TY - THES A1 - Koch, Julia Diana T1 - Value Ranges for Schlicht Functions T1 - Wertemengen schlichter Funktionen N2 - This thesis deals with value sets, i.e. the question of what the set of values that a set of functions can take in a prescribed point looks like. Interest in such problems has been around for a long time; a first answer was given by the Schwarz lemma in the 19th century, and soon various refinements were proven. Since the 1930s, a powerful method for solving such problems has been developed, namely Loewner theory. We make extensive use of this tool, as well as variation methods which go back to Schiffer to examine the following questions: We describe the set of values a schlicht normalised function on the unit disc with prescribed derivative at the origin can take by applying Pontryagin's maximum principle to the radial Loewner equation. We then determine the value ranges for the set of holomorphic, normalised, and bounded functions that have only real coefficients in their power series expansion around 0, and for the smaller set of functions which are additionally typically real. Furthermore, we describe the values a univalent self-mapping of the upper half-plane with hydrodynamical normalization which is symmetric with respect to the imaginary axis can take. Lastly, we give a necessary condition for a schlicht bounded function f on the unit disc to have extremal derivative in a point z where its value f(z) is fixed by using variation methods. N2 - Die vorliegende Dissertation beschäftigt sich mit Wertemengen, d.h. der Frage, welche Werte eine Menge von Funktionen in einem vorgegeben Punkt annehmen kann. Probleme dieser Art werden schon seit Langem behandelt; eine erste Antwort in Form des Lemmas von Schwarz wurde bereits im 19. Jahrhundert gegeben, und viele Verfeinerungen folgten. Seit den 30er Jahren des 20. Jahrhunderts steht ein mächtiges Instrument zur Lösung solcher Probleme in Form der Löwner-Theorie zur Verfügung. Wir benutzen diese sowie Variationsmethoden, die auf Schiffer-Variation zurückgehen, um die folgenden Fragestellungen zu klären: Wir beschreiben die Menge der Werte, die eine schlichte normalisierte Funktion mit fixierter Ableitung im Ursprung annehmen kann, durch Anwendung des Pontryagin-Maximumprinzip auf die radiale Löwner-Gleichung. Als Nächstes bestimmen wir die Wertemengen für holomorphe normalisierte beschränkte Funktionen, deren Taylor-Entwicklung um 0 nur reelle Koeffizienten hat, und für die kleinere Menge von Funktionen, die zusätzlich typisch reell sind. Außerdem beschreiben wir den Wertebereich schlichter Selbstabbildungen der oberen Halbebene mit hydrodynamischer Normalisierung, die symmetrisch bezüglich der imaginären Achse sind. Zuletzt geben wir mit Hilfe von Variationsmethoden eine notwenige Bedingung für schlichte beschränkte Funktionen auf dem Einheitskreis an, deren Ableitung in einem Punkt mit vorgegebenem Funktionswert extremal ist. KW - Value ranges KW - radial Loewner equation KW - chordal Loewner equation KW - Pontryagins's maximum principle KW - univalent functions KW - typically real functions KW - Pontrjagin-Maximumprinzip KW - Schlichte Funktion KW - Funktionentheorie Y1 - 2016 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-144978 ER - TY - THES A1 - Böhm, Christoph T1 - Loewner equations in multiply connected domains T1 - Loewner Gleichungen für mehrfach zusammenhängende Gebiete N2 - The first goal of this thesis is to generalize Loewner's famous differential equation to multiply connected domains. The resulting differential equations are known as Komatu--Loewner differential equations. We discuss Komatu--Loewner equations for canonical domains (circular slit disks, circular slit annuli and parallel slit half-planes). Additionally, we give a generalisation to several slits and discuss parametrisations that lead to constant coefficients. Moreover, we compare Komatu--Loewner equations with several slits to single slit Loewner equations. Finally we generalise Komatu--Loewner equations to hulls satisfying a local growth property. N2 - Zunächst diskutieren wir eine Verallgemeinerung der radialen und chordalen Loewner Differentialgleichung auf mehrfach zusammenhängende Standardgebiete (Kreisschlitzgebiete, Kreisringschlitzgebiete, parallel Schlitz-Halbebenen). Diese Differentialgleichungen werden Komatu-Loewner Differentialgleichungen bezeichnet. Wir verallgemeinern diese auch auf mehrere Schlitze und zeigen, dass es Parametrisierungen gibt, die zu konstanten Koeffizienten führen. Zusätzlich vergleichen wir Komatu-Loewner Gleichungen für mehrere Schlitze mit Loewner Gleichungen im Einschlitzfall. Schließlich untersuchen wir den Fall von allgemeineren Wachstumsprozessen, die dadurch charakterisiert sind, dass nur ein "lokaler Zuwachs" möglich ist. KW - Biholomorphe Abbildung KW - Differentialgleichung KW - Loewner-Theorie KW - Loewner theory Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-129903 ER - TY - THES A1 - Schleißinger, Sebastian T1 - Embedding Problems in Loewner Theory T1 - Einbettungsprobleme in der Loewner-Theorie N2 - The work at hand studies problems from Loewner theory and is divided into two parts: In part 1 (chapter 2) we present the basic notions of Loewner theory. Here we use a modern form which was developed by F. Bracci, M. Contreras, S. Díaz-Madrigal et al. and which can be applied to certain higher dimensional complex manifolds. We look at two domains in more detail: the Euclidean unit ball and the polydisc. Here we consider two classes of biholomorphic mappings which were introduced by T. Poreda and G. Kohr as generalizations of the class S. We prove a conjecture of G. Kohr about support points of these classes. The proof relies on the observation that the classes describe so called Runge domains, which follows from a result by L. Arosio, F. Bracci and E. F. Wold. Furthermore, we prove a conjecture of G. Kohr about support points of a class of biholomorphic mappings that comes from applying the Roper-Suffridge extension operator to the class S. In part 2 (chapter 3) we consider one special Loewner equation: the chordal multiple-slit equation in the upper half-plane. After describing basic properties of this equation we look at the problem, whether one can choose the coefficient functions in this equation to be constant. D. Prokhorov proved this statement under the assumption that the slits are piecewise analytic. We use a completely different idea to solve the problem in its general form. As the Loewner equation with constant coefficients holds everywhere (and not just almost everywhere), this result generalizes Loewner’s original idea to the multiple-slit case. Moreover, we consider the following problems: • The “simple-curve problem” asks which driving functions describe the growth of simple curves (in contrast to curves that touch itself). We discuss necessary and sufficient conditions, generalize a theorem of J. Lind, D. Marshall and S. Rohde to the multiple-slit equation and we give an example of a set of driving functions which generate simple curves because of a certain self-similarity property. • We discuss properties of driving functions that generate slits which enclose a given angle with the real axis. • A theorem by O. Roth gives an explicit description of the reachable set of one point in the radial Loewner equation. We prove the analog for the chordal equation. N2 - Die vorliegende Arbeit behandelt Problemstellungen aus der Loewner-Theorie und besteht aus zwei Teilen: Im ersten Teil (Kapitel 2) werden zunächst die zentralen Begriffe der Loewner-Theorie vorgestellt. Hierbei wird eine moderne Form verwendet, die von F. Bracci, M. Contreras, S. Díaz-Madrigal et al. entwickelt wurde und auf gewisse mehrdimensionale komplexe Mannigfaltigkeiten anwendbar ist. Im Näheren befassen wir uns dann mit dem euklidischen Einheitsball und dem Polyzylinder. Dabei betrachten wir zwei Klassen von biholomorphen Abbildungen, die von T. Poreda und G. Kohr eingeführt wurden und Verallgemeinerungen der Klasse S darstellen. Es wird eine Vermutung von G. Kohr über Stützpunkte dieser Klassen bewiesen. Der Beweis beruht auf der Beobachtung, dass diese Klassen sogennante Runge-Gebiete beschreiben, was aus einem Satz von L. Arosio, F. Bracci und E. F. Wold folgt. Des Weiteren beweisen wir eine Vermutung von G. Kohr über Stützpunkte einer Klasse von biholomorphen Abbildungen, die durch Anwendung des Roper-Suffridge-Erweiterungsoperators auf die Klasse S entsteht. Der zweite Teil der Arbeit (Kapitel 3) beschränkt sich auf eine spezielle Loewner-Gleichung: die chordale Mehrfachschlitz-Gleichung in der oberen Halbebene. Nach der Beschreibung einiger fundamentalen Eigenschaften wenden wir uns dem Problem zu, ob die Koeffizienten-Funktionen in dieser Gleichung bei einem gegebenen Mehrfachschlitz konstant gewählt werden können. Nachdem D. Prokhorov dieses Problem unter der Annahme, dass die vorgegebenen Schlitze stückweise analytisch sind, lösen konnte, benutzen wir eine grundlegend andere Herangehensweise, um dieses Problem allgemein zu lösen. Da bei konstanten Koeffizienten die Loewnersche Differentialgleichung überall (und nicht nur fast überall) gilt, verallgemeinert dieser Satz Loewners ursprüngliche Idee für den Mehrfachschlitz-Fall. Des Weiteren befassen wir uns mit folgenden Problemen: • Das “einfache-Kurven-Problem” stellt die Frage, welche Driftfunktionen das Wachstum von einfachen Kurven beschreibt (im Gegensatz zu Kurven, die sich selbst berühren). Wir diskutieren notwendige und hinreichende Bedingungen, verallgemeinern einen Satz von J. Lind, D. Marshall und S. Rohde für die Mehrfachschlitz-Gleichung und geben ein Beispiel einer Menge von Driftfunktionen, die einfache Kurven erzeugt, da sie eine gewisse Selbstähnlichkeitseigenschaft besitzt. • Wir diskutieren Eigenschaften von Driftfunktionen, die Schlitze erzeugen, welche mit der die reellen Achse einen festen Winkel einschließen. • Für die chordale Gleichung beweisen wir das Analogon eines Satzes von O. Roth, das die Erreichbarkeitsmenge eines Punktes in der radialen Loewner-Gleichung explizit beschreibt. KW - Loewner-Theorie KW - Loewner theory KW - Biholomorphe Abbildung KW - Differentialgleichung Y1 - 2013 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-96782 ER - TY - THES A1 - Pohl, Daniel T1 - Universal Locally Univalent Functions and Universal Conformal Metrics T1 - Universelle Lokal Schlichte Funktionen und Universelle Konforme Metriken N2 - The work at hand discusses various universality results for locally univalent and conformal metrics. In Chapter 2 several interesting approximation results are discussed. Runge-type Theorems for holomorphic and meromorphic locally univalent functions are shown. A well-known local approximation theorem for harmonic functions due to Keldysh is generalized to solutions of the curvature equation. In Chapter 3 and 4 these approximation theorems are used to establish universality results for locally univalent functions and conformal metrics. In particular locally univalent analogues for well-known universality results due Birkhoff, Seidel & Walsh and Heins are shown. N2 - In Kapitel 2 werden Runge-Sätze für holomorphe und meromorphe lokal schlichte Funktionen und ein lokaler Approximationsstaz für konforme Metriken mit negativer Krümmung bewiesen. Mithilfe dieser Sätze werden In Kapitel 3 und 4 Universalitätsresultate für lokal schlichte Funktionen und konforme Metriken gezeigt. KW - Schlichte Funktion KW - Konforme Metrik KW - Universal Functions KW - Conformal Metrics KW - Curvature Equation KW - Runge-type Theorems Y1 - 2019 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-177174 ER - TY - THES A1 - Biersack, Florian T1 - Topological Properties of Quasiconformal Automorphism Groups T1 - Topologische Eigenschaften quasikonformer Automorphismengruppen N2 - The goal of this thesis is to study the topological and algebraic properties of the quasiconformal automorphism groups of simply and multiply connected domains in the complex plain, in which the quasiconformal automorphism groups are endowed with the supremum metric on the underlying domain. More precisely, questions concerning central topological properties such as (local) compactness, (path)-connectedness and separability and their dependence on the boundary of the corresponding domains are studied, as well as completeness with respect to the supremum metric. Moreover, special subsets of the quasiconformal automorphism group of the unit disk are investigated, and concrete quasiconformal automorphisms are constructed. Finally, a possible application of quasiconformal unit disk automorphisms to symmetric cryptography is presented, in which a quasiconformal cryptosystem is defined and studied. N2 - Das Ziel dieser Arbeit ist es, die topologischen und algebraischen Eigenschaften der quasikonformen Automorphismengruppen von einfach und mehrfach zusammenhängenden Gebieten in der komplexen Zahlenebene zu untersuchen, in denen die quasikonformen Automorphismengruppen mit der Supremum-Metrik auf dem zugrunde liegenden Gebiet versehen sind. Die Arbeit befasst sich mit Fragen zu zentralen topologischen Eigenschaften wie (lokaler) Kompaktheit, (Weg-)Zusammenhang und Separabilität sowie deren Abhängigkeit der Ränder der entsprechenden Gebiete, sowie mit der Vollständigkeit bezüglich der betrachteten Supremums-Metrik. Darüber hinaus werden spezielle Teilmengen der quasikonformen Automorphismengruppe des Einheitskreises untersucht und konkrete quasikonforme Automorphismen konstruiert. Schließlich wird eine mögliche Anwendung von quasikonformen Einheitskreis-Automorphismen auf symmetrische Kryptographie vorgestellt, bei der ein quasikonformes Kryptosystem definiert und untersucht wird. KW - Quasikonforme Abbildung KW - Automorphismengruppe KW - Quasiconformal automorphism KW - Uniform topology Y1 - 2024 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-359177 ER -