TY - THES A1 - Sapozhnikova, Kateryna T1 - Robust Stability of Differential Equations with Maximum T1 - Robuste Stabilität von Differenzialgleichungen mit Maximum N2 - In this thesis stability and robustness properties of systems of functional differential equations which dynamics depends on the maximum of a solution over a prehistory time interval is studied. Max-operator is analyzed and it is proved that due to its presence such kind of systems are particular case of state dependent delay differential equations with piecewise continuous delay function. They are nonlinear, infinite-dimensional and may reduce to one-dimensional along its solution. Stability analysis with respect to input is accomplished by trajectory estimate and via averaging method. Numerical method is proposed. N2 - In dieser These werden die Eigenschaften der Stabilität und Robustheit von Systemen funktioneller Differentialgleichungen untersucht, deren Dynamik von einem Maximum in der Lösung eines vergangenen Zeitintervalls abhängt. Der Max-Operator wird analysiert und durch seine Anwesenheit ist bewiesen, dass diese Art von Systemen einen spezifischen Fall von zustandsabhängigen Verzögerungsdifferenzialgleichungen mit stückweiser, kontinuierlicher Verzögerungsfunktion darstellen. Sie sind nicht-linear, unendlich dimensional und entlang ihrer Lösung können sie eindimensional werden. Die Stabilitätsanalyse, unter Berücksichtigung der Eingabe, wird sowohl durch eine Richtungsschätzung, als auch mittels der Durchschnittsmethode durchgeführt. Eine numerische Methode wird vorgeschlagen. KW - Functional differential equations KW - Nonlinear systems KW - Stability KW - Differentialgleichung KW - Nichtlineares System KW - Stabilität Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-173945 ER - TY - THES A1 - Schönlein, Michael T1 - Stability and Robustness of Fluid Networks: A Lyapunov Perspective T1 - Stabilität und Robustheit von Fluidnetzwerken: Eine Lyapunov Perspektive N2 - In the verification of positive Harris recurrence of multiclass queueing networks the stability analysis for the class of fluid networks is of vital interest. This thesis addresses stability of fluid networks from a Lyapunov point of view. In particular, the focus is on converse Lyapunov theorems. To gain an unified approach the considerations are based on generic properties that fluid networks under widely used disciplines have in common. It is shown that the class of closed generic fluid network models (closed GFNs) is too wide to provide a reasonable Lyapunov theory. To overcome this fact the class of strict generic fluid network models (strict GFNs) is introduced. In this class it is required that closed GFNs satisfy additionally a concatenation and a lower semicontinuity condition. We show that for strict GFNs a converse Lyapunov theorem is true which provides a continuous Lyapunov function. Moreover, it is shown that for strict GFNs satisfying a trajectory estimate a smooth converse Lyapunov theorem holds. To see that widely used queueing disciplines fulfill the additional conditions, fluid networks are considered from a differential inclusions perspective. Within this approach it turns out that fluid networks under general work-conserving, priority and proportional processor-sharing disciplines define strict GFNs. Furthermore, we provide an alternative proof for the fact that the Markov process underlying a multiclass queueing network is positive Harris recurrent if the associate fluid network defining a strict GFN is stable. The proof explicitely uses the Lyapunov function admitted by the stable strict GFN. Also, the differential inclusions approach shows that first-in-first-out disciplines play a special role. N2 - Für den Nachweis der positiven Harris-Rekurrenz bei Multiklassenwarteschlangennetzwerken ist die Stabilitätsanalyse der Klasse von Fluidnetzwerken von wesentlicher Bedeutung. Gegenstand dieser Arbeit ist die Stabilität von Fluidnetzwerken aus der Sicht von Lyapunov. Ein besonderes Augenmerk wird dabei auf konverse Lyapunov Theoreme gelegt. Hierzu wird ein axiomatischer Zugang gewählt, der auf generischen Eigenschaften gängiger Fluidnetzwerke basiert. Die Arbeit zeigt, dass die Klasse der abgeschlossenen generischen Fluidnetzwerk (abgeschlossene GFN) Modelle zu weit gefasst ist, um eine umfassende Lyapunovtheorie zu ermöglichen. Um dies zu beheben, wird die Klasse der strikten GFN Modelle eingeführt. In dieser Klasse wird verlangt, dass abgeschlossene GFN Modelle zusätzlich eine Verkettungs- sowie eine Unterhalbstetigkeitsbedingung erfüllen. Aus der Arbeit geht hervor, dass für strikte GFN Modelle Stabilität äquivalent zu der Existenz einer stetigen Lyapunov-Funktion ist. Darüberhinaus wird eine Regularitätseigenschaft an die Trajektorien des stikten GFN Modells gegeben, welche die Konstruktion glatter Lyapunov-Funktionen ermöglicht. Für den Nachweis, dass Fluidnetzwerke unter gängigen Disziplinen die zusätzlichen Eigenschaften erfüllen, werden diese als Differentialinklusionen aufgefasst. Dabei zeigt sich, dass allgemein arbeitserhaltende Fluidnetzwerke und Fluidnetzwerke mit Prioritäten strikte GFN Modelle liefern. Zudem zeigt die Arbeit einen alternativen Beweis dafür, dass der einem Multiklassenwarteschlangennetzwerk zugrunde liegende Markovprozess positiv Harris-rekurrent ist, falls das zugehörige Fluidnetzwerk ein striktes GFN Modell definiert und stabil ist. Dabei wird explizit die Lyapunov-Funktion des Fluidnetzwerkes ausgenutzt. Außerdem zeigt die Betrachtung von Fluidnetzwerken mittels Differentialinklusionen, dass first-in-first-out Fluidnetzwerken eine Sonderrolle zukommt. KW - Warteschlangennetz KW - Ljapunov-Funktion KW - Ljapunov-Stabilitätstheorie KW - Fluidnetzwerk KW - Lyapunov Funktion KW - Stabilität KW - queueing networks KW - fluid networks KW - stability KW - Lyapunov functions Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-72235 ER - TY - THES A1 - Keßler, Manuel T1 - Die Ladyzhenskaya-Konstante in der numerischen Behandlung von Strömungsproblemen T1 - Ladyzhenskaya's Constant in the Numerical Treatment of Fluid Flow Problems N2 - Charakteristisch für die Lösbarkeit von elliptischen partiellen Differentialgleichungssystemen mit Nebenbedingungen ist das Auftreten einer inf-sup-Bedingung. Im prototypischen Fall der Stokes-Gleichungen ist diese auch als Ladyzhenskaya-Bedingung bekannt. Die Gültigkeit dieser Bedingung, bzw. die Existenz der zugehörigen Konstante ist eine Eigenschaft des Gebietes, innerhalb dessen die Differentialgleichung gelöst werden soll. Während die Existenz schon die Lösbarkeit garantiert, ist beispielsweise für Fehleraussagen bei der numerischen Approximation auch die Größe der Konstanten sehr wichtig. Insbesondere auch deshalb, weil eine ähnliche inf-sup-Bedingung auch bei der Diskretisierung mittel Finiter-Elemente-Methoden auftaucht, die hier Babuska-Brezzi-Bedingung heißt. Die Arbeit befaßt sich auf der einen Seite mit einer analytischen Abschätzung der Ladyzhenskaya-Konstante für verschiedene Gebiete, wobei Äquivalenzen mit verwandten Problemen aus der komplexen Analysis (Friedrichs-Ungleichung) und der Strukturmechanik (Kornsche Ungleichung) benutzt werden. Ein weiterer Teil befaßt sich mit dem Zusammenhang zwischen kontinuierlicher Ladyzhenskaya- Konstante und diskreter Babuska-Brezzi-Konstante. Die dabei gefundenen Ergebnisse werden mit Hilfe eines dazu entwickelten leistungsfähigen Finite-Elemente-Programmsystems numerisch verifiziert. Damit können erstmals genaue Abschätzungen der Konstanten in zwei und drei Dimensionen gefunden werden. Aufbauend auf diesen Resultaten wird ein schneller Lösungsalgorithmus für die Stokes-Gleichungen vorgeschlagen und anhand von problematischen Gebieten dessen Überlegenheit gegenüber klassischen Verfahren wie beispielsweise der Uzawa-Iteration demonstriert. Während selbst bei einfachen Geometrien eine Konvergenzbeschleunigung um einen Faktor 5 erwartet werden kann, sind in kritischen Fällen Faktoren bis zu 1000 möglich. N2 - Characteristic for the existence and uniqueness of solutions of elliptic partial differential equation systems with constraints is the occurence of an inf-sup condition. For the typical example of Stokes's equations this is known as Ladyzhenskaya's condition. The validity of this condition or the existence of the corresponding constant is a property of the solution domain under consideration. While simple existence is sufficient for existence and uniqueness of a solution, the size of the constant is also of great interest, for example for error estimation of numerical approximations. An equivalent inf-sup condition is known for finite element discretisations of Stokes's equations. In this context it is called Babuska-Brezzi condition. This thesis is partly concerned with analytical estimates for the size of Ladyzhenskaya's constant. Since the problem is equivalent with another one from complex analysis (Friedrichs's inequality) and one from structural mechanics (Korn's equation), simpler techniques valid for those equations are used for the analysis of the present case. Another topic is the correspondence between the continous condition of Ladyzhenskaya and the discrete one of Babuska-Brezzi. The analytical findings are numerically verified by computations with a specially developed finite element system. For the first time precise estimates for the constants in two and three dimensions may be found. Using these results a fast solution algorithm for Stokes's equations is proposed. On some problematic domains it is demonstrated that the new algorithm is far superior to classic algorithms like Uzawa's iteration. While for simple geometries convergence is sped up by a factor of 5, in critical situations even a 1000 times faster convergence is possible. KW - Stokes-Gleichung KW - Stabilität KW - Finite-Elemente-Methode KW - Ladyzhenskaya Konstante KW - Babuska Brezzi Bedingung KW - Stokes Gleichung KW - Finite Elemente Methode KW - Uzawa Verfahren KW - Spektraltheorie KW - Eigenwert KW - Ladyzhenskaya constant KW - Babuska Brezzi condition KW - Stokes equation KW - finite element method KW - Uzawa iteration KW - spectral theory Y1 - 2000 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-2791 ER - TY - THES A1 - Pröll, Sebastian T1 - Stability of Switched Epidemiological Models T1 - Stabilität geschalteter epidemiologischer Modelle N2 - In this thesis it is shown how the spread of infectious diseases can be described via mathematical models that show the dynamic behavior of epidemics. Ordinary differential equations are used for the modeling process. SIR and SIRS models are distinguished, depending on whether a disease confers immunity to individuals after recovery or not. There are characteristic parameters for each disease like the infection rate or the recovery rate. These parameters indicate how aggressive a disease acts and how long it takes for an individual to recover, respectively. In general the parameters are time-varying and depend on population groups. For this reason, models with multiple subgroups are introduced, and switched systems are used to carry out time-variant parameters. When investigating such models, the so called disease-free equilibrium is of interest, where no infectives appear within the population. The question is whether there are conditions, under which this equilibrium is stable. Necessary mathematical tools for the stability analysis are presented. The theory of ordinary differential equations, including Lyapunov stability theory, is fundamental. Moreover, convex and nonsmooth analysis, positive systems and differential inclusions are introduced. With these tools, sufficient conditions are given for the disease-free equilibrium of SIS, SIR and SIRS systems to be asymptotically stable. N2 - In der vorliegenden Arbeit werden Möglichkeiten aufgezeigt, wie man die Ausbreitung von Infektionskrankheiten mit Hilfe von mathematischen Modellen beschreiben kann. Anhand solcher Modelle möchte man mehr über die Dynamik von Epidemien lernen und vorhersagen, wie sich eine gegebene Infektionskrankheit innerhalb einer Population ausbreitet. Zunächst werden gewöhnliche Differentialgleichungen verwendet, um grundlegende epidemiologische Modelle aufzustellen. Hierbei unterscheidet man sogenannte SIR und SIS Modelle, je nachdem ob die betrachtete Krankheit einem Individuum nach seiner Heilung Immunität verleiht oder nicht. Charakteristisch für Infektionskrankheiten sind Parameter wie die Infektionsrate oder die Heilungsrate. Sie geben an, wie ansteckend eine Krankheit ist bzw. wie schnell eine Person nach einer Erkrankung wieder gesund wird. Im Allgemeinen sind diese Parameter abhängig von bestimmten Bevölkerungsgruppen und verändern sich mit der Zeit. Daher werden am Ende des zweiten Kapitels Modelle entwickelt, die die Betrachtung mehrerer Bevölkerungsgruppen zulassen. Zeitvariante Parameter werden durch die Verwendung geschalteter Systeme berücksichtigt. Bei der Untersuchung solcher Systeme ist derjenige Zustand von besonderem Interesse, bei dem innerhalb der Bevölkerung keine Infizierten auftreten, die gesamte Bevölkerung also von der betrachteten Krankheit frei bleibt. Es stellt sich die Frage, unter welchen Bedingungen sich dieser Zustand nach einer Infizierung der Bevölkerung im Laufe der Zeit von selbst einstellt. Mathematisch gesehen untersucht man die triviale Ruhelage des Systems, bei der keine Infizierten existieren, auf Stabilität. Für die Stabilitätsanalyse sind einige mathematische Begriffe und Aussagen notwendig, die im zweiten Kapitel bereitgestellt werden. Grundlegend ist die Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen, einschließlich der Stabilitätstheorie von Lyapunov. Darüberhinaus kommen wichtige Erkenntnisse aus den Gebieten Konvexe und Nichtglatte Analysis, Positive Systeme und Differentialinklusionen. Ausgestattet mit diesen Hilfsmitteln werden im vierten Kapitel Sätze bewiesen, die hinreichende Bedingungen dafür angegeben, dass die triviale Ruhelage in geschalteten SIS, SIR und SIRS Systemen asymptotisch stabil ist. KW - epidemiology KW - switched systems KW - ordinary differential equations KW - stability analysis KW - Epidemiologie KW - Geschaltete Systeme KW - Gewöhnliche Differentialgleichungen KW - Stabilitätsanalyse KW - Gewöhnliche Differentialgleichung KW - Stabilität KW - Epidemiologie Y1 - 2013 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-108573 ER - TY - THES A1 - Suttner, Raik T1 - Output Optimization by Lie Bracket Approximations T1 - Ausgangsoptimierung durch Lie-Klammer-Approximationen N2 - In this dissertation, we develop and analyze novel optimizing feedback laws for control-affine systems with real-valued state-dependent output (or objective) functions. Given a control-affine system, our goal is to derive an output-feedback law that asymptotically stabilizes the closed-loop system around states at which the output function attains a minimum value. The control strategy has to be designed in such a way that an implementation only requires real-time measurements of the output value. Additional information, like the current system state or the gradient vector of the output function, is not assumed to be known. A method that meets all these criteria is called an extremum seeking control law. We follow a recently established approach to extremum seeking control, which is based on approximations of Lie brackets. For this purpose, the measured output is modulated by suitable highly oscillatory signals and is then fed back into the system. Averaging techniques for control-affine systems with highly oscillatory inputs reveal that the closed-loop system is driven, at least approximately, into the directions of certain Lie brackets. A suitable design of the control law ensures that these Lie brackets point into descent directions of the output function. Under suitable assumptions, this method leads to the effect that minima of the output function are practically uniformly asymptotically stable for the closed-loop system. The present document extends and improves this approach in various ways. One of the novelties is a control strategy that does not only lead to practical asymptotic stability, but in fact to asymptotic and even exponential stability. In this context, we focus on the application of distance-based formation control in autonomous multi-agent system in which only distance measurements are available. This means that the target formations as well as the sensed variables are determined by distances. We propose a fully distributed control law, which only involves distance measurements for each individual agent to stabilize a desired formation shape, while a storage of measured data is not required. The approach is applicable to point agents in the Euclidean space of arbitrary (but finite) dimension. Under the assumption of infinitesimal rigidity of the target formations, we show that the proposed control law induces local uniform asymptotic (and even exponential) stability. A similar statement is also derived for nonholonomic unicycle agents with all-to-all communication. We also show how the findings can be used to solve extremum seeking control problems. Another contribution is an extremum seeking control law with an adaptive dither signal. We present an output-feedback law that steers a fully actuated control-affine system with general drift vector field to a minimum of the output function. A key novelty of the approach is an adaptive choice of the frequency parameter. In this way, the task of determining a sufficiently large frequency parameter becomes obsolete. The adaptive choice of the frequency parameter also prevents finite escape times in the presence of a drift. The proposed control law does not only lead to convergence into a neighborhood of a minimum, but leads to exact convergence. For the case of an output function with a global minimum and no other critical point, we prove global convergence. Finally, we present an extremum seeking control law for a class of nonholonomic systems. A detailed averaging analysis reveals that the closed-loop system is driven approximately into descent directions of the output function along Lie brackets of the control vector fields. Those descent directions also originate from an approximation of suitably chosen Lie brackets. This requires a two-fold approximation of Lie brackets on different time scales. The proposed method can lead to practical asymptotic stability even if the control vector fields do not span the entire tangent space. It suffices instead that the tangent space is spanned by the elements in the Lie algebra generated by the control vector fields. This novel feature extends extremum seeking by Lie bracket approximations from the class of fully actuated systems to a larger class of nonholonomic systems. N2 - In dieser Dissertation werden neuartige optimierende Rückkopplungsgesetze für kontroll-affine Systeme mit reell-wertigen zustandsabhängigen Ausgangs- (bzw. Kosten-) funktionen entwickelt und analysiert. Das Ziel ist es zu einem gegebenen kontroll-affinen System ein Ausgangsrückkopplungsgesetz zu erlangen, welches das System im geschlossenen Regelkreis asymptotisch um Zustände stabilisiert bei denen die Ausgangsfunktion einen Minimalwert annimmt. Die Kontrollstrategie soll dabei derart konstruiert sein, dass eine Implementierung nur Echtzeitmessungen des Ausgangswerts erfordert. Zusätzliche Informationen, wie z.B. der aktuelle Systemzustand oder der Gradientenvektor der Ausgangsfunktion, werden nicht als bekannt angenommen. Eine Methode, die alle diese Kritierien erfüllt, bezeichnet man als Extremwertregelungsgesetz. Es wird hierzu ein vor kurzer Zeit etablierter Ansatz in der Extremwertregelung verfolgt, welcher auf der Approximation von Lie-Klammern basiert. Für diesen Zweck wird das gemessene Ausgangssignal mit geeigneten hoch-oszillierenden Signalen moduliert und danach zurück in das System eingespeist. Mittelungstechniken für kontroll-affine Systeme mit hoch-oszillierenden Eingängen enthüllen, dass das System im geschlossenen Regelkreis zumindest näherungsweise in die Richtung von gewissen Lie-Klammern getrieben wird. Eine geeignete Konstruktion des Kontrollgesetzes sichert, dass diese Lie-Klammern in Abstiegsrichtungen der Ausgangsfunktion zeigen. Unter geeigneten Annahmen führt diese Methode zu dem Effekt, dass Minima der Ausgangsfunktion praktisch gleichmäßig asymptotisch stabil für das System im geschlossenen Regelkreis sind. Das vorliegende Dokument erweitert und verbessert diesen Ansatz auf Verschiedene Arten und Weisen. Eine der Neuerungen ist eine Kontrollstrategie, die nicht nur zu praktischer asymptotischer Stabilität, sondern mehr noch zu asymptotischer Stabilität und sogar exponentieller Stabilität führt. In diesem Zusammenhang wird der Schwerpunkt auf die Anwendung zur abstandsbasierten Formationssteuerung in autonomen Multiagentensystemen gelegt, bei der nur Abstandsmessungen verfügbar sind. Dies bedeutet, dass sowohl die Zielformationen als auch die Messgrößen durch Abstände bestimmt sind. Es wird ein vollständig verteiltes Kontrollgesetz vorgeschlagen, welches lediglich Abstandsmessungen von jedem einzelnen Agenten beinhaltet um eine Formation zu stabilisieren, wobei eine Speicherung von Messdaten nicht erforderlich ist. Der Ansatz ist anwendbar auf Punktagenten im euklidischen Raum von beliebiger (aber endlicher) Dimension. Unter der Annahme von infinitesimaler Starrheit der Zielformationen wird nachgewiesen, dass das vorgeschlagene Steuerungsgesetz lokale gleichmäßige asymptotische (und sogar exponentielle) Stabilität induziert. Eine ähnliche Aussage wird auch für nicht-holonome Einradagenten mit alle-zu-allen-Kommunikation erlangt. Es wird außerdem gezeigt wie diese Erkenntnisse genutzt werden können um Extremwertregelungsprobleme zu lösen. Ein weiterer Beitrag ist ein Extremwertregelungsgesetz mit einem adaptiven Zittersignal. Es wird ein Ausgangsrückkopplungsgesetz präsentiert, welches ein voll-aktuiertes kontroll-affines System mit allgemeinem Driftvektorfeld zu einem Minimum der Ausgangsfunktion steuert. Eine entscheidende Neuheit des Ansatzes ist eine adaptive Wahl des Frequenzparameters. Auf diesem Weg wird die Aufgabe eine hinreicheind großen Frequenzparamter zu bestimmen hinfällig. Die adaptive Wahl des Frequenzparameters verhindert auch endliche Entweichzeiten in der Gegenwart eines Drifts. Das vorgeschlagene Kontrollgesetz führ nicht nur zu Konvergenz in eine Umgebung eines Minimums, sondern führt zu exakter Konvergenz. Für den Fall einer Ausgangsfunktion mit globalem Minimum und keinem anderen kritischen Punkt wird globale Konvergenz bewiesen. Schließlich wird ein Extremwertregelungsgesetz für eine Klasse von nicht-holonomen Systemen präsentiert. Eine detaillierte Mittelungsanalyse enthüllt, dass das System im geschlossenen Regelkreis näherungsweise in Abstiegsrichtungen der Ausgangsfunktion entlang von Lie-Klammern der Kontrollvektorfelder getrieben wird. Jene Abstiegsrichtungen stammen ebenso von einer Approximation von geeignet gewählten Lie-Klammern. Dies erfordert eine zweifache Approximation von Lie-Klammern auf verschiedenen Zeitskalen. Die vorgeschlagene Methode kann zu praktischer asymptotischer Stabilität führen selbst wenn die Kontrollvektorfelder nicht den gesamten Tangentialraum aufspannen. Es reicht stattdessen, dass der Tangentialraum durch die Elemente in der Lie-Algebra, welche durch die Kontrollvektorfelder generiert wird, aufgespannt wird. Diese neuartige Eigenschaft erweitert Extremwertregelung durch Lie-Klammer-Approximationen von der Klasse der voll-aktuierten Systeme zu einer größeren Klasse von nicht-holonomen Systemen. KW - extremum seeking control KW - Extremwertregelung KW - Approximation KW - Stabilität Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-211776 ER -