TY - THES A1 - Barth, Dominik T1 - Computation of multi-branch-point covers and applications in Galois theory T1 - Berechnung von Mehrpunktüberlagerungen und Anwendungen in der Galoistheorie N2 - We present a technique for computing multi-branch-point covers with prescribed ramification and demonstrate the applicability of our method in relatively large degrees by computing several families of polynomials with symplectic and linear Galois groups. As a first application, we present polynomials over \(\mathbb{Q}(\alpha,t)\) for the primitive rank-3 groups \(PSp_4(3)\) and \(PSp_4(3).C_2\) of degree 27 and for the 2-transitive group \(PSp_6(2)\) in its actions on 28 and 36 points, respectively. Moreover, the degree-28 polynomial for \(PSp_6(2)\) admits infinitely many totally real specializations. Next, we present the first (to the best of our knowledge) explicit polynomials for the 2-transitive linear groups \(PSL_4(3)\) and \(PGL_4(3)\) of degree 40, and the imprimitive group \(Aut(PGL_4(3))\) of degree 80. Additionally, we negatively answer a question by König whether there exists a degree-63 rational function with rational coefficients and monodromy group \(PSL_6(2)\) ramified over at least four points. This is achieved due to the explicit computation of the corresponding hyperelliptic genus-3 Hurwitz curve parameterizing this family, followed by a search for rational points on it. As a byproduct of our calculations we obtain the first explicit \(Aut(PSL_6(2))\)-realizations over \(\mathbb{Q}(t)\). At last, we present a technique by Elkies for bounding the transitivity degree of Galois groups. This provides an alternative way to verify the Galois groups from the previous chapters and also yields a proof that the monodromy group of a degree-276 cover computed by Monien is isomorphic to the sporadic 2-transitive Conway group \(Co_3\). N2 - Wir stellen eine Technik zur Berechnung von Mehrpunktüberlagerungen mit vorgeschriebener Verzweigung vor und demonstrieren die Anwendbarkeit unserer Methode in relativ großen Graden durch die Berechnung mehrerer Familien von Polynomen mit symplektischen und linearen Galoisgruppen. Als erste Anwendung präsentieren wir Polynome über \(\mathbb{Q}(\alpha,t)\) für die primitiven Rang-3-Gruppen \(PSp_4(3)\) und \(PSp_4(3).C_2\) vom Grad 27 und für die 2-fach transitive Gruppe \(PSp_6(2)\) in ihren Operationen auf 28 bzw. 36 Punkten. Außerdem lässt das Polynom vom Grad 28 für \(PSp_6(2)\) unendlich viele total-reelle Spezialisierungen zu. Als Nächstes präsentieren wir die (unseres Wissens nach) ersten expliziten Polynome für die 2-fach transitiven linearen Gruppen \(PSL_4(3)\) und \(PGL_4(3)\) vom Grad 40 und die imprimitive Gruppe \(Aut(PGL_4(3))\) vom Grad 80. Zusätzlich geben wir eine negative Antwort auf die Frage von König, ob es eine rationale Funktion vom Grad 63 mit rationalen Koeffizienten gibt, die über mindestens vier Punkten verzweigt ist und Monodromiegruppe \(PSL_6(2)\) besitzt. Dies wird durch die explizite Berechnung der entsprechenden hyperelliptischen Geschlecht-3 Hurwitzkurve erreicht, die diese Familie parametrisiert, gefolgt von einer Suche nach rationalen Punkten auf ihr. Als Nebenprodukt unserer Berechnungen erhalten wir die ersten expliziten \(Aut(PSL_6(2))\)-Realisierungen über \(\mathbb{Q}(t)\). Schließlich stellen wir eine Technik von Elkies zur Beschränkung des Transitivitätsgrades von Galoisgruppen vor. Diese bietet einen alternativen Weg, die Galoisgruppen aus den vorherigen Kapiteln zu verifizieren und liefert auch einen Beweis dafür, dass die Monodromiegruppe einer von Monien berechneten Grad-276 Überlagerung isomorph zur sporadischen 2-fach transitiven Conway-Gruppe \(Co_3\) ist. KW - Galois-Theorie KW - Hurwitz-Raum KW - Monodromie KW - Überlagerung KW - Belyi map Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-277025 ER - TY - JOUR A1 - Kakaroumpas, Spyridon A1 - Soler i Gibert, Odí T1 - Dyadic product BMO in the Bloom setting JF - Journal of the London Mathematical Society N2 - Ó. Blasco and S. Pott showed that the supremum of operator norms over L\(^{2}\) of all bicommutators (with the same symbol) of one-parameter Haar multipliers dominates the biparameter dyadic product BMO norm of the symbol itself. In the present work we extend this result to the Bloom setting, and to any exponent 1 < p < ∞. The main tool is a new characterization in terms of paraproducts and two-weight John–Nirenberg inequalities for dyadic product BMO in the Bloom setting. We also extend our results to the whole scale of indexed spaces between little bmo and product BMO in the general multiparameter setting, with the appropriate iterated commutator in each case. KW - dyadic product BMO KW - bicommutators KW - Bloom setting Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-318602 SN - 0024-6107 VL - 106 IS - 2 SP - 899 EP - 935 ER - TY - THES A1 - Lechner, Theresa T1 - Proximal Methods for Nonconvex Composite Optimization Problems T1 - Proximal-Verfahren für nichtkonvexe zusammengesetzte Optimierungsprobleme N2 - Optimization problems with composite functions deal with the minimization of the sum of a smooth function and a convex nonsmooth function. In this thesis several numerical methods for solving such problems in finite-dimensional spaces are discussed, which are based on proximity operators. After some basic results from convex and nonsmooth analysis are summarized, a first-order method, the proximal gradient method, is presented and its convergence properties are discussed in detail. Known results from the literature are summarized and supplemented by additional ones. Subsequently, the main part of the thesis is the derivation of two methods which, in addition, make use of second-order information and are based on proximal Newton and proximal quasi-Newton methods, respectively. The difference between the two methods is that the first one uses a classical line search, while the second one uses a regularization parameter instead. Both techniques lead to the advantage that, in contrast to many similar methods, in the respective detailed convergence analysis global convergence to stationary points can be proved without any restricting precondition. Furthermore, comprehensive results show the local convergence properties as well as convergence rates of these algorithms, which are based on rather weak assumptions. Also a method for the solution of the arising proximal subproblems is investigated. In addition, the thesis contains an extensive collection of application examples and a detailed discussion of the related numerical results. N2 - In Optimierungsproblemen mit zusammengesetzten Funktionen wird die Summe aus einer glatten und einer konvexen, nicht glatten Funktion minimiert. Die vorliegende Arbeit behan- delt mehrere numerische Verfahren zur Lösung solcher Probleme in endlich-dimensionalen Räumen, welche auf Proximity Operatoren basieren. Nach der Zusammenfassung einiger grundlegender Resultate aus der konvexen und nicht- glatten Analysis wird ein Verfahren erster Ordnung, das Proximal-Gradienten-Verfahren, vorgestellt und dessen Konvergenzeigenschaften ausführlich behandelt. Bekannte Resultate aus der Literatur werden dabei zusammengefasst und durch weitere Ergebnisse ergänzt. Im Anschluss werden im Hauptteil der Arbeit zwei Verfahren hergeleitet, die zusätzlich Informationen zweiter Ordnung nutzen und auf Proximal-Newton- beziehungsweise Proximal-Quasi- Newton-Verfahren beruhen. Der Unterschied zwischen beiden Verfahren liegt darin, dass bei ersterem eine klassische Schrittweitensuche verwendet wird, während das zweite stattdessen einen Regularisierungsparameter nutzt. Beide Techniken führen dazu, dass im Gegensatz zu vielen verwandten Verfahren in der jeweils ausführlichen Konvergenzanalyse die globale Konvergenz zu stationären Punkten ohne weitere einschränkende Voraussetzungen bewiesen werden kann. Ferner zeigen umfassende Resultate die lokalen Konvergenzeigenschaften sowie Konvergenzraten der Algorithmen auf, welche auf lediglich schwachen Annahmen beruhen. Ein Verfahren zur Lösung auftretender Proximal-Teilprobleme ist ebenfalls Bestandteil dieser Arbeit. Die Dissertation beinhaltet zudem eine umfangreiche Sammlung von Anwendungsbeispielen und zugehörigen numerischen Ergebnissen. KW - Optimierung KW - composite optimization KW - proximal gradient method KW - proximal Newton method Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-289073 ER - TY - JOUR A1 - Dashkovskiy, Sergey A1 - Slynko, Vitalii T1 - Stability conditions for impulsive dynamical systems JF - Mathematics of Control, Signals, and Systems N2 - In this work, we consider impulsive dynamical systems evolving on an infinite-dimensional space and subjected to external perturbations. We look for stability conditions that guarantee the input-to-state stability for such systems. Our new dwell-time conditions allow the situation, where both continuous and discrete dynamics can be unstable simultaneously. Lyapunov like methods are developed for this purpose. Illustrative finite and infinite dimensional examples are provided to demonstrate the application of the main results. These examples cannot be treated by any other published approach and demonstrate the effectiveness of our results. KW - lyapunov methods KW - stability KW - robustness KW - impulsive systems KW - infinite-dimensional systems KW - nonlinear systems KW - input-to-state stability Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-268390 SN - 1435-568X VL - 34 IS - 1 ER - TY - THES A1 - Stumpf, Pascal T1 - On coverings and reduced residues in combinatorial number theory T1 - Über Abdeckungen und prime Restklassen in kombinatorischer Zahlentheorie N2 - Our starting point is the Jacobsthal function \(j(m)\), defined for each positive integer \(m\) as the smallest number such that every \(j(m)\) consecutive integers contain at least one integer relatively prime to \(m\). It has turned out that improving on upper bounds for \(j(m)\) would also lead to advances in understanding the distribution of prime numbers among arithmetic progressions. If \(P_r\) denotes the product of the first \(r\) prime numbers, then a conjecture of Montgomery states that \(j(P_r)\) can be bounded from above by \(r (\log r)^2\) up to some constant factor. However, the until now very promising sieve methods seem to have reached a limit here, and the main goal of this work is to develop other combinatorial methods in hope of coming a bit closer to prove the conjecture of Montgomery. Alongside, we solve a problem of Recamán about the maximum possible length among arithmetic progressions in the least (positive) reduced residue system modulo \(m\). Lastly, we turn towards three additive representation functions as introduced by Erdős, Sárközy and Sós who studied their surprising different monotonicity behavior. By an alternative approach, we answer a question of Sárközy and demostrate that another conjecture does not hold. N2 - Der Startpunkt dieser Arbeit ist die Jacobsthal-Funktion \(j(m)\), die für jede natürliche Zahl \(m\) als die kleinste Zahl definiert ist, so dass je \(j(m)\) aufeinanderfolgende ganze Zahlen mindestens eine zu \(m\) teilerfremde Zahl enthalten. Es hat sich herausgestellt, dass Verbesserungen oberer Abschätzungen für \(j(m)\) gleichzeitig zu Fortschritten im Verständnis der Verteilung der Primzahlen in arithmetischen Folgen führen. Bezeichnet \(P_r\) das Produkt der ersten \(r\) Primzahlen, dann besagt eine Vermutung von Montgomery, dass \(j(P_r)\) bis auf einen konstanten Faktor durch \(r (\log r)^2\) von oben abgeschätzt werden kann. Allerdings scheinen die hier bisher sehr vielversprechenden Siebmethoden eine Grenze erreicht zu haben, und das Hauptziel dieser Arbeit ist es andere kombinatorische Methoden zu entwickeln, in der Hoffnung einem Beweis der Vermutung von Montgomery ein wenig näher zu kommen. Auf diesem Weg lösen wir nebenbei ein Problem von Recamán über die maximal mögliche Länge unter den arithmetischen Folgen im kleinsten (positiven) primen Restklassensystem modulo \(m\). Außerdem wenden wir uns am Ende drei additiven Darstellungsfunktionen zu, wie sie von Erdős, Sárközy und Sós eingeführt wurden, die deren überraschend unterschiedliches Monotonieverhalten untersucht haben. Mit einem alternativen Ansatz beantworten wir hier eine Frage von Sárközy und zeigen auf, dass eine andere Vermutung nicht bestehen kann. KW - Kombinatorische Zahlentheorie KW - coverings KW - reduced residues KW - Jacobsthal function Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-293504 ER - TY - JOUR A1 - Appell, Jürgen A1 - Brito, Belén López A1 - Reinwand, Simon T1 - Counterexamples on compositions JF - Mathematische Semesterberichte N2 - We give a collection of 16 examples which show that compositions \(g\) \(\circ\) \(f\) of well-behaved functions \(f\) and \(g\) can be badly behaved. Remarkably, in 10 of the 16 examples it suffices to take as outer function \(g\) simply a power-type or characteristic function. Such a collection of examples may serve as a source of exercises for a calculus course. KW - composition of functions KW - examples and counterexamples Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-324306 SN - 0720-728X VL - 70 IS - 1 ER - TY - JOUR A1 - Kanzow, Christian T1 - Y. Cui, J.-S. Pang: “Modern Nonconvex Nondifferentiable Optimization” JF - Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung N2 - No abstract available. KW - Kanzow, C. Y. Cui, J.-S. Pang: “Modern Nonconvex Nondifferentiable Optimization” KW - Rezension Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-324346 SN - 0012-0456 VL - 124 IS - 2 ER - TY - JOUR A1 - Kanzow, Christian A1 - Mehlitz, Patrick T1 - Convergence properties of monotone and nonmonotone proximal gradient methods revisited JF - Journal of Optimization Theory and Applications N2 - Composite optimization problems, where the sum of a smooth and a merely lower semicontinuous function has to be minimized, are often tackled numerically by means of proximal gradient methods as soon as the lower semicontinuous part of the objective function is of simple enough structure. The available convergence theory associated with these methods (mostly) requires the derivative of the smooth part of the objective function to be (globally) Lipschitz continuous, and this might be a restrictive assumption in some practically relevant scenarios. In this paper, we readdress this classical topic and provide convergence results for the classical (monotone) proximal gradient method and one of its nonmonotone extensions which are applicable in the absence of (strong) Lipschitz assumptions. This is possible since, for the price of forgoing convergence rates, we omit the use of descent-type lemmas in our analysis. KW - non-Lipschitz optimization KW - nonsmooth optimization KW - proximal gradient method Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-324351 SN - 0022-3239 VL - 195 IS - 2 ER - TY - JOUR A1 - Kourou, Maria A1 - Zarvalis, Konstantinos T1 - Compact sets in petals and their backward orbits under semigroups of holomorphic functions JF - Potential Analysis N2 - Let (ϕ\(_t\))\(_{t≥0}\) be a semigroup of holomorphic functions in the unit disk \(\mathbb {D}\) and K a compact subset of \(\mathbb {D}\). We investigate the conditions under which the backward orbit of K under the semigroup exists. Subsequently, the geometric characteristics, as well as, potential theoretic quantities for the backward orbit of K are examined. More specifically, results are obtained concerning the asymptotic behavior of its hyperbolic area and diameter, the harmonic measure and the capacity of the condenser that K forms with the unit disk. KW - semigroup of holomorphic functions KW - backward orbit KW - petal KW - harmonic measure KW - condenser capacity KW - Koenigs function KW - green energy KW - hyperbolic area Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-324368 SN - 0926-2601 VL - 59 IS - 4 ER - TY - JOUR A1 - Fall, Mouhammed Moustapha A1 - Minlend, Ignace Aristide A1 - Ratzkin, Jesse T1 - Foliation of an Asymptotically Flat End by Critical Capacitors JF - The Journal of Geometric Analysis N2 - We construct a foliation of an asymptotically flat end of a Riemannian manifold by hypersurfaces which are critical points of a natural functional arising in potential theory. These hypersurfaces are perturbations of large coordinate spheres, and they admit solutions of a certain over-determined boundary value problem involving the Laplace–Beltrami operator. In a key step we must invert the Dirichlet-to-Neumann operator, highlighting the nonlocal nature of our problem. KW - asymptotically flat ends KW - foliation KW - over-determined problem Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-269997 SN - 1559-002X VL - 32 IS - 2 ER - TY - JOUR A1 - Easton, Andrew A1 - van Dalen, Okki A1 - Goeb, Rainer A1 - Di Bucchianico, Alessandro T1 - Bivariate copula monitoring JF - Quality and Reliability Engineering International N2 - The assumption of multivariate normality underlying the Hotelling T\(^{2}\) chart is often violated for process data. The multivariate dependency structure can be separated from marginals with the help of copula theory, which permits to model association structures beyond the covariance matrix. Copula‐based estimation and testing routines have reached maturity regarding a variety of practical applications. We have constructed a rich design matrix for the comparison of the Hotelling T\(^{2}\) chart with the copula test by Verdier and the copula test by Vuong, which allows for weighting the observations adaptively. Based on the design matrix, we have conducted a large and computationally intensive simulation study. The results show that the copula test by Verdier performs better than Hotelling T\(^{2}\) in a large variety of out‐of‐control cases, whereas the weighted Vuong scheme often fails to provide an improvement. KW - copula KW - multivariate Gaussian distribution KW - multivariate statistical process control (SPC) KW - phase I KW - phase II Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-276501 VL - 38 IS - 3 SP - 1272 EP - 1288 ER - TY - JOUR A1 - Campana, Francesca Calà A1 - Borzì, Alfio T1 - On the SQH Method for Solving Differential Nash Games JF - Journal of Dynamical and Control Systems N2 - A sequentialquadratic Hamiltonian schemefor solving open-loop differential Nash games is proposed and investigated. This method is formulated in the framework of the Pontryagin maximum principle and represents an efficient and robust extension of the successive approximations strategy for solving optimal control problems. Theoretical results are presented that prove the well-posedness of the proposed scheme, and results of numerical experiments are reported that successfully validate its computational performance. KW - successive approximations strategy KW - sequential quadratic hamiltonian method KW - differential nash games KW - pontryagin maximum principle Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-269111 SN - 1573-8698 VL - 28 ER - TY - JOUR A1 - Kraus, Daniela A1 - Moucha, Annika A1 - Roth, Oliver T1 - A sharp Bernstein–type inequality and application to the Carleson embedding theorem with matrix weights JF - Analysis and Mathematical Physics N2 - We prove a sharp Bernstein-type inequality for complex polynomials which are positive and satisfy a polynomial growth condition on the positive real axis. This leads to an improved upper estimate in the recent work of Culiuc and Treil (Int. Math. Res. Not. 2019: 3301–3312, 2019) on the weighted martingale Carleson embedding theorem with matrix weights. In the scalar case this new upper bound is optimal. KW - Bernstein-type inequality KW - complex polynomials KW - Carleson embedding theorem Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-270485 SN - 1664-235X VL - 12 IS - 1 ER - TY - JOUR A1 - Just, Janina A1 - Siller, Hans-Stefan T1 - The role of mathematics in STEM secondary classrooms: a systematic literature review JF - Education Sciences N2 - Nowadays, science, technology, engineering, and mathematics (STEM) play a critical role in a nation’s global competitiveness and prosperity. Thus, there is a need to educate students in these subjects to meet the current and future demands of personal life and society. While applications, especially in science, engineering, and technology, are directly obvious, mathematics underpins the other STEM disciplines. It is recognized that mathematics is the foundation for all other STEM disciplines; the role of mathematics in classrooms is not clear yet. Therefore, the question arises: What is the current role of mathematics in secondary STEM classrooms? To answer this question, we conducted a systematic literature review based on three publication databases (Web of Science, ERIC, and EBSCO Teacher Referral Center). This literature review paper is intended to contribute to the current state of the role of mathematics in STEM education in secondary classrooms. Through the search, starting with 1910 documents, only 14 eligible documents were found. In these, mathematics is often seen as a minor matter and a means to an end in the eyes of science educators. From this, we conclude that the role of mathematics in the STEM classroom should be further strengthened. Overall, the paper highlights a major research gap, and proposes possible initial solutions to close it. KW - STEM education KW - role of mathematics in STEM KW - literature review KW - STEM integration KW - STEM classroom KW - secondary education Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-288075 SN - 2227-7102 VL - 12 IS - 9 ER - TY - JOUR A1 - Dippell, Marvin A1 - Esposito, Chiara A1 - Waldmann, Stefan T1 - Deformation and Hochschild cohomology of coisotropic algebras JF - Annali di Matematica Pura ed Applicata N2 - Coisotropic algebras consist of triples of algebras for which a reduction can be defined and unify in a very algebraic fashion coisotropic reduction in several settings. In this paper, we study the theory of (formal) deformation of coisotropic algebras showing that deformations are governed by suitable coisotropic DGLAs. We define a deformation functor and prove that it commutes with reduction. Finally, we study the obstructions to existence and uniqueness of coisotropic algebras and present some geometric examples. KW - deformation theory KW - differential graded Lie algebra KW - coisotropic reduction Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-329069 VL - 201 IS - 3 ER - TY - JOUR A1 - Greefrath, Gilbert A1 - Siller, Hans-Stefan A1 - Klock, Heiner A1 - Wess, Raphael T1 - Pre-service secondary teachers’ pedagogical content knowledge for the teaching of mathematical modelling JF - Educational Studies in Mathematics N2 - The article deals with the pedagogical content knowledge of mathematical modelling as part of the professional competence of pre-service teachers. With the help of a test developed for this purpose from a conceptual model, we examine whether this pedagogical content knowledge can be promoted in its different facets—especially knowledge about modelling tasks and about interventions—by suitable university seminars. For this purpose, the test was administered to three groups in a seminar for the teaching of mathematical modelling: (1) to those respondents who created their own modelling tasks for use with students, (2) to those trained to intervene in mathematical modelling processes, and (3) participating students who are not required to address mathematical modelling. The findings of the study—based on variance analysis—indicate that certain facets (knowledge of modelling tasks, modelling processes, and interventions) have increased significantly in both experimental groups but to varying degrees. By contrast, pre-service teachers in the control group demonstrated no significant change to their level of pedagogical content knowledge. KW - mathematical modelling KW - pedagogical content knowledge KW - professional competence KW - pre-service teacher Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-308259 SN - 0013-1954 SN - 1573-0816 VL - 109 IS - 2 ER - TY - THES A1 - Kortum, Joshua T1 - Global Existence and Uniqueness Results for Nematic Liquid Crystal and Magnetoviscoelastic Flows T1 - Globale Existenz- und Eindeutigkeitsresultate für nematische Flüssigkristall- und magnetoviskoelastische Flüsse N2 - Liquid crystals and polymeric fluids are found in many technical applications with liquid crystal displays probably being the most prominent one. Ferromagnetic materials are well established in industrial and everyday use, e.g. as magnets in generators, transformers and hard drive disks. Among ferromagnetic materials, we find a subclass which undergoes deformations if an external magnetic field is applied. This effect is exploited in actuators, magnetoelastic sensors, and new fluid materials have been produced which retain their induced magnetization during the flow. A central issue consists of a proper modelling for those materials. Several models exist regarding liquid crystals and liquid crystal flows, but up to now, none of them has provided a full insight into all observed effects. On materials encompassing magnetic, elastic and perhaps even fluid dynamic effects, the mathematical literature seems sparse in terms of models. To some extent, one can unify the modeling of nematic liquid crystals and magnetoviscoelastic materials employing a so-called energetic variational approach. Using the least action principle from theoretical physics, the actual task reduces to finding appropriate energies describing the observed behavior. The procedure leads to systems of evolutionary partial differential equations, which are analyzed in this work. From the mathematical point of view, fundamental questions on existence, uniqueness and stability of solutions remain unsolved. Concerning the Ericksen-Leslie system modelling nematic liquid crystal flows, an approximation to this model is given by the so-called Ginzburg-Landau approximation. Solutions to the latter are intended to approximately represent solutions to the Ericksen-Leslie system. Indeed, we verify this presumption in two spatial dimensions. More precisely, it is shown that weak solutions of the Ginzburg-Landau approximation converge to solutions of the Ericksen-Leslie system in the energy space for all positive times of evolution. In order to do so, theory for the Euler equations invented by DiPerna and Majda on weak compactness and concentration measures is used. The second part of the work deals with a system of partial differential equations modelling magnetoviscoelastic fluids. We provide a well-posedness result in two spatial dimensions for large energies and large times. Along the verification of that conclusion, existing theory on the Ericksen-Leslie system and the harmonic map flow is deployed and suitably extended. N2 - Flüssigkristalle und polymere Flüssigkeiten finden sich in vielen technischen Anwendungen, wobei die Liquid Crystal Displays (kurz LCDs) wahrscheinlich die bekanntesten sind. Ebenso haben viele ferromagnetische Materialien Gebrauch in der Technologie gefunden, zum Beispiel als Generatoren, Transformatoren und Hard Drive Disks. Bei einigen ferromagnetischen Materialien führt die äußere Anwendung eines Magnetfeldes zu Verformungen. Dieser Effekt wird z. B. in Aktoren ausgenutzt und es wurden neue Flüssigkeiten gefunden, welche ihre eingangs induzierte Magnetisierung beibehalten. Bis heute besteht ein Problem darin, derartige Materialien korrekt zu modellieren. Für Flüssigkristalle und Flüssigkristallströmungen existieren mehrere Modelle, aber bisher hat keines von ihnen einen vollständigen Einblick in alle beobachteten Effekte liefern können. Zu Materialien, welche magnetischen, elastischen und vielleicht sogar fluiddynamischen Effekten unterliegen, ist die Literatur bezüglich der Modellierung auf mathematischer Seite eher spärlich. Bis zu einem gewissen Grad kann man die Modellierung von Flüssigkristallen und magnetoviskoelastischen Materialien durch einen Variationsansatz für das Wirkungsfunktional vereinheitlichen. Verwendet man das Prinzip der kleinsten Wirkung aus der theoretischen Physik, reduziert sich die eigentliche Aufgabe darauf, geeignete Energien zu finden, um das beobachtete Verhalten zu beschreiben. Das Verfahren führt zu Systemen zeitabhängiger partieller Differentialgleichungen, welche in dieser Arbeit betrachtet werden. Aus mathematischer Sicht bleiben grundsätzliche Fragen zu Existenz, Eindeutigkeit und Stabilität von Lösungen offen. Bezüglich des Ericksen-Leslie-Modells für nematische Flüssigkristalle ist eine Approximation dieses Modells durch die sogenannte Ginzburg-Landau-Näherung gegeben. In dieser Arbeit wird bewiesen, dass Lösungen des letzteren Modells gegen Lösungen des erstgenannten in zwei Raumdimensionen konvergieren. Präzi- se ausgedrückt wird gezeigt, dass schwache Lösungen des Ginzburg-Landau-Systems auf beliebig großen Zeitintervallen gegen Lösungen des Ericksen-Leslie-Systems konvergieren unter der Annahme, dass die Energie des physikalischen Systems beschränkt ist. Dazu wird die von DiPerna und Majda entwickelte Theorie für die Euler-Gleichungen zu Konzentrationen unter schwacher Konvergenz verwendet. Der zweite Teil der Arbeit beschäftigt sich mit einem System partieller Differentialgleichungen zur Modellierung magnetoviskoelastischer Flüssigkeiten. Wir zeigen, dass in zwei Raumdimensionen in gewissem Sinne ein wohlgestelltes Problem für beliebig große Energien und Zeiten vorliegt. Für den Beweis dieses Resultats verwenden und erweitern wir die bestehende Theorie zum Ericksen-Leslie-System und zum Wärmefluss harmonischer Abbildungen. KW - Magnetoelastizität KW - Mikromagnetismus KW - Flüssigkristall KW - Partielle Differentialgleichung KW - Schwache Kompaktheit KW - Magnetoviscoelastic Fluids KW - Nematic Liquid Crystals KW - Weak Solutions KW - Magnetoviskoelastische Flüsse KW - Nematische Flüssigkristalle KW - Schwache Lösungen Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-278271 ER - TY - JOUR A1 - Helin, Tapio A1 - Kretschmann, Remo T1 - Non-asymptotic error estimates for the Laplace approximation in Bayesian inverse problems JF - Numerische Mathematik N2 - In this paper we study properties of the Laplace approximation of the posterior distribution arising in nonlinear Bayesian inverse problems. Our work is motivated by Schillings et al. (Numer Math 145:915–971, 2020. https://doi.org/10.1007/s00211-020-01131-1), where it is shown that in such a setting the Laplace approximation error in Hellinger distance converges to zero in the order of the noise level. Here, we prove novel error estimates for a given noise level that also quantify the effect due to the nonlinearity of the forward mapping and the dimension of the problem. In particular, we are interested in settings in which a linear forward mapping is perturbed by a small nonlinear mapping. Our results indicate that in this case, the Laplace approximation error is of the size of the perturbation. The paper provides insight into Bayesian inference in nonlinear inverse problems, where linearization of the forward mapping has suitable approximation properties. KW - Bayesian inverse problems KW - Laplace approximation KW - nonlinear inverse problems Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-265399 VL - 150 IS - 2 ER - TY - RPRT A1 - Gerber, Sebastian A1 - Quarder, Jascha T1 - Erfassung von Aspekten professioneller Kompetenz zum Lehren des Simulierens und mathematischen Modellierens mit digitalen Werkzeugen. Ein Testinstrument N2 - Die Auseinandersetzung mit Simulations- und Modellierungsaufgaben, die mit digitalen Werkzeugen zu bearbeiten sind, stellt veränderte Anforderungen an Mathematiklehrkräfte in der Unterrichtsplanung und -durchführung. Werden digitale Werkzeuge sinnvoll eingesetzt, so unterstützen sie Simulations- und Modellierungsprozesse und ermöglichen realitätsnähere Sachkontexte im Mathematikunterricht. Für die empirische Untersuchung professioneller Kompetenzen zum Lehren des Simulierens und mathematischen Modellierens mit digitalen Werkzeugen ist es notwendig, Aspekte globaler Lehrkompetenzen von (angehenden) Mathematiklehrkräften bereichsspezifisch auszudeuten. Daher haben wir ein Testinstrument entwickelt, das die Überzeugungen, die Selbstwirksamkeitserwartungen und das fachdidaktische Wissen zum Lehren des Simulierens und mathematischen Modellierens mit digitalen Werkzeugen erfasst. Ergänzt wird das Testinstrument durch selbstberichtete Vorerfahrungen zum eigenen Gebrauch digitaler Werkzeuge sowie zur Verwendung digitaler Werkzeuge in Unterrichtsplanung und -durchführung. Das Testinstrument ist geeignet, um mittels Analysen von Veranstaltungsgruppen im Prä-Post-Design den Zuwachs der oben beschriebenen Kompetenz von (angehenden) Mathematiklehrkräften zu messen. Somit können in Zukunft anhand der Ergebnisse die Wirksamkeit von Lehrveranstaltungen, die diese Kompetenz fördern (sollen), untersucht und evaluiert werden. Der Beitrag gliedert sich in zwei Teile: Zunächst werden in der Testbeschreibung das zugrundeliegende Konstrukt und der Anwendungsbereich des Testinstruments sowie dessen Aufbau und Hinweise zur Durchführung beschrieben. Zudem wird die Testgüte anhand der Pilotierungsergebnisse überprüft. Im zweiten Teil befindet sich das vollständige Testinstrument. KW - GeoGebra KW - Computerunterstützter Unterricht KW - Mathematikunterricht KW - Lehrerbildung KW - Testen KW - mathematisches Modellieren KW - Simulieren KW - digitale Werkzeuge KW - Aspekte professioneller Kompetenz KW - Testinstrument Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-273597 ER - TY - THES A1 - Schmeller, Christof T1 - Uniform distribution of zero ordinates of Epstein zeta-functions T1 - Gleichverteilung von Imaginärteilen nichttrivialer Nullstellen der Epsteinschen Zetafunktion N2 - The dissertation investigates the wide class of Epstein zeta-functions in terms of uniform distribution modulo one of the ordinates of their nontrivial zeros. Main results are a proof of a Landau type theorem for all Epstein zeta-functions as well as uniform distribution modulo one for the zero ordinates of all Epstein zeta-functions asscoiated with binary quadratic forms. N2 - Die vorliegende Arbeit untersucht, bei welchen Epsteinschen Zetafunktionen die Imaginärteile der nichttrivialen Nullstellen gleichverteilt modulo eins sind. Als zentrales Ergebnis wird dies für alle Epsteinschen Zetafunktionen, die durch binäre quadratische Formen gebildet werden, bewiesen. Außerdem wird unter anderem Landau's Theorem für alle Epsteinschen Zetafunktionen gezeigt. KW - Zetafunktion KW - Epstein, Paul KW - Gleichverteilung KW - Epstein zeta-function KW - Uniform distribution modulo one KW - Landau type theorem Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-251999 ER - TY - JOUR A1 - Hellmuth, Kathrin A1 - Klingenberg, Christian T1 - Computing Black Scholes with uncertain volatility — a machine learning approach JF - Mathematics N2 - In financial mathematics, it is a typical approach to approximate financial markets operating in discrete time by continuous-time models such as the Black Scholes model. Fitting this model gives rise to difficulties due to the discrete nature of market data. We thus model the pricing process of financial derivatives by the Black Scholes equation, where the volatility is a function of a finite number of random variables. This reflects an influence of uncertain factors when determining volatility. The aim is to quantify the effect of this uncertainty when computing the price of derivatives. Our underlying method is the generalized Polynomial Chaos (gPC) method in order to numerically compute the uncertainty of the solution by the stochastic Galerkin approach and a finite difference method. We present an efficient numerical variation of this method, which is based on a machine learning technique, the so-called Bi-Fidelity approach. This is illustrated with numerical examples. KW - numerical finance KW - Black Scholes equation KW - uncertainty quantification KW - uncertain volatility KW - polynomial chaos KW - Bi-Fidelity method Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-262280 SN - 2227-7390 VL - 10 IS - 3 ER - TY - THES A1 - Mungenast, Sebastian T1 - Zur Bedeutung von Metakognition beim Umgang mit Mathematik - Dokumentation metakognitiver Aktivitäten bei Studienanfänger_innen, Entwicklung eines Kategoriensystems für Metakognition beim Umgang mit Mathematik und Erörterung von Ansatzpunkten für Metakognition in der Analysis T1 - On the significance of metacognition in the context of mathematics – Documentation of metacognitive activity in prospective students, development of a category system for metacognition in a mathematical context and discussion of Calculus-related starting points for metacognitive activity N2 - Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich explorativ mit Metakognition beim Umgang mit Mathematik. Aufbauend auf der vorgestellten Forschungsliteratur wird der Einsatz von Metakognition im Rahmen einer qualitativen Studie bei Studienanfänger_innen aus verschiedenen Mathematik-(Lehramts-)Studiengängen dokumentiert. Unter Verwendung der Qualitativen Inhaltsanalyse nach Mayring erfolgt die Etablierung eines Kategoriensystems für den Begriff Metakognition im Hinblick auf den Einsatz in der Mathematik, das bisherige Systematisierungen erweitert. Schließlich wird der Einsatz der entsprechenden metakognitiven Aspekte am Beispiel verschiedener Begriffe und Verfahren aus dem Analysis-Unterricht exemplarisch aufgezeigt. N2 - The thesis explores metacognition in the context of mathematics. Based on the presented research literature metacognitive activity is documented as part of a qualitative study among prospective students from various mathematics programmes (including mathematics teaching). Utilising Mayring’s Qualitative Content Analysis method a category system is established, which systemises metacognition and expands upon existing categorisations. Finally, the application of its metacognitive aspects is demonstrated using the example of various concepts and methods from the German upper secondary Calculus curriculum. KW - Metakognition KW - Mathematikunterricht KW - Hochschuldidaktik KW - Mathematik KW - Mathematikdidaktik KW - Mathematiklernen Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-293114 ER - TY - THES A1 - Nedrenco, Dmitri T1 - Axiomatisieren lernen mit Papierfalten : Entwicklung, Durchführung und Auswertung eines Hochschulkurses für gymnasiale Lehramtsstudierende T1 - Learning how to axiomatise with paperfolding N2 - In dieser Arbeit wird mathematisches Papierfalten und speziell 1-fach-Origami im universitären Kontext untersucht. Die Arbeit besteht aus drei Teilen. Der erste Teil ist im Wesentlichen der Sachanalyse des 1-fach-Origami gewidmet. Im ersten Kapitel gehen wir auf die geschichtliche Einordnung des 1-fach-Origami, betrachten axiomatische Grundlagen und diskutieren, wie das Axiomatisieren von 1-fach-Origami zum Verständnis des Axiomenbegriffs beitragen könnte. Im zweiten Kapitel schildern wir das Design der zugehörigen explorativen Studie, beschreiben unsere Forschungsziele und -fragen. Im dritten Kapitel wird 1-fach-Origami mathematisiert, definiert und eingehend untersucht. Der zweite Teil beschäftigt sich mit den von uns gestalteten und durchgeführten Kursen »Axiomatisieren lernen mit Papierfalten«. Im vierten Kapitel beschreiben wir die Lehrmethodik und die Gestaltung der Kurse, das fünfte Kapitel enthält ein Exzerpt der Kurse. Im dritten Teil werden die zugehörigen Tests beschrieben. Im sechsten Kapitel erläutern wir das Design der Tests sowie die Testmethodik. Im siebten Kapitel findet die Auswertung ebendieser Tests statt. N2 - In this manuscript, mathematical paper folding and specifically 1-fold origami is studied in a university context. The thesis consists of three parts. The first part is mainly devoted to the factual analysis of 1-fold origami. In the first chapter, we elaborate on the historical development of 1-fold origami, consider axiomatic foundations, and discuss how axiomatizing 1-fold origami could contribute to the understanding of the concept of an axiom. In the second chapter, we describe the design of the related exploratory study, describe our research objectives and questions. In the third chapter, 1-fold origami is mathematized, defined, and explored in depth. The second part focuses on the courses with the title "Learning how to axiomatize through paperfolding" which we designed and conducted. In the fourth chapter we describe the teaching methodology and the design of the courses, and the fifth chapter contains an excerpt of the courses. In the third part we describe the associated tests. In the sixth chapter we explain the design of the tests as well as the testing methodology. In the seventh chapter, the evaluation of these tests is carried out. KW - Mathematikunterricht KW - Axiom KW - Falten KW - Hochschule+Lehre KW - Origami KW - Axiomatisieren KW - mathematisches Papierfalten KW - 1-fach-Origami KW - one-fold-origami KW - mathematical paperfolding Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-279383 ER -