TY - THES A1 - Reith, Steffen T1 - Generalized Satisfiability Problems T1 - Verallgemeinerte Erfüllbarkeitsprobleme N2 - In the last 40 years, complexity theory has grown to a rich and powerful field in theoretical computer science. The main task of complexity theory is the classification of problems with respect to their consumption of resources (e.g., running time or required memory). To study the computational complexity (i.e., consumption of resources) of problems, similar problems are grouped into so called complexity classes. During the systematic study of numerous problems of practical relevance, no efficient algorithm for a great number of studied problems was found. Moreover, it was unclear whether such algorithms exist. A major breakthrough in this situation was the introduction of the complexity classes P and NP and the identification of hardest problems in NP. These hardest problems of NP are nowadays known as NP-complete problems. One prominent example of an NP-complete problem is the satisfiability problem of propositional formulas (SAT). Here we get a propositional formula as an input and it must be decided whether an assignment for the propositional variables exists, such that this assignment satisfies the given formula. The intensive study of NP led to numerous related classes, e.g., the classes of the polynomial-time hierarchy PH, P, #P, PP, NL, L and #L. During the study of these classes, problems related to propositional formulas were often identified to be complete problems for these classes. Hence some questions arise: Why is SAT so hard to solve? Are there modifications of SAT which are complete for other well-known complexity classes? In the context of these questions a result by E. Post is extremely useful. He identified and characterized all classes of Boolean functions being closed under superposition. It is possible to study problems which are connected to generalized propositional logic by using this result, which was done in this thesis. Hence, many different problems connected to propositional logic were studied and classified with respect to their computational complexity, clearing the borderline between easy and hard problems. N2 - In den letzten 40 Jahren hat sich die Komplexitätstheorie zu einem reichen und mächtigen Gebiet innerhalb der theoretischen Informatik entwickelt. Dabei ist die hauptsächliche Aufgabenstellung der Komplexitätstheorie die Klassifikation von Problemen bezüglich des Bedarfs von Rechenzeit oder Speicherplatz zu ihrer Lösung. Um die Komplexität von Problemen (d.h. den Bedarf von Resourcen) einzuordnen, werden Probleme mit ähnlichem Ressourcenbedarf in gleiche sogenannte Komplexitätsklassen einsortiert. Bei der systematischen Untersuchung einer Vielzahl von praktisch relevanten Problemen wurden jedoch keine effizienten Algorithmen für viele der untersuchten Probleme gefunden und es ist unklar, ob solche Algorithmen überhaupt existieren. Ein Durchbruch bei der Untersuchung dieser Problematik war die Einführung der Komplexitätsklassen P und NP und die Identifizierung von schwersten Problemen in NP. Diese schwierigsten Probleme von NP sind heute als sogenannte NP-vollständige Probleme bekannt. Ein prominentes Beispiel für ein NP-vollständiges Problem ist das Erfüllbarkeitsproblem für aussagenlogische Formeln (SAT). Hier ist eine aussagenlogische Formel als Eingabe gegeben und es muss bestimmt werden, ob eine Belegung der Wahrheitswertevariablen existiert, so dass diese Belegung die gegebene Formel erfüllt. Das intensive Studium der Klasse NP führte zu einer Vielzahl von anderen Komplexitätsklassen, wie z.B. die der Polynomialzeithierarchie PH, P, #P, PP, NL, L oder #L. Beim Studium dieser Klassen wurden sehr oft Probleme im Zusammenhang mit aussagenlogischen Formeln als schwierigste (vollständige) Probleme für diese Klassen identifiziert. Deshalb stellt sich folgende Frage: Welche Eigenschaften des Erfüllbarkeitsproblems SAT bewirken, dass es eines der schwersten Probleme der Klasse NP ist? Gibt es Einschränkungen oder Verallgemeinerungen des Erfüllbarkeitsproblems, die vollständig für andere bekannte Komplexitätsklassen sind? Im Zusammenhang mit solchen Fragestellungen ist ein Ergebnis von E. Post von extremem Nutzen. Er identifizierte und charakterisierte alle Klassen von Booleschen Funktionen, die unter Superposition abgeschlossen sind. Mit Hilfe dieses Resultats ist es möglich, Probleme im Zusammenhang mit verallgemeinerten Aussagenlogiken zu studieren, was in der vorliegenden Arbeit durchgeführt wurde. Dabei wurde eine Vielzahl von verschiedenen Problemen, die in Zusammenhang mit der Aussagenlogik stehen, studiert und bezüglich ihrer Komplexität klassifiziert. Dadurch wird die Grenzlinie zwischen einfach lösbaren Problemen und schweren Problemen sichtbar. KW - Erfüllbarkeitsproblem KW - Komplexitätstheorie KW - Boolesche Funktionen KW - Isomorphie KW - abgeschlossene Klassen KW - Zählprobleme KW - Computational complexity KW - Boolean functions KW - Boolean isomorphism KW - Boolean equivalence KW - Dichotomy KW - counting problems Y1 - 2001 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-74 ER - TY - THES A1 - Kosub, Sven T1 - Complexity and Partitions T1 - Komplexität von Partitionen N2 - Computational complexity theory usually investigates the complexity of sets, i.e., the complexity of partitions into two parts. But often it is more appropriate to represent natural problems by partitions into more than two parts. A particularly interesting class of such problems consists of classification problems for relations. For instance, a binary relation R typically defines a partitioning of the set of all pairs (x,y) into four parts, classifiable according to the cases where R(x,y) and R(y,x) hold, only R(x,y) or only R(y,x) holds or even neither R(x,y) nor R(y,x) is true. By means of concrete classification problems such as Graph Embedding or Entailment (for propositional logic), this thesis systematically develops tools, in shape of the boolean hierarchy of NP-partitions and its refinements, for the qualitative analysis of the complexity of partitions generated by NP-relations. The Boolean hierarchy of NP-partitions is introduced as a generalization of the well-known and well-studied Boolean hierarchy (of sets) over NP. Whereas the latter hierarchy has a very simple structure, the situation is much more complicated for the case of partitions into at least three parts. To get an idea of this hierarchy, alternative descriptions of the partition classes are given in terms of finite, labeled lattices. Based on these characterizations the Embedding Conjecture is established providing the complete information on the structure of the hierarchy. This conjecture is supported by several results. A natural extension of the Boolean hierarchy of NP-partitions emerges from the lattice-characterization of its classes by considering partition classes generated by finite, labeled posets. It turns out that all significant ideas translate from the case of lattices. The induced refined Boolean hierarchy of NP-partitions enables us more accuratly capturing the complexity of certain relations (such as Graph Embedding) and a description of projectively closed partition classes. N2 - Die klassische Komplexitätstheorie untersucht in erster Linie die Komplexität von Mengen, d.h. von Zerlegungen (Partitionen) einer Grundmenge in zwei Teile. Häufig werden aber natürliche Fragestellungen viel angemessener durch Zerlegungen in mehr als zwei Teile abgebildet. Eine besonders interessante Klasse solcher Fragestellungen sind Klassifikationsprobleme für Relationen. Zum Beispiel definiert eine Binärrelation R typischerweise eine Zerlegung der Menge aller Paare (x,y) in vier Teile, klassifizierbar danach, ob R(x,y) und R(y,x), R(x,y) aber nicht R(y,x), nicht R(x,y) aber dafür R(y,x) oder weder R(x,y) noch R(y,x) gilt. Anhand konkreter Klassifikationsprobleme, wie zum Beispiel der Einbettbarkeit von Graphen und der Folgerbarkeit für aussagenlogische Formeln, werden in der Dissertation Instrumente für eine qualitative Analyse der Komplexität von Partitionen, die von NP-Relationen erzeugt werden, in Form der Booleschen Hierarchie der NP-Partitionen und ihrer Erweiterungen systematisch entwickelt. Die Boolesche Hierarchie der NP-Partitionen wird als Verallgemeinerung der bereits bekannten und wohluntersuchten Boolesche Hierarchie über NP eingeführt. Während die letztere Hierarchie eine sehr einfache Struktur aufweist, stellt sich die Boolesche Hierarchie der NP-Partitionen im Falle von Zerlegungen in mindestens 3 Teile als sehr viel komplizierter heraus. Um einen Überblick über diese Hierarchien zu erlangen, werden alternative Beschreibungen der Klassen der Hierarchien mittels endlicher, bewerteter Verbände angegeben. Darauf aufbauend wird die Einbettungsvermutung aufgestellt, die uns die vollständige Information über die Struktur der Hierarchie liefert. Diese Vermutung wird mit verschiedene Resultaten untermauert. Eine Erweiterung der Booleschen Hierarchie der NP-Partitionen ergibt sich auf natürliche Weise aus der Charakterisierung ihrer Klassen durch Verbände. Dazu werden Klassen betrachtet, die von endlichen, bewerteten Halbordnungen erzeugt werden. Es zeigt sich, dass die wesentlichen Konzepte vom Verbandsfall übertragen werden können. Die entstehende Verfeinerung der Booleschen Hierarchie der NP-Partitionen ermöglicht die exaktere Analyse der Komplexität bestimmter Relationen (wie zum Beispiel der Einbettbarkeit von Graphen) und die Beschreibung projektiv abgeschlossener Partitionenklassen. KW - Partition KW - Boolesche Hierarchie KW - Komplexitätsklasse NP KW - Theoretische Informatik KW - Komplexitätstheorie KW - NP KW - Boolesche Hierarchie KW - Partitionen KW - Verbände KW - Halbordnungen KW - Theoretical computer science KW - computational complexity KW - NP KW - Boolean hierarchy KW - partitions KW - lattices KW - posets Y1 - 2001 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-2808 ER - TY - THES A1 - Wirth, Hans-Christoph T1 - Multicriteria Approximation of Network Design and Network Upgrade Problems T1 - Mehrkriterien-Approximation von Netzwerk-Design- und Netzwerk-Ausbau-Problemen N2 - Network planning has come to great importance during the past decades. Today's telecommunication, traffic systems, and logistics would not have been evolved to the current state without careful analysis of the underlying network problems and precise implementation of the results obtained from those examinations. Graphs with node and arc attributes are a very useful tool to model realistic applications, while on the other hand they are well understood in theory. We investigate network design problems which are motivated particularly from applications in communication networks and logistics. Those problems include the search for homogeneous subgraphs in edge labeled graphs where either the total number of labels or the reload cost are subject to optimize. Further, we investigate some variants of the dial a ride problem. On the other hand, we use node and edge upgrade models to deal with the fact that in many cases one prefers to change existing networks rather than implementing a newly computed solution from scratch. We investigate the construction of bottleneck constrained forests under a node upgrade model, as well as several flow cost problems under a edge based upgrade model. All problems are examined within a framework of multi-criteria optimization. Many of the problems can be shown to be NP-hard, with the consequence that, under the widely accepted assumption that P is not equal to NP, there cannot exist efficient algorithms for solving the problems. This motivates the development of approximation algorithms which compute near-optimal solutions with provable performance guarantee in polynomial time. N2 - Netzplanung hat in den vergangenen Jahrzehnten an Bedeutung zugenommen. Der heutige Stand im Bereich von Telekommunikation, Verkehrsnetzen und in der Logistik wäre nicht in dem Maße erreicht worden, wenn nicht die zugrundeliegenden Netzplanungsprobleme sorgfältig analysiert und die daraus gewonnenen Erkenntnisse in die Realisierung eingeflossen wären. Für die Modellierung der durch die Praxis vorgegebenen Probleme erweisen sich Graphen mit Knoten- und Kantenbewertungen als gut geeignet, zumal diese Strukturen auch in der Theorie bereits gut untersucht sind. Wir betrachten Netzwerk-Design-Probleme aus dem Bereich der Planung von Kommunikations- und Logistiknetzwerken. Gegenstand ist zunächst die Suche nach homogenen Teilgraphen in Graphen mit Kantenlabels, wobei einerseits die Gesamtszahl der benutzten Labels minimiert wird, andererseits die Kosten unter einem Umladekosten-Modell optimiert werden. Weiter werden einige Varianten des Dial-A-Ride-Problems untersucht. Im zweiten Teil der Arbeit werden Netzwerk-Ausbau-Probleme betrachtet. Dies trägt der Tatsache Rechung, dass in vielen praktischen Fällen nur die Abänderung bestehender Netze und nicht die Neukonstruktion von Netzen in Frage kommt. Alle Probleme werden im Rahmen der Mehrkriterien-Optimierung betrachtet. Viele der betrachteten Probleme lassen sich als NP-hart nachweisen. Dies hat zur Folge, dass es - unter der gängigen Annahme, dass P ungleich NP ist - keine effizienten Lösungsalgorithmen geben kann. Daher entwickeln wir Approximationsalgorithmen, die in Polynomialzeit Näherungslösungen mit beweisbarer Gütegarantie berechnen. KW - Netzplantechnik KW - Rechnernetz KW - Approximation KW - network design KW - network upgrade KW - approximation algorithms KW - edge labeled graphs KW - reload cost KW - spanning tree KW - dial a ride KW - constrained forest Y1 - 2001 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-2845 ER - TY - THES A1 - Glaßer, Christian T1 - Forbidden-Patterns and Word Extensions for Concatenation Hierarchies T1 - Verbotsmuster und Worterweiterungen für Konkatenationshierarchien N2 - Starfree regular languages can be build up from alphabet letters by using only Boolean operations and concatenation. The complexity of these languages can be measured with the so-called dot-depth. This measure leads to concatenation hierarchies like the dot-depth hierarchy (DDH) and the closely related Straubing-Thérien hierarchy (STH). The question whether the single levels of these hierarchies are decidable is still open and is known as the dot-depth problem. In this thesis we prove/reprove the decidability of some lower levels of both hierarchies. More precisely, we characterize these levels in terms of patterns in finite automata (subgraphs in the transition graph) that are not allowed. Therefore, such characterizations are called forbidden-pattern characterizations. The main results of the thesis are as follows: forbidden-pattern characterization for level 3/2 of the DDH (this implies the decidability of this level) decidability of the Boolean hierarchy over level 1/2 of the DDH definition of decidable hierarchies having close relations to the DDH and STH Moreover, we prove/reprove the decidability of the levels 1/2 and 3/2 of both hierarchies in terms of forbidden-pattern characterizations. We show the decidability of the Boolean hierarchies over level 1/2 of the DDH and over level 1/2 of the STH. A technique which uses word extensions plays the central role in the proofs of these results. With this technique it is possible to treat the levels 1/2 and 3/2 of both hierarchies in a uniform way. Furthermore, it can be used to prove the decidability of the mentioned Boolean hierarchies. Among other things we provide a combinatorial tool that allows to partition words of arbitrary length into factors of bounded length such that every second factor u leads to a loop with label u in a given finite automaton. N2 - Sternfreie reguläre Sprachen können aus Buchstaben unter Verwendung Boolescher Operationen und Konkatenation aufgebaut werden. Die Komplexität solcher Sprachen lässt sich durch die sogenannte "Dot-Depth" messen. Dieses Maß führt zu Konkatenationshierarchien wie der Dot-Depth-Hierachie (DDH) und der Straubing-Thérien-Hierarchie (STH). Die Frage nach der Entscheidbarkeit der einzelnen Stufen dieser Hierarchien ist als (immer noch offenes) Dot-Depth-Problem bekannt. In dieser Arbeit beweisen wir die Entscheidbarkeit einiger unterer Stufen beider Hierarchien. Genauer gesagt charakterisieren wir diese Stufen durch das Verbot von bestimmten Mustern in endlichen Automaten. Solche Charakterisierungen werden Verbotsmustercharakterisierungen genannt. Die Hauptresultate der Arbeit lassen sich wie folgt zusammenfassen: Verbotsmustercharakterisierung der Stufe 3/2 der DDH (dies hat die Entscheidbarkeit dieser Stufe zur Folge) Entscheidbarkeit der Booleschen Hierarchie über der Stufe 1/2 der DDH Definition von entscheidbaren Hierarchien mit engen Verbindungen zur DDH und STH Darüber hinaus beweisen wir die Entscheidbarkeit der Stufen 1/2 und 3/2 beider Hierarchien (wieder mittels Verbotsmustercharakterisierungen) und die der Booleschen Hierarchien über den Stufen 1/2 der DDH bzw. STH. Dabei stützen sich die Beweise größtenteils auf eine Technik, die von Eigenschaften bestimmter Worterweiterungen Gebrauch macht. Diese Technik erlaubt eine einheitliche Vorgehensweise bei der Untersuchung der Stufen 1/2 und 3/2 beider Hierarchien. Außerdem wird sie in den Beweisen der Entscheidbarkeit der genannten Booleschen Hierarchien verwendet. Unter anderem wird ein kombinatorisches Hilfsmittel zur Verfügung gestellt, das es erlaubt, Wörter beliebiger Länge in Faktoren beschränkter Länge zu zerlegen, so dass jeder zweite Faktor u zu einer u-Schleife in einem gegebenen endlichen Automaten führt. KW - Automatentheorie KW - Formale Sprache KW - Entscheidbarkeit KW - Reguläre Sprache KW - Berechenbarkeit KW - Theoretische Informatik KW - reguläre Sprachen KW - endliche Automaten KW - Dot-Depth Problem KW - Entscheidbarkeit KW - Verbotsmuster KW - Worterweiterungen KW - Theoretical Computer Science KW - regular languages KW - finite automata KW - dot-depth problem KW - decidability KW - forbidden patterns KW - word extensions Y1 - 2001 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-1179153 ER -