts with a computer symbol, representing the beginning of a session at the computer, and ends with a printer symbol for the end of this session. This book is an open source project under the GNU Free Documentation License. KW - Zeitreihenanalyse KW - SAS KW - Zeitreihenanalyse KW - SAS KW - Time series analyses KW - SAS Y1 - 2006 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-16919 ER - TY - THES A1 - Solak, Ebru T1 - Almost Completely Decomposable Groups of Type (1,2) T1 - Fast vollständig zerlegbare Gruppen vom Typ (1,2) N2 - A torsion free abelian group of finite rank is called almost completely decomposable if it has a completely decomposable subgroup of finite index. A p-local, p-reduced almost completely decomposable group of type (1,2) is briefly called a (1,2)-group. Almost completely decomposable groups can be represented by matrices over the ring Z/hZ, where h is the exponent of the regulator quotient. This particular choice of representation allows for a better investigation of the decomposability of the group. Arnold and Dugas showed in several of their works that (1,2)-groups with regulator quotient of exponent at least p^7 allow infinitely many isomorphism types of indecomposable groups. It is not known if the exponent 7 is minimal. In this dissertation, this problem is addressed. N2 - Eine fast vollständig zerlegbare Gruppe ist eine torsionsfreie abelsche Gruppe endlichen Ranges,die eine vollständig zerlegbare Untergruppe von endlichem Index enthält. Fast vollständig zerlegbare Gruppen gestatten eine Darstellung durch Matrizen über dem Ring Z/hZ, wobei h der Exponent des Regulatorquotienten ist. Auf dieser Matrixdarstellung aufsetzend kann man das Zerlegungsverhalten von Gruppen untersuchen. Arnold und Dugas haben in mehreren Arbeiten gezeigt, dass es unendlich viele Isomorphietypen unzerlegbarer fast vollständig zerlegbarer Gruppen gibt,sobald der Exponent des Regulatorquotienten grösser gleich sieben ist. Allerdings ist unbekannt, ob sieben der kleinste Exponent mit dieser Eigenschaft ist. Wir untersuchen dieses Problem für p-lokale fast vollständig zerlegbare Gruppen vom Typ (1,2). KW - Torsionsfreie abelsche Gruppe KW - Darstellungsmatrix KW - Abelsche Gruppe KW - Torsion-free abelian groups KW - abelian groups KW - almost completely decomposable groups KW - representing matrix Y1 - 2007 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-24794 ER - TY - THES A1 - Lageman, Christian T1 - Convergence of gradient-like dynamical systems and optimization algorithms T1 - Konvergenz gradientenähnlicher dynamischer Systeme und Optimierungsalgorithmen N2 - This work studies the convergence of trajectories of gradient-like systems. In the first part of this work continuous-time gradient-like systems are examined. Results on the convergence of integral curves of gradient systems to single points of Lojasiewicz and Kurdyka are extended to a class of gradient-like vector fields and gradient-like differential inclusions. In the second part of this work discrete-time gradient-like optimization methods on manifolds are studied. Methods for smooth and for nonsmooth optimization problems are considered. For these methods some convergence results are proven. Additionally the optimization methods for nonsmooth cost functions are applied to sphere packing problems on adjoint orbits. N2 - Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Konvergenz von Trajektorien gradientenähnlicher Systeme. Im ersten Teil der Arbeit werden zeit-kontinuierliche, gradientenähnliche Systeme betrachtet. Resultate zur Konvergenz der Trajektorien gegen einen Punkt von Lojasiewicz und Kurdyka für Gradientensysteme werden auf eine Klasse gradientenähnlicher Vektorfelder und gradientenähnliche Differentialinklusionen verallgemeinert. Im zweiten Teil der Arbeit werden zeit-diskrete, gradientenähnliche Optimierungsverfahren auf Mannigfaltigkeiten untersucht. Es werden Algorithmen sowohl für glatte als auch nicht-glatte Optimierungsprobleme betrachtet. Für diese Verfahren werden einige Konvergenzresultate bewiesen. Zusätzlich werden die Optimierungsverfahren für nichtglatte Kostenfunktionen auf Kugelpackungsprobleme in adjungierten Bahnen angewendet. KW - Dynamisches System KW - Konvergenz KW - Nichtlineare Optimierung KW - gradientenähnliche Systeme KW - Konvergenz KW - Optimierung auf Mannigfaltigkeiten KW - nichtlineare Optimierung KW - gradient-like systems KW - convergence KW - optimization on manifolds KW - nonlinear optimization Y1 - 2007 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-23948 ER - TY - THES A1 - Winkler, Ralf T1 - Schwache Randwertprobleme von Systemen elliptischen Charakters auf konischen Gebieten T1 - Weak boundary value problems of linear elliptic systems on conical domains N2 - In der vorliegenden Arbeit werden lineare Systeme elliptischer partieller Differentialgleichungen in schwacher Formulierung auf konischen Gebieten untersucht. Auf einem zunächst unbeschränkten Kegelgebiet betrachten wir den Fall beschränkter und nur von den Winkelvariablen abhängiger Koeffizientenfunktionen. Die durch selbige definierte Bilinearform genüge einer Gårdingschen Ungleichung. In gewichteten Sobolevräumen werden Existenz- und Eindeutigkeitsfragen geklärt, wobei das Problem mittels Fouriertransformation auf eine von einem komplexen Parameter abhängige Familie T(·) von Fredholmoperatoren zurückgeführt wird. Unter Anwendung des Residuenkalküls gewinnen wir eine Darstellung der Lösung in Form einer Zerlegung in einen glatten Anteil einerseits sowie eine endliche Summe von Singulärfunktionen andererseits. Durch Abschneidetechniken werden die gewonnenen Erkenntnisse auf den Fall schwach formulierter elliptischer Systeme auf beschränkten Kegelgebieten unter Formulierung in gewöhnlichen, nicht-gewichteten Sobolevräumen angewendet. Die für Regularitätsfragen maßgeblichen Eigenwerte der Operatorfunktion T mit minimalem positiven Imaginärteil werden im letzten Kapitel der Arbeit am Beispiel der ebenen elastischen Gleichungen numerisch bestimmt. N2 - In the present PhD thesis we investigate systems of linear partial elliptic equations in weak formulation on conical domains. For an unbounded cone, first, we study the case of bounded and radially constant coefficient functions. The so defined bilinear form is supposed to satisfy a (local) Gårding inequality. In weighted Sobolev spaces we study questions of existence and uniqueness of solutions. In this context the problem is Fourier-transformed onto a set of smaller problems, represented by Fredholm operators T(·) that holomorphically depend on a complex parameter. Via the residual theorem we yield a decomposition of the solution into a regular part and a finite sum of singular functions. Using cut-off techniques we are able to transfer the preceeding results onto the case of weak formulated linear elliptic systems on bounded cones under restriction to usual, non weighted Sobolev spaces. In the last chapter, the eigenvalues of T with minimal positive imaginary part, which are responsible for regularity properties, are numeriaclly determined for the example of the plane Elastic Equations. KW - Elliptische Differentialgleichung KW - Lineare Funktionalanalysis KW - Funktionentheorie KW - Numerische Mathematik KW - Kegelgebiet KW - unstetige Koeffizientenfunktionen KW - gewichtete Sobolevräume KW - Singulärfunktionen KW - conical domain KW - discontinuous coefficient functions KW - weighted Sobolev spaces KW - singular functions Y1 - 2008 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-34544 ER - TY - THES A1 - Baumann, Markus T1 - Newton's Method for Path-Following Problems on Manifolds T1 - Das Newton-Verfahren für Verfolgungsprobleme auf Mannigfaltigkeiten N2 - Many optimization problems for a smooth cost function f on a manifold M can be solved by determining the zeros of a vector field F; such as e.g. the gradient F of the cost function f. If F does not depend on additional parameters, numerous zero-finding techniques are available for this purpose. It is a natural generalization however, to consider time-dependent optimization problems that require the computation of time-varying zeros of time-dependent vector fields F(x,t). Such parametric optimization problems arise in many fields of applied mathematics, in particular path-following problems in robotics, recursive eigenvalue and singular value estimation in signal processing, as well as numerical linear algebra and inverse eigenvalue problems in control theory. In the literature, there are already some tracking algorithms for these tasks, but these do not always adequately respect the manifold structure. Hence, available tracking results can often be improved by implementing methods working directly on the manifold. Thus, intrinsic methods are of interests that evolve during the entire computation on the manifold. It is the task of this thesis, to develop such intrinsic zero finding methods. The main results of this thesis are as follows: - A new class of continuous and discrete tracking algorithms is proposed for computing zeros of time-varying vector fields on Riemannian manifolds. This was achieved by studying the newly introduced time-varying Newton Flow and the time-varying Newton Algorithm on Riemannian manifolds. - Convergence analysis is performed on arbitrary Riemannian manifolds. - Concretization of these results on submanifolds, including for a new class of algorithms via local parameterizations. - More specific results in Euclidean space are obtained by considering inexact and underdetermined time-varying Newton Flows. - Illustration of these newly introduced algorithms by examining time-varying tracking tasks in three application areas: Subspace analysis, matrix decompositions (in particular EVD and SVD) and computer vision. N2 - Das Optimieren einer glatten Kostenfunktion f auf einer Mannigfaltigkeit M kann oft dadurch erreicht werden, dass man die Nullstellen eines Vektorfeldes F bestimmt; z.B. dann, wenn F der Gradient von f ist. Für solche Problemstellungen gibt es zahlreiche Nullstellensuchmethoden, sofern F nicht von zusätzlichen Parametern abhängt. Es ist jedoch eine nahe liegende Erweiterung, zeitvariante Optimierungsaufgaben zu betrachten, für die dann Verfahren zur Berechnung der zeitvarianten Nullstelle von Vektorfeldern F(x,t) benötigt werden. Solche parametrisierte Optimierungsprobleme tauchen in vielen Teilgebieten der angewandten Mathematik auf, insbesondere Verfolgungsprobleme in der Robotik, rekursive Eigenwert- und Singulärwertbestimmung in der Signalverarbeitung sowie in der numerischen linearen Algebra und inverse Eigenwertprobleme in der Kontrolltheorie. In der Literatur gibt es bereits einige Nullstellen-Verfolgungsmethoden für solche Aufgaben. Jedoch wird dabei meistens nicht die Struktur der Mannigfaltigkeit hinreichend berücksichtigt, was aber wünschenswert wäre. Methoden, die direkt auf M arbeiten liefern nämlich andere und ggf. bessere Ergebnisse. Dies begründet unser Interesse an intrinsische Methoden, und es ist die zentrale Aufgabe dieser Arbeit, solche Methoden herzuleiten. Die Hauptergebnisse sind wie folgt: - Neue Klassen von diskreten und kontinuierlichen Methoden zur Verfolgung von Nullstellen von zeitvarianten Vektorfeldern auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten werden etabliert. Dazu wurden der zeitvariante Newton Fluss und der zeitvariante Newton Algorithmus auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten neu eingeführt und studiert. - Die Konvergenzanalyse wird auf beliebigen Riemannschen Mannigfaltigkeiten durchgeführt. - Die Ergebnisse werden durch Betrachtung von Untermannigfaltigkeiten konkretisiert. Dabei wird eine neue Klasse von Algorithmen hergeleitet, die lokalen Parametrisierungen der Mannigfaltigkeit nutzt. - Durch Betrachtung der Ergebnisse im euklidischen Raum werden diese zunächst weiter vereinfacht und dann um inexakte und unterbestimmte zeitvariante Verfahren erweitert. - Die neu eingeführten Algorithmen werden durch das ausführliche Studium von zeitvarianten Verfolgungsproblemen in drei Anwendungsgebieten veranschaulicht: Unterraumberechnung, Matrizenzerlegungen (insbesondere Diagonalisierung von Matrizen und Singulärwertzerlegung) und Bewegungsrekonstruktion aus Kamerabildern. KW - Dynamische Optimierung KW - Newton-Verfahren KW - Globale Analysis KW - Differentialgeometrie KW - Nullstelle KW - Unterraumsuche KW - Matrizenzerlegung KW - Riemannsche Mannigfaltigkeiten KW - Riemannian manifolds KW - time-varying KW - Newton's method KW - zero-finding KW - matrix decomposition Y1 - 2008 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-28099 ER - TY - THES A1 - Pechmann, Patrick R. T1 - Penalized Least Squares Methoden mit stückweise polynomialen Funktionen zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen T1 - Penalized least squares methods with piecewise polynomial functions for solving partial differential equations N2 - Das Hauptgebiet der Arbeit stellt die Approximation der Lösungen partieller Differentialgleichungen mit Dirichlet-Randbedingungen durch Splinefunktionen dar. Partielle Differentialgleichungen finden ihre Anwendung beispielsweise in Bereichen der Elektrostatik, der Elastizitätstheorie, der Strömungslehre sowie bei der Untersuchung der Ausbreitung von Wärme und Schall. Manche Approximationsaufgaben besitzen keine eindeutige Lösung. Durch Anwendung der Penalized Least Squares Methode wurde gezeigt, dass die Eindeutigkeit der gesuchten Lösung von gewissen Minimierungsaufgaben sichergestellt werden kann. Unter Umständen lässt sich sogar eine höhere Stabilität des numerischen Verfahrens gewinnen. Für die numerischen Betrachtungen wurde ein umfangreiches, effizientes C-Programm erstellt, welches die Grundlage zur Bestätigung der theoretischen Voraussagen mit den praktischen Anwendungen bildete. N2 - This work focuses on approximating solutions of partial differential equations with Dirichlet boundary conditions by means of spline functions. The application of partial differential equations concerns the fields of electrostatics, elasticity, fluid flow as well as the analysis of the propagation of heat and sound. Some approximation problems do not have a unique solution. By applying the penalized least squares method it has been shown that uniqueness of the solution of a certain class of minimizing problems can be guaranteed. In some cases it is even possible to reach higher stability of the numerical method. For the numerical analysis we have developed an extensive and efficient C code. It serves as the basis to confirm theoretical predictions with practical applications. KW - Approximationstheorie KW - B-Spline KW - Dirichlet-Problem KW - Finite-Elemente-Methode KW - Partielle Differentialgleichung KW - Poisson-Gleichung KW - Spline KW - Penalized Least Squares Methode KW - Projektionssatz KW - Stückweise Polynomiale Funktion KW - Penalized Least Squares Method KW - Projection Theorem KW - Piecewise Polynomial Function Y1 - 2008 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-28136 ER - TY - THES A1 - Gregor, Thomas T1 - {0,1}-Matrices with Rectangular Rule T1 - {0,1}-Matrizen mit Rechtecksregel N2 - The incidence matrices of many combinatorial structures satisfy the so called rectangular rule, i.e., the scalar product of any two lines of the matrix is at most 1. We study a class of matrices with rectangular rule, the regular block matrices. Some regular block matrices are submatrices of incidence matrices of finite projective planes. Necessary and sufficient conditions are given for regular block matrices, to be submatrices of projective planes. Moreover, regular block matrices are related to another combinatorial structure, the symmetric configurations. In particular, it turns out, that we may conclude the existence of several symmetric configurations from the existence of a projective plane, using this relationship. N2 - Die Inzidenzmatrizen vieler kombinatorischer Strukturen erfüllen die sogenannte Rechtecksregel, d.h. das Skalarprodukt zweier beliebiger Zeilen der Matrix ist höchstens 1. Weiterhin wird eine Klasse von Matrizen mit Rechtecksregel untersucht, von denen einige auch Untermatrizen von Inzidenzmatrizen endlicher projektiver Ebenen sind. Es werden notwendige und hinreichende Bedingungen angegeben, wann dies der Fall ist. Darüberhinaus gibt es eine enge Beziehung zwischen dieser Klasse von Matrizen und einer anderen Struktur, den symmetrischen Konfigurationen. Es stellt sich unter anderem heraus, dass aus der Existenz einer projektiven Ebene mittels dieser Beziehung die Existenz verschiedener symmetrischer Konfigurationen gefolgert werden kann. KW - Projektive Ebene KW - Inzidenzmatrix KW - Kombinatorik KW - Endliche Geometrie KW - Symmetrische Konfiguration KW - (0 KW - 1)-Matrix KW - finite projective plane KW - incidence matrix KW - design KW - symmetric configuration KW - (0 KW - 1)-matrix Y1 - 2008 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-28389 ER - TY - THES A1 - Jordan, Jens T1 - Reachable sets of numerical iteration schemes : a system semigroup approach T1 - Erreichbarkeitsmengen numerischer Iterations Schemata : ein Systemhalbgruppenansatz N2 - We investigate iterative numerical algorithms with shifts as nonlinear discrete-time control systems. Our approach is based on the interpretation of reachable sets as orbits of the system semigroup. In the first part we develop tools for the systematic analysis of the structure of reachable sets of general invertible discrete-time control systems. Therefore we merge classical concepts, such as geometric control theory, semigroup actions and semialgebraic geometry. Moreover, we introduce new concepts such as right divisible systems and the repelling phenomenon. In the second part we apply the semigroup approach to the investigation of concrete numerical iteration schemes. We extend the known results about the reachable sets of classical inverse iteration. Moreover, we investigate the structure of reachable sets and systemgroup orbits of inverse iteration on flag manifolds and Hessenberg varieties, rational iteration schemes, Richardson's method and linear control schemes. In particular we obtain necessary and sufficient conditions for controllability and the appearance of repelling phenomena. Furthermore, a new algorithm for solving linear equations (LQRES) is derived. N2 - Iterative numerische Algorithmen können als zeitdiskrete Systeme betrachtet werden. In dieser Arbeit werden Methoden der nichtlinearen Kontrolltheorie benutzt um iterative numerische Algorithmen zu analysieren. Hierzu wird ein Ansatz verfolgt der darauf basiert, dass Erreichbarkeitsmengen als Halbgruppenorbits interpretiert werden können. Im ersten Teil der Arbeit werden Werkzeuge zur systematischen Analyse von Erreichbarkeitsmengen allgemeiner nichtlinearer Kontrollsystme entwickelt. Dazu werden klassische Konzepte, wie geometrische Kontrolltheorie, Halbgruppenaktionen und semialgebraische Geometrie zusammengeführt. Desweiteren werden neue Konzepte, wie rechtszerlegbare Systeme und Abstoßungsphänomene, eingeführt. Im zweiten Teil der Arbeit werden diese Werkzeuge und dabei insbesondere der Halbgruppenansatz zur Untersuchung konkreter numerischer Algorithmen angewandt. Bekannte Ergebnisse über die Erreichbarkeitsmengen der klassischen inversen Iteration werden erweitert. Die Ergebnisse werden auf inverse Iteration auf Fahnenmannigfaltigkeiten und auf Hessenbergvarietäten erweitert. Untersucht wird zudem die Struktur der Erreichbarkeitsmengen der rationalen Iteration, der Richardsonmethode und von linearen Kontrollsystemen. Insbesondere werden notwendige sowie hinreichende Kriterien sowohl für Kontrollierbarkeit als auch für das Auftreten von Abstoßungsphänomenen bewiesen. Außerdem wird ein neuer Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungssysteme vorgestellt. KW - Nichtlineare Kontrolltheorie KW - Numerische Mathematik KW - Systemhalbgruppen KW - Inverse Iteration KW - Abstoßungsphänomen KW - Systemsemigroups KW - inverse Iteration KW - repelling phenomenon Y1 - 2008 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-28416 ER - TY - RPRT A1 - Englert, Stefan T1 - Mathematica in 15 Minuten (Mathematica Version 6.0) N2 - Mathematica ist ein hervorragendes Programm um mathematische Berechnungen – auch sehr komplexe – auf relativ einfache Art und Weise durchführen zu lassen. Dieses Skript soll eine wirklich kurze Einführung in Mathematica geben und als Nachschlagewerk einiger gängiger Anwendungen von Mathematica dienen. Dabei wird folgende Grobgliederung verwendet: - Grundlagen: Graphische Oberfläche, einfache Berechnungen, Formeleingabe - Bedienung: Vorstellung einiger Kommandos und Einblick in die Funktionsweise - Praxis: Beispielhafte Berechnung einiger Abitur- und Übungsaufgaben KW - Anwendungssoftware KW - Angewandte Mathematik KW - Lineare Algebra KW - Analysis KW - Mathematica Y1 - 2009 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-70275 N1 - Vor-Version des Titels Mathematica in 15 Minuten (Mathematica Version 8.0) http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bvb:20-opus-70287 ER - TY - THES A1 - Englert, Stefan T1 - Schätzer des Artenreichtums bei speziellen Erscheinungshäufigkeiten T1 - Species richness estimation N2 - Bei vielen Fragestellungen, in denen sich eine Grundgesamtheit in verschiedene Klassen unterteilt, ist weniger die relative Klassengröße als vielmehr die Anzahl der Klassen von Bedeutung. So interessiert sich beispielsweise der Biologe dafür, wie viele Spezien einer Gattung es gibt, der Numismatiker dafür, wie viele Münzen oder Münzprägestätten es in einer Epoche gab, der Informatiker dafür, wie viele unterschiedlichen Einträge es in einer sehr großen Datenbank gibt, der Programmierer dafür, wie viele Fehler eine Software enthält oder der Germanist dafür, wie groß der Wortschatz eines Autors war oder ist. Dieser Artenreichtum ist die einfachste und intuitivste Art und Weise eine Population oder Grundgesamtheit zu charakterisieren. Jedoch kann nur in Kollektiven, in denen die Gesamtanzahl der Bestandteile bekannt und relativ klein ist, die Anzahl der verschiedenen Spezien durch Erfassung aller bestimmt werden. In allen anderen Fällen ist es notwendig die Spezienanzahl durch Schätzungen zu bestimmen. KW - Statistik KW - Nichtparametrische Statistik KW - Deskriptive Statistik Y1 - 2009 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-71362 ER - TY - THES A1 - Hofmann, Daniel T1 - Characterization of the D-Norm Corresponding to a Multivariate Extreme Value Distribution T1 - Eine Charakterisierung der D-Norm einer multivariaten Extremwertverteilung N2 - It is well-known that a multivariate extreme value distribution can be represented via the D-Norm. However not every norm yields a D-Norm. In this thesis a necessary and sufficient condition is given for a norm to define an extreme value distribution. Applications of this theorem includes a new proof for the bivariate case, the Pickands dependence function and the nested logistic model. Furthermore the GPD-Flow is introduced and first insights were given such that if it converges it converges against the copula of complete dependence. N2 - Es ist wohlbekannt dass sich eine multivariate Extremwertverteilung mittels der D-Norm darstellen lässt. Jedoch liefert nicht jede Norm eine D-Norm. In dieser Arbeit wird eine notwendige und hinreichende Bedingung an eine Norm hergeleitet, so dass diese Norm eine Extremwertverteilung definiert. Anwendungen dieses Satzes sind unter anderem einer neuer Beweis für den bivariaten Fall, die Pickands Abhängigkeitsfunktion und das Nestes Logistic Model. Desweiteren wird der GPD-Fluss eingeführt und erste Untersuchungen wurden durchgeführt. Zum Beispiel die Tatsache, dass wenn der GPD-Fluss konvergiert, dann gegen die Copula der kompletten Abhängigkeit. KW - Kopula KW - Extremwertverteilung KW - D-Norm KW - multivariate Extreme Value Distribution KW - GPD KW - GPD-Flow KW - Copula Y1 - 2009 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-41347 ER - TY - THES A1 - Hoheisel, Tim T1 - Mathematical Programs with Vanishing Constraints T1 - Optimierungsprobleme mit \'vanishing constraints\' N2 - A new class of optimization problems name 'mathematical programs with vanishing constraints (MPVCs)' is considered. MPVCs are on the one hand very challenging from a theoretical viewpoint, since standard constraint qualifications such as LICQ, MFCQ, or ACQ are most often violated, and hence, the Karush-Kuhn-Tucker conditions do not provide necessary optimality conditions off-hand. Thus, new CQs and the corresponding optimality conditions are investigated. On the other hand, MPVCs have important applications, e.g., in the field of topology optimization. Therefore, numerical algorithms for the solution of MPVCs are designed, investigated and tested for certain problems from truss-topology-optimization. KW - Nichtlineare Optimierung KW - Nichtglatte Optimierung KW - Nichtkonvexe Optimierung KW - Nichtglatte Analysis KW - Konvexe Analysis KW - Topologieoptimierung KW - MPEC KW - MPVC Y1 - 2009 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-40790 ER - TY - THES A1 - von Heusinger, Anna T1 - Numerical Methods for the Solution of the Generalized Nash Equilibrium Problem T1 - Numerische Verfahren zur Lösung des verallgemeinerten Nash-Gleichgewichtsproblem N2 - In the generalized Nash equilibrium problem not only the cost function of a player depends on the rival players' decisions, but also his constraints. This thesis presents different iterative methods for the numerical computation of a generalized Nash equilibrium, some of them globally, others locally superlinearly convergent. These methods are based on either reformulations of the generalized Nash equilibrium problem as an optimization problem, or on a fixed point formulation. The key tool for these reformulations is the Nikaido-Isoda function. Numerical results for various problem from the literature are given. N2 - Das verallgemeinerte Nash-Gleichgewichtsproblem ist ein Lösungskonzept für Spiele, in denen neben der Kostenfunktion eines Spielers auch dessen Strategiemenge von den Entscheidungen der anderen Spieler abhängt. In dieser Arbeit werden global konvergente und lokal superlinear konvergente Verfahren zur numerischen Berechnung eines verallgemeinerten Nash-Gleichgewichts vorgestellt. Die Verfahren basieren entweder auf einer Umformulierung des verallgemeinerten Nash-Gleichgewichtsproblems als Optimierungsproblem oder als Fixpunktproblem. Für diese Umformulierungen wird die Nikaido-Isoda Funktion verwendet. Es werden numerische Ergebenisse für einige Probleme aus der Literatur widergegeben. KW - Spieltheorie KW - Nash-Gleichgewicht KW - Nichtlineare Optimierung KW - Newton-Verfahren KW - Abstiegsverfahren KW - Nikaido-Isoda Funktion KW - Nash Equilibrium Problem KW - Newton Methods KW - Nikaido-Isoda function Y1 - 2009 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-47662 ER - TY - THES A1 - Teichert, Christian T1 - Globale Minimierung von Linearen Programmen mit Gleichgewichtsrestriktionen und globale Konvergenz eines Filter-SQPEC-Verfahrens für Mathematische Programme mit Gleichgewichtsrestriktionen T1 - Global minimization of linear programs with equilibrium constraints and global convergence of a filter-SQPEC algorithm for mathematical programs with equilibrium constraints N2 - Mathematische Programme mit Gleichgewichtsrestriktionen (oder Komplementaritätsbedingungen), kurz MPECs, sind als äußerst schwere Optimierungsprobleme bekannt. Lokale Minima oder geeignete stationäre Punkte zu finden, ist ein nichttriviales Problem. Diese Arbeit beschreibt, wie man dennoch die spezielle Struktur von MPECs ausnutzen kann und mittels eines Branch-and-Bound-Verfahrens ein globales Minimum von Linearen Programmen mit Gleichgewichtsrestriktionen, kurz LPECs, bekommt. Des Weiteren wird dieser Branch-and-Bound-Algorithmus innerhalb eines Filter-SQPEC-Verfahrens genutzt, um allgemeine MPECs zu lösen. Für das Filter-SQPEC Verfahren wird ein globaler Konvergenzsatz bewiesen. Außerdem werden für beide Verfahren numerische Resultate angegeben. N2 - Mathematical programs with equilibrium (or complementarity) constraints, MPECs for short, are known to be very difficult optimization problems. Finding local minima or suitable stationary points is a highly nontrivial task. On the other hand, taking into account the special structure of MPECs, this thesis describes a branch-and-bound-type algorithm for the computation of a global minimum of linear programs with equilibrium constraints, LPECs for short. Furthermore this branch-and-bound-type algorithm is used within a filter-SQPEC algorithm to solve the general MPEC. For the filter-SQPEC algorithm, a global convergence theorem is proven. Numerical results are presented for both methods. KW - Nichtlineare Optimierung KW - MPEC KW - LPEC KW - Filter-SQPEC Verfahren KW - globale Konvergenz KW - branch- and-bound Verfahren KW - MPEC KW - LPEC KW - filter-SQPEC algorithm KW - global convergence KW - branch-and-bound algorithm Y1 - 2009 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-38700 ER -