TY - THES A1 - Schmitz, Heinz T1 - The Forbidden Pattern Approach to Concatenation Hierarchies T1 - Verbotsmuster und Hierarchien regulärer sternfreier Sprachen N2 - The thesis looks at the question asking for the computability of the dot-depth of star-free regular languages. Here one has to determine for a given star-free regular language the minimal number of alternations between concatenation on one hand, and intersection, union, complement on the other hand. This question was first raised in 1971 (Brzozowski/Cohen) and besides the extended star-heights problem usually refered to as one of the most difficult open questions on regular languages. The dot-depth problem can be captured formally by hierarchies of classes of star-free regular languages B(0), B(1/2), B(1), B(3/2),... and L(0), L(1/2), L(1), L(3/2),.... which are defined via alternating the closure under concatenation and Boolean operations, beginning with single alphabet letters. Now the question of dot-depth is the question whether these hierarchy classes have decidable membership problems. The thesis makes progress on this question using the so-called forbidden pattern approach: Classes of regular languages are characterized in terms of patterns in finite automata (subgraphs in the transition graph) that are not allowed. Such a characterization immediately implies the decidability of the respective class, since the absence of a certain pattern in a given automaton can be effectively verified. Before this work, the decidability of B(0), B(1/2), B(1) and L(0), L(1/2), L(1), L(3/2) were known. Here a detailed study of these classes with help of forbidden patterns is given which leads to new insights into their inner structure. Furthermore, the decidability of B(3/2) is proven. Based on these results a theory of pattern iteration is developed which leads to the introduction of two new hierarchies of star-free regular languages. These hierarchies are decidable on one hand, on the other hand they are in close connection to the classes B(n) and L(n). It remains an open question here whether they may in fact coincide. Some evidence is given in favour of this conjecture which opens a new way to attack the dot-depth problem. Moreover, it is shown that the class L(5/2) is decidable in the restricted case of a two-letter alphabet. N2 - Die Arbeit beschaeftigt sich mit der Frage nach der Berechenbarkeit der Punkttiefe sternfreier regulaerer Sprachen. Dabei handelt es sich um die Aufgabe, zu einer gegebenen sternfreien regulaeren Sprache die minimal moegliche Anzahl von Wechseln zwischen den Operationen Konkatenation einerseits und Durchschnitt, Vereinigung, Komplement andererseits in einem sternfreien regulaeren Ausdruck fuer die gegebene Sprache zu bestimmen. Diese Frage wurde 1971 erstmals aufgeworfen (Brzozowski/Cohen) und gilt neben dem Problem der erweiterten Sternhoehe als eine der schwierigsten offenen Fragen der Theorie der regulaeren Sprachen. Formal fassen laesst sich das Problem der Punkttiefe durch Hierarchien von Klassen sternfreier regulaerer Sprachen B(0), B(1/2), B(1), B(3/2),...sowie L(0), L(1/2), L(1), L(3/2),.... die - ausgehend von einzelnen Buchstaben - mittels Alternierung zwischen Konkatenation und Booleschen Operationen definiert sind. Die Frage nach der Punkttiefe wird hier zur Frage nach der Entscheidbarkeit der Hierarchieklassen. In der Arbeit werden neue Fortschritte mittels sogenannter Verbotsmuster erzielt. Bei diesem Ansatz werden Klassen regulaerer Sprachen dadurch charakterisiert, dass in den zugehoerigen endlichen Automaten bestimmte Muster (Teilgraphen des Ueberfuehrungsgraphen) verboten werden. Gelingt eine solche Charakterisierung, folgt unmittelbar die Entscheidbarkeit der Klasse, da das Nichtvorhandensein eines Musters in einem gegebenen endlichen Automaten effektiv geprueft werden kann. Bisher war die Entscheidbarkeit von B(0), B(1/2), B(1) und L(0), L(1/2), L(1), L(3/2) bekannt. Mit Hilfe von Verbotsmustern erfolgt eine genaue Untersuchung dieser Klassen, die zu neuen Erkenntnissen ueber ihre innere Struktur fuehrt. Darueberhinaus gelingt der Nachweis der Entscheidbarkeit von B(3/2). Basierend auf diesen Ergebnissen wird eine Theorie der Verbotsmusteriteration entwickelt, die zur Einfuehrung von zwei neuen Hierarchien sternfreier regulaerer Sprachen fuehrt. Diese neuen Hierarchien sind zum einen entscheidbar, zum anderen stehen sie in enger Beziehung zu den Klassen B(n) und L(n). Es bleibt an dieser Stelle eine offene Frage, ob sie eventuell sogar mit ihnen uebereinstimmen. Fuer diese Vermutung werden einige Indizien gesammelt und somit ein neuer Weg fuer eine moegliche Loesung des Problems der Punkttiefe aufgezeigt. In diesem Zusammenhang erfolgt auch erstmals der Nachweis der Entscheidbarkeit der Klasse L(5/2) im eingeschraenkten Fall eines zweielementigen Alphabets. KW - Sternfreie Sprache KW - Dot-Depth-Hierarchie KW - Straubing-Th´erien-Hierarchie KW - Verbotenes Muster KW - Theoretische Informatik KW - reguläre Sprachen KW - endliche Automaten KW - Dot-Depth Problem KW - Entscheidbarkeit KW - Verbotsmuster KW - Theoretical Computer Science KW - regular languages KW - finite automata KW - dot-depth problem KW - decidability KW - forbidden patterns Y1 - 2000 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-2832 ER - TY - THES A1 - Glaßer, Christian T1 - Forbidden-Patterns and Word Extensions for Concatenation Hierarchies T1 - Verbotsmuster und Worterweiterungen für Konkatenationshierarchien N2 - Starfree regular languages can be build up from alphabet letters by using only Boolean operations and concatenation. The complexity of these languages can be measured with the so-called dot-depth. This measure leads to concatenation hierarchies like the dot-depth hierarchy (DDH) and the closely related Straubing-Thérien hierarchy (STH). The question whether the single levels of these hierarchies are decidable is still open and is known as the dot-depth problem. In this thesis we prove/reprove the decidability of some lower levels of both hierarchies. More precisely, we characterize these levels in terms of patterns in finite automata (subgraphs in the transition graph) that are not allowed. Therefore, such characterizations are called forbidden-pattern characterizations. The main results of the thesis are as follows: forbidden-pattern characterization for level 3/2 of the DDH (this implies the decidability of this level) decidability of the Boolean hierarchy over level 1/2 of the DDH definition of decidable hierarchies having close relations to the DDH and STH Moreover, we prove/reprove the decidability of the levels 1/2 and 3/2 of both hierarchies in terms of forbidden-pattern characterizations. We show the decidability of the Boolean hierarchies over level 1/2 of the DDH and over level 1/2 of the STH. A technique which uses word extensions plays the central role in the proofs of these results. With this technique it is possible to treat the levels 1/2 and 3/2 of both hierarchies in a uniform way. Furthermore, it can be used to prove the decidability of the mentioned Boolean hierarchies. Among other things we provide a combinatorial tool that allows to partition words of arbitrary length into factors of bounded length such that every second factor u leads to a loop with label u in a given finite automaton. N2 - Sternfreie reguläre Sprachen können aus Buchstaben unter Verwendung Boolescher Operationen und Konkatenation aufgebaut werden. Die Komplexität solcher Sprachen lässt sich durch die sogenannte "Dot-Depth" messen. Dieses Maß führt zu Konkatenationshierarchien wie der Dot-Depth-Hierachie (DDH) und der Straubing-Thérien-Hierarchie (STH). Die Frage nach der Entscheidbarkeit der einzelnen Stufen dieser Hierarchien ist als (immer noch offenes) Dot-Depth-Problem bekannt. In dieser Arbeit beweisen wir die Entscheidbarkeit einiger unterer Stufen beider Hierarchien. Genauer gesagt charakterisieren wir diese Stufen durch das Verbot von bestimmten Mustern in endlichen Automaten. Solche Charakterisierungen werden Verbotsmustercharakterisierungen genannt. Die Hauptresultate der Arbeit lassen sich wie folgt zusammenfassen: Verbotsmustercharakterisierung der Stufe 3/2 der DDH (dies hat die Entscheidbarkeit dieser Stufe zur Folge) Entscheidbarkeit der Booleschen Hierarchie über der Stufe 1/2 der DDH Definition von entscheidbaren Hierarchien mit engen Verbindungen zur DDH und STH Darüber hinaus beweisen wir die Entscheidbarkeit der Stufen 1/2 und 3/2 beider Hierarchien (wieder mittels Verbotsmustercharakterisierungen) und die der Booleschen Hierarchien über den Stufen 1/2 der DDH bzw. STH. Dabei stützen sich die Beweise größtenteils auf eine Technik, die von Eigenschaften bestimmter Worterweiterungen Gebrauch macht. Diese Technik erlaubt eine einheitliche Vorgehensweise bei der Untersuchung der Stufen 1/2 und 3/2 beider Hierarchien. Außerdem wird sie in den Beweisen der Entscheidbarkeit der genannten Booleschen Hierarchien verwendet. Unter anderem wird ein kombinatorisches Hilfsmittel zur Verfügung gestellt, das es erlaubt, Wörter beliebiger Länge in Faktoren beschränkter Länge zu zerlegen, so dass jeder zweite Faktor u zu einer u-Schleife in einem gegebenen endlichen Automaten führt. KW - Automatentheorie KW - Formale Sprache KW - Entscheidbarkeit KW - Reguläre Sprache KW - Berechenbarkeit KW - Theoretische Informatik KW - reguläre Sprachen KW - endliche Automaten KW - Dot-Depth Problem KW - Entscheidbarkeit KW - Verbotsmuster KW - Worterweiterungen KW - Theoretical Computer Science KW - regular languages KW - finite automata KW - dot-depth problem KW - decidability KW - forbidden patterns KW - word extensions Y1 - 2001 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-1179153 ER -