TY - THES A1 - Klotzky, Jens T1 - Well-posedness of a fluid-particle interaction model T1 - Existenz und Eindeutigkeit von Entropielösungen eines Partikel-Fluid-Modells N2 - This thesis considers a model of a scalar partial differential equation in the presence of a singular source term, modeling the interaction between an inviscid fluid represented by the Burgers equation and an arbitrary, finite amount of particles moving inside the fluid, each one acting as a point-wise drag force with a particle related friction constant. \begin{align*} \partial_t u + \partial_x (u^2/2) &= \sum_{i \in N(t)} \lambda_i \Big(h_i'(t)-u(t,h_i(t)\Big)\delta(x-h_i(t)) \end{align*} The model was introduced for the case of a single particle by Lagoutière, Seguin and Takahashi, is a first step towards a better understanding of interaction between fluids and solids on the level of partial differential equations and has the unique property of considering entropy admissible solutions and the interaction with shockwaves. The model is extended to an arbitrary, finite number of particles and interactions like merging, splitting and crossing of particle paths are considered. The theory of entropy admissibility is revisited for the cases of interfaces and discontinuous flux conservation laws, existing results are summarized and compared, and adapted for regions of particle interactions. To this goal, the theory of germs introduced by Andreianov, Karlsen and Risebro is extended to this case of non-conservative interface coupling. Exact solutions for the Riemann Problem of particles drifting apart are computed and analysis on the behavior of entropy solutions across the particle related interfaces is used to determine physically relevant and consistent behavior for merging and splitting of particles. Well-posedness of entropy solutions to the Cauchy problem is proven, using an explicit construction method, L-infinity bounds, an approximation of the particle paths and compactness arguments to obtain existence of entropy solutions. Uniqueness is shown in the class of weak entropy solutions using almost classical Kruzkov-type analysis and the notion of L1-dissipative germs. Necessary fundamentals of hyperbolic conservation laws, including weak solutions, shocks and rarefaction waves and the Rankine-Hugoniot condition are briefly recapitulated. N2 - Diese Arbeit befasst sich mit dem Modell einer skalaren partiellen Differentialgleichung mit singulärem Quellterm, das die Interaktion zwischen einem reibungsfreiem Fluid, dargestellt durch die Burgers Gleichung, und einer gegebenen, endlichen Menge von sich in dem Fluid bewegenden Partikeln beschreibt, die eine punktweise Zugkraft auf das Fluid auswirken und durch eine entsprechende Reibungskonstante charakterisiert sind. \begin{align*} \partial_t u + \partial_x (u^2/2) &= \sum_{i \in N(t)} \lambda_i \Big(h_i'(t)-u(t,h_i(t)\Big)\delta(x-h_i(t)) \end{align*} Das Modell wurde für den Fall der Interaktion mit einem einzelnen Partikel durch Lagoutière, Seguin and Takahashi eingeführt, stellt einen ersten Schritt zu einem besseren Verständnis der Interaktion zwischen einem Fluid und Festkörpern auf dem Level der partiellen Differentialgleichungen dar und hat die einzigartige Eigenschaft, dass Entropielösungen und die Interaktion mit Schockwellen berücksichtigt werden. Das Modell wird zu einer beliebigen, endlichen Anzahl von Partikeln erweitert und Interaktionen wie das Verschmelzen und Spaltung von Partikeln werden behandelt. Existierende Theorie der Entropie-Zulässigkeit im Hinblick auf Interfaces und Erhaltungsgleichungen mit unstetiger Flussfunktion wird zusammengefasst, die Resultate werden verglichen und für die Regionen mit Partikelinteraktionen angepasst. Zu diesem Zweck wird die Theorie der Germs, eingeführt von Andreianov, Karlsen und Risebro, auf den vorliegenden Fall eines nicht-erhaltenden Interfaces erweitert. Für das Riemann Problem von auseinanderdriftenden Partikeln werden die exakten Lösungen berechnet und eine Analyse des Verhaltens von Entropielösungen über die von den Partikeln erzeugten Interface wird genutzt, um ein physikalisch sinnvolles und mit der Theorie eines einzelnen Partikels konsistentes Verhalten beim Verschmelzen und Spalten von Partikeln herzuleiten. Mit Hilfe einer expliziten Konstruktionsmethode, hergeleiteten L-infinity Beschränkungen, einer Approximation der Partikelpfade und Kompaktheitsargumenten wird gezeigt, dass das entsprechende Cauchy Problem wohlgestellt ist. Eindeutigkeit im Raum der schwachen Entropielösungen wird mit beinahe klassischen Argumenten der Theorie von Kruzkov sowie der Theorie von L1-dissipativen Germs gezeigt. Notwendige Grundlagen zu hyperbolischen Erhaltungsgleichungen, unter anderem die Theorie schwacher Lösungen, Schock- und Verdünnungswellen sowie die Rankine-Hugoniot Bedingung, werden in Grundzügen am Anfang der Arbeit wiederholt. KW - Hyperbolische Differentialgleichung KW - Entropielösung KW - Fluid-Partikel-Strömung KW - Burgers-Gleichung KW - Korrekt gestelltes Problem KW - Existenz und Eindeutigkeit KW - Entropiebedingung KW - Well-posedness KW - Entropy admissibility condition Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-169009 ER - TY - THES A1 - Ruppert, Markus T1 - Wege der Analogiebildung - Eine qualitative Studie über den Prozess der Analogiebildung beim Lösen von Aufgaben T1 - Ways of Analogical Reasoning - A study of thought processes in example-based learning environments N2 - Über die besondere Bedeutung von Analogiebildungsprozessen beim Lernen im Allgemeinen und beim Lernen von Mathematik im Speziellen besteht ein breiter wissenschaftlicher Konsens. Es liegt deshalb nahe, von einem lernförderlichen Mathematikunterricht zu verlangen, dass er im Bewusstsein dieser Bedeutung entwickelt ist – dass er also einerseits Analogien aufzeigt und sich diese beim Lehren von Mathematik zunutze macht, dass er andererseits aber auch dem Lernenden Gelegenheiten bietet, Analogien zu erkennen und zu entwickeln. Kurz: Die Fähigkeit zum Bilden von Analogien soll durch den Unterricht gezielt gefördert werden. Um diesem Anspruch gerecht werden zu können, müssen ausreichende Kenntnisse darüber vorliegen, wie Analogiebildungsprozesse beim Lernen von Mathematik und beim Lösen mathematischer Aufgaben ablaufen, wodurch sich erfolgreiche Analogiebildungsprozesse auszeichnen und an welchen Stellen möglicherweise Schwierigkeiten bestehen. Der Autor zeigt auf, wie Prozesse der Analogiebildung beim Lösen mathematischer Aufgaben initiiert, beobachtet, beschrieben und interpretiert werden können, um auf dieser Grundlage Ansatzpunkte für geeignete Fördermaßnahmen zu identifizieren, bestehende Ideen zur Förderung der Analogiebildungsfähigkeit zu beurteilen und neue Ideen zu entwickeln. Es werden dabei Wege der Analogiebildung nachgezeichnet und untersucht, die auf der Verschränkung zweier Dimensionen der Analogiebildung im Rahmen des zugrundeliegenden theoretischen Modells beruhen. So können verschiedene Vorgehensweisen ebenso kontrastiert werden, wie kritische Punkte im Verlauf eines Analogiebildungsprozesses. Es ergeben sich daraus Unterrichtsvorschläge, die auf den Ideen zum beispielbasierten Lernen aufbauen. N2 - The epistemological relevance of analogical reasoning in learning and education in general is undoubted. Particularly in applying mathematical contents and techniques learning from examples is essential. Therefore mathematics lessons should provide opportunities to gain and improve competences in analogical reasoning. To meet these demands it is necessary to fathom the thought processes throughout analogical reasoning: How can succesful thought processes be characterized? At which point do misleading analogies fail? The author shows how thought processes of analogical reasoning can be initialized, observed, described and interpreted. Based on this theoretical background ways of analogical reasoning are retraced and analyzed in order to identify different approaches to analogies and critical phases of corresponding thought processes. Using these findings important features of appropriate learning environments are stated and existing concepts can be evaluated. KW - Analogie KW - Problemlösen KW - Analogiebildung KW - example based learning KW - Problemlösen KW - beispielsbasiertes Lernen Y1 - 2017 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-155910 N1 - Eine inhaltlich identische gedruckte Fassung der Arbeit ist unter gleichem Titel im WTM-Verlag erschienen. ER - TY - THES A1 - Lieb, Julia T1 - Counting Polynomial Matrices over Finite Fields : Matrices with Certain Primeness Properties and Applications to Linear Systems and Coding Theory BT - Matrices with Certain Primeness Properties and Applications to Linear Systems and Coding Theory N2 - This dissertation is dealing with three mathematical areas, namely polynomial matrices over finite fields, linear systems and coding theory. Coprimeness properties of polynomial matrices provide criteria for the reachability and observability of interconnected linear systems. Since time-discrete linear systems over finite fields and convolutional codes are basically the same objects, these results could be transfered to criteria for non-catastrophicity of convolutional codes. We calculate the probability that specially structured polynomial matrices are right prime. In particular, formulas for the number of pairwise coprime polynomials and for the number of mutually left coprime polynomial matrices are calculated. This leads to the probability that a parallel connected linear system is reachable and that a parallel connected convolutional codes is non-catastrophic. Moreover, the corresponding probabilities are calculated for other networks of linear systems and convolutional codes, such as series connection. Furthermore, the probabilities that a convolutional codes is MDP and that a clock code is MDS are approximated. Finally, we consider the probability of finding a solution for a linear network coding problem. N2 - Diese Dissertation beschäftigt sich mit drei Teilgebieten der Mathematik, nämlich Polynommatrizen über endlichen Körpern, linearen Systemen und Faltungscodes. Teilerfremdheitseigenschaften für Polynommatrizen stellen Kriterien für die Erreichbarkeit und Beoabachtbarkeit eines vernetzten linearen Systems zur Verfügung. Da zeit-diskrete lineare dynamische Systems und Faltungscodes im Prinzip diesselben Objekte darstellen, können diese Resultate in Kriterien dafür, dass ein Faltungscode nicht-katastrophal ist, übersetzt werden. Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit, dass Polynommatrizen von spezieller Struktur rechtsprim sind. Im Besonderen, werden Formeln für die Anzahl paarweise teilerfremder Polynome sowie für die Anzahl wechselweise links-teilerfremder Polynommatrizen berechnet. Dies führt zu der Wahrscheinlichkeit, dass eine Parallelschaltung linearer Systeme erreichbar ist und dass eine Parallelschaltung von Faltungscodes nicht-katastrophal ist. Zudem werden andere Netzwerke linearen Systeme und von Faltungscodes, wie z.B. Reihenschaltung betrachtet. Des weiteren werden die Wahrscheinlichkeiten, dass ein Faltungscode MDP und dass ein Blockcode MDS ist, approximiert. Schließlich, betrachten wir die Wahrscheinlichkeit, eine Lösung für ein lineares Netzwerk-Kodierungsproblem zu finden. KW - Lineares System KW - Faltungscode KW - Polynomial matrices KW - linear system KW - convolutional code KW - Matrizenpolynom KW - Matrixpolynom Y1 - 2017 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-151303 SN - 978-3-95826-064-1 (print) SN - 978-3-95826-065-8 (online) N1 - Parallel erschienen als Druckausgabe in Würzburg University Press, 978-3-95826-064-1, 24,90 EUR. PB - Würzburg University Press CY - Würzburg ET - 1. Auflage ER - TY - THES A1 - Steck, Daniel T1 - Lagrange Multiplier Methods for Constrained Optimization and Variational Problems in Banach Spaces T1 - Lagrange-Multiplier-Verfahren für Restringierte Optimierung und Variationsprobleme in Banach-Räumen N2 - This thesis is concerned with a class of general-purpose algorithms for constrained minimization problems, variational inequalities, and quasi-variational inequalities in Banach spaces. A substantial amount of background material from Banach space theory, convex analysis, variational analysis, and optimization theory is presented, including some results which are refinements of those existing in the literature. This basis is used to formulate an augmented Lagrangian algorithm with multiplier safeguarding for the solution of constrained optimization problems in Banach spaces. The method is analyzed in terms of local and global convergence, and many popular problem classes such as nonlinear programming, semidefinite programming, and function space optimization are shown to be included as special cases of the general setting. The algorithmic framework is then extended to variational and quasi-variational inequalities, which include, by extension, Nash and generalized Nash equilibrium problems. For these problem classes, the convergence is analyzed in detail. The thesis then presents a rich collection of application examples for all problem classes, including implementation details and numerical results. N2 - Die vorliegende Arbeit handelt von einer Klasse allgemein anwendbarer Verfahren zur Lösung restringierter Optimierungsprobleme, Variations- und Quasi-Variationsungleichungen in Banach-Räumen. Zur Vorbereitung wird eine erhebliche Menge an Grundmaterial präsentiert. Dies beinhaltet die Theorie von Banach-Räumen, konvexe und variationelle Analysis sowie Optimierungstheorie. Manche der angegebenen Resultate sind hierbei Verfeinerungen der entsprechenden Ergebnisse aus der Literatur. Im Anschluss wird ein Augmented-Lagrange-Verfahren für restingierte Optimierungsprobleme in Banach-Räumen präsentiert. Der Algorithmus wird hinsichtlich lokaler und globaler Konvergenz untersucht, und viele typische Problemklassen wie nichtlineare Programme, semidefinite Programme oder Optimierungsprobleme in Funktionenräumen werden als Spezialfälle aufgezeigt. Der Algorithmus wird dann auf Variations- und Quasi-Variationsungleichungen verallgemeinert, wodurch implizit auch (verallgemeinerte) Nash-Gleichgewichtsprobleme abgehandelt werden. Für diese Problemklassen werden eigene Konvergenzanalysen betrieben. Die Dissertation beinhaltet zudem eine umfangreiche Sammlung von Anwendungsbeispielen und zugehörigen numerischen Ergebnissen. KW - Optimierung KW - Nash-Gleichgewicht KW - Variationsungleichung KW - Banach-Raum KW - Quasi-Variational Inequality KW - Generalized Nash Equilibrium Problem KW - Quasi-Variationsungleichung KW - Verallgemeinertes Nash-Gleichgewichtsproblem Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-174444 ER - TY - THES A1 - Forster, Johannes T1 - Variational Approach to the Modeling and Analysis of Magnetoelastic Materials T1 - Variationeller Zugang zu Modellierung und Analysis Magnetoelastischer Materialien N2 - This doctoral thesis is concerned with the mathematical modeling of magnetoelastic materials and the analysis of PDE systems describing these materials and obtained from a variational approach. The purpose is to capture the behavior of elastic particles that are not only magnetic but exhibit a magnetic domain structure which is well described by the micromagnetic energy and the Landau-Lifshitz-Gilbert equation of the magnetization. The equation of motion for the material’s velocity is derived in a continuum mechanical setting from an energy ansatz. In the modeling process, the focus is on the interplay between Lagrangian and Eulerian coordinate systems to combine elasticity and magnetism in one model without the assumption of small deformations. The resulting general PDE system is simplified using special assumptions. Existence of weak solutions is proved for two variants of the PDE system, one including gradient flow dynamics on the magnetization, and the other featuring the Landau-Lifshitz-Gilbert equation. The proof is based on a Galerkin method and a fixed point argument. The analysis of the PDE system with the Landau-Lifshitz-Gilbert equation uses a more involved approach to obtain weak solutions based on G. Carbou and P. Fabrie 2001. N2 - Die vorliegende Doktorarbeit beschäftigt sich mit der mathematischen Modellierung magnetoelastischer Materialien und der Analysis von Systemen partieller Differentialgleichungen für diese Materialien. Die Herleitung der partiellen Differentialgleichungen erfolgt mittels eines variationellen Zugangs. Ziel ist es, das Verhalten elastischer Teilchen zu beschreiben, welche nicht nur magnetisch sind, sondern sich durch eine magnetische Domänenstruktur auszeichnen. Diese Struktur wird beschrieben durch die mikromagnetische Energie und die Landau-Lifshitz-Gilbert Gleichung der Magnetisierung. Die Bewegungsgleichung für die Geschwindigkeit des Materials ist in einem kontinuumsmechanischen Setting von einer Energiegleichung abgeleitet. In der Modellierung liegt der Fokus auf dem Zusammenspiel von Lagrange’schen und Euler’schen Koordinaten, um Elastizität und Magnetismus in einem Modell zu kombinieren. Dies geschieht ohne die Annahme kleiner Deformationen. Das resultierende allgemeine System partieller Differentialgleichungen wird durch spezielle Annahmen vereinfacht und es wird die Existenz von schwachen Lösungen gezeigt. Der Beweis wird für zwei Varianten des Differentialgleichungssystems geführt. Das erste System enthält die Beschreibung der Dynamik der Magnetisierung mittels Gradientenfluss, im zweiten wird die Dynamik mittels Landau-Lifshitz-Gilbert Gleichung beschrieben. Schlüsselidee des Beweises ist ein Galerkin-Ansatz, kombiniert mit einem Fixpunkt-Argument. Zum Beweis der Existenz schwacher Lösungen des Systems mit Landau-Lifshitz-Gilbert Gleichung wird eine aufwändigere Methode herangezogen, welche auf einer Arbeit von G. Carbou und P. Fabrie aus 2001 beruht. KW - Magnetoelastizität KW - Mikromagnetismus KW - Mathematische Modellierung KW - Galerkin-Methode KW - Differentialgleichungssystem KW - Partielle Differentialgleichungen KW - Existenz schwacher Lösungen KW - PDEs KW - Mathematical modeling KW - Calculus of variations Y1 - 2016 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-147226 ER - TY - JOUR A1 - Kasang, Christa A1 - Kalluvya, Samuel A1 - Majinge, Charles A1 - Kongola, Gilbert A1 - Mlewa, Mathias A1 - Massawe, Irene A1 - Kabyemera, Rogatus A1 - Magambo, Kinanga A1 - Ulmer, Albrecht A1 - Klinker, Hartwig A1 - Gschmack, Eva A1 - Horn, Anne A1 - Koutsilieri, Eleni A1 - Preiser, Wolfgang A1 - Hofmann, Daniela A1 - Hain, Johannes A1 - Müller, Andreas A1 - Dölken, Lars A1 - Weissbrich, Benedikt A1 - Rethwilm, Axel A1 - Stich, August A1 - Scheller, Carsten T1 - Effects of Prednisolone on Disease Progression in Antiretroviral-Untreated HIV Infection: A 2-Year Randomized, Double-Blind Placebo-Controlled Clinical Trial JF - PLoS One N2 - Background HIV-disease progression correlates with immune activation. Here we investigated whether corticosteroid treatment can attenuate HIV disease progression in antiretroviral-untreated patients. Methods Double-blind, placebo-controlled randomized clinical trial including 326 HIV-patients in a resource-limited setting in Tanzania (clinicaltrials.gov NCT01299948). Inclusion criteria were a CD4 count above 300 cells/μl, the absence of AIDS-defining symptoms and an ART-naïve therapy status. Study participants received 5 mg prednisolone per day or placebo for 2 years. Primary endpoint was time to progression to an AIDS-defining condition or to a CD4-count below 200 cells/μl. Results No significant change in progression towards the primary endpoint was observed in the intent-to-treat (ITT) analysis (19 cases with prednisolone versus 28 cases with placebo, p = 0.1407). In a per-protocol (PP)-analysis, 13 versus 24 study participants progressed to the primary study endpoint (p = 0.0741). Secondary endpoints: Prednisolone-treatment decreased immune activation (sCD14, suPAR, CD38/HLA-DR/CD8+) and increased CD4-counts (+77.42 ± 5.70 cells/μl compared to -37.42 ± 10.77 cells/μl under placebo, p < 0.0001). Treatment with prednisolone was associated with a 3.2-fold increase in HIV viral load (p < 0.0001). In a post-hoc analysis stratifying for sex, females treated with prednisolone progressed significantly slower to the primary study endpoint than females treated with placebo (ITT-analysis: 11 versus 21 cases, p = 0.0567; PP-analysis: 5 versus 18 cases, p = 0.0051): No changes in disease progression were observed in men. Conclusions This study could not detect any significant effects of prednisolone on disease progression in antiretroviral-untreated HIV infection within the intent-to-treat population. However, significant effects were observed on CD4 counts, immune activation and HIV viral load. This study contributes to a better understanding of the role of immune activation in the pathogenesis of HIV infection. KW - HIV KW - immune activation KW - viral load KW - drug adherence KW - viral replication KW - AIDS KW - HIV infections KW - highly-active antiretroviral therapy Y1 - 2016 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-146479 VL - 11 IS - 1 ER - TY - THES A1 - Koch, Julia Diana T1 - Value Ranges for Schlicht Functions T1 - Wertemengen schlichter Funktionen N2 - This thesis deals with value sets, i.e. the question of what the set of values that a set of functions can take in a prescribed point looks like. Interest in such problems has been around for a long time; a first answer was given by the Schwarz lemma in the 19th century, and soon various refinements were proven. Since the 1930s, a powerful method for solving such problems has been developed, namely Loewner theory. We make extensive use of this tool, as well as variation methods which go back to Schiffer to examine the following questions: We describe the set of values a schlicht normalised function on the unit disc with prescribed derivative at the origin can take by applying Pontryagin's maximum principle to the radial Loewner equation. We then determine the value ranges for the set of holomorphic, normalised, and bounded functions that have only real coefficients in their power series expansion around 0, and for the smaller set of functions which are additionally typically real. Furthermore, we describe the values a univalent self-mapping of the upper half-plane with hydrodynamical normalization which is symmetric with respect to the imaginary axis can take. Lastly, we give a necessary condition for a schlicht bounded function f on the unit disc to have extremal derivative in a point z where its value f(z) is fixed by using variation methods. N2 - Die vorliegende Dissertation beschäftigt sich mit Wertemengen, d.h. der Frage, welche Werte eine Menge von Funktionen in einem vorgegeben Punkt annehmen kann. Probleme dieser Art werden schon seit Langem behandelt; eine erste Antwort in Form des Lemmas von Schwarz wurde bereits im 19. Jahrhundert gegeben, und viele Verfeinerungen folgten. Seit den 30er Jahren des 20. Jahrhunderts steht ein mächtiges Instrument zur Lösung solcher Probleme in Form der Löwner-Theorie zur Verfügung. Wir benutzen diese sowie Variationsmethoden, die auf Schiffer-Variation zurückgehen, um die folgenden Fragestellungen zu klären: Wir beschreiben die Menge der Werte, die eine schlichte normalisierte Funktion mit fixierter Ableitung im Ursprung annehmen kann, durch Anwendung des Pontryagin-Maximumprinzip auf die radiale Löwner-Gleichung. Als Nächstes bestimmen wir die Wertemengen für holomorphe normalisierte beschränkte Funktionen, deren Taylor-Entwicklung um 0 nur reelle Koeffizienten hat, und für die kleinere Menge von Funktionen, die zusätzlich typisch reell sind. Außerdem beschreiben wir den Wertebereich schlichter Selbstabbildungen der oberen Halbebene mit hydrodynamischer Normalisierung, die symmetrisch bezüglich der imaginären Achse sind. Zuletzt geben wir mit Hilfe von Variationsmethoden eine notwenige Bedingung für schlichte beschränkte Funktionen auf dem Einheitskreis an, deren Ableitung in einem Punkt mit vorgegebenem Funktionswert extremal ist. KW - Value ranges KW - radial Loewner equation KW - chordal Loewner equation KW - Pontryagins's maximum principle KW - univalent functions KW - typically real functions KW - Pontrjagin-Maximumprinzip KW - Schlichte Funktion KW - Funktionentheorie Y1 - 2016 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-144978 ER - TY - JOUR A1 - Schindele, Andreas A1 - Borzì, Alfio T1 - Proximal Methods for Elliptic Optimal Control Problems with Sparsity Cost Functional JF - Applied Mathematics N2 - First-order proximal methods that solve linear and bilinear elliptic optimal control problems with a sparsity cost functional are discussed. In particular, fast convergence of these methods is proved. For benchmarking purposes, inexact proximal schemes are compared to an inexact semismooth Newton method. Results of numerical experiments are presented to demonstrate the computational effectiveness of proximal schemes applied to infinite-dimensional elliptic optimal control problems and to validate the theoretical estimates. KW - semismooth Newton method KW - optimal control KW - elliptic PDE KW - nonsmooth optimization KW - proximal method Y1 - 2016 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-145850 VL - 7 IS - 9 ER - TY - THES A1 - Gallego Valencia, Juan Pablo T1 - On Runge-Kutta discontinuous Galerkin methods for compressible Euler equations and the ideal magneto-hydrodynamical model T1 - Runge-Kutta Discontinuous-Galerkin Verfahren für die kompressiblen Euler Gleichungen und das ideale magnetohydrodynamische Modell N2 - An explicit Runge-Kutta discontinuous Galerkin (RKDG) method is used to device numerical schemes for both the compressible Euler equations of gas dynamics and the ideal magneto- hydrodynamical (MHD) model. These systems of conservation laws are known to have discontinuous solutions. Discontinuities are the source of spurious oscillations in the solution profile of the numerical approximation, when a high order accurate numerical method is used. Different techniques are reviewed in order to control spurious oscillations. A shock detection technique is shown to be useful in order to determine the regions where the spurious oscillations appear such that a Limiter can be used to eliminate these numeric artifacts. To guarantee the positivity of specific variables like the density and the pressure, a positivity preserving limiter is used. Furthermore, a numerical flux, proven to preserve the entropy stability of the semi-discrete DG scheme for the MHD system is used. Finally, the numerical schemes are implemented using the deal.II C++ libraries in the dflo code. The solution of common test cases show the capability of the method. N2 - Ein explizite Runge-Kutta discontinous Galerkin (RKDG) Verfahren wird angewendet, um numerische Diskretisierungen, sowohl für die kompressiblen Eulergleichungen der Gasdynamik, als auch für die idealen Magnetohydrodynamik (MHD) Gleichungen zu entwickeln. Es ist bekannt, dass diese System von Erhaltungsgleichungen unstetige Lösungen besitzen. Unstetigkeiten sind die Quelle von störenden Oszillationen im Lösungsprofil der numerischen Näherung, wenn ein numerisches Verfahren von hoher Ordnung verwendet wird. Verschiedene Techniken werden miteinander verglichen um störende Oszillationen zu kontrollieren, die bei der Approximation von Unstetigkeiten in der Lösung auftreten. Ein Verfahren zur Lokalisierung von Schockwellen wird vorgestellt und es wird gezeigt, dass dieses Verfahren nützlich ist um Regionen, in denen störende Oszillationen auftreten, zu bestimmen, so dass ein Limiter verwendet werden kann um diese numerischen Artefakte zu eliminieren. Um die Positivität spezieller Variablen, wie die Dichte und den Druck, zu bewahren, wird ein spezieller „positivitätserhaltender“ Limiter verwendet. Des Weiteren wird ein numerischer Fluss, für den bewiesenermaßen das semi-diskrete DG Verfahren für das MHD System Entropie-Stabil ist, verwendet. Abschließend werden die numerischen Verfahren unter Verwendung der deal.II C++ Bibliotheken im dflo code implementiert. Simulationen bekannter Testbeispiele zeigen das Potential dieses numerischen Verfahrens. KW - explicit discontinuous Galerkin KW - conservation laws KW - numerical methods KW - Euler equations KW - MHD KW - Eulersche Differentialgleichung KW - Galerkin-Methode KW - Numerisches Verfahren Y1 - 2017 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-148874 ER - TY - INPR A1 - Breitenbach, Tim A1 - Borzì, Alfio T1 - On the SQH scheme to solve non-smooth PDE optimal control problems T2 - Numerical Functional Analysis and Optimization N2 - A sequential quadratic Hamiltonian (SQH) scheme for solving different classes of non-smooth and non-convex PDE optimal control problems is investigated considering seven different benchmark problems with increasing difficulty. These problems include linear and nonlinear PDEs with linear and bilinear control mechanisms, non-convex and discontinuous costs of the controls, L\(^1\) tracking terms, and the case of state constraints. The SQH method is based on the characterisation of optimality of PDE optimal control problems by the Pontryagin's maximum principle (PMP). For each problem, a theoretical discussion of the PMP optimality condition is given and results of numerical experiments are presented that demonstrate the large range of applicability of the SQH scheme. KW - SQH method KW - non-smooth optimization KW - Pontryagin maximum principle KW - nonconvex optimization Y1 - 2019 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-180936 N1 - This is an Accepted Manuscript of an article published by Taylor & Francis in Numerical Functional Analysis and Optimization on 27.04.2019, available online: http://www.tandfonline.com/10.1080/01630563.2019.1599911. ER - TY - JOUR A1 - Gaviraghi, Beatrice A1 - Schindele, Andreas A1 - Annunziato, Mario A1 - Borzì, Alfio T1 - On Optimal Sparse-Control Problems Governed by Jump-Diffusion Processes JF - Applied Mathematics N2 - A framework for the optimal sparse-control of the probability density function of a jump-diffusion process is presented. This framework is based on the partial integro-differential Fokker-Planck (FP) equation that governs the time evolution of the probability density function of this process. In the stochastic process and, correspondingly, in the FP model the control function enters as a time-dependent coefficient. The objectives of the control are to minimize a discrete-in-time, resp. continuous-in-time, tracking functionals and its L2- and L1-costs, where the latter is considered to promote control sparsity. An efficient proximal scheme for solving these optimal control problems is considered. Results of numerical experiments are presented to validate the theoretical results and the computational effectiveness of the proposed control framework. KW - jump-diffusion processes KW - partial integro-differential Fokker-Planck Equation KW - optimal control theory KW - nonsmooth optimization KW - proximal methods Y1 - 2016 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-147819 VL - 7 IS - 16 SP - 1978 EP - 2004 ER - TY - THES A1 - Sapozhnikova, Kateryna T1 - Robust Stability of Differential Equations with Maximum T1 - Robuste Stabilität von Differenzialgleichungen mit Maximum N2 - In this thesis stability and robustness properties of systems of functional differential equations which dynamics depends on the maximum of a solution over a prehistory time interval is studied. Max-operator is analyzed and it is proved that due to its presence such kind of systems are particular case of state dependent delay differential equations with piecewise continuous delay function. They are nonlinear, infinite-dimensional and may reduce to one-dimensional along its solution. Stability analysis with respect to input is accomplished by trajectory estimate and via averaging method. Numerical method is proposed. N2 - In dieser These werden die Eigenschaften der Stabilität und Robustheit von Systemen funktioneller Differentialgleichungen untersucht, deren Dynamik von einem Maximum in der Lösung eines vergangenen Zeitintervalls abhängt. Der Max-Operator wird analysiert und durch seine Anwesenheit ist bewiesen, dass diese Art von Systemen einen spezifischen Fall von zustandsabhängigen Verzögerungsdifferenzialgleichungen mit stückweiser, kontinuierlicher Verzögerungsfunktion darstellen. Sie sind nicht-linear, unendlich dimensional und entlang ihrer Lösung können sie eindimensional werden. Die Stabilitätsanalyse, unter Berücksichtigung der Eingabe, wird sowohl durch eine Richtungsschätzung, als auch mittels der Durchschnittsmethode durchgeführt. Eine numerische Methode wird vorgeschlagen. KW - Functional differential equations KW - Nonlinear systems KW - Stability KW - Differentialgleichung KW - Nichtlineares System KW - Stabilität Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-173945 ER - TY - THES A1 - Gaviraghi, Beatrice T1 - Theoretical and numerical analysis of Fokker-Planck optimal control problems for jump-diffusion processes T1 - Theoretische und numerische Analyse von Fokker-Planck Optimalsteuerungsproblemen von Sprung-Diffusions-Prozessen N2 - The topic of this thesis is the theoretical and numerical analysis of optimal control problems, whose differential constraints are given by Fokker-Planck models related to jump-diffusion processes. We tackle the issue of controlling a stochastic process by formulating a deterministic optimization problem. The key idea of our approach is to focus on the probability density function of the process, whose time evolution is modeled by the Fokker-Planck equation. Our control framework is advantageous since it allows to model the action of the control over the entire range of the process, whose statistics are characterized by the shape of its probability density function. We first investigate jump-diffusion processes, illustrating their main properties. We define stochastic initial-value problems and present results on the existence and uniqueness of their solutions. We then discuss how numerical solutions of stochastic problems are computed, focusing on the Euler-Maruyama method. We put our attention to jump-diffusion models with time- and space-dependent coefficients and jumps given by a compound Poisson process. We derive the related Fokker-Planck equations, which take the form of partial integro-differential equations. Their differential term is governed by a parabolic operator, while the nonlocal integral operator is due to the presence of the jumps. The derivation is carried out in two cases. On the one hand, we consider a process with unbounded range. On the other hand, we confine the dynamic of the sample paths to a bounded domain, and thus the behavior of the process in proximity of the boundaries has to be specified. Throughout this thesis, we set the barriers of the domain to be reflecting. The Fokker-Planck equation, endowed with initial and boundary conditions, gives rise to Fokker-Planck problems. Their solvability is discussed in suitable functional spaces. The properties of their solutions are examined, namely their regularity, positivity and probability mass conservation. Since closed-form solutions to Fokker-Planck problems are usually not available, one has to resort to numerical methods. The first main achievement of this thesis is the definition and analysis of conservative and positive-preserving numerical methods for Fokker-Planck problems. Our SIMEX1 and SIMEX2 (Splitting-Implicit-Explicit) schemes are defined within the framework given by the method of lines. The differential operator is discretized by a finite volume scheme given by the Chang-Cooper method, while the integral operator is approximated by a mid-point rule. This leads to a large system of ordinary differential equations, that we approximate with the Strang-Marchuk splitting method. This technique decomposes the original problem in a sequence of different subproblems with simpler structure, which are separately solved and linked to each other through initial conditions and final solutions. After performing the splitting step, we carry out the time integration with first- and second-order time-differencing methods. These steps give rise to the SIMEX1 and SIMEX2 methods, respectively. A full convergence and stability analysis of our schemes is included. Moreover, we are able to prove that the positivity and the mass conservation of the solution to Fokker-Planck problems are satisfied at the discrete level by the numerical solutions computed with the SIMEX schemes. The second main achievement of this thesis is the theoretical analysis and the numerical solution of optimal control problems governed by Fokker-Planck models. The field of optimal control deals with finding control functions in such a way that given cost functionals are minimized. Our framework aims at the minimization of the difference between a known sequence of values and the first moment of a jump-diffusion process; therefore, this formulation can also be considered as a parameter estimation problem for stochastic processes. Two cases are discussed, in which the form of the cost functional is continuous-in-time and discrete-in-time, respectively. The control variable enters the state equation as a coefficient of the Fokker-Planck partial integro-differential operator. We also include in the cost functional a $L^1$-penalization term, which enhances the sparsity of the solution. Therefore, the resulting optimization problem is nonconvex and nonsmooth. We derive the first-order optimality systems satisfied by the optimal solution. The computation of the optimal solution is carried out by means of proximal iterative schemes in an infinite-dimensional framework. N2 - Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der theoretischen und numerischen Analyse von Optimalsteuerungsproblemen, deren Nebenbedingungen die Fokker-Planck-Gleichungen von Sprung-Diffusions-Prozessen sind. Unsere Strategie baut auf der Formulierung eines deterministischen Problems auf, um einen stochastischen Prozess zu steuern. Der Ausgangspunkt ist, die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion des Prozesses zu betrachten, deren zeitliche Entwicklung durch die Fokker-Planck-Gleichung modelliert wird. Dieser Ansatz ist vorteilhaft, da er es ermöglicht, den gesamten Bereich des Prozesses durch die Wirkung der Steuerung zu beeinflussen. Zuerst beschäftigen wir uns mit Sprung-Diffusions-Prozessen. Wir definieren Ausgangswertprobleme, die durch stochastische Differentialgleichungen beschrieben werden, und präsentieren Ergebnisse zur Existenz und Eindeutigkeit ihrer Lösungen. Danach diskutieren wir, wie numerische Lösungen stochastischer Probleme berechnet werden, wobei wir uns auf die Euler-Maruyama-Methode konzentrieren. Wir wenden unsere Aufmerksamkeit auf Sprung-Diffusions-Modelle mit zeit- und raumabhängigen Koeffizienten und Sprüngen, die durch einen zusammengesetzten Poisson-Prozess modelliert sind. Wir leiten die zugehörigen Fokker-Planck-Glei-chungen her, die die Form von partiellen Integro-Differentialgleichungen haben. Ihr Differentialterm wird durch einen parabolischen Operator beschrieben, während der nichtlokale Integraloperator Spr\"{u}nge modelliert. Die Ableitung wird auf zwei unterschiedlichen Arten ausgef\"{u}hrt, je nachdem, ob wir einen Prozess mit unbegrenztem oder beschränktem Bereich betrachten. In dem zweiten Fall muss das Verhalten des Prozesses in der Nähe der Grenzen spezifiziert werden; in dieser Arbeit setzen wir reflektierende Grenzen. Die Fokker-Planck-Gleichung, zusammen mit einem Anfangswert und geeigneten Randbedingungen, erzeugt das Fokker-Planck-Problem. Die Lösbarkeit dieses Pro-blems in geeigneten Funktionenräumen und die Eigenschaften dessen Lösung werden diskutiert, nämlich die Positivität und die Wahrscheinlichkeitsmassenerhaltung. Da analytische Lösungen von Fokker-Planck-Problemen oft nicht verfügbar sind, m\"{u}ssen numerische Methoden verwendet werden. Die erste bemerkenswerte Leistung dieser Arbeit ist die Definition und Analyse von konservativen numerischen Verfahren, die Fokker-Planck-Probleme lösen. Unsere SIMEX1 und SIMEX2 (Splitting-Implizit-Explizit) Schemen basieren auf der Linienmethode. Der Differentialoperator wird durch das Finite-Volumen-Schema von Chang und Cooper diskretisiert, während der Integraloperator durch eine Mittelpunktregel angenähert wird. Dies führt zu einem großen System von gewöhnlichen Differentialgleichungen, das mit der Strang-Marchuk-Splitting-Methode gelöst wird. Diese Technik teilt das ursprüngliche Problem in eine Folge verschiedener Teilprobleme mit einer einfachen Struktur, die getrennt gelöst werden und danach durch deren Anfangswerte miteinander verbunden werden. Dank der Splitting-Methode kann jedes Teilproblem implizit oder explizit gelöst werden. Schließlich wird die numerische Integration des Anfangswertsproblems mit zwei Verfahren durchgeführt, n\"{a}mlich dem Euler-Verfahren und dem Predictor-Corrector-Verfahren. Eine umfassende Konvergenz- und Stabilitätsanalyse unserer Systeme ist enthalten. Darüber hinaus können wir beweisen, dass die Positivität und die Massenerhaltung der Lösung von Fokker-Planck-Problemen auf diskreter Ebene durch die numerischen Lösungen erfüllt werden, die mit den SIMEX-Schemen berechnet wurden. Die zweite bemerkenswerte Leistung dieser Arbeit ist die theoretische Analyse und die numerische Behandlung von Optimalsteuerungsproblemen, deren Nebenbedingungen die Fokker-Planck-Probleme von Sprung-Diffusions-Prozessen sind. Der Bereich der optimalen Steuerung befasst sich mit der Suche nach einer optimalen Funktion, die eine gegebene Zielfunktion minimiert. Wir zielen auf die Minimierung des Unterschieds zwischen einer bekannten Folge von Werten und dem ersten Moment eines Sprung-Diffusions-Prozesses. Auf diese Weise kann unsere Formulierung auch als ein Parameterschätzungsproblem für stochastische Prozesse angesehen werden. Zwei Fälle sind erläutert, in denen die Zielfunktion zeitstetig beziehungsweise zeitdiskret ist. Da die Steuerung ein Koeffizient des Integro-Differentialoperators der Zustandsglei-chung ist und die Zielfunktion einen $ L^1 $-Term beinhaltet, der die dünne Besetzung der Lösung erhöht, ist das Optimierungsproblem nichtkonvex und nichtglatt. Die von der optimalen L\"{o}sung erf\"{u}llten notwendigen Bedingungen werden hergeleitet, die man mit einem System beschreiben kann. Die Berechnung optimaler Lösungen wird mithilfe von Proximal-Methoden durchgeführt, die entsprechend um den unendlichdimensionalen Fall erweitert wurden. KW - Numerical analysis KW - Fokker-Planck KW - optimal control problems KW - jump-diffusion processes KW - Fokker-Planck-Gleichung KW - Optimale Kontrolle Y1 - 2017 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-145645 ER - TY - THES A1 - Tichy, Diana T1 - On the Fragility Index T1 - Über den Fragilitätsindex N2 - The Fragility Index captures the amount of risk in a stochastic system of arbitrary dimension. Its main mathematical tool is the asymptotic distribution of exceedance counts within the system which can be derived by use of multivariate extreme value theory. Thereby the basic assumption is that data comes from a distribution which lies in the domain of attraction of a multivariate extreme value distribution. The Fragility Index itself and its extension can serve as a quantitative measure for tail dependence in arbitrary dimensions. It is linked to the well known extremal index for stochastic processes as well the extremal coefficient of an extreme value distribution. N2 - Der Fragilitätsindex erfasst das Risiko des Zusammenbruchs eines stochastischen Systems beliebiger Dimension. Wesentlicher Baustein dieser mathematischen Größe ist dabei die asymptotische Verteilung der Überschreitungsanzahl innerhalb des stochastischen Systems. Die Herleitung basiert auf wesentlichen Erkenntnissen aus der multivariaten Extremwerttheorie. Die Hauptannahme besteht darin, dass Realisationen einer Zufallsgröße von einer Verteilung erzeugt werden, welche im Anziehungsbereich einer multivariaten Extremwertverteilung liegt. Der Fragilitätsindex und seine Erweiterung stellen ein quantitatives Maß beliebiger Dimension für Abhängigkeiten zwischen extremen Ereignissen dar. Er steht dabei in direkter Verbindung zum Extremalindex für stochastische Prozesse und zum Extremalkoeffizienten für Extremwertverteilungen. KW - Extremwertstatistik KW - Stochastisches System KW - Fragilitätsindex KW - Extremwerttheorie KW - Abhängigkeitsmaß KW - Überschreitungsanzahl KW - Fragility Index KW - tail dependence KW - extreme value theory KW - exceedance counts KW - extremal coefficient Y1 - 2011 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-73610 ER - TY - THES A1 - Hofmann, Martin T1 - Contributions to Extreme Value Theory in the Space C[0,1] T1 - Beiträge zur Extremwerttheorie im Raum C[0,1] N2 - We introduce some mathematical framework for extreme value theory in the space of continuous functions on compact intervals and provide basic definitions and tools. Continuous max-stable processes on [0,1] are characterized by their “distribution functions” G which can be represented via a norm on function space, called D-norm. The high conformity of this setup with the multivariate case leads to the introduction of a functional domain of attraction approach for stochastic processes, which is more general than the usual one based on weak convergence. We also introduce the concept of “sojourn time transformation” and compare several types of convergence on function space. Again in complete accordance with the uni- or multivariate case it is now possible to get functional generalized Pareto distributions (GPD) W via W = 1 + log(G) in the upper tail. In particular, this enables us to derive characterizations of the functional domain of attraction condition for copula processes. Moreover, we investigate the sojourn time above a high threshold of a continuous stochastic process. It turns out that the limit, as the threshold increases, of the expected sojourn time given that it is positive, exists if the copula process corresponding to Y is in the functional domain of attraction of a max-stable process. If the process is in a certain neighborhood of a generalized Pareto process, then we can replace the constant threshold by a general threshold function and we can compute the asymptotic sojourn time distribution. N2 - Es wird ein Zugang zur Extremwerttheorie auf dem Raum C[0,1] gegeben. Nach Charakterisierung und Analyse standard max-stabiler Prozesse, wird ein "funktionaler Anziehungsbereich" für standard max-stabile Prozesse vorgeschlagen, der allgemeiner ist als der übliche, der mittels schwacher Konvergenz definiert wird. Schließlich werden Verweildauern stetiger Prozesse über hohen Schwellenwerten betrachtet. KW - Extremwertstatistik KW - stochastischer Prozess KW - Extremwerttheorie KW - extreme value theory KW - stochastic processes KW - functional D-norm Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-74405 ER - TY - RPRT A1 - Englert, Stefan T1 - Mathematica in 15 Minuten (Mathematica Version 6.0) N2 - Mathematica ist ein hervorragendes Programm um mathematische Berechnungen – auch sehr komplexe – auf relativ einfache Art und Weise durchführen zu lassen. Dieses Skript soll eine wirklich kurze Einführung in Mathematica geben und als Nachschlagewerk einiger gängiger Anwendungen von Mathematica dienen. Dabei wird folgende Grobgliederung verwendet: - Grundlagen: Graphische Oberfläche, einfache Berechnungen, Formeleingabe - Bedienung: Vorstellung einiger Kommandos und Einblick in die Funktionsweise - Praxis: Beispielhafte Berechnung einiger Abitur- und Übungsaufgaben KW - Anwendungssoftware KW - Angewandte Mathematik KW - Lineare Algebra KW - Analysis KW - Mathematica Y1 - 2009 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-70275 N1 - Vor-Version des Titels Mathematica in 15 Minuten (Mathematica Version 8.0) http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bvb:20-opus-70287 ER - TY - RPRT A1 - Englert, Stefan T1 - Mathematica in 15 Minuten (Mathematica Version 8.0) N2 - Mathematica ist ein hervorragendes Programm um mathematische Berechnungen – auch sehr komplexe – auf relativ einfache Art und Weise durchführen zu lassen. Dieses Skript soll eine wirklich kurze Einführung in Mathematica geben und als Nachschlagewerk einiger gängiger Anwendungen von Mathematica dienen. Dabei wird folgende Grobgliederung verwendet: - Grundlagen: Graphische Oberfläche, einfache Berechnungen, Formeleingabe - Bedienung: Vorstellung einiger Kommandos und Einblick in die Funktionsweise - Praxis: Beispielhafte Berechnung einiger Abitur- und Übungsaufgaben KW - Anwendungssoftware KW - Angewandte Mathematik KW - Lineare Algebra KW - Analysis KW - Mathematica Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-70287 N1 - aktualisierte Version des Titels Mathematica in 15 Minuten (Mathematica Version 6.0) urn:nbn:de:bvb:20-opus-70275 ER - TY - THES A1 - Dreves, Axel T1 - Globally Convergent Algorithms for the Solution of Generalized Nash Equilibrium Problems T1 - Global konvergente Algorithmen zur Lösung von verallgemeinerten Nash-Gleichgewichtsproblemen N2 - Es werden verschiedene Verfahren zur Lösung verallgemeinerter Nash-Gleichgewichtsprobleme mit dem Schwerpunkt auf deren globaler Konvergenz entwickelt. Ein globalisiertes Newton-Verfahren zur Berechnung normalisierter Lösungen, ein nichtglattes Optimierungsverfahren basierend auf einer unrestringierten Umformulierung des spieltheoretischen Problems, und ein Minimierungsansatz sowei eine Innere-Punkte-Methode zur Lösung der gemeinsamen Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen der Spieler werden theoretisch untersucht und numerisch getestet. Insbesondere das Innere-Punkte Verfahren erweist sich als das zur Zeit wohl beste Verfahren zur Lösung verallgemeinerter Nash-Gleichgewichtsprobleme. N2 - In this thesis different algorithms for the solution of generalized Nash equilibrium problems with the focus on global convergence properties are developed. A globalized Newton method for the computation of normalized solutions, a nonsmooth algorithm based on an optimization reformulation of the game-theoretic problem, and a merit function approach and an interior point method for the solution of the concatenated Karush-Kuhn-Tucker-system are analyzed theoretically and numerically. The interior point method turns out to be one of the best existing methods for the solution of generalized Nash equilibrium problems. KW - Nash-Gleichgewicht KW - Nichtglatte Optimierung KW - Innere-Punkte-Methode KW - Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen KW - Spieltheorie KW - Generalized Nash Equilibrium Y1 - 2011 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-69822 ER - TY - THES A1 - Mauder, Markus T1 - Time-Optimal Control of the Bi-Steerable Robot: A Case Study in Optimal Control of Nonholonomic Systems T1 - Zeitoptimale Steuerung des zweiachsgelenkten Roboters: Eine Fallstudie zur optimalen Steuerung nichtholonomer Systeme N2 - In this thesis, time-optimal control of the bi-steerable robot is addressed. The bi-steerable robot, a vehicle with two independently steerable axles, is a complex nonholonomic system with applications in many areas of land-based robotics. Motion planning and optimal control are challenging tasks for this system, since standard control schemes do not apply. The model of the bi-steerable robot considered here is a reduced kinematic model with the driving velocity and the steering angles of the front and rear axle as inputs. The steering angles of the two axles can be set independently from each other. The reduced kinematic model is a control system with affine and non-affine inputs, as the driving velocity enters the system linearly, whereas the steering angles enter nonlinearly. In this work, a new approach to solve the time-optimal control problem for the bi-steerable robot is presented. In contrast to most standard methods for time-optimal control, our approach does not exclusively rely on discretization and purely numerical methods. Instead, the Pontryagin Maximum Principle is used to characterize candidates for time-optimal solutions. The resultant boundary value problem is solved by optimization to obtain solutions to the path planning problem over a given time horizon. The time horizon is decreased and the path planning is iterated to approximate a time-optimal solution. An optimality condition is introduced which depends on the number of cusps, i.e., reversals of the driving direction of the robot. This optimality condition allows to single out non-optimal solutions with too many cusps. In general, our approach only gives approximations of time-optimal solutions, since only normal regular extremals are considered as solutions to the path planning problem, and the path planning is terminated when an extremal with minimal number of cusps is found. However, for most desired configurations, normal regular extremals with the minimal number of cusps provide time-optimal solutions for the bi-steerable robot. The convergence of the approach is analyzed and its probabilistic completeness is shown. Moreover, simulation results on time-optimal solutions for the bi-steerable robot are presented. N2 - In dieser Dissertation wird die zeitoptimale Steuerung des zweiachsgelenkten Roboters behandelt. Der zweiachsgelenkte Roboter, ein Fahrzeug mit zwei voneinander unabhängig lenkbaren Achsen, ist ein komplexes nichtholonomes System mit Anwendungen in vielen Bereichen der Land-Robotik. Bahnplanung und optimale Steuerung sind anspruchsvolle Aufgaben für dieses System, da Standardverfahren hierfür nicht anwendbar sind. Das hier betrachtete Modell des zweiachsgelenkten Roboters ist ein reduziertes kinematisches Modell mit der Fahrgeschwindigkeit und den Lenkwinkeln als Eingangsgrößen. Die Lenkwinkel der beiden Achsen können unabhängig voneinander vorgegeben werden. Das reduzierte kinematische Modell ist ein Kontrollsystem mit affinen und nichtaffinen Eingängen, da die Fahrgeschwindigkeit linear in das System eingeht, während die Lenkwinkel nichtlineare Eingangsgrößen sind. In dieser Arbeit wird ein neuer Ansatz zur Lösung des zeitoptimalen Steuerungsproblems für den zweiachsgelenkten Roboter vorgestellt. Im Gegensatz zu den meisten Standardmethoden für die zeitoptimale Steuerung basiert unser Ansatz nicht ausschließlich auf Diskretisierung und rein numerischen Verfahren. Stattdessen wird das Pontryagin Maximum Prinzip angewendet, um Kandidaten für zeitoptimale Lösungen zu charakterisieren. Das sich dabei ergebende Randwertproblem wird durch Optimierung gelöst, um Lösungen für das Bahnplanungsproblem über einem bestimmten Zeithorizont zu erhalten. Die Bahnplanung wird über einem abnehmenden Zeithorizont iteriert, um eine zeitoptimale Lösung zu approximieren. Eine Optimalitätsbedingung wird eingeführt, die von der Anzahl der Richtungsumkehrungen des Roboters abhängt. Diese Optimalitätsbedingung erlaubt es, nichtoptimale Lösungen mit zu vielen Richtungsumkehrungen auszusondern. Im Allgemeinen liefert unser Ansatz nur Approximationen zeitoptimaler Lösungen, da nur normale reguläre Extremalen als Lösungen für das Bahnplanungsproblem betrachtet werden und die Bahnplanung beendet wird, sobald eine Extremale mit der minimalen Anzahl von Richtungsumkehrungen gefunden wurde. Allerdings ergeben normale reguläre Extremalen mit der minimalen Anzahl von Richtungsumkehrungen für die meisten Zielkonfigurationen des zweiachsgelenkten Roboters zeitoptimale Lösungen. Die Konvergenz des Ansatzes wird untersucht und seine probabilistische Vollständigkeit wird bewiesen. Des Weiteren werden Simulationsergebnisse für zeitoptimale Lösungen des zweiachsgelenkten Roboters präsentiert. KW - Mobiler Roboter KW - Optimale Kontrolle KW - Zeitoptimale Regelung KW - zweiachsgelenkter Roboter KW - nichtholonomes System KW - zeitoptimale Steuerung KW - Pontryagin Maximum Prinzip KW - Nichtlineare Kontrolltheorie KW - Steuerbarkeit KW - bi-steerable robot KW - nonholonomic system KW - time-optimal control KW - Pontryagin Maximum Principle Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-75036 ER - TY - THES A1 - Akindeinde, Saheed Ojo T1 - Numerical Verification of Optimality Conditions in Optimal Control Problems T1 - Numerischen Verifizierung von Optimalitätsbedingungen für Optimalsteurungsprobleme N2 - This thesis is devoted to numerical verification of optimality conditions for non-convex optimal control problems. In the first part, we are concerned with a-posteriori verification of sufficient optimality conditions. It is a common knowledge that verification of such conditions for general non-convex PDE-constrained optimization problems is very challenging. We propose a method to verify second-order sufficient conditions for a general class of optimal control problem. If the proposed verification method confirms the fulfillment of the sufficient condition then a-posteriori error estimates can be computed. A special ingredient of our method is an error analysis for the Hessian of the underlying optimization problem. We derive conditions under which positive definiteness of the Hessian of the discrete problem implies positive definiteness of the Hessian of the continuous problem. The results are complemented with numerical experiments. In the second part, we investigate adaptive methods for optimal control problems with finitely many control parameters. We analyze a-posteriori error estimates based on verification of second-order sufficient optimality conditions using the method developed in the first part. Reliability and efficiency of the error estimator are shown. We illustrate through numerical experiments, the use of the estimator in guiding adaptive mesh refinement. N2 - Diese Arbeit widmet sich der numerischen Verifizierung von Optimalitaetsbedingungen fuer nicht konvexe Optimalsteuerungsprobleme. Im ersten Teil beschaeftigen wir uns mit der a-posteriori Ueberpruefung von hinreichenden Optimalitaetskriterien. Es ist bekannt, dass der Nachweis solcher Bedingungen fuer allgemeine nicht konvexe Optimierungsproblemem mit Nebenbedingungen in Form von partiellen Differentialgleichungen sehr schwierig ist. Wir stellen eine Methode vor, um die hinreichenden Bedingungen zweiter Ordnung fuer eine allgemeine Problemklasse zu testen. Falls die vorgeschlagene Strategie bestaetigt, dass diese Bedingungen erfuellt sind, koennen a-posteriori Fehlerschaetzungen berechnet werden. Ein wesentlicher Bestandteil unserer Methode ist eine Fehleranalyse fuer die Hessematrix des zugrunde liegenden Optimierungsproblems. Es werden Bedingungen hergeleitet, unter denen die positive Definitheit der Hessematrix des diskreten Problems die positive Definitheit der Hessematrix fuer das kontinuierliche Problem nach sich zieht. Diese Ergebnisse werden durch numerische Experimente ergaenzt. Im zweiten Teil untersuchen wir adaptive (Diskretisierungs-)methoden fuer Optimalsteuerungsprobleme mit endlich vielen Kontrollparametern. Basierend auf dem Nachweis hinreichender Optimalitaetsbedingungen zweiter Ordnung analysieren wir a posteriori Fehlerschaetzungen. Dies geschieht unter der Nutzung der Resultate des ersten Teils der Arbeit. Es wird die Zuverlaessigkeit und Effizienz des Fehlerschaetzers bewiesen. Mittels weiterer numerischer Experimente illustrieren wir, wie der Fehlerschaetzer zur Steuerung adaptiver Gitterverfeinerung eingesetzt werden kann. KW - Optimale Kontrolle KW - Nichtkonvexe Optimierung KW - Numerisches Verfahren KW - non-convex optimal control problems KW - sufficient optimality conditions KW - a-posteriori error estimates KW - numerical approximations KW - adaptive refinement Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-76065 ER -