TY  - THES
A1  - Sourmelidis, Athanasios
T1  - Universality and Hypertranscendence of Zeta-Functions
T1  - Universalität und Hypertranszendenz von Zetafunktionen
N2  - The starting point of the thesis is the {\it universality} property of the Riemann Zeta-function $\zeta(s)$
which was proved by Voronin in 1975:

{\it Given a positive number $\varepsilon>0$ and an analytic non-vanishing function $f$ defined  on a compact subset $\mathcal{K}$ of the strip $\left\{s\in\mathbb{C}:1/2 < \Re s< 1\right\}$ with connected complement, there exists a real number $\tau$ such that
\begin{align}\label{continuous}
\max\limits_{s\in \mathcal{K}}|\zeta(s+i\tau)-f(s)|<\varepsilon.
\end{align}
}
 In 1980, Reich proved a discrete analogue of Voronin’s theorem, also known as {\it discrete universality theorem} for $\zeta(s)$:

{\it If $\mathcal{K}$, $f$ and $\varepsilon$ are as before, then
\begin{align}\label{discretee}
\liminf\limits_{N\to\infty}\dfrac{1}{N}\sharp\left\{1\leq n\leq N:\max\limits_{s\in \mathcal{K}}|\zeta(s+i\Delta n)-f(s)|<\varepsilon\right\}>0,
\end{align}
where $\Delta$ is an arbitrary but fixed positive number.
}

We aim at developing a theory which can be applied to prove the majority of all so far existing discrete universality theorems in the case of Dirichlet $L$-functions $L(s,\chi)$ and Hurwitz zeta-functions $\zeta(s;\alpha)$, 
where $\chi$ is a Dirichlet character and $\alpha\in(0,1]$, respectively.
Both of the aforementioned classes of functions are generalizations of $\zeta(s)$, since $\zeta(s)=L(s,\chi_0)=\zeta(s;1)$, where $\chi_0$ is the principal Dirichlet character mod 1.

Amongst others, we prove statement (2) where instead of $\zeta(s)$ we have $L(s,\chi)$ for some Dirichlet character $\chi$ or $\zeta(s;\alpha)$ for some transcendental or rational number $\alpha\in(0,1]$, and instead of $(\Delta n)_{n\in\mathbb{N}}$ we can have:
\begin{enumerate}
\item \textit{Beatty sequences,}
\item \textit{sequences of ordinates of $c$-points of zeta-functions from the Selberg class,} 
\item \textit{sequences which are generated by polynomials.} 
\end{enumerate}
In all the preceding cases, the notion of {\it uniformly distributed sequences} plays an important role and we draw attention to it wherever we can. 
Moreover, for the case of polynomials, we employ more advanced techniques from Analytic Number Theory such as bounds of exponential sums and zero-density estimates for Dirichlet $L$-functions.
This will allow us to prove the existence of discrete second moments of $L(s,\chi)$ and $\zeta(s;\alpha)$ on the left of the vertical line $1+i\mathbb{R}$, with respect to polynomials. 

In the case of the Hurwitz Zeta-function $\zeta(s;\alpha)$, where $\alpha$ is transcendental or rational but not equal to $1/2$ or 1, the target function $f$ in (1) or (2), where $\zeta(\cdot)$ is replaced by $\zeta(\cdot;\alpha)$, is also allowed to have zeros.
Until recently there was no result regarding the universality of $\zeta(s;\alpha)$ in the literature whenever $\alpha$ is an algebraic irrational.
In the second half of the thesis, we prove that a weak version of statement \eqref{continuous} for $\zeta(s;\alpha)$ holds for all but finitely many algebraic irrational $\alpha$ in $[A,1]$, where $A\in(0,1]$ is an arbitrary but fixed real number.

Lastly, we prove that the ordinary Dirichlet series
$\zeta(s;f)=\sum_{n\geq1}f(n)n^{-s}$ and $\zeta_\alpha(s)=\sum_{n\geq1}\lfloor P(\alpha n+\beta)\rfloor^{-s}$
are hypertranscendental, where $f:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$ is a {\it Besicovitch almost periodic arithmetical function}, $\alpha,\beta>0$ are such that $\lfloor\alpha+\beta\rfloor>1$ and $P\in\mathbb{Z}[X]$ is such that $P(\mathbb{N})\subseteq\mathbb{N}$.
N2  - Der Ausgangspunkt dieser Dissertation ist die folgende {\it Universalit\"atseigenschaft} der Riemannschen Zetafunktion $\zeta(s)$, die von Voronin 1975 nachgewiesen wurde:

{\it Zu gegebenem $\varepsilon>0$ und einer analytischen nullstellenfreien Funktion $f$, die auf einer kompakten Teilmenge $\mathcal{K}$ des Streifens $\left\{s\in\mathbb{C}:1/2 < \Re s< 1\right\}$ mit zusammenh\"angendem Komplement definiert ist, existiert eine reelle Zahl $\tau$, so dass
\begin{align}\label{continuouus}
\max\limits_{s\in \mathcal{K}}|\zeta(s+i\tau)-f(s)|<\varepsilon.\tag*{(1)}
\end{align}
}
Im Jahr 1980 bewies Reich folgendes diskrete Analogon des Voroninschen Satzes, welches auch als {\it diskretes Universalit\"atstheorem} f\"ur $\zeta(s)$ bekannt ist:

{\it Sind $\mathcal{K}$, $f$ und $\varepsilon$ wie oben, so gilt
\begin{align}\label{discreteeee}
\liminf\limits_{N\to\infty}\dfrac{1}{N}\sharp\left\{1\leq n\leq N:\max\limits_{s\in \mathcal{K}}|\zeta(s+i\Delta n)-f(s)|<\varepsilon\right\}>0,\tag*{(2)}
\end{align}
wobei $\Delta$ eine beliebige, aber fest gew\"ahlte positive reelle Zahl bezeichnet.
}

Unser Ziel ist die Entwicklung einer Theorie, welche die Mehrheit der bislang bewiesenen diskreten Universalit\"atstheoreme im Fall Dirichletscher $L$-Funktionen $L(s,\chi)$ und Hurwitzscher Zetafunktionen $\zeta(s;\alpha)$ (wobei $\chi$ ein Dirichlet-Charakter ist und $\alpha\in(0,1]$) umfasst. Beide genannten Funktionenklassen verallgemeinern $\zeta(s)$, denn $\zeta(s)=L(s,\chi_0)=\zeta(s;1)$, wobei $\chi_0$ der Hauptcharakter modulo 1 ist.

Neben anderen Resultaten beweisen wir Aussage (2) mit $L(s,\chi)$ f\"ur einen beliebigen Dirichlet-Charakter $\chi$ bzw. $\zeta(s;\alpha)$ f\"ur ein transzendentes oder rationales $\alpha\in(0,1]$ anstelle von $\zeta(s)$ sowie $(\Delta n)_{n\in\mathbb{N}}$ ersetzt durch eine der nachstehenden Folgen:
\begin{enumerate}
\item \textit{Beatty-Folgen,}
\item \textit{Folgen von Imagin\"arteilen der $c$-Punkte einer beliebigen Zetafunktion der Selbergklasse,}
\item \textit{Folgen, die durch ein Polynom generiert werden.}
\end{enumerate}
In all diesen F\"allen spielt der Begriff einer {\it gleichverteilten Folge} eine wichtige Rolle, und wir schenken diesem Aspekt besondere Beachtung im Folgenden. Speziell f\"ur den Fall der Polynome benutzen wir weitere fortgeschrittene Techniken der Analytischen Zahlentheorie, wie besipielsweise Schranken f\"ur Exponentialsummen und Nullstellen-Dichtigkeitsabsch\"atzungen f\"ur Dirichletsche $L$-Funktionen. Dies erlaubt uns, die Existenz gewisser diskreter quadratischer Momente f\"ur $L(s,\chi)$ und $\zeta(s;\alpha)$ links der vertikalen Geraden $1+i\mathbb{R}$ im Polynom-Fall zu beweisen.

Im Fall der Hurwitzschen Zetafunktion $\zeta(s;\alpha)$, wobei $\alpha$ transzendent oder rational, aber ungleich $1/2$ oder 1 ist, kann die zu approximierende Funktion $f$ in (1) oder (2), wobei $\zeta(\cdot)$ durch $\zeta(\cdot;\alpha)$ zu ersetzen ist, sogar Nullstellen besitzen.

Bis vor kurzem waren hinsichtlich der Universalit\"at von $\zeta(s;\alpha)$ in der Literatur f\"ur algebraisch-irrationale $\alpha$ keine Ergebnisse erzielt worden. Im zweiten Teil der Dissertation beweisen wir eine schwache Version der Aussage \eqref{continuous} f\"ur $\zeta(s;\alpha)$ f\"ur alle algebraisch-irrationalen $\alpha\in[A,1]$ bis auf h\"ochstens endlich viele Ausnahmen, wobei $A\in(0,1]$ eine beliebige, aber fest gew\"ahlte reelle Zahl ist.

Schlie\ss{}lich weisen wir die Hypertranszendenz der gew\"ohnlichen Dirichlet-Reihen $\zeta(s;f)=\sum_{n\geq1}f(n)n^{-s}$ und $\zeta_\alpha(s)=\sum_{n\geq1}\lfloor P(\alpha n+\beta)\rfloor^{-s}$ nach, wobei $f:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$ irgendeine {\it Besicovitch-fastperiodische zahlentheoretische Funktion} ist, $\alpha,\beta>0$ der Ungleichung $\lfloor\alpha+\beta\rfloor>1$ gen\"ugt und $P\in\mathbb{Z}[X]$ die Bedingung $P(\mathbb{N})\subseteq\mathbb{N}$ erf\"ullt.
KW  - Analytische Zahlentheorie
KW  - Universality
KW  - Zeta-Functions
KW  - Hypertranscendence
KW  - Zetafunktion
KW  - Universalität
KW  - Dirichlet-Reihe
Y1  - 2020
U6  - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-193699
ER  -