TY - THES A1 - Börgens, Eike Alexander Lars Guido T1 - ADMM-Type Methods for Optimization and Generalized Nash Equilibrium Problems in Hilbert Spaces T1 - ADMM-Methoden für Optimierungs- und Verallgemeinerte Nash-Gleichgewichtsprobleme in Hilberträumen N2 - This thesis is concerned with a certain class of algorithms for the solution of constrained optimization problems and generalized Nash equilibrium problems in Hilbert spaces. This class of algorithms is inspired by the alternating direction method of multipliers (ADMM) and eliminates the constraints using an augmented Lagrangian approach. The alternating direction method consists of splitting the augmented Lagrangian subproblem into smaller and more easily manageable parts. Before the algorithms are discussed, a substantial amount of background material, including the theory of Banach and Hilbert spaces, fixed-point iterations as well as convex and monotone set-valued analysis, is presented. Thereafter, certain optimization problems and generalized Nash equilibrium problems are reformulated and analyzed using variational inequalities and set-valued mappings. The analysis of the algorithms developed in the course of this thesis is rooted in these reformulations as variational inequalities and set-valued mappings. The first algorithms discussed and analyzed are one weakly and one strongly convergent ADMM-type algorithm for convex, linearly constrained optimization. By equipping the associated Hilbert space with the correct weighted scalar product, the analysis of these two methods is accomplished using the proximal point method and the Halpern method. The rest of the thesis is concerned with the development and analysis of ADMM-type algorithms for generalized Nash equilibrium problems that jointly share a linear equality constraint. The first class of these algorithms is completely parallelizable and uses a forward-backward idea for the analysis, whereas the second class of algorithms can be interpreted as a direct extension of the classical ADMM-method to generalized Nash equilibrium problems. At the end of this thesis, the numerical behavior of the discussed algorithms is demonstrated on a collection of examples. N2 - Die vorliegende Arbeit behandelt eine Klasse von Algorithmen zur Lösung restringierter Optimierungsprobleme und verallgemeinerter Nash-Gleichgewichtsprobleme in Hilberträumen. Diese Klasse von Algorithmen ist angelehnt an die Alternating Direction Method of Multipliers (ADMM) und eliminiert die Nebenbedingungen durch einen Augmented-Lagrangian-Ansatz. Im Rahmen dessen wird in der Alternating Direction Method of Multipliers das jeweilige Augmented-Lagrangian-Teilproblem in kleinere Teilprobleme aufgespaltet. Zur Vorbereitung wird eine Vielzahl grundlegender Resultate präsentiert. Dies beinhaltet entsprechende Ergebnisse aus der Literatur zu der Theorie von Banach- und Hilberträumen, Fixpunktmethoden sowie konvexer und monotoner mengenwertiger Analysis. Im Anschluss werden gewisse Optimierungsprobleme sowie verallgemeinerte Nash-Gleichgewichtsprobleme als Variationsungleichungen und Inklusionen mit mengenwertigen Operatoren formuliert und analysiert. Die Analysis der im Rahmen dieser Arbeit entwickelten Algorithmen bezieht sich auf diese Reformulierungen als Variationsungleichungen und Inklusionsprobleme. Zuerst werden ein schwach und ein stark konvergenter paralleler ADMM-Algorithmus zur Lösung von separablen Optimierungsaufgaben mit linearen Gleichheitsnebenbedingungen präsentiert und analysiert. Durch die Ausstattung des zugehörigen Hilbertraums mit dem richtigen gewichteten Skalarprodukt gelingt die Analyse dieser beiden Methoden mit Hilfe der Proximalpunktmethode und der Halpern-Methode. Der Rest der Arbeit beschäftigt sich mit Algorithmen für verallgemeinerte Nash-Gleichgewichtsprobleme, die gemeinsame lineare Gleichheitsnebenbedingungen besitzen. Die erste Klasse von Algorithmen ist vollständig parallelisierbar und es wird ein Forward-Backward-Ansatz für die Analyse genutzt. Die zweite Klasse von Algorithmen kann hingegen als direkte Erweiterung des klassischen ADMM-Verfahrens auf verallgemeinerte Nash-Gleichgewichtsprobleme aufgefasst werden. Abschließend wird das Konvergenzverhalten der entwickelten Algorithmen an einer Sammlung von Beispielen demonstriert. KW - Constrained optimization KW - Nash-Gleichgewicht KW - ADMM KW - Generalized Nash Equilibrium Problem KW - Verallgemeinertes Nash-Gleichgewichtsproblem KW - Hilbert-Raum KW - Optimierung Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-218777 ER - TY - THES A1 - Steck, Daniel T1 - Lagrange Multiplier Methods for Constrained Optimization and Variational Problems in Banach Spaces T1 - Lagrange-Multiplier-Verfahren für Restringierte Optimierung und Variationsprobleme in Banach-Räumen N2 - This thesis is concerned with a class of general-purpose algorithms for constrained minimization problems, variational inequalities, and quasi-variational inequalities in Banach spaces. A substantial amount of background material from Banach space theory, convex analysis, variational analysis, and optimization theory is presented, including some results which are refinements of those existing in the literature. This basis is used to formulate an augmented Lagrangian algorithm with multiplier safeguarding for the solution of constrained optimization problems in Banach spaces. The method is analyzed in terms of local and global convergence, and many popular problem classes such as nonlinear programming, semidefinite programming, and function space optimization are shown to be included as special cases of the general setting. The algorithmic framework is then extended to variational and quasi-variational inequalities, which include, by extension, Nash and generalized Nash equilibrium problems. For these problem classes, the convergence is analyzed in detail. The thesis then presents a rich collection of application examples for all problem classes, including implementation details and numerical results. N2 - Die vorliegende Arbeit handelt von einer Klasse allgemein anwendbarer Verfahren zur Lösung restringierter Optimierungsprobleme, Variations- und Quasi-Variationsungleichungen in Banach-Räumen. Zur Vorbereitung wird eine erhebliche Menge an Grundmaterial präsentiert. Dies beinhaltet die Theorie von Banach-Räumen, konvexe und variationelle Analysis sowie Optimierungstheorie. Manche der angegebenen Resultate sind hierbei Verfeinerungen der entsprechenden Ergebnisse aus der Literatur. Im Anschluss wird ein Augmented-Lagrange-Verfahren für restingierte Optimierungsprobleme in Banach-Räumen präsentiert. Der Algorithmus wird hinsichtlich lokaler und globaler Konvergenz untersucht, und viele typische Problemklassen wie nichtlineare Programme, semidefinite Programme oder Optimierungsprobleme in Funktionenräumen werden als Spezialfälle aufgezeigt. Der Algorithmus wird dann auf Variations- und Quasi-Variationsungleichungen verallgemeinert, wodurch implizit auch (verallgemeinerte) Nash-Gleichgewichtsprobleme abgehandelt werden. Für diese Problemklassen werden eigene Konvergenzanalysen betrieben. Die Dissertation beinhaltet zudem eine umfangreiche Sammlung von Anwendungsbeispielen und zugehörigen numerischen Ergebnissen. KW - Optimierung KW - Nash-Gleichgewicht KW - Variationsungleichung KW - Banach-Raum KW - Quasi-Variational Inequality KW - Generalized Nash Equilibrium Problem KW - Quasi-Variationsungleichung KW - Verallgemeinertes Nash-Gleichgewichtsproblem Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-174444 ER -