TY - THES A1 - Klotzky, Jens T1 - Well-posedness of a fluid-particle interaction model T1 - Existenz und Eindeutigkeit von Entropielösungen eines Partikel-Fluid-Modells N2 - This thesis considers a model of a scalar partial differential equation in the presence of a singular source term, modeling the interaction between an inviscid fluid represented by the Burgers equation and an arbitrary, finite amount of particles moving inside the fluid, each one acting as a point-wise drag force with a particle related friction constant. \begin{align*} \partial_t u + \partial_x (u^2/2) &= \sum_{i \in N(t)} \lambda_i \Big(h_i'(t)-u(t,h_i(t)\Big)\delta(x-h_i(t)) \end{align*} The model was introduced for the case of a single particle by Lagoutière, Seguin and Takahashi, is a first step towards a better understanding of interaction between fluids and solids on the level of partial differential equations and has the unique property of considering entropy admissible solutions and the interaction with shockwaves. The model is extended to an arbitrary, finite number of particles and interactions like merging, splitting and crossing of particle paths are considered. The theory of entropy admissibility is revisited for the cases of interfaces and discontinuous flux conservation laws, existing results are summarized and compared, and adapted for regions of particle interactions. To this goal, the theory of germs introduced by Andreianov, Karlsen and Risebro is extended to this case of non-conservative interface coupling. Exact solutions for the Riemann Problem of particles drifting apart are computed and analysis on the behavior of entropy solutions across the particle related interfaces is used to determine physically relevant and consistent behavior for merging and splitting of particles. Well-posedness of entropy solutions to the Cauchy problem is proven, using an explicit construction method, L-infinity bounds, an approximation of the particle paths and compactness arguments to obtain existence of entropy solutions. Uniqueness is shown in the class of weak entropy solutions using almost classical Kruzkov-type analysis and the notion of L1-dissipative germs. Necessary fundamentals of hyperbolic conservation laws, including weak solutions, shocks and rarefaction waves and the Rankine-Hugoniot condition are briefly recapitulated. N2 - Diese Arbeit befasst sich mit dem Modell einer skalaren partiellen Differentialgleichung mit singulärem Quellterm, das die Interaktion zwischen einem reibungsfreiem Fluid, dargestellt durch die Burgers Gleichung, und einer gegebenen, endlichen Menge von sich in dem Fluid bewegenden Partikeln beschreibt, die eine punktweise Zugkraft auf das Fluid auswirken und durch eine entsprechende Reibungskonstante charakterisiert sind. \begin{align*} \partial_t u + \partial_x (u^2/2) &= \sum_{i \in N(t)} \lambda_i \Big(h_i'(t)-u(t,h_i(t)\Big)\delta(x-h_i(t)) \end{align*} Das Modell wurde für den Fall der Interaktion mit einem einzelnen Partikel durch Lagoutière, Seguin and Takahashi eingeführt, stellt einen ersten Schritt zu einem besseren Verständnis der Interaktion zwischen einem Fluid und Festkörpern auf dem Level der partiellen Differentialgleichungen dar und hat die einzigartige Eigenschaft, dass Entropielösungen und die Interaktion mit Schockwellen berücksichtigt werden. Das Modell wird zu einer beliebigen, endlichen Anzahl von Partikeln erweitert und Interaktionen wie das Verschmelzen und Spaltung von Partikeln werden behandelt. Existierende Theorie der Entropie-Zulässigkeit im Hinblick auf Interfaces und Erhaltungsgleichungen mit unstetiger Flussfunktion wird zusammengefasst, die Resultate werden verglichen und für die Regionen mit Partikelinteraktionen angepasst. Zu diesem Zweck wird die Theorie der Germs, eingeführt von Andreianov, Karlsen und Risebro, auf den vorliegenden Fall eines nicht-erhaltenden Interfaces erweitert. Für das Riemann Problem von auseinanderdriftenden Partikeln werden die exakten Lösungen berechnet und eine Analyse des Verhaltens von Entropielösungen über die von den Partikeln erzeugten Interface wird genutzt, um ein physikalisch sinnvolles und mit der Theorie eines einzelnen Partikels konsistentes Verhalten beim Verschmelzen und Spalten von Partikeln herzuleiten. Mit Hilfe einer expliziten Konstruktionsmethode, hergeleiteten L-infinity Beschränkungen, einer Approximation der Partikelpfade und Kompaktheitsargumenten wird gezeigt, dass das entsprechende Cauchy Problem wohlgestellt ist. Eindeutigkeit im Raum der schwachen Entropielösungen wird mit beinahe klassischen Argumenten der Theorie von Kruzkov sowie der Theorie von L1-dissipativen Germs gezeigt. Notwendige Grundlagen zu hyperbolischen Erhaltungsgleichungen, unter anderem die Theorie schwacher Lösungen, Schock- und Verdünnungswellen sowie die Rankine-Hugoniot Bedingung, werden in Grundzügen am Anfang der Arbeit wiederholt. KW - Hyperbolische Differentialgleichung KW - Entropielösung KW - Fluid-Partikel-Strömung KW - Burgers-Gleichung KW - Korrekt gestelltes Problem KW - Existenz und Eindeutigkeit KW - Entropiebedingung KW - Well-posedness KW - Entropy admissibility condition Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-169009 ER - TY - THES A1 - Ruppert, Markus T1 - Wege der Analogiebildung - Eine qualitative Studie über den Prozess der Analogiebildung beim Lösen von Aufgaben T1 - Ways of Analogical Reasoning - A study of thought processes in example-based learning environments N2 - Über die besondere Bedeutung von Analogiebildungsprozessen beim Lernen im Allgemeinen und beim Lernen von Mathematik im Speziellen besteht ein breiter wissenschaftlicher Konsens. Es liegt deshalb nahe, von einem lernförderlichen Mathematikunterricht zu verlangen, dass er im Bewusstsein dieser Bedeutung entwickelt ist – dass er also einerseits Analogien aufzeigt und sich diese beim Lehren von Mathematik zunutze macht, dass er andererseits aber auch dem Lernenden Gelegenheiten bietet, Analogien zu erkennen und zu entwickeln. Kurz: Die Fähigkeit zum Bilden von Analogien soll durch den Unterricht gezielt gefördert werden. Um diesem Anspruch gerecht werden zu können, müssen ausreichende Kenntnisse darüber vorliegen, wie Analogiebildungsprozesse beim Lernen von Mathematik und beim Lösen mathematischer Aufgaben ablaufen, wodurch sich erfolgreiche Analogiebildungsprozesse auszeichnen und an welchen Stellen möglicherweise Schwierigkeiten bestehen. Der Autor zeigt auf, wie Prozesse der Analogiebildung beim Lösen mathematischer Aufgaben initiiert, beobachtet, beschrieben und interpretiert werden können, um auf dieser Grundlage Ansatzpunkte für geeignete Fördermaßnahmen zu identifizieren, bestehende Ideen zur Förderung der Analogiebildungsfähigkeit zu beurteilen und neue Ideen zu entwickeln. Es werden dabei Wege der Analogiebildung nachgezeichnet und untersucht, die auf der Verschränkung zweier Dimensionen der Analogiebildung im Rahmen des zugrundeliegenden theoretischen Modells beruhen. So können verschiedene Vorgehensweisen ebenso kontrastiert werden, wie kritische Punkte im Verlauf eines Analogiebildungsprozesses. Es ergeben sich daraus Unterrichtsvorschläge, die auf den Ideen zum beispielbasierten Lernen aufbauen. N2 - The epistemological relevance of analogical reasoning in learning and education in general is undoubted. Particularly in applying mathematical contents and techniques learning from examples is essential. Therefore mathematics lessons should provide opportunities to gain and improve competences in analogical reasoning. To meet these demands it is necessary to fathom the thought processes throughout analogical reasoning: How can succesful thought processes be characterized? At which point do misleading analogies fail? The author shows how thought processes of analogical reasoning can be initialized, observed, described and interpreted. Based on this theoretical background ways of analogical reasoning are retraced and analyzed in order to identify different approaches to analogies and critical phases of corresponding thought processes. Using these findings important features of appropriate learning environments are stated and existing concepts can be evaluated. KW - Analogie KW - Problemlösen KW - Analogiebildung KW - example based learning KW - Problemlösen KW - beispielsbasiertes Lernen Y1 - 2017 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-155910 N1 - Eine inhaltlich identische gedruckte Fassung der Arbeit ist unter gleichem Titel im WTM-Verlag erschienen. ER - TY - THES A1 - Lieb, Julia T1 - Counting Polynomial Matrices over Finite Fields : Matrices with Certain Primeness Properties and Applications to Linear Systems and Coding Theory BT - Matrices with Certain Primeness Properties and Applications to Linear Systems and Coding Theory N2 - This dissertation is dealing with three mathematical areas, namely polynomial matrices over finite fields, linear systems and coding theory. Coprimeness properties of polynomial matrices provide criteria for the reachability and observability of interconnected linear systems. Since time-discrete linear systems over finite fields and convolutional codes are basically the same objects, these results could be transfered to criteria for non-catastrophicity of convolutional codes. We calculate the probability that specially structured polynomial matrices are right prime. In particular, formulas for the number of pairwise coprime polynomials and for the number of mutually left coprime polynomial matrices are calculated. This leads to the probability that a parallel connected linear system is reachable and that a parallel connected convolutional codes is non-catastrophic. Moreover, the corresponding probabilities are calculated for other networks of linear systems and convolutional codes, such as series connection. Furthermore, the probabilities that a convolutional codes is MDP and that a clock code is MDS are approximated. Finally, we consider the probability of finding a solution for a linear network coding problem. N2 - Diese Dissertation beschäftigt sich mit drei Teilgebieten der Mathematik, nämlich Polynommatrizen über endlichen Körpern, linearen Systemen und Faltungscodes. Teilerfremdheitseigenschaften für Polynommatrizen stellen Kriterien für die Erreichbarkeit und Beoabachtbarkeit eines vernetzten linearen Systems zur Verfügung. Da zeit-diskrete lineare dynamische Systems und Faltungscodes im Prinzip diesselben Objekte darstellen, können diese Resultate in Kriterien dafür, dass ein Faltungscode nicht-katastrophal ist, übersetzt werden. Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit, dass Polynommatrizen von spezieller Struktur rechtsprim sind. Im Besonderen, werden Formeln für die Anzahl paarweise teilerfremder Polynome sowie für die Anzahl wechselweise links-teilerfremder Polynommatrizen berechnet. Dies führt zu der Wahrscheinlichkeit, dass eine Parallelschaltung linearer Systeme erreichbar ist und dass eine Parallelschaltung von Faltungscodes nicht-katastrophal ist. Zudem werden andere Netzwerke linearen Systeme und von Faltungscodes, wie z.B. Reihenschaltung betrachtet. Des weiteren werden die Wahrscheinlichkeiten, dass ein Faltungscode MDP und dass ein Blockcode MDS ist, approximiert. Schließlich, betrachten wir die Wahrscheinlichkeit, eine Lösung für ein lineares Netzwerk-Kodierungsproblem zu finden. KW - Lineares System KW - Faltungscode KW - Polynomial matrices KW - linear system KW - convolutional code KW - Matrizenpolynom KW - Matrixpolynom Y1 - 2017 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-151303 SN - 978-3-95826-064-1 (print) SN - 978-3-95826-065-8 (online) N1 - Parallel erschienen als Druckausgabe in Würzburg University Press, 978-3-95826-064-1, 24,90 EUR. PB - Würzburg University Press CY - Würzburg ET - 1. Auflage ER - TY - THES A1 - Steck, Daniel T1 - Lagrange Multiplier Methods for Constrained Optimization and Variational Problems in Banach Spaces T1 - Lagrange-Multiplier-Verfahren für Restringierte Optimierung und Variationsprobleme in Banach-Räumen N2 - This thesis is concerned with a class of general-purpose algorithms for constrained minimization problems, variational inequalities, and quasi-variational inequalities in Banach spaces. A substantial amount of background material from Banach space theory, convex analysis, variational analysis, and optimization theory is presented, including some results which are refinements of those existing in the literature. This basis is used to formulate an augmented Lagrangian algorithm with multiplier safeguarding for the solution of constrained optimization problems in Banach spaces. The method is analyzed in terms of local and global convergence, and many popular problem classes such as nonlinear programming, semidefinite programming, and function space optimization are shown to be included as special cases of the general setting. The algorithmic framework is then extended to variational and quasi-variational inequalities, which include, by extension, Nash and generalized Nash equilibrium problems. For these problem classes, the convergence is analyzed in detail. The thesis then presents a rich collection of application examples for all problem classes, including implementation details and numerical results. N2 - Die vorliegende Arbeit handelt von einer Klasse allgemein anwendbarer Verfahren zur Lösung restringierter Optimierungsprobleme, Variations- und Quasi-Variationsungleichungen in Banach-Räumen. Zur Vorbereitung wird eine erhebliche Menge an Grundmaterial präsentiert. Dies beinhaltet die Theorie von Banach-Räumen, konvexe und variationelle Analysis sowie Optimierungstheorie. Manche der angegebenen Resultate sind hierbei Verfeinerungen der entsprechenden Ergebnisse aus der Literatur. Im Anschluss wird ein Augmented-Lagrange-Verfahren für restingierte Optimierungsprobleme in Banach-Räumen präsentiert. Der Algorithmus wird hinsichtlich lokaler und globaler Konvergenz untersucht, und viele typische Problemklassen wie nichtlineare Programme, semidefinite Programme oder Optimierungsprobleme in Funktionenräumen werden als Spezialfälle aufgezeigt. Der Algorithmus wird dann auf Variations- und Quasi-Variationsungleichungen verallgemeinert, wodurch implizit auch (verallgemeinerte) Nash-Gleichgewichtsprobleme abgehandelt werden. Für diese Problemklassen werden eigene Konvergenzanalysen betrieben. Die Dissertation beinhaltet zudem eine umfangreiche Sammlung von Anwendungsbeispielen und zugehörigen numerischen Ergebnissen. KW - Optimierung KW - Nash-Gleichgewicht KW - Variationsungleichung KW - Banach-Raum KW - Quasi-Variational Inequality KW - Generalized Nash Equilibrium Problem KW - Quasi-Variationsungleichung KW - Verallgemeinertes Nash-Gleichgewichtsproblem Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-174444 ER - TY - THES A1 - Forster, Johannes T1 - Variational Approach to the Modeling and Analysis of Magnetoelastic Materials T1 - Variationeller Zugang zu Modellierung und Analysis Magnetoelastischer Materialien N2 - This doctoral thesis is concerned with the mathematical modeling of magnetoelastic materials and the analysis of PDE systems describing these materials and obtained from a variational approach. The purpose is to capture the behavior of elastic particles that are not only magnetic but exhibit a magnetic domain structure which is well described by the micromagnetic energy and the Landau-Lifshitz-Gilbert equation of the magnetization. The equation of motion for the material’s velocity is derived in a continuum mechanical setting from an energy ansatz. In the modeling process, the focus is on the interplay between Lagrangian and Eulerian coordinate systems to combine elasticity and magnetism in one model without the assumption of small deformations. The resulting general PDE system is simplified using special assumptions. Existence of weak solutions is proved for two variants of the PDE system, one including gradient flow dynamics on the magnetization, and the other featuring the Landau-Lifshitz-Gilbert equation. The proof is based on a Galerkin method and a fixed point argument. The analysis of the PDE system with the Landau-Lifshitz-Gilbert equation uses a more involved approach to obtain weak solutions based on G. Carbou and P. Fabrie 2001. N2 - Die vorliegende Doktorarbeit beschäftigt sich mit der mathematischen Modellierung magnetoelastischer Materialien und der Analysis von Systemen partieller Differentialgleichungen für diese Materialien. Die Herleitung der partiellen Differentialgleichungen erfolgt mittels eines variationellen Zugangs. Ziel ist es, das Verhalten elastischer Teilchen zu beschreiben, welche nicht nur magnetisch sind, sondern sich durch eine magnetische Domänenstruktur auszeichnen. Diese Struktur wird beschrieben durch die mikromagnetische Energie und die Landau-Lifshitz-Gilbert Gleichung der Magnetisierung. Die Bewegungsgleichung für die Geschwindigkeit des Materials ist in einem kontinuumsmechanischen Setting von einer Energiegleichung abgeleitet. In der Modellierung liegt der Fokus auf dem Zusammenspiel von Lagrange’schen und Euler’schen Koordinaten, um Elastizität und Magnetismus in einem Modell zu kombinieren. Dies geschieht ohne die Annahme kleiner Deformationen. Das resultierende allgemeine System partieller Differentialgleichungen wird durch spezielle Annahmen vereinfacht und es wird die Existenz von schwachen Lösungen gezeigt. Der Beweis wird für zwei Varianten des Differentialgleichungssystems geführt. Das erste System enthält die Beschreibung der Dynamik der Magnetisierung mittels Gradientenfluss, im zweiten wird die Dynamik mittels Landau-Lifshitz-Gilbert Gleichung beschrieben. Schlüsselidee des Beweises ist ein Galerkin-Ansatz, kombiniert mit einem Fixpunkt-Argument. Zum Beweis der Existenz schwacher Lösungen des Systems mit Landau-Lifshitz-Gilbert Gleichung wird eine aufwändigere Methode herangezogen, welche auf einer Arbeit von G. Carbou und P. Fabrie aus 2001 beruht. KW - Magnetoelastizität KW - Mikromagnetismus KW - Mathematische Modellierung KW - Galerkin-Methode KW - Differentialgleichungssystem KW - Partielle Differentialgleichungen KW - Existenz schwacher Lösungen KW - PDEs KW - Mathematical modeling KW - Calculus of variations Y1 - 2016 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-147226 ER - TY - JOUR A1 - Kasang, Christa A1 - Kalluvya, Samuel A1 - Majinge, Charles A1 - Kongola, Gilbert A1 - Mlewa, Mathias A1 - Massawe, Irene A1 - Kabyemera, Rogatus A1 - Magambo, Kinanga A1 - Ulmer, Albrecht A1 - Klinker, Hartwig A1 - Gschmack, Eva A1 - Horn, Anne A1 - Koutsilieri, Eleni A1 - Preiser, Wolfgang A1 - Hofmann, Daniela A1 - Hain, Johannes A1 - Müller, Andreas A1 - Dölken, Lars A1 - Weissbrich, Benedikt A1 - Rethwilm, Axel A1 - Stich, August A1 - Scheller, Carsten T1 - Effects of Prednisolone on Disease Progression in Antiretroviral-Untreated HIV Infection: A 2-Year Randomized, Double-Blind Placebo-Controlled Clinical Trial JF - PLoS One N2 - Background HIV-disease progression correlates with immune activation. Here we investigated whether corticosteroid treatment can attenuate HIV disease progression in antiretroviral-untreated patients. Methods Double-blind, placebo-controlled randomized clinical trial including 326 HIV-patients in a resource-limited setting in Tanzania (clinicaltrials.gov NCT01299948). Inclusion criteria were a CD4 count above 300 cells/μl, the absence of AIDS-defining symptoms and an ART-naïve therapy status. Study participants received 5 mg prednisolone per day or placebo for 2 years. Primary endpoint was time to progression to an AIDS-defining condition or to a CD4-count below 200 cells/μl. Results No significant change in progression towards the primary endpoint was observed in the intent-to-treat (ITT) analysis (19 cases with prednisolone versus 28 cases with placebo, p = 0.1407). In a per-protocol (PP)-analysis, 13 versus 24 study participants progressed to the primary study endpoint (p = 0.0741). Secondary endpoints: Prednisolone-treatment decreased immune activation (sCD14, suPAR, CD38/HLA-DR/CD8+) and increased CD4-counts (+77.42 ± 5.70 cells/μl compared to -37.42 ± 10.77 cells/μl under placebo, p < 0.0001). Treatment with prednisolone was associated with a 3.2-fold increase in HIV viral load (p < 0.0001). In a post-hoc analysis stratifying for sex, females treated with prednisolone progressed significantly slower to the primary study endpoint than females treated with placebo (ITT-analysis: 11 versus 21 cases, p = 0.0567; PP-analysis: 5 versus 18 cases, p = 0.0051): No changes in disease progression were observed in men. Conclusions This study could not detect any significant effects of prednisolone on disease progression in antiretroviral-untreated HIV infection within the intent-to-treat population. However, significant effects were observed on CD4 counts, immune activation and HIV viral load. This study contributes to a better understanding of the role of immune activation in the pathogenesis of HIV infection. KW - HIV KW - immune activation KW - viral load KW - drug adherence KW - viral replication KW - AIDS KW - HIV infections KW - highly-active antiretroviral therapy Y1 - 2016 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-146479 VL - 11 IS - 1 ER - TY - THES A1 - Koch, Julia Diana T1 - Value Ranges for Schlicht Functions T1 - Wertemengen schlichter Funktionen N2 - This thesis deals with value sets, i.e. the question of what the set of values that a set of functions can take in a prescribed point looks like. Interest in such problems has been around for a long time; a first answer was given by the Schwarz lemma in the 19th century, and soon various refinements were proven. Since the 1930s, a powerful method for solving such problems has been developed, namely Loewner theory. We make extensive use of this tool, as well as variation methods which go back to Schiffer to examine the following questions: We describe the set of values a schlicht normalised function on the unit disc with prescribed derivative at the origin can take by applying Pontryagin's maximum principle to the radial Loewner equation. We then determine the value ranges for the set of holomorphic, normalised, and bounded functions that have only real coefficients in their power series expansion around 0, and for the smaller set of functions which are additionally typically real. Furthermore, we describe the values a univalent self-mapping of the upper half-plane with hydrodynamical normalization which is symmetric with respect to the imaginary axis can take. Lastly, we give a necessary condition for a schlicht bounded function f on the unit disc to have extremal derivative in a point z where its value f(z) is fixed by using variation methods. N2 - Die vorliegende Dissertation beschäftigt sich mit Wertemengen, d.h. der Frage, welche Werte eine Menge von Funktionen in einem vorgegeben Punkt annehmen kann. Probleme dieser Art werden schon seit Langem behandelt; eine erste Antwort in Form des Lemmas von Schwarz wurde bereits im 19. Jahrhundert gegeben, und viele Verfeinerungen folgten. Seit den 30er Jahren des 20. Jahrhunderts steht ein mächtiges Instrument zur Lösung solcher Probleme in Form der Löwner-Theorie zur Verfügung. Wir benutzen diese sowie Variationsmethoden, die auf Schiffer-Variation zurückgehen, um die folgenden Fragestellungen zu klären: Wir beschreiben die Menge der Werte, die eine schlichte normalisierte Funktion mit fixierter Ableitung im Ursprung annehmen kann, durch Anwendung des Pontryagin-Maximumprinzip auf die radiale Löwner-Gleichung. Als Nächstes bestimmen wir die Wertemengen für holomorphe normalisierte beschränkte Funktionen, deren Taylor-Entwicklung um 0 nur reelle Koeffizienten hat, und für die kleinere Menge von Funktionen, die zusätzlich typisch reell sind. Außerdem beschreiben wir den Wertebereich schlichter Selbstabbildungen der oberen Halbebene mit hydrodynamischer Normalisierung, die symmetrisch bezüglich der imaginären Achse sind. Zuletzt geben wir mit Hilfe von Variationsmethoden eine notwenige Bedingung für schlichte beschränkte Funktionen auf dem Einheitskreis an, deren Ableitung in einem Punkt mit vorgegebenem Funktionswert extremal ist. KW - Value ranges KW - radial Loewner equation KW - chordal Loewner equation KW - Pontryagins's maximum principle KW - univalent functions KW - typically real functions KW - Pontrjagin-Maximumprinzip KW - Schlichte Funktion KW - Funktionentheorie Y1 - 2016 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-144978 ER - TY - JOUR A1 - Schindele, Andreas A1 - Borzì, Alfio T1 - Proximal Methods for Elliptic Optimal Control Problems with Sparsity Cost Functional JF - Applied Mathematics N2 - First-order proximal methods that solve linear and bilinear elliptic optimal control problems with a sparsity cost functional are discussed. In particular, fast convergence of these methods is proved. For benchmarking purposes, inexact proximal schemes are compared to an inexact semismooth Newton method. Results of numerical experiments are presented to demonstrate the computational effectiveness of proximal schemes applied to infinite-dimensional elliptic optimal control problems and to validate the theoretical estimates. KW - semismooth Newton method KW - optimal control KW - elliptic PDE KW - nonsmooth optimization KW - proximal method Y1 - 2016 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-145850 VL - 7 IS - 9 ER - TY - THES A1 - Gallego Valencia, Juan Pablo T1 - On Runge-Kutta discontinuous Galerkin methods for compressible Euler equations and the ideal magneto-hydrodynamical model T1 - Runge-Kutta Discontinuous-Galerkin Verfahren für die kompressiblen Euler Gleichungen und das ideale magnetohydrodynamische Modell N2 - An explicit Runge-Kutta discontinuous Galerkin (RKDG) method is used to device numerical schemes for both the compressible Euler equations of gas dynamics and the ideal magneto- hydrodynamical (MHD) model. These systems of conservation laws are known to have discontinuous solutions. Discontinuities are the source of spurious oscillations in the solution profile of the numerical approximation, when a high order accurate numerical method is used. Different techniques are reviewed in order to control spurious oscillations. A shock detection technique is shown to be useful in order to determine the regions where the spurious oscillations appear such that a Limiter can be used to eliminate these numeric artifacts. To guarantee the positivity of specific variables like the density and the pressure, a positivity preserving limiter is used. Furthermore, a numerical flux, proven to preserve the entropy stability of the semi-discrete DG scheme for the MHD system is used. Finally, the numerical schemes are implemented using the deal.II C++ libraries in the dflo code. The solution of common test cases show the capability of the method. N2 - Ein explizite Runge-Kutta discontinous Galerkin (RKDG) Verfahren wird angewendet, um numerische Diskretisierungen, sowohl für die kompressiblen Eulergleichungen der Gasdynamik, als auch für die idealen Magnetohydrodynamik (MHD) Gleichungen zu entwickeln. Es ist bekannt, dass diese System von Erhaltungsgleichungen unstetige Lösungen besitzen. Unstetigkeiten sind die Quelle von störenden Oszillationen im Lösungsprofil der numerischen Näherung, wenn ein numerisches Verfahren von hoher Ordnung verwendet wird. Verschiedene Techniken werden miteinander verglichen um störende Oszillationen zu kontrollieren, die bei der Approximation von Unstetigkeiten in der Lösung auftreten. Ein Verfahren zur Lokalisierung von Schockwellen wird vorgestellt und es wird gezeigt, dass dieses Verfahren nützlich ist um Regionen, in denen störende Oszillationen auftreten, zu bestimmen, so dass ein Limiter verwendet werden kann um diese numerischen Artefakte zu eliminieren. Um die Positivität spezieller Variablen, wie die Dichte und den Druck, zu bewahren, wird ein spezieller „positivitätserhaltender“ Limiter verwendet. Des Weiteren wird ein numerischer Fluss, für den bewiesenermaßen das semi-diskrete DG Verfahren für das MHD System Entropie-Stabil ist, verwendet. Abschließend werden die numerischen Verfahren unter Verwendung der deal.II C++ Bibliotheken im dflo code implementiert. Simulationen bekannter Testbeispiele zeigen das Potential dieses numerischen Verfahrens. KW - explicit discontinuous Galerkin KW - conservation laws KW - numerical methods KW - Euler equations KW - MHD KW - Eulersche Differentialgleichung KW - Galerkin-Methode KW - Numerisches Verfahren Y1 - 2017 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-148874 ER - TY - INPR A1 - Breitenbach, Tim A1 - Borzì, Alfio T1 - On the SQH scheme to solve non-smooth PDE optimal control problems T2 - Numerical Functional Analysis and Optimization N2 - A sequential quadratic Hamiltonian (SQH) scheme for solving different classes of non-smooth and non-convex PDE optimal control problems is investigated considering seven different benchmark problems with increasing difficulty. These problems include linear and nonlinear PDEs with linear and bilinear control mechanisms, non-convex and discontinuous costs of the controls, L\(^1\) tracking terms, and the case of state constraints. The SQH method is based on the characterisation of optimality of PDE optimal control problems by the Pontryagin's maximum principle (PMP). For each problem, a theoretical discussion of the PMP optimality condition is given and results of numerical experiments are presented that demonstrate the large range of applicability of the SQH scheme. KW - SQH method KW - non-smooth optimization KW - Pontryagin maximum principle KW - nonconvex optimization Y1 - 2019 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-180936 N1 - This is an Accepted Manuscript of an article published by Taylor & Francis in Numerical Functional Analysis and Optimization on 27.04.2019, available online: http://www.tandfonline.com/10.1080/01630563.2019.1599911. ER - TY - JOUR A1 - Gaviraghi, Beatrice A1 - Schindele, Andreas A1 - Annunziato, Mario A1 - Borzì, Alfio T1 - On Optimal Sparse-Control Problems Governed by Jump-Diffusion Processes JF - Applied Mathematics N2 - A framework for the optimal sparse-control of the probability density function of a jump-diffusion process is presented. This framework is based on the partial integro-differential Fokker-Planck (FP) equation that governs the time evolution of the probability density function of this process. In the stochastic process and, correspondingly, in the FP model the control function enters as a time-dependent coefficient. The objectives of the control are to minimize a discrete-in-time, resp. continuous-in-time, tracking functionals and its L2- and L1-costs, where the latter is considered to promote control sparsity. An efficient proximal scheme for solving these optimal control problems is considered. Results of numerical experiments are presented to validate the theoretical results and the computational effectiveness of the proposed control framework. KW - jump-diffusion processes KW - partial integro-differential Fokker-Planck Equation KW - optimal control theory KW - nonsmooth optimization KW - proximal methods Y1 - 2016 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-147819 VL - 7 IS - 16 SP - 1978 EP - 2004 ER - TY - THES A1 - Sapozhnikova, Kateryna T1 - Robust Stability of Differential Equations with Maximum T1 - Robuste Stabilität von Differenzialgleichungen mit Maximum N2 - In this thesis stability and robustness properties of systems of functional differential equations which dynamics depends on the maximum of a solution over a prehistory time interval is studied. Max-operator is analyzed and it is proved that due to its presence such kind of systems are particular case of state dependent delay differential equations with piecewise continuous delay function. They are nonlinear, infinite-dimensional and may reduce to one-dimensional along its solution. Stability analysis with respect to input is accomplished by trajectory estimate and via averaging method. Numerical method is proposed. N2 - In dieser These werden die Eigenschaften der Stabilität und Robustheit von Systemen funktioneller Differentialgleichungen untersucht, deren Dynamik von einem Maximum in der Lösung eines vergangenen Zeitintervalls abhängt. Der Max-Operator wird analysiert und durch seine Anwesenheit ist bewiesen, dass diese Art von Systemen einen spezifischen Fall von zustandsabhängigen Verzögerungsdifferenzialgleichungen mit stückweiser, kontinuierlicher Verzögerungsfunktion darstellen. Sie sind nicht-linear, unendlich dimensional und entlang ihrer Lösung können sie eindimensional werden. Die Stabilitätsanalyse, unter Berücksichtigung der Eingabe, wird sowohl durch eine Richtungsschätzung, als auch mittels der Durchschnittsmethode durchgeführt. Eine numerische Methode wird vorgeschlagen. KW - Functional differential equations KW - Nonlinear systems KW - Stability KW - Differentialgleichung KW - Nichtlineares System KW - Stabilität Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-173945 ER - TY - THES A1 - Gaviraghi, Beatrice T1 - Theoretical and numerical analysis of Fokker-Planck optimal control problems for jump-diffusion processes T1 - Theoretische und numerische Analyse von Fokker-Planck Optimalsteuerungsproblemen von Sprung-Diffusions-Prozessen N2 - The topic of this thesis is the theoretical and numerical analysis of optimal control problems, whose differential constraints are given by Fokker-Planck models related to jump-diffusion processes. We tackle the issue of controlling a stochastic process by formulating a deterministic optimization problem. The key idea of our approach is to focus on the probability density function of the process, whose time evolution is modeled by the Fokker-Planck equation. Our control framework is advantageous since it allows to model the action of the control over the entire range of the process, whose statistics are characterized by the shape of its probability density function. We first investigate jump-diffusion processes, illustrating their main properties. We define stochastic initial-value problems and present results on the existence and uniqueness of their solutions. We then discuss how numerical solutions of stochastic problems are computed, focusing on the Euler-Maruyama method. We put our attention to jump-diffusion models with time- and space-dependent coefficients and jumps given by a compound Poisson process. We derive the related Fokker-Planck equations, which take the form of partial integro-differential equations. Their differential term is governed by a parabolic operator, while the nonlocal integral operator is due to the presence of the jumps. The derivation is carried out in two cases. On the one hand, we consider a process with unbounded range. On the other hand, we confine the dynamic of the sample paths to a bounded domain, and thus the behavior of the process in proximity of the boundaries has to be specified. Throughout this thesis, we set the barriers of the domain to be reflecting. The Fokker-Planck equation, endowed with initial and boundary conditions, gives rise to Fokker-Planck problems. Their solvability is discussed in suitable functional spaces. The properties of their solutions are examined, namely their regularity, positivity and probability mass conservation. Since closed-form solutions to Fokker-Planck problems are usually not available, one has to resort to numerical methods. The first main achievement of this thesis is the definition and analysis of conservative and positive-preserving numerical methods for Fokker-Planck problems. Our SIMEX1 and SIMEX2 (Splitting-Implicit-Explicit) schemes are defined within the framework given by the method of lines. The differential operator is discretized by a finite volume scheme given by the Chang-Cooper method, while the integral operator is approximated by a mid-point rule. This leads to a large system of ordinary differential equations, that we approximate with the Strang-Marchuk splitting method. This technique decomposes the original problem in a sequence of different subproblems with simpler structure, which are separately solved and linked to each other through initial conditions and final solutions. After performing the splitting step, we carry out the time integration with first- and second-order time-differencing methods. These steps give rise to the SIMEX1 and SIMEX2 methods, respectively. A full convergence and stability analysis of our schemes is included. Moreover, we are able to prove that the positivity and the mass conservation of the solution to Fokker-Planck problems are satisfied at the discrete level by the numerical solutions computed with the SIMEX schemes. The second main achievement of this thesis is the theoretical analysis and the numerical solution of optimal control problems governed by Fokker-Planck models. The field of optimal control deals with finding control functions in such a way that given cost functionals are minimized. Our framework aims at the minimization of the difference between a known sequence of values and the first moment of a jump-diffusion process; therefore, this formulation can also be considered as a parameter estimation problem for stochastic processes. Two cases are discussed, in which the form of the cost functional is continuous-in-time and discrete-in-time, respectively. The control variable enters the state equation as a coefficient of the Fokker-Planck partial integro-differential operator. We also include in the cost functional a $L^1$-penalization term, which enhances the sparsity of the solution. Therefore, the resulting optimization problem is nonconvex and nonsmooth. We derive the first-order optimality systems satisfied by the optimal solution. The computation of the optimal solution is carried out by means of proximal iterative schemes in an infinite-dimensional framework. N2 - Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der theoretischen und numerischen Analyse von Optimalsteuerungsproblemen, deren Nebenbedingungen die Fokker-Planck-Gleichungen von Sprung-Diffusions-Prozessen sind. Unsere Strategie baut auf der Formulierung eines deterministischen Problems auf, um einen stochastischen Prozess zu steuern. Der Ausgangspunkt ist, die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion des Prozesses zu betrachten, deren zeitliche Entwicklung durch die Fokker-Planck-Gleichung modelliert wird. Dieser Ansatz ist vorteilhaft, da er es ermöglicht, den gesamten Bereich des Prozesses durch die Wirkung der Steuerung zu beeinflussen. Zuerst beschäftigen wir uns mit Sprung-Diffusions-Prozessen. Wir definieren Ausgangswertprobleme, die durch stochastische Differentialgleichungen beschrieben werden, und präsentieren Ergebnisse zur Existenz und Eindeutigkeit ihrer Lösungen. Danach diskutieren wir, wie numerische Lösungen stochastischer Probleme berechnet werden, wobei wir uns auf die Euler-Maruyama-Methode konzentrieren. Wir wenden unsere Aufmerksamkeit auf Sprung-Diffusions-Modelle mit zeit- und raumabhängigen Koeffizienten und Sprüngen, die durch einen zusammengesetzten Poisson-Prozess modelliert sind. Wir leiten die zugehörigen Fokker-Planck-Glei-chungen her, die die Form von partiellen Integro-Differentialgleichungen haben. Ihr Differentialterm wird durch einen parabolischen Operator beschrieben, während der nichtlokale Integraloperator Spr\"{u}nge modelliert. Die Ableitung wird auf zwei unterschiedlichen Arten ausgef\"{u}hrt, je nachdem, ob wir einen Prozess mit unbegrenztem oder beschränktem Bereich betrachten. In dem zweiten Fall muss das Verhalten des Prozesses in der Nähe der Grenzen spezifiziert werden; in dieser Arbeit setzen wir reflektierende Grenzen. Die Fokker-Planck-Gleichung, zusammen mit einem Anfangswert und geeigneten Randbedingungen, erzeugt das Fokker-Planck-Problem. Die Lösbarkeit dieses Pro-blems in geeigneten Funktionenräumen und die Eigenschaften dessen Lösung werden diskutiert, nämlich die Positivität und die Wahrscheinlichkeitsmassenerhaltung. Da analytische Lösungen von Fokker-Planck-Problemen oft nicht verfügbar sind, m\"{u}ssen numerische Methoden verwendet werden. Die erste bemerkenswerte Leistung dieser Arbeit ist die Definition und Analyse von konservativen numerischen Verfahren, die Fokker-Planck-Probleme lösen. Unsere SIMEX1 und SIMEX2 (Splitting-Implizit-Explizit) Schemen basieren auf der Linienmethode. Der Differentialoperator wird durch das Finite-Volumen-Schema von Chang und Cooper diskretisiert, während der Integraloperator durch eine Mittelpunktregel angenähert wird. Dies führt zu einem großen System von gewöhnlichen Differentialgleichungen, das mit der Strang-Marchuk-Splitting-Methode gelöst wird. Diese Technik teilt das ursprüngliche Problem in eine Folge verschiedener Teilprobleme mit einer einfachen Struktur, die getrennt gelöst werden und danach durch deren Anfangswerte miteinander verbunden werden. Dank der Splitting-Methode kann jedes Teilproblem implizit oder explizit gelöst werden. Schließlich wird die numerische Integration des Anfangswertsproblems mit zwei Verfahren durchgeführt, n\"{a}mlich dem Euler-Verfahren und dem Predictor-Corrector-Verfahren. Eine umfassende Konvergenz- und Stabilitätsanalyse unserer Systeme ist enthalten. Darüber hinaus können wir beweisen, dass die Positivität und die Massenerhaltung der Lösung von Fokker-Planck-Problemen auf diskreter Ebene durch die numerischen Lösungen erfüllt werden, die mit den SIMEX-Schemen berechnet wurden. Die zweite bemerkenswerte Leistung dieser Arbeit ist die theoretische Analyse und die numerische Behandlung von Optimalsteuerungsproblemen, deren Nebenbedingungen die Fokker-Planck-Probleme von Sprung-Diffusions-Prozessen sind. Der Bereich der optimalen Steuerung befasst sich mit der Suche nach einer optimalen Funktion, die eine gegebene Zielfunktion minimiert. Wir zielen auf die Minimierung des Unterschieds zwischen einer bekannten Folge von Werten und dem ersten Moment eines Sprung-Diffusions-Prozesses. Auf diese Weise kann unsere Formulierung auch als ein Parameterschätzungsproblem für stochastische Prozesse angesehen werden. Zwei Fälle sind erläutert, in denen die Zielfunktion zeitstetig beziehungsweise zeitdiskret ist. Da die Steuerung ein Koeffizient des Integro-Differentialoperators der Zustandsglei-chung ist und die Zielfunktion einen $ L^1 $-Term beinhaltet, der die dünne Besetzung der Lösung erhöht, ist das Optimierungsproblem nichtkonvex und nichtglatt. Die von der optimalen L\"{o}sung erf\"{u}llten notwendigen Bedingungen werden hergeleitet, die man mit einem System beschreiben kann. Die Berechnung optimaler Lösungen wird mithilfe von Proximal-Methoden durchgeführt, die entsprechend um den unendlichdimensionalen Fall erweitert wurden. KW - Numerical analysis KW - Fokker-Planck KW - optimal control problems KW - jump-diffusion processes KW - Fokker-Planck-Gleichung KW - Optimale Kontrolle Y1 - 2017 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-145645 ER - TY - THES A1 - Tichy, Diana T1 - On the Fragility Index T1 - Über den Fragilitätsindex N2 - The Fragility Index captures the amount of risk in a stochastic system of arbitrary dimension. Its main mathematical tool is the asymptotic distribution of exceedance counts within the system which can be derived by use of multivariate extreme value theory. Thereby the basic assumption is that data comes from a distribution which lies in the domain of attraction of a multivariate extreme value distribution. The Fragility Index itself and its extension can serve as a quantitative measure for tail dependence in arbitrary dimensions. It is linked to the well known extremal index for stochastic processes as well the extremal coefficient of an extreme value distribution. N2 - Der Fragilitätsindex erfasst das Risiko des Zusammenbruchs eines stochastischen Systems beliebiger Dimension. Wesentlicher Baustein dieser mathematischen Größe ist dabei die asymptotische Verteilung der Überschreitungsanzahl innerhalb des stochastischen Systems. Die Herleitung basiert auf wesentlichen Erkenntnissen aus der multivariaten Extremwerttheorie. Die Hauptannahme besteht darin, dass Realisationen einer Zufallsgröße von einer Verteilung erzeugt werden, welche im Anziehungsbereich einer multivariaten Extremwertverteilung liegt. Der Fragilitätsindex und seine Erweiterung stellen ein quantitatives Maß beliebiger Dimension für Abhängigkeiten zwischen extremen Ereignissen dar. Er steht dabei in direkter Verbindung zum Extremalindex für stochastische Prozesse und zum Extremalkoeffizienten für Extremwertverteilungen. KW - Extremwertstatistik KW - Stochastisches System KW - Fragilitätsindex KW - Extremwerttheorie KW - Abhängigkeitsmaß KW - Überschreitungsanzahl KW - Fragility Index KW - tail dependence KW - extreme value theory KW - exceedance counts KW - extremal coefficient Y1 - 2011 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-73610 ER - TY - THES A1 - Hofmann, Martin T1 - Contributions to Extreme Value Theory in the Space C[0,1] T1 - Beiträge zur Extremwerttheorie im Raum C[0,1] N2 - We introduce some mathematical framework for extreme value theory in the space of continuous functions on compact intervals and provide basic definitions and tools. Continuous max-stable processes on [0,1] are characterized by their “distribution functions” G which can be represented via a norm on function space, called D-norm. The high conformity of this setup with the multivariate case leads to the introduction of a functional domain of attraction approach for stochastic processes, which is more general than the usual one based on weak convergence. We also introduce the concept of “sojourn time transformation” and compare several types of convergence on function space. Again in complete accordance with the uni- or multivariate case it is now possible to get functional generalized Pareto distributions (GPD) W via W = 1 + log(G) in the upper tail. In particular, this enables us to derive characterizations of the functional domain of attraction condition for copula processes. Moreover, we investigate the sojourn time above a high threshold of a continuous stochastic process. It turns out that the limit, as the threshold increases, of the expected sojourn time given that it is positive, exists if the copula process corresponding to Y is in the functional domain of attraction of a max-stable process. If the process is in a certain neighborhood of a generalized Pareto process, then we can replace the constant threshold by a general threshold function and we can compute the asymptotic sojourn time distribution. N2 - Es wird ein Zugang zur Extremwerttheorie auf dem Raum C[0,1] gegeben. Nach Charakterisierung und Analyse standard max-stabiler Prozesse, wird ein "funktionaler Anziehungsbereich" für standard max-stabile Prozesse vorgeschlagen, der allgemeiner ist als der übliche, der mittels schwacher Konvergenz definiert wird. Schließlich werden Verweildauern stetiger Prozesse über hohen Schwellenwerten betrachtet. KW - Extremwertstatistik KW - stochastischer Prozess KW - Extremwerttheorie KW - extreme value theory KW - stochastic processes KW - functional D-norm Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-74405 ER - TY - RPRT A1 - Englert, Stefan T1 - Mathematica in 15 Minuten (Mathematica Version 6.0) N2 - Mathematica ist ein hervorragendes Programm um mathematische Berechnungen – auch sehr komplexe – auf relativ einfache Art und Weise durchführen zu lassen. Dieses Skript soll eine wirklich kurze Einführung in Mathematica geben und als Nachschlagewerk einiger gängiger Anwendungen von Mathematica dienen. Dabei wird folgende Grobgliederung verwendet: - Grundlagen: Graphische Oberfläche, einfache Berechnungen, Formeleingabe - Bedienung: Vorstellung einiger Kommandos und Einblick in die Funktionsweise - Praxis: Beispielhafte Berechnung einiger Abitur- und Übungsaufgaben KW - Anwendungssoftware KW - Angewandte Mathematik KW - Lineare Algebra KW - Analysis KW - Mathematica Y1 - 2009 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-70275 N1 - Vor-Version des Titels Mathematica in 15 Minuten (Mathematica Version 8.0) http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bvb:20-opus-70287 ER - TY - RPRT A1 - Englert, Stefan T1 - Mathematica in 15 Minuten (Mathematica Version 8.0) N2 - Mathematica ist ein hervorragendes Programm um mathematische Berechnungen – auch sehr komplexe – auf relativ einfache Art und Weise durchführen zu lassen. Dieses Skript soll eine wirklich kurze Einführung in Mathematica geben und als Nachschlagewerk einiger gängiger Anwendungen von Mathematica dienen. Dabei wird folgende Grobgliederung verwendet: - Grundlagen: Graphische Oberfläche, einfache Berechnungen, Formeleingabe - Bedienung: Vorstellung einiger Kommandos und Einblick in die Funktionsweise - Praxis: Beispielhafte Berechnung einiger Abitur- und Übungsaufgaben KW - Anwendungssoftware KW - Angewandte Mathematik KW - Lineare Algebra KW - Analysis KW - Mathematica Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-70287 N1 - aktualisierte Version des Titels Mathematica in 15 Minuten (Mathematica Version 6.0) urn:nbn:de:bvb:20-opus-70275 ER - TY - THES A1 - Dreves, Axel T1 - Globally Convergent Algorithms for the Solution of Generalized Nash Equilibrium Problems T1 - Global konvergente Algorithmen zur Lösung von verallgemeinerten Nash-Gleichgewichtsproblemen N2 - Es werden verschiedene Verfahren zur Lösung verallgemeinerter Nash-Gleichgewichtsprobleme mit dem Schwerpunkt auf deren globaler Konvergenz entwickelt. Ein globalisiertes Newton-Verfahren zur Berechnung normalisierter Lösungen, ein nichtglattes Optimierungsverfahren basierend auf einer unrestringierten Umformulierung des spieltheoretischen Problems, und ein Minimierungsansatz sowei eine Innere-Punkte-Methode zur Lösung der gemeinsamen Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen der Spieler werden theoretisch untersucht und numerisch getestet. Insbesondere das Innere-Punkte Verfahren erweist sich als das zur Zeit wohl beste Verfahren zur Lösung verallgemeinerter Nash-Gleichgewichtsprobleme. N2 - In this thesis different algorithms for the solution of generalized Nash equilibrium problems with the focus on global convergence properties are developed. A globalized Newton method for the computation of normalized solutions, a nonsmooth algorithm based on an optimization reformulation of the game-theoretic problem, and a merit function approach and an interior point method for the solution of the concatenated Karush-Kuhn-Tucker-system are analyzed theoretically and numerically. The interior point method turns out to be one of the best existing methods for the solution of generalized Nash equilibrium problems. KW - Nash-Gleichgewicht KW - Nichtglatte Optimierung KW - Innere-Punkte-Methode KW - Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen KW - Spieltheorie KW - Generalized Nash Equilibrium Y1 - 2011 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-69822 ER - TY - THES A1 - Mauder, Markus T1 - Time-Optimal Control of the Bi-Steerable Robot: A Case Study in Optimal Control of Nonholonomic Systems T1 - Zeitoptimale Steuerung des zweiachsgelenkten Roboters: Eine Fallstudie zur optimalen Steuerung nichtholonomer Systeme N2 - In this thesis, time-optimal control of the bi-steerable robot is addressed. The bi-steerable robot, a vehicle with two independently steerable axles, is a complex nonholonomic system with applications in many areas of land-based robotics. Motion planning and optimal control are challenging tasks for this system, since standard control schemes do not apply. The model of the bi-steerable robot considered here is a reduced kinematic model with the driving velocity and the steering angles of the front and rear axle as inputs. The steering angles of the two axles can be set independently from each other. The reduced kinematic model is a control system with affine and non-affine inputs, as the driving velocity enters the system linearly, whereas the steering angles enter nonlinearly. In this work, a new approach to solve the time-optimal control problem for the bi-steerable robot is presented. In contrast to most standard methods for time-optimal control, our approach does not exclusively rely on discretization and purely numerical methods. Instead, the Pontryagin Maximum Principle is used to characterize candidates for time-optimal solutions. The resultant boundary value problem is solved by optimization to obtain solutions to the path planning problem over a given time horizon. The time horizon is decreased and the path planning is iterated to approximate a time-optimal solution. An optimality condition is introduced which depends on the number of cusps, i.e., reversals of the driving direction of the robot. This optimality condition allows to single out non-optimal solutions with too many cusps. In general, our approach only gives approximations of time-optimal solutions, since only normal regular extremals are considered as solutions to the path planning problem, and the path planning is terminated when an extremal with minimal number of cusps is found. However, for most desired configurations, normal regular extremals with the minimal number of cusps provide time-optimal solutions for the bi-steerable robot. The convergence of the approach is analyzed and its probabilistic completeness is shown. Moreover, simulation results on time-optimal solutions for the bi-steerable robot are presented. N2 - In dieser Dissertation wird die zeitoptimale Steuerung des zweiachsgelenkten Roboters behandelt. Der zweiachsgelenkte Roboter, ein Fahrzeug mit zwei voneinander unabhängig lenkbaren Achsen, ist ein komplexes nichtholonomes System mit Anwendungen in vielen Bereichen der Land-Robotik. Bahnplanung und optimale Steuerung sind anspruchsvolle Aufgaben für dieses System, da Standardverfahren hierfür nicht anwendbar sind. Das hier betrachtete Modell des zweiachsgelenkten Roboters ist ein reduziertes kinematisches Modell mit der Fahrgeschwindigkeit und den Lenkwinkeln als Eingangsgrößen. Die Lenkwinkel der beiden Achsen können unabhängig voneinander vorgegeben werden. Das reduzierte kinematische Modell ist ein Kontrollsystem mit affinen und nichtaffinen Eingängen, da die Fahrgeschwindigkeit linear in das System eingeht, während die Lenkwinkel nichtlineare Eingangsgrößen sind. In dieser Arbeit wird ein neuer Ansatz zur Lösung des zeitoptimalen Steuerungsproblems für den zweiachsgelenkten Roboter vorgestellt. Im Gegensatz zu den meisten Standardmethoden für die zeitoptimale Steuerung basiert unser Ansatz nicht ausschließlich auf Diskretisierung und rein numerischen Verfahren. Stattdessen wird das Pontryagin Maximum Prinzip angewendet, um Kandidaten für zeitoptimale Lösungen zu charakterisieren. Das sich dabei ergebende Randwertproblem wird durch Optimierung gelöst, um Lösungen für das Bahnplanungsproblem über einem bestimmten Zeithorizont zu erhalten. Die Bahnplanung wird über einem abnehmenden Zeithorizont iteriert, um eine zeitoptimale Lösung zu approximieren. Eine Optimalitätsbedingung wird eingeführt, die von der Anzahl der Richtungsumkehrungen des Roboters abhängt. Diese Optimalitätsbedingung erlaubt es, nichtoptimale Lösungen mit zu vielen Richtungsumkehrungen auszusondern. Im Allgemeinen liefert unser Ansatz nur Approximationen zeitoptimaler Lösungen, da nur normale reguläre Extremalen als Lösungen für das Bahnplanungsproblem betrachtet werden und die Bahnplanung beendet wird, sobald eine Extremale mit der minimalen Anzahl von Richtungsumkehrungen gefunden wurde. Allerdings ergeben normale reguläre Extremalen mit der minimalen Anzahl von Richtungsumkehrungen für die meisten Zielkonfigurationen des zweiachsgelenkten Roboters zeitoptimale Lösungen. Die Konvergenz des Ansatzes wird untersucht und seine probabilistische Vollständigkeit wird bewiesen. Des Weiteren werden Simulationsergebnisse für zeitoptimale Lösungen des zweiachsgelenkten Roboters präsentiert. KW - Mobiler Roboter KW - Optimale Kontrolle KW - Zeitoptimale Regelung KW - zweiachsgelenkter Roboter KW - nichtholonomes System KW - zeitoptimale Steuerung KW - Pontryagin Maximum Prinzip KW - Nichtlineare Kontrolltheorie KW - Steuerbarkeit KW - bi-steerable robot KW - nonholonomic system KW - time-optimal control KW - Pontryagin Maximum Principle Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-75036 ER - TY - THES A1 - Akindeinde, Saheed Ojo T1 - Numerical Verification of Optimality Conditions in Optimal Control Problems T1 - Numerischen Verifizierung von Optimalitätsbedingungen für Optimalsteurungsprobleme N2 - This thesis is devoted to numerical verification of optimality conditions for non-convex optimal control problems. In the first part, we are concerned with a-posteriori verification of sufficient optimality conditions. It is a common knowledge that verification of such conditions for general non-convex PDE-constrained optimization problems is very challenging. We propose a method to verify second-order sufficient conditions for a general class of optimal control problem. If the proposed verification method confirms the fulfillment of the sufficient condition then a-posteriori error estimates can be computed. A special ingredient of our method is an error analysis for the Hessian of the underlying optimization problem. We derive conditions under which positive definiteness of the Hessian of the discrete problem implies positive definiteness of the Hessian of the continuous problem. The results are complemented with numerical experiments. In the second part, we investigate adaptive methods for optimal control problems with finitely many control parameters. We analyze a-posteriori error estimates based on verification of second-order sufficient optimality conditions using the method developed in the first part. Reliability and efficiency of the error estimator are shown. We illustrate through numerical experiments, the use of the estimator in guiding adaptive mesh refinement. N2 - Diese Arbeit widmet sich der numerischen Verifizierung von Optimalitaetsbedingungen fuer nicht konvexe Optimalsteuerungsprobleme. Im ersten Teil beschaeftigen wir uns mit der a-posteriori Ueberpruefung von hinreichenden Optimalitaetskriterien. Es ist bekannt, dass der Nachweis solcher Bedingungen fuer allgemeine nicht konvexe Optimierungsproblemem mit Nebenbedingungen in Form von partiellen Differentialgleichungen sehr schwierig ist. Wir stellen eine Methode vor, um die hinreichenden Bedingungen zweiter Ordnung fuer eine allgemeine Problemklasse zu testen. Falls die vorgeschlagene Strategie bestaetigt, dass diese Bedingungen erfuellt sind, koennen a-posteriori Fehlerschaetzungen berechnet werden. Ein wesentlicher Bestandteil unserer Methode ist eine Fehleranalyse fuer die Hessematrix des zugrunde liegenden Optimierungsproblems. Es werden Bedingungen hergeleitet, unter denen die positive Definitheit der Hessematrix des diskreten Problems die positive Definitheit der Hessematrix fuer das kontinuierliche Problem nach sich zieht. Diese Ergebnisse werden durch numerische Experimente ergaenzt. Im zweiten Teil untersuchen wir adaptive (Diskretisierungs-)methoden fuer Optimalsteuerungsprobleme mit endlich vielen Kontrollparametern. Basierend auf dem Nachweis hinreichender Optimalitaetsbedingungen zweiter Ordnung analysieren wir a posteriori Fehlerschaetzungen. Dies geschieht unter der Nutzung der Resultate des ersten Teils der Arbeit. Es wird die Zuverlaessigkeit und Effizienz des Fehlerschaetzers bewiesen. Mittels weiterer numerischer Experimente illustrieren wir, wie der Fehlerschaetzer zur Steuerung adaptiver Gitterverfeinerung eingesetzt werden kann. KW - Optimale Kontrolle KW - Nichtkonvexe Optimierung KW - Numerisches Verfahren KW - non-convex optimal control problems KW - sufficient optimality conditions KW - a-posteriori error estimates KW - numerical approximations KW - adaptive refinement Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-76065 ER - TY - JOUR A1 - Ballester-Bolinches, A. A1 - Beidleman, J. C. A1 - Heineken, H. A1 - Pedraza-Aguilera, M. C. T1 - Local Classes and Pairwise Mutually Permutable Products of Finite Groups N2 - The main aim of the paper is to present some results about products of pairwise mutually permutable subgroups and local classes. KW - Mathematik KW - mutually permutable KW - local classes KW - p-soluble groups KW - p-supersolubility KW - finite groups Y1 - 2010 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-68062 ER - TY - JOUR A1 - Ferrante, Augusto A1 - Wimmer, Harald K. T1 - Reachability matrices and cyclic matrices N2 - We study reachability matrices R(A, b) = [b,Ab, . . . ,An−1b], where A is an n × n matrix over a field K and b is in Kn. We characterize those matrices that are reachability matrices for some pair (A, b). In the case of a cyclic matrix A and an n-vector of indeterminates x, we derive a factorization of the polynomial det(R(A, x)). KW - Mathematik KW - Reachability matrix KW - Krylow matrix KW - cyclic matrix KW - nonderogatory matrix KW - companion matrix KW - Vandermonde matrix KW - Hautus test Y1 - 2010 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-68074 N1 - AMS subject classifications. 15A03, 15A15, 93B05 ER - TY - BOOK A1 - Falk, Michael A1 - Marohn, Frank A1 - Michel, René A1 - Hofmann, Daniel A1 - Macke, Maria A1 - Spachmann, Christoph A1 - Englert, Stefan T1 - A First Course on Time Series Analysis : Examples with SAS [Version 2012.August.01] N2 - The analysis of real data by means of statistical methods with the aid of a software package common in industry and administration usually is not an integral part of mathematics studies, but it will certainly be part of a future professional work. The present book links up elements from time series analysis with a selection of statistical procedures used in general practice including the statistical software package SAS. Consequently this book addresses students of statistics as well as students of other branches such as economics, demography and engineering, where lectures on statistics belong to their academic training. But it is also intended for the practician who, beyond the use of statistical tools, is interested in their mathematical background. Numerous problems illustrate the applicability of the presented statistical procedures, where SAS gives the solutions. The programs used are explicitly listed and explained. No previous experience is expected neither in SAS nor in a special computer system so that a short training period is guaranteed. This book is meant for a two semester course (lecture, seminar or practical training) where the first three chapters can be dealt within the first semester. They provide the principal components of the analysis of a time series in the time domain. Chapters 4, 5 and 6 deal with its analysis in the frequency domain and can be worked through in the second term. In order to understand the mathematical background some terms are useful such as convergence in distribution, stochastic convergence, maximum likelihood estimator as well as a basic knowledge of the test theory, so that work on the book can start after an introductory lecture on stochastics. Each chapter includes exercises. An exhaustive treatment is recommended. Chapter 7 (case study) deals with a practical case and demonstrates the presented methods. It is possible to use this chapter independent in a seminar or practical training course, if the concepts of time series analysis are already well understood. This book is consecutively subdivided in a statistical part and an SAS-specific part. For better clearness the SAS-specific parts are highlighted. This book is an open source project under the GNU Free Documentation License. KW - Zeitreihenanalyse KW - Box-Jenkins-Verfahren KW - SAS KW - Zustandsraummodelle KW - Time Series Analysis KW - State-Space Models KW - Frequency Domain KW - Box–Jenkins Program Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-72617 N1 - Version: 2012-August-01 ER - TY - THES A1 - Schönlein, Michael T1 - Stability and Robustness of Fluid Networks: A Lyapunov Perspective T1 - Stabilität und Robustheit von Fluidnetzwerken: Eine Lyapunov Perspektive N2 - In the verification of positive Harris recurrence of multiclass queueing networks the stability analysis for the class of fluid networks is of vital interest. This thesis addresses stability of fluid networks from a Lyapunov point of view. In particular, the focus is on converse Lyapunov theorems. To gain an unified approach the considerations are based on generic properties that fluid networks under widely used disciplines have in common. It is shown that the class of closed generic fluid network models (closed GFNs) is too wide to provide a reasonable Lyapunov theory. To overcome this fact the class of strict generic fluid network models (strict GFNs) is introduced. In this class it is required that closed GFNs satisfy additionally a concatenation and a lower semicontinuity condition. We show that for strict GFNs a converse Lyapunov theorem is true which provides a continuous Lyapunov function. Moreover, it is shown that for strict GFNs satisfying a trajectory estimate a smooth converse Lyapunov theorem holds. To see that widely used queueing disciplines fulfill the additional conditions, fluid networks are considered from a differential inclusions perspective. Within this approach it turns out that fluid networks under general work-conserving, priority and proportional processor-sharing disciplines define strict GFNs. Furthermore, we provide an alternative proof for the fact that the Markov process underlying a multiclass queueing network is positive Harris recurrent if the associate fluid network defining a strict GFN is stable. The proof explicitely uses the Lyapunov function admitted by the stable strict GFN. Also, the differential inclusions approach shows that first-in-first-out disciplines play a special role. N2 - Für den Nachweis der positiven Harris-Rekurrenz bei Multiklassenwarteschlangennetzwerken ist die Stabilitätsanalyse der Klasse von Fluidnetzwerken von wesentlicher Bedeutung. Gegenstand dieser Arbeit ist die Stabilität von Fluidnetzwerken aus der Sicht von Lyapunov. Ein besonderes Augenmerk wird dabei auf konverse Lyapunov Theoreme gelegt. Hierzu wird ein axiomatischer Zugang gewählt, der auf generischen Eigenschaften gängiger Fluidnetzwerke basiert. Die Arbeit zeigt, dass die Klasse der abgeschlossenen generischen Fluidnetzwerk (abgeschlossene GFN) Modelle zu weit gefasst ist, um eine umfassende Lyapunovtheorie zu ermöglichen. Um dies zu beheben, wird die Klasse der strikten GFN Modelle eingeführt. In dieser Klasse wird verlangt, dass abgeschlossene GFN Modelle zusätzlich eine Verkettungs- sowie eine Unterhalbstetigkeitsbedingung erfüllen. Aus der Arbeit geht hervor, dass für strikte GFN Modelle Stabilität äquivalent zu der Existenz einer stetigen Lyapunov-Funktion ist. Darüberhinaus wird eine Regularitätseigenschaft an die Trajektorien des stikten GFN Modells gegeben, welche die Konstruktion glatter Lyapunov-Funktionen ermöglicht. Für den Nachweis, dass Fluidnetzwerke unter gängigen Disziplinen die zusätzlichen Eigenschaften erfüllen, werden diese als Differentialinklusionen aufgefasst. Dabei zeigt sich, dass allgemein arbeitserhaltende Fluidnetzwerke und Fluidnetzwerke mit Prioritäten strikte GFN Modelle liefern. Zudem zeigt die Arbeit einen alternativen Beweis dafür, dass der einem Multiklassenwarteschlangennetzwerk zugrunde liegende Markovprozess positiv Harris-rekurrent ist, falls das zugehörige Fluidnetzwerk ein striktes GFN Modell definiert und stabil ist. Dabei wird explizit die Lyapunov-Funktion des Fluidnetzwerkes ausgenutzt. Außerdem zeigt die Betrachtung von Fluidnetzwerken mittels Differentialinklusionen, dass first-in-first-out Fluidnetzwerken eine Sonderrolle zukommt. KW - Warteschlangennetz KW - Ljapunov-Funktion KW - Ljapunov-Stabilitätstheorie KW - Fluidnetzwerk KW - Lyapunov Funktion KW - Stabilität KW - queueing networks KW - fluid networks KW - stability KW - Lyapunov functions Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-72235 ER - TY - JOUR A1 - Chenchiah, Isaac A1 - Schlömerkemper, Anja T1 - Non-laminate microstructures in monoclinic-I martensite N2 - We study the symmetrised rank-one convex hull of monoclinic-I martensite (a twelve-variant material) in the context of geometrically-linear elasticity. We construct sets of T3s, which are (non-trivial) symmetrised rank-one convex hulls of 3-tuples of pairwise incompatible strains. Moreover we construct a five-dimensional continuum of T3s and show that its intersection with the boundary of the symmetrised rank-one convex hull is four-dimensional. We also show that there is another kind of monoclinic-I martensite with qualitatively different semi-convex hulls which, so far as we know, has not been experimentally observed. Our strategy is to combine understanding of the algebraic structure of symmetrised rank-one convex cones with knowledge of the faceting structure of the convex polytope formed by the strains. KW - Martensit KW - Mehrskalenmodell KW - Phasenumwandlung KW - Variationsrechnung KW - kubisch-monokliner Phasenübergang KW - semi-konvexe Hüllen KW - geometrisch lineare Elastizitätstheorie KW - T3s KW - cubic-monoclinic martensites KW - semi-convex hulls KW - geometrically linear elasticity KW - T3s Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-72134 ER - TY - THES A1 - Schröter, Martin T1 - Newton Methods for Image Registration T1 - Newton-Methoden zur Bildregistrierung N2 - Consider the situation where two or more images are taken from the same object. After taking the first image, the object is moved or rotated so that the second recording depicts it in a different manner. Additionally, take heed of the possibility that the imaging techniques may have also been changed. One of the main problems in image processing is to determine the spatial relation between such images. The corresponding process of finding the spatial alignment is called “registration”. In this work, we study the optimization problem which corresponds to the registration task. Especially, we exploit the Lie group structure of the set of transformations to construct efficient, intrinsic algorithms. We also apply the algorithms to medical registration tasks. However, the methods developed are not restricted to the field of medical image processing. We also have a closer look at more general forms of optimization problems and show connections to related tasks. N2 - Wir betrachten Problemstellungen, in denen zwei Bilder von ein und demselben Objekt aufgenommen wurden. Nach der ersten Aufnahme hat sich allerdings das Objekt bewegt oder deformiert, so dass es sich in den nächsten Bildern auf eine andere Weise darstellt. Zudem kann sich die Aufnahmetechnik geändert haben. Eine der Hauptprobleme in der Bildverarbeitung ist es, die räumliche Korrespondenz zwischen solchen Bildern zu bestimmen. Die zugehörige Aufgabe, eine solche räumliche Übereinstimmung zu finden, nennt man "Registrierung". In dieser Arbeit untersuchen wir das mit der Registrierung verbundene Optimierungsproblem. Insbesondere nutzen wir die Lie-Gruppen-Struktur der Menge der zulässigen Transformationen aus, um effiziente, intrinsische Argorithmen zu entwickeln. Wir wenden diese dann auf Probleme der medizinischen Bildregistrierung an, jedoch sind unsere Methoden nicht auf dieses Feld beschränkt. Wir werfen auch einen genaueren Blick auf eine allgemeinere Form von Optimierungsproblemen und zeigen Verknüpfungen zu verwandten Fragestellungen auf. KW - Newton-Verfahren KW - Registrierung KW - Stochastische Optimierung KW - Newton Methods KW - Image Registration KW - Stochastic Algorithms KW - Optimization on Lie Groups Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-71490 ER - TY - THES A1 - Englert, Stefan T1 - Schätzer des Artenreichtums bei speziellen Erscheinungshäufigkeiten T1 - Species richness estimation N2 - Bei vielen Fragestellungen, in denen sich eine Grundgesamtheit in verschiedene Klassen unterteilt, ist weniger die relative Klassengröße als vielmehr die Anzahl der Klassen von Bedeutung. So interessiert sich beispielsweise der Biologe dafür, wie viele Spezien einer Gattung es gibt, der Numismatiker dafür, wie viele Münzen oder Münzprägestätten es in einer Epoche gab, der Informatiker dafür, wie viele unterschiedlichen Einträge es in einer sehr großen Datenbank gibt, der Programmierer dafür, wie viele Fehler eine Software enthält oder der Germanist dafür, wie groß der Wortschatz eines Autors war oder ist. Dieser Artenreichtum ist die einfachste und intuitivste Art und Weise eine Population oder Grundgesamtheit zu charakterisieren. Jedoch kann nur in Kollektiven, in denen die Gesamtanzahl der Bestandteile bekannt und relativ klein ist, die Anzahl der verschiedenen Spezien durch Erfassung aller bestimmt werden. In allen anderen Fällen ist es notwendig die Spezienanzahl durch Schätzungen zu bestimmen. KW - Statistik KW - Nichtparametrische Statistik KW - Deskriptive Statistik Y1 - 2009 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-71362 ER - TY - THES A1 - Tichy, Michael T1 - On algebraic aggregation methods in additive preconditioning T1 - Algebraische Aggregations Methoden für additive Vorkonditionierer N2 - In the following dissertation we consider three preconditioners of algebraic multigrid type, though they are defined for arbitrary prolongation and restriction operators, we consider them in more detail for the aggregation method. The strengthened Cauchy-Schwarz inequality and the resulting angle between the spaces will be our main interests. In this context we will introduce some modifications. For the problem of the one-dimensional convection we obtain perfect theoretical results. Although this is not the case for more complex problems, the numerical results we present will show that the modifications are also useful in these situation. Additionally, we will consider a symmetric problem in the energy norm and present a simple rule for algebraic aggregation. N2 - In der vorliegenden Dissertation untersuchen wir drei Vorkonditionierer, die alle zur Klasse der additiven Mehrgittermethoden gehören. Wir definieren diese zuerst für beliebige Prolongations- und Restriktionsoperatoren, betrachten sie dann anschließend aber detaillierter für den Fall, dass diese Operatoren aus der Methode der algebraic aggregation kommen. Unser Hauptaugenmerk legen wir dann auf die verschärfte Cauchy-Schwarz Ungleichung, bzw. die Winkel, die zwischen den Räumen entstehen. Dafür führen wir einige Modifikationen ein. Für das Problem der eindimensionalen Konvektion erhalten wir ein perfektes Resultat. Für komplexere System (insbesondere solche mit einem elliptischen Anteil) ist dies nicht der Fall. Trotzdem zeigen die numerischen Resultate, dass die von uns eingeführten Modifikationen auch in diesem Fall nützlich sind. Zusätzlich betrachten wir ein symmetrisches Problem in der Energie Norm. Dabei erhalten wir eine einfache Regel für die algebraic aggregation. KW - Präkonditionierung KW - Mehrgitterverfahren KW - Aggregation KW - Mehrgitter KW - Vorkonditionierer KW - black box KW - algebraische Aggregation KW - Partielle Differentialgleichung KW - Kondition KW - multigrid KW - preconditioning KW - black box KW - algebraic aggregation Y1 - 2011 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-56541 ER - TY - BOOK A1 - Falk, Michael A1 - Marohn, Frank A1 - Michel, René A1 - Hofmann, Daniel A1 - Macke, Maria A1 - Tewes, Bernward A1 - Dinges, Peter A1 - Spachmann, Christoph A1 - Englert, Stefan T1 - A First Course on Time Series Analysis : Examples with SAS N2 - The analysis of real data by means of statistical methods with the aid of a software package common in industry and administration usually is not an integral part of mathematics studies, but it will certainly be part of a future professional work. The present book links up elements from time series analysis with a selection of statistical procedures used in general practice including the statistical software package SAS. Consequently this book addresses students of statistics as well as students of other branches such as economics, demography and engineering, where lectures on statistics belong to their academic training. But it is also intended for the practician who, beyond the use of statistical tools, is interested in their mathematical background. Numerous problems illustrate the applicability of the presented statistical procedures, where SAS gives the solutions. The programs used are explicitly listed and explained. No previous experience is expected neither in SAS nor in a special computer system so that a short training period is guaranteed. This book is meant for a two semester course (lecture, seminar or practical training) where the first three chapters can be dealt within the first semester. They provide the principal components of the analysis of a time series in the time domain. Chapters 4, 5 and 6 deal with its analysis in the frequency domain and can be worked through in the second term. In order to understand the mathematical background some terms are useful such as convergence in distribution, stochastic convergence, maximum likelihood estimator as well as a basic knowledge of the test theory, so that work on the book can start after an introductory lecture on stochastics. Each chapter includes exercises. An exhaustive treatment is recommended. Chapter 7 (case study) deals with a practical case and demonstrates the presented methods. It is possible to use this chapter independent in a seminar or practical training course, if the concepts of time series analysis are already well understood. This book is consecutively subdivided in a statistical part and an SAS-specific part. For better clearness the SAS-specific parts are highlighted. This book is an open source project under the GNU Free Documentation License. KW - Zeitreihenanalyse KW - Box-Jenkins-Verfahren KW - SAS KW - Zustandsraummodelle KW - Time Series Analysis KW - State-Space Models KW - Frequency Domain KW - Box–Jenkins Program Y1 - 2011 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-56489 N1 - Version: 2011-March-01 ER - TY - THES A1 - Seifert, Bastian T1 - Multivariate Chebyshev polynomials and FFT-like algorithms T1 - Multivariate Tschebyschow-Polynome und FFT-artige Algorithmen N2 - This dissertation investigates the application of multivariate Chebyshev polynomials in the algebraic signal processing theory for the development of FFT-like algorithms for discrete cosine transforms on weight lattices of compact Lie groups. After an introduction of the algebraic signal processing theory, a multivariate Gauss-Jacobi procedure for the development of orthogonal transforms is proven. Two theorems on fast algorithms in algebraic signal processing, one based on a decomposition property of certain polynomials and the other based on induced modules, are proven as multivariate generalizations of prior theorems. The definition of multivariate Chebyshev polynomials based on the theory of root systems is recalled. It is shown how to use these polynomials to define discrete cosine transforms on weight lattices of compact Lie groups. Furthermore it is shown how to develop FFT-like algorithms for these transforms. Then the theory of matrix-valued, multivariate Chebyshev polynomials is developed based on prior ideas. Under an existence assumption a formula for generating functions of these matrix-valued Chebyshev polynomials is deduced. N2 - Diese Dissertation beschäftigt sich mit der Anwendung multivariater Tschebyschow-Polynome in der algebraischen Signalverarbeitungstheorie im Hinblick auf die Entwicklung FFT-artiger Algorithmen für diskrete Kosinus-Transformationen auf Gewichts-Gittern kompakter Lie-Gruppen. Nach einer Einführung in die algebraische Signalverarbeitungstheorie wird eine multivariate Gauss-Jacobi Prozedur für die Entwicklung orthogonaler Transformationen bewiesen. Zwei Theoreme über schnelle Algorithmen in der algebraischen Signalverarbeitung, eines basierend auf einer Dekompositionseigenschaft gewisser Polynome, das andere basierend auf induzierten Moduln, werden als multivariate Verallgemeinerungen vorgängiger Theoreme bewiesen. Die Definition multivariater Tschebyschow-Polynome basierend auf der Theorie der Wurzelsysteme wird vergegenwärtigt. Es wird gezeigt, wie man diese Polynome nutzen kann um diskrete Kosinustransformationen auf den Gewichts-Gittern kompakter Lie-Gruppen zu definieren. Des Weiteren wird gezeigt, wie man FFT-artige Algorithmen für diese Transformationen entwickeln kann. Sodann wird die Theorie Matrix-wertiger, multivariater Tschebyschow-Polynome basierend auf vorgängigen Ideen entwickelt. Unter einer Existenz-Annahme wird eine Formel für die erzeugenden Funktionen dieser Matrix-wertigen Tschebyschow-Polynome hergeleitet KW - Schnelle Fourier-Transformation KW - Čebyšev-Polynome KW - Kompakte Lie-Gruppe KW - Digitale Signalverarbeitung KW - Mehrdimensionale Signalverarbeitung KW - Algebraic signal processing KW - Algebraische Signalverarbeitung Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-206845 ER - TY - THES A1 - Wisheckel, Florian T1 - Some Applications of D-Norms to Probability and Statistics T1 - Einige Anwendungen von D-Normen in Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik N2 - This cumulative dissertation is organized as follows: After the introduction, the second chapter, based on “Asymptotic independence of bivariate order statistics” (2017) by Falk and Wisheckel, is an investigation of the asymptotic dependence behavior of the components of bivariate order statistics. We find that the two components of the order statistics become asymptotically independent for certain combinations of (sequences of) indices that are selected, and it turns out that no further assumptions on the dependence of the two components in the underlying sample are necessary. To establish this, an explicit representation of the conditional distribution of bivariate order statistics is derived. Chapter 3 is from “Conditional tail independence in archimedean copula models” (2019) by Falk, Padoan and Wisheckel and deals with the conditional distribution of an Archimedean copula, conditioned on one of its components. We show that its tails are independent under minor conditions on the generator function, even if the unconditional tails were dependent. The theoretical findings are underlined by a simulation study and can be generalized to Archimax copulas. “Generalized pareto copulas: A key to multivariate extremes” (2019) by Falk, Padoan and Wisheckel lead to Chapter 4 where we introduce a nonparametric approach to estimate the probability that a random vector exceeds a fixed threshold if it follows a Generalized Pareto copula. To this end, some theory underlying the concept of Generalized Pareto distributions is presented first, the estimation procedure is tested using a simulation and finally applied to a dataset of air pollution parameters in Milan, Italy, from 2002 until 2017. The fifth chapter collects some additional results on derivatives of D-norms, in particular a condition for the existence of directional derivatives, and multivariate spacings, specifically an explicit formula for the second-to-last bivariate spacing. N2 - Diese kumulative Dissertation ist wie folgt aufgebaut: Nach der Einleitung wird im zweiten Kapitel, welches auf “Asymptotic independence of bivariate order statistics” (2017) von Falk und Wisheckel beruht, die asymptotische Abhängigkeitsstruktur von bivariaten Ordnungsstatistiken untersucht. Dazu wird eine explizite Darstellung der bedingten Verteilung einer bivariaten Ordnungsstatistik hergeleitet. Kapitel 3, basierend auf “Conditional tail independence in archimedean copula models” (2019) von Falk, Padoan und Wisheckel, zeigt, dass unter schwachen Anforderungen an den Generator einer Archimedischen Copula die übrigen Komponenten unabhängig werden, wenn man auf eine davon bedingt. Das insbesondere auch dann, wenn die Komponenten ohne die Bedingung abhängig waren. Die theoretischen Erkenntnisse werden anhand von Simulationsergebnissen verdeutlicht. “Generalized pareto copulas: A key to multivariate extremes” (2019) von Falk, Padoan und Wisheckel liefert Kapitel 4. Es wird ein nichtparametrischer Ansatz vorgestellt um die Überschreitungswahrscheinlichkeit eines Zufallsvektors über einen festen, hohen Schwellenwert zu schätzen, wenn dieser einer verallgemeinerten Pareto Copula folgt. Das Verfahren wird in den theoretischen Rahmen eingebettet, anhand einer Simulation validiert und auf Luftverschmutzungsdaten in Mailand, Italien, von 2002 bis 2017 angewendet. Im fünften Kapitel werden einige weitere Ergebnisse gesammelt: es geht um Ableitungen von D-Normen, insbesondere um eine Bedingung, die die Existenz der Richtungsableitungen sicherstellt. Außerdem werden multivariate Spacings thematisiert. KW - Kopula KW - Bedingte Unabhängigkeit KW - Extremwertstatistik KW - D-Norms KW - Multivariate order statistics KW - Archimedean copula KW - Extreme value copula KW - Exceedance Stability KW - Generalized Pareto copula KW - Asymptotic independence KW - multivariate generalized Pareto distribution KW - confidence interval KW - Pareto-Verteilung KW - Copula Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-212140 ER - TY - THES A1 - Buchholzer, Hannes T1 - The Semismooth Newton Method for the Solution of Reactive Transport Problems Including Mineral Precipitation-Dissolution Reactions T1 - Das Semismooth-Newtonverfahren für die Lösung von reaktiven Transportproblemen einschließlich Auflösungs-Fällungs-Reaktionen mit Mineralien N2 - In dieser Arbeit befassen wir uns mit einem reaktiven Transportmodell mit Niederschlags-Auflösung Reaktionen das aus den Geowissenschaften stammt. Es besteht aus PDGs, gewöhnlichen Differentialgleichungen, algebraischen Gleichungen und Komplementaritätsbedingungen. Nach Diskretisation dieses Modells erhalten wir eine großes nichtlineares und nichtglattes Gleichungssystem. Wir lösen dieses System mit der semismoothen Newtonverfahren, das von Qi und Sun eingeführt wurde. Der Fokus dieser Arbeit ist in der Anwendung und Konvergenz dieses Algorithmus. Wir zeigen, dass dieser Algorithmus für dieses Problem wohldefiniert ist und sogar lokal quadratisch konvergiert gegen eine BD-reguläre Lösung. Wir befassen uns auch mit den dabei entstehenden linearen Gleichungssystemen, die sehr groß und dünn besetzt sind, und wie sie effizient gelöst werden können. Ein wichtiger Bestandteil dieser Untersuchung ist die Beschränktheit einer gewissen matrixwertigen Funktion, die in einem eigenen Kapitel gezeigt wird. Als Seitenbetrachtung untersuchen wir wie die extremalen Eigenwerte (und Singulärwerte) von gewissen PDE-Operatoren, welche in unserem diskretisierten Modell vorkommen, genau abgeschätzt werden können. N2 - In this thesis we consider a reactive transport model with precipitation dissolution reactions from the geosciences. It consists of PDEs, ODEs, algebraic equations (AEs) and complementary conditions (CCs). After discretization of this model we get a huge nonlinear and nonsmooth equation system. We tackle this system with the semismooth Newton method introduced by Qi and Sun. The focus of this thesis is on the application and convergence of this algorithm. We proof that this algorithm is well defined for this problem and local even quadratic convergent for a BD-regular solution. We also deal with the arising linear equation systems, which are large and sparse, and how they can be solved efficiently. An integral part of this investigation is the boundedness of a certain matrix-valued function, which is shown in a separate chapter. As a side quest we study how extremal eigenvalues (and singular values) of certain PDE-operators, which are involved in our discretized model, can be estimated accurately. KW - Komplementaritätsproblem KW - Newton-Verfahren KW - System von partiellen Differentialgleichungen KW - Angewandte Geowissenschaften KW - semismooth KW - nichtglatt KW - semismooth Newton method KW - complementary problems KW - PDE KW - large-scale KW - Carbon dioxide capture Y1 - 2011 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-65342 ER - TY - THES A1 - Schwartz, Alexandra T1 - Mathematical Programs with Complementarity Constraints: Theory, Methods and Applications T1 - Mathematische Programme mit Komplementaritätsrestriktionen: Theorie, Verfahren und Anwendungen N2 - The subject of this thesis are mathematical programs with complementarity conditions (MPCC). At first, an economic example of this problem class is analyzed, the problem of effort maximization in asymmetric n-person contest games. While an analytical solution for this special problem could be derived, this is not possible in general for MPCCs. Therefore, optimality conditions which might be used for numerical approaches where considered next. More precisely, a Fritz-John result for MPCCs with stronger properties than those known so far was derived together with some new constraint qualifications and subsequently used to prove an exact penalty result. Finally, to solve MPCCs numerically, the so called relaxation approach was used. Besides improving the results for existing relaxation methods, a new relaxation with strong convergence properties was suggested and a numerical comparison of all methods based on the MacMPEC collection conducted. N2 - Das Thema dieser Dissertation sind mathematische Programme mit Komplementaritätsrestriktionen (MPCC). Zunächst wurde eine ökonomische Anwendung dieses Problemklasse betrachtet, das sogenannte Wettbewerbsdesignproblem. Während es für dieses spezielle Problem möglich war eine analytische Lösung herzuleiten, ist dies im Allgemeinen nicht möglich. Daher wurden anschließend Optimalitätsbedingungen, die für eine numerische Lösung verwendet werden können, betrachtet. Genauer wurde ein stärkeres Fritz-John Resultat als die bisher bekannten zusammen mit neuen Constraint Qualifications hergeleitet und anschließend zum Beweis eines exakten Penaltyresultates benutzt. Schließlich wurden zur numerischen Lösung von MPCCs sogenannte Relaxationsverfahren betrachtet. Zusätzlich zur Verbesserung der Resultate für bekannte Verfahren wurde eine neue Relaxierung mit starken Konvergenzeigenschaften vorgeschlagen und ein numerischer Vergleich aller Verfahren auf Basis der MacMPEC Testsammlung durchgeführt. KW - Zwei-Ebenen-Optimierung KW - Nash-Gleichgewicht KW - Constraint-Programmierung KW - Wettbewerbsdesign KW - Nichtlineare Optimierung KW - Nichtkonvexe Optimierung KW - Kombinatorische Optimierung KW - Numerik KW - MPEC Y1 - 2011 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-64891 ER - TY - THES A1 - Lurz, Kristina T1 - Confidence and Prediction under Covariates and Prior Information T1 - Konfidenz- und Prognoseintervalle unter Kovariaten und Vorinformation N2 - The purpose of confidence and prediction intervals is to provide an interval estimation for an unknown distribution parameter or the future value of a phenomenon. In many applications, prior knowledge about the distribution parameter is available, but rarely made use of, unless in a Bayesian framework. This thesis provides exact frequentist confidence intervals of minimal volume exploiting prior information. The scheme is applied to distribution parameters of the binomial and the Poisson distribution. The Bayesian approach to obtain intervals on a distribution parameter in form of credibility intervals is considered, with particular emphasis on the binomial distribution. An application of interval estimation is found in auditing, where two-sided intervals of Stringer type are meant to contain the mean of a zero-inflated population. In the context of time series analysis, covariates are supposed to improve the prediction of future values. Exponential smoothing with covariates as an extension of the popular forecasting method exponential smoothing is considered in this thesis. A double-seasonality version of it is applied to forecast hourly electricity load under the use of meteorological covariates. Different kinds of prediction intervals for exponential smoothing with covariates are formulated. N2 - Konfidenz- und Prognoseintervalle dienen der Intervallschätzung unbekannter Verteilungsparameter und künftiger Werte eines Phänomens. In vielen Anwendungen steht Vorinformation über einen Verteilungsparameter zur Verfügung, doch nur selten wird außerhalb von bayesscher Statistik davon Gebrauch gemacht. In dieser Dissertation werden exakte frequentistische Konfidenzintervalle unter Vorinformation kleinsten Volumens dargelegt. Das Schema wird auf Verteilungsparameter für die Binomial- und die Poissonverteilung angewandt. Der bayessche Ansatz von Intervallen für Verteilungsparameter wird in Form von Vertrauensintervallen behandelt, mit Fokus auf die Binomialverteilung. Anwendung findet Intervallschätzung in der Wirtschaftsprüfung, wo zweiseitige Intervalle vom Stringer-Typ den Mittelwert in Grundgesamtheiten mit vielen Nullern enthalten sollen. Im Zusammenhang mit Zeitreihenanalyse dienen Kovariaten der Verbesserung von Vorhersagen zukünftiger Werte. Diese Arbeit beschäftigt sich mit exponentieller Glättung mit Kovariaten als eine Erweiterung der gängigen Prognosemethode der exponentiellen Glättung. Eine Version des Modells, welche doppelte Saison berücksichtigt, wird in der Prognose des stündlichen Elektrizitätsbedarfs unter Zuhilfenahme von meteorologischen Variablen eingesetzt. Verschiedene Arten von Prognoseintervallen für exponentielle Glättung mit Kovariaten werden beschrieben. KW - Konfidenzintervall KW - A-priori-Wissen KW - Binomialverteilung KW - Exponential smoothing KW - Prognose KW - Zero-inflation KW - Audit sampling KW - Credibility interval KW - Prediction interval KW - Exponential smoothing with covariates Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-122748 ER - TY - THES A1 - Ciaramella, Gabriele T1 - Exact and non-smooth control of quantum spin systems T1 - Exakte und nicht-glatte Kontrolle von Quanten-Spin-Systemen N2 - An efficient and accurate computational framework for solving control problems governed by quantum spin systems is presented. Spin systems are extremely important in modern quantum technologies such as nuclear magnetic resonance spectroscopy, quantum imaging and quantum computing. In these applications, two classes of quantum control problems arise: optimal control problems and exact-controllability problems, with a bilinear con- trol structure. These models correspond to the Schrödinger-Pauli equation, describing the time evolution of a spinor, and the Liouville-von Neumann master equation, describing the time evolution of a spinor and a density operator. This thesis focuses on quantum control problems governed by these models. An appropriate definition of the optimiza- tion objectives and of the admissible set of control functions allows to construct controls with specific properties. These properties are in general required by the physics and the technologies involved in quantum control applications. A main purpose of this work is to address non-differentiable quantum control problems. For this reason, a computational framework is developed to address optimal-control prob- lems, with possibly L1 -penalization term in the cost-functional, and exact-controllability problems. In both cases the set of admissible control functions is a subset of a Hilbert space. The bilinear control structure of the quantum model, the L1 -penalization term and the control constraints generate high non-linearities that make difficult to solve and analyse the corresponding control problems. The first part of this thesis focuses on the physical description of the spin of particles and of the magnetic resonance phenomenon. Afterwards, the controlled Schrödinger- Pauli equation and the Liouville-von Neumann master equation are discussed. These equations, like many other controlled quantum models, can be represented by dynamical systems with a bilinear control structure. In the second part of this thesis, theoretical investigations of optimal control problems, with a possible L1 -penalization term in the objective and control constraints, are consid- ered. In particular, existence of solutions, optimality conditions, and regularity properties of the optimal controls are discussed. In order to solve these optimal control problems, semi-smooth Newton methods are developed and proved to be superlinear convergent. The main difficulty in the implementation of a Newton method for optimal control prob- lems comes from the dimension of the Jacobian operator. In a discrete form, the Jacobian is a very large matrix, and this fact makes its construction infeasible from a practical point of view. For this reason, the focus of this work is on inexact Krylov-Newton methods, that combine the Newton method with Krylov iterative solvers for linear systems, and allows to avoid the construction of the discrete Jacobian. In the third part of this thesis, two methodologies for the exact-controllability of quan- tum spin systems are presented. The first method consists of a continuation technique, while the second method is based on a particular reformulation of the exact-control prob- lem. Both these methodologies address minimum L2 -norm exact-controllability problems. In the fourth part, the thesis focuses on the numerical analysis of quantum con- trol problems. In particular, the modified Crank-Nicolson scheme as an adequate time discretization of the Schrödinger equation is discussed, the first-discretize-then-optimize strategy is used to obtain a discrete reduced gradient formula for the differentiable part of the optimization objective, and implementation details and globalization strategies to guarantee an adequate numerical behaviour of semi-smooth Newton methods are treated. In the last part of this work, several numerical experiments are performed to vali- date the theoretical results and demonstrate the ability of the proposed computational framework to solve quantum spin control problems. N2 - Effiziente und genaue Methoden zum Lösen von Kontrollproblemen, die durch Quantum- Spin-Systemen gesteuert werden, werden vorgestellt. Spin-Systeme sind in moderner Quantentechnologie wie Kernspinresonanzspektroskopie, Quantenbildgebung und Quan- tencomputern äußerst wichtig. In diesen Anwendungen treten zwei Arten von Quan- tenkontrollproblemen auf: Optimalsteuerungsprobleme und Exaktsteuerungsprobleme beide mit einer bilinearen Kontrollstruktur. Diese Modelle entsprechen der Schrödinger- Pauli-Gleichung, die die Zeitentwicklung eines Spinors beschreibt, und der Liouville-von- Neumann-Mastergleichung, die die Zeitentwicklung eines Spinors und eines Dichteoper- ators beschreibt. Diese Arbeit konzentriert sich auf Quantenkontrollprobleme, die durch diese Modelle beschrieben werden. Eine entsprechende Definition des Optimierungsziels und der zulässigen Menge von Kontrollfunktionen erlaubt die Konstruktion von Steuerun- gen mit speziellen Eigenschaften. Diese Eigenschaften werden im Allgemeinen von der Physik und der in Quantenkontrolle verwendeten Technologie gefordert. Ein Hauptziel diser Arbeit ist die Untersuchung nicht-differenzierbarer Quantenkon- trollprobleme. Deshalb werden Rechenmethoden entwickelt um Optimalsteuerungsprob- lemen, die einen L1-Term im Kostenfunktional enthalten, und Exaktsteuerungsprobleme zu lösen. In beiden Fällen ist die zulässige Menge ein Teilraum eines Hilbertraumes. Die bilineare Kontrollstruktur des Quantenmodells, der L1-Kostenterm und die Nebenbedin- gungen der Kontrolle erzeugen starke Nichtlinearitäten, die die Lösung und Analyse der entsprechenden Problemen schwierig gestalten. Der erste Teil der Disseration konzentriert sich auf die physikalische Beschreibung des Spins von Teilchen und Phänomenen magnetischer Resonanz. Anschließend wird die kon- trollierte Schrödinger-Pauli-Gleichung und die Liouville-von-Neumann-Mastergleichung diskutiert. Diese Gleichungen können ebenso wie viele andere kontrollierte Quantenmod- elle durch ein dynamisches System mit biliniearer Kontrollstruktur dargestellt werden. Im zweiten Teil der Arbeit wird eine theoretische Untersuchung der Optimalsteuer- ungsprobleme, die einen L1-Kostenterm und Einschränkungen der Kontrolle enthalten können, durchgeführt. Insbesondere wird die Existenz von Lösungen und Optimalitäts- bedingungen und die Regularität der optimalen Kontrolle diskutiert. Um diese Optimal- steuerungsprobleme zu lösen werden halbglatte Newtonverfahren entwickelt und ihre su- perlineare Konvergenz bewiesen. Die Hauptschwierigkeit bei der Implementierung eines Newtonverfahrens für Optimalsteuerungsprobleme ist die Dimension des Jacobiopera- tors. In einer diskreten Form ist der Jacobioperator eine sehr große Matrix, war die Konstruktion in der Praxis undurchführbar macht. Daher konzentriert sich diese Ar- beit auf inexakte Krylov-Newton-Verfahren, die Newtonverfahren mit iterativen Krylov- Lösern für lineare Gleichungssysteme kombinieren, was die Konstruktion der diskreten Jacobimatrix erübrigt. Im dritten Teil der Disseration werden zwei Methoden für die Lösung von exakte Steuerbarkeit Problemen für Quanten-Spin-Systemen vorgestellt. Die erste Methode ist eine Fortsetzungstechnik während die zweite Methode auf einer bestimmten Refor- mulierung des exakten Kontrollproblems basiert. Beide Verfahren widmen sich L2-Norm exakten Steuerbarkeitsproblemen. Im vierten Teil die Disseration konzentriert sich auf die numerische Analyse von Quan- tenkontrollproblemen. Insbesondere wird das modifizierte Crank-Nicolson-Verfahren als eine geeignete Zeitdiskretisierung der Schrödingergleichung diskutiert. Es wird erst diskretisiert und nachfolgend optimiert, um den diskreten reduzierten Gradienten für den differenzierbaren Teil des Optimierungsziels zu erhalten. Die Details der Implemen- tierung und der Globalisierungsstrategie, die angemessenes numerisches Verhalten der halbglatten Newtonverfahren garantiert, werden behandelt. Im letzten Teil dieser Arbeit werden verschiedene numerische Experimente durchge- führt um die theoretischen Ergebnisse zu validieren und die Fähigkeiten de vorgeschla- genen Lösungsstrategie für Quanten-Spin-Kontrollproblemen zu validieren. KW - Quantum control KW - Spin systems KW - Nonsmooth optimization KW - Exact-controllability KW - Spinsystem KW - Nichtglatte Optimierung KW - Kontrolltheorie Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-118386 ER - TY - THES A1 - Srichan, Teerapat T1 - Discrete Moments of Zeta-Functions with respect to random and ergodic transformations T1 - Diskrete Momente von Zetafunktionen mit zufälligen und ergodentheoretischen Transformationen N2 - In the thesis discrete moments of the Riemann zeta-function and allied Dirichlet series are studied. In the first part the asymptotic value-distribution of zeta-functions is studied where the samples are taken from a Cauchy random walk on a vertical line inside the critical strip. Building on techniques by Lifshits and Weber analogous results for the Hurwitz zeta-function are derived. Using Atkinson’s dissection this is even generalized to Dirichlet L-functions associated with a primitive character. Both results indicate that the expectation value equals one which shows that the values of these zeta-function are small on average. The second part deals with the logarithmic derivative of the Riemann zeta-function on vertical lines and here the samples are with respect to an explicit ergodic transformation. Extending work of Steuding, discrete moments are evaluated and an equivalent formulation for the Riemann Hypothesis in terms of ergodic theory is obtained. In the third and last part of the thesis, the phenomenon of universality with respect to stochastic processes is studied. It is shown that certain random shifts of the zeta-function can approximate non-vanishing analytic target functions as good as we please. This result relies on Voronin's universality theorem. N2 - Die Dissertation behandelt diskrete Momente der Riemannschen Zetafunktion und verwandter Dirichletreihen. Im ersten Teil wird die asymptotische Werteverteilung von Zetafunktionen studiert, wobei die Werte zufällig auf einer vertikalen Geraden im kritischen Streifen gemäß einer Cauchyschen Irrfahrt summiert werden. Auf einer Vorarbeit von Lifshits und Weber aufbauend werden analoge Resultate für die Hurwitz Zetafunktion erzielt. Mit Hilfe der Atkinsonschen Formel gelingt eine weitere Verallgemeinerung für Dirichletsche L-Funktion zu einem primitiven Charakter. Beide Ergebnisse zeigen, dass der Erwartungswert stets eins beträgt, womit die jeweilige Zetafunktion im Mittel betragsmäßig klein ist. Der zweite Teil befasst sich mit der logarithmischen Ableitung der Riemannschen Zetafunktion auf vertikalen Geraden, wobei hier die Werte einer ergodischen Transformation entstammen. Eine Arbeit von Steuding verallgemeinernd werden diskrete Momente berechnet und eine äquivalente Formulierung der Riemannschen Vermutung in ergodentheoretischer Sprache erzielt. Im dritten und letzten Teil der Dissertation wird das Phänomen der Universalität unter dem Aspekt stochastischer Prozesse studiert. Es wird gezeigt, dass gewisse zufällige Translate der Zetafunktion nullstellenfreie analytische Zielfunktionen beliebig gut approximieren. Dieses Ergebnis basiert auf dem Voroninschen Universalitätssatz. KW - Riemannsche Zetafunktion KW - Zeta-function KW - random walk KW - ergodic transformation KW - Dirichlet-Reihe KW - Riemann Hypothesis Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-118395 ER - TY - THES A1 - Schäffner, Mathias T1 - Multiscale analysis of non-convex discrete systems via \(\Gamma\)-convergence T1 - Mehrskalenanalyse von nicht-konvexen diskreten Systemen mittels \(\Gamma\)-Konvergenz N2 - The subject of this thesis is the rigorous passage from discrete systems to continuum models via variational methods. The first part of this work studies a discrete model describing a one-dimensional chain of atoms with finite range interactions of Lennard-Jones type. We derive an expansion of the ground state energy using \(\Gamma\)-convergence. In particular, we show that a variant of the Cauchy-Born rule holds true for the model under consideration. We exploit this observation to derive boundary layer energies due to asymmetries of the lattice at the boundary or at cracks of the specimen. Hereby we extend several results obtained previously for models involving only nearest and next-to-nearest neighbour interactions by Braides and Cicalese and Scardia, Schlömerkemper and Zanini. The second part of this thesis is devoted to the analysis of a quasi-continuum (QC) method. To this end, we consider the discrete model studied in the first part of this thesis as the fully atomistic model problem and construct an approximation based on a QC method. We show that in an elastic setting the expansion by \(\Gamma\)-convergence of the fully atomistic energy and its QC approximation coincide. In the case of fracture, we show that this is not true in general. In the case of only nearest and next-to-nearest neighbour interactions, we give sufficient conditions on the QC approximation such that, also in case of fracture, the minimal energies of the fully atomistic energy and its approximation coincide in the limit. N2 - Der Gegenstand dieser Doktorarbeit ist der mathematisch strenge Übergang von diskreten Systemen zu kontinuierlichen Modellen. Im ersten Teil der Arbeit betrachten wir ein diskretes Modell für eine Kette von Atomen welche durch Lennard-Jones-artige Potentiale mit endlicher Reichweite miteinander wechselwirken. Wir leiten eine Entwicklung der Energie des Grundzustands mittels \(\Gamma\)-Konvergenz her. Dabei zeigen wir zunächst die Gültigkeit einer Variante der sogenannten Cauchy-Born Regel für unser Modell. Diese Beobachtung benutzen wir um Oberflächenenergien herzuleiten. Diese entstehen zum einen am Rand der Kette, aber auch an den Oberflächen die durch Brüche im kontinuierlichem Material gebildet werden. Dabei werden einige Resultate verallgemeinert, welche von Braides und Cicalese bzw. Scardia, Schlömerkemper und Zanini für Modelle bewiesen wurden in denen nur nächste und übernächste Nachbarn wechselwirken. Im zweiten Teil der Arbeit widmen wir uns der Untersuchung einer Quasi-continuum (QC) Methode. Wir betrachten die Energie aus dem ersten Teil als atomistisches Modellproblem und konstruieren eine Annäherung dieser Energie durch eine QC Methode. Im Falle von elastischen Verhalten zeigen wir, dass die Entwicklung mittels \(\Gamma\)-Konvergenz der atomistischen Energie und ihrer QC Approximation übereinstimmen. Falls allerdings Brüche auftreten gilt dies im Allgemeinen nicht mehr. Für Modelle in denen nur nächste und übernächste Nachbarn miteinander wechselwirken leiten wir hinreichende Bedingungen her die, auch im Falle von Brüchen, garantieren, dass das Minimum der atomistischen Energie und das Minimum der QC Approximation den gleichen Grenzwert haben. KW - Gamma-Konvergenz KW - gamma-convergence KW - discrete-to-continuum KW - quasi-continuum KW - fracture Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-122349 ER - TY - THES A1 - Aulbach, Stefan T1 - Contributions to Extreme Value Theory in Finite and Infinite Dimensions: With a Focus on Testing for Generalized Pareto Models T1 - Beiträge zur endlich- und unendlichdimensionalen Extremwerttheorie: Mit einem Schwerpunkt auf Tests auf verallgemeinerte Pareto-Modelle N2 - Extreme value theory aims at modeling extreme but rare events from a probabilistic point of view. It is well-known that so-called generalized Pareto distributions, which are briefly reviewed in Chapter 1, are the only reasonable probability distributions suited for modeling observations above a high threshold, such as waves exceeding the height of a certain dike, earthquakes having at least a certain intensity, and, after applying a simple transformation, share prices falling below some low threshold. However, there are cases for which a generalized Pareto model might fail. Therefore, Chapter 2 derives certain neighborhoods of a generalized Pareto distribution and provides several statistical tests for these neighborhoods, where the cases of observing finite dimensional data and of observing continuous functions on [0,1] are considered. By using a notation based on so-called D-norms it is shown that these tests consistently link both frameworks, the finite dimensional and the functional one. Since the derivation of the asymptotic distributions of the test statistics requires certain technical restrictions, Chapter 3 analyzes these assumptions in more detail. It provides in particular some examples of distributions that satisfy the null hypothesis and of those that do not. Since continuous copula processes are crucial tools for the functional versions of the proposed tests, it is also discussed whether those copula processes actually exist for a given set of data. Moreover, some practical advice is given how to choose the free parameters incorporated in the test statistics. Finally, a simulation study in Chapter 4 compares the in total three different test statistics with another test found in the literature that has a similar null hypothesis. This thesis ends with a short summary of the results and an outlook to further open questions. N2 - Gegenstand der Extremwerttheorie ist die wahrscheinlichkeitstheoretische Modellierung von extremen, aber seltenen Ereignissen. Es ist wohlbekannt, dass sog. verallgemeinerte Pareto-Verteilungen, die in Kapitel 1 kurz zusammengefasst werden, die einzigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind, mit denen sich Überschreitungen über hohe Schwellenwerte geeignet modellieren lassen, wie z. B. Fluthöhen, die einen Deich überschreiten, Erdbeben einer gewissen Mindeststärke, oder - nach einer einfachen Transformation - Aktienkurse, die einen festen Wert unterschreiten. Jedoch gibt es auch Fälle, in denen verallgemeinerte Pareto-Modelle fehlschlagen könnten. Deswegen beschäftigt sich Kapitel 2 mit gewissen Umgebungen einer verallgemeinerten Pareto-Verteilung und leitet mehrere statistische Tests auf diese Umgebungen her. Dabei werden sowohl multivariate Daten als auch Datensätze bestehend aus stetigen Funktionen auf [0,1] betrachtet. Durch Verwendung einer Notation basierend auf sog. D-Normen wird insbesondere gezeigt, dass die vorgestellten Testverfahren beide Fälle, den multivariaten und den funktionalen, auf natürliche Weise miteinander verbinden. Da das asymptotische Verhalten dieser Tests von einigen technischen Voraussetzungen abhängt, werden diese Annahmen in Kapitel 3 detaillierter analysiert. Insbesondere werden Beispiele für Verteilungen betrachtet, die die Nullhypothese erfüllen, und solche, die das nicht tun. Aufgrund ihrer Bedeutung für die funktionale Version der Tests wird auch der Frage nachgegangen, ob sich ein Datensatz durch stetige Copula-Prozesse beschreiben lässt. Außerdem wird auf die Wahl der freien Parameter in den Teststatistiken eingegangen. Schließlich befasst sich Kapitel 4 mit den Ergebnissen einer Simulationsstudie, um die insgesamt drei Testverfahren mit einem ähnlichen Test aus der Literatur zu vergleichen. Diese Arbeit endet mit einer kurzen Zusammenfassung und einem Ausblick auf weiterführende Fragestellungen. KW - Extremwertstatistik KW - Pareto-Verteilung KW - Copula KW - Stochastischer Prozess KW - Anpassungstest KW - Extreme Value Theory KW - Generalized Pareto Distribution KW - D-Norm KW - Copula KW - Stochastic Process KW - Continuous Sample Path KW - Nonparametric Inference KW - Goodness-of-Fit Test KW - Order Statistics KW - Monte Carlo Simulation KW - Extremwerttheorie Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-127162 N1 - Details sind zu finden unter http://www.ism.ac.jp/editsec/aism/aism-permissions.html und http://www.ism.ac.jp/editsec/aism/aism-info-author.html ER - TY - THES A1 - Bauer, Andreas T1 - Argumentieren mit multiplen und dynamischen Repräsentationen T1 - Reasoning with multiple and dynamic representations N2 - Der Einzug des Rechners in den Mathematikunterricht hat eine Vielzahl neuer Möglichkeiten der Darstellung mit sich gebracht, darunter auch multiple, dynamisch verbundene Repräsentationen mathematischer Probleme. Die Arbeit beantwortet die Frage, ob und wie diese Repräsentationsarten von Schülerinnen und Schüler in Argumentationen genutzt werden. In der empirischen Untersuchung wurde dabei einerseits quantitativ erforscht, wie groß der Einfluss der in der Aufgabenstellung gegebenen Repräsentationsform auf die schriftliche Argumentationen der Schülerinnen und Schüler ist. Andererseits wurden durch eine qualitative Analyse spezifische Nutzungsweisen identifiziert und mittels Toulmins Argumentationsmodell beschrieben. Diese Erkenntnisse wurden genutzt, um Konsequenzen bezüglich der Verwendung von multiplen und/oder dynamischen Repräsentationen im Mathematikunterricht der Sekundarstufe zu formulieren. KW - Argumentation KW - Mathematikunterricht KW - Sekundarstufe KW - Neue Medien KW - Multiple Repräsentationen KW - Dynamische Repräsentation KW - Multiple representations KW - Dynamic representations KW - Teaching KW - new media Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-112114 SN - 978-3-95826-022-1 (print) SN - 978-3-95826-023-8 (online) PB - Würzburg University Press CY - Würzburg ER - TY - THES A1 - Mohammadi, Masoumeh T1 - Analysis of discretization schemes for Fokker-Planck equations and related optimality systems T1 - Analyse von Diskretisierungsmethoden für Fokker-Planck-Gleichungen und verwandte Optimalitätssysteme N2 - The Fokker-Planck (FP) equation is a fundamental model in thermodynamic kinetic theories and statistical mechanics. In general, the FP equation appears in a number of different fields in natural sciences, for instance in solid-state physics, quantum optics, chemical physics, theoretical biology, and circuit theory. These equations also provide a powerful mean to define robust control strategies for random models. The FP equations are partial differential equations (PDE) describing the time evolution of the probability density function (PDF) of stochastic processes. These equations are of different types depending on the underlying stochastic process. In particular, they are parabolic PDEs for the PDF of Ito processes, and hyperbolic PDEs for piecewise deterministic processes (PDP). A fundamental axiom of probability calculus requires that the integral of the PDF over all the allowable state space must be equal to one, for all time. Therefore, for the purpose of accurate numerical simulation, a discretized FP equation must guarantee conservativeness of the total probability. Furthermore, since the solution of the FP equation represents a probability density, any numerical scheme that approximates the FP equation is required to guarantee the positivity of the solution. In addition, an approximation scheme must be accurate and stable. For these purposes, for parabolic FP equations on bounded domains, we investigate the Chang-Cooper (CC) scheme for space discretization and first- and second-order backward time differencing. We prove that the resulting space-time discretization schemes are accurate, conditionally stable, conservative, and preserve positivity. Further, we discuss a finite difference discretization for the FP system corresponding to a PDP process in a bounded domain. Next, we discuss FP equations in unbounded domains. In this case, finite-difference or finite-element methods cannot be applied. By employing a suitable set of basis functions, spectral methods allow to treat unbounded domains. Since FP solutions decay exponentially at infinity, we consider Hermite functions as basis functions, which are Hermite polynomials multiplied by a Gaussian. To this end, the Hermite spectral discretization is applied to two different FP equations; the parabolic PDE corresponding to Ito processes, and the system of hyperbolic PDEs corresponding to a PDP process. The resulting discretized schemes are analyzed. Stability and spectral accuracy of the Hermite spectral discretization of the FP problems is proved. Furthermore, we investigate the conservativity of the solutions of FP equations discretized with the Hermite spectral scheme. In the last part of this thesis, we discuss optimal control problems governed by FP equations on the characterization of their solution by optimality systems. We then investigate the Hermite spectral discretization of FP optimality systems in unbounded domains. Within the framework of Hermite discretization, we obtain sparse-band systems of ordinary differential equations. We analyze the accuracy of the discretization schemes by showing spectral convergence in approximating the state, the adjoint, and the control variables that appear in the FP optimality systems. To validate our theoretical estimates, we present results of numerical experiments. N2 - Die Fokker-Planck (FP) Gleichung ist ein grundlegendes Modell in thermodynamischen kinetischen Theorien und der statistischen Mechanik. Die FP-Gleichungen sind partielle Differentialgleichungen (PDE), welche die zeitliche Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) von stochastischen Prozessen beschreiben. Diese Gleichungen sind von verschiedenen Arten, abhängig von dem zugrunde liegenden stochastischen Prozess. Insbesondere sind dies parabolische PDEs für die PDF von Ito Prozessen, und hyperbolische PDEs für teilweise deterministische Prozesse (PDP). Ein grundlegendes Axiom der Wahrscheinlichkeitsrechnung verlangt, dass das Integral der PDF über den ganzen Raum für alle Zeit muss gleich sein muss. Daher muss eine diskretisierte FP Gleichung Konservativität der Gesamtwahrscheinlichkeit garantieren. Da die Lösung der FP Gleichung eine Wahrscheinlichkeitsdichte darstellt, muss das numerische Verfahren, das die FP-Gleichung approximiert, die Positivität der Lösung gewährleisten. Darüber hinaus muss ein Approximationsschema genau und stabil sein. Für FP-Gleichungen auf begrenzte Bereiche untersuchen wir das Chang-Cooper (CC) Schema. Wir beweisen, dass die Diskretisierungsmethoden genau, bedingt stabil und konservativ sind, und Positivität bewahren. Als nächstes diskutieren wir FP Gleichungen in unbeschränkten Gebieten und wir wählen die Hermite spektrale Diskretisierung. Die resultierenden diskretisierten Schemata werden analysiert. Stabilität und spektrale Genauigkeit der Hermiten spektralen Diskretisierung ist bewiesen. Darüber hinaus untersuchen wir die Konservativität der numerischen Lösungen der FP Gleichungen. Im letzten Teil dieser Arbeit diskutieren wir Probleme der optimalen Steuerung, die von FP Gleichungen geregelt werden. Wir untersuchen dann die Hermite spektrale Diskretisierung von FP Optimalitätssystemen in unbeschränkten Gebieten. Wir erhalten spärliche Band-Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen. Wir analysieren die Genauigkeit der Diskretisierungsmethoden, indem wir spektrale Konvergenz bei der Annäherung des zustandes, das Adjoint, und die Stellgrößen, die in den FP Optimalitätssystemen erscheinen, aufzeigen. Um unsere theoretischen Schätzungen zu bestätigen, präsentieren wir Ergebnisse von numerischen Experimenten. KW - Fokker-Planck-Gleichung KW - Fokker-Planck optimality systems Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-111494 ER - TY - JOUR A1 - Held, Matthias A1 - Mittnacht, Maria A1 - Kolb, Martin A1 - Karl, Sabine A1 - Jany, Berthold T1 - Pulmonary and Cardiac Function in Asymptomatic Obese Subjects and Changes following a Structured Weight Reduction Program: A Prospective Observational Study JF - PLOS ONE N2 - Background The prevalence of obesity is rising. Obesity can lead to cardiovascular and ventilatory complications through multiple mechanisms. Cardiac and pulmonary function in asymptomatic subjects and the effect of structured dietary programs on cardiac and pulmonary function is unclear. Objective To determine lung and cardiac function in asymptomatic obese adults and to evaluate whether weight loss positively affects functional parameters. Methods We prospectively evaluated bodyplethysmographic and echocardiographic data in asymptomatic subjects undergoing a structured one-year weight reduction program. Results 74 subjects (32 male, 42 female; mean age 42±12 years) with an average BMI 42.5±7.9, body weight 123.7±24.9 kg were enrolled. Body weight correlated negatively with vital capacity (R = −0.42, p<0.001), FEV1 (R = −0.497, p<0.001) and positively with P 0.1 (R = 0.32, p = 0.02) and myocardial mass (R = 0.419, p = 0.002). After 4 months the study subjects had significantly reduced their body weight (−26.0±11.8 kg) and BMI (−8.9±3.8) associated with a significant improvement of lung function (absolute changes: vital capacity +5.5±7.5% pred., p<0.001; FEV1+9.8±8.3% pred., p<0.001, ITGV+16.4±16.0% pred., p<0.001, SR tot −17.4±41.5% pred., p<0.01). Moreover, P0.1/Pimax decreased to 47.7% (p<0.01) indicating a decreased respiratory load. The change of FEV1 correlated significantly with the change of body weight (R = −0.31, p = 0.03). Echocardiography demonstrated reduced myocardial wall thickness (−0.08±0.2 cm, p = 0.02) and improved left ventricular myocardial performance index (−0.16±0.35, p = 0.02). Mitral annular plane systolic excursion (+0.14, p = 0.03) and pulmonary outflow acceleration time (AT +26.65±41.3 ms, p = 0.001) increased. Conclusion Even in asymptomatic individuals obesity is associated with abnormalities in pulmonary and cardiac function and increased myocardial mass. All the abnormalities can be reversed by a weight reduction program. KW - pulmonary hypertension KW - echocardiography KW - morbid obesity KW - asthma KW - pulmonary function KW - weight loss KW - body weight KW - obesity Y1 - 2014 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-119239 VL - 9 IS - 9 ER - TY - THES A1 - Wongkaew, Suttida T1 - On the control through leadership of multi-agent systems T1 - Die Steuerung durch den Hauptagent von Multi-Agenten -Systemen N2 - The investigation of interacting multi-agent models is a new field of mathematical research with application to the study of behavior in groups of animals or community of people. One interesting feature of multi-agent systems is collective behavior. From the mathematical point of view, one of the challenging issues considering with these dynamical models is development of control mechanisms that are able to influence the time evolution of these systems. In this thesis, we focus on the study of controllability, stabilization and optimal control problems for multi-agent systems considering three models as follows: The first one is the Hegselmann Krause opinion formation (HK) model. The HK dynamics describes how individuals' opinions are changed by the interaction with others taking place in a bounded domain of confidence. The study of this model focuses on determining feedback controls in order to drive the agents' opinions to reach a desired agreement. The second model is the Heider social balance (HB) model. The HB dynamics explains the evolution of relationships in a social network. One purpose of studying this system is the construction of control function in oder to steer the relationship to reach a friendship state. The third model that we discuss is a flocking model describing collective motion observed in biological systems. The flocking model under consideration includes self-propelling, friction, attraction, repulsion, and alignment features. We investigate a control for steering the flocking system to track a desired trajectory. Common to all these systems is our strategy to add a leader agent that interacts with all other members of the system and includes the control mechanism. Our control through leadership approach is developed using classical theoretical control methods and a model predictive control (MPC) scheme. To apply the former method, for each model the stability of the corresponding linearized system near consensus is investigated. Further, local controllability is examined. However, only in the Hegselmann-Krause opinion formation model, the feedback control is determined in order to steer agents' opinions to globally converge to a desired agreement. The MPC approach is an optimal control strategy based on numerical optimization. To apply the MPC scheme, optimal control problems for each model are formulated where the objective functions are different depending on the desired objective of the problem. The first-oder necessary optimality conditions for each problem are presented. Moreover for the numerical treatment, a sequence of open-loop discrete optimality systems is solved by accurate Runge-Kutta schemes, and in the optimization procedure, a nonlinear conjugate gradient solver is implemented. Finally, numerical experiments are performed to investigate the properties of the multi-agent models and demonstrate the ability of the proposed control strategies to drive multi-agent systems to attain a desired consensus and to track a given trajectory. N2 - Die Untersuchung von interagierende Multiagent-Modellen ist ein neues mathematisches Forschungsfeld, das sich mit dem Gruppenverhalten von Tieren beziehungsweise Sozialverhalten von Menschen. Eine interessante Eigenschaft der Multiagentensysteme ist kollektives Verhalten. Eine der herausfordernden Themen, die sich mit diesen dynamischen Modellen befassen, ist in der mathematischen Sicht eine Entwicklung der Regelungsmechanismen, die die Zeitevolution dieser Systemen beeinflussen können. In der Doktorarbeit fokussieren wir uns hauptsächlich auf die Studie von Problemen der Steuerbarkeit, Stabilität und optimalen Regelung für Multiagentensysteme anhand drei Modellen wie folgt: Das erste ist die Hegselmann- Krause opinion formation Modell. Die HK-Dynamik beschreibt die Änderung der Meinungen von einzelnen Personen aufgrund der Interaktionen mit den Anderen. Die Studie dieses Model fokussiert auf bestimmte Regelungen, um die Meinungen der Agenten zu betreiben, damit eine gewünschte Zustimmung erreicht wird. Das zweite Model ist das Heider social balance (HB) Modell. Die HB-Dynamik beschreibt die Evolution von Beziehungen in einem sozialen Netzwerk. Ein Ziel der Untersuchung dieses Systems ist die Konstruktion der Regelungsfunktion um die Beziehungen zu steuern, damit eine Freundschaft erreicht wird. Das dritte Modell ist ein Schar-Modell, das in biologischen Systemen beobachteten kollektive Bewegung beschreibt. Das Schar-Model unter Berücksichtigung beinhaltet Selbstantrieb, Friktion, Attraktion Repulsion und Anpassungsfähigkeiten. Wir untersuchen einen Regler für die Steuerung des Schar-Systems, um eine gewünschte Trajektorie zu verfolgen. Üblich wie alle dieser Systeme soll laut unsere Strategie ein Hauptagent, der sich mit alle anderen Mitgliedern des Systems interagieren, hinzugefügt werden und das Regelungsmechanismus inkludiert werden. Unserer Regelung anhand dem Vorgehen mit Führungsverhalten ist unter Verwendung von klassischen theoretischen Regelungsmethode und ein Schema der modellpr ädiktiven Regelung entwickelt. Zur Ausführung der genannten Methode wird für jedes Modell die Stabilität der korrespondierenden Linearsystem in der Nähe von Konsensus untersucht. Ferner wird die lokale Regelbarkeit geprüft. Nur in dem Hegselmann-Krause opinion formation Modell. Der Regler wird so bestimmt, dass die Meinungen der Agenten gesteuert werden können. Dadurch konvergiert es global zu eine gewünschten Zustimmung. Die MPC-Vorgehensweise ist eine optimale Regelung Strategie, die auf numerische Optimierung basiert. Zu Verwendung des MPC-Shema werden die optimalen Regelungsproblemen für jedes Modell formuliert, wo sich die objektive Funktionen in Abhängigkeit von den gewünschten objective des Problems unterscheidet. Die erforderliche Optimalitätsbedingungen erster Ordnung für jedes Problem sind präsentiert. Auÿerdem für die numerische Prozess, eine Sequenz von offenen diskreten Optimalitätssystemen ist nach dem expliziten Runge-Kutta Schema gelöst. In dem Optimierungsverfahren ist ein nicht linear konjugierter Gradientlöser umgesetzt. Schlieÿlich sind numerische Experimenten in der Lage, die Eigenschaften der Multiagent-Modellen zu untersuchen und die Fähigkeiten der gezielten Regelstrategie zu beweisen. Die Strategie nutzt zu betreiben Multiagentensysteme, um einen gewünschten Konsensus zu erreichen und eine gegebene Trajektorie zu verfolgen. KW - Controllability KW - Optimal control problem KW - Multi-agent systems KW - Mehragentensystem KW - Optimale Kontrolle Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-120914 ER - TY - THES A1 - Bauer, Ulrich Josef T1 - Conformal Mappings onto Simply and Multiply Connected Circular Arc Polygon Domains T1 - Konforme Abbildungen auf einfach und mehrfach zusammenhängende Zirkularpolygongebiete N2 - The goal of this thesis is to investigate conformal mappings onto circular arc polygon domains, i.e. domains that are bounded by polygons consisting of circular arcs instead of line segments. Conformal mappings onto circular arc polygon domains contain parameters in addition to the classical parameters of the Schwarz-Christoffel transformation. To contribute to the parameter problem of conformal mappings from the unit disk onto circular arc polygon domains, we investigate two special cases of these mappings. In the first case we can describe the additional parameters if the bounding circular arc polygon is a polygon with straight sides. In the second case we provide an approximation for the additional parameters if the circular arc polygon domain satisfies some symmetry conditions. These results allow us to draw conclusions on the connection between these additional parameters and the classical parameters of the mapping. For conformal mappings onto multiply connected circular arc polygon domains, we provide an alternative construction of the mapping formula without using the Schottky-Klein prime function. In the process of constructing our main result, mappings for domains of connectivity three or greater, we also provide a formula for conformal mappings onto doubly connected circular arc polygon domains. The comparison of these mapping formulas with already known mappings allows us to provide values for some of the parameters of the mappings onto doubly connected circular arc polygon domains if the image domain is a polygonal domain. The different components of the mapping formula are constructed by using a slightly modified variant of the Poincaré theta series. This construction includes the design of a function to remove unwanted poles and of different versions of functions that are analytic on the domain of definition of the mapping functions and satisfy some special functional equations. We also provide the necessary concepts to numerically evaluate the conformal mappings onto multiply connected circular arc polygon domains. As the evaluation of such a map requires the solution of a differential equation, we provide a possible configuration of curves inside the preimage domain to solve the equation along them in addition to a description of the procedure for computing either the formula for the doubly connected case or the case of connectivity three or greater. We also describe the procedures for solving the parameter problem for multiply connected circular arc polygon domains. N2 - Das Ziel dieser Arbeit ist die Untersuchung von konformen Abbildungen auf Zirkularpolygongebiete, d.h. Gebiete, die von Polygonen berandet werden, die sich aus Kreisbögen statt Geradenstücken zusammensetzen. Konforme Abbildungen auf Zirkularpolygongebiete enthalten Parameter zusätzlich zu den klassischen Parametern der Schwarz-Christoffel-Transformation. Um zum Parameterproblem der konformen Abbildungen der Einheitskreisscheibe auf Zirkularpolygongebiete beizutragen, werden zwei Spezialfälle dieser Abbildungen untersucht. Im ersten Fall können die zusätzlichen Parameter angeben werden, falls das berandende Zirkularpolygon ein Polygon mit geraden Seiten ist. Im zweiten Fall wird eine Approximation für die zusätzlichen Parameter angegeben, falls das Zirkularpolygongebiet gewisse Symmetriebedingungen erfüllt. Diese Ergebnisse erlauben es Schlüsse zu ziehen in Bezug auf die Verbindung zwischen den zusätzlichen Parametern und den klassischen Parametern der Abbildung. Für Konforme Abbildungen auf mehrfach zusammenhängende Zirkularpolygongebiete wird eine alternative Konstruktion der Abbildungsformel angegeben, welche nicht die "Schottky-Klein prime function" verwendet. Während der Konstruktion des Hauptergebnisses, der Abbildungsformel für Gebiete mit einem Zusammenhang von drei oder mehr, wird auch eine Formel für die konformen Abbildungen auf zweifach zusammenhängende Zirkularpolygongebiete angegeben. Der Vergleich dieser Abbildungsformeln mit bereits bekannten Abbildungen erlaubt es Werte für einige der Parameter der Abbildungen auf zweifach zusammenhängende Zirkularpolygongebiete anzugeben, falls das Bildgebiet ein Polygonalgebiet ist. Die unterschiedlichen Komponenten der Abbildungsformel sind unter Verwendung einer leicht modifizierten Form der Poincaré-Theta-Reihe konstruiert. Diese Konstruktion enthält die Gestaltung einer Funktion um unerwünschte Polstellen zu entfernen und von unterschiedlichen Versionen von Funktionen, die analytisch auf dem Definitionsgebiet der Abbildungsfunktion sind und spezielle Funktionalgleichungen erfüllen. Es werden auch die notwendigen Konzepte angegeben um die konformen Abbildungen auf mehrfach zusammenhängende Zirkularpolygongebiete numerisch auszuwerten. Prozedurbeschreibungen für die Berechnung der Formel für zweifach zusammenhängende Bildgebiete und für den Fall eines Zusammenhangs von drei oder mehr werden angegeben. Da für das Auswerten solcher Abbildungen das Lösen einer Differentialgleichung notwendig ist, werden mögliche Konfigurationen von Kurven im Urbildgebiet angegeben, an denen entlang die Gleichung gelöst werden kann. Es werden weiterhin Prozeduren beschrieben um das Parameterproblem für mehrfach zusammenhängende Zirkularpolygongebiete zu lösen. KW - Konforme Abbildungen KW - conformal mapping KW - circular arc polygon domain KW - multiply connected domain Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-123914 ER - TY - THES A1 - Hain, Johannes T1 - Valuation Algorithms for Structural Models of Financial Networks T1 - Algorithmen zur Bestimmung von Gleichgewichtslösungen in Finanzsystemen mit Kapitalverflechtung N2 - The thesis focuses on the valuation of firms in a system context where cross-holdings of the firms in liabilities and equities are allowed and, therefore, systemic risk can be modeled on a structural level. A main property of such models is that for the determination of the firm values a pricing equilibrium has to be found. While there exists a small but growing amount of research on the existence and the uniqueness of such price equilibria, the literature is still somewhat inconsistent. An example for this fact is that different authors define the underlying financial system on differing ways. Moreover, only few articles pay intense attention on procedures to find the pricing equilibria. In the existing publications, the provided algorithms mainly reflect the individual authors' particular approach to the problem. Additionally, all existing methods do have the drawback of potentially infinite runtime. For these reasons, the objects of this thesis are as follows. First, a definition of a financial system is introduced in its most general form in Chapter 2. It is shown that under a fairly mild regularity condition the financial system has a unique existing payment equilibrium. In Chapter 3, some extensions and differing definitions of financial systems that exist in literature are presented and it is shown how these models can be embedded into the general model from the proceeding chapter. Second, an overview of existing valuation algorithms to find the equilibrium is given in Chapter 4, where the existing methods are generalized and their corresponding mathematical properties are highlighted. Third, a complete new class of valuation algorithms is developed in Chapter 4 that includes the additional information whether a firm is in default or solvent under a current payment vector. This results in procedures that are able find the solution of the system in a finite number of iteration steps. In Chapter 5, the developed concepts of Chapter 4 are applied to more general financial systems where more than one seniority level of debt is present. Chapter 6 develops optimal starting vectors for non-finite algorithms and Chapter 7 compares the existing and the new developed algorithms concerning their efficiency in an extensive simulation study covering a wide range of possible settings for financial systems. N2 - Die vorliegende Dissertation hat die Unternehmensbewertung in Finanzsystemen mit Fremd- und Eigenkapitalverflechtung zum Thema. Die zentrale Eigenschaft dieser Modelle ist, dass zur Bestimmung der Firmenwerte eine Gleichgewichtslösung ermittelt werden muss. Die Zahl der Veröffentlichungen mit dem Schwerpunkt des Nachweises von Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen der Gleichgewichte steigt zwar stetig an, allerdings ist die Fachliteratur in diesem Bereich teilweise noch sehr inkonsistent. Beispielsweise existieren je nach Autor unterschiedliche Vorgehensweisen, das zugrunde liegende Finanzsystem zu definieren. Darüber hinaus schenken nur wenige Fachartikel der Frage Beachtung, wie die Lösungsgleichgewichte genau bestimmt werden können. Zuletzt weisen die bereits entwickelten Verfahren den Nachteil auf, dass Sie womöglich unendlich viele Iterationsschritte benötigen bis die gesuchte Lösung exakt erreicht wird. Aus diesen Gründen beinhaltet die vorliegende Dissertation folgende Themen. Im ersten Schritt wird in Kapitel 2 eine möglichst allgemeine Definition eines Finanzsystems eingeführt. Es wird gezeigt dass unter nicht allzu strengen Voraussetzungen die Gleichgewichtslösung dieses Systems eindeutig bestimmt ist. In Kapitel 3 werden in der Fachliteratur zu diesem Thema zu findende Erweiterungen und abweichende Definitionen des Systems vorgestellt und wie diese in das allgemeine Modell aus dem vorherigen Kapitel eingebettet werden können. Danach wird in Kapitel 4 ein Überblick über bereits entwickelte Lösungsverfahren gegeben, wobei die existierenden Prozeduren in ihrem Vorgehen verallgemeinert und deren zugehörige mathematische Eigenschaften aufgezeigt werden. Des weiteren wird im gleichen Kapitel eine komplett neue Klasse von Lösungsverfahren entwickelt, die noch die zusätzliche Information verarbeiten, ob eine Firma für einen gegebenen Zahlungsvektor solvent oder insolvent ist. Als Folge dieses Ansatzes sind diese Algorithmen in der Lage, die exakte Gleichgewichtslösung des Systems in endlich vielen Schritten zu finden. In Kapitel 5 werden die entworfenen Konzepte dann für Finanzsysteme angewendet, in denen mehr als nur eine Schulden-Seniorität berücksichtigt wird. Kapitel 6 leitet optimale Startvektoren der nicht-endlichen Verfahren her und Kapitel 7 vergleicht die bereits existierenden und alle neu entwickelten Lösungsverfahren bezüglich ihrer Laufzeiteffizienz im Rahmen einer ausführlichen Simulationsstudie. KW - Risikomanagement KW - Finanzmathematik KW - Financial Networks KW - Counterparty Risk KW - Numerical Asset Valuation KW - Systemic Risk KW - Structrual Model KW - Unternehmensbewertung KW - Kapitalverflechtung KW - Finanzielle Netzwerke KW - Systemisches Risiko Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-128108 ER - TY - THES A1 - Hofmann, Daniel T1 - Characterization of the D-Norm Corresponding to a Multivariate Extreme Value Distribution T1 - Eine Charakterisierung der D-Norm einer multivariaten Extremwertverteilung N2 - It is well-known that a multivariate extreme value distribution can be represented via the D-Norm. However not every norm yields a D-Norm. In this thesis a necessary and sufficient condition is given for a norm to define an extreme value distribution. Applications of this theorem includes a new proof for the bivariate case, the Pickands dependence function and the nested logistic model. Furthermore the GPD-Flow is introduced and first insights were given such that if it converges it converges against the copula of complete dependence. N2 - Es ist wohlbekannt dass sich eine multivariate Extremwertverteilung mittels der D-Norm darstellen lässt. Jedoch liefert nicht jede Norm eine D-Norm. In dieser Arbeit wird eine notwendige und hinreichende Bedingung an eine Norm hergeleitet, so dass diese Norm eine Extremwertverteilung definiert. Anwendungen dieses Satzes sind unter anderem einer neuer Beweis für den bivariaten Fall, die Pickands Abhängigkeitsfunktion und das Nestes Logistic Model. Desweiteren wird der GPD-Fluss eingeführt und erste Untersuchungen wurden durchgeführt. Zum Beispiel die Tatsache, dass wenn der GPD-Fluss konvergiert, dann gegen die Copula der kompletten Abhängigkeit. KW - Kopula KW - Extremwertverteilung KW - D-Norm KW - multivariate Extreme Value Distribution KW - GPD KW - GPD-Flow KW - Copula Y1 - 2009 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-41347 ER - TY - THES A1 - Hoheisel, Tim T1 - Mathematical Programs with Vanishing Constraints T1 - Optimierungsprobleme mit \'vanishing constraints\' N2 - A new class of optimization problems name 'mathematical programs with vanishing constraints (MPVCs)' is considered. MPVCs are on the one hand very challenging from a theoretical viewpoint, since standard constraint qualifications such as LICQ, MFCQ, or ACQ are most often violated, and hence, the Karush-Kuhn-Tucker conditions do not provide necessary optimality conditions off-hand. Thus, new CQs and the corresponding optimality conditions are investigated. On the other hand, MPVCs have important applications, e.g., in the field of topology optimization. Therefore, numerical algorithms for the solution of MPVCs are designed, investigated and tested for certain problems from truss-topology-optimization. KW - Nichtlineare Optimierung KW - Nichtglatte Optimierung KW - Nichtkonvexe Optimierung KW - Nichtglatte Analysis KW - Konvexe Analysis KW - Topologieoptimierung KW - MPEC KW - MPVC Y1 - 2009 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-40790 ER - TY - THES A1 - von Heusinger, Anna T1 - Numerical Methods for the Solution of the Generalized Nash Equilibrium Problem T1 - Numerische Verfahren zur Lösung des verallgemeinerten Nash-Gleichgewichtsproblem N2 - In the generalized Nash equilibrium problem not only the cost function of a player depends on the rival players' decisions, but also his constraints. This thesis presents different iterative methods for the numerical computation of a generalized Nash equilibrium, some of them globally, others locally superlinearly convergent. These methods are based on either reformulations of the generalized Nash equilibrium problem as an optimization problem, or on a fixed point formulation. The key tool for these reformulations is the Nikaido-Isoda function. Numerical results for various problem from the literature are given. N2 - Das verallgemeinerte Nash-Gleichgewichtsproblem ist ein Lösungskonzept für Spiele, in denen neben der Kostenfunktion eines Spielers auch dessen Strategiemenge von den Entscheidungen der anderen Spieler abhängt. In dieser Arbeit werden global konvergente und lokal superlinear konvergente Verfahren zur numerischen Berechnung eines verallgemeinerten Nash-Gleichgewichts vorgestellt. Die Verfahren basieren entweder auf einer Umformulierung des verallgemeinerten Nash-Gleichgewichtsproblems als Optimierungsproblem oder als Fixpunktproblem. Für diese Umformulierungen wird die Nikaido-Isoda Funktion verwendet. Es werden numerische Ergebenisse für einige Probleme aus der Literatur widergegeben. KW - Spieltheorie KW - Nash-Gleichgewicht KW - Nichtlineare Optimierung KW - Newton-Verfahren KW - Abstiegsverfahren KW - Nikaido-Isoda Funktion KW - Nash Equilibrium Problem KW - Newton Methods KW - Nikaido-Isoda function Y1 - 2009 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-47662 ER - TY - JOUR A1 - Falk, Michael A1 - Marohn, Frank T1 - Von Mises condition revisited N2 - It is shown that the rate of convergence in the von Mises conditions of extreme value theory determines the distance of the underlying distribution function F from a generalized Pareto distribution. The distance is measured in terms of the pertaining densities with the limit being ultimately attained if and only if F is ultimately a generalized Pareto distribution. Consequently, the rate of convergence of the extremes in an lid sample, whether in terms of the distribution of the largest order statistics or of corresponding empirical truncated point processes, is determined by the rate of convergence in the von Mises condition. We prove that the converse is also true. KW - Von Mises conditions KW - extreme value theory KW - extreme value distribution KW - extreme order statistics KW - generalized Pareto distribution Y1 - 1993 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-45790 ER - TY - JOUR A1 - Janssen, A. A1 - Marohn, Frank T1 - On statistical information of extreme order statistics, local extreme value alternatives, and Poisson point processes N2 - The aim of the present paper is to clarify the role of extreme order statistics in general statistical models. This is done within the general setup of statistical experiments in LeCam's sense. Under the assumption of monotone likelihood ratios, we prove that a sequence of experiments is asymptotically Gaussian if, and only if, a fixed number of extremes asymptotically does not contain any information. In other words: A fixed number of extremes asymptotically contains information iff the Poisson part of the limit experiment is non-trivial. Suggested by this result, we propose a new extreme value model given by local alternatives. The local structure is described by introducing the space of extreme value tangents. It turns out that under local alternatives a new class of extreme value distributions appears as limit distributions. Moreover, explicit representations of the Poisson limit experiments via Poisson point processes are found. As a concrete example nonparametric tests for Frechet type distributions against stochastically larger alternatives are treated. We find asymptotically optimal tests within certain threshold models. Y1 - 1994 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-45816 ER - TY - CHAP A1 - Marohn, Frank T1 - On testing the exponential and Gumbel distribution N2 - No abstract available KW - Gumbel-Verteilung KW - Extremal–I–Verteilung KW - generalized Pareto distribution KW - extreme value distribution Y1 - 1994 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-45804 ER -