TY - THES A1 - Scherz, Jan T1 - Weak Solutions to Mathematical Models of the Interaction between Fluids, Solids and Electromagnetic Fields T1 - Schwache Lösungen für mathematische Modelle der Wechselwirkung zwischen Flüssigkeiten, Festkörpern und elektromagnetischen Feldern N2 - We analyze the mathematical models of two classes of physical phenomena. The first class of phenomena we consider is the interaction between one or more insulating rigid bodies and an electrically conducting fluid, inside of which the bodies are contained, as well as the electromagnetic fields trespassing both of the materials. We take into account both the cases of incompressible and compressible fluids. In both cases our main result yields the existence of weak solutions to the associated system of partial differential equations, respectively. The proofs of these results are built upon hybrid discrete-continuous approximation schemes: Parts of the systems are discretized with respect to time in order to deal with the solution-dependent test functions in the induction equation. The remaining parts are treated as continuous equations on the small intervals between consecutive discrete time points, allowing us to employ techniques which do not transfer to the discretized setting. Moreover, the solution-dependent test functions in the momentum equation are handled via the use of classical penalization methods. The second class of phenomena we consider is the evolution of a magnetoelastic material. Here too, our main result proves the existence of weak solutions to the corresponding system of partial differential equations. Its proof is based on De Giorgi's minimizing movements method, in which the system is discretized in time and, at each discrete time point, a minimization problem is solved, the associated Euler-Lagrange equations of which constitute a suitable approximation of the original equation of motion and magnetic force balance. The construction of such a minimization problem is made possible by the realization that, already on the continuous level, both of these equations can be written in terms of the same energy and dissipation potentials. The functional for the discrete minimization problem can then be constructed on the basis of these potentials. N2 - Wir analysieren die mathematischen Modelle von zwei Arten physikalischer Phänomene. Die erste Art von Phänomenen, die wir betrachten, ist die Wechselwirkung zwischen einem oder mehreren isolierenden starren Körpern und einem elektrisch leitenden Fluid, das die Körper umgibt, sowie den elektromagnetischen Feldern in beiden Materialien. Wir untersuchen sowohl den Fall inkompressibler als auch kompressibler Fluide. In beiden Fällen liefert unser Hauptresultat die Existenz von schwachen Lösungen für das zugehörige System partieller Differentialgleichungen. Die Beweise dieser Resultate beruhen auf hybriden diskret-kontinuierlichen Approximationsmethoden: Teile der Systeme werden in der Zeit diskretisiert, um das Problem der lösungsabhängigen Testfunktionen in der Induktionsgleichung zu bewältigen. Die verbleibenden Gleichungen werden als kontinuierliche Gleichungen auf den kleinen Intervallen zwischen aufeinanderfolgenden diskreten Zeitpunkten behandelt, sodass wir Techniken anwenden können, die sich nicht auf das diskretisierte System übertragen lassen. Darüber hinaus wird das Problem der lösungsabhängigen Testfunktionen in der Impulsgleichung durch die Verwendung klassischer Penalisierungsmethoden gelöst. Die zweite Art von Phänomenen, die wir betrachten, ist die Entwicklung eines magnetoelastischen Materials. Auch hier beweist unser Hauptresultat die Existenz schwacher Lösungen für das zugehörige System partieller Differentialgleichungen. Der Beweis basiert auf der Methode von De Giorgi, bei der das System in der Zeit diskretisiert und in jedem diskreten Zeitpunkt ein Minimierungsproblem gelöst wird, dessen zugehörige Euler-Lagrange-Gleichungen eine geeignete Approximation an die ursprüngliche Bewegungsgleichung und mikromagnetische Gleichung darstellen. Die Konstruktion eines solchen Minimierungsproblems wird durch die Erkenntnis ermöglicht, dass diese beiden Gleichungen bereits im kontinuierlichen System mithilfe derselben Energie- und Dissipationspotenziale ausgedrückt werden können. Das Funktional für das diskrete Minimierungsproblem kann dann auf Grundlage dieser Potenziale konstruiert werden. KW - Fluid-Struktur-Wechselwirkung KW - Magnetoelastizität KW - Magnetohydrodynamik KW - Navier-Stokes-Gleichung KW - Zeitdiskrete Approximation KW - Fluid-structure interaction KW - Magnetoelasticity KW - Magnetohydrodynamics KW - Minimizing movements KW - Navier-Stokes equations KW - Rothe method Y1 - 2024 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-349205 ER - TY - THES A1 - Körner, Jacob T1 - Theoretical and numerical analysis of Fokker–Planck optimal control problems by first– and second–order optimality conditions T1 - Theoretische und numerische Analysis von Fokker-Planck optimalen Steuerungsproblemen mittels Optimalitätsbedingung erster und zweiter Ordnung N2 - In this thesis, a variety of Fokker--Planck (FP) optimal control problems are investigated. Main emphasis is put on a first-- and second--order analysis of different optimal control problems, characterizing optimal controls, establishing regularity results for optimal controls, and providing a numerical analysis for a Galerkin--based numerical scheme. The Fokker--Planck equation is a partial differential equation (PDE) of linear parabolic type deeply connected to the theory of stochastic processes and stochastic differential equations. In essence, it describes the evolution over time of the probability distribution of the state of an object or system of objects under the influence of both deterministic and stochastic forces. The FP equation is a cornerstone in understanding and modeling phenomena ranging from the diffusion and motion of molecules in a fluid to the fluctuations in financial markets. Two different types of optimal control problems are analyzed in this thesis. On the one hand, Fokker--Planck ensemble optimal control problems are considered that have a wide range of applications in controlling a system of multiple non--interacting objects. In this framework, the goal is to collectively drive each object into a desired state. On the other hand, tracking--type control problems are investigated, commonly used in parameter identification problems or stemming from the field of inverse problems. In this framework, the aim is to determine certain parameters or functions of the FP equation, such that the resulting probability distribution function takes a desired form, possibly observed by measurements. In both cases, we consider FP models where the control functions are part of the drift, arising only from the deterministic forces of the system. Therefore, the FP optimal control problem has a bilinear control structure. Box constraints on the controls may be present, and the focus is on time--space dependent controls for ensemble--type problems and on only time--dependent controls for tracking--type optimal control problems. In the first chapter of the thesis, a proof of the connection between the FP equation and stochastic differential equations is provided. Additionally, stochastic optimal control problems, aiming to minimize an expected cost value, are introduced, and the corresponding formulation within a deterministic FP control framework is established. For the analysis of this PDE--constrained optimal control problem, the existence, and regularity of solutions to the FP problem are investigated. New $L^\infty$--estimates for solutions are established for low space dimensions under mild assumptions on the drift. Furthermore, based on the theory of Bessel potential spaces, new smoothness properties are derived for solutions to the FP problem in the case of only time--dependent controls. Due to these properties, the control--to--state map, which associates the control functions with the corresponding solution of the FP problem, is well--defined, Fréchet differentiable and compact for suitable Lebesgue spaces or Sobolev spaces. The existence of optimal controls is proven under various assumptions on the space of admissible controls and objective functionals. First--order optimality conditions are derived using the adjoint system. The resulting characterization of optimal controls is exploited to achieve higher regularity of optimal controls, as well as their state and co--state functions. Since the FP optimal control problem is non--convex due to its bilinear structure, a first--order analysis should be complemented by a second--order analysis. Therefore, a second--order analysis for the ensemble--type control problem in the case of $H^1$--controls in time and space is performed, and sufficient second--order conditions are provided. Analogous results are obtained for the tracking--type problem for only time--dependent controls. The developed theory on the control problem and the first-- and second--order optimality conditions is applied to perform a numerical analysis for a Galerkin discretization of the FP optimal control problem. The main focus is on tracking-type problems with only time--dependent controls. The idea of the presented Galerkin scheme is to first approximate the PDE--constrained optimization problem by a system of ODE--constrained optimization problems. Then, conditions on the problem are presented such that the convergence of optimal controls from one problem to the other can be guaranteed. For this purpose, a class of bilinear ODE--constrained optimal control problems arising from the Galerkin discretization of the FP problem is analyzed. First-- and second--order optimality conditions are established, and a numerical analysis is performed. A discretization with linear finite elements for the state and co--state problem is investigated, while the control functions are approximated by piecewise constant or piecewise quadratic continuous polynomials. The latter choice is motivated by the bilinear structure of the optimal control problem, allowing to overcome the discrepancies between a discretize--then--optimize and optimize--then--discretize approach. Moreover, second--order accuracy results are shown using the space of continuous, piecewise quadratic polynomials as the discrete space of controls. Lastly, the theoretical results and the second--order convergence rates are numerically verified. N2 - In dieser Dissertation werden verschiedene Fokker--Planck (FP) optimale Steuerungsprobleme untersucht. Die Schwerpunkte liegen auf einer Analyse von Optimalitätsbedingungen erster und zweiter Ordnung, der Charakterisierung optimaler Steuerungen, dem Herleiten höhere Regularität von optimalen Kontrollen sowie einer theoretischen numerischen Analyse für ein numerisches Verfahren basierend auf einer Galerkin Approximation. Die Fokker--Planck Gleichung ist eine lineare, parabolische, partielle Differentialgleichung (PDE), die aus dem Gebiet stochastischer Differentialgleichungen und stochastischer Prozesse stammt. Im Wesentlichen beschreibt sie die zeitliche Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsverteilung des Zustands eines Objekts bzw. eines Systems von Objekten unter dem Einfluss sowohl deterministischer als auch stochastischer Kräfte. Die Fokker--Planck Gleichung ist ein Eckpfeiler zum Verständnis und Modellieren von Phänomenen, die von der Diffusion und Bewegung von Molekülen in einer Flüssigkeit bis hin zu den Schwankungen in Finanzmärkten reichen. Zwei verschiedene Arten von optimalen Kontrollproblemen werden in dieser Arbeit umfassend analysiert. Einerseits werden Fokker--Planck Ensemble Steuerungsprobleme betrachtet, die in der Kontrolle von Systemen mit mehreren nicht wechselwirkenden Objekten vielfältige Anwendungen haben. In diesem Gebiet ist das Ziel, alle Objekte gemeinsam in einen gewünschten Zustand zu lenken. Andererseits werden Tracking Kontrollprobleme untersucht, die häufig bei Parameteridentifikationsproblemen auftreten oder aus dem Bereich inverser Probleme stammen. Hier besteht das Ziel darin, bestimmte Parameter oder Funktionen der Fokker--Planck Gleichung derart zu bestimmen, dass die resultierende Wahrscheinlichkeitsverteilung eine gewünschte Form annimmt, welche beispielsweise durch Messungen beobachtet wurde. In beiden Fällen betrachten wir FP Modelle, bei denen die Kontrollfunktion Teil des sogenannten Drifts ist, das heißt der Teil, der nur aus den deterministischen Kräften des Systems resultiert. Daher hat das FP Kontrollproblem eine bilineare Struktur. Untere und obere Schranken für die Kontrollfunktionen können vorhanden sein, und der Fokus liegt auf zeit-- und raumabhängigen Steuerungen für Ensemble Kontrollprobleme, sowie auf nur zeitlich abhängigen Steuerungen für Tracking Kontrollprobleme. Am Anfang der Dissertation wird ein Beweis für den Zusammenhang zwischen der FP Gleichung und stochastischen Differentialgleichungen dargelegt. Darüber hinaus werden stochastische optimale Steuerungsprobleme eingeführt, deren Ziel es ist, einen erwarteten Kostenwert zu minimieren. Zusätzlich wird das Problem als ein deterministisches FP Kontrollproblem formuliert. Für die Analyse dieses Kontrollproblems wird die Existenz und Regularität von Lösungen für die FP Differentialgleichung untersucht. Neue $L^\infty$--Abschätzungen für Lösungen werden für niedrige Raumdimensionen unter schwachen Annahmen an den Drift bewiesen. Zusätzlich werden, basierend auf der Theorie über Bessel Potentialräume, neue Glattheitseigenschaften für Lösungen des FP--Problems im Falle zeitabhängiger Steuerungen erarbeitet. Aufgrund dieser Eigenschaften ist die sogenannte control--to--state Abbildung, welche die Kontrollfunktion mit der entsprechenden Lösung des FP Problems verknüpft, wohldefiniert, Fréchet--differenzierbar und kompakt für geeignete Lebesgue--Räume oder Sobolev--Räume. Die Existenz optimaler Steuerungen wird unter verschiedenen Annahmen an den Funktionenraum der Kontrollen und des Kostenfunktionals bewiesen. Optimalitätsbedingungen erster Ordnung werden unter Verwendung des adjungierten Systems aufgestellt. Die daraus resultierende Charakterisierung optimaler Steuerungen wird genutzt, um eine höhere Regularität optimaler Steuerungen sowie ihrer Zustandsfunktion und des adjungierten Problems zu erhalten. Da das FP Kontrollproblem aufgrund der bilinearen Struktur nicht konvex ist, sollte eine Analyse von Optimalitätsbedingungen erster Ordnung durch eine Analyse von Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung ergänzt werden. Dies wird für das Ensemble Kontrollproblem im Fall von zeit-- und ortsabhängigen Steuerungen mit $H^1$--Regularität durchgeführt, und hinreichende Bedingungen für lokale Minimierer werden hergeleitet. Analoge Ergebnisse werden für das Tracking--Problem für nur zeitabhängige Steuerungen bewiesen. Die entwickelte Theorie zu diesem optimalen Steuerungsproblem und dessen Optimalitätsbedingungen wird angewendet, um eine numerische Analyse für eine Galerkin--Diskretisierung des FP Kontrollproblems durchzuführen. Der Schwerpunkt liegt auf Tracking--Problemen mit nur zeitabhängigen Steuerungen. Die Idee des vorgestellten Galerkin--Verfahrens besteht darin, das PDE--Optimierungsproblem zunächst durch ein System von Optimierungsproblemen mit gewöhnlichen Differentialgleichungen (ODE) als Nebenbedingung zu approximieren. Dann werden Bedingungen an das Problem präsentiert, sodass die Konvergenz optimaler Steuerungen von einem Problem zum anderen garantiert werden kann. Zu diesem Zweck wird eine Klasse bilinearer ODE--Kontrollprobleme analysiert, welche sich aus der Galerkin--Diskretisierung des FP Problems ergeben. Optimalitätsbedingungen erster und zweiter Ordnung werden bewiesen, und eine numerische Analyse wird durchgeführt. Eine Diskretisierung mit linearen Finiten--Elementen der Zustands-- und Adjungiertengleichung wird untersucht, während die Kontrollfunktionen durch stückweise konstante oder stetige, stückweise quadratische Polynome approximiert werden. Diese Wahl wird durch die bilineare Struktur des optimalen Kontrollproblems begründet, da sie es ermöglicht, die Diskrepanzen zwischen einem Ansatz von ,,zuerst diskretisieren dann optimieren" und ,,zuerst optimieren, dann diskretisieren" zu überwinden. Durch die Verwendung stetiger, stückweise quadratischer Polynome als Diskretisierung der Steuerungen kann außerdem quadratische Konvergenzordnung gezeigt werden. Abschließend werden die theoretischen Ergebnisse und die Konvergenzraten zweiter Ordnung numerisch verifiziert. KW - Parabolische Differentialgleichung KW - Fokker-Planck-Gleichung KW - Optimale Kontrolle KW - Optimalitätsbedingung KW - Finite-Elemente-Methode KW - accuracy estimate Y1 - 2024 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-362997 ER - TY - THES A1 - Birke, Claudius B. T1 - Low Mach and Well-Balanced Numerical Methods for Compressible Euler and Ideal MHD Equations with Gravity T1 - Low Mach und Well-Balanced Numerische Verfahren für die kompressiblen Euler und idealen MHD Gleichungen mit Gravitation N2 - Physical regimes characterized by low Mach numbers and steep stratifications pose severe challenges to standard finite volume methods. We present three new methods specifically designed to navigate these challenges by being both low Mach compliant and well-balanced. These properties are crucial for numerical methods to efficiently and accurately compute solutions in the regimes considered. First, we concentrate on the construction of an approximate Riemann solver within Godunov-type finite volume methods. A new relaxation system gives rise to a two-speed relaxation solver for the Euler equations with gravity. Derived from fundamental mathematical principles, this solver reduces the artificial dissipation in the subsonic regime and preserves hydrostatic equilibria. The solver is particularly stable as it satisfies a discrete entropy inequality, preserves positivity of density and internal energy, and suppresses checkerboard modes. The second scheme is designed to solve the equations of ideal MHD and combines different approaches. In order to deal with low Mach numbers, it makes use of a low-dissipation version of the HLLD solver and a partially implicit time discretization to relax the CFL time step constraint. A Deviation Well-Balancing method is employed to preserve a priori known magnetohydrostatic equilibria and thereby reduces the magnitude of spatial discretization errors in strongly stratified setups. The third scheme relies on an IMEX approach based on a splitting of the MHD equations. The slow scale part of the system is discretized by a time-explicit Godunov-type method, whereas the fast scale part is discretized implicitly by central finite differences. Numerical dissipation terms and CFL time step restriction of the method depend solely on the slow waves of the explicit part, making the method particularly suited for subsonic regimes. Deviation Well-Balancing ensures the preservation of a priori known magnetohydrostatic equilibria. The three schemes are applied to various numerical experiments for the compressible Euler and ideal MHD equations, demonstrating their ability to accurately simulate flows in regimes with low Mach numbers and strong stratification even on coarse grids. N2 - Physikalische Regime mit sehr niedrigen Machzahlen und starken Abschichtungen stellen konventionelle Finite Volumen Verfahren vor erhebliche Herausforderungen. In dieser Arbeit präsentieren wir drei neue Verfahren, die in der Lage sind, die Herausforderungen zu bewältigen. Die neuen Verfahren sind speziell an kleine Machzahlen angepasst und können (magneto-)hydrostatische Gleichgewichte exakt erhalten. Diese Eigenschaften sind essentiell für eine effiziente Berechnung präziser Lösungen in den betrachteten Regimen. Zunächst konzentrieren wir uns auf die Konstruktion eines approximativen Riemannlösers innerhalb von Godunov-artigen Finite Volumen Verfahren. Ein neues Relaxationssystem führt zu einem Relaxationslöser für die Euler Gleichungen mit Gravitation, der zwei Relaxationsgeschwindigkeiten verwendet. Abgeleitet von grundlegenden mathematischen Prinzipien reduziert dieser Löser die künstliche Dissipation im subsonischen Bereich und erhält hydrostatische Gleichgewichte. Der Löser ist besonders stabil, da er eine diskrete Entropieungleichung erfüllt, die Positivität von Dichte und interner Energie bewahrt und Schachbrettmuster unterdrückt. Das zweite Verfahren löst die idealen MHD Gleichungen und kombiniert verschiedene Ansätze, um die einzelnen numerischen Herausforderungen zu bewältigen. Für einen effizienten Umgang mit niedrigen Machzahlen wird eine Variante des HLLD Lösers mit künstlich niedriger Dissipation sowie eine teilweise implizite Zeitdiskretisierung zur Lockerung der CFL Zeitschrittbeschränkung gewählt. Eine Deviation Well-Balancing Methode wird angewendet, um magnetohydrostatische Gleichgewichte zu bewahren und dadurch das Ausmaß von räumlichen Diskretisierungsfehlern in stark geschichteten Atmosphären zu reduzieren. Das dritte Verfahren verwendet einen IMEX Ansatz, welcher auf einer Aufspaltung der MHD Gleichungen basiert. Das Teilsystem mit langsamen Ausbreitungsgeschwindigkeiten wird durch eine zeit-explizite Godunov-artige Methode diskretisiert, während das Teilsystem mit schnellen Ausbreitungsgeschwindigkiten implizit durch zentrale finite Differenzen diskretisiert wird. Numerische Dissipationsterme und die CFL Zeitschrittbeschränkung der Methode hängen somit nur von den langsamen Wellen des expliziten Teils ab, so dass die Methode besonders für subsonische Regime geeignet ist. Deviation Well-Balancing gewährleistet die Erhaltung a priori bekannter magnetohydrostatischer Gleichgewichte. Die drei Verfahren werden auf numerische Experimente für die kompressiblen Euler und idealen MHD Gleichungen angewendet und zeigen darin ihre Fähigkeit, Strömungen in Regimen mit niedrigen Machzahlen und starker Schichtung auch auf groben diskreten Gittern akkurat zu simulieren. KW - Magnetohydrodynamik KW - Numerische Strömungssimulation KW - Finite-Volumen-Methode KW - relaxation method KW - IMEX scheme KW - low Mach number KW - well-balanced Y1 - 2024 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-363303 ER - TY - THES A1 - Bossert, Patrick T1 - Statistical structure and inference methods for discrete high-frequency observations of SPDEs in one and multiple space dimensions T1 - Statistische Struktur und Inferenzmethoden für diskrete hochfrequente Beobachtungen von SPDEs in einer und mehreren Raumdimensionen N2 - The focus of this thesis is on analysing a linear stochastic partial differential equation (SPDE) with a bounded domain. The first part of the thesis commences with an examination of a one-dimensional SPDE. In this context, we construct estimators for the parameters of a parabolic SPDE based on discrete observations of a solution in time and space on a bounded domain. We establish central limit theorems for a high-frequency asymptotic regime, showing substantially smaller asymptotic variances compared to existing estimation methods. Moreover, asymptotic confidence intervals are directly feasible. Our approach builds upon realized volatilities and their asymptotic illustration as the response of a log-linear model with a spatial explanatory variable. This yields efficient estimators based on realized volatilities with optimal rates of convergence and minimal variances. We demonstrate our results by Monte Carlo simulations. Extending this framework, we analyse a second-order SPDE model in multiple space dimensions in the second part of this thesis and develop estimators for the parameters of this model based on discrete observations in time and space on a bounded domain. While parameter estimation for one and two spatial dimensions was established in recent literature, this is the first work that generalizes the theory to a general, multi-dimensional framework. Our methodology enables the construction of an oracle estimator for volatility within the underlying model. For proving central limit theorems, we use a high-frequency observation scheme. To showcase our results, we conduct a Monte Carlo simulation, highlighting the advantages of our novel approach in a multi-dimensional context. N2 - Der Fokus dieser Dissertation liegt auf der Analyse von linearen stochastischen partiellen Differentialgleichungen (SPDEs) auf einem beschränkten Raum. Der erste Teil der Arbeit befasst sich mit der Untersuchung einer eindimensionalen SPDE. In diesem Zusammenhang konstruieren wir Schätzer für die Parameter einer parabolischen SPDE basierend auf diskreten Beobachtungen einer Lösung in Zeit und Raum. Wir leiten zentrale Grenzwertsätze innerhalb eines hochfrequenten Beobachtungsschemas her und zeigen dabei, dass die neu entwickelten Schätzer wesentlich kleinere asymptotische Varianzen im Vergleich zu bestehenden Schätzmethoden besitzen. Darüber hinaus sind asymptotische Konfidenzintervalle direkt realisierbar. Unser Ansatz basiert auf realisierten Volatilitäten und ihrer asymptotischen Darstellung durch ein log-lineares Modell mit einer räumlichen erklärenden Variable. Dies ergibt effiziente Schätzer basierend auf realisierten Volatilitäten mit optimalen Konvergenzraten und minimalen Varianzen. Wir demonstrieren unsere Ergebnisse mithilfe von Monte-Carlo-Simulationen. Den ersten Teil erweiternd, analysieren wir im zweiten Teil dieser Arbeit ein SPDE-Modell zweiter Ordnung in mehreren Raumdimensionen und entwickeln Schätzer für die Parameter dieses Modells basierend auf diskreten Beobachtungen in Zeit und Raum auf einem begrenzten Gebiet. Während die Parameterschätzung für eine und zwei Raumdimensionen in der Literatur bereits behandelt wurde, ist dies die erste Arbeit, die die Theorie auf einen multidimensionalen Rahmen verallgemeinert. Unsere Methodik ermöglicht die Konstruktion eines Orakelschätzers für den Volatilitätsparameter innerhalb des zugrundeliegenden Modells. Für den Beweis zentraler Grenzwertsätze verwenden wir ein hochfrequentes Beobachtungsschema. Um unsere Ergebnisse zu veranschaulichen, führen wir eine Monte-Carlo-Simulation durch, wobei wir die zugrundeliegende Simulationsmethodik hierfür herleiten. KW - Stochastische partielle Differentialgleichung KW - Multi-dimensional SPDEs KW - Central limit theorem under dependence KW - High-frequency data KW - Least squares estimation KW - One-dimensional SPDEs Y1 - 2024 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-361130 ER - TY - THES A1 - Biersack, Florian T1 - Topological Properties of Quasiconformal Automorphism Groups T1 - Topologische Eigenschaften quasikonformer Automorphismengruppen N2 - The goal of this thesis is to study the topological and algebraic properties of the quasiconformal automorphism groups of simply and multiply connected domains in the complex plain, in which the quasiconformal automorphism groups are endowed with the supremum metric on the underlying domain. More precisely, questions concerning central topological properties such as (local) compactness, (path)-connectedness and separability and their dependence on the boundary of the corresponding domains are studied, as well as completeness with respect to the supremum metric. Moreover, special subsets of the quasiconformal automorphism group of the unit disk are investigated, and concrete quasiconformal automorphisms are constructed. Finally, a possible application of quasiconformal unit disk automorphisms to symmetric cryptography is presented, in which a quasiconformal cryptosystem is defined and studied. N2 - Das Ziel dieser Arbeit ist es, die topologischen und algebraischen Eigenschaften der quasikonformen Automorphismengruppen von einfach und mehrfach zusammenhängenden Gebieten in der komplexen Zahlenebene zu untersuchen, in denen die quasikonformen Automorphismengruppen mit der Supremum-Metrik auf dem zugrunde liegenden Gebiet versehen sind. Die Arbeit befasst sich mit Fragen zu zentralen topologischen Eigenschaften wie (lokaler) Kompaktheit, (Weg-)Zusammenhang und Separabilität sowie deren Abhängigkeit der Ränder der entsprechenden Gebiete, sowie mit der Vollständigkeit bezüglich der betrachteten Supremums-Metrik. Darüber hinaus werden spezielle Teilmengen der quasikonformen Automorphismengruppe des Einheitskreises untersucht und konkrete quasikonforme Automorphismen konstruiert. Schließlich wird eine mögliche Anwendung von quasikonformen Einheitskreis-Automorphismen auf symmetrische Kryptographie vorgestellt, bei der ein quasikonformes Kryptosystem definiert und untersucht wird. KW - Quasikonforme Abbildung KW - Automorphismengruppe KW - Quasiconformal automorphism KW - Uniform topology Y1 - 2024 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-359177 ER - TY - THES A1 - Dippell, Marvin T1 - Constraint Reduction in Algebra, Geometry and Deformation Theory T1 - Constraint Reduktion in Algebra, Geometrie und Deformationsquantisierung N2 - To study coisotropic reduction in the context of deformation quantization we introduce constraint manifolds and constraint algebras as the basic objects encoding the additional information needed to define a reduction. General properties of various categories of constraint objects and their compatiblity with reduction are examined. A constraint Serre-Swan theorem, identifying constraint vector bundles with certain finitely generated projective constraint modules, as well as a constraint symbol calculus are proved. After developing the general deformation theory of constraint algebras, including constraint Hochschild cohomology and constraint differential graded Lie algebras, the second constraint Hochschild cohomology for the constraint algebra of functions on a constraint flat space is computed. N2 - Um koisotrope Reduktion im Kontext der Deformationsquantisierung zu betrachten, werden constraint Mannigfaltigkeiten und constraint Algebren als grundlegende Objekte definiert. Wichtige Eigenschaften verschiedener zugehöriger Kategorien, sowie deren Kompatibilität mit Reduktion werden untersucht. In Analogie zum klassischen Serre-Swan-Theorem können constraint Vektorbündel mit bestimmten endlich erzeugt projektiven constraint Moduln identifiziert werden. Außerdem wird ein Symbolkalkül für constraint Multidifferenzialoperatoren eingeführt. Nach der Entwicklung der allgemeinen Deformationstheorie von constraint Algebren mithilfe von constraint Hochschild Kohomologie und constraint differentiell gradierten Lie-Algebren, wird die zweite constraint Hochschild Kohomologie im Fall eines endlich dimensionalen constraint Vektorraums berechnet. KW - Differentialgeometrie KW - Deformationsquantisierung KW - Coisotropic reduction KW - Symplektische Geometrie Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-301670 ER - TY - JOUR A1 - Weishäupl, Sebastian T1 - The weak Gram law for Hecke \(L\)-functions JF - The Ramanujan Journal N2 - We generalize a theorem by Titchmarsh about the mean value of Hardy’s \(Z\)-function at the Gram points to the Hecke \(L\)-functions, which in turn implies the weak Gram law for them. Instead of proceeding analogously to Titchmarsh with an approximate functional equation we employ a different method using contour integration. KW - Gram’s law KW - Gram points KW - Hecke eigenforms KW - Hecke L-functions Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-324404 SN - 1382-4090 VL - 60 IS - 4 ER - TY - JOUR A1 - Lu, Lu A1 - Mönius, Katja T1 - Algebraic degree of Cayley graphs over abelian groups and dihedral groups JF - Journal of Algebraic Combinatorics N2 - For a graph \(\Gamma\) , let K be the smallest field containing all eigenvalues of the adjacency matrix of \(\Gamma\) . The algebraic degree \(\deg (\Gamma )\) is the extension degree \([K:\mathbb {Q}]\). In this paper, we completely determine the algebraic degrees of Cayley graphs over abelian groups and dihedral groups. KW - Cayley graph KW - integral graph KW - algebraic degree Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-324380 SN - 0925-9899 VL - 57 IS - 3 ER - TY - JOUR A1 - Greefrath, Gilbert A1 - Oldenburg, Reinhard A1 - Siller, Hans-Stefan A1 - Ulm, Volker A1 - Weigand, Hans-Georg T1 - Mathematics students’ characteristics of basic mental models of the derivative JF - Journal für Mathematik-Didaktik N2 - The concept of derivative is characterised with reference to four basic mental models. These are described as theoretical constructs based on theoretical considerations. The four basic mental models—local rate of change, tangent slope, local linearity and amplification factor—are not only quantified empirically but are also validated. To this end, a test instrument for measuring students’ characteristics of basic mental models is presented and analysed regarding quality criteria. Mathematics students (n = 266) were tested with this instrument. The test results show that the four basic mental models of the derivative can be reconstructed among the students with different characteristics. The tangent slope has the highest agreement values across all tasks. The agreement on explanations based on the basic mental model of rate of change is not as strongly established among students as one would expect due to framework settings in the school system by means of curricula and educational standards. The basic mental model of local linearity plays a rather subordinate role. The amplification factor achieves the lowest agreement values. In addition, cluster analysis was conducted to identify different subgroups of the student population. Moreover, the test results can be attributed to characteristics of the task types as well as to the students’ previous experiences from mathematics classes by means of qualitative interpretation. These and other results of students’ basic mental models of the derivative are presented and discussed in detail. N2 - Der Begriff der Ableitung wird anhand von vier Grundvorstellungen charakterisiert. Diese werden als theoretische Konstrukte beschrieben, die auf theoretischen Überlegungen beruhen. Die vier Grundvorstellungen – lokale Änderungsrate, Tangentensteigung, lokale Linearität und Verstärkungsfaktor – werden empirisch quantifiziert und validiert. Zu diesem Zweck wird ein Testinstrument zur Messung der Charakteristika dieser Grundvorstellungen von Lernenden erstellt, bzgl. Gütekriterien ausgewertet und an Mathematikstudierenden (n = 266) getestet. Die Ergebnisse zeigen, dass die vier Grundvorstellungen der Ableitung bei den Lernenden mit unterschiedlichen Merkmalen rekonstruiert werden können. Die Tangentensteigung weist über alle Aufgaben hinweg die höchsten Übereinstimmungswerte auf. Die Übereinstimmung bei Erklärungen, die auf der Grundvorstellung der lokalen Änderungsrate beruhen, ist bei den Studierenden nicht so stark ausgeprägt, wie man es aufgrund der Rahmenbedingungen im Schulsystem durch Lehrpläne und Bildungsstandards erwarten würde. Die Grundvorstellung der lokalen Linearität spielt eine eher untergeordnete Rolle. Der Verstärkungsfaktor erzielt die geringsten Übereinstimmungswerte. Darüber hinaus wurde eine Clusteranalyse durchgeführt, um verschiedene Untergruppen der Schülerpopulation zu identifizieren. Die Testergebnisse können mittels qualitativer Interpretation auf Merkmale der Aufgabentypen sowie auf die Vorerfahrungen der Studierenden aus dem Mathematikunterricht zurückgeführt werden. Diese und weitere Ergebnisse zu den grundlegenden mentalen Modellen der Studierenden zur Ableitung werden ausführlich dargestellt und diskutiert. KW - derivative KW - basic mental models KW - structure KW - test instrument KW - Ableitung KW - Grundvorstellung KW - Struktur KW - Testinstrument Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-324317 SN - 0173-5322 VL - 44 IS - 1 ER - TY - JOUR A1 - Siller, Hans-Stefan A1 - Elschenbroich, Hans-Jürgen A1 - Greefrath, Gilbert A1 - Vorhölter, Katrin T1 - Mathematical modelling of exponential growth as a rich learning environment for mathematics classrooms JF - ZDM Mathematics Education N2 - Mathematical concepts are regularly used in media reports concerning the Covid-19 pandemic. These include growth models, which attempt to explain or predict the effectiveness of interventions and developments, as well as the reproductive factor. Our contribution has the aim of showing that basic mental models about exponential growth are important for understanding media reports of Covid-19. Furthermore, we highlight how the coronavirus pandemic can be used as a context in mathematics classrooms to help students understand that they can and should question media reports on their own, using their mathematical knowledge. Therefore, we first present the role of mathematical modelling in achieving these goals in general. The same relevance applies to the necessary basic mental models of exponential growth. Following this description, based on three topics, namely, investigating the type of growth, questioning given course models, and determining exponential factors at different times, we show how the presented theoretical aspects manifest themselves in teaching examples when students are given the task of reflecting critically on existing media reports. Finally, the value of the three topics regarding the intended goals is discussed and conclusions concerning the possibilities and limits of their use in schools are drawn. KW - basic mental models KW - exponential growth KW - mathematics classrooms KW - mathematical modelling KW - growth models Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-324393 SN - 1863-9690 VL - 55 IS - 1 ER - TY - JOUR A1 - Steuding, Jörn A1 - Tongsomporn, Janyarak T1 - On the order of growth of Lerch zeta functions JF - Mathematics N2 - We extend Bourgain’s bound for the order of growth of the Riemann zeta function on the critical line to Lerch zeta functions. More precisely, we prove L(λ, α, 1/2 + it) ≪ t\(^{13/84+ϵ}\) as t → ∞. For both, the Riemann zeta function as well as for the more general Lerch zeta function, it is conjectured that the right-hand side can be replaced by t\(^ϵ\) (which is the so-called Lindelöf hypothesis). The growth of an analytic function is closely related to the distribution of its zeros. KW - Lerch zeta function KW - Hurwitz zeta function KW - (approximate) functional equation KW - order of growth KW - exponent pairs KW - MSC 11M35 Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-303981 SN - 2227-7390 VL - 11 IS - 3 ER - TY - JOUR A1 - Heins, Michael A1 - Roth, Oliver A1 - Waldmann, Stefan T1 - Convergent star products on cotangent bundles of Lie groups JF - Mathematische Annalen N2 - For a connected real Lie group G we consider the canonical standard-ordered star product arising from the canonical global symbol calculus based on the half-commutator connection of G. This star product trivially converges on polynomial functions on T\(^*\)G thanks to its homogeneity. We define a nuclear Fréchet algebra of certain analytic functions on T\(^*\)G, for which the standard-ordered star product is shown to be a well-defined continuous multiplication, depending holomorphically on the deformation parameter \(\hbar\). This nuclear Fréchet algebra is realized as the completed (projective) tensor product of a nuclear Fréchet algebra of entire functions on G with an appropriate nuclear Fréchet algebra of functions on \({\mathfrak {g}}^*\). The passage to the Weyl-ordered star product, i.e. the Gutt star product on T\(^*\)G, is shown to preserve this function space, yielding the continuity of the Gutt star product with holomorphic dependence on \(\hbar\). KW - Lie groups KW - star products Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-324324 SN - 0025-5831 VL - 386 IS - 1-2 ER - TY - JOUR A1 - Jotz, M. A1 - Mehta, R. A. A1 - Papantonis, T. T1 - Modules and representations up to homotopy of Lie n-algebroids JF - Journal of Homotopy and Related Structures N2 - This paper studies differential graded modules and representations up to homotopy of Lie n-algebroids, for general \(n\in {\mathbb {N}}\). The adjoint and coadjoint modules are described, and the corresponding split versions of the adjoint and coadjoint representations up to homotopy are explained. In particular, the case of Lie 2-algebroids is analysed in detail. The compatibility of a Poisson bracket with the homological vector field of a Lie n-algebroid is shown to be equivalent to a morphism from the coadjoint module to the adjoint module, leading to an alternative characterisation of non-degeneracy of higher Poisson structures. Moreover, the Weil algebra of a Lie n-algebroid is computed explicitly in terms of splittings, and representations up to homotopy of Lie n-algebroids are used to encode decomposed VB-Lie n-algebroid structures on double vector bundles. KW - Lie n-algebroids KW - representations up to homotopy KW - differential graded modules KW - Poisson algebras KW - adjoint and coadjoint representations Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-324333 SN - 2193-8407 VL - 18 IS - 1 ER - TY - JOUR A1 - Gerber, Sebastian A1 - Quarder, Jascha A1 - Greefrath, Gilbert A1 - Siller, Hans-Stefan T1 - Promoting adaptive intervention competence for teaching simulations and mathematical modelling with digital tools BT - theoretical background and empirical analysis of a university course in teacher education JF - Frontiers in Education N2 - Providing adaptive, independence-preserving and theory-guided support to students in dealing with real-world problems in mathematics lessons is a major challenge for teachers in their professional practice. This paper examines this challenge in the context of simulations and mathematical modelling with digital tools: in addition to mathematical difficulties when autonomously working out individual solutions, students may also experience challenges when using digital tools. These challenges need to be closely examined and diagnosed, and might – if necessary – have to be overcome by intervention in such a way that the students can subsequently continue working independently. Thus, if a difficulty arises in the working process, two knowledge dimensions are necessary in order to provide adapted support to students. For teaching simulations and mathematical modelling with digital tools, more specifically, these knowledge dimensions are: pedagogical content knowledge about simulation and modelling processes supported by digital tools (this includes knowledge about phases and difficulties in the working process) and pedagogical content knowledge about interventions during the mentioned processes (focussing on characteristics of suitable interventions as well as their implementation and effects on the students’ working process). The two knowledge dimensions represent cognitive dispositions as the basis for the conceptualisation and operationalisation of a so-called adaptive intervention competence for teaching simulations and mathematical modelling with digital tools. In our article, we present a domain-specific process model and distinguish different types of teacher interventions. Then we describe the design and content of a university course at two German universities aiming to promote this domain-specific professional adaptive intervention competence, among others. In a study using a quasi-experimental pre-post design (N = 146), we confirm that the structure of cognitive dispositions of adaptive intervention competence for teaching simulations and mathematical modelling with digital tools can be described empirically by a two-dimensional model. In addition, the effectiveness of the course is examined and confirmed quantitatively. Finally, the results are discussed, especially against the background of the sample and the research design, and conclusions are derived for possibilities of promoting professional adaptive intervention competence in university courses. KW - adaptive intervention competence KW - diagnosis KW - simulation KW - mathematical modelling KW - digital tools KW - teacher education KW - pedagogical content knowledge KW - technology Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-323701 SN - 2504-284X VL - 8 ER - TY - THES A1 - Jia, Xiaoxi T1 - Augmented Lagrangian Methods invoking (Proximal) Gradient-type Methods for (Composite) Structured Optimization Problems T1 - Erweiterte Lagrange-Methoden, die (proximale) Gradientenmethoden für (zusammengesetzte) strukturierte Optimierungsprobleme aufrufen N2 - This thesis, first, is devoted to the theoretical and numerical investigation of an augmented Lagrangian method for the solution of optimization problems with geometric constraints, subsequently, as well as constrained structured optimization problems featuring a composite objective function and set-membership constraints. It is then concerned to convergence and rate-of-convergence analysis of proximal gradient methods for the composite optimization problems in the presence of the Kurdyka--{\L}ojasiewicz property without global Lipschitz assumption. N2 - Diese Dissertation widmet sich zunächst der theoretischen und numerischen Untersuchung eines erweiterten Lagrange-Verfahrens zur Lösung von Optimierungsproblemen mit geometrischen Nebenbedingungen, in weiterer Folge, sowie eingeschränkten strukturierten Optimierungsproblemen mit einer zusammengesetzten Zielfunktion und Mengenzugehörigkeitsbeschränkungen. Es befasst sich dann mit der Konvergenz- und Konvergenzanalyse von Proximalgradientenverfahren für zusammengesetzte Optimierungsprobleme in Gegenwart der Kurdyka--{\L}ojasiewicz-Eigenschaft ohne globale Lipschitz-Annahme. KW - Augmented Lagrangian methods KW - Geometric constraints KW - Composite optimization problems KW - Kurdyka--{\L}ojasiewicz property KW - Local Lipschitz continuity KW - Optimierung KW - Numerisches Verfahren KW - Lagrange-Methode Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-323745 ER - TY - THES A1 - Barth, Dominik T1 - Computation of multi-branch-point covers and applications in Galois theory T1 - Berechnung von Mehrpunktüberlagerungen und Anwendungen in der Galoistheorie N2 - We present a technique for computing multi-branch-point covers with prescribed ramification and demonstrate the applicability of our method in relatively large degrees by computing several families of polynomials with symplectic and linear Galois groups. As a first application, we present polynomials over \(\mathbb{Q}(\alpha,t)\) for the primitive rank-3 groups \(PSp_4(3)\) and \(PSp_4(3).C_2\) of degree 27 and for the 2-transitive group \(PSp_6(2)\) in its actions on 28 and 36 points, respectively. Moreover, the degree-28 polynomial for \(PSp_6(2)\) admits infinitely many totally real specializations. Next, we present the first (to the best of our knowledge) explicit polynomials for the 2-transitive linear groups \(PSL_4(3)\) and \(PGL_4(3)\) of degree 40, and the imprimitive group \(Aut(PGL_4(3))\) of degree 80. Additionally, we negatively answer a question by König whether there exists a degree-63 rational function with rational coefficients and monodromy group \(PSL_6(2)\) ramified over at least four points. This is achieved due to the explicit computation of the corresponding hyperelliptic genus-3 Hurwitz curve parameterizing this family, followed by a search for rational points on it. As a byproduct of our calculations we obtain the first explicit \(Aut(PSL_6(2))\)-realizations over \(\mathbb{Q}(t)\). At last, we present a technique by Elkies for bounding the transitivity degree of Galois groups. This provides an alternative way to verify the Galois groups from the previous chapters and also yields a proof that the monodromy group of a degree-276 cover computed by Monien is isomorphic to the sporadic 2-transitive Conway group \(Co_3\). N2 - Wir stellen eine Technik zur Berechnung von Mehrpunktüberlagerungen mit vorgeschriebener Verzweigung vor und demonstrieren die Anwendbarkeit unserer Methode in relativ großen Graden durch die Berechnung mehrerer Familien von Polynomen mit symplektischen und linearen Galoisgruppen. Als erste Anwendung präsentieren wir Polynome über \(\mathbb{Q}(\alpha,t)\) für die primitiven Rang-3-Gruppen \(PSp_4(3)\) und \(PSp_4(3).C_2\) vom Grad 27 und für die 2-fach transitive Gruppe \(PSp_6(2)\) in ihren Operationen auf 28 bzw. 36 Punkten. Außerdem lässt das Polynom vom Grad 28 für \(PSp_6(2)\) unendlich viele total-reelle Spezialisierungen zu. Als Nächstes präsentieren wir die (unseres Wissens nach) ersten expliziten Polynome für die 2-fach transitiven linearen Gruppen \(PSL_4(3)\) und \(PGL_4(3)\) vom Grad 40 und die imprimitive Gruppe \(Aut(PGL_4(3))\) vom Grad 80. Zusätzlich geben wir eine negative Antwort auf die Frage von König, ob es eine rationale Funktion vom Grad 63 mit rationalen Koeffizienten gibt, die über mindestens vier Punkten verzweigt ist und Monodromiegruppe \(PSL_6(2)\) besitzt. Dies wird durch die explizite Berechnung der entsprechenden hyperelliptischen Geschlecht-3 Hurwitzkurve erreicht, die diese Familie parametrisiert, gefolgt von einer Suche nach rationalen Punkten auf ihr. Als Nebenprodukt unserer Berechnungen erhalten wir die ersten expliziten \(Aut(PSL_6(2))\)-Realisierungen über \(\mathbb{Q}(t)\). Schließlich stellen wir eine Technik von Elkies zur Beschränkung des Transitivitätsgrades von Galoisgruppen vor. Diese bietet einen alternativen Weg, die Galoisgruppen aus den vorherigen Kapiteln zu verifizieren und liefert auch einen Beweis dafür, dass die Monodromiegruppe einer von Monien berechneten Grad-276 Überlagerung isomorph zur sporadischen 2-fach transitiven Conway-Gruppe \(Co_3\) ist. KW - Galois-Theorie KW - Hurwitz-Raum KW - Monodromie KW - Überlagerung KW - Belyi map Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-277025 ER - TY - JOUR A1 - Kakaroumpas, Spyridon A1 - Soler i Gibert, Odí T1 - Dyadic product BMO in the Bloom setting JF - Journal of the London Mathematical Society N2 - Ó. Blasco and S. Pott showed that the supremum of operator norms over L\(^{2}\) of all bicommutators (with the same symbol) of one-parameter Haar multipliers dominates the biparameter dyadic product BMO norm of the symbol itself. In the present work we extend this result to the Bloom setting, and to any exponent 1 < p < ∞. The main tool is a new characterization in terms of paraproducts and two-weight John–Nirenberg inequalities for dyadic product BMO in the Bloom setting. We also extend our results to the whole scale of indexed spaces between little bmo and product BMO in the general multiparameter setting, with the appropriate iterated commutator in each case. KW - dyadic product BMO KW - bicommutators KW - Bloom setting Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-318602 SN - 0024-6107 VL - 106 IS - 2 SP - 899 EP - 935 ER - TY - THES A1 - Lechner, Theresa T1 - Proximal Methods for Nonconvex Composite Optimization Problems T1 - Proximal-Verfahren für nichtkonvexe zusammengesetzte Optimierungsprobleme N2 - Optimization problems with composite functions deal with the minimization of the sum of a smooth function and a convex nonsmooth function. In this thesis several numerical methods for solving such problems in finite-dimensional spaces are discussed, which are based on proximity operators. After some basic results from convex and nonsmooth analysis are summarized, a first-order method, the proximal gradient method, is presented and its convergence properties are discussed in detail. Known results from the literature are summarized and supplemented by additional ones. Subsequently, the main part of the thesis is the derivation of two methods which, in addition, make use of second-order information and are based on proximal Newton and proximal quasi-Newton methods, respectively. The difference between the two methods is that the first one uses a classical line search, while the second one uses a regularization parameter instead. Both techniques lead to the advantage that, in contrast to many similar methods, in the respective detailed convergence analysis global convergence to stationary points can be proved without any restricting precondition. Furthermore, comprehensive results show the local convergence properties as well as convergence rates of these algorithms, which are based on rather weak assumptions. Also a method for the solution of the arising proximal subproblems is investigated. In addition, the thesis contains an extensive collection of application examples and a detailed discussion of the related numerical results. N2 - In Optimierungsproblemen mit zusammengesetzten Funktionen wird die Summe aus einer glatten und einer konvexen, nicht glatten Funktion minimiert. Die vorliegende Arbeit behan- delt mehrere numerische Verfahren zur Lösung solcher Probleme in endlich-dimensionalen Räumen, welche auf Proximity Operatoren basieren. Nach der Zusammenfassung einiger grundlegender Resultate aus der konvexen und nicht- glatten Analysis wird ein Verfahren erster Ordnung, das Proximal-Gradienten-Verfahren, vorgestellt und dessen Konvergenzeigenschaften ausführlich behandelt. Bekannte Resultate aus der Literatur werden dabei zusammengefasst und durch weitere Ergebnisse ergänzt. Im Anschluss werden im Hauptteil der Arbeit zwei Verfahren hergeleitet, die zusätzlich Informationen zweiter Ordnung nutzen und auf Proximal-Newton- beziehungsweise Proximal-Quasi- Newton-Verfahren beruhen. Der Unterschied zwischen beiden Verfahren liegt darin, dass bei ersterem eine klassische Schrittweitensuche verwendet wird, während das zweite stattdessen einen Regularisierungsparameter nutzt. Beide Techniken führen dazu, dass im Gegensatz zu vielen verwandten Verfahren in der jeweils ausführlichen Konvergenzanalyse die globale Konvergenz zu stationären Punkten ohne weitere einschränkende Voraussetzungen bewiesen werden kann. Ferner zeigen umfassende Resultate die lokalen Konvergenzeigenschaften sowie Konvergenzraten der Algorithmen auf, welche auf lediglich schwachen Annahmen beruhen. Ein Verfahren zur Lösung auftretender Proximal-Teilprobleme ist ebenfalls Bestandteil dieser Arbeit. Die Dissertation beinhaltet zudem eine umfangreiche Sammlung von Anwendungsbeispielen und zugehörigen numerischen Ergebnissen. KW - Optimierung KW - composite optimization KW - proximal gradient method KW - proximal Newton method Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-289073 ER - TY - JOUR A1 - Dashkovskiy, Sergey A1 - Slynko, Vitalii T1 - Stability conditions for impulsive dynamical systems JF - Mathematics of Control, Signals, and Systems N2 - In this work, we consider impulsive dynamical systems evolving on an infinite-dimensional space and subjected to external perturbations. We look for stability conditions that guarantee the input-to-state stability for such systems. Our new dwell-time conditions allow the situation, where both continuous and discrete dynamics can be unstable simultaneously. Lyapunov like methods are developed for this purpose. Illustrative finite and infinite dimensional examples are provided to demonstrate the application of the main results. These examples cannot be treated by any other published approach and demonstrate the effectiveness of our results. KW - lyapunov methods KW - stability KW - robustness KW - impulsive systems KW - infinite-dimensional systems KW - nonlinear systems KW - input-to-state stability Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-268390 SN - 1435-568X VL - 34 IS - 1 ER - TY - THES A1 - Stumpf, Pascal T1 - On coverings and reduced residues in combinatorial number theory T1 - Über Abdeckungen und prime Restklassen in kombinatorischer Zahlentheorie N2 - Our starting point is the Jacobsthal function \(j(m)\), defined for each positive integer \(m\) as the smallest number such that every \(j(m)\) consecutive integers contain at least one integer relatively prime to \(m\). It has turned out that improving on upper bounds for \(j(m)\) would also lead to advances in understanding the distribution of prime numbers among arithmetic progressions. If \(P_r\) denotes the product of the first \(r\) prime numbers, then a conjecture of Montgomery states that \(j(P_r)\) can be bounded from above by \(r (\log r)^2\) up to some constant factor. However, the until now very promising sieve methods seem to have reached a limit here, and the main goal of this work is to develop other combinatorial methods in hope of coming a bit closer to prove the conjecture of Montgomery. Alongside, we solve a problem of Recamán about the maximum possible length among arithmetic progressions in the least (positive) reduced residue system modulo \(m\). Lastly, we turn towards three additive representation functions as introduced by Erdős, Sárközy and Sós who studied their surprising different monotonicity behavior. By an alternative approach, we answer a question of Sárközy and demostrate that another conjecture does not hold. N2 - Der Startpunkt dieser Arbeit ist die Jacobsthal-Funktion \(j(m)\), die für jede natürliche Zahl \(m\) als die kleinste Zahl definiert ist, so dass je \(j(m)\) aufeinanderfolgende ganze Zahlen mindestens eine zu \(m\) teilerfremde Zahl enthalten. Es hat sich herausgestellt, dass Verbesserungen oberer Abschätzungen für \(j(m)\) gleichzeitig zu Fortschritten im Verständnis der Verteilung der Primzahlen in arithmetischen Folgen führen. Bezeichnet \(P_r\) das Produkt der ersten \(r\) Primzahlen, dann besagt eine Vermutung von Montgomery, dass \(j(P_r)\) bis auf einen konstanten Faktor durch \(r (\log r)^2\) von oben abgeschätzt werden kann. Allerdings scheinen die hier bisher sehr vielversprechenden Siebmethoden eine Grenze erreicht zu haben, und das Hauptziel dieser Arbeit ist es andere kombinatorische Methoden zu entwickeln, in der Hoffnung einem Beweis der Vermutung von Montgomery ein wenig näher zu kommen. Auf diesem Weg lösen wir nebenbei ein Problem von Recamán über die maximal mögliche Länge unter den arithmetischen Folgen im kleinsten (positiven) primen Restklassensystem modulo \(m\). Außerdem wenden wir uns am Ende drei additiven Darstellungsfunktionen zu, wie sie von Erdős, Sárközy und Sós eingeführt wurden, die deren überraschend unterschiedliches Monotonieverhalten untersucht haben. Mit einem alternativen Ansatz beantworten wir hier eine Frage von Sárközy und zeigen auf, dass eine andere Vermutung nicht bestehen kann. KW - Kombinatorische Zahlentheorie KW - coverings KW - reduced residues KW - Jacobsthal function Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-293504 ER - TY - THES A1 - Kortum, Joshua T1 - Global Existence and Uniqueness Results for Nematic Liquid Crystal and Magnetoviscoelastic Flows T1 - Globale Existenz- und Eindeutigkeitsresultate für nematische Flüssigkristall- und magnetoviskoelastische Flüsse N2 - Liquid crystals and polymeric fluids are found in many technical applications with liquid crystal displays probably being the most prominent one. Ferromagnetic materials are well established in industrial and everyday use, e.g. as magnets in generators, transformers and hard drive disks. Among ferromagnetic materials, we find a subclass which undergoes deformations if an external magnetic field is applied. This effect is exploited in actuators, magnetoelastic sensors, and new fluid materials have been produced which retain their induced magnetization during the flow. A central issue consists of a proper modelling for those materials. Several models exist regarding liquid crystals and liquid crystal flows, but up to now, none of them has provided a full insight into all observed effects. On materials encompassing magnetic, elastic and perhaps even fluid dynamic effects, the mathematical literature seems sparse in terms of models. To some extent, one can unify the modeling of nematic liquid crystals and magnetoviscoelastic materials employing a so-called energetic variational approach. Using the least action principle from theoretical physics, the actual task reduces to finding appropriate energies describing the observed behavior. The procedure leads to systems of evolutionary partial differential equations, which are analyzed in this work. From the mathematical point of view, fundamental questions on existence, uniqueness and stability of solutions remain unsolved. Concerning the Ericksen-Leslie system modelling nematic liquid crystal flows, an approximation to this model is given by the so-called Ginzburg-Landau approximation. Solutions to the latter are intended to approximately represent solutions to the Ericksen-Leslie system. Indeed, we verify this presumption in two spatial dimensions. More precisely, it is shown that weak solutions of the Ginzburg-Landau approximation converge to solutions of the Ericksen-Leslie system in the energy space for all positive times of evolution. In order to do so, theory for the Euler equations invented by DiPerna and Majda on weak compactness and concentration measures is used. The second part of the work deals with a system of partial differential equations modelling magnetoviscoelastic fluids. We provide a well-posedness result in two spatial dimensions for large energies and large times. Along the verification of that conclusion, existing theory on the Ericksen-Leslie system and the harmonic map flow is deployed and suitably extended. N2 - Flüssigkristalle und polymere Flüssigkeiten finden sich in vielen technischen Anwendungen, wobei die Liquid Crystal Displays (kurz LCDs) wahrscheinlich die bekanntesten sind. Ebenso haben viele ferromagnetische Materialien Gebrauch in der Technologie gefunden, zum Beispiel als Generatoren, Transformatoren und Hard Drive Disks. Bei einigen ferromagnetischen Materialien führt die äußere Anwendung eines Magnetfeldes zu Verformungen. Dieser Effekt wird z. B. in Aktoren ausgenutzt und es wurden neue Flüssigkeiten gefunden, welche ihre eingangs induzierte Magnetisierung beibehalten. Bis heute besteht ein Problem darin, derartige Materialien korrekt zu modellieren. Für Flüssigkristalle und Flüssigkristallströmungen existieren mehrere Modelle, aber bisher hat keines von ihnen einen vollständigen Einblick in alle beobachteten Effekte liefern können. Zu Materialien, welche magnetischen, elastischen und vielleicht sogar fluiddynamischen Effekten unterliegen, ist die Literatur bezüglich der Modellierung auf mathematischer Seite eher spärlich. Bis zu einem gewissen Grad kann man die Modellierung von Flüssigkristallen und magnetoviskoelastischen Materialien durch einen Variationsansatz für das Wirkungsfunktional vereinheitlichen. Verwendet man das Prinzip der kleinsten Wirkung aus der theoretischen Physik, reduziert sich die eigentliche Aufgabe darauf, geeignete Energien zu finden, um das beobachtete Verhalten zu beschreiben. Das Verfahren führt zu Systemen zeitabhängiger partieller Differentialgleichungen, welche in dieser Arbeit betrachtet werden. Aus mathematischer Sicht bleiben grundsätzliche Fragen zu Existenz, Eindeutigkeit und Stabilität von Lösungen offen. Bezüglich des Ericksen-Leslie-Modells für nematische Flüssigkristalle ist eine Approximation dieses Modells durch die sogenannte Ginzburg-Landau-Näherung gegeben. In dieser Arbeit wird bewiesen, dass Lösungen des letzteren Modells gegen Lösungen des erstgenannten in zwei Raumdimensionen konvergieren. Präzi- se ausgedrückt wird gezeigt, dass schwache Lösungen des Ginzburg-Landau-Systems auf beliebig großen Zeitintervallen gegen Lösungen des Ericksen-Leslie-Systems konvergieren unter der Annahme, dass die Energie des physikalischen Systems beschränkt ist. Dazu wird die von DiPerna und Majda entwickelte Theorie für die Euler-Gleichungen zu Konzentrationen unter schwacher Konvergenz verwendet. Der zweite Teil der Arbeit beschäftigt sich mit einem System partieller Differentialgleichungen zur Modellierung magnetoviskoelastischer Flüssigkeiten. Wir zeigen, dass in zwei Raumdimensionen in gewissem Sinne ein wohlgestelltes Problem für beliebig große Energien und Zeiten vorliegt. Für den Beweis dieses Resultats verwenden und erweitern wir die bestehende Theorie zum Ericksen-Leslie-System und zum Wärmefluss harmonischer Abbildungen. KW - Magnetoelastizität KW - Mikromagnetismus KW - Flüssigkristall KW - Partielle Differentialgleichung KW - Schwache Kompaktheit KW - Magnetoviscoelastic Fluids KW - Nematic Liquid Crystals KW - Weak Solutions KW - Magnetoviskoelastische Flüsse KW - Nematische Flüssigkristalle KW - Schwache Lösungen Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-278271 ER - TY - JOUR A1 - Helin, Tapio A1 - Kretschmann, Remo T1 - Non-asymptotic error estimates for the Laplace approximation in Bayesian inverse problems JF - Numerische Mathematik N2 - In this paper we study properties of the Laplace approximation of the posterior distribution arising in nonlinear Bayesian inverse problems. Our work is motivated by Schillings et al. (Numer Math 145:915–971, 2020. https://doi.org/10.1007/s00211-020-01131-1), where it is shown that in such a setting the Laplace approximation error in Hellinger distance converges to zero in the order of the noise level. Here, we prove novel error estimates for a given noise level that also quantify the effect due to the nonlinearity of the forward mapping and the dimension of the problem. In particular, we are interested in settings in which a linear forward mapping is perturbed by a small nonlinear mapping. Our results indicate that in this case, the Laplace approximation error is of the size of the perturbation. The paper provides insight into Bayesian inference in nonlinear inverse problems, where linearization of the forward mapping has suitable approximation properties. KW - Bayesian inverse problems KW - Laplace approximation KW - nonlinear inverse problems Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-265399 VL - 150 IS - 2 ER - TY - RPRT A1 - Gerber, Sebastian A1 - Quarder, Jascha T1 - Erfassung von Aspekten professioneller Kompetenz zum Lehren des Simulierens und mathematischen Modellierens mit digitalen Werkzeugen. Ein Testinstrument N2 - Die Auseinandersetzung mit Simulations- und Modellierungsaufgaben, die mit digitalen Werkzeugen zu bearbeiten sind, stellt veränderte Anforderungen an Mathematiklehrkräfte in der Unterrichtsplanung und -durchführung. Werden digitale Werkzeuge sinnvoll eingesetzt, so unterstützen sie Simulations- und Modellierungsprozesse und ermöglichen realitätsnähere Sachkontexte im Mathematikunterricht. Für die empirische Untersuchung professioneller Kompetenzen zum Lehren des Simulierens und mathematischen Modellierens mit digitalen Werkzeugen ist es notwendig, Aspekte globaler Lehrkompetenzen von (angehenden) Mathematiklehrkräften bereichsspezifisch auszudeuten. Daher haben wir ein Testinstrument entwickelt, das die Überzeugungen, die Selbstwirksamkeitserwartungen und das fachdidaktische Wissen zum Lehren des Simulierens und mathematischen Modellierens mit digitalen Werkzeugen erfasst. Ergänzt wird das Testinstrument durch selbstberichtete Vorerfahrungen zum eigenen Gebrauch digitaler Werkzeuge sowie zur Verwendung digitaler Werkzeuge in Unterrichtsplanung und -durchführung. Das Testinstrument ist geeignet, um mittels Analysen von Veranstaltungsgruppen im Prä-Post-Design den Zuwachs der oben beschriebenen Kompetenz von (angehenden) Mathematiklehrkräften zu messen. Somit können in Zukunft anhand der Ergebnisse die Wirksamkeit von Lehrveranstaltungen, die diese Kompetenz fördern (sollen), untersucht und evaluiert werden. Der Beitrag gliedert sich in zwei Teile: Zunächst werden in der Testbeschreibung das zugrundeliegende Konstrukt und der Anwendungsbereich des Testinstruments sowie dessen Aufbau und Hinweise zur Durchführung beschrieben. Zudem wird die Testgüte anhand der Pilotierungsergebnisse überprüft. Im zweiten Teil befindet sich das vollständige Testinstrument. KW - GeoGebra KW - Computerunterstützter Unterricht KW - Mathematikunterricht KW - Lehrerbildung KW - Testen KW - mathematisches Modellieren KW - Simulieren KW - digitale Werkzeuge KW - Aspekte professioneller Kompetenz KW - Testinstrument Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-273597 ER - TY - THES A1 - Schmeller, Christof T1 - Uniform distribution of zero ordinates of Epstein zeta-functions T1 - Gleichverteilung von Imaginärteilen nichttrivialer Nullstellen der Epsteinschen Zetafunktion N2 - The dissertation investigates the wide class of Epstein zeta-functions in terms of uniform distribution modulo one of the ordinates of their nontrivial zeros. Main results are a proof of a Landau type theorem for all Epstein zeta-functions as well as uniform distribution modulo one for the zero ordinates of all Epstein zeta-functions asscoiated with binary quadratic forms. N2 - Die vorliegende Arbeit untersucht, bei welchen Epsteinschen Zetafunktionen die Imaginärteile der nichttrivialen Nullstellen gleichverteilt modulo eins sind. Als zentrales Ergebnis wird dies für alle Epsteinschen Zetafunktionen, die durch binäre quadratische Formen gebildet werden, bewiesen. Außerdem wird unter anderem Landau's Theorem für alle Epsteinschen Zetafunktionen gezeigt. KW - Zetafunktion KW - Epstein, Paul KW - Gleichverteilung KW - Epstein zeta-function KW - Uniform distribution modulo one KW - Landau type theorem Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-251999 ER - TY - JOUR A1 - Hellmuth, Kathrin A1 - Klingenberg, Christian T1 - Computing Black Scholes with uncertain volatility — a machine learning approach JF - Mathematics N2 - In financial mathematics, it is a typical approach to approximate financial markets operating in discrete time by continuous-time models such as the Black Scholes model. Fitting this model gives rise to difficulties due to the discrete nature of market data. We thus model the pricing process of financial derivatives by the Black Scholes equation, where the volatility is a function of a finite number of random variables. This reflects an influence of uncertain factors when determining volatility. The aim is to quantify the effect of this uncertainty when computing the price of derivatives. Our underlying method is the generalized Polynomial Chaos (gPC) method in order to numerically compute the uncertainty of the solution by the stochastic Galerkin approach and a finite difference method. We present an efficient numerical variation of this method, which is based on a machine learning technique, the so-called Bi-Fidelity approach. This is illustrated with numerical examples. KW - numerical finance KW - Black Scholes equation KW - uncertainty quantification KW - uncertain volatility KW - polynomial chaos KW - Bi-Fidelity method Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-262280 SN - 2227-7390 VL - 10 IS - 3 ER - TY - THES A1 - Mungenast, Sebastian T1 - Zur Bedeutung von Metakognition beim Umgang mit Mathematik - Dokumentation metakognitiver Aktivitäten bei Studienanfänger_innen, Entwicklung eines Kategoriensystems für Metakognition beim Umgang mit Mathematik und Erörterung von Ansatzpunkten für Metakognition in der Analysis T1 - On the significance of metacognition in the context of mathematics – Documentation of metacognitive activity in prospective students, development of a category system for metacognition in a mathematical context and discussion of Calculus-related starting points for metacognitive activity N2 - Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich explorativ mit Metakognition beim Umgang mit Mathematik. Aufbauend auf der vorgestellten Forschungsliteratur wird der Einsatz von Metakognition im Rahmen einer qualitativen Studie bei Studienanfänger_innen aus verschiedenen Mathematik-(Lehramts-)Studiengängen dokumentiert. Unter Verwendung der Qualitativen Inhaltsanalyse nach Mayring erfolgt die Etablierung eines Kategoriensystems für den Begriff Metakognition im Hinblick auf den Einsatz in der Mathematik, das bisherige Systematisierungen erweitert. Schließlich wird der Einsatz der entsprechenden metakognitiven Aspekte am Beispiel verschiedener Begriffe und Verfahren aus dem Analysis-Unterricht exemplarisch aufgezeigt. N2 - The thesis explores metacognition in the context of mathematics. Based on the presented research literature metacognitive activity is documented as part of a qualitative study among prospective students from various mathematics programmes (including mathematics teaching). Utilising Mayring’s Qualitative Content Analysis method a category system is established, which systemises metacognition and expands upon existing categorisations. Finally, the application of its metacognitive aspects is demonstrated using the example of various concepts and methods from the German upper secondary Calculus curriculum. KW - Metakognition KW - Mathematikunterricht KW - Hochschuldidaktik KW - Mathematik KW - Mathematikdidaktik KW - Mathematiklernen Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-293114 ER - TY - THES A1 - Nedrenco, Dmitri T1 - Axiomatisieren lernen mit Papierfalten : Entwicklung, Durchführung und Auswertung eines Hochschulkurses für gymnasiale Lehramtsstudierende T1 - Learning how to axiomatise with paperfolding N2 - In dieser Arbeit wird mathematisches Papierfalten und speziell 1-fach-Origami im universitären Kontext untersucht. Die Arbeit besteht aus drei Teilen. Der erste Teil ist im Wesentlichen der Sachanalyse des 1-fach-Origami gewidmet. Im ersten Kapitel gehen wir auf die geschichtliche Einordnung des 1-fach-Origami, betrachten axiomatische Grundlagen und diskutieren, wie das Axiomatisieren von 1-fach-Origami zum Verständnis des Axiomenbegriffs beitragen könnte. Im zweiten Kapitel schildern wir das Design der zugehörigen explorativen Studie, beschreiben unsere Forschungsziele und -fragen. Im dritten Kapitel wird 1-fach-Origami mathematisiert, definiert und eingehend untersucht. Der zweite Teil beschäftigt sich mit den von uns gestalteten und durchgeführten Kursen »Axiomatisieren lernen mit Papierfalten«. Im vierten Kapitel beschreiben wir die Lehrmethodik und die Gestaltung der Kurse, das fünfte Kapitel enthält ein Exzerpt der Kurse. Im dritten Teil werden die zugehörigen Tests beschrieben. Im sechsten Kapitel erläutern wir das Design der Tests sowie die Testmethodik. Im siebten Kapitel findet die Auswertung ebendieser Tests statt. N2 - In this manuscript, mathematical paper folding and specifically 1-fold origami is studied in a university context. The thesis consists of three parts. The first part is mainly devoted to the factual analysis of 1-fold origami. In the first chapter, we elaborate on the historical development of 1-fold origami, consider axiomatic foundations, and discuss how axiomatizing 1-fold origami could contribute to the understanding of the concept of an axiom. In the second chapter, we describe the design of the related exploratory study, describe our research objectives and questions. In the third chapter, 1-fold origami is mathematized, defined, and explored in depth. The second part focuses on the courses with the title "Learning how to axiomatize through paperfolding" which we designed and conducted. In the fourth chapter we describe the teaching methodology and the design of the courses, and the fifth chapter contains an excerpt of the courses. In the third part we describe the associated tests. In the sixth chapter we explain the design of the tests as well as the testing methodology. In the seventh chapter, the evaluation of these tests is carried out. KW - Mathematikunterricht KW - Axiom KW - Falten KW - Hochschule+Lehre KW - Origami KW - Axiomatisieren KW - mathematisches Papierfalten KW - 1-fach-Origami KW - one-fold-origami KW - mathematical paperfolding Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-279383 ER - TY - JOUR A1 - Fall, Mouhammed Moustapha A1 - Minlend, Ignace Aristide A1 - Ratzkin, Jesse T1 - Foliation of an Asymptotically Flat End by Critical Capacitors JF - The Journal of Geometric Analysis N2 - We construct a foliation of an asymptotically flat end of a Riemannian manifold by hypersurfaces which are critical points of a natural functional arising in potential theory. These hypersurfaces are perturbations of large coordinate spheres, and they admit solutions of a certain over-determined boundary value problem involving the Laplace–Beltrami operator. In a key step we must invert the Dirichlet-to-Neumann operator, highlighting the nonlocal nature of our problem. KW - asymptotically flat ends KW - foliation KW - over-determined problem Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-269997 SN - 1559-002X VL - 32 IS - 2 ER - TY - JOUR A1 - Easton, Andrew A1 - van Dalen, Okki A1 - Goeb, Rainer A1 - Di Bucchianico, Alessandro T1 - Bivariate copula monitoring JF - Quality and Reliability Engineering International N2 - The assumption of multivariate normality underlying the Hotelling T\(^{2}\) chart is often violated for process data. The multivariate dependency structure can be separated from marginals with the help of copula theory, which permits to model association structures beyond the covariance matrix. Copula‐based estimation and testing routines have reached maturity regarding a variety of practical applications. We have constructed a rich design matrix for the comparison of the Hotelling T\(^{2}\) chart with the copula test by Verdier and the copula test by Vuong, which allows for weighting the observations adaptively. Based on the design matrix, we have conducted a large and computationally intensive simulation study. The results show that the copula test by Verdier performs better than Hotelling T\(^{2}\) in a large variety of out‐of‐control cases, whereas the weighted Vuong scheme often fails to provide an improvement. KW - copula KW - multivariate Gaussian distribution KW - multivariate statistical process control (SPC) KW - phase I KW - phase II Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-276501 VL - 38 IS - 3 SP - 1272 EP - 1288 ER - TY - JOUR A1 - Campana, Francesca Calà A1 - Borzì, Alfio T1 - On the SQH Method for Solving Differential Nash Games JF - Journal of Dynamical and Control Systems N2 - A sequentialquadratic Hamiltonian schemefor solving open-loop differential Nash games is proposed and investigated. This method is formulated in the framework of the Pontryagin maximum principle and represents an efficient and robust extension of the successive approximations strategy for solving optimal control problems. Theoretical results are presented that prove the well-posedness of the proposed scheme, and results of numerical experiments are reported that successfully validate its computational performance. KW - successive approximations strategy KW - sequential quadratic hamiltonian method KW - differential nash games KW - pontryagin maximum principle Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-269111 SN - 1573-8698 VL - 28 ER - TY - JOUR A1 - Kraus, Daniela A1 - Moucha, Annika A1 - Roth, Oliver T1 - A sharp Bernstein–type inequality and application to the Carleson embedding theorem with matrix weights JF - Analysis and Mathematical Physics N2 - We prove a sharp Bernstein-type inequality for complex polynomials which are positive and satisfy a polynomial growth condition on the positive real axis. This leads to an improved upper estimate in the recent work of Culiuc and Treil (Int. Math. Res. Not. 2019: 3301–3312, 2019) on the weighted martingale Carleson embedding theorem with matrix weights. In the scalar case this new upper bound is optimal. KW - Bernstein-type inequality KW - complex polynomials KW - Carleson embedding theorem Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-270485 SN - 1664-235X VL - 12 IS - 1 ER - TY - JOUR A1 - Just, Janina A1 - Siller, Hans-Stefan T1 - The role of mathematics in STEM secondary classrooms: a systematic literature review JF - Education Sciences N2 - Nowadays, science, technology, engineering, and mathematics (STEM) play a critical role in a nation’s global competitiveness and prosperity. Thus, there is a need to educate students in these subjects to meet the current and future demands of personal life and society. While applications, especially in science, engineering, and technology, are directly obvious, mathematics underpins the other STEM disciplines. It is recognized that mathematics is the foundation for all other STEM disciplines; the role of mathematics in classrooms is not clear yet. Therefore, the question arises: What is the current role of mathematics in secondary STEM classrooms? To answer this question, we conducted a systematic literature review based on three publication databases (Web of Science, ERIC, and EBSCO Teacher Referral Center). This literature review paper is intended to contribute to the current state of the role of mathematics in STEM education in secondary classrooms. Through the search, starting with 1910 documents, only 14 eligible documents were found. In these, mathematics is often seen as a minor matter and a means to an end in the eyes of science educators. From this, we conclude that the role of mathematics in the STEM classroom should be further strengthened. Overall, the paper highlights a major research gap, and proposes possible initial solutions to close it. KW - STEM education KW - role of mathematics in STEM KW - literature review KW - STEM integration KW - STEM classroom KW - secondary education Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-288075 SN - 2227-7102 VL - 12 IS - 9 ER - TY - JOUR A1 - Appell, Jürgen A1 - Brito, Belén López A1 - Reinwand, Simon T1 - Counterexamples on compositions JF - Mathematische Semesterberichte N2 - We give a collection of 16 examples which show that compositions \(g\) \(\circ\) \(f\) of well-behaved functions \(f\) and \(g\) can be badly behaved. Remarkably, in 10 of the 16 examples it suffices to take as outer function \(g\) simply a power-type or characteristic function. Such a collection of examples may serve as a source of exercises for a calculus course. KW - composition of functions KW - examples and counterexamples Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-324306 SN - 0720-728X VL - 70 IS - 1 ER - TY - JOUR A1 - Kanzow, Christian T1 - Y. Cui, J.-S. Pang: “Modern Nonconvex Nondifferentiable Optimization” JF - Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung N2 - No abstract available. KW - Kanzow, C. Y. Cui, J.-S. Pang: “Modern Nonconvex Nondifferentiable Optimization” KW - Rezension Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-324346 SN - 0012-0456 VL - 124 IS - 2 ER - TY - JOUR A1 - Kanzow, Christian A1 - Mehlitz, Patrick T1 - Convergence properties of monotone and nonmonotone proximal gradient methods revisited JF - Journal of Optimization Theory and Applications N2 - Composite optimization problems, where the sum of a smooth and a merely lower semicontinuous function has to be minimized, are often tackled numerically by means of proximal gradient methods as soon as the lower semicontinuous part of the objective function is of simple enough structure. The available convergence theory associated with these methods (mostly) requires the derivative of the smooth part of the objective function to be (globally) Lipschitz continuous, and this might be a restrictive assumption in some practically relevant scenarios. In this paper, we readdress this classical topic and provide convergence results for the classical (monotone) proximal gradient method and one of its nonmonotone extensions which are applicable in the absence of (strong) Lipschitz assumptions. This is possible since, for the price of forgoing convergence rates, we omit the use of descent-type lemmas in our analysis. KW - non-Lipschitz optimization KW - nonsmooth optimization KW - proximal gradient method Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-324351 SN - 0022-3239 VL - 195 IS - 2 ER - TY - JOUR A1 - Kourou, Maria A1 - Zarvalis, Konstantinos T1 - Compact sets in petals and their backward orbits under semigroups of holomorphic functions JF - Potential Analysis N2 - Let (ϕ\(_t\))\(_{t≥0}\) be a semigroup of holomorphic functions in the unit disk \(\mathbb {D}\) and K a compact subset of \(\mathbb {D}\). We investigate the conditions under which the backward orbit of K under the semigroup exists. Subsequently, the geometric characteristics, as well as, potential theoretic quantities for the backward orbit of K are examined. More specifically, results are obtained concerning the asymptotic behavior of its hyperbolic area and diameter, the harmonic measure and the capacity of the condenser that K forms with the unit disk. KW - semigroup of holomorphic functions KW - backward orbit KW - petal KW - harmonic measure KW - condenser capacity KW - Koenigs function KW - green energy KW - hyperbolic area Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-324368 SN - 0926-2601 VL - 59 IS - 4 ER - TY - JOUR A1 - Dippell, Marvin A1 - Esposito, Chiara A1 - Waldmann, Stefan T1 - Deformation and Hochschild cohomology of coisotropic algebras JF - Annali di Matematica Pura ed Applicata N2 - Coisotropic algebras consist of triples of algebras for which a reduction can be defined and unify in a very algebraic fashion coisotropic reduction in several settings. In this paper, we study the theory of (formal) deformation of coisotropic algebras showing that deformations are governed by suitable coisotropic DGLAs. We define a deformation functor and prove that it commutes with reduction. Finally, we study the obstructions to existence and uniqueness of coisotropic algebras and present some geometric examples. KW - deformation theory KW - differential graded Lie algebra KW - coisotropic reduction Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-329069 VL - 201 IS - 3 ER - TY - JOUR A1 - Greefrath, Gilbert A1 - Siller, Hans-Stefan A1 - Klock, Heiner A1 - Wess, Raphael T1 - Pre-service secondary teachers’ pedagogical content knowledge for the teaching of mathematical modelling JF - Educational Studies in Mathematics N2 - The article deals with the pedagogical content knowledge of mathematical modelling as part of the professional competence of pre-service teachers. With the help of a test developed for this purpose from a conceptual model, we examine whether this pedagogical content knowledge can be promoted in its different facets—especially knowledge about modelling tasks and about interventions—by suitable university seminars. For this purpose, the test was administered to three groups in a seminar for the teaching of mathematical modelling: (1) to those respondents who created their own modelling tasks for use with students, (2) to those trained to intervene in mathematical modelling processes, and (3) participating students who are not required to address mathematical modelling. The findings of the study—based on variance analysis—indicate that certain facets (knowledge of modelling tasks, modelling processes, and interventions) have increased significantly in both experimental groups but to varying degrees. By contrast, pre-service teachers in the control group demonstrated no significant change to their level of pedagogical content knowledge. KW - mathematical modelling KW - pedagogical content knowledge KW - professional competence KW - pre-service teacher Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-308259 SN - 0013-1954 SN - 1573-0816 VL - 109 IS - 2 ER - TY - THES A1 - Reinwand, Simon T1 - Functions of Bounded Variation: Theory, Methods, Applications T1 - Funktionen beschränkter Variation: Theorie, Methoden, Anwendungen N2 - Functions of bounded variation are most important in many fields of mathematics. This thesis investigates spaces of functions of bounded variation with one variable of various types, compares them to other classical function spaces and reveals natural “habitats” of BV-functions. New and almost comprehensive results concerning mapping properties like surjectivity and injectivity, several kinds of continuity and compactness of both linear and nonlinear operators between such spaces are given. A new theory about different types of convergence of sequences of such operators is presented in full detail and applied to a new proof for the continuity of the composition operator in the classical BV-space. The abstract results serve as ingredients to solve Hammerstein and Volterra integral equations using fixed point theory. Many criteria guaranteeing the existence and uniqueness of solutions in BV-type spaces are given and later applied to solve boundary and initial value problems in a nonclassical setting. A big emphasis is put on a clear and detailed discussion. Many pictures and synoptic tables help to visualize and summarize the most important ideas. Over 160 examples and counterexamples illustrate the many abstract results and how delicate some of them are. N2 - Funktionen beschränkter Variation sind in vielen Bereichen der Mathematik besonders wichtig. Diese Dissertation untersucht Räume von Funktionen einer Variable von beschränkter Variation unterschiedlichen Typs, vergleicht sie mit klassischen Funktionenräumen und enthüllt natürliche „Lebensräume“ von BV-Funktionen. Neue und umfassende Ergebnisse über Abbildungseigenschaften wie Surjektivität und Injektivität, verschiedene Arten von Stetigkeit und Kompaktheit von linearen und nichtlinearen Operatoren zwischen solchen Räumen werden präsentiert. Eine neue Theorie über verschiedene Konvergenzarten von solchen Operatoren wird entwickelt und schließlich auf einen neuen Beweis für die Stetigkeit des Kompositionsoperators im klassischen BV-Raum angewendet. Diese abstrakten Ergebnisse dienen als Zutat für die Lösung von Hammerstein- und Volterra-Integralgleichungen mithilfe von Fixpunktsätzen. Diese liefern viele Kriterien, welche die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen garantieren, die sodann auf Anfangs- und Randwertprobleme in einem nichtklassischen Setting angewendet werden. Besonders Augenmerk liegt auf einer klaren und detaillierte Darstellung. Viele Abbildungen und Tabellen helfen, die wichtigsten Ideen zu visualisieren und zusammenzufassen. Über 160 Beispiele und Gegenbeispiele illustrieren die abstrakten Ergebnisse und zeigen deren Grenzen. KW - Funktion von beschränkter Variation KW - Nichtlinearer Operator KW - Integralgleichung KW - Fixpunktsatz KW - Gleichmäßige Konvergenz KW - Mapping Properties KW - Abbildungseigenschaften KW - Functions with Primitive KW - Funktionen mit Stammfunktion KW - Linearer Operator KW - Operatortheorie Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-235153 SN - 9783736974036 PB - Cuvillier-Verlag, Göttingen ER - TY - THES A1 - Wenz, Andreas T1 - Computation of Belyi maps with prescribed ramification and applications in Galois theory T1 - Berechnung von Belyi-Funktionen mit vorgegebener Monodromiegruppe und Anwendungen in der Galoistheorie N2 - We compute genus-0 Belyi maps with prescribed monodromy and strictly verify the computed results. Among the computed examples are almost simple primitive groups that satisfy the rational rigidity criterion yielding polynomials with prescribed Galois groups over Q(t). We also give an explicit version of a theorem of Magaard, which lists all sporadic groups occurring as composition factors of monodromy groups of rational functions. N2 - Wir berechnen Geschlecht-0 Belyi-Funktionen mit vorgegebener Monodromiegruppe und liefern rigorose Verifikationsbeweise. Unter den berechneten Exemplaren finden sich fast-einfache primitive Gruppen, welche das sogenannte "Rationale-Starrheitskriterium" erfüllen, die zu Galois-Realisierungen über Q(t) führen. Außerdem liefern wir eine explizite Version eines Satzes von Magaard, der alle sporadischen Gruppen auflistet, die als Kompositionsfaktoren von Monodromiegruppen rationaler Funktionen auftreten. KW - Galois-Theorie KW - Überlagerung KW - Belyi map KW - Explicit Computation KW - Belyi-Funktionen KW - Explizite Berechnung Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-240838 ER - TY - JOUR A1 - Kanzow, Christian A1 - Raharja, Andreas B. A1 - Schwartz, Alexandra T1 - An Augmented Lagrangian Method for Cardinality-Constrained Optimization Problems JF - Journal of Optimization Theory and Applications N2 - A reformulation of cardinality-constrained optimization problems into continuous nonlinear optimization problems with an orthogonality-type constraint has gained some popularity during the last few years. Due to the special structure of the constraints, the reformulation violates many standard assumptions and therefore is often solved using specialized algorithms. In contrast to this, we investigate the viability of using a standard safeguarded multiplier penalty method without any problem-tailored modifications to solve the reformulated problem. We prove global convergence towards an (essentially strongly) stationary point under a suitable problem-tailored quasinormality constraint qualification. Numerical experiments illustrating the performance of the method in comparison to regularization-based approaches are provided. KW - quasinormality constraint qualification KW - cardinality constraints KW - augmented Lagrangian KW - global convergence KW - stationarity Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-269166 SN - 1573-2878 VL - 189 IS - 3 ER - TY - JOUR A1 - Hellmuth, Kathrin A1 - Klingenberg, Christian A1 - Li, Qin A1 - Tang, Min T1 - Multiscale convergence of the inverse problem for chemotaxis in the Bayesian setting JF - Computation N2 - Chemotaxis describes the movement of an organism, such as single or multi-cellular organisms and bacteria, in response to a chemical stimulus. Two widely used models to describe the phenomenon are the celebrated Keller–Segel equation and a chemotaxis kinetic equation. These two equations describe the organism's movement at the macro- and mesoscopic level, respectively, and are asymptotically equivalent in the parabolic regime. The way in which the organism responds to a chemical stimulus is embedded in the diffusion/advection coefficients of the Keller–Segel equation or the turning kernel of the chemotaxis kinetic equation. Experiments are conducted to measure the time dynamics of the organisms' population level movement when reacting to certain stimulation. From this, one infers the chemotaxis response, which constitutes an inverse problem. In this paper, we discuss the relation between both the macro- and mesoscopic inverse problems, each of which is associated with two different forward models. The discussion is presented in the Bayesian framework, where the posterior distribution of the turning kernel of the organism population is sought. We prove the asymptotic equivalence of the two posterior distributions. KW - inverse problems KW - Bayesian approach KW - kinetic chemotaxis equation KW - Keller–Segel model KW - multiscale modeling KW - asymptotic analysis KW - velocity jump process KW - mathematical biology Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-250216 SN - 2079-3197 VL - 9 IS - 11 ER - TY - JOUR A1 - Tongsomporn, Janyarak A1 - Wananiyakul, Saeree A1 - Steuding, Jörn T1 - The values of the periodic zeta-function at the nontrivial zeros of Riemann's zeta-function JF - Symmetry N2 - In this paper, we prove an asymptotic formula for the sum of the values of the periodic zeta-function at the nontrivial zeros of the Riemann zeta-function (up to some height) which are symmetrical on the real line and the critical line. This is an extension of the previous results due to Garunkštis, Kalpokas, and, more recently, Sowa. Whereas Sowa's approach was assuming the yet unproved Riemann hypothesis, our result holds unconditionally. KW - zeta-functions KW - Riemann hypothesis Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-252261 SN - 2073-8994 VL - 13 IS - 12 ER - TY - JOUR A1 - Greefrath, Gilbert A1 - Oldenburg, Reinhard A1 - Siller, Hans-Stefan A1 - Ulm, Volker A1 - Weigand, Hans-Georg T1 - Basic Mental Models of Integrals - Theoretical Conception, Development of a Test Instrument, and first Results JF - ZDM – Mathematics Education N2 - A basic mental model (BMM—in German ‘Grundvorstellung’) of a mathematical concept is a content-related interpretation that gives meaning to this concept. This paper defines normative and individual BMMs and concretizes them using the integral as an example. Four BMMs are developed about the concept of definite integral, sometimes used in specific teaching approaches: the BMMs of area, reconstruction, average, and accumulation. Based on theoretical work, in this paper we ask how these BMMs could be identified empirically. A test instrument was developed, piloted, validated and applied with 428 students in first-year mathematics courses. The test results show that the four normative BMMs of the integral can be detected and separated empirically. Moreover, the results allow a comparison of the existing individual BMMs and the requested normative BMMs. Consequences for future developments are discussed. KW - basic mental model KW - Grundvorstellung KW - integral KW - empirical evidence KW - approaches in textbooks Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-232830 SN - 1863-9690 VL - 53 ER - TY - JOUR A1 - Haack, J. A1 - Hauck, C. A1 - Klingenberg, C. A1 - Pirner, M. A1 - Warnecke, S. T1 - A Consistent BGK Model with Velocity-Dependent Collision Frequency for Gas Mixtures JF - Journal of Statistical Physics N2 - We derive a multi-species BGK model with velocity-dependent collision frequency for a non-reactive, multi-component gas mixture. The model is derived by minimizing a weighted entropy under the constraint that the number of particles of each species, total momentum, and total energy are conserved. We prove that this minimization problem admits a unique solution for very general collision frequencies. Moreover, we prove that the model satisfies an H-Theorem and characterize the form of equilibrium. KW - plasma physics KW - multi-fluid mixture KW - kinetic model KW - BGK approximation KW - velocity-dependent collision frequency KW - entropy minimization Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-269146 SN - 1572-9613 VL - 184 IS - 3 ER - TY - JOUR A1 - Kanzow, Christian A1 - Raharja, Andreas B. A1 - Schwartz, Alexandra T1 - Sequential optimality conditions for cardinality-constrained optimization problems with applications JF - Computational Optimization and Applications N2 - Recently, a new approach to tackle cardinality-constrained optimization problems based on a continuous reformulation of the problem was proposed. Following this approach, we derive a problem-tailored sequential optimality condition, which is satisfied at every local minimizer without requiring any constraint qualification. We relate this condition to an existing M-type stationary concept by introducing a weak sequential constraint qualification based on a cone-continuity property. Finally, we present two algorithmic applications: We improve existing results for a known regularization method by proving that it generates limit points satisfying the aforementioned optimality conditions even if the subproblems are only solved inexactly. And we show that, under a suitable Kurdyka–Łojasiewicz-type assumption, any limit point of a standard (safeguarded) multiplier penalty method applied directly to the reformulated problem also satisfies the optimality condition. These results are stronger than corresponding ones known for the related class of mathematical programs with complementarity constraints. KW - augmented Lagrangian method KW - cardinality constraints KW - sequential optimality condition KW - conecontinuity type constraint qualification KW - relaxation method Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-269052 SN - 1573-2894 VL - 80 IS - 1 ER - TY - THES A1 - Berberich, Jonas Philipp T1 - Fluids in Gravitational Fields – Well-Balanced Modifications for Astrophysical Finite-Volume Codes T1 - Fluide in Gravitationsfeldern - Wohl-Balancierte Modifikationen für Astrophysikalische Finite-Volumen-Codes N2 - Stellar structure can -- in good approximation -- be described as a hydrostatic state, which which arises due to a balance between gravitational force and pressure gradient. Hydrostatic states are static solutions of the full compressible Euler system with gravitational source term, which can be used to model the stellar interior. In order to carry out simulations of dynamical processes occurring in stars, it is vital for the numerical method to accurately maintain the hydrostatic state over a long time period. In this thesis we present different methods to modify astrophysical finite volume codes in order to make them \emph{well-balanced}, preventing them from introducing significant discretization errors close to hydrostatic states. Our well-balanced modifications are constructed so that they can meet the requirements for methods applied in the astrophysical context: They can well-balance arbitrary hydrostatic states with any equation of state that is applied to model thermodynamical relations and they are simple to implement in existing astrophysical finite volume codes. One of our well-balanced modifications follows given solutions exactly and can be applied on any grid geometry. The other methods we introduce, which do no require any a priori knowledge, balance local high order approximations of arbitrary hydrostatic states on a Cartesian grid. All of our modifications allow for high order accuracy of the method. The improved accuracy close to hydrostatic states is verified in various numerical experiments. N2 - Die Struktur von Sternen kann in guter Näherung als hydrostatischer Zustandbeschrieben werden, der durch ein Gleichgewicht zwischen Gravitationskraft undDruckgradient gegeben ist. Hydrostatische Zustände sind statische Lösungen dervollständigen komprimierbaren Euler-Gleichungen mit Gravitationsquellenterm, diezur Modellierung des Sterninneren verwendet werden können. Um Simulationendynamischer Prozesse in Sternen durchführen zu können, ist es wichtig, dass dieverwendete numerische Methode den hydrostatischen Zustand über einen langenZeitraum genau aufrechterhalten kann. In dieser Arbeit stellen wir verschiedene Me-thoden vor, um astrophysikalische Finite-Volumen-Codes so zu modifizieren, dasssie diewell-balancing-Eigenschaft erhalten, d.h., dass sie keine signifikanten Diskre-tisierungsfehler nahe hydrostatischer Zustände verursachen. Unsere well-balancing-Modifikationen sind so konstruiert, dass sie die Anforderungen für Methoden er-füllen, die im astrophysikalischen Kontext angewendet werden: Sie können beliebi-ge hydrostatische Zustände mit jeder Zustandsgleichung, die zur Modellierung derthermodynamischen Beziehungen angewendet wird, balancieren und sind einfach invorhandene astrophysikalische Finite-Volumen-Codes zu implementieren. Eine un-serer well-balancing Modifikationen erhält bekannte Lösungen exakt und kann aufjede Gittergeometrie angewendet werden. Die anderen Methoden, für die keine A-priori-Kenntnisse erforderlich sind, balancieren lokale Approximationen beliebigerhydrostatischer Zustände mit hoher Fehlerordnung auf einem kartesischen Gitter.Alle unsere Modifikationen erlauben eine hohe Fehlerordnung der Methode. Dieverbesserte Genauigkeit nahe an hydrostatischen Zuständen wird in verschiedenennumerischen Experimenten verifiziert. KW - well-balancing KW - Euler equations KW - finite volume methods KW - Fluid KW - Gravitationsfeld KW - Finite-Volumen-Methode Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-219679 ER - TY - THES A1 - Mönius, Katja T1 - Algebraic and Arithmetic Properties of Graph Spectra T1 - Algebraische und Arithmetische Eigenschaften von Graph Spektren N2 - In the present thesis we investigate algebraic and arithmetic properties of graph spectra. In particular, we study the algebraic degree of a graph, that is the dimension of the splitting field of the characteristic polynomial of the associated adjacency matrix over the rationals, and examine the question whether there is a relation between the algebraic degree of a graph and its structural properties. This generalizes the yet open question ``Which graphs have integral spectra?'' stated by Harary and Schwenk in 1974. We provide an overview of graph products since they are useful to study graph spectra and, in particular, to construct families of integral graphs. Moreover, we present a relation between the diameter, the maximum vertex degree and the algebraic degree of a graph, and construct a potential family of graphs of maximum algebraic degree. Furthermore, we determine precisely the algebraic degree of circulant graphs and find new criteria for isospectrality of circulant graphs. Moreover, we solve the inverse Galois problem for circulant graphs showing that every finite abelian extension of the rationals is the splitting field of some circulant graph. Those results generalize a theorem of So who characterized all integral circulant graphs. For our proofs we exploit the theory of Schur rings which was already used in order to solve the isomorphism problem for circulant graphs. Besides that, we study spectra of zero-divisor graphs over finite commutative rings. Given a ring \(R\), the zero-divisor graph over \(R\) is defined as the graph with vertex set being the set of non-zero zero-divisors of \(R\) where two vertices \(x,y\) are adjacent if and only if \(xy=0\). We investigate relations between the eigenvalues of a zero-divisor graph, its structural properties and the algebraic properties of the respective ring. N2 - In der vorliegenden Dissertation untersuchen wir algebraische und arithmetische Eigenschaften von Graph Spektren. Insbesondere studieren wir den algebraischen Grad eines Graphen, d.h. die Dimension des Zerfällungskörpers des charakteristischen Polynoms der zugehörigen Adjazenzmatrix über den rationalen Zahlen, und beschäftigen uns mit der Frage, ob es einen Zusammenhang zwischen dem algebraischen Grad eines Graphen und seinen strukturellen Eigenschaften gibt. Dies verallgemeinert die bis heute noch offene Fragestellung "Welche Graphen haben ganzzahliges Spektrum?", welche 1974 von Harary und Schwenk aufgeworfen wurde. Wir geben einen Überblick über verschiedene Graphprodukte, da diese oftmals hilfreich sind bei der Untersuchung von Graph Spektren, und konstruieren damit Familien von integralen Graphen. Außerdem stellen wir einen Zusammenhang zwischen dem Diameter, dem maximalen Eckengrad und dem algebraischen Grad von Graphen vor, und konstruieren eine potenzielle Familie von Graphen, welche alle maximalen algebraischen Grad haben. Zudem bestimmen wir den algebraischen Grad zirkulärer Graphen und finden neue Kriterien für Isospektralität solcher Graphen. Darüber hinaus lösen wir das inverse Galois Problem für zirkuläre Graphen, indem wir zeigen, dass jede endliche abelsche Erweiterung der rationalen Zahlen Zerfällungskörper eines zirkulären Graphen ist. Diese Resultate verallgemeinern einen Satz von So, in dem sämtliche integrale zirkuläre Graphen charakterisiert werden. Für unsere Beweise verwenden wir die Theorie der Schur Ringe, die bereits verwendet wurde, um das Isomorphieproblem für zirkuläre Graphen zu lösen. Zu guter Letzt untersuchen wir Spektren von Nullteilergraphen über kommutativen Ringen. Zu einem gegebenen Ring \(R\) ist der zugehörige Nullteilergraph über \(R\) definiert als der Graph, dessen Eckenmenge den Nullteilern von \(R\) entspricht, und in dem je zwei Ecken \(x,y\) benachbart sind, wenn \(xy=0\) gilt. Wir studieren Zusammenhänge zwischen den Eigenwerten von Nullteilergraphen, deren strukturellen Eigenschaften und den algebraischen Eigenschaften der entsprechenden Ringe. KW - Algebraische Zahlentheorie KW - Graph KW - Graph spectrum KW - Integral graph KW - Cayley graph KW - Schur ring KW - Zero-divisor graph KW - Kombinatorik Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-230850 ER - TY - THES A1 - Herrmann, Marc T1 - The Total Variation on Surfaces and of Surfaces T1 - Die totale Variation auf Oberflächen und von Oberflächen N2 - This thesis is concerned with applying the total variation (TV) regularizer to surfaces and different types of shape optimization problems. The resulting problems are challenging since they suffer from the non-differentiability of the TV-seminorm, but unlike most other priors it favors piecewise constant solutions, which results in piecewise flat geometries for shape optimization problems.The first part of this thesis deals with an analogue of the TV image reconstruction approach [Rudin, Osher, Fatemi (Physica D, 1992)] for images on smooth surfaces. A rigorous analytical framework is developed for this model and its Fenchel predual, which is a quadratic optimization problem with pointwise inequality constraints on the surface. A function space interior point method is proposed to solve it. Afterwards, a discrete variant (DTV) based on a nodal quadrature formula is defined for piecewise polynomial, globally discontinuous and continuous finite element functions on triangulated surface meshes. DTV has favorable properties, which include a convenient dual representation. Next, an analogue of the total variation prior for the normal vector field along the boundary of smooth shapes in 3D is introduced. Its analysis is based on a differential geometric setting in which the unit normal vector is viewed as an element of the two-dimensional sphere manifold. Shape calculus is used to characterize the relevant derivatives and an variant of the split Bregman method for manifold valued functions is proposed. This is followed by an extension of the total variation prior for the normal vector field for piecewise flat surfaces and the previous variant of split Bregman method is adapted. Numerical experiments confirm that the new prior favours polyhedral shapes. N2 - Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Anwendung der totalen Variation (TV) als Regularisierung auf Oberflächen und in verschiedenen Problemen der Formoptimierung. Die daraus entstehenden Optimierungsprobleme sind aufgrund der TV-Seminorm nicht differenzierbar und daher eine Herausforderung. Allerdings werden dadurch, im Gegensatz zu anderen Regularisierungen, stückweise konstante Lösungen favorisiert. Dies führt bei Problemen der Formoptimierung zu stückweise flachen Geometrien. Der erste Teil dieser Arbeit widmet sich der Erweiterung des Ansatzes zur mathematischen Bildverarbeitung [Rudin, Osher, Fatemi (Physica D, 1992)] von flachen Bildern auf glatte Oberflächen und deren Texturen. Für das damit verbundene Optimierungsproblem wird das Fenchel präduale Problem hergeleitet. Dies ist ein quadratisches Optimierungsproblem mit Ungleichungsrestriktionen für dessen Lösung ein Innere-Punkte-Verfahren in Funktionenräumen vorgestellt wird. Basierend auf einer Quadraturformel, wird im Anschluss eine diskrete Variante (DTV) der TV-Seminorm für global unstetige und stetige Finite- Elemente-Funktionen auf triangulierten Oberflächen entwickelt. (DTV) besitzt positive Eigenschaften, wie eine praktische duale Darstellung. Im letzten Teil wird zuerst ein TV-Analogon für die Oberflächennormale von glatten Formen in 3D gezeigt und mit Hilfe von Differentialgeometrie analysiert. Danach wird eine mögliche Erweiterungen für stückweise glatte Oberflächen vorgestellt. Zur Lösung von beiden Regularisierungen wird eine Variante des Split-Bregman-Verfahrens für Funktionen mitWerten auf Mannigfaltigkeiten benutzt. KW - Gestaltoptimierung KW - optimization KW - total variation KW - Formoptimierung KW - Shape Optimization KW - Optimierung KW - Totale Variation KW - Finite-Elemente-Methode Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-240736 ER - TY - THES A1 - Bartsch, Jan T1 - Theoretical and numerical investigation of optimal control problems governed by kinetic models T1 - Theoretische und numerische Untersuchung von Optimalsteuerungsproblemen mit kinetischen Modellen N2 - This thesis is devoted to the numerical and theoretical analysis of ensemble optimal control problems governed by kinetic models. The formulation and study of these problems have been put forward in recent years by R.W. Brockett with the motivation that ensemble control may provide a more general and robust control framework for dynamical systems. Following this formulation, a Liouville (or continuity) equation with an unbounded drift function is considered together with a class of cost functionals that include tracking of ensembles of trajectories of dynamical systems and different control costs. Specifically, $L^2$, $H^1$ and $L^1$ control costs are taken into account which leads to non--smooth optimization problems. For the theoretical investigation of the resulting optimal control problems, a well--posedness theory in weighted Sobolev spaces is presented for Liouville and related transport equations. Specifically, existence and uniqueness results for these equations and energy estimates in suitable norms are provided; in particular norms in weighted Sobolev spaces. Then, non--smooth optimal control problems governed by the Liouville equation are formulated with a control mechanism in the drift function. Further, box--constraints on the control are imposed. The control--to--state map is introduced, that associates to any control the unique solution of the corresponding Liouville equation. Important properties of this map are investigated, specifically, that it is well--defined, continuous and Frechet differentiable. Using the first two properties, the existence of solutions to the optimal control problems is shown. While proving the differentiability, a loss of regularity is encountered, that is natural to hyperbolic equations. This leads to the need of the investigation of the control--to--state map in the topology of weighted Sobolev spaces. Exploiting the Frechet differentiability, it is possible to characterize solutions to the optimal control problem as solutions to an optimality system. This system consists of the Liouville equation, its optimization adjoint in the form of a transport equation, and a gradient inequality. Numerical methodologies for solving Liouville and transport equations are presented that are based on a non--smooth Lagrange optimization framework. For this purpose, approximation and solution schemes for such equations are developed and analyzed. For the approximation of the Liouville model and its optimization adjoint, a combination of a Kurganov--Tadmor method, a Runge--Kutta scheme, and a Strang splitting method are discussed. Stability and second--order accuracy of these resulting schemes are proven in the discrete $L^1$ norm. In addition, conservation of mass and positivity preservation are confirmed for the solution method of the Liouville model. As numerical optimization strategy, an adapted Krylow--Newton method is applied. Since the control is considered to be an element of $H^1$ and to obey certain box--constraints, a method for calculating a $H^1$ projection is presented. Since the optimal control problem is non-smooth, a semi-smooth adaption of Newton's method is taken into account. Results of numerical experiments are presented that successfully validate the proposed deterministic framework. After the discussion of deterministic schemes, the linear space--homogeneous Keilson--Storer master equation is investigated. This equation was originally developed for the modelling of Brownian motion of particles immersed in a fluid and is a representative model of the class of linear Boltzmann equations. The well--posedness of the Keilson--Storer master equation is investigated and energy estimates in different topologies are derived. To solve this equation numerically, Monte Carlo methods are considered. Such methods take advantage of the kinetic formulation of the Liouville equation and directly implement the behaviour of the system of particles under consideration. This includes the probabilistic behaviour of the collisions between particles. Optimal control problems are formulated with an objective that is constituted of certain expected values in velocity space and the $L^2$ and $H^1$ costs of the control. The problems are governed by the Keilson--Storer master equation and the control mechanism is considered to be within the collision kernel. The objective of the optimal control of this model is to drive an ensemble of particles to acquire a desired mean velocity and to achieve a desired final velocity configuration. Existence of solutions of the optimal control problem is proven and a Keilson--Storer optimality system characterizing the solution of the proposed optimal control problem is obtained. The optimality system is used to construct a gradient--based optimization strategy in the framework of Monte--Carlo methods. This task requires to accommodate the resulting adjoint Keilson--Storer model in a form that is consistent with the kinetic formulation. For this reason, we derive an adjoint Keilson--Storer collision kernel and an additional source term. A similar approach is presented in the case of a linear space--inhomogeneous kinetic model with external forces and with Keilson--Storer collision term. In this framework, a control mechanism in the form of an external space--dependent force is investigated. The purpose of this control is to steer the multi--particle system to follow a desired mean velocity and position and to reach a desired final configuration in phase space. An optimal control problem using the formulation of ensemble controls is stated with an objective that is constituted of expected values in phase space and $H^1$ costs of the control. For solving the optimal control problems, a gradient--based computational strategy in the framework of Monte Carlo methods is developed. Part of this is the denoising of the distribution functions calculated by Monte Carlo algorithms using methods of the realm of partial differential equations. A standalone C++ code is presented that implements the developed non--linear conjugated gradient strategy. Results of numerical experiments confirm the ability of the designed probabilistic control framework to operate as desired. An outlook section about optimal control problems governed by non--linear space--inhomogeneous kinetic models completes this thesis. N2 - Diese Arbeit widmet sich der numerischen und theoretischen Analyse von Proble- men der optimalen Kontrolle von Ensembles, die durch kinetische Modelle gesteuert werden. Die Formulierung und Untersuchung von Ensemble–Kontrollproblemen wur- den in den letzten Jahren von R.W. Brockett vorgeschlagen und vorangetrieben, mit der Motivation, dass Ensemblekontrolle einen allgemeineren und robusteren Rahmen für die Kontrolle von dynamischen Systemen bieten kann. In Anlehnung an diese Formulierung der Ensemble–Steuerung werden eine Liouville– (oder Kontinuitäts– ) Gleichung mit unbeschränkter Driftfunktion und eine Klasse von Kostenfunk- tionalen miteinbezogen, die das Nachverfolgen der Ensembles und verschiedener Kon- trollkosten berücksichtigen. Insbesondere werden L2, H1 und L1 Kontrollkosten be- trachtet. Für die theoretische Untersuchung der resultierenden Optimalsteuerungs- problemen wird eine Gutgestelltheitstheorie in gewichteten Sobolev–Räumen für die Liouville– und Transportgleichungen vorgestellt. Insbesondere werden Existenz– und Eindeutigkeitsresultate sowie Energieabschätzungen in geeigneten Normen präsen- tiert; insbesondere in gewichteten Sobolev–Räumen. Dann wird eine Klasse von nicht–glatten Optimalsteuerungsproblemen formuliert mit der Liouville–Gleichung als Nebenbedingung und einem Kontrollmechanismus in der Driftfunktion. Weiter- hin werden Box–Einschränkungen angenommen. ... KW - Optimale Kontrolle KW - Optimierung / Nebenbedingung KW - Liouville and transport equations KW - Ensemble optimal control Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-249066 ER -