TY - THES A1 - Möller, Florian T1 - Exceptional polynomials and monodromy groups in positive characteristic T1 - Exzeptionelle Polynome und Monodromiegruppen in positiver Charakteristik N2 - We discuss exceptional polynomials, i.e. polynomials over a finite field $k$ that induce bijections over infinitely many finite extensions of $k$. In the first chapters we give the theoretical background to characterize this class of polynomials with Galois theoretic means. This leads to the notion of arithmetic resp. geometric monodromy groups. In the remaining chapters we restrict our attention to polynomials with primitive affine arithmetic monodromy group. We first classify all exceptional polynomials with the fixed field of the affine kernel of the arithmetic monodromy group being of genus less or equal to 2. Next we show that every full affine group can be realized as the monodromy group of a polynomial. In the remaining chapters we classify affine polynomials of a given degree. N2 - In dieser Arbeit werden exzeptionelle Polynome untersucht. Ein über einem endlichen Körper $k$ definiertes Polynom heißt exzeptionell, falls durch dieses auf unendlich vielen endlichen Erweiterungen von $k$ Bijektionen induziert werden. In den ersten Kapiteln legen wir die theoretischen Grundlagen, die uns eine Charakterisierung exzeptioneller Polynome mittels Galoistheorie erlauben. Wir benötigen hierzu insbesondere den Begriff der arithmetischen bzw. geometrischen Monodromiegruppe. In den folgenden Kapiteln behandeln wir schwerpunktmäßig Polynome mit primitiver affiner arithmetischer Monodromiegruppe. Zunächst klassifizieren wir alle exzeptionellen Polynome, die der Bedingung genügen, daß der Fixkörper des affinen Kerns ein Geschlecht kleiner oder gleich 2 besitzt. Danach zeigen wir, daß jede volle affine Gruppe als geometrische Monodromiegruppe eines Polynoms auftritt. In den restlichen Kapiteln klassifizieren wir affine Polynome von vorgegebenem Grad. KW - Algebraischer Funktionenkörper KW - Galois-Feld KW - Galois-Erweiterung KW - Monodromie KW - algebraic function field KW - finite fields KW - galois extensions KW - monodromy groups Y1 - 2009 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-34871 ER - TY - THES A1 - Winkler, Ralf T1 - Schwache Randwertprobleme von Systemen elliptischen Charakters auf konischen Gebieten T1 - Weak boundary value problems of linear elliptic systems on conical domains N2 - In der vorliegenden Arbeit werden lineare Systeme elliptischer partieller Differentialgleichungen in schwacher Formulierung auf konischen Gebieten untersucht. Auf einem zunächst unbeschränkten Kegelgebiet betrachten wir den Fall beschränkter und nur von den Winkelvariablen abhängiger Koeffizientenfunktionen. Die durch selbige definierte Bilinearform genüge einer Gårdingschen Ungleichung. In gewichteten Sobolevräumen werden Existenz- und Eindeutigkeitsfragen geklärt, wobei das Problem mittels Fouriertransformation auf eine von einem komplexen Parameter abhängige Familie T(·) von Fredholmoperatoren zurückgeführt wird. Unter Anwendung des Residuenkalküls gewinnen wir eine Darstellung der Lösung in Form einer Zerlegung in einen glatten Anteil einerseits sowie eine endliche Summe von Singulärfunktionen andererseits. Durch Abschneidetechniken werden die gewonnenen Erkenntnisse auf den Fall schwach formulierter elliptischer Systeme auf beschränkten Kegelgebieten unter Formulierung in gewöhnlichen, nicht-gewichteten Sobolevräumen angewendet. Die für Regularitätsfragen maßgeblichen Eigenwerte der Operatorfunktion T mit minimalem positiven Imaginärteil werden im letzten Kapitel der Arbeit am Beispiel der ebenen elastischen Gleichungen numerisch bestimmt. N2 - In the present PhD thesis we investigate systems of linear partial elliptic equations in weak formulation on conical domains. For an unbounded cone, first, we study the case of bounded and radially constant coefficient functions. The so defined bilinear form is supposed to satisfy a (local) Gårding inequality. In weighted Sobolev spaces we study questions of existence and uniqueness of solutions. In this context the problem is Fourier-transformed onto a set of smaller problems, represented by Fredholm operators T(·) that holomorphically depend on a complex parameter. Via the residual theorem we yield a decomposition of the solution into a regular part and a finite sum of singular functions. Using cut-off techniques we are able to transfer the preceeding results onto the case of weak formulated linear elliptic systems on bounded cones under restriction to usual, non weighted Sobolev spaces. In the last chapter, the eigenvalues of T with minimal positive imaginary part, which are responsible for regularity properties, are numeriaclly determined for the example of the plane Elastic Equations. KW - Elliptische Differentialgleichung KW - Lineare Funktionalanalysis KW - Funktionentheorie KW - Numerische Mathematik KW - Kegelgebiet KW - unstetige Koeffizientenfunktionen KW - gewichtete Sobolevräume KW - Singulärfunktionen KW - conical domain KW - discontinuous coefficient functions KW - weighted Sobolev spaces KW - singular functions Y1 - 2008 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-34544 ER - TY - THES A1 - Baumann, Markus T1 - Newton's Method for Path-Following Problems on Manifolds T1 - Das Newton-Verfahren für Verfolgungsprobleme auf Mannigfaltigkeiten N2 - Many optimization problems for a smooth cost function f on a manifold M can be solved by determining the zeros of a vector field F; such as e.g. the gradient F of the cost function f. If F does not depend on additional parameters, numerous zero-finding techniques are available for this purpose. It is a natural generalization however, to consider time-dependent optimization problems that require the computation of time-varying zeros of time-dependent vector fields F(x,t). Such parametric optimization problems arise in many fields of applied mathematics, in particular path-following problems in robotics, recursive eigenvalue and singular value estimation in signal processing, as well as numerical linear algebra and inverse eigenvalue problems in control theory. In the literature, there are already some tracking algorithms for these tasks, but these do not always adequately respect the manifold structure. Hence, available tracking results can often be improved by implementing methods working directly on the manifold. Thus, intrinsic methods are of interests that evolve during the entire computation on the manifold. It is the task of this thesis, to develop such intrinsic zero finding methods. The main results of this thesis are as follows: - A new class of continuous and discrete tracking algorithms is proposed for computing zeros of time-varying vector fields on Riemannian manifolds. This was achieved by studying the newly introduced time-varying Newton Flow and the time-varying Newton Algorithm on Riemannian manifolds. - Convergence analysis is performed on arbitrary Riemannian manifolds. - Concretization of these results on submanifolds, including for a new class of algorithms via local parameterizations. - More specific results in Euclidean space are obtained by considering inexact and underdetermined time-varying Newton Flows. - Illustration of these newly introduced algorithms by examining time-varying tracking tasks in three application areas: Subspace analysis, matrix decompositions (in particular EVD and SVD) and computer vision. N2 - Das Optimieren einer glatten Kostenfunktion f auf einer Mannigfaltigkeit M kann oft dadurch erreicht werden, dass man die Nullstellen eines Vektorfeldes F bestimmt; z.B. dann, wenn F der Gradient von f ist. Für solche Problemstellungen gibt es zahlreiche Nullstellensuchmethoden, sofern F nicht von zusätzlichen Parametern abhängt. Es ist jedoch eine nahe liegende Erweiterung, zeitvariante Optimierungsaufgaben zu betrachten, für die dann Verfahren zur Berechnung der zeitvarianten Nullstelle von Vektorfeldern F(x,t) benötigt werden. Solche parametrisierte Optimierungsprobleme tauchen in vielen Teilgebieten der angewandten Mathematik auf, insbesondere Verfolgungsprobleme in der Robotik, rekursive Eigenwert- und Singulärwertbestimmung in der Signalverarbeitung sowie in der numerischen linearen Algebra und inverse Eigenwertprobleme in der Kontrolltheorie. In der Literatur gibt es bereits einige Nullstellen-Verfolgungsmethoden für solche Aufgaben. Jedoch wird dabei meistens nicht die Struktur der Mannigfaltigkeit hinreichend berücksichtigt, was aber wünschenswert wäre. Methoden, die direkt auf M arbeiten liefern nämlich andere und ggf. bessere Ergebnisse. Dies begründet unser Interesse an intrinsische Methoden, und es ist die zentrale Aufgabe dieser Arbeit, solche Methoden herzuleiten. Die Hauptergebnisse sind wie folgt: - Neue Klassen von diskreten und kontinuierlichen Methoden zur Verfolgung von Nullstellen von zeitvarianten Vektorfeldern auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten werden etabliert. Dazu wurden der zeitvariante Newton Fluss und der zeitvariante Newton Algorithmus auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten neu eingeführt und studiert. - Die Konvergenzanalyse wird auf beliebigen Riemannschen Mannigfaltigkeiten durchgeführt. - Die Ergebnisse werden durch Betrachtung von Untermannigfaltigkeiten konkretisiert. Dabei wird eine neue Klasse von Algorithmen hergeleitet, die lokalen Parametrisierungen der Mannigfaltigkeit nutzt. - Durch Betrachtung der Ergebnisse im euklidischen Raum werden diese zunächst weiter vereinfacht und dann um inexakte und unterbestimmte zeitvariante Verfahren erweitert. - Die neu eingeführten Algorithmen werden durch das ausführliche Studium von zeitvarianten Verfolgungsproblemen in drei Anwendungsgebieten veranschaulicht: Unterraumberechnung, Matrizenzerlegungen (insbesondere Diagonalisierung von Matrizen und Singulärwertzerlegung) und Bewegungsrekonstruktion aus Kamerabildern. KW - Dynamische Optimierung KW - Newton-Verfahren KW - Globale Analysis KW - Differentialgeometrie KW - Nullstelle KW - Unterraumsuche KW - Matrizenzerlegung KW - Riemannsche Mannigfaltigkeiten KW - Riemannian manifolds KW - time-varying KW - Newton's method KW - zero-finding KW - matrix decomposition Y1 - 2008 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-28099 ER - TY - THES A1 - Pechmann, Patrick R. T1 - Penalized Least Squares Methoden mit stückweise polynomialen Funktionen zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen T1 - Penalized least squares methods with piecewise polynomial functions for solving partial differential equations N2 - Das Hauptgebiet der Arbeit stellt die Approximation der Lösungen partieller Differentialgleichungen mit Dirichlet-Randbedingungen durch Splinefunktionen dar. Partielle Differentialgleichungen finden ihre Anwendung beispielsweise in Bereichen der Elektrostatik, der Elastizitätstheorie, der Strömungslehre sowie bei der Untersuchung der Ausbreitung von Wärme und Schall. Manche Approximationsaufgaben besitzen keine eindeutige Lösung. Durch Anwendung der Penalized Least Squares Methode wurde gezeigt, dass die Eindeutigkeit der gesuchten Lösung von gewissen Minimierungsaufgaben sichergestellt werden kann. Unter Umständen lässt sich sogar eine höhere Stabilität des numerischen Verfahrens gewinnen. Für die numerischen Betrachtungen wurde ein umfangreiches, effizientes C-Programm erstellt, welches die Grundlage zur Bestätigung der theoretischen Voraussagen mit den praktischen Anwendungen bildete. N2 - This work focuses on approximating solutions of partial differential equations with Dirichlet boundary conditions by means of spline functions. The application of partial differential equations concerns the fields of electrostatics, elasticity, fluid flow as well as the analysis of the propagation of heat and sound. Some approximation problems do not have a unique solution. By applying the penalized least squares method it has been shown that uniqueness of the solution of a certain class of minimizing problems can be guaranteed. In some cases it is even possible to reach higher stability of the numerical method. For the numerical analysis we have developed an extensive and efficient C code. It serves as the basis to confirm theoretical predictions with practical applications. KW - Approximationstheorie KW - B-Spline KW - Dirichlet-Problem KW - Finite-Elemente-Methode KW - Partielle Differentialgleichung KW - Poisson-Gleichung KW - Spline KW - Penalized Least Squares Methode KW - Projektionssatz KW - Stückweise Polynomiale Funktion KW - Penalized Least Squares Method KW - Projection Theorem KW - Piecewise Polynomial Function Y1 - 2008 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-28136 ER - TY - THES A1 - Gregor, Thomas T1 - {0,1}-Matrices with Rectangular Rule T1 - {0,1}-Matrizen mit Rechtecksregel N2 - The incidence matrices of many combinatorial structures satisfy the so called rectangular rule, i.e., the scalar product of any two lines of the matrix is at most 1. We study a class of matrices with rectangular rule, the regular block matrices. Some regular block matrices are submatrices of incidence matrices of finite projective planes. Necessary and sufficient conditions are given for regular block matrices, to be submatrices of projective planes. Moreover, regular block matrices are related to another combinatorial structure, the symmetric configurations. In particular, it turns out, that we may conclude the existence of several symmetric configurations from the existence of a projective plane, using this relationship. N2 - Die Inzidenzmatrizen vieler kombinatorischer Strukturen erfüllen die sogenannte Rechtecksregel, d.h. das Skalarprodukt zweier beliebiger Zeilen der Matrix ist höchstens 1. Weiterhin wird eine Klasse von Matrizen mit Rechtecksregel untersucht, von denen einige auch Untermatrizen von Inzidenzmatrizen endlicher projektiver Ebenen sind. Es werden notwendige und hinreichende Bedingungen angegeben, wann dies der Fall ist. Darüberhinaus gibt es eine enge Beziehung zwischen dieser Klasse von Matrizen und einer anderen Struktur, den symmetrischen Konfigurationen. Es stellt sich unter anderem heraus, dass aus der Existenz einer projektiven Ebene mittels dieser Beziehung die Existenz verschiedener symmetrischer Konfigurationen gefolgert werden kann. KW - Projektive Ebene KW - Inzidenzmatrix KW - Kombinatorik KW - Endliche Geometrie KW - Symmetrische Konfiguration KW - (0 KW - 1)-Matrix KW - finite projective plane KW - incidence matrix KW - design KW - symmetric configuration KW - (0 KW - 1)-matrix Y1 - 2008 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-28389 ER - TY - THES A1 - Jordan, Jens T1 - Reachable sets of numerical iteration schemes : a system semigroup approach T1 - Erreichbarkeitsmengen numerischer Iterations Schemata : ein Systemhalbgruppenansatz N2 - We investigate iterative numerical algorithms with shifts as nonlinear discrete-time control systems. Our approach is based on the interpretation of reachable sets as orbits of the system semigroup. In the first part we develop tools for the systematic analysis of the structure of reachable sets of general invertible discrete-time control systems. Therefore we merge classical concepts, such as geometric control theory, semigroup actions and semialgebraic geometry. Moreover, we introduce new concepts such as right divisible systems and the repelling phenomenon. In the second part we apply the semigroup approach to the investigation of concrete numerical iteration schemes. We extend the known results about the reachable sets of classical inverse iteration. Moreover, we investigate the structure of reachable sets and systemgroup orbits of inverse iteration on flag manifolds and Hessenberg varieties, rational iteration schemes, Richardson's method and linear control schemes. In particular we obtain necessary and sufficient conditions for controllability and the appearance of repelling phenomena. Furthermore, a new algorithm for solving linear equations (LQRES) is derived. N2 - Iterative numerische Algorithmen können als zeitdiskrete Systeme betrachtet werden. In dieser Arbeit werden Methoden der nichtlinearen Kontrolltheorie benutzt um iterative numerische Algorithmen zu analysieren. Hierzu wird ein Ansatz verfolgt der darauf basiert, dass Erreichbarkeitsmengen als Halbgruppenorbits interpretiert werden können. Im ersten Teil der Arbeit werden Werkzeuge zur systematischen Analyse von Erreichbarkeitsmengen allgemeiner nichtlinearer Kontrollsystme entwickelt. Dazu werden klassische Konzepte, wie geometrische Kontrolltheorie, Halbgruppenaktionen und semialgebraische Geometrie zusammengeführt. Desweiteren werden neue Konzepte, wie rechtszerlegbare Systeme und Abstoßungsphänomene, eingeführt. Im zweiten Teil der Arbeit werden diese Werkzeuge und dabei insbesondere der Halbgruppenansatz zur Untersuchung konkreter numerischer Algorithmen angewandt. Bekannte Ergebnisse über die Erreichbarkeitsmengen der klassischen inversen Iteration werden erweitert. Die Ergebnisse werden auf inverse Iteration auf Fahnenmannigfaltigkeiten und auf Hessenbergvarietäten erweitert. Untersucht wird zudem die Struktur der Erreichbarkeitsmengen der rationalen Iteration, der Richardsonmethode und von linearen Kontrollsystemen. Insbesondere werden notwendige sowie hinreichende Kriterien sowohl für Kontrollierbarkeit als auch für das Auftreten von Abstoßungsphänomenen bewiesen. Außerdem wird ein neuer Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungssysteme vorgestellt. KW - Nichtlineare Kontrolltheorie KW - Numerische Mathematik KW - Systemhalbgruppen KW - Inverse Iteration KW - Abstoßungsphänomen KW - Systemsemigroups KW - inverse Iteration KW - repelling phenomenon Y1 - 2008 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-28416 ER - TY - THES A1 - Pröll, Sebastian T1 - Stability of Switched Epidemiological Models T1 - Stabilität geschalteter epidemiologischer Modelle N2 - In this thesis it is shown how the spread of infectious diseases can be described via mathematical models that show the dynamic behavior of epidemics. Ordinary differential equations are used for the modeling process. SIR and SIRS models are distinguished, depending on whether a disease confers immunity to individuals after recovery or not. There are characteristic parameters for each disease like the infection rate or the recovery rate. These parameters indicate how aggressive a disease acts and how long it takes for an individual to recover, respectively. In general the parameters are time-varying and depend on population groups. For this reason, models with multiple subgroups are introduced, and switched systems are used to carry out time-variant parameters. When investigating such models, the so called disease-free equilibrium is of interest, where no infectives appear within the population. The question is whether there are conditions, under which this equilibrium is stable. Necessary mathematical tools for the stability analysis are presented. The theory of ordinary differential equations, including Lyapunov stability theory, is fundamental. Moreover, convex and nonsmooth analysis, positive systems and differential inclusions are introduced. With these tools, sufficient conditions are given for the disease-free equilibrium of SIS, SIR and SIRS systems to be asymptotically stable. N2 - In der vorliegenden Arbeit werden Möglichkeiten aufgezeigt, wie man die Ausbreitung von Infektionskrankheiten mit Hilfe von mathematischen Modellen beschreiben kann. Anhand solcher Modelle möchte man mehr über die Dynamik von Epidemien lernen und vorhersagen, wie sich eine gegebene Infektionskrankheit innerhalb einer Population ausbreitet. Zunächst werden gewöhnliche Differentialgleichungen verwendet, um grundlegende epidemiologische Modelle aufzustellen. Hierbei unterscheidet man sogenannte SIR und SIS Modelle, je nachdem ob die betrachtete Krankheit einem Individuum nach seiner Heilung Immunität verleiht oder nicht. Charakteristisch für Infektionskrankheiten sind Parameter wie die Infektionsrate oder die Heilungsrate. Sie geben an, wie ansteckend eine Krankheit ist bzw. wie schnell eine Person nach einer Erkrankung wieder gesund wird. Im Allgemeinen sind diese Parameter abhängig von bestimmten Bevölkerungsgruppen und verändern sich mit der Zeit. Daher werden am Ende des zweiten Kapitels Modelle entwickelt, die die Betrachtung mehrerer Bevölkerungsgruppen zulassen. Zeitvariante Parameter werden durch die Verwendung geschalteter Systeme berücksichtigt. Bei der Untersuchung solcher Systeme ist derjenige Zustand von besonderem Interesse, bei dem innerhalb der Bevölkerung keine Infizierten auftreten, die gesamte Bevölkerung also von der betrachteten Krankheit frei bleibt. Es stellt sich die Frage, unter welchen Bedingungen sich dieser Zustand nach einer Infizierung der Bevölkerung im Laufe der Zeit von selbst einstellt. Mathematisch gesehen untersucht man die triviale Ruhelage des Systems, bei der keine Infizierten existieren, auf Stabilität. Für die Stabilitätsanalyse sind einige mathematische Begriffe und Aussagen notwendig, die im zweiten Kapitel bereitgestellt werden. Grundlegend ist die Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen, einschließlich der Stabilitätstheorie von Lyapunov. Darüberhinaus kommen wichtige Erkenntnisse aus den Gebieten Konvexe und Nichtglatte Analysis, Positive Systeme und Differentialinklusionen. Ausgestattet mit diesen Hilfsmitteln werden im vierten Kapitel Sätze bewiesen, die hinreichende Bedingungen dafür angegeben, dass die triviale Ruhelage in geschalteten SIS, SIR und SIRS Systemen asymptotisch stabil ist. KW - epidemiology KW - switched systems KW - ordinary differential equations KW - stability analysis KW - Epidemiologie KW - Geschaltete Systeme KW - Gewöhnliche Differentialgleichungen KW - Stabilitätsanalyse KW - Gewöhnliche Differentialgleichung KW - Stabilität KW - Epidemiologie Y1 - 2013 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-108573 ER - TY - THES A1 - Harms, Nadja T1 - Primal and Dual Gap Functions for Generalized Nash Equilibrium Problems and Quasi-Variational Inequalities T1 - Primale und duale Gap-Funktionen für verallgemeinerte Nash-Gleichgewichtsprobleme und Quasi-Variationsungleichungen N2 - In this thesis we study smoothness properties of primal and dual gap functions for generalized Nash equilibrium problems (GNEPs) and finite-dimensional quasi-variational inequalities (QVIs). These gap functions are optimal value functions of primal and dual reformulations of a corresponding GNEP or QVI as a constrained or unconstrained optimization problem. Depending on the problem type, the primal reformulation uses regularized Nikaido-Isoda or regularized gap function approaches. For player convex GNEPs and QVIs of the so-called generalized `moving set' type the respective primal gap functions are continuously differentiable. In general, however, these primal gap functions are nonsmooth for both problems. Hence, we investigate their continuity and differentiability properties under suitable assumptions. Here, our main result states that, apart from special cases, all locally minimal points of the primal reformulations are points of differentiability of the corresponding primal gap function. Furthermore, we develop dual gap functions for a class of GNEPs and QVIs and ensuing unconstrained optimization reformulations of these problems based on an idea by Dietrich (``A smooth dual gap function solution to a class of quasivariational inequalities'', Journal of Mathematical Analysis and Applications 235, 1999, pp. 380--393). For this purpose we rewrite the primal gap functions as a difference of two strongly convex functions and employ the Toland-Singer duality theory. The resulting dual gap functions are continuously differentiable and, under suitable assumptions, have piecewise smooth gradients. Our theoretical analysis is complemented by numerical experiments. The solution methods employed make use of the first-order information established by the aforementioned theoretical investigations. N2 - In dieser Dissertation wurden die Glattheitseigenschaften von primalen und dualen Gap-Funktionen für verallgemeinerte Nash-Gleichgewichtsprobleme (GNEPs) und Quasi-Variationsungleichungen (QVIs) untersucht. Diese Gap-Funktionen sind Optimalwertfunktionen von primalen und dualen Umformulierungen eines GNEPs oder QVIs als restringiertes oder unrestringiertes Optimierungsproblem. Für gewisse Teilklassen von GNEPs (Spezialfall von `player convex' GNEPs) und QVIs (`generalized moving set case') sind diese primalen Gap-Funktionen überall stetig differenzierbar, für allgemeine GNEPs und QVIs jedoch nicht. Weitere Untersuchungen der Stetigkeit und Differenzierbarkeit ergaben, dass die primalen Gap-Funktionen unter geeigneten Bedingungen, abgesehen von Sonderfällen, in allen lokalen Minima der entsprechenden primalen Umformulierung differenzierbar sind. In dieser Dissertation wurden außerdem duale Gap-Funktionen für bestimmte Klassen von GNEPs und QVIs entwickelt, indem die primalen Gap-Funktionen basierend auf einer Idee von Dietrich (H. Dietrich: A smooth dual gap function solution to a class of quasivariational inequalities. Journal of Mathematical Analysis and Applications 235, 1999, pp. 380--393) als Differenz zweier gleichmäßig konvexer Funktionen dargestellt wurden und auf diese beiden Funktionen die Toland-Singer-Dualitätstheorie angewendet wurde. Es stellte sich heraus, dass diese dualen Gap-Funktionen stetig differenzierbar sind und unter geeigneten Bedingungen sogar stückweise stetig differenzierbare Gradienten besitzen. Die Ergebnisse in dieser Dissertation wurden durch numerische Berechnungen für diverse Testprobleme mittels bekannter Optimierungsverfahren erster Ordnung unterstützt. KW - Nash-Gleichgewicht KW - Dualitätstheorie KW - Nichtglatte Optimierung KW - Parametrische Optimierung KW - Spieltheorie KW - Generalized Nash equilibrium KW - Quasi-variational inequalities KW - DC optimization KW - Conjugate function KW - Dual gap function KW - Regularized gap function KW - Nikaido-Isoda function KW - Parametric optimization KW - Set-valued mapping KW - optimal solution mapping Y1 - 2014 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-106027 ER - TY - THES A1 - Oswald, Nicola T1 - Hurwitz's Complex Continued Fractions - A Historical Approach and Modern Perspectives T1 - Hurwitz' komplexe Kettenbrüche N2 - The thesis ’Hurwitz’s Complex Continued Fractions - A Historical Approach and Modern Perspectives.’ deals with two branches of mathematics: Number Theory and History of Mathematics. On the first glimpse this might be unexpected, however, on the second view this is a very fruitful combination. Doing research in mathematics, it turns out to be very helpful to be aware of the beginnings and development of the corresponding subject. In the case of Complex Continued Fractions the origins can easily be traced back to the end of the 19th century (see [Perron, 1954, vl. 1, Ch. 46]). One of their godfathers had been the famous mathematician Adolf Hurwitz. During the study of his transformation from real to complex continued fraction theory [Hurwitz, 1888], our attention was arrested by the article ’Ueber eine besondere Art der Kettenbruch-Entwicklung complexer Grössen’ [Hurwitz, 1895] from 1895 of an author called J. Hurwitz. We were not only surprised when we found out that he was the elder unknown brother Julius, furthermore, Julius Hurwitz introduced a complex continued fraction that also appeared (unmentioned) in an ergodic theoretical work from 1985 [Tanaka, 1985]. Those observations formed the Basis of our main research questions: What is the historical background of Adolf and Julius Hurwitz and their mathematical studies? and What modern perspectives are provided by their complex continued fraction expansions? In this work we examine complex continued fractions from various viewpoints. After a brief introduction on real continued fractions, we firstly devote ourselves to the lives of the brothers Adolf and Julius Hurwitz. Two excursions on selected historical aspects in respect to their work complete this historical chapter. In the sequel we shed light on Hurwitz’s, Adolf’s as well as Julius’, approaches to complex continued fraction expansions. Correspondingly, in the following chapter we take a more modern perspective. Highlights are an ergodic theoretical result, namely a variation on the Döblin-Lenstra Conjecture [Bosma et al., 1983], as well as a result on transcendental numbers in tradition of Roth’s theorem [Roth, 1955]. In two subsequent chapters we are concernced with arithmetical properties of complex continued fractions. Firstly, an analogue to Marshall Hall’s Theorem from 1947 [Hall, 1947] on sums of continued fractions is derived. Secondly, a general approach on new types of continued fractions is presented building on the structural properties of lattices. Finally, in the last chapter we take up this approach and obtain an upper bound for the approximation quality of diophantine approximations by quotients of lattice points in the complex plane generalizing a method of Hermann Minkowski, improved by Hilde Gintner [Gintner, 1936], based on ideas from geometry of numbers. N2 - Die Arbeit ’Hurwitz’s Complex Continued Fractions - A Historical Approach and Modern Perspectives.’ beschäftigt sich übergreifend mit zwei Teilbereichen der Mathematik: Zahlentheorie und Geschichte der Mathematik. Im ersten Teil wird ein historischer Blick auf das Leben und Wirken der Gebrüder Adolf und Julius Hurwitz gegeben. Insbesondere ihre akademische Laufbahn und ihr Einfluss auf die Entwicklung der komplexen Kettebruchtheorie werden beleuchtet. Im zweiten zahlentheoretischen Teil werden verschiedene Perspektiven auf Ergebnisse zur Approximationsgüte gegben. Hier stehen ein ergodentheoretisches Resultat, ein komplexes Analogon zur Döblin-Lenstra-Vermutung, im Vordergrund, sowie eine Verallgemeinerung auf Gitter. Aufbauend auf Methoden aus der ’Geometrie der Zahlen’ von Hermann Minkowski wird eine obere Approximationsschranke für allgemeine Gitter gegeben. KW - Adolf Hurwitz KW - Complex Continued Fractions KW - Julius Hurwitz KW - Brüder Hurwitz KW - Kettenbruch Y1 - 2014 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-106040 ER - TY - THES A1 - Staab, Patricia T1 - Geometrische Eigenschaften von Spiraltypflächen T1 - Geometrical Properties of Spiral Type Surfaces N2 - Spiraltypflächen sind Minimalflächen des dreidimensionalen euklidischen Raums, die sich durch hohe Symmetrie gegenüber komplexen Ähnlichkeitsabbildungen der Minimalkurve auszeichnen. Ihren Namen verdanken Sie folgender Eigenschaft: Sie und ihre komplex Homothetischen sind die einzigen auf Spiralflächen abwickelbaren Minimalflächen. Bekannte Spiraltypflächen sind die Spiralminimalflächen (zugleich Minimal- und Spiralflächen) und die Bourflächen (auf Rotationsflächen abwickelbare Minimalflächen). Das Katenoid und die Enneperfläche sind spezielle Bourflächen. In dieser Arbeit werden die Spiraltypflächen auf ihre geometrischen Eigenschaften untersucht. Wir stellen ihre Periodizitäten und Symmetrien fest und versuchen, ausgezeichnete Flächenkurven auf ihnen zu finden. Wir verwenden eine globale Weierstraß-Darstellung der Spiraltypflächen. In dieser Darstellung ergeben die Flächen eine Schar mit einem komplexen Scharparameter. Anhand dieser Darstellung leiten wir sämtliche Symmetrien der Spiraltypflächen zu linearen Ähnlichkeitsabbildungen der Minimalkurve her. Als Spezialfälle erhalten wir die Symmetrien unter Assoziationen und Derivationen (Drehung der Minimalkurve um einen imaginären Drehwinkel), sowie die reellen Symmetrien (Dreh-, Spiegel- und Strecksymmetrien). Unter den Spiraltypflächen gibt es nur zwei translationssymmetrische Flächen. Die Umorientierung einer Spiraltypfläche entspricht (bis auf komplexe Homothetie) dem Vorzeichenwechsel des Flächenparameters. Im Übrigen kann durch einfache Spiegelungen an den Koordinatenebenen beziehungsweise Drehungen um die Koordinatenachsen das Vorzeichen von Real- beziehungsweise Imaginärteil des Flächenparameters umgekehrt werden. Schließlich stellen wir noch ausgezeichnete Flächenkurven auf den Spiraltypflächen vor: Krümmungslinien, Asymptotenlinien und Geodätische, sowie als deren Verallgemeinerungen die Pseudokrümmungslinien und Pseudogeodätischen. N2 - Spiral type surfaces are minimal surfaces of the three-dimensional euclidean space, which are highly symmetric under similarity transformations of the corresponding complex minimal curve. They are named "spiral type" because these surfaces and their complex homothetics are the only minimal surfaces applicable to spiral surfaces. Well-known spiral type surfaces are the spiral minimal surfaces (which are both minimal and spiral) and the Bour surfaces (which are applicable to surfaces of revolution). The catenoid and the Enneper surface are Bour surfaces. In this paper we examine the geometrical properties of spiral type surfaces. We state their periodicities and symmetries and present special curves on these surfaces. We introduce a global Enneper-Weierstrass parameterization of the spiral type surfaces. Hence, the surfaces can be classified using a complex parameter. From this representation we can derive all symmetries under similarity transformations of the minimal curve. These symmetries contain the associations and derivations (i. e. rotations by imaginary angles) of minimal curves and the real mappings (especially rotations, reflections and central dilations). There are only two spiral type surfaces which are symmetric under translations. A change of orientation of a spiral type surface is equivalent to a combination of complex homothety and negation of the surface parameter. Anyway the sign of the real and imaginary part of the surface parameter can be changed by a simple reflection in a coordinate plane or a rotation around a coordinate axis. Finally we present special curves on spiral type surfaces: lines of curvature, asymptotic curves, geodesics, and the generalizations: pseudo curvature lines and pseudo geodesics. KW - Spiraltypfläche KW - Symmetrie KW - Minimalflächen KW - Minimalkurven KW - Spiraltypflächen KW - Spiralflächen KW - mittlere Krümmung KW - Derivation KW - Symmetrien KW - Pseudogeodätische KW - Minimal surfaces KW - minimal curves KW - spiral type surfaces KW - spiral surfaces KW - mean curvature KW - derivation KW - symmetries KW - pseudo geodesics Y1 - 2002 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-3727 ER - TY - THES A1 - Kraus, Daniela T1 - Conformal pseudo-metrics and some applications T1 - Konforme Pseudo-Metriken und einige Anwendungen N2 - The point of departure for the present work has been the following free boundary value problem for analytic functions $f$ which are defined on a domain $G \subset \mathbb{C}$ and map into the unit disk $\mathbb{D}= \{z \in \mathbb{C} : |z|<1 \}$. Problem 1: Let $z_1, \ldots, z_n$ be finitely many points in a bounded simply connected domain $G \subset \mathbb{C}$. Show that there exists a holomorphic function $f:G \to \mathbb{D}$ with critical points $z_j$ (counted with multiplicities) and no others such that $\lim_{z \to \xi} \frac{|f'(z)|}{1-|f(z)|^2}=1$ for all $\xi \in \partial G$. If $G=\mathbb{D}$, Problem 1 was solved by K?nau [5] in the case of one critical point, and for more than one critical point by Fournier and Ruscheweyh [3]. The method employed by K?nau, Fournier and Ruscheweyh easily extends to more general domains $G$, say bounded by a Dini-smooth Jordan curve, but does not work for arbitrary bounded simply connected domains. In this paper we present a new approach to Problem 1, which shows that this boundary value problem is not an isolated question in complex analysis, but is intimately connected to a number of basic open problems in conformal geometry and non-linear PDE. One of our results is a solution to Problem 1 for arbitrary simply connected domains. However, we shall see that our approach has also some other ramifications, for instance to a well-known problem due to Rellich and Wittich in PDE. Roughly speaking, this paper is broken down into two parts. In a first step we construct a conformal metric in a bounded regular domain $G\subset \mathbb{C}$ with prescribed non-positive Gaussian curvature $k(z)$ and prescribed singularities by solving the first boundary value problem for the Gaussian curvature equation $\Delta u =-k(z) e^{2u}$ in $G$ with prescribed singularities and continuous boundary data. This is related to the Berger-Nirenberg problem in Riemannian geometry, the question which functions on a surface R can arise as the Gaussian curvature of a Riemannian metric on R. The special case, where $k(z)=-4$ and the domain $G$ is bounded by finitely many analytic Jordan curves was treated by Heins [4]. In a second step we show every conformal pseudo-metric on a simply connected domain $G\subseteq \mathbb{C}$ with constant negative Gaussian curvature and isolated zeros of integer order is the pullback of the hyperbolic metric on $\mathbb{D}$ under an analytic map $f:G \to \mathbb{D}$. This extends a theorem of Liouville which deals with the case that the pseudo-metric has no zeros at all. These two steps together allow a complete solution of Problem 1. Contents: Chapter I contains the statement of the main results and connects them with some old and new problems in complex analysis, conformal geometry and PDE: the Uniformization Theorem for Riemann surfaces, the problem of Schwarz-Picard, the Berger-Nirenberg problem, Wittich's problem, etc.. Chapter II and III have preparatory character. In Chapter II we recall some basic results about ordinary differential equations in the complex plane. In our presentation we follow Laine [6], but we have reorganized the material and present a self-contained account of the basic features of Riccati, Schwarzian and second order differential equations. In Chapter III we discuss the first boundary value problem for the Poisson equation. We shall need to consider this problem in the most general situation, which does not seem to be covered in a satisfactory way in the existing literature, see [1,2]. In Chapter IV we turn to a discussion of conformal pseudo-metrics in planar domains. We focus on conformal metrics with prescribed singularities and prescribed non-positive Gaussian curvature. We shall establish the existence of such metrics, that is, we solve the corresponding Gaussian curvature equation by making use of the results of Chapter III. In Chapter V we show that every constantly curved pseudo-metric can be represented as the pullback of either the hyperbolic, the euclidean or the spherical metric under an analytic map. This is proved by using the results of Chapter II. Finally we give in Chapter VI some applications of our results. [1,2] Courant, H., Hilbert, D., Methoden der Mathematischen Physik, Erster/ Zweiter Band, Springer-Verlag, Berlin, 1931/1937. [3] Fournier, R., Ruscheweyh, St., Free boundary value problems for analytic functions in the closed unit disk, Proc. Amer. Math. Soc. (1999), 127 no. 11, 3287-3294. [4] Heins, M., On a class of conformal metrics, Nagoya Math. J. (1962), 21, 1-60. [5] K?nau, R., L?gentreue Randverzerrung bei analytischer Abbildung in hyperbolischer und sph?ischer Geometrie, Mitt. Math. Sem. Giessen (1997), 229, 45-53. [6] Laine, I., Nevanlinna Theory and Complex Differential Equations, de Gruyter, Berlin - New York, 1993. N2 - Der Ausgangspunkt dieser Arbeit war das folgende freie Randwertproblem f? analytische Funktionen $f$, die auf einem Gebiet $G \subset \mathbb{C}$ definiert sind und in den Einheitskreis $\mathbb{D}= \{z \in \mathbb{C} : |z|<1 \}$ abbilden. Problem 1: Es seien $z_1, \ldots, z_n$ endlich viele Punkte in einem beschr?kten einfach zusammenh?genden Gebiet $G \subset \mathbb{C}$. Existiert eine holomorphe Funktion $f:G \to \mathbb{D}$, die genau und nur in $z_j$ kritische Punkte (mit Vielfachheiten gez?lt) besitzt und $\lim_{z \to \xi} \frac{|f'(z)|}{1-|f(z)|^2}=1$ f? alle $\xi \in \partial G$ erf?lt. F? $G=\mathbb{D}$ wurde Problem 1 von K?nau [5] im Fall eines kritischen Punktes gel?t und f? mehr als einen kritischen Punkt von Fournier and Ruscheweyh [3]. Die Methode, die von K?nau, Fournier and Ruscheweyh benutzt wurde, l?st sich auf allgemeinere Gebiete $G$ ?ertragen, aber nicht auf beliebige beschr?kte einfach zusammenh?gende Gebiete. In dieser Arbeit wird ein Zugang zu Problem 1 dargestellt, der das Randwertproblem der Komplexen Analysis mit einer Reihe offener Probleme in der Konformen Geometrie und der Theorie nicht-linearer PDE in Zusammenhang bringt. Insbesondere wird Problem 1 f? beliebige einfach zusammenh?gende Gebiete gel?t. Es wird gezeigt, dass der gew?lte Zugang weitere Verzweigungen aufweist, z.B. zu einem wohlbekannten Problem von Rellich und Wittich in PDE. Die Arbeit besteht aus zwei Hauptteilen. In einem ersten Schritt werden konforme Metriken in einem beschr?kten regul?en Gebiet $G \subset \mathbb{C}$ mit vorgeschriebener nicht-positiver Gau?cher Kr?mung $k(z)$ und vorgeschriebenen Singularit?en konstruiert, indem das erste Randwertproblem f? die Gau?che Kr?mungsgleichung $\Delta u=-k(z) e^{2u}$ in $G$ mit vorgeschriebenen Singularit?en und stetigen Randwerten gel?t wird. Dies steht in Zusammenhang mit dem Berger-Nirenberg Problem, der Frage, welche Funktionen auf einer Riemannschen Fl?he R als Gau?che Kr?mung einer Riemannschen Metrik auf R auftreten k?nen. Der Spezialfall, dass $k(z)=-4$ und das Gebiet $G$ durch endlich viele analytische Jordankurven berandet ist, wurde von Heins [4] gel?t. In einem zweiten Schritt wird gezeigt, dass jede konforme Pseudo-Metrik auf einem einfach zusammenh?genden Gebiet $G \subseteq \mathbb{C}$ mit konstanter negativer Gau?cher Kr?mung und isolierten Nullstellen ganzzahliger Ordnung die Zur?kholung der hyperbolischen Metrik auf $\mathbb{D}$ unter einer holomorphen Funktion $f:G \to \mathbb{D}$ ist. Dies erweitert einen Satz von Liouville, der den Fall einer nullstellenfreien Pseudo-Metrik behandelt. Die beschriebenen zwei Schritte l?en Problem 1 vollst?dig. Inhaltsangabe: Kapitel I enth?t die Ergebnisse der Arbeit und stellt den Zusammenhang mit alten und neuen Problemen in Komplexer Analysis, Konformer Geometrie, und PDE dar: dem Uniformisierungssatz f? Riemannsche Fl?hen, dem Problem von Schwarz-Picard, dem Berger-Nirenberg Problem, Wittichs Problem, etc.. In Kapitel II wird an grundlegende Ergebnisse gew?nlicher Differentialgleichungen in der komplexen Ebene erinnert. Die Darstellung folgt Laine [6]. Das Material ist reorganisiert und enth?t eine Auflistung der wichtigsten Gesichtspunkte von Riccati und Schwarzschen Differentialgleichungen sowie Differentialgleichungen zweiter Ordnung. In Kapitel III wird das erste Randwertproblem f? die Poisson Gleichung diskutiert. Es wird in gr秤ter Allgemeinheit betrachtet, da es scheinbar in der vorhandenen Literatur nicht in einer befriedigenden Weise behandelt wird, siehe [1,2]. In Kapitel IV werden Pseudo-Metriken in ebenen Gebieten diskutiert. Im Mittelpunkt stehen Metriken mit vorgeschriebenen Singularit?en und vorgeschriebener nicht-positiver Gau?cher Kr?mung. Die Existenz solcher Metriken wird mithilfe der Ergebnisse aus Kapitel III bewiesen. In Kapitel V wird gezeigt, dass sich jede Pseudo-Metrik konstanter Kr?mung als Zur?kholung der hyperbolischen, der euklidischen oder der sph?ischen Metrik unter einer analytischen Funktion darstellen l?st. Hierf? werden die Ergebnisse aus Kapitel II herangezogen. Einige Anwendungen der Ergebnisse befinden sich in Kaptil VI. [1,2] Courant, H., Hilbert, D., Methoden der Mathematischen Physik, Erster/ Zweiter Band, Springer-Verlag, Berlin, 1931/1937. [3] Fournier, R., Ruscheweyh, St., Free boundary value problems for analytic functions in the closed unit disk, Proc. Amer. Math. Soc. (1999), 127 no. 11, 3287-3294. [4] Heins, M., On a class of conformal metrics, Nagoya Math. J. (1962), 21, 1-60. [5] K?nau, R., L?gentreue Randverzerrung bei analytischer Abbildung in hyperbolischer und sph?ischer Geometrie, Mitt. Math. Sem. Giessen (1997), 229, 45-53. [6] Laine, I., Nevanlinna Theory and Complex Differential Equations, de Gruyter, Berlin - New York, 1993. KW - Freies Randwertproblem KW - Pseudometrik KW - konforme Pseudo-Metriken KW - freies Randwertproblem KW - Darstellung vonPseudo-Metriken KW - Poisson Gleichung KW - erstes Randwertproblem in PDE KW - conformal pseudo-metrics KW - representation of pseudo-metrics KW - Poisson equation KW - first boundary value problem in PDE Y1 - 2003 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-9193 ER - TY - THES A1 - Nagel, Christian T1 - Glättungsverfahren für semidefinite Programme T1 - Smoothing-type Methods for Semidefinite Programs N2 - In dieser Arbeit werden Algorithmen zur Lösung von linearen semidefiniten Programmen beschrieben. Unter einer geeigneten Regularitätsvoraussetzung ist ein semidefinites Programm äquivalent zu seinen Optimalitätsbedingungen. Die Optimalitätsbedingungen bzw. die Zentralen-Pfad-Bedingungen überführen wir zunächst durch matrixwertige NCP-Funktionen in ein nichtlineares Gleichungssystem. Dieses nichtlineare und teilweise nicht differenzierbare Gleichungssystem lösen wir dann mit einem Newton-ähnlichen Verfahren. Durch die Umformulierung in ein nichtlineares Gleichungssystem muss während der Iteration nicht mehr explizit die positive (Semi-)Definitheit der beteiligten Matrizen beachtet werden. Weiter wird gezeigt, dass dieser Ansatz im Gegensatz zu Inneren-Punkte-Methoden sofort symmetrische Suchrichtungen erzeugt. Um globale Konvergenz zu erhalten, werden verschiedene Globalisierungsstrategien (Schrittweitenbestimmung, Trust-Region-Ansatz) untersucht. Für das betrachtete Prädiktor-Korrektor-Verfahren und das Trust-Region-Verfahren wird lokal superlineare Konvergenz unter strikter Komplementarität und Nichtdegeneriertheit gezeigt. Die theoretische Untersuchung eines nichtglatten Newton-Verfahrens liefert ein lokal quadratisches Konvergenzverhalten ohne strikte Komplementarität, wenn die Nichtdegeneriertheitsvoraussetzung geeignet modifiziert wird. N2 - In this thesis we consider algorithms to compute a solution of linear semidefinite programs. Under a suitable regularity condition a semidefinite program is equivalent to its optimality conditions. These optimality conditions, or central-path-conditions, are reformulated as a nonlinear system of equations via matrix-valued NCP-functions. This nonlinear and partly nonsmooth system of equations is solved with a Newton-type method. Because of the reformulation as a nonlinear system of equations, we do not need the iterates to be positive (semi-)definite. Moreover, this reformulation automatically computes symmetric search directions, in contrast to interior point methods. To obtain global convergence, different globalizations (line search, trust-region) are considered. For the predictor-corrector method and the trust-region-method global and local superlinear convergence is shown under strikt complementarity and nondegeneracy. The theoretical investigation of a nonsmooth version of Newton's methods yields locally quadratic convergence without strict complementarity if the nondegeneracy conditon is modified in a suitable way. KW - Semidefinite Optimierung KW - Semidefinite Programme KW - Newton-Verfahren KW - Glättungsverfahren KW - NCP-Funktionen KW - semidefinite programming KW - Newton's method KW - smoothing-type methods KW - NCP-functions Y1 - 2003 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-8099 ER - TY - THES A1 - Fleischmann, Peter T1 - Bildung reiner Hüllen in vollständig zerlegbaren torsionsfreien abelschen Gruppen T1 - Pure subgroups of completely decomposable torsionfree abelian groups N2 - Reine Untergruppen von vollständig zerlegbaren torsionsfreien abelschen Gruppen werden Butlergruppen genannt. Eine solche Gruppe läßt sich als endliche Summe von rationalen Rang-1-Gruppen darstellen. Eine solche Darstellung ist nicht eindeutig. Daher werden Methoden entwickelt, die zu einer Darstellung mit reinen Summanden führen. Weiter kann aus dieser Darstellung sowohl die kritische Typenmenge als auch die Typuntergruppen direkt abgelesen werden. Dies vereinfacht die Behandlung von Butlergruppen mit dem Computer und gestattet darüberhinaus eine elegantere Darstellung. N2 - A pure subgroup of a completely decomposable torsion free abelian group is called Butler group. These groups can be represented as sum of rational subgroups. A representation with pure summands is developed, such that the critical typeset can be read off and every type-subgroup can be represented as sum of these summands. KW - Torsionsfreie Abelsche Gruppe KW - Abelsche Gruppe KW - Hüllenbildung KW - Reine Untergruppen KW - torsionsfreie abelsche Gruppen KW - pure subgroups KW - torsionfree abelian groups Y1 - 2003 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-5979 ER - TY - THES A1 - Preiß, Martin T1 - Analytizitätseigenschaften gewichteter zentraler Pfade bei monotonen Komplementaritätsproblemen und ihre Ausnutzung T1 - Analyticity properties of weighted central paths arising with monotone complementarity problems and their exploitation N2 - Die vorliegende Arbeit untersucht die Analytizitätseigenschaften unzulässiger Innerer-Punkte Pfade bei monotonen Komplementaritätsproblemen und diskutiert mögliche algorithmische Anwendungen. In Kapitel 2 werden einige matrixanalytische Konzepte und Resultate zusammengestellt, die für die Beweisführung in den folgenden Kapiteln benötigt werden. Kapitel 3 gibt eine genaue Definition der Begriffe "monotones lineares Komplementaritätsproblem" (LCP) bzw. "semidefinites monotones lineares Komplementaritätsproblem" (SDLCP) und zeigt die Grundidee hinter den Innere-Punkte-Verfahren zur Lösung solcher Probleme. Kapitel 4 beinhaltet die analytischen Hauptresultate für monotone Komplementaritätsprobleme. In Abschnitt 4.1 werden einige wohlbekannte Resultate über die Analytizitätseigenschaften unzulässiger Innerer-Punkte-Pfade für LCP's wiedergegeben. Diese werden in Abschnitt 4.2 auf den semidefiniten Fall übertragen. Unter der Annahme, dass das zugrundeliegende SDLCP eine strikt komplementäre Lösung besitzt, wird gezeigt, dass die Inneren-Punkte-Pfade sogar noch im Randpunkt analytisch sind. Kapitel 5 benutzt die Resultate aus Kapitel 4, um die lokal hohe Konvergenzordnung einer Langschrittmethode zur Lösung von SDLCP's zu zeigen. Kapitel 6 führt eine neue Methode zur Lösung von LCP's und SDLCP's mit Hilfe von Inneren-Punkte-Techniken ein. Dabei werden die Pfadfunktionen derart gewählt, dass alle Iterierten auf unzulässigen zentralen Pfaden liegen. Es wird globale und lokale Konvergenz des Verfahrens bewiesen. N2 - This thesis investigates the analyticity properties of infeasible interior point paths arising with monotone complementarity problems and discusses possible algorithmic applications. Chapter 2 summarizes some matrix analytical concepts and results that are needed for the proofs in the following chapters. Chapter 3 defines the terms "monotone linear complementarity problem" (LCP) and "semidefinite monotone linear complementarity problem" (SDLCP) exactly and shows the basic concept behind interior point methods for solving them. Chapter 4 contains the main analytical results for monotone complementarity problems. After repeating some well-known results on the analyticity properties of infeasible interior point paths for LCP's in section 4.1 these results are extended to the semidefinite case in section 4.2. Under the assumption that the underlying SDLCP has a strictly complementary solution it is shown that the interior point paths are analytical even at the boundary point. Chapter 5 uses the results of chapter 4 to show the locally high order of convergence of a long step method for solving SDLCP's. Chapter 6 introduces a new method for solving LCP's and SDLCP's respectively using interior point techniques. Here, the path functions are chosen in such a way that all the iterates are lying on infeasible central paths. Global and local convergence proofs are given. KW - Innere-Punkte-Methode KW - Innere-Punkte-Verfahren KW - unzulässige Innere-Punkte-Pfade KW - semidefinite Komplementaritätsprobleme KW - analytische Fortsetzung KW - Langschrittmethoden KW - interior point methods KW - infeasible interior point paths KW - semidefinite complementarity problems KW - analytical continuation KW - long step methods Y1 - 2002 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-3969 ER - TY - THES A1 - Bletz-Siebert, Oliver T1 - Homogeneous spaces with the cohomology of sphere products and compact quadrangles T1 - Homogene Räume mit der Kohomologie von Sphärenprodukten und kompakte Vierecke N2 - We consider homogeneous spaces G/H with the same rational homotopy as a product of a 1-sphere and a (m+1)-sphere. We show that these spaces have also the rational cohomology of such a sphere product if H is connected and if the quotient has dimension m+2. Furthermore, we prove that if additionally the fundamental group of G/H is cyclic, then G/H is locally a product of a 1-torus and ofA/H, where A/H is a simply connected rational cohomology (m+1)-sphere (and hence classified). If H fails to be connected, then with U as the connected component of H the G-action on the covering space G/U of G/H has connected stabilizers, and the results apply to G/U. To show that under the assumptions above every natural number may be realized as the order of the group of connected components of H we calculate the cohomology of certain homogeneous spaces. We also determine the rational cohomology of the fibre bundle U-->G-->G/U if G/H meets the assumptions above. This is done by considering the respective Leray-Serre spectral sequence. The structure of the cohomology of U-->G-->G/U then gives a second proof for the structure of compact connected Lie groups acting transitively on spaces with the rational homotopy of a product of a 1-sphere and a (m+1)-sphere. Since a quotient of a homogeneous space with the same rational homotopy or cohomology as a product of a 1-sphere and a (m+1)-sphere is not simply connected, there often arises the question whether or not a considered fibre bundle or fibration is orientable. A large amount of space will therefore be given to the problem of showing that certain fibrations are orientable. For compact connected (m+2)-manifolds with cyclic fundamental groups and with the rational homotopy of a product of a 1-sphere and a (m+1)-sphere we show the following: if a connected Lie group acts transitively on the manifold, then the maximal compact subgroups are either transitive, or their orbits are simply connected rational cohomology spheres of codimension 1. Homogeneous spaces with the same rational cohomology or homotopy as a a product of a 1-sphere and a (m+1)-sphere play a role in the study of different types of geometrical objects. They appear for example as focal manifolds of isoparametric hypersurfaces with four distinct principal curvatures. Further examples of such spaces are the point spaces and the line spaces of compact connected generalized quadrangles. We determine the isometry groups of isoparametric hypersurfaces with 4 principal curvatures of multiplicities 1 and m which are transitive on the focal manifold with non-trivial fundamental group. Buildings were introduced by Jacques Tits to give interpretations of simple groups of Lie type. They are a far-reaching generalization of projective spaces, in particular a generalization of projective planes. There is another generalization of projective planes called generalized polygons. A projective plane is the same as a generalized triangle. The generalized polygons are also contained in the class of buildings: they are the buildings of rank 2. To compact quadrangles one can assign a pair of natural numbers called the topological parameters of the quadrangles. We treat the case k=1. It turns out that there are no other point-transitive compact connected Lie groups for (1,m)-quadrangles than the ones for the real orthogonal quadrangles. Furthermore, we solve the problem of three infinite series of group actions which Kramer left as open problems; there are no quadrangles with the homogeneous spaces in question as point spaces (up to maybe a finite number of small parameters in one of the three series). N2 - Es werden homogene Räume G/H mit der rationalen Homotopie von Produkten von einer 1-Sphäre mit einer (m+1)-Sphäre untersucht. Die Ergebnisse werden auf kompakte Vierecke (das sind die sphärischen kompakten Tits-Gebäude vom Typ C2) und auf isoparametrische Hyperflächen angewandt. Wir zeigen, dass die obigen homogenen Räume auch die rationale Kohomologie des jeweiligen Sphärenprodukts haben, falls H zusammenhängend ist und der Quotient die Dimension m+2 besitzt. Die Kohomologie gewisser homogener Räume wird bestimmt, um zu zeigen, dass die Gruppe der Komponenten von H jede beliebige natürliche Zahl als Ordnung besitzen kann. Falls die Fundamentalgruppe von G/H zyklisch ist, dann ist G/H lokal von der Form Tx(A/H) mit einer eindimensionalen Torusgruppe T und einer homogenen einfach-zusammenhängenden rationalen (m+1)-Kohomologiesphäre A/H; letztere sind klassifiziert. Wir bestimmen mit Hilfe der Leray-Serre-Spektralsequenz auch die rationale Kohomologie des Faserbündels U-->G-->G/U für die Zusammenhangskomponente U von H. Ein Quotient mit der rationalen Homotopie eines Produktes einer 1-Sphäre und einer (m+1)-Sphäre ist nicht einfach zusammenhängend. Deshalb tritt häufig die Frage auf, ob gewisse Faserungen orientierbar sind. Diesem Bereich wird viel Raum gewidmet. Wirkt eine Liegruppe transitiv auf einer kompakten Mannigfaltigkeit mit endlicher Fundamentalgruppe, dann wirkt nach einem Ergebnis von Montgomery auch jede maximale kompakte Untergruppe noch transitiv. Dies ist im Allgemeinen falsch für unendliche Fundamentalgruppen. Aber hier wird gezeigt: Wirkt eine zusammenhängende Liegruppe transitiv auf einer kompakten (m+2)-dimensionalen Mannigfaltigkeit mit zyklischer Fundamentalgruppe und mit der rationalen Homotopie eines Produktes einer 1-Sphäre und einer (m+1)-Sphäre, dann sind die maximalen kompakten Untergruppen transitiv oder ihre Bahnen sind alle einfach zusammenhängende rationale (m+1)-Kohomologiesphären. Diese topologischen Ergebnisse werden auf zwei verschieden Arten von geometrischen Objekten angewandt, nämlich auf Fokalmannigfaltigkeiten isoparametrischer Hyperflächen und auf Punkträume kompakter verallgemeinerter Vierecke. Isoparametrische Hyperflächen in Sphären sind abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten mit konstanten Hauptkrümmungen. Wir wenden unsere obigen Resultate an und bestimmen die transitiven isometrischen Wirkungen auf einer Fokalmannigfaltigkeit, falls es vier Hauptkrümmungen gibt und die Fokalmannigfaltigkeit die rationalen Homotopie eines Produktes einer 1-Sphäre mit einer (m+1)-Sphäre besitzt. Viele kompakte zusammenhängende Polygone gestatten eine transitive Wirkung ihrer Automorphismengruppe auf ihrem Punkt- oder Geradenraum. Wegen der Dualität der Rolle von Punkt- und Geradenraum genügt es Punkt-homogene Vierecke zu betrachten. Einem Punkt-homogenen kompakten zusammenhängenden Viereck lässt sich ein Paar (k,m) natürlicher Zahlen zuordnen, die topologischen Parameter des Viereck. Wir behandeln hier den Fall k=1. Es zeigt sich, dass es keine anderen Punkt-transitive Liegruppen gibt als diejenigen für die reellen orthogonalen Vierecke. Zusätzlich beweisen wir, dass es für drei bestimmte Serien von homogenen Räumen (für die die Frage, ob sie zu verallgemeinerten Vierecken gehören, ein offenes Problem war) keine entsprechenden Vierecke mit den homogenen Räumen als Punkträumen gibt. KW - Homogener Raum KW - Kohomologie KW - homogene Raüme KW - Kohomologie KW - Liegruppen KW - verallgemeinerte Vierecke KW - Gebäude KW - homogeneous spaces KW - cohomology KW - Lie groups KW - generalized quadrangles KW - buildings Y1 - 2002 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-3994 ER - TY - THES A1 - Grahl, Jürgen T1 - Blochsches Prinzip, Lückenreihen und Semidualität T1 - Bloch's Principle, Gap Power Series and Semiduality N2 - Ein bekanntes heuristisches Prinzip von A. Bloch beschreibt die Korrespondenz zwischen Kriterien für die Konstanz ganzer Funktionen und Normalitätskriterien. In der vorliegenden Dissertation untersuchen wir die Gültigkeit des Blochschen Prinzip bei Lückenreihenproblemen sowie Zusammenhänge zwischen Normalitätsfragen und der Semidualität von einer bzw. von zwei Funktionen. Die ersten beiden Kapitel stellen die im folgenden benötigten Hilfsmittel aus der Nevanlinnaschen Wertverteilungstheorie und der Normalitätstheorie bereit. Im dritten Kapitel beweisen wir ein neues Normalitätskriterium für Familien holomorpher Funktionen, für die ein Differentialpolynom einer bestimmten Gestalt nullstellenfrei ist. Dies verallgemeinert frühere Resultate von Hayman, Drasin, Langley und Chen & Hua. Kapitel 4 ist dem Beweis eines unserer im folgenden wichtigsten Hilfsmittel gewidmet: eines tiefliegenden Konvergenzsatzes von H. Cartan über Familien von p-Tupeln holomorpher nullstellenfreier Funktionen, welche einer linearen Relation unterliegen. In Kapitel 5 werden die Konzepte der Dualität und Semidualität eingeführt und die Verbindung zu Normalitätsfragen diskutiert. Die neuen Ergebnisse über Lückenreihen finden sich im sechsten Kapitel. Der Schwerpunkt liegt hierbei zum einen auf sog. AP-Lückenreihen, zum anderen auf allgemeinen Konstruktionsverfahren, mit denen sich neue semiduale Lückenstrukturen aus bereits bekannten gewinnen lassen. Zahlreiche unserer Beweise beruhen wesentlich auf dem Satz von Cartan aus Kapitel 4. Im siebten Kapitel erweitern wir unsere Semidualitätsuntersuchungen auf Mengen aus zwei Funktionen. Wir ziehen Normalitätskriterien (vor allem das in Kapitel 3 bewiesene sowie den Satz von Cartan) heran, um spezielle Mengen als nichtsemidual zu identifizieren. Zuletzt konstruieren wir ein Beispiel einer semidualen Menge aus zwei Funktionen. N2 - A well-known heuristic principle by A. Bloch describes the correspondence between criteria for an entire function being constant and normality criteria. In this thesis we investigate Bloch's Principle in the context of gap power series and connections between normality questions and the question of semiduality of a single function or a set of two functions. The first two chapters provide necessary tools from Nevanlinna's Theory of value distribution and from normality theory. In the third chapter we prove a new normality criterion for families of analytic functions for which a differential polynomial of a certain type is nonvanishing. This extends former results of Hayman, Drasin, Langley and Chen & Hua. Chapter 4 is devoted to the proof of a tool essential for our further investigations: a deep convergence theorem of H. Cartan about families of p-tuples of zero-free analytic functions satisfying a linear relation. In chapter 5 we introduce the concepts of duality and semiduality and discuss connections to normality questions. Our new results on gap power series can be found in chapter 6. Here we focus on so-called AP-gaps and on general methods how to construct new semidual gap structures from already known semidual gap structures. Cartan's Theorem as stated in chapter 4 is crucial for proving most of these results. In chapter 7 we extend our considerations to the question whether sets consisting of two functions are semidual or not. We apply suitable normality criteria (in particular the criterion proved in chapter 3 and Cartan's Theorem) to identify special sets as non-semidual. Finally, we construct an example of a semidual set consisting of two functions. KW - Blochsches Prinzip KW - Semidualtität KW - Lückenreihe KW - Blochsches Prinzip KW - Semidualität KW - Dualität KW - Faltung KW - Lückenreihen KW - normale Familien KW - Satz von Cartan KW - Bloch's Principle KW - semiduality KW - duality KW - convolution KW - gap power series KW - normal families KW - Cartan's Theorem Y1 - 2002 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-3477 ER - TY - THES A1 - Wolfrom, Martin T1 - Isoparametric hypersurfaces with a homogeneous focal manifold T1 - Isoparametrische Hyperflächen mit einer homogenen Fokalmannigfaltigkeit N2 - The classification of isoparametric hypersurfaces in spheres with a homogeneous focal manifold is a project that has been started by Linus Kramer. It extends results by E. Cartan and Hsiang and Lawson. Kramer does most part of this classification in his Habilitationsschrift. In particular he obtains a classification for the cases where the homogeneous focal manifold is at least 2-connected. Results of E. Cartan, Dorfmeister and Neher, and Takagi also solve parts of the classification problem. This thesis completes the classification. We classify all closed isoparametric hypersurfaces in spheres with g>2 distinct principal curvatures one of whose multiplicities is 2 such that the lower dimensional focal manifold is homogeneous. The methods are essentially the same as in Kramer's 'Habilitationsschrift'. The cohomology of the focal manifolds in question is known. This leads to two topological classification problems, which are also solved in this thesis. We classify simply connected homogeneous spaces of compact Lie groups with the same integral cohomology ring as a product of spheres S^2 x S^m and m odd on the one hand and a truncated polynomial ring Q[a]/(a^m) with one generator of even degree and m > 1 as its rational cohomology ring on the other hand. N2 - Die Klassifikation der isoparametrischen Hyperflächen mit einer homogenen Fokalmannigfaltigkeit ist ein Projekt, das von Linus Kramer initiiert wurde. Es verallgemeinert Ergebnisse von E. Cartan und von Hsiang und Lawson. Kramer vollzieht den Großteil dieser Klassifikation in seiner Habilitationsschrift. Genauer gesagt, erhält er eine Klassifikation für die Fälle, in denen die homogene Fokalmannigfaltigkeit mindestens 2-zusammenhängend ist. Ergebnisse von E. Cartan, von Dorfmeister und Neher und von Takagi lösen ebenfalls Teile des Problems. Diese Dissertation schließt die Klassifikation ab. Wir klassifizieren alle abgeschlossenen isoparametrischen Hyperflächen in Sphären mit g>2 verschiedenen Hauptkrümmungen, deren eine Vielfachheit 2 ist, wobei die der Dimension nach kleinere Fokalmannigfaltigkeit homogen ist. Die Methoden sind im Wesentlichen die gleichen wie in Kramers Habilitationsschrift. Die Kohomologie der fraglichen Fokalmannigfaltigkeiten ist bekannt. Dies führt zu zwei topologischen Klassifikationsproblemen, die ebenfalls in dieser Dissertation gelöst werden. Wir klassifizieren einfach zusammenhängende homogene Räume kompakter Lie-Gruppen, welche einerseits den gleichen ganzzahligen Kohomologiering haben wie ein Sphären-Produkt S^2 x S^m, m ungerade, oder andererseits einen abgeschnittenen Polynomring Q[a]/(a^m) in einem Erzeuger von geradem Grad und m>1 als Kohomologiering haben. KW - Isoparametrische Hyperfläche KW - Sphäre KW - Fokalmannigfaltigkeit KW - Klassifikation KW - Homogener Raum KW - Kompakte Lie-Gruppe KW - Kohomologie Y1 - 2002 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-3505 ER - TY - THES A1 - Joachim, Silvia T1 - Regulatorketten in Butlergruppen T1 - Regulator Chains of Butler Groups N2 - Die fast vollständig zerlegbaren Gruppen bilden eine Teilklasse der Butlergruppen. Das Konzept des Regulators, d.h. der Durchschnitt aller regulierenden Untergruppen, ist unverzichtbar für fast vollständig zerlegbare Gruppen. Dieses Konzept lässt sich in natürlicher Weise auf die ganze Klasse der Butlergruppen fortsetzen. Allerdings lässt sich die Regulatorbildung im allgemeineren Fall der Butlergruppen a priori iterieren. Damit stellt sich erst einmal die Frage, ob es überhaupt Butlergruppen gibt mit Regulatorketten, der Länge größer als 1. Ein erstes Beispiel der Länge 2 wurde 1997 von Lehrmann und Mutzbauer konstruiert. In dieser Dissertation wurden mit konzeptionell neuen Techniken Butlergruppen mit beliebiger vorgegebener endlicher Kettenlänge angegeben. Grundsätzliche Schwierigkeiten bei diesem Unterfangen resultieren aus dem Fehlen, bzw. der Unmöglichkeit, einer kanonischen Darstellung von Butlergruppen. Man verwendet die allseits gebrauchte Summendarstellung für Butlergruppen. Genau an dieser Stelle bedarf es völlig neuer Methoden, verglichen mit den fast vollständig zerlegbaren Gruppen mit ihrer kanonischen Regulatordarstellung. Alle Teilaufgaben bei der anstehenden Konstruktion von Butlergruppen, die für fast vollständig zerlegbare Gruppen Standard sind, werden hierbei problematisch, u.a. die Bildung reiner Hüllen, die Bestimmung regulierender Untergruppen und die Regulatorbildung. N2 - The almost completely decomposable groups form a subclass of the Butler groups. The concept of a regulator, i. e., the intersection of all regulating subgroups, is inevitable for almost completely decomposable groups. This concept can be transferred and continued to the whole class of Butler groups in a natural way. However, forming the regulator for Butler groups usually allows proper iteration. Thus, the primary question is, if there are any Butler groups at all with longer regulator chains, the length longer than 1. A first example of length 2 was constructed by Lehrmann and Mutzbauer in 1997. In this doctoral dissertation Butler groups were constructed of an arbitrarily given finite chain length, using conceptually new techniques. Basic difficulties resulted from the lack, or respectively, the impossibility, of any canonical descriptions of Butler groups. Usually Butler groups are given by the so called sum representation. Precisely here completely new methods are necessary to be applied, compared with the almost completely decomposable groups and their canonical regulator representation. All detailed tasks for the indicated construction of Butler groups, which are standard for almost completely decomposable groups, become problematic, among other things the forming of pure hulls, the determination of regulating subgroups, and the construction of the regulator. KW - Butlergruppe KW - Regulator KW - Butlergruppe KW - regulierende Untergruppen KW - Regulator KW - Butler group KW - regulating subgroup KW - regulator Y1 - 2004 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-10438 ER - TY - THES A1 - Kurniawan, Indra T1 - Controllability Aspects of the Lindblad-Kossakowski Master Equation : A Lie-Theoretical Approach T1 - Kontrollierbarkeitsaspekte der Lindblad-Kossakowski Master-Gleichung : Ein Lie-theoretischer Ansatz N2 - One main task, which is considerably important in many applications in quantum control, is to explore the possibilities of steering a quantum system from an initial state to a target state. This thesis focuses on fundamental control-theoretical issues of quantum dynamics described by the Lindblad-Kossakowski master equation which arises as a bilinear control system on some underlying real vector spaces, e.g controllability aspects and the structure of reachable sets. Based on Lie-algebraic methods from nonlinear control theory, the thesis presents a unified approach to control problems of finite dimensional closed and open quantum systems. In particular, a simplified treatment for controllability of closed quantum systems as well as new accessibility results for open quantum systems are obtained. The main tools to derive the results are the well-known classifications of all matrix Lie groups which act transitively on Grassmann manifolds, and respectively, on real vector spaces without the origin. It is also shown in this thesis that accessibiity of the Lindblad-Kossakowski master equation is a generic property. Moreover, based on the theoretical accessibility results, an algorithm is developed to decide when the Lindblad-Kossakowski master equation is accessible. N2 - Eine Hauptaufgabe, mit zahlreichen wichtigen Anwendungen in dem Gebiet der Quantenkontrolle, ist die Untersuchung der Möglichkeit zur Steuerung eines quantenmechanischen Systems von einem Anfangszustand zum einem Zielszustand. Diese Arbeit konzentriert sich auf die grundlegenden kontrolltheoretischen Fragen, wie z.B solche zur Erreichbarkeits- und Kontrollierbarkeit, über quantendynamische Systeme, die durch die Lindblad-Kossakowski Master Gleichungen beschrieben werden. Diese Gleichungen bilden bilineare Kontrollsysteme auf einem reellen Vektorraum. Basierend auf Lie-algebraische Methoden der nicht-linearen Kontrolltheorie, wird in dieser Arbeit ein vereinheitlichter Zugang präsentiert um die kontrolltheoretischen Fragen in endlichdimensionalen, geschlossenen wie offenen Quantensystemen zu beantworten. Insbesondere, werden eine vereinfachte Verarbeitung der Kontrollierbarkeitsfragen geschlossener Systeme sowie neue Ergebnisse zur Frage der Zugänglichkeit offener Systeme ausgearbeitet. Der Hauptansatz, um dieser Ergebnisse abzuleiten, besteht in der bekannten Klassifizierung aller Matrix-Lie Gruppen, die auf Grassmann Mannigfaltigkeiten bzw. reellen Vektorräumen ohne Ursprung, transitiv operieren. In dieser Arbeit, werden auch generische Eigenschaften zur Zugänglichkeit der Lindblad-Kossakowski Master Gleichung ausgeführt. Ferner wird, mit Hilfsmittel von theoretischer Ergebnisse, ein Algorithmus zur Bestimmung der Zugänglichkeit der Lindblad-Kossakowski Master Gleichung entwickelt. KW - Kontrolltheorie KW - Quantenmechanisches System KW - Master-Gleichung KW - Lie-Gruppe KW - Controllability KW - Blinear Quantum Control Systems KW - Lindblad-Kossakowski Master Equation KW - Transitive Lie Groups Y1 - 2009 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-48815 ER - TY - THES A1 - König, Joachim T1 - The inverse Galois problem and explicit computation of families of covers of \(\mathbb{P}^1\mathbb{C}\) with prescribed ramification T1 - Das Umkehrproblem der Galoistheorie und explizite Berechnung von Familien von Überlagerungen des \(\mathbb{P}^1\mathbb{C}\) mit vorgegebener Verzweigung N2 - In attempting to solve the regular inverse Galois problem for arbitrary subfields K of C (particularly for K=Q), a very important result by Fried and Völklein reduces the existence of regular Galois extensions F|K(t) with Galois group G to the existence of K-rational points on components of certain moduli spaces for families of covers of the projective line, known as Hurwitz spaces. In some cases, the existence of rational points on Hurwitz spaces has been proven by theoretical criteria. In general, however, the question whether a given Hurwitz space has any rational point remains a very difficult problem. In concrete cases, it may be tackled by an explicit computation of a Hurwitz space and the corresponding family of covers. The aim of this work is to collect and expand on the various techniques that may be used to solve such computational problems and apply them to tackle several families of Galois theoretic interest. In particular, in Chapter 5, we compute explicit curve equations for Hurwitz spaces for certain families of \(M_{24}\) and \(M_{23}\). These are (to my knowledge) the first examples of explicitly computed Hurwitz spaces of such high genus. They might be used to realize \(M_{23}\) as a regular Galois group over Q if one manages to find suitable points on them. Apart from the calculation of explicit algebraic equations, we produce complex approximations for polynomials with genus zero ramification of several different ramification types in \(M_{24}\) and \(M_{23}\). These may be used as starting points for similar computations. The main motivation for these computations is the fact that \(M_{23}\) is currently the only remaining sporadic group that is not known to occur as a Galois group over Q. We also compute the first explicit polynomials with Galois groups \(G=P\Gamma L_3(4), PGL_3(4), PSL_3(4)\) and \(PSL_5(2)\) over Q(t). Special attention will be given to reality questions. As an application we compute the first examples of totally real polynomials with Galois groups \(PGL_2(11)\) and \(PSL_3(3)\) over Q. As a suggestion for further research, we describe an explicit algorithmic version of "Algebraic Patching", following the theory described e.g. by M. Jarden. This could be used to conquer some problems regarding families of covers of genus g>0. Finally, we present explicit Magma implementations for several of the most important algorithms involved in our computations. N2 - Das Umkehrproblem der Galoistheorie und explizite Berechnung von Familien von Überlagerungen des \(\mathbb{P}^1\mathbb{C}\) mit vorgegebener Verzweigung KW - Galoistheorie KW - Galois theory KW - Hurwitz-Raum KW - Algebraische Kurve KW - Funktionenkörper KW - Monodromie KW - Hurwitz spaces KW - Algebraic Curves KW - Function Fields KW - Monodromy Y1 - 2014 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-100143 ER - TY - THES A1 - Zhai, Xiaomin T1 - Design, Development and Evaluation of a Virtual Classroom and Teaching Contents for Bernoulli Stochastics T1 - Design, Entwicklung und Evaluierung einer virtuellen Lernumgebung und des Lehrstoffs für die Bernoulli Stochastik N2 - This thesis is devoted to Bernoulli Stochastics, which was initiated by Jakob Bernoulli more than 300 years ago by his master piece 'Ars conjectandi', which can be translated as 'Science of Prediction'. Thus, Jakob Bernoulli's Stochastics focus on prediction in contrast to the later emerging disciplines probability theory, statistics and mathematical statistics. Only recently Jakob Bernoulli's focus was taken up von Collani, who developed a unified theory of uncertainty aiming at making reliable and accurate predictions. In this thesis, teaching material as well as a virtual classroom are developed for fostering ideas and techniques initiated by Jakob Bernoulli and elaborated by Elart von Collani. The thesis is part of an extensively construed project called 'Stochastikon' aiming at introducing Bernoulli Stochastics as a unified science of prediction and measurement under uncertainty. This ambitious aim shall be reached by the development of an internet-based comprehensive system offering the science of Bernoulli Stochastics on any level of application. So far it is planned that the 'Stochastikon' system (http://www.stochastikon.com/) will consist of five subsystems. Two of them are developed and introduced in this thesis. The first one is the e-learning programme 'Stochastikon Magister' and the second one 'Stochastikon Graphics' that provides the entire Stochastikon system with graphical illustrations. E-learning is the outcome of merging education and internet techniques. E-learning is characterized by the facts that teaching and learning are independent of place and time and of the availability of specially trained teachers. Knowledge offering as well as knowledge transferring are realized by using modern information technologies. Nowadays more and more e-learning environments are based on the internet as the primary tool for communication and presentation. E-learning presentation tools are for instance text-files, pictures, graphics, audio and videos, which can be networked with each other. There could be no limit as to the access to teaching contents. Moreover, the students can adapt the speed of learning to their individual abilities. E-learning is particularly appropriate for newly arising scientific and technical disciplines, which generally cannot be presented by traditional learning methods sufficiently well, because neither trained teachers nor textbooks are available. The first part of this dissertation introduces the state of the art of e-learning in statistics, since statistics and Bernoulli Stochastics are both based on probability theory and exhibit many similar features. Since Stochastikon Magister is the first e-learning programme for Bernoulli Stochastics, the educational statistics systems is selected for the purpose of comparison and evaluation. This makes sense as both disciplines are an attempt to handle uncertainty and use methods that often can be directly compared. The second part of this dissertation is devoted to Bernoulli Stochastics. This part aims at outlining the content of two courses, which have been developed for the anticipated e-learning programme Stochastikon Magister in order to show the difficulties in teaching, understanding and applying Bernoulli Stochastics. The third part discusses the realization of the e-learning programme Stochastikon Magister, its design and implementation, which aims at offering a systematic learning of principles and techniques developed in Bernoulli Stochastics. The resulting e-learning programme differs from the commonly developed e-learning programmes as it is an attempt to provide a virtual classroom that simulates all the functions of real classroom teaching. This is in general not necessary, since most of the e-learning programmes aim at supporting existing classroom teaching. The forth part presents two empirical evaluations of Stochastikon Magister. The evaluations are performed by means of comparisons between traditional classroom learning in statistics and e-learning of Bernoulli Stochastics. The aim is to assess the usability and learnability of Stochastikon Magister. Finally, the fifth part of this dissertation is added as an appendix. It refers to Stochastikon Graphics, the fifth component of the entire Stochastikon system. Stochastikon Graphics provides the other components with graphical representations of concepts, procedures and results obtained or used in the framework of Bernoulli Stochastics. The primary aim of this thesis is the development of an appropriate software for the anticipated e-learning environment meant for Bernoulli Stochastics, while the preparation of the necessary teaching material constitutes only a secondary aim used for demonstrating the functionality of the e-learning platform and the scientific novelty of Bernoulli Stochastics. To this end, a first version of two teaching courses are developed, implemented and offered on-line in order to collect practical experiences. The two courses, which were developed as part of this projects are submitted as a supplement to this dissertation. For the time being the first experience with the e-learning programme Stochastikon Magister has been made. Students of different faculties of the University of Würzburg, as well as researchers and engineers, who are involved in the Stochastikon project have obtained access to Stochastikon Magister via internet. They have registered for Stochastikon Magister and participated in the course programme. This thesis reports on two assessments of these first experiences and the results will lead to further improvements with respect to content and organization of Stochastikon Magister. N2 - Diese Dissertation ist der Bernoulli Stochastik gewidmet, die von Jakob Bernoulli von mehr als 300 Jahren begonnen wurde und zwar mit seinem Hauptwerk 'Ars conjectandi', was mit 'Wissenschaft der Vorhersagen' übersetzt werden kann. Im Zentrum von Jakob Bernoullis Stochastik stehen Vorhersagen im Gegensatz zu den später entstandenen Disziplinen Wahrscheinlichkeitstheorie, Statistik und Mathematische Statistik. Vor Kurzem wurde Jakob Bernoullis Vorschlag von Elart von Collani aufgegriffen, der daraus eine einheitliche Theorie der Unsicherheit entwickelte mit dem Ziel zuverlässige und genaue Vorhersagen zu erlauben. In dieser Dissertation wird eine virtuelle Lernumgebung und der entsprechende Lehrstoff für die Ideen und Resultate von Jakob Bernoulli und Elart von Collani entwickelt. Die Dissertation ist Teil des groß angelegten Projekts 'Stochastikon' dessen Ziel es ist, die Bernoulli Stochastik als allgemeine Wissenschaft der Vorhersage und des Messens unter Unsicherheit zu etablieren. Dieses ehrgeizige Ziel soll mit Hilfe eines umfassenden Internet-Systems erreicht werden, das die Bernoulli Stochastik für alle Gebiete der Anwendung zur Verfügung stellt. Zur Zeit besteht das Stochastikon-System (http://www.stochastikon.com/) aus fünf Teilsystemen. Zwei dieser Systeme sind im Rahmen dieser Dissertation entstanden. Das erste ist das E-Learning Programm 'Stochastikon Magister' und das zweite heißt 'Stochastikon Graphics'. Es beliefert das gesamte Stochastikon Systems mit grafischen Darstellungen. E-Learning entsteht durch Anwendung moderner Informationstechnologien auf die Ausbildung. E-Learning zeichnet sich dadurch aus, dass Lehren und Lernen unabhängig von Ort und Zeit und vom Vorhandensein von speziell ausgebildeten Lehrern ist. Das Angebot und Übermittlung von Wissen erfolgt mit Hilfe der modernen Informationstechnologien. Heutzutage basieren immer mehr E-Learning Programme auf dem Internet, das zum wichtigstes Mittel der Wissensvermittlung und Wissensdarstellung geworden ist. Für die Darstellung des Lehrstoffes im Rahmen des E-Learning existieren kaum Grenzen und darüber hinaus können die Studenten die Lerngeschwindigkeit ihren eigenen Bedürfnissen anpassen. E-Learning ist dabei besonders geeignet für neue wissenschaftliche und technische Disziplinen, die mangels Lehrer und Lehrmaterialien nicht mit Hilfe traditioneller Lernmethoden unterrichtet werden können. Im ersten Teil der Dissertation wird der State of the Art im Bereich der E-Learning Porgramme im Fach Statistik dargestellt, da Statistik und Bernoulli Stochastik beide auf der Wahrscheinlichkeitstheorie basieren und daher viele Ähnlichkeiten aufweisen. Stochastikon Magister ist das erste E-Learning Programm im Rahmen der Bernoulli Stochastik und daher werden zum Vergleich und zur Evaluierung Lehrsysteme aus der Statistik verwendet. Dies ist schon deshalb sinnvoll, weil beide Diszipline sich mit der Unsicherheit beschäftigen und in vielen Fällen die entsprechenden Methoden direkt miteinander verglichen werden können. Der zweite Teil der Dissertation enthält eine kurze Einführung in die Bernoulli Stochastik und zwar anhand von zwei Kursen die im Rahmen der Dissertation entwickelt wurden. Dieser Teil soll die Schwierigkeiten veranschaulichen, die beim Lehren, Verstehen und Anwenden der Bernoulli Stochastik überwunden werden müssen. Im dritten Teil der Dissertation wird die Realisierung des E-Learning Programms Stochastikon Magister diskutiert. Charakteristisch für das E-Learning Programm Stochastikon Magister ist der Versuch ein vollständiges virtuelles Klassenzimmer zu verwirklichen in dem alle Funktionen des traditionellen Schulunterrichts simuliert werden. Dies ist im Allgemeinen nicht notwendig, da das Ziel der meisten E-Learning Programme nur aus der Unterstützung eines traditionellen Lehrprogrammes besteht. Der vierte Teil der Dissertation besteht aus einer empirischen Evaluation des Stochastikon Magisters. Dabei wird eine traditionelle Statistikausbildung mit der Ausbildung in Bernoulli Stochastik auf der Grundlage des E-Learning Programms Stochastikon Magister verglichen. Ziel ist es die Bedienungsfreundlichkeit des Magisters und die Erlernbarkeit der Bernoulli Stochastik nachzuweisen. Der fünfte Teil schließlich besteht aus einem Anhang, der die fünfte Komponente des Stochastik Systems (Stochasticon Graphics) beschreibt. Stochasticon Graphics sorgt dafür, dass alle übrigen Komponenten mit graphischen Abbildungen der Konzepte, Verfahren und Resultate versorgt werden. Das Hauptziel dieser Dissertation ist die Entwicklung geeigneter Software für eine E-Learning-Umgebung für das Fach Bernoulli Stochastik. Die Bereitstellung des entsprechenden Lehrstoff stellt dabei ein sekundäres, aber notwendiges Ziel dar. Notwendig um vor allem die Funktionalität der E-Learning Plattform und die wissenschaftliche Neuheit der Bernoulli Stochastik demonstrieren zu können. Dazu wurden erste Versionen von zwei Kursen entwickelt und on-line angeboten, um Erfahrungen zu sammeln. Die beiden Kurse, die im Rahmen dieser Dissertation entwickelt worden sind, sind als Anhang der Dissertation beigefügt. Zur Zeit werden die ersten Erfahrungen mit dem E-Learning Programm Stochastikon Magister gemacht. Studenten verschiedener Fakultäten der Universität Würzburg aber auch Wissenschaftler und Techniker, die im Rahmen des Stochastikon Projekts mitarbeiten, haben die Kurse belegt und absolviert. Die Ergebnisse dieser ersten Erfahrungen werden in der Dissertation dargestellt und sie werden zu weiteren Verbesserungen des E-Learning Programms führen. KW - Moment KW - Wahrscheinlichkeitsverteilung KW - E-Learning KW - Stochastik KW - Vorhersagetheorie KW - Unsicherheit KW - Zufall KW - Ignoranz KW - Bernoulli Raum KW - Vorhersageverfahren KW - Bernoulli KW - Jakob KW - Uncertainty KW - Randomness KW - Ignorance KW - Bernoulli Space KW - Prediction Procedure Y1 - 2010 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-56106 ER - TY - THES A1 - Curtef, Oana T1 - Rayleigh–quotient optimization on tensor products of Grassmannians T1 - Rayleigh–Quotient Optimierung auf Tensorprodukte von Graßmann-Mannigfaltigkeiten N2 - Applications in various research areas such as signal processing, quantum computing, and computer vision, can be described as constrained optimization tasks on certain subsets of tensor products of vector spaces. In this work, we make use of techniques from Riemannian geometry and analyze optimization tasks on subsets of so-called simple tensors which can be equipped with a differentiable structure. In particular, we introduce a generalized Rayleigh-quotient function on the tensor product of Grassmannians and on the tensor product of Lagrange- Grassmannians. Its optimization enables a unified approach to well-known tasks from different areas of numerical linear algebra, such as: best low-rank approximations of tensors (data compression), computing geometric measures of entanglement (quantum computing) and subspace clustering (image processing). We perform a thorough analysis on the critical points of the generalized Rayleigh-quotient and develop intrinsic numerical methods for its optimization. Explicitly, using the techniques from Riemannian optimization, we present two type of algorithms: a Newton-like and a conjugated gradient algorithm. Their performance is analysed and compared with established methods from the literature. N2 - Viele Fragestellungen aus den unterschiedlichen mathematischen Disziplinen, wie z.B. Signalverarbeitung, Quanten-Computing und Computer-Vision, können als Optimierungsprobleme auf Teilmengen von Tensorprodukten von Vektorräumen beschrieben werden. In dieser Arbeit verwenden wir Techniken aus der Riemannschen Geometrie, um Optimierungsprobleme für Mengen von sogenannten einfachen Tensoren, welche mit einer differenzierbaren Struktur ausgestattet werden können, zu untersuchen. Insbesondere führen wir eine verallgemeinerte Rayleigh-Quotienten-Funktion auf dem Tensorprodukt von Graßmann-Mannigfaltigkeiten bzw. Lagrange-Graßmann-Mannigfaltigkeiten ein. Dies führt zu einem einheitlichen Zugang zu bekannten Problemen aus verschiedenen Bereichen der numerischen linearen Algebra, wie z.B. die Niedrig–Rang–Approximation von Tensoren (Datenkompression), die Beschreibung geometrischer Maße für Quantenverschränkung (Quanten-Computing) und Clustering (Bildverarbeitung). Wir führen eine gründliche Analyse der kritischen Punkte des verallgemeinerten Rayleigh-Quotienten durch und entwickeln intrinsische numerische Methoden für dessen Optimierung. Wir stellen zwei Arten von Algorithmen vor, die wir mit Hilfe von Techniken aus der Riemannsche Optimierung entwickeln: eine mit Gemeinsamkeiten zum Newton-Verfahren und eine zum CG-Verfahren ähnliche. Wir analysieren die Performance der Algorithmen und vergleichen sie mit gängigen Methoden aus der Literatur. KW - Optimierung KW - Riemannsche Optimierung KW - Newtonverfahren KW - Verfahren der konjugierten Gradienten KW - Maße für Quantenverschränkung KW - Riemannian optimization KW - Grassmann Manifold KW - Newton method KW - Conjugate gradient method KW - tensor rank KW - subspace clustering KW - enatnglement measure KW - Riemannsche Geometrie KW - Grassmann-Mannigfaltigkeit KW - Konjugierte-Gradienten-Methode KW - Newton-Verfahren Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-83383 ER - TY - THES A1 - Christ, Thomas T1 - Value-distribution of the Riemann zeta-function and related functions near the critical line T1 - Werteverteilung der Riemannschen Zetafunktion und verwandter Funktionen nahe der kritischen Geraden N2 - The Riemann zeta-function forms a central object in multiplicative number theory; its value-distribution encodes deep arithmetic properties of the prime numbers. Here, a crucial role is assigned to the analytic behavior of the zeta-function on the so called critical line. In this thesis we study the value-distribution of the Riemann zeta-function near and on the critical line. Amongst others we focus on the following. PART I: A modified concept of universality, a-points near the critical line and a denseness conjecture attributed to Ramachandra. The critical line is a natural boundary of the Voronin-type universality property of the Riemann zeta-function. We modify Voronin's concept by adding a scaling factor to the vertical shifts that appear in Voronin's universality theorem and investigate whether this modified concept is appropriate to keep up a certain universality property of the Riemann zeta-function near and on the critical line. It turns out that it is mainly the functional equation of the Riemann zeta-function that restricts the set of functions which can be approximated by this modified concept around the critical line. Levinson showed that almost all a-points of the Riemann zeta-function lie in a certain funnel-shaped region around the critical line. We complement Levinson's result: Relying on arguments of the theory of normal families and the notion of filling discs, we detect a-points in this region which are very close to the critical line. According to a folklore conjecture (often attributed to Ramachandra) one expects that the values of the Riemann zeta-function on the critical line lie dense in the complex numbers. We show that there are certain curves which approach the critical line asymptotically and have the property that the values of the zeta-function on these curves are dense in the complex numbers. Many of our results in part I are independent of the Euler product representation of the Riemann zeta-function and apply for meromorphic functions that satisfy a Riemann-type functional equation in general. PART II: Discrete and continuous moments. The Lindelöf hypothesis deals with the growth behavior of the Riemann zeta-function on the critical line. Due to classical works by Hardy and Littlewood, the Lindelöf hypothesis can be reformulated in terms of power moments to the right of the critical line. Tanaka showed recently that the expected asymptotic formulas for these power moments are true in a certain measure-theoretical sense; roughly speaking he omits a set of Banach density zero from the path of integration of these moments. We provide a discrete and integrated version of Tanaka's result and extend it to a large class of Dirichlet series connected to the Riemann zeta-function. N2 - Die Riemannsche Zetafunktion ist ein zentraler Gegenstand der multiplikativen Zahlentheorie; in ihrer Werteverteilung liegen wichtige arithmetische Eigenschaften der Primzahlen kodiert. Besondere Bedeutung kommt hierbei dem analytischen Verhalten der Zetafunktion auf der sog. kritischen Geraden zu. Wir untersuchen in dieser Arbeit die Werteverteilung der Riemannschen Zetafunktion auf und nahe der kritischen Geraden. Wir fokusieren wir uns dabei u.a. auf folgende Punkte. TEIL I: Ein modifiziertes Universalitätskonzept, a-Stellen nahe der kritischen Geraden und eine Dichtheitsvermutung nach Ramachandra. Die kritische Gerade fungiert als natürliche Grenze für die Voroninsche Universalitätseigenschaft der Riemannschen Zetafunktion. Wir modifizieren Voronins Universalitätskonzept dahingehend, dass wir die vertikalen Translationen aus Voronins Universalitätssatz mit einer zusätzlichen Skalierung versehen. Wir untersuchen, ob durch dieses modifizierte Konzept eine abgeschwächte Universalitätseigenschaft der Riemannschen Zetafunktion um die kritschen Gerade aufrecht erhalten werden kann. Es stellt sich heraus, dass die Gestalt der Funktionen, die sich auf diese Weise durch die Zetafunktion approximieren lassen, stark von der Funktionalgleichung und der Wahl des skalierenden Faktors abhängt. Nach einem Resultat von Levinson liegen fast alle a-Stellen der Riemannschen Zetafunktion in einem trichterförmigen Bereich um die kritische Gerade. Gewisse Normalitätsargumenten sowie das Konzept der 'filling discs' erlauben uns Levinsons Resultat zu ergänzen und a-Stellen in diesem trichterförmigen Bereich aufzuspüren, die sehr nahe an der kritischen Geraden liegen. Man vermutet, dass die Werte der Riemannschen Zetafunktion auf der kritischen Geraden dicht in den komplexen Zahlen liegen. Wir nähern uns dieser Vermutung (die man oft Ramachandra zuschreibt), indem wir die Existenz gewisser Kurven nachweisen, die sich asymptotisch an die kritische Gerade anschmiegen und die Eigenschaft besitzen, dass die Werte der Zetafunktion auf diesen Kurven dicht in den komplexen Zahlen liegen. Viele unserer Ergebnisse in Teil I sind unabhängig von der Eulerproduktdarstellung der Zetafunktion und gelten allgemein für beliebige meromorphe Funktionen, die einer Funktionalgleichung vom Riemann-Typ genügen. TEIL II: Diskrete und kontinuierliche Momente. Die Lindelöf Vermutung trifft eine Aussage über das Wachstumsverhalten der Zetafunktion auf der kritischen Geraden. Nach klassischen Arbeiten von Hardy und Littlewood lässt sie sich mittels Potenzmomente der Zetafunktion rechts von der kritischen Geraden umformulieren. Tanaka konnte kürzlich nachweisen, dass die asymptotischen Formeln, die man für diese Potenzmomente erwartet in einem gewissen maßtheoretischem Sinne Gülitgkeit besitzen: grob gesprochen wird heibei eine Menge mit Banachdichte null vom Integrationsweg der Potenzmomente ausgespart. Wir stellen eine diskrete und eine integrierte Version von Tanakas Resultat zur Verfügung. Zudem verallgemeinern wir Tanakas Ergebnis auf eine große Klasse von Dirichletreihen. KW - Riemannsche Zetafunktion KW - Riemann zeta-function KW - universality KW - a-point distribution Y1 - 2013 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-97763 ER - TY - INPR A1 - Geiselhart, Roman A1 - Gielen, Rob H. A1 - Lazar, Mircea A1 - Wirth, Fabian R. T1 - An Alternative Converse Lyapunov Theorem for Discrete-Time Systems N2 - This paper presents an alternative approach for obtaining a converse Lyapunov theorem for discrete–time systems. The proposed approach is constructive, as it provides an explicit Lyapunov function. The developed converse theorem establishes existence of global Lyapunov functions for globally exponentially stable (GES) systems and semi–global practical Lyapunov functions for globally asymptotically stable systems. Furthermore, for specific classes of sys- tems, the developed converse theorem can be used to establish non–conservatism of a particular type of Lyapunov functions. Most notably, a proof that conewise linear Lyapunov functions are non–conservative for GES conewise linear systems is given and, as a by–product, tractable construction of polyhedral Lyapunov functions for linear systems is attained. KW - Ljapunov-Funktion KW - stability analysis KW - conewise linear systems KW - discrete-time systems KW - converse Lyapunov theorems Y1 - 2013 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-78512 ER - TY - THES A1 - Sen, Surath T1 - Character Analysis and Numerical Computations of Standard M.I. Probability Distributions T1 - Charakteranalyse und Numerische Berechnungen der Standard M.I. Wahrscheinlichkeitsverteilungen N2 - Development and character analysis of software programs, which compute minimum information probability distributions. N2 - Entwicklung und Charakteranalyse von Softwareprogrammen, welche Minimuminformations Wahrscheinlichkeitsverteilungen berechnen. KW - Newton-Verfahren KW - Charakteranalyse KW - Softwareentwicklung KW - Minimum Information Wahrscheinlichkeitsverteilung KW - Newton-Raphson Verfahren KW - Minimum Information Probability Distribution KW - Newton-Raphson Method Y1 - 2013 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-78623 ER - TY - JOUR A1 - Harrach, Bastian T1 - Recent Progress on the Factorization Method for Electrical Impedance Tomography JF - Computational and Mathematical Methods in Medicine N2 - The Factorization Method is a noniterative method to detect the shape and position of conductivity anomalies inside an object. The method was introduced by Kirsch for inverse scattering problems and extended to electrical impedance tomography (EIT) by Brühl and Hanke. Since these pioneering works, substantial progress has been made on the theoretical foundations of the method. The necessary assumptions have been weakened, and the proofs have been considerably simplified. In this work, we aim to summarize this progress and present a state-of-the-art formulation of the Factorization Method for EIT with continuous data. In particular, we formulate the method for general piecewise analytic conductivities and give short and self-contained proofs. KW - Mathematik Y1 - 2013 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-96229 ER - TY - THES A1 - Barth, Dominik T1 - Computation of multi-branch-point covers and applications in Galois theory T1 - Berechnung von Mehrpunktüberlagerungen und Anwendungen in der Galoistheorie N2 - We present a technique for computing multi-branch-point covers with prescribed ramification and demonstrate the applicability of our method in relatively large degrees by computing several families of polynomials with symplectic and linear Galois groups. As a first application, we present polynomials over \(\mathbb{Q}(\alpha,t)\) for the primitive rank-3 groups \(PSp_4(3)\) and \(PSp_4(3).C_2\) of degree 27 and for the 2-transitive group \(PSp_6(2)\) in its actions on 28 and 36 points, respectively. Moreover, the degree-28 polynomial for \(PSp_6(2)\) admits infinitely many totally real specializations. Next, we present the first (to the best of our knowledge) explicit polynomials for the 2-transitive linear groups \(PSL_4(3)\) and \(PGL_4(3)\) of degree 40, and the imprimitive group \(Aut(PGL_4(3))\) of degree 80. Additionally, we negatively answer a question by König whether there exists a degree-63 rational function with rational coefficients and monodromy group \(PSL_6(2)\) ramified over at least four points. This is achieved due to the explicit computation of the corresponding hyperelliptic genus-3 Hurwitz curve parameterizing this family, followed by a search for rational points on it. As a byproduct of our calculations we obtain the first explicit \(Aut(PSL_6(2))\)-realizations over \(\mathbb{Q}(t)\). At last, we present a technique by Elkies for bounding the transitivity degree of Galois groups. This provides an alternative way to verify the Galois groups from the previous chapters and also yields a proof that the monodromy group of a degree-276 cover computed by Monien is isomorphic to the sporadic 2-transitive Conway group \(Co_3\). N2 - Wir stellen eine Technik zur Berechnung von Mehrpunktüberlagerungen mit vorgeschriebener Verzweigung vor und demonstrieren die Anwendbarkeit unserer Methode in relativ großen Graden durch die Berechnung mehrerer Familien von Polynomen mit symplektischen und linearen Galoisgruppen. Als erste Anwendung präsentieren wir Polynome über \(\mathbb{Q}(\alpha,t)\) für die primitiven Rang-3-Gruppen \(PSp_4(3)\) und \(PSp_4(3).C_2\) vom Grad 27 und für die 2-fach transitive Gruppe \(PSp_6(2)\) in ihren Operationen auf 28 bzw. 36 Punkten. Außerdem lässt das Polynom vom Grad 28 für \(PSp_6(2)\) unendlich viele total-reelle Spezialisierungen zu. Als Nächstes präsentieren wir die (unseres Wissens nach) ersten expliziten Polynome für die 2-fach transitiven linearen Gruppen \(PSL_4(3)\) und \(PGL_4(3)\) vom Grad 40 und die imprimitive Gruppe \(Aut(PGL_4(3))\) vom Grad 80. Zusätzlich geben wir eine negative Antwort auf die Frage von König, ob es eine rationale Funktion vom Grad 63 mit rationalen Koeffizienten gibt, die über mindestens vier Punkten verzweigt ist und Monodromiegruppe \(PSL_6(2)\) besitzt. Dies wird durch die explizite Berechnung der entsprechenden hyperelliptischen Geschlecht-3 Hurwitzkurve erreicht, die diese Familie parametrisiert, gefolgt von einer Suche nach rationalen Punkten auf ihr. Als Nebenprodukt unserer Berechnungen erhalten wir die ersten expliziten \(Aut(PSL_6(2))\)-Realisierungen über \(\mathbb{Q}(t)\). Schließlich stellen wir eine Technik von Elkies zur Beschränkung des Transitivitätsgrades von Galoisgruppen vor. Diese bietet einen alternativen Weg, die Galoisgruppen aus den vorherigen Kapiteln zu verifizieren und liefert auch einen Beweis dafür, dass die Monodromiegruppe einer von Monien berechneten Grad-276 Überlagerung isomorph zur sporadischen 2-fach transitiven Conway-Gruppe \(Co_3\) ist. KW - Galois-Theorie KW - Hurwitz-Raum KW - Monodromie KW - Überlagerung KW - Belyi map Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-277025 ER - TY - THES A1 - Fuller, Timo T1 - Contributions to the Multivariate Max-Domain of Attraction T1 - Beiträge zum Multivariaten Max-Stabilen Anziehungsbereich N2 - This thesis covers a wide range of results for when a random vector is in the max-domain of attraction of max-stable random vector. It states some new theoretical results in D-norm terminology, but also gives an explaination why most approaches to multivariate extremes are equivalent to this specific approach. Then it covers new methods to deal with high-dimensional extremes, ranging from dimension reduction to exploratory methods and explaining why the Huessler-Reiss model is a powerful parametric model in multivariate extremes on par with the multivariate Gaussian distribution in multivariate regular statistics. It also gives new results for estimating and inferring the multivariate extremal dependence structure, strategies for choosing thresholds and compares the behavior of local and global threshold approaches. The methods are demonstrated in an artifical simulation study, but also on German weather data. N2 - Diese Disseration behandelt eine Reihe von Resultaten, die gelten, wenn sich ein Zufallsvektor im multivariaten Anziehungsbereich eines max-stabilen Zufallsvektors befindet. Es gibt einige neue theoretische Resulte, die in D-Norm Terminologie behandelt werden, aber es wird auch erläutert, warum dieser Ansatz äquivalent zu den meisten anderen Ansätzen in multivariater Extremwerttheorie ist. Es werden neue Methoden dargestellt, mit denen hoch-dimensionale Extremwertprobleme angegangen werden können, darunter Konzepte die Dimensionsreduzierung bis explorative Methoden, und es wird weiter erklärt, warum das parametrische Hüssler-Reiss model eine mächtige Rolle in der multivariaten Extremwerttheorie einnimmt, vergleichbar mit Gausschen Zufallsvektoren in der Standard-Statistik. Es gibt außerdem neue Methoden für Schätzung und Interferenz der extremalen Abhängigkeitsstruktur, Strategien, wie Thresholds gewählt werden können und ein Vergleich von lokalen gegenüber globalen Thresholds. Die Methoden werden in einer Simulationsstudie mit künstlichen Daten, aber auch mit deutschen Wetterdaten demonstriert. KW - Extremwertstatistik KW - Multivariate statistics KW - Dimension reduction KW - Estimation KW - Data Exploration KW - Tail-behavior Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-207422 ER - TY - THES A1 - Wenz, Andreas T1 - Computation of Belyi maps with prescribed ramification and applications in Galois theory T1 - Berechnung von Belyi-Funktionen mit vorgegebener Monodromiegruppe und Anwendungen in der Galoistheorie N2 - We compute genus-0 Belyi maps with prescribed monodromy and strictly verify the computed results. Among the computed examples are almost simple primitive groups that satisfy the rational rigidity criterion yielding polynomials with prescribed Galois groups over Q(t). We also give an explicit version of a theorem of Magaard, which lists all sporadic groups occurring as composition factors of monodromy groups of rational functions. N2 - Wir berechnen Geschlecht-0 Belyi-Funktionen mit vorgegebener Monodromiegruppe und liefern rigorose Verifikationsbeweise. Unter den berechneten Exemplaren finden sich fast-einfache primitive Gruppen, welche das sogenannte "Rationale-Starrheitskriterium" erfüllen, die zu Galois-Realisierungen über Q(t) führen. Außerdem liefern wir eine explizite Version eines Satzes von Magaard, der alle sporadischen Gruppen auflistet, die als Kompositionsfaktoren von Monodromiegruppen rationaler Funktionen auftreten. KW - Galois-Theorie KW - Überlagerung KW - Belyi map KW - Explicit Computation KW - Belyi-Funktionen KW - Explizite Berechnung Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-240838 ER - TY - JOUR A1 - Kakaroumpas, Spyridon A1 - Soler i Gibert, Odí T1 - Dyadic product BMO in the Bloom setting JF - Journal of the London Mathematical Society N2 - Ó. Blasco and S. Pott showed that the supremum of operator norms over L\(^{2}\) of all bicommutators (with the same symbol) of one-parameter Haar multipliers dominates the biparameter dyadic product BMO norm of the symbol itself. In the present work we extend this result to the Bloom setting, and to any exponent 1 < p < ∞. The main tool is a new characterization in terms of paraproducts and two-weight John–Nirenberg inequalities for dyadic product BMO in the Bloom setting. We also extend our results to the whole scale of indexed spaces between little bmo and product BMO in the general multiparameter setting, with the appropriate iterated commutator in each case. KW - dyadic product BMO KW - bicommutators KW - Bloom setting Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-318602 SN - 0024-6107 VL - 106 IS - 2 SP - 899 EP - 935 ER - TY - THES A1 - Lechner, Theresa T1 - Proximal Methods for Nonconvex Composite Optimization Problems T1 - Proximal-Verfahren für nichtkonvexe zusammengesetzte Optimierungsprobleme N2 - Optimization problems with composite functions deal with the minimization of the sum of a smooth function and a convex nonsmooth function. In this thesis several numerical methods for solving such problems in finite-dimensional spaces are discussed, which are based on proximity operators. After some basic results from convex and nonsmooth analysis are summarized, a first-order method, the proximal gradient method, is presented and its convergence properties are discussed in detail. Known results from the literature are summarized and supplemented by additional ones. Subsequently, the main part of the thesis is the derivation of two methods which, in addition, make use of second-order information and are based on proximal Newton and proximal quasi-Newton methods, respectively. The difference between the two methods is that the first one uses a classical line search, while the second one uses a regularization parameter instead. Both techniques lead to the advantage that, in contrast to many similar methods, in the respective detailed convergence analysis global convergence to stationary points can be proved without any restricting precondition. Furthermore, comprehensive results show the local convergence properties as well as convergence rates of these algorithms, which are based on rather weak assumptions. Also a method for the solution of the arising proximal subproblems is investigated. In addition, the thesis contains an extensive collection of application examples and a detailed discussion of the related numerical results. N2 - In Optimierungsproblemen mit zusammengesetzten Funktionen wird die Summe aus einer glatten und einer konvexen, nicht glatten Funktion minimiert. Die vorliegende Arbeit behan- delt mehrere numerische Verfahren zur Lösung solcher Probleme in endlich-dimensionalen Räumen, welche auf Proximity Operatoren basieren. Nach der Zusammenfassung einiger grundlegender Resultate aus der konvexen und nicht- glatten Analysis wird ein Verfahren erster Ordnung, das Proximal-Gradienten-Verfahren, vorgestellt und dessen Konvergenzeigenschaften ausführlich behandelt. Bekannte Resultate aus der Literatur werden dabei zusammengefasst und durch weitere Ergebnisse ergänzt. Im Anschluss werden im Hauptteil der Arbeit zwei Verfahren hergeleitet, die zusätzlich Informationen zweiter Ordnung nutzen und auf Proximal-Newton- beziehungsweise Proximal-Quasi- Newton-Verfahren beruhen. Der Unterschied zwischen beiden Verfahren liegt darin, dass bei ersterem eine klassische Schrittweitensuche verwendet wird, während das zweite stattdessen einen Regularisierungsparameter nutzt. Beide Techniken führen dazu, dass im Gegensatz zu vielen verwandten Verfahren in der jeweils ausführlichen Konvergenzanalyse die globale Konvergenz zu stationären Punkten ohne weitere einschränkende Voraussetzungen bewiesen werden kann. Ferner zeigen umfassende Resultate die lokalen Konvergenzeigenschaften sowie Konvergenzraten der Algorithmen auf, welche auf lediglich schwachen Annahmen beruhen. Ein Verfahren zur Lösung auftretender Proximal-Teilprobleme ist ebenfalls Bestandteil dieser Arbeit. Die Dissertation beinhaltet zudem eine umfangreiche Sammlung von Anwendungsbeispielen und zugehörigen numerischen Ergebnissen. KW - Optimierung KW - composite optimization KW - proximal gradient method KW - proximal Newton method Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-289073 ER - TY - JOUR A1 - Dashkovskiy, Sergey A1 - Slynko, Vitalii T1 - Stability conditions for impulsive dynamical systems JF - Mathematics of Control, Signals, and Systems N2 - In this work, we consider impulsive dynamical systems evolving on an infinite-dimensional space and subjected to external perturbations. We look for stability conditions that guarantee the input-to-state stability for such systems. Our new dwell-time conditions allow the situation, where both continuous and discrete dynamics can be unstable simultaneously. Lyapunov like methods are developed for this purpose. Illustrative finite and infinite dimensional examples are provided to demonstrate the application of the main results. These examples cannot be treated by any other published approach and demonstrate the effectiveness of our results. KW - lyapunov methods KW - stability KW - robustness KW - impulsive systems KW - infinite-dimensional systems KW - nonlinear systems KW - input-to-state stability Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-268390 SN - 1435-568X VL - 34 IS - 1 ER - TY - JOUR A1 - Kanzow, Christian A1 - Raharja, Andreas B. A1 - Schwartz, Alexandra T1 - An Augmented Lagrangian Method for Cardinality-Constrained Optimization Problems JF - Journal of Optimization Theory and Applications N2 - A reformulation of cardinality-constrained optimization problems into continuous nonlinear optimization problems with an orthogonality-type constraint has gained some popularity during the last few years. Due to the special structure of the constraints, the reformulation violates many standard assumptions and therefore is often solved using specialized algorithms. In contrast to this, we investigate the viability of using a standard safeguarded multiplier penalty method without any problem-tailored modifications to solve the reformulated problem. We prove global convergence towards an (essentially strongly) stationary point under a suitable problem-tailored quasinormality constraint qualification. Numerical experiments illustrating the performance of the method in comparison to regularization-based approaches are provided. KW - quasinormality constraint qualification KW - cardinality constraints KW - augmented Lagrangian KW - global convergence KW - stationarity Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-269166 SN - 1573-2878 VL - 189 IS - 3 ER - TY - THES A1 - Stumpf, Pascal T1 - On coverings and reduced residues in combinatorial number theory T1 - Über Abdeckungen und prime Restklassen in kombinatorischer Zahlentheorie N2 - Our starting point is the Jacobsthal function \(j(m)\), defined for each positive integer \(m\) as the smallest number such that every \(j(m)\) consecutive integers contain at least one integer relatively prime to \(m\). It has turned out that improving on upper bounds for \(j(m)\) would also lead to advances in understanding the distribution of prime numbers among arithmetic progressions. If \(P_r\) denotes the product of the first \(r\) prime numbers, then a conjecture of Montgomery states that \(j(P_r)\) can be bounded from above by \(r (\log r)^2\) up to some constant factor. However, the until now very promising sieve methods seem to have reached a limit here, and the main goal of this work is to develop other combinatorial methods in hope of coming a bit closer to prove the conjecture of Montgomery. Alongside, we solve a problem of Recamán about the maximum possible length among arithmetic progressions in the least (positive) reduced residue system modulo \(m\). Lastly, we turn towards three additive representation functions as introduced by Erdős, Sárközy and Sós who studied their surprising different monotonicity behavior. By an alternative approach, we answer a question of Sárközy and demostrate that another conjecture does not hold. N2 - Der Startpunkt dieser Arbeit ist die Jacobsthal-Funktion \(j(m)\), die für jede natürliche Zahl \(m\) als die kleinste Zahl definiert ist, so dass je \(j(m)\) aufeinanderfolgende ganze Zahlen mindestens eine zu \(m\) teilerfremde Zahl enthalten. Es hat sich herausgestellt, dass Verbesserungen oberer Abschätzungen für \(j(m)\) gleichzeitig zu Fortschritten im Verständnis der Verteilung der Primzahlen in arithmetischen Folgen führen. Bezeichnet \(P_r\) das Produkt der ersten \(r\) Primzahlen, dann besagt eine Vermutung von Montgomery, dass \(j(P_r)\) bis auf einen konstanten Faktor durch \(r (\log r)^2\) von oben abgeschätzt werden kann. Allerdings scheinen die hier bisher sehr vielversprechenden Siebmethoden eine Grenze erreicht zu haben, und das Hauptziel dieser Arbeit ist es andere kombinatorische Methoden zu entwickeln, in der Hoffnung einem Beweis der Vermutung von Montgomery ein wenig näher zu kommen. Auf diesem Weg lösen wir nebenbei ein Problem von Recamán über die maximal mögliche Länge unter den arithmetischen Folgen im kleinsten (positiven) primen Restklassensystem modulo \(m\). Außerdem wenden wir uns am Ende drei additiven Darstellungsfunktionen zu, wie sie von Erdős, Sárközy und Sós eingeführt wurden, die deren überraschend unterschiedliches Monotonieverhalten untersucht haben. Mit einem alternativen Ansatz beantworten wir hier eine Frage von Sárközy und zeigen auf, dass eine andere Vermutung nicht bestehen kann. KW - Kombinatorische Zahlentheorie KW - coverings KW - reduced residues KW - Jacobsthal function Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-293504 ER - TY - JOUR A1 - Homburg, Annika A1 - Weiß, Christian H. A1 - Alwan, Layth C. A1 - Frahm, Gabriel A1 - Göb, Rainer T1 - Evaluating approximate point forecasting of count processes JF - Econometrics N2 - In forecasting count processes, practitioners often ignore the discreteness of counts and compute forecasts based on Gaussian approximations instead. For both central and non-central point forecasts, and for various types of count processes, the performance of such approximate point forecasts is analyzed. The considered data-generating processes include different autoregressive schemes with varying model orders, count models with overdispersion or zero inflation, counts with a bounded range, and counts exhibiting trend or seasonality. We conclude that Gaussian forecast approximations should be avoided. KW - count time series KW - estimation error KW - Gaussian approximation KW - predictive performance KW - quantile forecasts KW - Value at Risk Y1 - 2019 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-196929 SN - 2225-1146 VL - 7 IS - 3 ER - TY - JOUR A1 - Hellmuth, Kathrin A1 - Klingenberg, Christian A1 - Li, Qin A1 - Tang, Min T1 - Multiscale convergence of the inverse problem for chemotaxis in the Bayesian setting JF - Computation N2 - Chemotaxis describes the movement of an organism, such as single or multi-cellular organisms and bacteria, in response to a chemical stimulus. Two widely used models to describe the phenomenon are the celebrated Keller–Segel equation and a chemotaxis kinetic equation. These two equations describe the organism's movement at the macro- and mesoscopic level, respectively, and are asymptotically equivalent in the parabolic regime. The way in which the organism responds to a chemical stimulus is embedded in the diffusion/advection coefficients of the Keller–Segel equation or the turning kernel of the chemotaxis kinetic equation. Experiments are conducted to measure the time dynamics of the organisms' population level movement when reacting to certain stimulation. From this, one infers the chemotaxis response, which constitutes an inverse problem. In this paper, we discuss the relation between both the macro- and mesoscopic inverse problems, each of which is associated with two different forward models. The discussion is presented in the Bayesian framework, where the posterior distribution of the turning kernel of the organism population is sought. We prove the asymptotic equivalence of the two posterior distributions. KW - inverse problems KW - Bayesian approach KW - kinetic chemotaxis equation KW - Keller–Segel model KW - multiscale modeling KW - asymptotic analysis KW - velocity jump process KW - mathematical biology Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-250216 SN - 2079-3197 VL - 9 IS - 11 ER - TY - THES A1 - Sourmelidis, Athanasios T1 - Universality and Hypertranscendence of Zeta-Functions T1 - Universalität und Hypertranszendenz von Zetafunktionen N2 - The starting point of the thesis is the {\it universality} property of the Riemann Zeta-function $\zeta(s)$ which was proved by Voronin in 1975: {\it Given a positive number $\varepsilon>0$ and an analytic non-vanishing function $f$ defined on a compact subset $\mathcal{K}$ of the strip $\left\{s\in\mathbb{C}:1/2 < \Re s< 1\right\}$ with connected complement, there exists a real number $\tau$ such that \begin{align}\label{continuous} \max\limits_{s\in \mathcal{K}}|\zeta(s+i\tau)-f(s)|<\varepsilon. \end{align} } In 1980, Reich proved a discrete analogue of Voronin’s theorem, also known as {\it discrete universality theorem} for $\zeta(s)$: {\it If $\mathcal{K}$, $f$ and $\varepsilon$ are as before, then \begin{align}\label{discretee} \liminf\limits_{N\to\infty}\dfrac{1}{N}\sharp\left\{1\leq n\leq N:\max\limits_{s\in \mathcal{K}}|\zeta(s+i\Delta n)-f(s)|<\varepsilon\right\}>0, \end{align} where $\Delta$ is an arbitrary but fixed positive number. } We aim at developing a theory which can be applied to prove the majority of all so far existing discrete universality theorems in the case of Dirichlet $L$-functions $L(s,\chi)$ and Hurwitz zeta-functions $\zeta(s;\alpha)$, where $\chi$ is a Dirichlet character and $\alpha\in(0,1]$, respectively. Both of the aforementioned classes of functions are generalizations of $\zeta(s)$, since $\zeta(s)=L(s,\chi_0)=\zeta(s;1)$, where $\chi_0$ is the principal Dirichlet character mod 1. Amongst others, we prove statement (2) where instead of $\zeta(s)$ we have $L(s,\chi)$ for some Dirichlet character $\chi$ or $\zeta(s;\alpha)$ for some transcendental or rational number $\alpha\in(0,1]$, and instead of $(\Delta n)_{n\in\mathbb{N}}$ we can have: \begin{enumerate} \item \textit{Beatty sequences,} \item \textit{sequences of ordinates of $c$-points of zeta-functions from the Selberg class,} \item \textit{sequences which are generated by polynomials.} \end{enumerate} In all the preceding cases, the notion of {\it uniformly distributed sequences} plays an important role and we draw attention to it wherever we can. Moreover, for the case of polynomials, we employ more advanced techniques from Analytic Number Theory such as bounds of exponential sums and zero-density estimates for Dirichlet $L$-functions. This will allow us to prove the existence of discrete second moments of $L(s,\chi)$ and $\zeta(s;\alpha)$ on the left of the vertical line $1+i\mathbb{R}$, with respect to polynomials. In the case of the Hurwitz Zeta-function $\zeta(s;\alpha)$, where $\alpha$ is transcendental or rational but not equal to $1/2$ or 1, the target function $f$ in (1) or (2), where $\zeta(\cdot)$ is replaced by $\zeta(\cdot;\alpha)$, is also allowed to have zeros. Until recently there was no result regarding the universality of $\zeta(s;\alpha)$ in the literature whenever $\alpha$ is an algebraic irrational. In the second half of the thesis, we prove that a weak version of statement \eqref{continuous} for $\zeta(s;\alpha)$ holds for all but finitely many algebraic irrational $\alpha$ in $[A,1]$, where $A\in(0,1]$ is an arbitrary but fixed real number. Lastly, we prove that the ordinary Dirichlet series $\zeta(s;f)=\sum_{n\geq1}f(n)n^{-s}$ and $\zeta_\alpha(s)=\sum_{n\geq1}\lfloor P(\alpha n+\beta)\rfloor^{-s}$ are hypertranscendental, where $f:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$ is a {\it Besicovitch almost periodic arithmetical function}, $\alpha,\beta>0$ are such that $\lfloor\alpha+\beta\rfloor>1$ and $P\in\mathbb{Z}[X]$ is such that $P(\mathbb{N})\subseteq\mathbb{N}$. N2 - Der Ausgangspunkt dieser Dissertation ist die folgende {\it Universalit\"atseigenschaft} der Riemannschen Zetafunktion $\zeta(s)$, die von Voronin 1975 nachgewiesen wurde: {\it Zu gegebenem $\varepsilon>0$ und einer analytischen nullstellenfreien Funktion $f$, die auf einer kompakten Teilmenge $\mathcal{K}$ des Streifens $\left\{s\in\mathbb{C}:1/2 < \Re s< 1\right\}$ mit zusammenh\"angendem Komplement definiert ist, existiert eine reelle Zahl $\tau$, so dass \begin{align}\label{continuouus} \max\limits_{s\in \mathcal{K}}|\zeta(s+i\tau)-f(s)|<\varepsilon.\tag*{(1)} \end{align} } Im Jahr 1980 bewies Reich folgendes diskrete Analogon des Voroninschen Satzes, welches auch als {\it diskretes Universalit\"atstheorem} f\"ur $\zeta(s)$ bekannt ist: {\it Sind $\mathcal{K}$, $f$ und $\varepsilon$ wie oben, so gilt \begin{align}\label{discreteeee} \liminf\limits_{N\to\infty}\dfrac{1}{N}\sharp\left\{1\leq n\leq N:\max\limits_{s\in \mathcal{K}}|\zeta(s+i\Delta n)-f(s)|<\varepsilon\right\}>0,\tag*{(2)} \end{align} wobei $\Delta$ eine beliebige, aber fest gew\"ahlte positive reelle Zahl bezeichnet. } Unser Ziel ist die Entwicklung einer Theorie, welche die Mehrheit der bislang bewiesenen diskreten Universalit\"atstheoreme im Fall Dirichletscher $L$-Funktionen $L(s,\chi)$ und Hurwitzscher Zetafunktionen $\zeta(s;\alpha)$ (wobei $\chi$ ein Dirichlet-Charakter ist und $\alpha\in(0,1]$) umfasst. Beide genannten Funktionenklassen verallgemeinern $\zeta(s)$, denn $\zeta(s)=L(s,\chi_0)=\zeta(s;1)$, wobei $\chi_0$ der Hauptcharakter modulo 1 ist. Neben anderen Resultaten beweisen wir Aussage (2) mit $L(s,\chi)$ f\"ur einen beliebigen Dirichlet-Charakter $\chi$ bzw. $\zeta(s;\alpha)$ f\"ur ein transzendentes oder rationales $\alpha\in(0,1]$ anstelle von $\zeta(s)$ sowie $(\Delta n)_{n\in\mathbb{N}}$ ersetzt durch eine der nachstehenden Folgen: \begin{enumerate} \item \textit{Beatty-Folgen,} \item \textit{Folgen von Imagin\"arteilen der $c$-Punkte einer beliebigen Zetafunktion der Selbergklasse,} \item \textit{Folgen, die durch ein Polynom generiert werden.} \end{enumerate} In all diesen F\"allen spielt der Begriff einer {\it gleichverteilten Folge} eine wichtige Rolle, und wir schenken diesem Aspekt besondere Beachtung im Folgenden. Speziell f\"ur den Fall der Polynome benutzen wir weitere fortgeschrittene Techniken der Analytischen Zahlentheorie, wie besipielsweise Schranken f\"ur Exponentialsummen und Nullstellen-Dichtigkeitsabsch\"atzungen f\"ur Dirichletsche $L$-Funktionen. Dies erlaubt uns, die Existenz gewisser diskreter quadratischer Momente f\"ur $L(s,\chi)$ und $\zeta(s;\alpha)$ links der vertikalen Geraden $1+i\mathbb{R}$ im Polynom-Fall zu beweisen. Im Fall der Hurwitzschen Zetafunktion $\zeta(s;\alpha)$, wobei $\alpha$ transzendent oder rational, aber ungleich $1/2$ oder 1 ist, kann die zu approximierende Funktion $f$ in (1) oder (2), wobei $\zeta(\cdot)$ durch $\zeta(\cdot;\alpha)$ zu ersetzen ist, sogar Nullstellen besitzen. Bis vor kurzem waren hinsichtlich der Universalit\"at von $\zeta(s;\alpha)$ in der Literatur f\"ur algebraisch-irrationale $\alpha$ keine Ergebnisse erzielt worden. Im zweiten Teil der Dissertation beweisen wir eine schwache Version der Aussage \eqref{continuous} f\"ur $\zeta(s;\alpha)$ f\"ur alle algebraisch-irrationalen $\alpha\in[A,1]$ bis auf h\"ochstens endlich viele Ausnahmen, wobei $A\in(0,1]$ eine beliebige, aber fest gew\"ahlte reelle Zahl ist. Schlie\ss{}lich weisen wir die Hypertranszendenz der gew\"ohnlichen Dirichlet-Reihen $\zeta(s;f)=\sum_{n\geq1}f(n)n^{-s}$ und $\zeta_\alpha(s)=\sum_{n\geq1}\lfloor P(\alpha n+\beta)\rfloor^{-s}$ nach, wobei $f:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$ irgendeine {\it Besicovitch-fastperiodische zahlentheoretische Funktion} ist, $\alpha,\beta>0$ der Ungleichung $\lfloor\alpha+\beta\rfloor>1$ gen\"ugt und $P\in\mathbb{Z}[X]$ die Bedingung $P(\mathbb{N})\subseteq\mathbb{N}$ erf\"ullt. KW - Analytische Zahlentheorie KW - Universality KW - Zeta-Functions KW - Hypertranscendence KW - Zetafunktion KW - Universalität KW - Dirichlet-Reihe Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-193699 ER - TY - THES A1 - Kortum, Joshua T1 - Global Existence and Uniqueness Results for Nematic Liquid Crystal and Magnetoviscoelastic Flows T1 - Globale Existenz- und Eindeutigkeitsresultate für nematische Flüssigkristall- und magnetoviskoelastische Flüsse N2 - Liquid crystals and polymeric fluids are found in many technical applications with liquid crystal displays probably being the most prominent one. Ferromagnetic materials are well established in industrial and everyday use, e.g. as magnets in generators, transformers and hard drive disks. Among ferromagnetic materials, we find a subclass which undergoes deformations if an external magnetic field is applied. This effect is exploited in actuators, magnetoelastic sensors, and new fluid materials have been produced which retain their induced magnetization during the flow. A central issue consists of a proper modelling for those materials. Several models exist regarding liquid crystals and liquid crystal flows, but up to now, none of them has provided a full insight into all observed effects. On materials encompassing magnetic, elastic and perhaps even fluid dynamic effects, the mathematical literature seems sparse in terms of models. To some extent, one can unify the modeling of nematic liquid crystals and magnetoviscoelastic materials employing a so-called energetic variational approach. Using the least action principle from theoretical physics, the actual task reduces to finding appropriate energies describing the observed behavior. The procedure leads to systems of evolutionary partial differential equations, which are analyzed in this work. From the mathematical point of view, fundamental questions on existence, uniqueness and stability of solutions remain unsolved. Concerning the Ericksen-Leslie system modelling nematic liquid crystal flows, an approximation to this model is given by the so-called Ginzburg-Landau approximation. Solutions to the latter are intended to approximately represent solutions to the Ericksen-Leslie system. Indeed, we verify this presumption in two spatial dimensions. More precisely, it is shown that weak solutions of the Ginzburg-Landau approximation converge to solutions of the Ericksen-Leslie system in the energy space for all positive times of evolution. In order to do so, theory for the Euler equations invented by DiPerna and Majda on weak compactness and concentration measures is used. The second part of the work deals with a system of partial differential equations modelling magnetoviscoelastic fluids. We provide a well-posedness result in two spatial dimensions for large energies and large times. Along the verification of that conclusion, existing theory on the Ericksen-Leslie system and the harmonic map flow is deployed and suitably extended. N2 - Flüssigkristalle und polymere Flüssigkeiten finden sich in vielen technischen Anwendungen, wobei die Liquid Crystal Displays (kurz LCDs) wahrscheinlich die bekanntesten sind. Ebenso haben viele ferromagnetische Materialien Gebrauch in der Technologie gefunden, zum Beispiel als Generatoren, Transformatoren und Hard Drive Disks. Bei einigen ferromagnetischen Materialien führt die äußere Anwendung eines Magnetfeldes zu Verformungen. Dieser Effekt wird z. B. in Aktoren ausgenutzt und es wurden neue Flüssigkeiten gefunden, welche ihre eingangs induzierte Magnetisierung beibehalten. Bis heute besteht ein Problem darin, derartige Materialien korrekt zu modellieren. Für Flüssigkristalle und Flüssigkristallströmungen existieren mehrere Modelle, aber bisher hat keines von ihnen einen vollständigen Einblick in alle beobachteten Effekte liefern können. Zu Materialien, welche magnetischen, elastischen und vielleicht sogar fluiddynamischen Effekten unterliegen, ist die Literatur bezüglich der Modellierung auf mathematischer Seite eher spärlich. Bis zu einem gewissen Grad kann man die Modellierung von Flüssigkristallen und magnetoviskoelastischen Materialien durch einen Variationsansatz für das Wirkungsfunktional vereinheitlichen. Verwendet man das Prinzip der kleinsten Wirkung aus der theoretischen Physik, reduziert sich die eigentliche Aufgabe darauf, geeignete Energien zu finden, um das beobachtete Verhalten zu beschreiben. Das Verfahren führt zu Systemen zeitabhängiger partieller Differentialgleichungen, welche in dieser Arbeit betrachtet werden. Aus mathematischer Sicht bleiben grundsätzliche Fragen zu Existenz, Eindeutigkeit und Stabilität von Lösungen offen. Bezüglich des Ericksen-Leslie-Modells für nematische Flüssigkristalle ist eine Approximation dieses Modells durch die sogenannte Ginzburg-Landau-Näherung gegeben. In dieser Arbeit wird bewiesen, dass Lösungen des letzteren Modells gegen Lösungen des erstgenannten in zwei Raumdimensionen konvergieren. Präzi- se ausgedrückt wird gezeigt, dass schwache Lösungen des Ginzburg-Landau-Systems auf beliebig großen Zeitintervallen gegen Lösungen des Ericksen-Leslie-Systems konvergieren unter der Annahme, dass die Energie des physikalischen Systems beschränkt ist. Dazu wird die von DiPerna und Majda entwickelte Theorie für die Euler-Gleichungen zu Konzentrationen unter schwacher Konvergenz verwendet. Der zweite Teil der Arbeit beschäftigt sich mit einem System partieller Differentialgleichungen zur Modellierung magnetoviskoelastischer Flüssigkeiten. Wir zeigen, dass in zwei Raumdimensionen in gewissem Sinne ein wohlgestelltes Problem für beliebig große Energien und Zeiten vorliegt. Für den Beweis dieses Resultats verwenden und erweitern wir die bestehende Theorie zum Ericksen-Leslie-System und zum Wärmefluss harmonischer Abbildungen. KW - Magnetoelastizität KW - Mikromagnetismus KW - Flüssigkristall KW - Partielle Differentialgleichung KW - Schwache Kompaktheit KW - Magnetoviscoelastic Fluids KW - Nematic Liquid Crystals KW - Weak Solutions KW - Magnetoviskoelastische Flüsse KW - Nematische Flüssigkristalle KW - Schwache Lösungen Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-278271 ER - TY - THES A1 - Reichert, Thorsten T1 - Classification and Reduction of Equivariant Star Products on Symplectic Manifolds N2 - This doctoral thesis provides a classification of equivariant star products (star products together with quantum momentum maps) in terms of equivariant de Rham cohomology. This classification result is then used to construct an analogon of the Kirwan map from which one can directly obtain the characteristic class of certain reduced star products on Marsden-Weinstein reduced symplectic manifolds from the equivariant characteristic class of their corresponding unreduced equivariant star product. From the surjectivity of this map one can conclude that every star product on Marsden-Weinstein reduced symplectic manifolds can (up to equivalence) be obtained as a reduced equivariant star product. N2 - Diese Doktorarbeit klassifiziert äquivariante Sternprodukte (Sternprodukte zusammen mit Quantenimpulsabbildungen) über die äquivariante de Rham Kohomologie. Diese Klassifizierung wird im Folgenen genutzt um ein Analogon der Kirwan-Abbildung zu konstruieren, welches ermöglicht die charakteristische Klasse von bestimmten reduzierten Sternprodukten auf Marsden-Weinstein reduzierten symplektischen Mannigfaltigkeiten direkt aus der äquivarianten charakteristischen Klasse des zugehörigen unreduzierten äquivarianten Sternprodukts zu erhalten. Die Surjektivität dieser Abbildung zeigt schließlich, dass jedes Sternprodukt auf einer Marsden-Weinstein reduzierten symplektischen Mannigfaltigkeit (bis auf Äquivalenz) als Reduktion eines äquivarianten Sternprodukts verstanden werden kann. T2 - Klassifizierung und Reduktion äquivarianter Sternprodukte auf symplektischen Mannigfaltigkeiten KW - Homologische Algebra KW - Differentialgeometrie KW - Quantenmechanik KW - symplectic geometry KW - deformation quantization KW - equivariant cohomology Y1 - 2017 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-153623 ER - TY - THES A1 - Sprengel, Martin T1 - A Theoretical and Numerical Analysis of a Kohn-Sham Equation and Related Control Problems T1 - Eine theoretische und numerische Untersuchung einer Kohn-Sham-Gleichung und verwandter Steuerungsprobleme N2 - In this work, multi-particle quantum optimal control problems are studied in the framework of time-dependent density functional theory (TDDFT). Quantum control problems are of great importance in both fundamental research and application of atomic and molecular systems. Typical applications are laser induced chemical reactions, nuclear magnetic resonance experiments, and quantum computing. Theoretically, the problem of how to describe a non-relativistic system of multiple particles is solved by the Schrödinger equation (SE). However, due to the exponential increase in numerical complexity with the number of particles, it is impossible to directly solve the Schrödinger equation for large systems of interest. An efficient and successful approach to overcome this difficulty is the framework of TDDFT and the use of the time-dependent Kohn-Sham (TDKS) equations therein. This is done by replacing the multi-particle SE with a set of nonlinear single-particle Schrödinger equations that are coupled through an additional potential. Despite the fact that TDDFT is widely used for physical and quantum chemical calculation and software packages for its use are readily available, its mathematical foundation is still under active development and even fundamental issues remain unproven today. The main purpose of this thesis is to provide a consistent and rigorous setting for the TDKS equations and of the related optimal control problems. In the first part of the thesis, the framework of density functional theory (DFT) and TDDFT are introduced. This includes a detailed presentation of the different functional sets forming DFT. Furthermore, the known equivalence of the TDKS system to the original SE problem is further discussed. To implement the TDDFT framework for multi-particle computations, the TDKS equations provide one of the most successful approaches nowadays. However, only few mathematical results concerning these equations are available and these results do not cover all issues that arise in the formulation of optimal control problems governed by the TDKS model. It is the purpose of the second part of this thesis to address these issues such as higher regularity of TDKS solutions and the case of weaker requirements on external (control) potentials that are instrumental for the formulation of well-posed TDKS control problems. For this purpose, in this work, existence and uniqueness of TDKS solutions are investigated in the Galerkin framework and using energy estimates for the nonlinear TDKS equations. In the third part of this thesis, optimal control problems governed by the TDKS model are formulated and investigated. For this purpose, relevant cost functionals that model the purpose of the control are discussed. Henceforth, TDKS control problems result from the requirement of optimising the given cost functionals subject to the differential constraint given by the TDKS equations. The analysis of these problems is novel and represents one of the main contributions of the present thesis. In particular, existence of minimizers is proved and their characterization by TDKS optimality systems is discussed in detail. To this end, Fréchet differentiability of the TDKS model and of the cost functionals is addressed considering \(H^1\) cost of the control. This part is concluded by deriving the reduced gradient in the \(L^2\) and \(H^1\) inner product. While the \(L^2\) optimization is widespread in the literature, the choice of the \(H^1\) gradient is motivated in this work by theoretical consideration and by resulting numerical advantages. The last part of the thesis is devoted to the numerical approximation of the TDKS optimality systems and to their solution by gradient-based optimization techniques. For the former purpose, Strang time-splitting pseudo-spectral schemes are discussed including a review of some recent theoretical estimates for these schemes and a numerical validation of these estimates. For the latter purpose, nonlinear (projected) conjugate gradient methods are implemented and are used to validate the theoretical analysis of this thesis with results of numerical experiments with different cost functional settings. N2 - In dieser Arbeit werden quantenmechanische Vielteilchen-Optimalsteuerungsprobleme im Rahmen der zeitabhängigen Dichtefunktionaltheorie (TDDFT) untersucht. Quantenmechanische Optimalsteuerungsprobleme sind sowohl in der Grundlagenforschung atomarer und molekularer Systeme als auch in entsprechenden Anwendungen von großer Bedeutung. Typische Anwendungen sind laserinduzierte chemische Reaktionen, Kernspinresonanzexperimente und Quantencomputer. Theoretisch ist das Problem einer nicht-relativistischen Beschreibung von Vielteilchensystemen mit der Schrödingergleichung (SG) gelöst. Tatsächlich ist es aber wegen des exponentiellen Anstiegs der numerischen Komplexität mit der Teilchenzahl unmöglich, die Schrödingergleichung für große Systeme von Interesse direkt zu lösen. Ein effizienter und erfolgreicher Ansatz diese Schwierigkeit zu überwinden ist die TDDFT und die Verwendung der zeitabhängigen Kohn-Sham-Gleichungen (TDKS) im Rahmen der TDDFT. Diese ersetzen die Vielteichlchen-SG durch ein System nichtlinearer Einteilchen-SGn, die mittels eines zusätzlichen Potentials gekoppelt sind. Obwohl die TDDFT für physikalische und quantenchemische Rechungen weit verbreitet ist und Softwarepakete zur direkten Verwendung zur Verfügung stehen, sind die mathematischen Grundlagen der TDDFT noch in der Entwicklung und grundlegende Vermutungen sind noch immer unbewiesen. Das Hauptanliegen der vorliegenden Arbeit ist es, einen konsistenten und mathematisch präzisen Rahmen für die TDKS-Gleichungen und verwandte Optimalsteuerungsprobleme zu liefern. Im ersten Teil der Arbeit wird die Dichtefunktionaltheorie (DFT) und die TDDFT eingeführt. Diese Einführung enthält eine detaillierte Darstellung der für die DFT relevanten Funktionenmengen. Außerdem wird die bereits bekannte Äquivalenz zwischen dem ursprünglichen Schrödingerproblem und dem TDKS-System mathematisch weitergehend diskutiert. Der derzeit erfolgreichste Ansatz, Vielteichenrechnungen im Rahmen der TDDFT umzusetzen, sind die TDKS-Gleichungen. Es sind jedoch bisher nur wenige mathematische Resultate über diese Gleichungen verfügbar und diese Ergebnisse behandeln nicht alle Probleme, die bei der Formulierung von Optimalsteuerungsproblemen bei TDKS-Gleichungen auftreten. Es ist das Ziel des zweiten Teils dieser Arbeit, diese für die Wohldefiniertheit der Formulierung der Optimalsteuerungsaufgabe maßgeblichen Probleme, wie die höhere Regularität der Lösungen der TDKS-Gleichungen und schwächere Voraussetzungen an das externe Kontrollpotential, zu behandeln. Dazu wird die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen der nichtlinearen TDKS-Gleichungen mit dem Galerkin-Ansatz und Energieabschätzungen untersucht. Im dritten Teil dieser Arbeit werden Probleme optimaler Steuerung bei TDKS-Gleichungen formuliert und untersucht. Dafür werden relevante Kostenfunktionale, die das Ziel der Steuerung modellieren, diskutiert. Die Optimalsteuerungsprobleme ergeben sich aus der Optimierung dieser Kosten unter der Nebenbedingung der TDKS-Gleichungen. Die Analyse dieser Probleme ist neu und stellt eines der Hauptergebnisse der vorliegenden Arbeit dar. Insbesondere wird die Existenz einer optimalen Steuerung bewiesen und ihre Charakterisierung mittels eines TDKS-Optimalitätssystem im Detail diskutiert. Dazu wird die Fréchet-Differenzierbarkeit des TDKS-Models und des Kostenfunktionals mit \(H^1\)-Steuerungskosten betrachtet. Abschließend wird der reduzierte Gradient im \(L^2\)- und im \(H^1\)-Skalarprodukt hergeleitet. Während die \(L^2\)-Optimierung in der Literatur weit verbreitet ist, wird in dieser Arbeit die Verwendung des \(H^1\)-Gradienten mit theoretischen Argumenten und resultierenden numerischen Vorteilen motiviert. Der letzte Teil dieser Arbeit ist der numerischen Approximation des TDKS-Optimalitätssystems und seiner Lösung mittels gradientenbasierter Optimierungsmethoden gewidmet. Für ersteres wird die Strang Zeitsplitting-Pseudospektralmethode diskutiert, eine Zusammenfassung einiger aktueller theoretischer Abschätzungen für dieses Schema angegeben und diese Abschätzungen numerisch überprüft. Für letzteres wird das (projizierte) nichtlineare Verfahren der konjugierten Gradienten (NCG) implementiert und verwendet um die theoretische Analyse dieser Arbeit mit den Ergebnissen numerischer Rechnungen für verschiedene Kostenfunktionale zu validieren. KW - Optimale Kontrolle KW - Dichtefunktionalformalismus KW - Optimierung KW - TDDFT KW - TD Kohn-Sham equations KW - optimal control Y1 - 2017 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-153545 ER - TY - JOUR A1 - Günster, Stephan Michael A1 - Weigand, Hans-Georg T1 - Designing digital technology tasks for the development of functional thinking JF - ZDM – Mathematics Education N2 - In this paper we introduce a theoretical framework concerned with fostering functional thinking in Grade 8 students by utilizing digital technologies. This framework is meant to be used to guide the systematic variation of tasks for implementation in the classroom while using digital technologies. Examples of problems and tasks illustrate this process. Additionally, results of an empirical investigation with Grade 8 students, which focusses on the students’ skills with digital technologies, how they utilize these tools when engaging with the developed tasks, and how they influence their functional thinking, are presented. The research aim is to investigate in which way tasks designed according to the theoretical framework could promote functional thinking while using digital technologies in the sense of the operative principle. The results show that the developed framework — Function-Operation-Matrix — is a sound basis for initiating students’ actions in the sense of the operative principle, to foster the development of functional thinking in its three aspects, namely, assignment, co-variation and object, and that digital technologies can support this process in a meaningful way. KW - functional thinking KW - operative principle KW - task design KW - digital technologies KW - empirical investigation Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-231913 VL - 52 ER - TY - JOUR A1 - Tongsomporn, Janyarak A1 - Wananiyakul, Saeree A1 - Steuding, Jörn T1 - The values of the periodic zeta-function at the nontrivial zeros of Riemann's zeta-function JF - Symmetry N2 - In this paper, we prove an asymptotic formula for the sum of the values of the periodic zeta-function at the nontrivial zeros of the Riemann zeta-function (up to some height) which are symmetrical on the real line and the critical line. This is an extension of the previous results due to Garunkštis, Kalpokas, and, more recently, Sowa. Whereas Sowa's approach was assuming the yet unproved Riemann hypothesis, our result holds unconditionally. KW - zeta-functions KW - Riemann hypothesis Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-252261 SN - 2073-8994 VL - 13 IS - 12 ER - TY - JOUR A1 - Greefrath, Gilbert A1 - Oldenburg, Reinhard A1 - Siller, Hans-Stefan A1 - Ulm, Volker A1 - Weigand, Hans-Georg T1 - Basic Mental Models of Integrals - Theoretical Conception, Development of a Test Instrument, and first Results JF - ZDM – Mathematics Education N2 - A basic mental model (BMM—in German ‘Grundvorstellung’) of a mathematical concept is a content-related interpretation that gives meaning to this concept. This paper defines normative and individual BMMs and concretizes them using the integral as an example. Four BMMs are developed about the concept of definite integral, sometimes used in specific teaching approaches: the BMMs of area, reconstruction, average, and accumulation. Based on theoretical work, in this paper we ask how these BMMs could be identified empirically. A test instrument was developed, piloted, validated and applied with 428 students in first-year mathematics courses. The test results show that the four normative BMMs of the integral can be detected and separated empirically. Moreover, the results allow a comparison of the existing individual BMMs and the requested normative BMMs. Consequences for future developments are discussed. KW - basic mental model KW - Grundvorstellung KW - integral KW - empirical evidence KW - approaches in textbooks Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-232830 SN - 1863-9690 VL - 53 ER - TY - JOUR A1 - Karl, Veronika A1 - Neitzel, Ira A1 - Wachsmuth, Daniel T1 - A Lagrange multiplier method for semilinear elliptic state constrained optimal control problems JF - Computational Optimization and Applications N2 - In this paper we apply an augmented Lagrange method to a class of semilinear ellip-tic optimal control problems with pointwise state constraints. We show strong con-vergence of subsequences of the primal variables to a local solution of the original problem as well as weak convergence of the adjoint states and weak-* convergence of the multipliers associated to the state constraint. Moreover, we show existence of stationary points in arbitrary small neighborhoods of local solutions of the original problem. Additionally, various numerical results are presented. KW - optimal control KW - semilinear elliptic operators KW - state constraints KW - augmented Lagrange method Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-232811 SN - 0926-6003 VL - 77 ER - TY - THES A1 - Sans, Wolfgang T1 - Monotonic Probability Distribution : Characterisation, Measurements under Prior Information, and Application T1 - Monotone Wahrscheinlichkeitsverteilung : Charakterisierung, Messverfahren unter Vorinformation und Anwendung N2 - Statistical Procedures for modelling a random phenomenon heavily depend on the choice of a certain family of probability distributions. Frequently, this choice is governed by a good mathematical feasibility, but disregards that some distribution properties may contradict reality. At most, the choosen distribution may be considered as an approximation. The present thesis starts with a construction of distributions, which uses solely available information and yields distributions having greatest uncertainty in the sense of the maximum entropy principle. One of such distributions is the monotonic distribution, which is solely determined by its support and the mean. Although classical frequentist statistics provides estimation procedures which may incorporate prior information, such procedures are rarely considered. A general frequentist scheme for the construction of shortest confidence intervals for distribution parameters under prior information is presented. In particular, the scheme is used for establishing confidence intervals for the mean of the monotonic distribution and compared to classical procedures. Additionally, an approximative procedure for the upper bound of the support of the monotonic distribution is proposed. A core purpose of auditing sampling is the determination of confidence intervals for the mean of zero-inflated populations. The monotonic distribution is used for modelling such a population and is utilised for the procedure of a confidence interval under prior information for the mean. The results are compared to two-sided intervals of Stringer-type. N2 - Statistische Verfahren zur Modellierung eines zufälligen Phänomens hängen stark von der Wahl einer bestimmter Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen ab. Oft wird die Auswahl der Verteilung durch das Vorliegen guter mathematischer Handhabbarkeit bestimmt, dabei aber außer Acht gelassen, dass einige Verteilungseigenschaften gegen die Realität verstoßen können und bestenfalls als Näherung aufgefasst werden können. Die vorgelegte Arbeit beginnt mit einer Konstruktion von Verteilungen, die ausschließlich verfügbare Informationen verwenden und im Sinne des Prinzips der maximalen Entropie die größte Unsicherheit beinhalten. Eine dieser Verteilungen ist die monotone Verteilung, die alleine durch ihren Träger und den Mittelwert festgelegt ist. In der klassischen, frequentistischen Statistik existieren zwar Verfahren zur Schätzung von Verteilungsparametern, die Vorinformationen verarbeiten können, sie finden aber kaum Beachtung. Es wird ein allgemeines frequentistisches Verfahren zur Konstruktion kürzester Konfidenzintervalle für Verteilungsparameter unter Vorinformation vorgestellt. Dieses Verfahren wird zur Herleitung von Konfidenzintervallen für das erste Moment der monotonen Verteilung angewendet, und diese mit klassischen Bereichsschätzern verglichen. Außerdem wird ein approximatives Schätzverfahren für die obere Grenze des Trägers der Monotonen Verteilung vorgeschlagen. Ein Hauptziel der Wirtschaftsprüfung ist die Bestimmung von Konfidenzintervalle für Mittelwerte von Grundgesamtheiten zu bestimmen, die viele Nullen enthalten. Die monotone Verteilung geht in die Modellierung einer solchen Grundgesamtheit und in das Verfahren für ein Konfidenzintervall unter Vorinformation zur Schätzung des Mittelwerts ein. Die Ergebnisse werden mit zweiseitigen Intervallen vom Stringer-Typ verglichen. KW - Mathematik KW - Wahrscheinlichkeitstheorie KW - Metrologie KW - Konfidenzintervall KW - A-priori-Wissen KW - Probability theory KW - Parametric inference KW - Prior information KW - Audit sampling KW - Overstatement models KW - Finite support distributions KW - Confidence intervals Y1 - 2019 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-175194 ER - TY - THES A1 - Breitenbach, Tim T1 - A sequential quadratic Hamiltonian scheme for solving optimal control problems with non-smooth cost functionals T1 - Ein sequentielles quadratisches Hamilton Schema um Optimalsteuerprobleme mit nicht-glatten Kostenfunktionalen zu lösen N2 - This thesis deals with a new so-called sequential quadratic Hamiltonian (SQH) iterative scheme to solve optimal control problems with differential models and cost functionals ranging from smooth to discontinuous and non-convex. This scheme is based on the Pontryagin maximum principle (PMP) that provides necessary optimality conditions for an optimal solution. In this framework, a Hamiltonian function is defined that attains its minimum pointwise at the optimal solution of the corresponding optimal control problem. In the SQH scheme, this Hamiltonian function is augmented by a quadratic penalty term consisting of the current control function and the control function from the previous iteration. The heart of the SQH scheme is to minimize this augmented Hamiltonian function pointwise in order to determine a control update. Since the PMP does not require any differ- entiability with respect to the control argument, the SQH scheme can be used to solve optimal control problems with both smooth and non-convex or even discontinuous cost functionals. The main achievement of the thesis is the formulation of a robust and efficient SQH scheme and a framework in which the convergence analysis of the SQH scheme can be carried out. In this framework, convergence of the scheme means that the calculated solution fulfills the PMP condition. The governing differential models of the considered optimal control problems are ordinary differential equations (ODEs) and partial differential equations (PDEs). In the PDE case, elliptic and parabolic equations as well as the Fokker-Planck (FP) equation are considered. For both the ODE and the PDE cases, assumptions are formulated for which it can be proved that a solution to an optimal control problem has to fulfill the PMP. The obtained results are essential for the discussion of the convergence analysis of the SQH scheme. This analysis has two parts. The first one is the well-posedness of the scheme which means that all steps of the scheme can be carried out and provide a result in finite time. The second part part is the PMP consistency of the solution. This means that the solution of the SQH scheme fulfills the PMP conditions. In the ODE case, the following results are obtained that state well-posedness of the SQH scheme and the PMP consistency of the corresponding solution. Lemma 7 states the existence of a pointwise minimum of the augmented Hamiltonian. Lemma 11 proves the existence of a weight of the quadratic penalty term such that the minimization of the corresponding augmented Hamiltonian results in a control updated that reduces the value of the cost functional. Lemma 12 states that the SQH scheme stops if an iterate is PMP optimal. Theorem 13 proves the cost functional reducing properties of the SQH control updates. The main result is given in Theorem 14, which states the pointwise convergence of the SQH scheme towards a PMP consistent solution. In this ODE framework, the SQH method is applied to two optimal control problems. The first one is an optimal quantum control problem where it is shown that the SQH method converges much faster to an optimal solution than a globalized Newton method. The second optimal control problem is an optimal tumor treatment problem with a system of coupled highly non-linear state equations that describe the tumor growth. It is shown that the framework in which the convergence of the SQH scheme is proved is applicable for this highly non-linear case. Next, the case of PDE control problems is considered. First a general framework is discussed in which a solution to the corresponding optimal control problem fulfills the PMP conditions. In this case, many theoretical estimates are presented in Theorem 59 and Theorem 64 to prove in particular the essential boundedness of the state and adjoint variables. The steps for the convergence analysis of the SQH scheme are analogous to that of the ODE case and result in Theorem 27 that states the PMP consistency of the solution obtained with the SQH scheme. This framework is applied to different elliptic and parabolic optimal control problems, including linear and bilinear control mechanisms, as well as non-linear state equations. Moreover, the SQH method is discussed for solving a state-constrained optimal control problem in an augmented formulation. In this case, it is shown in Theorem 30 that for increasing the weight of the augmentation term, which penalizes the violation of the state constraint, the measure of this state constraint violation by the corresponding solution converges to zero. Furthermore, an optimal control problem with a non-smooth L\(^1\)-tracking term and a non-smooth state equation is investigated. For this purpose, an adjoint equation is defined and the SQH method is used to solve the corresponding optimal control problem. The final part of this thesis is devoted to a class of FP models related to specific stochastic processes. The discussion starts with a focus on random walks where also jumps are included. This framework allows a derivation of a discrete FP model corresponding to a continuous FP model with jumps and boundary conditions ranging from absorbing to totally reflecting. This discussion allows the consideration of the drift-control resulting from an anisotropic probability of the steps of the random walk. Thereafter, in the PMP framework, two drift-diffusion processes and the corresponding FP models with two different control strategies for an optimal control problem with an expectation functional are considered. In the first strategy, the controls depend on time and in the second one, the controls depend on space and time. In both cases a solution to the corresponding optimal control problem is characterized with the PMP conditions, stated in Theorem 48 and Theorem 49. The well-posedness of the SQH scheme is shown in both cases and further conditions are discussed that ensure the convergence of the SQH scheme to a PMP consistent solution. The case of a space and time dependent control strategy results in a special structure of the corresponding PMP conditions that is exploited in another solution method, the so-called direct Hamiltonian (DH) method. N2 - Diese Dissertation handelt von einem neuen so genannten sequentiellen quadratischen Hamilton (SQH) iterativen Schema um Optimalsteuerungsprobleme mit Differentialmodellen und Kostenfunktionalen, die von glatt bis zu unstetig und nicht-konvex reichen, zu lösen. Dieses Schema basiert auf dem Pontryagin Maximumprinzip (PMP), welches notwendige Optimalitätsbedingungen für eine optimale Lösung zur Verfügung stellt. In diesem Rahmen wird eine Hamiltonfunktion definiert, die ihr Minimum punktweise an der optimalen Lösung des entsprechenden Optimalsteuerungsproblems annimmt. In diesem SQH Schema wird diese Hamiltonfunktion durch einen quadratischen Strafterm erweitert, der aus der aktuellen Steuerungsfunktion und der Steuerungsfunktion aus der vorherigen Iteration besteht. Das Herzstück des SQH Schemas ist die punktweise Minimierung dieser erweiterten Hamiltonfunktion um eine Aktualisierung der Steuerungsfunktion zu bestimmen. Da das PMP keine Differenzierbarkeit in Bezug auf das Steuerungsfunktionsargument verlangt, kann das SQH Schema dazu benutzt werden, Optimalsteuerungsprobleme mit sowohl glatten als auch nicht-konvexen oder sogar unstetigen Kostenfunktionalen zu lösen. Das Hauptergebnis dieser Dissertation ist die Formulierung eines robusten und effizienten SQH Schemas und eines Rahmens, in dem die Konvergenzanalyse des SQH Schemas ausgeführt werden kann. In diesem Rahmen bedeutet Konvergenz des Schemas, dass die berechnete Lösung die PMP Bedingung erfüllt. Die steuernden Differentialmodelle der betrachteten Optimalsteuerungsprobleme sind gewöhnliche Differentialgleichungen (ODEs) und partielle Differentialgleichungen (PDEs). Im PDE Fall werden elliptische und parabolische Gleichungen, sowie die Fokker-Planck (FP) Gleichung betrachtet. Für sowohl den ODE als auch den PDE Fall werden Annahmen formuliert, für die bewiesen werden kann, dass eine Lösung eines Optimalsteuerungsproblems das PMP erfüllen muss. Die erhaltenen Resultate sind für die Diskussion der Konvergenzanalyse des SQH Schemas essentiell. Diese Analyse hat zwei Teile. Der erste ist die Wohlgestelltheit des Schemas, was bedeutet, dass alle Schritte des Schemas ausgeführt werden können und ein Ergebnis in endlicher Zeit liefern. Der zweite Teil ist die PMP Konsistenz der Lösung. Das bedeutet, dass die Lösung des SQH Schemas die PMP Bedingungen erfüllt. Im ODE Fall werden die folgenden Resultate erhalten, die die Wohlgestelltheit des Schemas und die PMP Konsistenz der entsprechenden Lösung darlegen. Lemma 7 legt die Existenz eines punktweisen Minimums der erweiterten Hamiltonfunktion dar. Lemma 11 beweist die Existenz eines Gewichtes des quadratischen Strafterms, sodass die Minimierung der entsprechenden erweiterten Hamiltonfunktion zu einer Kontrollaktualisierung führt, die den Wert des Kostenfunktionals verringert. Lemma 12 legt dar, dass das SQH Schema stehen bleibt falls eine Iterierte PMP optimal ist. Satz 13 beweist die Kostenfunktional verringernden Eigenschaften der SQH Steuerungsfunktionsaktualisierung. Das Hauptresultat ist in Satz 14 gegeben, welches die punktweise Konvergenz des SQH Schemas gegen eine PMP konsistente Lösung darlegt. Das SQH-Verfahren wird in diesem ODE Rahmen auf zwei Optimalsteuerungsprobleme angewendet. Das erste ist ein optimales Quantensteuerungsproblem, bei dem gezeigt wird, dass das SQH-Verfahren viel schneller zu einer optimalen Lösung konvergiert als ein globalisiertes Newton-Verfahren. Das zweite Optimalsteuerungsproblem ist ein optimales Tumorbehandlungsproblem mit einem System gekoppelter hochgradig nicht-linearer Zustandsgleichungen, die das Tumorwachstum beschreiben. Es wird gezeigt, dass der Rahmen, in dem die Konvergenz des SQH Schemas bewiesen wird, auf diesen hochgradig nicht-linearen Fall anwendbar ist. Als nächstes wird der Fall von PDE Optimalsteuerungsprobleme betrachtet. Zunächst wird ein allgemeiner Rahmen diskutiert, in dem eine Lösung des entsprechenden Optimalsteuerungsproblem die PMP Bedingungen erfüllt. In diesem Fall werden viele theoretische Abschätzungen in Satz 59 und Satz 64 bewiesen, die insbesondere die essentielle Beschränktheit von Zustands- und Adjungiertenvariablen beweisen. Die Schritte für die Konvergenzanalyse des SQH Schemas sind analog zu denen des ODE Falls und führen zu Satz 27, der die PMP Konsistenz der Lösung, erhalten durch das SQH Schemas, darlegt. Dieser Rahmen wird auf verschiedene elliptische und parabolische Optimalsteuerungsprobleme angewendet, die lineare und bilineare Steuerungsmechanismen beinhalten, genauso wie nicht-lineare Zustandsgleichungen. Darüber hinaus wird das SQH-Verfahren zum Lösen eines zustandsbeschränkten Optimalsteuerungsproblems in einer erweiterten Formulieren diskutiert. Es wird in Satz 30 gezeigt, dass wenn man das Gewicht des Erweiterungsterms, der die Verletzung der Zustandsbeschränkung bestraft, erhöht, das Maß dieser Zustandsbeschränkungsverletzung durch die entsprechende Lösung gegen null konvergiert. Weiterhin wird ein Optimalsteuerungsproblem mit einem nicht-glatten L\(^1\)-Zielverfolgungsterm und einer nicht-glatten Zustandsgleichung untersucht. Für diesen Zweck wird eine adjungierte Gleichung definiert und das SQHVerfahren wird benutzt um das entsprechende Optimalsteuerungsproblem zu lösen. Der letzte Teil dieser Dissertation ist einer Klasse von FP Modellen gewidmet, die auf bestimmte stochastische Prozesse bezogen sind. Die Diskussion beginnt mit dem Fokus auf Random Walks bei dem auch Sprünge mit enthalten sind. Dieser Rahmen erlaubt die Herleitung eines diskreten FP Modells, das einem kontinuierlichen FP Modell mit Sprüngen und Randbedingungen entspricht, die sich zwischen absorbierend bis komplett reflektierend bewegen. Diese Diskussion erlaubt die Betrachtung der Driftsteuerung, die aus einer anisotropen Wahrscheinlichkeit für die Schritte des Random Walks resultiert. Danach werden zwei Drift-Diffusionsprozesse und die entsprechenden FP Modelle mit zwei verschiedenen Steuerungsstrategien für ein Optimalsteuerungsproblem mit Erwartungswertfunktional betrachtet. In der ersten Strategie hängen die Steuerungsfunktionen von der Zeit ab und in der zweiten hängen die Steuerungsfunktionen von Ort und Zeit ab. In beiden Fällen wird eine Lösung zum entsprechendem Optimalsteuerungsproblem mit den PMP Bedingungen charakterisiert, dargestellt in Satz 48 und Satz 49. Die Wohlgestelltheit des SQH Schemas ist in beiden Fällen gezeigt und weitere Bedingungen, die die Konvergenz des SQH Schemas zu einer PMP konsistenten Lösung sicherstellen, werden diskutiert. Der Fall einer Ort und Zeit abhängigen Steuerungsstrategie führt auf eine spezielle Struktur der entsprechenden PMP Bedingungen, die in einem weiteren Lösungsverfahren ausgenutzt werden, dem sogenannten direkten Hamiltonfunktionsverfahren (DH). KW - Optimale Kontrolle KW - Scheme for solving optimal control problems KW - Non-smooth optimal control KW - Pontryagin maximum principle KW - Sequential quadratic Hamiltonian scheme Y1 - 2019 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-182170 ER - TY - JOUR A1 - Helin, Tapio A1 - Kretschmann, Remo T1 - Non-asymptotic error estimates for the Laplace approximation in Bayesian inverse problems JF - Numerische Mathematik N2 - In this paper we study properties of the Laplace approximation of the posterior distribution arising in nonlinear Bayesian inverse problems. Our work is motivated by Schillings et al. (Numer Math 145:915–971, 2020. https://doi.org/10.1007/s00211-020-01131-1), where it is shown that in such a setting the Laplace approximation error in Hellinger distance converges to zero in the order of the noise level. Here, we prove novel error estimates for a given noise level that also quantify the effect due to the nonlinearity of the forward mapping and the dimension of the problem. In particular, we are interested in settings in which a linear forward mapping is perturbed by a small nonlinear mapping. Our results indicate that in this case, the Laplace approximation error is of the size of the perturbation. The paper provides insight into Bayesian inference in nonlinear inverse problems, where linearization of the forward mapping has suitable approximation properties. KW - Bayesian inverse problems KW - Laplace approximation KW - nonlinear inverse problems Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-265399 VL - 150 IS - 2 ER - TY - THES A1 - Pohl, Daniel T1 - Universal Locally Univalent Functions and Universal Conformal Metrics T1 - Universelle Lokal Schlichte Funktionen und Universelle Konforme Metriken N2 - The work at hand discusses various universality results for locally univalent and conformal metrics. In Chapter 2 several interesting approximation results are discussed. Runge-type Theorems for holomorphic and meromorphic locally univalent functions are shown. A well-known local approximation theorem for harmonic functions due to Keldysh is generalized to solutions of the curvature equation. In Chapter 3 and 4 these approximation theorems are used to establish universality results for locally univalent functions and conformal metrics. In particular locally univalent analogues for well-known universality results due Birkhoff, Seidel & Walsh and Heins are shown. N2 - In Kapitel 2 werden Runge-Sätze für holomorphe und meromorphe lokal schlichte Funktionen und ein lokaler Approximationsstaz für konforme Metriken mit negativer Krümmung bewiesen. Mithilfe dieser Sätze werden In Kapitel 3 und 4 Universalitätsresultate für lokal schlichte Funktionen und konforme Metriken gezeigt. KW - Schlichte Funktion KW - Konforme Metrik KW - Universal Functions KW - Conformal Metrics KW - Curvature Equation KW - Runge-type Theorems Y1 - 2019 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-177174 ER - TY - JOUR A1 - Haack, J. A1 - Hauck, C. A1 - Klingenberg, C. A1 - Pirner, M. A1 - Warnecke, S. T1 - A Consistent BGK Model with Velocity-Dependent Collision Frequency for Gas Mixtures JF - Journal of Statistical Physics N2 - We derive a multi-species BGK model with velocity-dependent collision frequency for a non-reactive, multi-component gas mixture. The model is derived by minimizing a weighted entropy under the constraint that the number of particles of each species, total momentum, and total energy are conserved. We prove that this minimization problem admits a unique solution for very general collision frequencies. Moreover, we prove that the model satisfies an H-Theorem and characterize the form of equilibrium. KW - plasma physics KW - multi-fluid mixture KW - kinetic model KW - BGK approximation KW - velocity-dependent collision frequency KW - entropy minimization Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-269146 SN - 1572-9613 VL - 184 IS - 3 ER - TY - THES A1 - Promkam, Ratthaprom T1 - Hybrid Dynamical Systems: Modeling, Stability and Interconnection T1 - Hybride Dynamische Systeme: Modellierung, Stabilität und Zusammenschaltung N2 - This work deals with a class of nonlinear dynamical systems exhibiting both continuous and discrete dynamics, which is called as hybrid dynamical system. We provide a broader framework of generalized hybrid dynamical systems allowing us to handle issues on modeling, stability and interconnections. Various sufficient stability conditions are proposed by extensions of direct Lyapunov method. We also explicitly show Lyapunov formulations of the nonlinear small-gain theorems for interconnected input-to-state stable hybrid dynamical systems. Applications on modeling and stability of hybrid dynamical systems are given by effective strategies of vaccination programs to control a spread of disease in epidemic systems. N2 - Entwicklung eines Frameworks für hybride dynamische Systeme zur Decomkosition oder Komposition solcher Systeme. Untersuchung der Stabilität von gekoppelten hybriden Systemen. KW - Dynamical system KW - Stability KW - Hybridsystem KW - Interconnection KW - Dynamical Systems KW - Lyapunov Stability KW - Hybrid Dynamical Systems KW - Small-Gain Theorem Y1 - 2019 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-190993 ER - TY - THES A1 - Zenk, Markus T1 - On Numerical Methods for Astrophysical Applications T1 - Über numerische Methoden für astrophysikalische Anwendungen N2 - Diese Arbeit befasst sich mit der Approximation der Lösungen von Modellen zur Beschreibung des Strömungsverhaltens in Atmosphären. Im Speziellen umfassen die hier behandelten Modelle die kompressiblen Euler Gleichungen der Gasdynamik mit einem Quellterm bezüglich der Gravitation und die Flachwassergleichungen mit einem nicht konstanten Bodenprofil. Verschiedene Methoden wurden bereits entwickelt um die Lösungen dieser Gleichungen zu approximieren. Im Speziellen geht diese Arbeit auf die Approximation von Lösungen nahe des Gleichgewichts und, im Falle der Euler Gleichungen, bei kleinen Mach Zahlen ein. Die meisten numerischen Methoden haben die Eigenschaft, dass die Qualität der Approximation sich mit der Anzahl der Freiheitsgrade verbessert. In der Praxis werden deswegen diese numerischen Methoden auf großen Computern implementiert um eine möglichst hohe Approximationsgüte zu erreichen. Jedoch sind auch manchmal diese großen Maschinen nicht ausreichend, um die gewünschte Qualität zu erreichen. Das Hauptaugenmerk dieser Arbeit ist darauf gerichtet, die Qualität der Approximation bei gleicher Anzahl von Freiheitsgrade zu verbessern. Diese Arbeit ist im Zusammenhang einer Kollaboration zwischen Prof. Klingenberg des Mathemaitschen Instituts in Würzburg und Prof. Röpke des Astrophysikalischen Instituts in Würzburg entstanden. Das Ziel dieser Kollaboration ist es, Methoden zur Berechnung von stellarer Atmosphären zu entwickeln. In dieser Arbeit werden vor allem zwei Problemstellungen behandelt. Die erste Problemstellung bezieht sich auf die akkurate Approximation des Quellterms, was zu den so genannten well-balanced Schemata führt. Diese erlauben genaue Approximationen von Lösungen nahe des Gleichgewichts. Die zweite Problemstellung bezieht sich auf die Approximation von Strömungen bei kleinen Mach Zahlen. Es ist bekannt, dass Lösungen der kompressiblen Euler Gleichungen zu Lösungen der inkompressiblen Euler Gleichungen konvergieren, wenn die Mach Zahl gegen null geht. Klassische numerische Schemata zeigen ein stark diffusives Verhalten bei kleinen Mach Zahlen. Das hier entwickelte Schema fällt in die Kategorie der asymptotic preserving Schematas, d.h. das numerische Schema ist auf einem diskrete Level kompatibel mit dem auf dem Kontinuum gezeigten verhalten. Zusätzlich wird gezeigt, dass die Diffusion des hier entwickelten Schemas unabhängig von der Mach Zahl ist. In Kapitel 3 wird ein HLL approximativer Riemann Löser für die Approximation der Lösungen der Flachwassergleichungen mit einem nicht konstanten Bodenprofil angewendet und ein well-balanced Schema entwickelt. Die meisten well-balanced Schemata für die Flachwassergleichungen behandeln nur den Fall eines Fluids im Ruhezustand, die so genannten Lake at Rest Lösungen. Hier wird ein Schema entwickelt, welches sich mit allen Gleichgewichten befasst. Zudem wird eine zweiter Ordnung Methode entwickelt, welche im Gegensatz zu anderen in der Literatur nicht auf einem iterativen Verfahren basiert. Numerische Experimente werden durchgeführt um die Vorteile des neuen Verfahrens zu zeigen. In Kapitel 4 wird ein Suliciu Relaxations Löser angepasst um die hydrostatischen Gleichgewichte der Euler Gleichungen mit einem Gravitationspotential aufzulösen. Die Gleichungen der hydrostatischen Gleichgewichte sind unterbestimmt und lassen deshalb keine Eindeutigen Lösungen zu. Es wird jedoch gezeigt, dass das neue Schema für eine große Klasse dieser Lösungen die well-balanced Eigenschaft besitzt. Für bestimmte Klassen werden Quadraturformeln zur Approximation des Quellterms entwickelt. Es wird auch gezeigt, dass das Schema robust, d.h. es erhält die Positivität der Masse und Energie, und stabil bezüglich der Entropieungleichung ist. Die numerischen Experimente konzentrieren sich vor allem auf den Einfluss der Quadraturformeln auf die well-balanced Eigenschaften. In Kapitel 5 wird ein Suliciu Relaxations Schema angepasst für Simulationen im Bereich kleiner Mach Zahlen. Es wird gezeigt, dass das neue Schema asymptotic preserving und die Diffusion kontrolliert ist. Zudem wird gezeigt, dass das Schema für bestimmte Parameter robust ist. Eine Stabilität wird aus einer Chapman-Enskog Analyse abgeleitet. Resultate numerische Experimente werden gezeigt um die Vorteile des neuen Verfahrens zu zeigen. In Kapitel 6 werden die Schemata aus den Kapiteln 4 und 5 kombiniert um das Verhalten des numerischen Schemas bei Flüssen mit kleiner Mach Zahl in durch die Gravitation geschichteten Atmosphären zu untersuchen. Es wird gezeigt, dass das Schema well-balanced ist. Die Robustheit und die Stabilität werden analog zu Kapitel 5 behandelt. Auch hier werden numerische Tests durchgeführt. Es zeigt sich, dass das neu entwickelte Schema in der Lage ist, die Dynamiken besser Aufzulösen als vor der Anpassung. Das Kapitel 7 beschäftigt sich mit der Entwicklung eines multidimensionalen Schemas basierend auf der Suliciu Relaxation. Jedoch ist die Arbeit an diesem Ansatz noch nicht beendet und numerische Resultate können nicht präsentiert werden. Es wird aufgezeigt, wo sich die Schwächen dieses Ansatzes befinden und weiterer Entwicklungsbedarf besteht. N2 - This work is concerned with the numerical approximation of solutions to models that are used to describe atmospheric or oceanographic flows. In particular, this work concen- trates on the approximation of the Shallow Water equations with bottom topography and the compressible Euler equations with a gravitational potential. Numerous methods have been developed to approximate solutions of these models. Of specific interest here are the approximations of near equilibrium solutions and, in the case of the Euler equations, the low Mach number flow regime. It is inherent in most of the numerical methods that the quality of the approximation increases with the number of degrees of freedom that are used. Therefore, these schemes are often run in parallel on big computers to achieve the best pos- sible approximation. However, even on those big machines, the desired accuracy can not be achieved by the given maximal number of degrees of freedom that these machines allow. The main focus in this work therefore lies in the development of numerical schemes that give better resolution of the resulting dynamics on the same number of degrees of freedom, compared to classical schemes. This work is the result of a cooperation of Prof. Klingenberg of the Institute of Mathe- matics in Wu¨rzburg and Prof. R¨opke of the Astrophysical Institute in Wu¨rzburg. The aim of this collaboration is the development of methods to compute stellar atmospheres. Two main challenges are tackled in this work. First, the accurate treatment of source terms in the numerical scheme. This leads to the so called well-balanced schemes. They allow for an accurate approximation of near equilibrium dynamics. The second challenge is the approx- imation of flows in the low Mach number regime. It is known that the compressible Euler equations tend towards the incompressible Euler equations when the Mach number tends to zero. Classical schemes often show excessive diffusion in that flow regime. The here devel- oped scheme falls into the category of an asymptotic preserving scheme, i.e. the numerical scheme reflects the behavior that is computed on the continuous equations. Moreover, it is shown that the diffusion of the numerical scheme is independent of the Mach number. In chapter 3, an HLL-type approximate Riemann solver is adapted for simulations of the Shallow Water equations with bottom topography to develop a well-balanced scheme. In the literature, most schemes only tackle the equilibria when the fluid is at rest, the so called Lake at rest solutions. Here a scheme is developed to accurately capture all the equilibria of the Shallow Water equations. Moreover, in contrast to other works, a second order extension is proposed, that does not rely on an iterative scheme inside the reconstruction procedure, leading to a more efficient scheme. In chapter 4, a Suliciu relaxation scheme is adapted for the resolution of hydrostatic equilibria of the Euler equations with a gravitational potential. The hydrostatic relations are underdetermined and therefore the solutions to that equations are not unique. However, the scheme is shown to be well-balanced for a wide class of hydrostatic equilibria. For specific classes, some quadrature rules are computed to ensure the exact well-balanced property. Moreover, the scheme is shown to be robust, i.e. it preserves the positivity of mass and energy, and stable with respect to the entropy. Numerical results are presented in order to investigate the impact of the different quadrature rules on the well-balanced property. In chapter 5, a Suliciu relaxation scheme is adapted for the simulations of low Mach number flows. The scheme is shown to be asymptotic preserving and not suffering from excessive diffusion in the low Mach number regime. Moreover, it is shown to be robust under certain parameter combinations and to be stable from an Chapman-Enskog analysis. Numerical results are presented in order to show the advantages of the new approach. In chapter 6, the schemes developed in the chapters 4 and 5 are combined in order to investigate the performance of the numerical scheme in the low Mach number regime in a gravitational stratified atmosphere. The scheme is shown the be well-balanced, robust and stable with respect to a Chapman-Enskog analysis. Numerical tests are presented to show the advantage of the newly proposed method over the classical scheme. In chapter 7, some remarks on an alternative way to tackle multidimensional simulations are presented. However no numerical simulations are performed and it is shown why further research on the suggested approach is necessary. KW - Strömung KW - Numerical Methods KW - Hyperbolic Partial Differential Equations KW - Well-Balanced KW - Asymptotic Preserving KW - Atmosphäre KW - Mathematisches Modell KW - PDE Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-162669 ER - TY - THES A1 - Pörner, Frank T1 - Regularization Methods for Ill-Posed Optimal Control Problems T1 - Regularisierungsverfahren für schlecht gestellte Optimalsteuerungsprobleme N2 - This thesis deals with the construction and analysis of solution methods for a class of ill-posed optimal control problems involving elliptic partial differential equations as well as inequality constraints for the control and state variables. The objective functional is of tracking type, without any additional \(L^2\)-regularization terms. This makes the problem ill-posed and numerically challenging. We split this thesis in two parts. The first part deals with linear elliptic partial differential equations. In this case, the resulting solution operator of the partial differential equation is linear, making the objective functional linear-quadratic. To cope with additional control constraints we introduce and analyse an iterative regularization method based on Bregman distances. This method reduces to the proximal point method for a specific choice of the regularization functional. It turns out that this is an efficient method for the solution of ill-posed optimal control problems. We derive regularization error estimates under a regularity assumption which is a combination of a source condition and a structural assumption on the active sets. If additional state constraints are present we combine an augmented Lagrange approach with a Tikhonov regularization scheme to solve this problem. The second part deals with non-linear elliptic partial differential equations. This significantly increases the complexity of the optimal control as the associated solution operator of the partial differential equation is now non-linear. In order to regularize and solve this problem we apply a Tikhonov regularization method and analyse this problem with the help of a suitable second order condition. Regularization error estimates are again derived under a regularity assumption. These results are then extended to a sparsity promoting objective functional. N2 - Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Konstruktion und Analyse von Lösungsverfahren für schlecht gestellte Steuerungsprobleme. Die Nebenbedingungen sind in der Form von elliptischen partiellen Differentialgleichungen, sowie Ungleichungsrestriktionen für die Steuerung und den zugehörigen Zustand gegeben. Das Zielfunktional besteht aus einem Tracking-Type-Term ohne zusätzliche \(L^2\)-Regularisierungsterme. Dies führt dazu, dass das Optimalsteuerungsproblem schlecht gestellt ist, was die numerische Berechnung einer Lösung erschwert. Diese Arbeit ist in zwei Teile aufgeteilt. Der erste Teil beschäftigt sich mit linearen elliptischen partiellen Differentialgleichungen. In diesem Fall ist der zugehörige Lösungsoperator der partiellen Differentialgleichung linear und das Zielfunktional linear-quadratisch. Um die zusätzlichen Steuerungsrestriktionen zu behandeln, betrachten wir ein iteratives Verfahren welches auf einer Regularisierung mit Bregman-Abständen basiert. Für eine spezielle Wahl des Regularisierungsfunktionals vereinfacht sich dieses Verfahren zu dem Proximal-Point-Verfahren. Die Analyse des Verfahrens zeigt, dass es ein effizientes und gut geeignetes Verfahren ist, um schlecht gestellte Optimalsteuerungsprobleme zu lösen. Mithilfe einer Regularitätsannahme werden Konvergenzraten für den Regularisierungsfehler hergeleitet. Diese Regularitätsannahme ist eine Kombination einer Source-Condition sowie einer struktuellen Annahme an die aktiven Mengen. Wenn zusätzlich Zustandsrestriktionen vorhanden sind, wird zur Lösung eine Kombination aus dem Augmented Lagrange Ansatz sowie einer Tikhonov-Regularisierung angewendet. Der zweite Teil dieser Arbeit betrachtet nicht-lineare partielle Differentialgleichungen. Dies erhöht die Komplexität des Optimalsteuerungsproblem signifikant, da der Lösungsoperator der partiellen Differentialgleichung nun nicht-linear ist. Zur Lösung wird eine Tikhonov-Regularisierung betrachtet. Mithilfe einer geeigneten Bedingung zweiter Ordnung wird dieses Verfahren analysiert. Auch hier werden Konvergenzraten mithilfe einer Regularitätsannahme bestimmt. Anschließend werden diese Methoden auf ein Funktional mit einem zusätzlichen \(L^1\)-Term angewendet. N2 - Ill-posed optimization problems appear in a wide range of mathematical applications, and their numerical solution requires the use of appropriate regularization techniques. In order to understand these techniques, a thorough analysis is inevitable. The main subject of this book are quadratic optimal control problems subject to elliptic linear or semi-linear partial differential equations. Depending on the structure of the differential equation, different regularization techniques are employed, and their analysis leads to novel results such as rate of convergence estimates. KW - Optimale Steuerung KW - Regularisierung KW - Elliptische Differentialgleichung KW - optimal control KW - partial differential equation KW - Bregman distance KW - regularization KW - error estimate Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-163153 SN - 978-3-95826-086-3 (Print) SN - 978-3-95826-087-0 (Online) N1 - Parallel erschienen als Druckausgabe in Würzburg University Press, ISBN 978-3-95826-086-3, 26,90 EUR. PB - Würzburg University Press CY - Würzburg ET - 1. Auflage ER - TY - THES A1 - Pirner, Marlies T1 - Kinetic modelling of gas mixtures T1 - Kinetische Modellierung von Gasgemischen N2 - This book deals with the kinetic modelling of gas mixtures. It extends the existing literature in mathematics for one species of gas to the case of gasmixtures. This is more realistic in applications. Thepresentedmodel for gas mixtures is proven to be consistentmeaning it satisfies theconservation laws, it admitsanentropy and an equilibriumstate. Furthermore, we can guarantee the existence, uniqueness and positivity of solutions. Moreover, the model is used for different applications, for example inplasma physics, for fluids with a small deviation from equilibrium and in the case of polyatomic gases. N2 - Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Modellierung von Gasgemischen mittels einer kinetischen Beschreibung. Es werden Grundlagen über die Boltzmanngleichung für Gasgemische und die BGK-Aproximation präsentiert. Insbesondere wird auf deren Erweiterung auf Gasgemische eingegangen. Es wird ein Gasgemisch bestehend aus zwei Sorten von Gasen ohne chemische Reaktionen betrachtet. Das Gemisch wird mittels eines Systems kinetischer BGK-Gleichungen modelliert, welches je zwei Wechselwirkungsterme enthält, die den Impuls- und Energieaustausch berücksichtigen. Das hier vorgestellte Modell enthält einige von Physikern und Ingenieuren vorgeschlagene Modelle als Spezialfälle. Es wird gezeigt, dass das hier vorgeschlagene Modell die wesentlichen physikalischen Eigenschaften, wie Erhaltungseigenschaften, Positivität aller Temperaturen, das H-Theorem und Maxwellverteilungen im Gleichgewicht, erfüllt. Des Weiteren können die üblichen makroskopischen Gleichungen daraus hergeleitet werden. In der Literatur gibt es ein weiteres vorgeschlagenes Modell für Gasgemische mit nur einem Wechselwirkungsterm von Andries, Aoki und Perthame. In dieser Arbeit werden die Vorteile dieses Modells aus der Literatur und des hier vorgeschlagenen Modells diskutiert. Es wird die Nützlichkeit des hier vorgeschlagenen Modells illustriert, indem es dazu benutzt wird eine unbekannte Funktion in dem makroskopischen Modell für Gasgemische von Dellacherie herzuleiten. Des Weiteren wird für jedes dieser beiden Modelle Existenz, Eindeutigkeit und Positivität der Lösungen gezeigt. Dann wird das hier vorgeschlagene Modell auf bestimmte physikalische Situationen angewandt: auf Elektronen und Ionen in einem Plasma, auf ein Gasgemisch, welches sich nicht im Gleichgewicht befindet und ein Gasgemisch bestehend aus Molekülen mit zusätzlichen inneren Freiheitsgraden. Als erste Anwendung wird das Modell für geladene Teilchen erweitert und auf ein Gemisch aus Elektronen und Ionen angewandt, welches sich teilweise im Gleichgewicht befindet, teilweise nicht. Man findet solch eine Konstellation zum Beispiel bei der Fusion in einem Tokamak. Das Modell, welches hier vorgestellt wird, wird hier benutzt, da es die Wechselwirkungen zwischen Teilchen von der gleichen Sorte und Wechselwirkungen zwischen Teilchen verschiedener Sorten separiert. Dann wird ein neues Modell mithilfe der Mikro-Makro-Zerlegung hergeleitet, welches numerisch in einem Regime angewandt wird, in dem Gase teilweise im Gleichgewicht sind, teilweise nicht. Es werden theoretische Ergebnisse vorgestellt, zum einen Konvergenzraten gegen das Gleichgewicht im räumlich homogenen Fall, zum anderen die Landau-Dämpfung für Gasgemische, um sie mit Ergebnissen aus numerischen Simulationen vergleichen zu können. Als zweite Anwendung wird ein Gasgemisch betrachtet, welches eine Abweichung vom Gleichgewichtszustand hat und makroskopisch mithilfe der Navier-Stokes-Gleichungen beschrieben wird. In dieser makroskopischen Beschreibung erwartet man vier physikalische Größen, die das physikalische Verhalten eines Gases beschreiben, den Diffusionskoeffizienten, den Viskositätskoeffizienten, die Wärmeleitfähigkeit und den thermischen Diffusionsparameter. Es wird eine Chapman-Enskog-Entwicklung des hier vorgestellten Modells durchgeführt, um drei dieser vier physikalischen Größen zu bestimmen. Zusatzlich werden mehrere mögliche Erweiterungen zu einem ES-BGK-Modell für Gasgemische vorgeschlagen um die vierte physikalische Größe zu bestimmen. Es wird eine Erweiterung präsentiert, die möglichst einfach gehalten ist, eine intuitive Erweiterung, die den Fall einer Gassorte ähnelt und eine Erweiterung, die die physikalische Motivation des Physikers Holway, der das ES-BGK-Modell erfunden hat, berücksichtigt. Es wird gezeigt, dass die Erweiterungen die Erhaltungseigenschaften erfüllen, alle Temperaturen positiv sind und das H-Theorem erfüllt ist. Als dritte Anwendung wird das hier vorgestellte Modell zu einem Modell für Moleküle mit zusätzlichen inneren Freiheitsgraden erweitert. Die zwei Gassorten dürfen dabei eine unterschiedliche Anzahl an inneren Freiheitsgraden haben und werden beschrieben durch ein System von kinetischen ES-BGK-Gleichungen. Es wird gezeigt, dass das Modell die Erhaltungseigenschaften erfülllt, dass alle Temperaturen positiv sind und dass das H-Theorem erfüllt ist. Für numerische Zwecke wird die Chu-Reduktion angewandt um die Komplexität des Modells zu reduzieren und eine Anwendung gezeigt, bei dem eine Gassorte keine inneren Freiheitsgrade hat und die andere Sorte zwei Rotationsfreiheitsgrade besitzt. Als letztes wird der Grenzwert des hier vorgestellten Modells zu den dissipativen Eulergleichungen bewiesen. N2 - The present thesis considers the modelling of gas mixtures via a kinetic description. Fundamentals about the Boltzmann equation for gas mixtures and the BGK approximation are presented. Especially, issues in extending these models to gas mixtures are discussed. A non-reactive two component gas mixture is considered. The two species mixture is modelled by a system of kinetic BGK equations featuring two interaction terms to account for momentum and energy transfer between the two species. The model presented here contains several models from physicists and engineers as special cases. Consistency of this model is proven: conservation properties, positivity of all temperatures and the H-theorem. The form in global equilibrium as Maxwell distributions is specified. Moreover, the usual macroscopic conservation laws can be derived. In the literature, there is another type of BGK model for gas mixtures developed by Andries, Aoki and Perthame, which contains only one interaction term. In this thesis, the advantages of these two types of models are discussed and the usefulness of the model presented here is shown by using this model to determine an unknown function in the energy exchange of the macroscopic equations for gas mixtures described in the literature by Dellacherie. In addition, for each of the two models existence and uniqueness of mild solutions is shown. Moreover, positivity of classical solutions is proven. Then, the model presented here is applied to three physical applications: a plasma consisting of ions and electrons, a gas mixture which deviates from equilibrium and a gas mixture consisting of polyatomic molecules. First, the model is extended to a model for charged particles. Then, the equations of magnetohydrodynamics are derived from this model. Next, we want to apply this extended model to a mixture of ions and electrons in a special physical constellation which can be found for example in a Tokamak. The mixture is partly in equilibrium in some regions, in some regions it deviates from equilibrium. The model presented in this thesis is taken for this purpose, since it has the advantage to separate the intra and interspecies interactions. Then, a new model based on a micro-macro decomposition is proposed in order to capture the physical regime of being partly in equilibrium, partly not. Theoretical results are presented, convergence rates to equilibrium in the space-homogeneous case and the Landau damping for mixtures, in order to compare it with numerical results. Second, the model presented here is applied to a gas mixture which deviates from equilibrium such that it is described by Navier-Stokes equations on the macroscopic level. In this macroscopic description it is expected that four physical coefficients will show up, characterizing the physical behaviour of the gases, namely the diffusion coefficient, the viscosity coefficient, the heat conductivity and the thermal diffusion parameter. A Chapman-Enskog expansion of the model presented here is performed in order to capture three of these four physical coefficients. In addition, several possible extensions to an ellipsoidal statistical model for gas mixtures are proposed in order to capture the fourth coefficient. Three extensions are proposed: An extension which is as simple as possible, an intuitive extension copying the one species case and an extension which takes into account the physical motivation of the physicist Holway who invented the ellipsoidal statistical model for one species. Consistency of the extended models like conservation properties, positivity of all temperatures and the H-theorem are proven. The shape of global Maxwell distributions in equilibrium are specified. Third, the model presented here is applied to polyatomic molecules. A multi component gas mixture with translational and internal energy degrees of freedom is considered. The two species are allowed to have different degrees of freedom in internal energy and are modelled by a system of kinetic ellipsoidal statistical equations. Consistency of this model is shown: conservation properties, positivity of the temperature, H-theorem and the form of Maxwell distributions in equilibrium. For numerical purposes the Chu reduction is applied to the developed model for polyatomic gases to reduce the complexity of the model and an application for a gas consisting of a mono-atomic and a diatomic gas is given. Last, the limit from the model presented here to the dissipative Euler equations for gas mixtures is proven. KW - Polyatomare Verbindungen KW - Gasgemisch KW - Transportkoeffizient KW - Plasma KW - multi-fluid mixture KW - kinetic description of gases KW - entropy inequality KW - transport coefficients KW - Modellierung KW - well posedness KW - plasma modelling KW - polyatomic molecules KW - hydrodynamic limits Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-161077 SN - 978-3-95826-080-1 (Print) SN - 978-3-95826-081-8 (Online) N1 - Parallel erschienen als Druckausgabe in Würzburg University Press, ISBN 978-3-95826-080-1, 27,80 EUR. PB - Würzburg University Press CY - Würzburg ET - 1. Auflage ER - TY - RPRT A1 - Gerber, Sebastian A1 - Quarder, Jascha T1 - Erfassung von Aspekten professioneller Kompetenz zum Lehren des Simulierens und mathematischen Modellierens mit digitalen Werkzeugen. Ein Testinstrument N2 - Die Auseinandersetzung mit Simulations- und Modellierungsaufgaben, die mit digitalen Werkzeugen zu bearbeiten sind, stellt veränderte Anforderungen an Mathematiklehrkräfte in der Unterrichtsplanung und -durchführung. Werden digitale Werkzeuge sinnvoll eingesetzt, so unterstützen sie Simulations- und Modellierungsprozesse und ermöglichen realitätsnähere Sachkontexte im Mathematikunterricht. Für die empirische Untersuchung professioneller Kompetenzen zum Lehren des Simulierens und mathematischen Modellierens mit digitalen Werkzeugen ist es notwendig, Aspekte globaler Lehrkompetenzen von (angehenden) Mathematiklehrkräften bereichsspezifisch auszudeuten. Daher haben wir ein Testinstrument entwickelt, das die Überzeugungen, die Selbstwirksamkeitserwartungen und das fachdidaktische Wissen zum Lehren des Simulierens und mathematischen Modellierens mit digitalen Werkzeugen erfasst. Ergänzt wird das Testinstrument durch selbstberichtete Vorerfahrungen zum eigenen Gebrauch digitaler Werkzeuge sowie zur Verwendung digitaler Werkzeuge in Unterrichtsplanung und -durchführung. Das Testinstrument ist geeignet, um mittels Analysen von Veranstaltungsgruppen im Prä-Post-Design den Zuwachs der oben beschriebenen Kompetenz von (angehenden) Mathematiklehrkräften zu messen. Somit können in Zukunft anhand der Ergebnisse die Wirksamkeit von Lehrveranstaltungen, die diese Kompetenz fördern (sollen), untersucht und evaluiert werden. Der Beitrag gliedert sich in zwei Teile: Zunächst werden in der Testbeschreibung das zugrundeliegende Konstrukt und der Anwendungsbereich des Testinstruments sowie dessen Aufbau und Hinweise zur Durchführung beschrieben. Zudem wird die Testgüte anhand der Pilotierungsergebnisse überprüft. Im zweiten Teil befindet sich das vollständige Testinstrument. KW - GeoGebra KW - Computerunterstützter Unterricht KW - Mathematikunterricht KW - Lehrerbildung KW - Testen KW - mathematisches Modellieren KW - Simulieren KW - digitale Werkzeuge KW - Aspekte professioneller Kompetenz KW - Testinstrument Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-273597 ER - TY - THES A1 - Dippell, Marvin T1 - Constraint Reduction in Algebra, Geometry and Deformation Theory T1 - Constraint Reduktion in Algebra, Geometrie und Deformationsquantisierung N2 - To study coisotropic reduction in the context of deformation quantization we introduce constraint manifolds and constraint algebras as the basic objects encoding the additional information needed to define a reduction. General properties of various categories of constraint objects and their compatiblity with reduction are examined. A constraint Serre-Swan theorem, identifying constraint vector bundles with certain finitely generated projective constraint modules, as well as a constraint symbol calculus are proved. After developing the general deformation theory of constraint algebras, including constraint Hochschild cohomology and constraint differential graded Lie algebras, the second constraint Hochschild cohomology for the constraint algebra of functions on a constraint flat space is computed. N2 - Um koisotrope Reduktion im Kontext der Deformationsquantisierung zu betrachten, werden constraint Mannigfaltigkeiten und constraint Algebren als grundlegende Objekte definiert. Wichtige Eigenschaften verschiedener zugehöriger Kategorien, sowie deren Kompatibilität mit Reduktion werden untersucht. In Analogie zum klassischen Serre-Swan-Theorem können constraint Vektorbündel mit bestimmten endlich erzeugt projektiven constraint Moduln identifiziert werden. Außerdem wird ein Symbolkalkül für constraint Multidifferenzialoperatoren eingeführt. Nach der Entwicklung der allgemeinen Deformationstheorie von constraint Algebren mithilfe von constraint Hochschild Kohomologie und constraint differentiell gradierten Lie-Algebren, wird die zweite constraint Hochschild Kohomologie im Fall eines endlich dimensionalen constraint Vektorraums berechnet. KW - Differentialgeometrie KW - Deformationsquantisierung KW - Coisotropic reduction KW - Symplektische Geometrie Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-301670 ER - TY - JOUR A1 - Kanzow, Christian A1 - Raharja, Andreas B. A1 - Schwartz, Alexandra T1 - Sequential optimality conditions for cardinality-constrained optimization problems with applications JF - Computational Optimization and Applications N2 - Recently, a new approach to tackle cardinality-constrained optimization problems based on a continuous reformulation of the problem was proposed. Following this approach, we derive a problem-tailored sequential optimality condition, which is satisfied at every local minimizer without requiring any constraint qualification. We relate this condition to an existing M-type stationary concept by introducing a weak sequential constraint qualification based on a cone-continuity property. Finally, we present two algorithmic applications: We improve existing results for a known regularization method by proving that it generates limit points satisfying the aforementioned optimality conditions even if the subproblems are only solved inexactly. And we show that, under a suitable Kurdyka–Łojasiewicz-type assumption, any limit point of a standard (safeguarded) multiplier penalty method applied directly to the reformulated problem also satisfies the optimality condition. These results are stronger than corresponding ones known for the related class of mathematical programs with complementarity constraints. KW - augmented Lagrangian method KW - cardinality constraints KW - sequential optimality condition KW - conecontinuity type constraint qualification KW - relaxation method Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-269052 SN - 1573-2894 VL - 80 IS - 1 ER - TY - THES A1 - Gathungu, Duncan Kioi T1 - On Multigrid and H-Matrix Methods for Partial Integro-Differential Equations T1 - Mehrgitter-Verfahren und hierarchische Matrix-Lösungsverfahren für Klassen von partiellen Integro-Differential-Problemen N2 - The main theme of this thesis is the development of multigrid and hierarchical matrix solution procedures with almost linear computational complexity for classes of partial integro-differential problems. An elliptic partial integro-differential equation, a convection-diffusion partial integro-differential equation and a convection-diffusion partial integro-differential optimality system are investigated. In the first part of this work, an efficient multigrid finite-differences scheme for solving an elliptic Fredholm partial integro-differential equation (PIDE) is discussed. This scheme combines a second-order accurate finite difference discretization and a Simpson's quadrature rule to approximate the PIDE problem and a multigrid scheme and a fast multilevel integration method of the Fredholm operator allowing the fast solution of the PIDE problem. Theoretical estimates of second-order accuracy and results of local Fourier analysis of convergence of the proposed multigrid scheme are presented. Results of numerical experiments validate these estimates and demonstrate optimal computational complexity of the proposed framework that includes numerical experiments for elliptic PIDE problems with singular kernels. The experience gained in this part of the work is used for the investigation of convection diffusion partial-integro differential equations in the second part of this thesis. Convection-diffusion PIDE problems are discretized using a finite volume scheme referred to as the Chang and Cooper (CC) scheme and a quadrature rule. Also for this class of PIDE problems and this numerical setting, a stability and accuracy analysis of the CC scheme combined with a Simpson's quadrature rule is presented proving second-order accuracy of the numerical solution. To extend and investigate the proposed approximation and solution strategy to the case of systems of convection-diffusion PIDE, an optimal control problem governed by this model is considered. In this case the research focus is the CC-Simpson's discretization of the optimality system and its solution by the proposed multigrid strategy. Second-order accuracy of the optimization solution is proved and results of local Fourier analysis are presented that provide sharp convergence estimates of the optimal computational complexity of the multigrid-fast integration technique. While (geometric) multigrid techniques require ad-hoc implementation depending on the structure of the PIDE problem and on the dimensionality of the domain where the problem is considered, the hierarchical matrix framework allows a more general treatment that exploits the algebraic structure of the problem at hand. In this thesis, this framework is extended to the case of combined differential and integral problems considering the case of a convection-diffusion PIDE. In this case, the starting point is the CC discretization of the convection-diffusion operator combined with the trapezoidal quadrature rule. The hierarchical matrix approach exploits the algebraic nature of the hierarchical matrices for blockwise approximations by low-rank matrices of the sparse convection-diffusion approximation and enables data sparse representation of the fully populated matrix where all essential matrix operations are performed with at most logarithmic optimal complexity. The factorization of part of or the whole coefficient matrix is used as a preconditioner to the solution of the PIDE problem using a generalized minimum residual (GMRes) procedure as a solver. Numerical analysis estimates of the accuracy of the finite-volume and trapezoidal rule approximation are presented and combined with estimates of the hierarchical matrix approximation and with the accuracy of the GMRes iterates. Results of numerical experiments are reported that successfully validate the theoretical estimates and the optimal computational complexity of the proposed hierarchical matrix solution procedure. These results include an extension to higher dimensions and an application to the time evolution of the probability density function of a jump diffusion process. N2 - Das Hauptthema dieser Arbeit ist die Entwicklung von Mehrgitter-Verfahren und hierarchischer Matrix-Lösungsverfahren mit nahezu linearer Rechenkomplexität für Klassen von partiellen Integro-Differential-Problemen. Es werden eine elliptische partielle Integro-Differentialgleichung, eine partielle Konvektions-Diffusions-Integro-Differentialgleichung und ein partielles Konvektions-Diffusions-Integro-Differential-Optimalitätssystem untersucht. Im ersten Teil dieser Arbeit wurde ein effizientes Mehrgitter-Finite-Differenzen-Schema zur Lösung einer elliptischen Fredholm partiellen Integro-Differentialgleichungen (PIDE) diskutiert. Dieses Schema kombiniert eine exakte finite Differenzen-Diskretisierung zweiter Ordnung mit einer Quadraturregel von Simpson, um das PIDE-Problem mit einem Mehrgitter-Schema und einer schnellen Multilevel-Integrationsmethode des Fredholm-Operators zu lösen, was eine schnelle Lösung des PIDE-Probleme ermöglicht. Theoretische Abschätzungen der Genauigkeit zweiter Ordnung und Ergebnisse der lokalen Fourier-Analyse der Konvergenz des vorgeschlagenen Mehrgitter-Systems werden präsentiert. Ergebnisse von numerischen Experimenten validieren diese Schätzungen und demonstrieren die optimale rechnerische Komplexität des vorgeschlagenen Frameworks, das numerische Experimente für elliptische PIDE mit singulären Kernen beinhaltet. Die in diesem Teil der Arbeit gewonnenen Erfahrungen werden zur Untersuchung einer partielle Konvektions-Diffusions-Integro-Differentialgleichungen im zweiten Teil verwendet. Konvektions-Diffusions-PIDE-Probleme werden unter Verwendung eines Finite-Volumen-Schemas, das als das Chang- Cooper- (CC-) Schema bezeichnet wird, und einer Quadraturregel diskretisiert. Auch für diese Klasse von PIDE-Problemen und diese numerische Einstellung wird eine Stabilitäts- und Genauigkeitsanalyse des CC-Schemas in Kombination mit einer Quadraturregel von Simpson vorgestellt, die die Genauigkeit der numerischen Lösung zweiter Ordnung beweist. Um die vorgeschlagene Approximations- und Lösungsstrategie auf den Fall von Konvektions-Diffusions-PIDE-Systemen auszudehnen und zu untersuchen, wird ein Optimalsteuerungsproblem mit diesem Modell als Nebenbedingung untersucht. Der Forschungsschwerpunkt liegt dabei auf der Diskretisierung des Optimalitätssystems durch die CC-Simpson-Lösung und dessen Lösung durch die vorgeschlagene Mehrgitter-Strategie. Die Genauigkeit der optimalen Lösung zweiter Ordnung wird bewiesen und es werden Ergebnisse der lokalen Fourier-Analyse präsentiert, die scharfe Konvergenz-Schätzungen der optimalen Berechnungskomplexität der schnellen Mehrgitter Integrationstechnik liefern. Während (geometrische) Mehrgitterverfahren je nach Struktur des PIDE-Problems und der Dimensionalität des Gebietes, in dem das Problem berücksichtigt wird, eine Ad-hoc-Implementierung erfordern, ermöglicht das hierarchische Matrix-Framework eine allgemeinere Behandlung, die die algebraische Struktur des Problems nutzt. In dieser Arbeit wird dieses Verfahren auf den Fall kombinierter Differential- und Integralprobleme im Fall einer Konvektions-Diffusions-PIDE erweitert. In diesem Fall ist der Startpunkt die CC-Diskretisierung des Konvektions-Diffusions-Operators in Kombination mit der Trapez-Quadratur-Regel. Der hierarchische Matrixansatz nutzt die algebraische Natur der hierarchischen Matrizen für blockweise Approximationen durch niedrigrangige Matrizen der dünn besetzten Konvektions-Diffusionsmatrix und ermöglicht eine datenarme Darstellung der vollständig besetzten Matrix, bei der alle wesentlichen Matrixoperationen mit höchstens logarithmisch optimaler Komplexität durchgeführt werden. Die Faktorisierung eines Teils oder der gesamten Koeffizientenmatrix wird als Vorbedingung für die Lösung der PIDE-Probleme unter Verwendung eines verallgemeinerten minimalen Restwert-Verfahrens (GMRes) als Löser verwendet. Eine numerische Analyse der Abschätzungen der Genauigkeit der Finite-Volumen- und Trapezregel-Approximation werden präsentiert und kombiniert mit Abschätzungen der hierarchischen Matrix-Näherung und mit der Genauigkeit der GMRes iterationen kombiniert. Ergebnisse numerischer Experimente werden vorgestellt, die theoretischen Abschätzungen und die optimale rechnerische Komplexität der vorgeschlagenen hierarchischen Matrix Lösungsverfahren erfolgreich validieren. Diese Ergebnisse beinhalten eine Erweiterung auf höhere Dimensionen und eine Anwendung auf die zeitliche Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion des Sprungdiffusionsprozesses. KW - Mehrgitterverfahren KW - Hierarchische Matrix KW - Integrodifferentialgleichung KW - Numerical analysis KW - multigrid KW - hierarchical matrix KW - partial integro-differential equations Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-156430 ER - TY - THES A1 - Technau, Marc T1 - On Beatty sets and some generalisations thereof T1 - Über Beatty-Mengen und einige Verallgemeinerungen dieser N2 - Beatty sets (also called Beatty sequences) have appeared as early as 1772 in the astronomical studies of Johann III Bernoulli as a tool for easing manual calculations and - as Elwin Bruno Christoffel pointed out in 1888 - lend themselves to exposing intricate properties of the real irrationals. Since then, numerous researchers have explored a multitude of arithmetic properties of Beatty sets; the interrelation between Beatty sets and modular inversion, as well as Beatty sets and the set of rational primes, being the central topic of this book. The inquiry into the relation to rational primes is complemented by considering a natural generalisation to imaginary quadratic number fields. N2 - Zu gegebener Beatty-Menge \(\mathscr{B}(\alpha,\beta) = \{ n\alpha+\beta : n\in\mathbb{N} \}\) mit irrationalem \(\alpha>1\) und \(\beta\in\mathbb{R}\), sowie gegebener Primzahl \(p\) und hierzu teilerfremdem \(z\) untersuchen wir das Problem der Auffindung von Punkten \((m,\tilde{m})\) auf der modularen Hyperbel \[ \mathscr{H}_{z,p} = \{(m,\tilde{m}) \in \mathbb{Z}^2\cap[1,p )^2 : m\tilde{m}\equiv z\mod p\} \] mit \(\max\{ m, \tilde{m} \}\) so klein wie möglich, d.h. wir für gewisse \(\alpha\) beweisen nichttriviale Abschätzungen für \[ \min\{ \max\{ m, \tilde{m} \} : (m,\tilde{m})\in\mathscr{H}_{z,p}, \, m\in\mathscr{B}(\alpha,\beta) \}. \] Der Beweis fußt auf neuen Abschätzungen für unvollständige Kloosterman-Summen entlang \(\mathscr{B}(\alpha,\beta)\), welche durch das Speisen einer Methode von Banks und Shparlinski mit neuen Abschätzungen für die periodische Autokorrelation der endlichen Folge \[ 0,\, \operatorname{e}_p(y\overline{1}),\, \operatorname{e}_p(y\overline{2}),\, \ldots,\, \operatorname{e}_p(y\overline{p-1}), \quad \text{with \(y\) indivisible by \(p\)}, \] erhalten werden; (Hierbei bezeichnet \(\overline{m}\) die eindeutige natürliche Zahl \(m'\in[1,p)\) mit \(mm'\equiv 1\bmod p\) und wir schreiben \(\operatorname{e}_p(x) = \exp(2\pi i x/p)\).) Für letzteres adaptieren wir Ideen von Kloosterman. Des weiteren untersuchen wir Mengen der Form \(\{\lfloor m\alpha_1+n\alpha_2+\beta\rfloor : m,n\in\mathbb{N} \}\). Wir zeigen, dass diese stets in einer gewöhnlichen Beatty-Menge \(\mathscr{B}(\tilde{\alpha},\tilde{\beta})\) enthalten sind und geben zulässige Werte für \(\tilde{\alpha}\) und \(\tilde{\beta}\) an. Das Komplement \(\mathscr{C} = \mathscr{B}(\tilde{\alpha},\tilde{\beta}) \setminus \{\lfloor m\alpha_1+n\alpha_2+\beta\rfloor : m,n\in\mathbb{N} \}\) erweist sich als endliche Menge und wir bestimmen obere Schranken für das Supremum von \(\mathscr{C}\). Die Beweise gründen sich auf einfache Verteilungseigenschaften der Folge der Nachkommastellen \(\{n\alpha_1^{-1}\alpha_2\}\), \(n=1,2,\ldots\), sofern \(\alpha_1^{-1}\alpha_2\) irrational ist, und berufen sich anderenfalls auf die Endlichkeit der Frobenius-Zahl einer geeignet gewählten Instanz des Frobeniusschen Münzproblems. Abschließend verallgemeinern wir die Definition von Beatty-Mengen auf imaginär-quadratische Zahlkörper in einer natürlichen Weise. Hat der fragliche Zahlkörper Klassenzahl \(1\), so können wir zeigen, dass diese Beatty-artigen Mengen unendlich viele Primelemente enthalten, sofern der zugehörige Parameter \(\alpha\) nicht im betrachteten Zahlkörper enthalten ist. Für den speziellen Zahlkörper \(\mathbb{Q}(i)\) erhalten wir unter Benutzung des Hurwitzschen Kettenbruch-Algorithmus eine Zahlkörper-Variante eines früheren Resultats von Steuding und dem Autor, welches ein Beatty-Analogon des klassischen Linnikschen Satzes über die kleinste Primzahl in einer arithmetischen Progression darstellt. Die erwähnten Resultate werden durch Zahlkörper-Varianten von klassischen Ergebnissen über die Verteilung von \(\{ p\vartheta \}\), \(p=2,3,5,7,11,\ldots\), \(\vartheta\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\), erhalten; Diese wurden kürzlich von Baier mittels der Harmanschen Siebmethode für \(\mathbb{Q}(i)\) bewiesen. Wir übertragen die zugehörigen Überlegungen auf Zahlkörper mit Klassenzahl \(1\). N2 - For Beatty sets \(\mathscr{B}(\alpha,\beta) = \{ n\alpha+\beta : n\in\mathbb{N} \}\) with irrational \(\alpha>1\) and \(\beta\in\mathbb{R}\), and \(p\) prime and coprime to \(z\), we investigate the problem of detecting points \((m,\tilde{m})\) on the modular hyperbola \[ \mathscr{H}_{z,p} = \{(m,\tilde{m}) \in \mathbb{Z}^2\cap[1,p )^2 : m\tilde{m}\equiv z\mod p\} \] with \(\max\{ m, \tilde{m} \}\) as small as possible, i.e., we obtain non-trivial estimates for \[ \min\{ \max\{ m, \tilde{m} \} : (m,\tilde{m})\in\mathscr{H}_{z,p}, \, m\in\mathscr{B}(\alpha,\beta) \} \] for certain \(\alpha\). The proof rests on new estimates for incomplete Kloosterman sums along \(\mathscr{B}(\alpha,\beta)\) which are in turn obtained on supplying a method due to Banks and Shparlinski with a new estimate for the periodic autocorrelation of the finite sequence \[ 0,\, \operatorname{e}_p(y\overline{1}),\, \operatorname{e}_p(y\overline{2}),\, \ldots,\, \operatorname{e}_p(y\overline{p-1}), \quad \text{with \(y\) indivisible by \(p\)}, \] (\(\overline{m}\) denoting the unique integer \(m'\in[1,p)\) with \(mm'\equiv 1\bmod p\) and \(\operatorname{e}_p(x) = \exp(2\pi i x/p)\), the latter being obtained from adapting an argument due to Kloosterman. Furthermore, we investigate sets of the shape \(\{\lfloor m\alpha_1+n\alpha_2+\beta\rfloor : m,n\in\mathbb{N} \}\). We show that they are always contained in some ordinary Beatty set \(\mathscr{B}(\tilde{\alpha},\tilde{\beta})\) where we give admissible choices for \(\tilde{\alpha}\) and \(\tilde{\beta}\). Their respective complement \(\mathscr{C}\) in this ordinary Beatty set is shown to be finite and bounds for the supremum of \(\mathscr{C}\) are provided. The proofs are based on basic distribution properties of the sequence of fractional parts \(\{n\alpha_1^{-1}\alpha_2\}\), \(n=1,2,\ldots\), when \(\alpha_1^{-1}\alpha_2\) is irrational, and appeal to the finiteness of the Frobenius number associated with a suitably chosen instance of the Frobenius coin problem otherwise. Lastly, we generalise the definition of Beatty sets to imaginary quadratic number fields in a natural fashion. Assuming the number field in question to have class number \(1\), we are able to show that these Beatty-type sets contain infinitely many prime elements provided that the parameter corresponding to \(\alpha\) from above is not contained in the number field. When the number field is \(\mathbb{Q}(i)\), then, using the Hurwitz continued fraction expansion, we obtain a number field analogue of a previous result of Steuding and the author, who gave a Beatty set analogue of Linnik's famous theorem on the least prime number in an arithmetic progression. These results are obtained from number field analogues of classical results about the distribution of \(\{ p\vartheta \}\), \(p=2,3,5,7,11,\ldots\), \(\vartheta\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\), which were worked out recently by Baier for \(\mathbb{Q}(i)\) using Harman's sieve method. We generalise these arguments to imaginary quadratic number fields with class number \(1\). KW - Zahlentheorie KW - Beatty sequence KW - Kloosterman sum KW - prime number KW - distribution modulo one KW - Diophantine approximation KW - imaginary quadratic field Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-163303 SN - 978-3-95826-088-7 (Print) SN - 978-3-95826-089-4 (Online) N1 - Parallel erschienen als Druckausgabe in Würzburg University Press, ISBN 978-3-95826-088-7, 21,80 EUR. PB - Würzburg University Press CY - Würzburg ET - 1. Auflage ER - TY - THES A1 - Barsukow, Wasilij T1 - Low Mach number finite volume methods for the acoustic and Euler equations T1 - Finite Volumen Methoden für den Grenzwert niedriger Machzahlen der akustischen und der Euler-Gleichungen N2 - Finite volume methods for compressible Euler equations suffer from an excessive diffusion in the limit of low Mach numbers. This PhD thesis explores new approaches to overcome this. The analysis of a simpler set of equations that also possess a low Mach number limit is found to give valuable insights. These equations are the acoustic equations obtained as a linearization of the Euler equations. For both systems the limit is characterized by a divergencefree velocity. This constraint is nontrivial only in multiple spatial dimensions. As the Jacobians of the acoustic system do not commute, acoustics cannot be reduced to some kind of multi-dimensional advection. Therefore first an exact solution in multiple spatial dimensions is obtained. It is shown that the low Mach number limit can be interpreted as a limit of long times. It is found that the origin of the inability of a scheme to resolve the low Mach number limit is the lack a discrete counterpart to the limit of long times. Numerical schemes whose discrete stationary states discretize all the analytic stationary states of the PDE are called stationarity preserving. It is shown that for the acoustic equations, stationarity preserving schemes are vorticity preserving and are those that are able to resolve the low Mach limit (low Mach compliant). This establishes a new link between these three concepts. Stationarity preservation is studied in detail for both dimensionally split and multi-dimensional schemes for linear acoustics. In particular it is explained why the same multi-dimensional stencils appear in literature in very different contexts: These stencils are unique discretizations of the divergence that allow for stabilizing stationarity preserving diffusion. Stationarity preservation can also be generalized to nonlinear systems such as the Euler equations. Several ways how such numerical schemes can be constructed for the Euler equations are presented. In particular a low Mach compliant numerical scheme is derived that uses a novel construction idea. Its diffusion is chosen such that it depends on the velocity divergence rather than just derivatives of the different velocity components. This is demonstrated to overcome the low Mach number problem. The scheme shows satisfactory results in numerical simulations and has been found to be stable under explicit time integration. N2 - Finite Volumen Methoden für die kompressiblen Euler-Gleichungen zeigen übermäßige Diffusion im Grenzwert kleiner Machzahlen. Diese Dissertation beschäftigt sich mit neuen Ansätzen, um dieses Problem zu beheben. Die Analyse eines Systems einfacherer Gleichungen, die ebenso einen Grenzwert niedriger Machzahlen haben, liefert wichtige Einsichten. Diese Gleichungen sind die als Linearisierung der Euler-Gleichungen erhaltenen akustischen Gleichungen. Für beide Gleichungssysteme ist der Grenzwert durch ein divergenzfreies Geschwindigkeitsfeld charakterisiert, was nur in mehreren Raumdimensionen nichttrivial ist. Da die Jacobi-Matrizen des akustischen Systems nicht vertauschen, kann Akustik nicht auf irgendeine Art mehrdimensionaler Advektion zurückgeführt werden. Deswegen wird zunächst eine exakte Lösung in mehreren Raumdimensionen gefunden. Es wird gezeigt, dass sich der Grenzwert kleiner Machzahlen als Grenzwert langer Zeiten interpretieren lässt. Als der Ursprung des Versagens eines Schemas im Grenzwert kleiner Machzahlen wird das Fehlen einer diskreten Entsprechung zum Grenzwert langer Zeiten identifiziert. Numerische Schemata, deren diskrete stationäre Zustände alle analytischen stationären Zustände diskretisieren, werden stationaritätserhaltend genannt. Es zeigt sich, dass für die akustischen Gleichungen stationaritätserhaltende Schemata vortizitätserhaltend sind, und gerade diejenigen sind, die auch den Grenzwert kleiner Machzahlen aufzulösen vermögen. Das zeigt eine neue Verbindung zwischen diesen drei Konzepten auf. Erhaltung der Stationarität wird für lineare Akustik im Detail für Schemata studiert, die nach Raumdimensionen aufgeteilt sind, und auch für multi-dimensionale Schemata. Insbesondere wird ein Grund geliefert, warum die gleichen multi-dimensionalen diskreten Operatoren in der Literatur in sehr unterschiedlichen Kontexten auftauchen: Sie sind Diskretisierungen der Divergenz, für die eine stabilisierende, stationaritätserhaltende Diffusion gefunden werden kann. Auch für nichtlineare Gleichungen, wie die Euler-Gleichungen, kann die Erhaltung der Stationarität verallgemeinert werden. Es werden dazu mehrere Wege der Konstruktion numerischer Schemata gezeigt. Insbesondere im Hinblick auf den Grenzwert kleiner Machzahlen wird ein neuartiges Schema hergeleitet, dessen Diffusion so gewählt ist, dass es von der Divergenz der Geschwindigkeit, und nicht bloß von irgendswelchen Ableitungen der Geschwindigkeitskomponenten abhängt. Es wird gezeigt, dass dieses Schema in der Lage ist, den Grenzwert kleiner Machzahlen aufzulösen. Das Schema zeigt zufriedenstellende Resultate in Simulationen und ist stabil unter Verwendung eines expliziten Zeitintegrators. KW - Finite-Volumen-Methode KW - Machzahl KW - finite volume method KW - Euler equations KW - Acoustic equations KW - low Mach number KW - vorticity preserving Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-159965 ER - TY - THES A1 - Berberich, Jonas Philipp T1 - Fluids in Gravitational Fields – Well-Balanced Modifications for Astrophysical Finite-Volume Codes T1 - Fluide in Gravitationsfeldern - Wohl-Balancierte Modifikationen für Astrophysikalische Finite-Volumen-Codes N2 - Stellar structure can -- in good approximation -- be described as a hydrostatic state, which which arises due to a balance between gravitational force and pressure gradient. Hydrostatic states are static solutions of the full compressible Euler system with gravitational source term, which can be used to model the stellar interior. In order to carry out simulations of dynamical processes occurring in stars, it is vital for the numerical method to accurately maintain the hydrostatic state over a long time period. In this thesis we present different methods to modify astrophysical finite volume codes in order to make them \emph{well-balanced}, preventing them from introducing significant discretization errors close to hydrostatic states. Our well-balanced modifications are constructed so that they can meet the requirements for methods applied in the astrophysical context: They can well-balance arbitrary hydrostatic states with any equation of state that is applied to model thermodynamical relations and they are simple to implement in existing astrophysical finite volume codes. One of our well-balanced modifications follows given solutions exactly and can be applied on any grid geometry. The other methods we introduce, which do no require any a priori knowledge, balance local high order approximations of arbitrary hydrostatic states on a Cartesian grid. All of our modifications allow for high order accuracy of the method. The improved accuracy close to hydrostatic states is verified in various numerical experiments. N2 - Die Struktur von Sternen kann in guter Näherung als hydrostatischer Zustandbeschrieben werden, der durch ein Gleichgewicht zwischen Gravitationskraft undDruckgradient gegeben ist. Hydrostatische Zustände sind statische Lösungen dervollständigen komprimierbaren Euler-Gleichungen mit Gravitationsquellenterm, diezur Modellierung des Sterninneren verwendet werden können. Um Simulationendynamischer Prozesse in Sternen durchführen zu können, ist es wichtig, dass dieverwendete numerische Methode den hydrostatischen Zustand über einen langenZeitraum genau aufrechterhalten kann. In dieser Arbeit stellen wir verschiedene Me-thoden vor, um astrophysikalische Finite-Volumen-Codes so zu modifizieren, dasssie diewell-balancing-Eigenschaft erhalten, d.h., dass sie keine signifikanten Diskre-tisierungsfehler nahe hydrostatischer Zustände verursachen. Unsere well-balancing-Modifikationen sind so konstruiert, dass sie die Anforderungen für Methoden er-füllen, die im astrophysikalischen Kontext angewendet werden: Sie können beliebi-ge hydrostatische Zustände mit jeder Zustandsgleichung, die zur Modellierung derthermodynamischen Beziehungen angewendet wird, balancieren und sind einfach invorhandene astrophysikalische Finite-Volumen-Codes zu implementieren. Eine un-serer well-balancing Modifikationen erhält bekannte Lösungen exakt und kann aufjede Gittergeometrie angewendet werden. Die anderen Methoden, für die keine A-priori-Kenntnisse erforderlich sind, balancieren lokale Approximationen beliebigerhydrostatischer Zustände mit hoher Fehlerordnung auf einem kartesischen Gitter.Alle unsere Modifikationen erlauben eine hohe Fehlerordnung der Methode. Dieverbesserte Genauigkeit nahe an hydrostatischen Zuständen wird in verschiedenennumerischen Experimenten verifiziert. KW - well-balancing KW - Euler equations KW - finite volume methods KW - Fluid KW - Gravitationsfeld KW - Finite-Volumen-Methode Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-219679 ER - TY - THES A1 - Schötz, Matthias T1 - Convergent Star Products and Abstract O*-Algebras T1 - Konvergente Sternprodukte und Abstrakte O*-Algebren N2 - Diese Dissertation behandelt ein Problem aus der Deformationsquantisierung: Nachdem man die Quantisierung eines klassischen Systems konstruiert hat, würde man gerne ihre mathematischen Eigenschaften verstehen (sowohl die des klassischen Systems als auch die des Quantensystems). Falls beide Systeme durch *-Algebren über dem Körper der komplexen Zahlen beschrieben werden, bedeutet dies dass man die Eigenschaften bestimmter *-Algebren verstehen muss: Welche Darstellungen gibt es? Was sind deren Eigenschaften? Wie können die Zustände in diesen Darstellungen beschrieben werden? Wie kann das Spektrum der Observablen beschrieben werden? Um eine hinreichend allgemeine Behandlung dieser Fragen zu ermöglichen, wird das Konzept von abstrakten O*-Algebren entwickelt. Dies sind im Wesentlichen *-Algebren zusammen mit einem Kegel positiver linearer Funktionale darauf (z.B. die stetigen positiven linearen Funktionale wenn man mit einer *-Algebra startet, die mit einer gutartigen Topologie versehen ist). Im Anschluss daran wird dieser Ansatz dann auf zwei Beispiele aus der Deformationsquantisierung angewandt, die im Detail untersucht werden. N2 - This thesis discusses and proposes a solution for one problem arising from deformation quantization: Having constructed the quantization of a classical system, one would like to understand its mathematical properties (of both the classical and quantum system). Especially if both systems are described by ∗-algebras over the field of complex numbers, this means to understand the properties of certain ∗-algebras: What are their representations? What are the properties of these representations? How can the states be described in these representations? How can the spectrum of the observables be described? In order to allow for a sufficiently general treatment of these questions, the concept of abstract O ∗-algebras is introduced. Roughly speaking, these are ∗ -algebras together with a cone of positive linear functionals on them (e.g. the continuous ones if one starts with a ∗-algebra that is endowed with a well-behaved topology). This language is then applied to two examples from deformation quantization, which will be studied in great detail. KW - deformation quantization KW - convergent star product KW - *-algebra KW - Deformationsquantisierung Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-174355 ER - TY - THES A1 - Mönius, Katja T1 - Algebraic and Arithmetic Properties of Graph Spectra T1 - Algebraische und Arithmetische Eigenschaften von Graph Spektren N2 - In the present thesis we investigate algebraic and arithmetic properties of graph spectra. In particular, we study the algebraic degree of a graph, that is the dimension of the splitting field of the characteristic polynomial of the associated adjacency matrix over the rationals, and examine the question whether there is a relation between the algebraic degree of a graph and its structural properties. This generalizes the yet open question ``Which graphs have integral spectra?'' stated by Harary and Schwenk in 1974. We provide an overview of graph products since they are useful to study graph spectra and, in particular, to construct families of integral graphs. Moreover, we present a relation between the diameter, the maximum vertex degree and the algebraic degree of a graph, and construct a potential family of graphs of maximum algebraic degree. Furthermore, we determine precisely the algebraic degree of circulant graphs and find new criteria for isospectrality of circulant graphs. Moreover, we solve the inverse Galois problem for circulant graphs showing that every finite abelian extension of the rationals is the splitting field of some circulant graph. Those results generalize a theorem of So who characterized all integral circulant graphs. For our proofs we exploit the theory of Schur rings which was already used in order to solve the isomorphism problem for circulant graphs. Besides that, we study spectra of zero-divisor graphs over finite commutative rings. Given a ring \(R\), the zero-divisor graph over \(R\) is defined as the graph with vertex set being the set of non-zero zero-divisors of \(R\) where two vertices \(x,y\) are adjacent if and only if \(xy=0\). We investigate relations between the eigenvalues of a zero-divisor graph, its structural properties and the algebraic properties of the respective ring. N2 - In der vorliegenden Dissertation untersuchen wir algebraische und arithmetische Eigenschaften von Graph Spektren. Insbesondere studieren wir den algebraischen Grad eines Graphen, d.h. die Dimension des Zerfällungskörpers des charakteristischen Polynoms der zugehörigen Adjazenzmatrix über den rationalen Zahlen, und beschäftigen uns mit der Frage, ob es einen Zusammenhang zwischen dem algebraischen Grad eines Graphen und seinen strukturellen Eigenschaften gibt. Dies verallgemeinert die bis heute noch offene Fragestellung "Welche Graphen haben ganzzahliges Spektrum?", welche 1974 von Harary und Schwenk aufgeworfen wurde. Wir geben einen Überblick über verschiedene Graphprodukte, da diese oftmals hilfreich sind bei der Untersuchung von Graph Spektren, und konstruieren damit Familien von integralen Graphen. Außerdem stellen wir einen Zusammenhang zwischen dem Diameter, dem maximalen Eckengrad und dem algebraischen Grad von Graphen vor, und konstruieren eine potenzielle Familie von Graphen, welche alle maximalen algebraischen Grad haben. Zudem bestimmen wir den algebraischen Grad zirkulärer Graphen und finden neue Kriterien für Isospektralität solcher Graphen. Darüber hinaus lösen wir das inverse Galois Problem für zirkuläre Graphen, indem wir zeigen, dass jede endliche abelsche Erweiterung der rationalen Zahlen Zerfällungskörper eines zirkulären Graphen ist. Diese Resultate verallgemeinern einen Satz von So, in dem sämtliche integrale zirkuläre Graphen charakterisiert werden. Für unsere Beweise verwenden wir die Theorie der Schur Ringe, die bereits verwendet wurde, um das Isomorphieproblem für zirkuläre Graphen zu lösen. Zu guter Letzt untersuchen wir Spektren von Nullteilergraphen über kommutativen Ringen. Zu einem gegebenen Ring \(R\) ist der zugehörige Nullteilergraph über \(R\) definiert als der Graph, dessen Eckenmenge den Nullteilern von \(R\) entspricht, und in dem je zwei Ecken \(x,y\) benachbart sind, wenn \(xy=0\) gilt. Wir studieren Zusammenhänge zwischen den Eigenwerten von Nullteilergraphen, deren strukturellen Eigenschaften und den algebraischen Eigenschaften der entsprechenden Ringe. KW - Algebraische Zahlentheorie KW - Graph KW - Graph spectrum KW - Integral graph KW - Cayley graph KW - Schur ring KW - Zero-divisor graph KW - Kombinatorik Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-230850 ER - TY - THES A1 - Herrmann, Marc T1 - The Total Variation on Surfaces and of Surfaces T1 - Die totale Variation auf Oberflächen und von Oberflächen N2 - This thesis is concerned with applying the total variation (TV) regularizer to surfaces and different types of shape optimization problems. The resulting problems are challenging since they suffer from the non-differentiability of the TV-seminorm, but unlike most other priors it favors piecewise constant solutions, which results in piecewise flat geometries for shape optimization problems.The first part of this thesis deals with an analogue of the TV image reconstruction approach [Rudin, Osher, Fatemi (Physica D, 1992)] for images on smooth surfaces. A rigorous analytical framework is developed for this model and its Fenchel predual, which is a quadratic optimization problem with pointwise inequality constraints on the surface. A function space interior point method is proposed to solve it. Afterwards, a discrete variant (DTV) based on a nodal quadrature formula is defined for piecewise polynomial, globally discontinuous and continuous finite element functions on triangulated surface meshes. DTV has favorable properties, which include a convenient dual representation. Next, an analogue of the total variation prior for the normal vector field along the boundary of smooth shapes in 3D is introduced. Its analysis is based on a differential geometric setting in which the unit normal vector is viewed as an element of the two-dimensional sphere manifold. Shape calculus is used to characterize the relevant derivatives and an variant of the split Bregman method for manifold valued functions is proposed. This is followed by an extension of the total variation prior for the normal vector field for piecewise flat surfaces and the previous variant of split Bregman method is adapted. Numerical experiments confirm that the new prior favours polyhedral shapes. N2 - Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Anwendung der totalen Variation (TV) als Regularisierung auf Oberflächen und in verschiedenen Problemen der Formoptimierung. Die daraus entstehenden Optimierungsprobleme sind aufgrund der TV-Seminorm nicht differenzierbar und daher eine Herausforderung. Allerdings werden dadurch, im Gegensatz zu anderen Regularisierungen, stückweise konstante Lösungen favorisiert. Dies führt bei Problemen der Formoptimierung zu stückweise flachen Geometrien. Der erste Teil dieser Arbeit widmet sich der Erweiterung des Ansatzes zur mathematischen Bildverarbeitung [Rudin, Osher, Fatemi (Physica D, 1992)] von flachen Bildern auf glatte Oberflächen und deren Texturen. Für das damit verbundene Optimierungsproblem wird das Fenchel präduale Problem hergeleitet. Dies ist ein quadratisches Optimierungsproblem mit Ungleichungsrestriktionen für dessen Lösung ein Innere-Punkte-Verfahren in Funktionenräumen vorgestellt wird. Basierend auf einer Quadraturformel, wird im Anschluss eine diskrete Variante (DTV) der TV-Seminorm für global unstetige und stetige Finite- Elemente-Funktionen auf triangulierten Oberflächen entwickelt. (DTV) besitzt positive Eigenschaften, wie eine praktische duale Darstellung. Im letzten Teil wird zuerst ein TV-Analogon für die Oberflächennormale von glatten Formen in 3D gezeigt und mit Hilfe von Differentialgeometrie analysiert. Danach wird eine mögliche Erweiterungen für stückweise glatte Oberflächen vorgestellt. Zur Lösung von beiden Regularisierungen wird eine Variante des Split-Bregman-Verfahrens für Funktionen mitWerten auf Mannigfaltigkeiten benutzt. KW - Gestaltoptimierung KW - optimization KW - total variation KW - Formoptimierung KW - Shape Optimization KW - Optimierung KW - Totale Variation KW - Finite-Elemente-Methode Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-240736 ER - TY - THES A1 - Schmeller, Christof T1 - Uniform distribution of zero ordinates of Epstein zeta-functions T1 - Gleichverteilung von Imaginärteilen nichttrivialer Nullstellen der Epsteinschen Zetafunktion N2 - The dissertation investigates the wide class of Epstein zeta-functions in terms of uniform distribution modulo one of the ordinates of their nontrivial zeros. Main results are a proof of a Landau type theorem for all Epstein zeta-functions as well as uniform distribution modulo one for the zero ordinates of all Epstein zeta-functions asscoiated with binary quadratic forms. N2 - Die vorliegende Arbeit untersucht, bei welchen Epsteinschen Zetafunktionen die Imaginärteile der nichttrivialen Nullstellen gleichverteilt modulo eins sind. Als zentrales Ergebnis wird dies für alle Epsteinschen Zetafunktionen, die durch binäre quadratische Formen gebildet werden, bewiesen. Außerdem wird unter anderem Landau's Theorem für alle Epsteinschen Zetafunktionen gezeigt. KW - Zetafunktion KW - Epstein, Paul KW - Gleichverteilung KW - Epstein zeta-function KW - Uniform distribution modulo one KW - Landau type theorem Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-251999 ER - TY - THES A1 - Suttner, Raik T1 - Output Optimization by Lie Bracket Approximations T1 - Ausgangsoptimierung durch Lie-Klammer-Approximationen N2 - In this dissertation, we develop and analyze novel optimizing feedback laws for control-affine systems with real-valued state-dependent output (or objective) functions. Given a control-affine system, our goal is to derive an output-feedback law that asymptotically stabilizes the closed-loop system around states at which the output function attains a minimum value. The control strategy has to be designed in such a way that an implementation only requires real-time measurements of the output value. Additional information, like the current system state or the gradient vector of the output function, is not assumed to be known. A method that meets all these criteria is called an extremum seeking control law. We follow a recently established approach to extremum seeking control, which is based on approximations of Lie brackets. For this purpose, the measured output is modulated by suitable highly oscillatory signals and is then fed back into the system. Averaging techniques for control-affine systems with highly oscillatory inputs reveal that the closed-loop system is driven, at least approximately, into the directions of certain Lie brackets. A suitable design of the control law ensures that these Lie brackets point into descent directions of the output function. Under suitable assumptions, this method leads to the effect that minima of the output function are practically uniformly asymptotically stable for the closed-loop system. The present document extends and improves this approach in various ways. One of the novelties is a control strategy that does not only lead to practical asymptotic stability, but in fact to asymptotic and even exponential stability. In this context, we focus on the application of distance-based formation control in autonomous multi-agent system in which only distance measurements are available. This means that the target formations as well as the sensed variables are determined by distances. We propose a fully distributed control law, which only involves distance measurements for each individual agent to stabilize a desired formation shape, while a storage of measured data is not required. The approach is applicable to point agents in the Euclidean space of arbitrary (but finite) dimension. Under the assumption of infinitesimal rigidity of the target formations, we show that the proposed control law induces local uniform asymptotic (and even exponential) stability. A similar statement is also derived for nonholonomic unicycle agents with all-to-all communication. We also show how the findings can be used to solve extremum seeking control problems. Another contribution is an extremum seeking control law with an adaptive dither signal. We present an output-feedback law that steers a fully actuated control-affine system with general drift vector field to a minimum of the output function. A key novelty of the approach is an adaptive choice of the frequency parameter. In this way, the task of determining a sufficiently large frequency parameter becomes obsolete. The adaptive choice of the frequency parameter also prevents finite escape times in the presence of a drift. The proposed control law does not only lead to convergence into a neighborhood of a minimum, but leads to exact convergence. For the case of an output function with a global minimum and no other critical point, we prove global convergence. Finally, we present an extremum seeking control law for a class of nonholonomic systems. A detailed averaging analysis reveals that the closed-loop system is driven approximately into descent directions of the output function along Lie brackets of the control vector fields. Those descent directions also originate from an approximation of suitably chosen Lie brackets. This requires a two-fold approximation of Lie brackets on different time scales. The proposed method can lead to practical asymptotic stability even if the control vector fields do not span the entire tangent space. It suffices instead that the tangent space is spanned by the elements in the Lie algebra generated by the control vector fields. This novel feature extends extremum seeking by Lie bracket approximations from the class of fully actuated systems to a larger class of nonholonomic systems. N2 - In dieser Dissertation werden neuartige optimierende Rückkopplungsgesetze für kontroll-affine Systeme mit reell-wertigen zustandsabhängigen Ausgangs- (bzw. Kosten-) funktionen entwickelt und analysiert. Das Ziel ist es zu einem gegebenen kontroll-affinen System ein Ausgangsrückkopplungsgesetz zu erlangen, welches das System im geschlossenen Regelkreis asymptotisch um Zustände stabilisiert bei denen die Ausgangsfunktion einen Minimalwert annimmt. Die Kontrollstrategie soll dabei derart konstruiert sein, dass eine Implementierung nur Echtzeitmessungen des Ausgangswerts erfordert. Zusätzliche Informationen, wie z.B. der aktuelle Systemzustand oder der Gradientenvektor der Ausgangsfunktion, werden nicht als bekannt angenommen. Eine Methode, die alle diese Kritierien erfüllt, bezeichnet man als Extremwertregelungsgesetz. Es wird hierzu ein vor kurzer Zeit etablierter Ansatz in der Extremwertregelung verfolgt, welcher auf der Approximation von Lie-Klammern basiert. Für diesen Zweck wird das gemessene Ausgangssignal mit geeigneten hoch-oszillierenden Signalen moduliert und danach zurück in das System eingespeist. Mittelungstechniken für kontroll-affine Systeme mit hoch-oszillierenden Eingängen enthüllen, dass das System im geschlossenen Regelkreis zumindest näherungsweise in die Richtung von gewissen Lie-Klammern getrieben wird. Eine geeignete Konstruktion des Kontrollgesetzes sichert, dass diese Lie-Klammern in Abstiegsrichtungen der Ausgangsfunktion zeigen. Unter geeigneten Annahmen führt diese Methode zu dem Effekt, dass Minima der Ausgangsfunktion praktisch gleichmäßig asymptotisch stabil für das System im geschlossenen Regelkreis sind. Das vorliegende Dokument erweitert und verbessert diesen Ansatz auf Verschiedene Arten und Weisen. Eine der Neuerungen ist eine Kontrollstrategie, die nicht nur zu praktischer asymptotischer Stabilität, sondern mehr noch zu asymptotischer Stabilität und sogar exponentieller Stabilität führt. In diesem Zusammenhang wird der Schwerpunkt auf die Anwendung zur abstandsbasierten Formationssteuerung in autonomen Multiagentensystemen gelegt, bei der nur Abstandsmessungen verfügbar sind. Dies bedeutet, dass sowohl die Zielformationen als auch die Messgrößen durch Abstände bestimmt sind. Es wird ein vollständig verteiltes Kontrollgesetz vorgeschlagen, welches lediglich Abstandsmessungen von jedem einzelnen Agenten beinhaltet um eine Formation zu stabilisieren, wobei eine Speicherung von Messdaten nicht erforderlich ist. Der Ansatz ist anwendbar auf Punktagenten im euklidischen Raum von beliebiger (aber endlicher) Dimension. Unter der Annahme von infinitesimaler Starrheit der Zielformationen wird nachgewiesen, dass das vorgeschlagene Steuerungsgesetz lokale gleichmäßige asymptotische (und sogar exponentielle) Stabilität induziert. Eine ähnliche Aussage wird auch für nicht-holonome Einradagenten mit alle-zu-allen-Kommunikation erlangt. Es wird außerdem gezeigt wie diese Erkenntnisse genutzt werden können um Extremwertregelungsprobleme zu lösen. Ein weiterer Beitrag ist ein Extremwertregelungsgesetz mit einem adaptiven Zittersignal. Es wird ein Ausgangsrückkopplungsgesetz präsentiert, welches ein voll-aktuiertes kontroll-affines System mit allgemeinem Driftvektorfeld zu einem Minimum der Ausgangsfunktion steuert. Eine entscheidende Neuheit des Ansatzes ist eine adaptive Wahl des Frequenzparameters. Auf diesem Weg wird die Aufgabe eine hinreicheind großen Frequenzparamter zu bestimmen hinfällig. Die adaptive Wahl des Frequenzparameters verhindert auch endliche Entweichzeiten in der Gegenwart eines Drifts. Das vorgeschlagene Kontrollgesetz führ nicht nur zu Konvergenz in eine Umgebung eines Minimums, sondern führt zu exakter Konvergenz. Für den Fall einer Ausgangsfunktion mit globalem Minimum und keinem anderen kritischen Punkt wird globale Konvergenz bewiesen. Schließlich wird ein Extremwertregelungsgesetz für eine Klasse von nicht-holonomen Systemen präsentiert. Eine detaillierte Mittelungsanalyse enthüllt, dass das System im geschlossenen Regelkreis näherungsweise in Abstiegsrichtungen der Ausgangsfunktion entlang von Lie-Klammern der Kontrollvektorfelder getrieben wird. Jene Abstiegsrichtungen stammen ebenso von einer Approximation von geeignet gewählten Lie-Klammern. Dies erfordert eine zweifache Approximation von Lie-Klammern auf verschiedenen Zeitskalen. Die vorgeschlagene Methode kann zu praktischer asymptotischer Stabilität führen selbst wenn die Kontrollvektorfelder nicht den gesamten Tangentialraum aufspannen. Es reicht stattdessen, dass der Tangentialraum durch die Elemente in der Lie-Algebra, welche durch die Kontrollvektorfelder generiert wird, aufgespannt wird. Diese neuartige Eigenschaft erweitert Extremwertregelung durch Lie-Klammer-Approximationen von der Klasse der voll-aktuierten Systeme zu einer größeren Klasse von nicht-holonomen Systemen. KW - extremum seeking control KW - Extremwertregelung KW - Approximation KW - Stabilität Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-211776 ER - TY - GEN A1 - Breitenbach, Tim T1 - Codes of examples for SQH method N2 - Code examples for the paper "On the SQH Scheme to Solve Nonsmooth PDE Optimal Control Problems" by Tim Breitenbach and Alfio Borzì published in the journal "Numerical Functional Analysis and Optimization", in 2019, DOI: 10.1080/01630563.2019.1599911 KW - SQH method KW - Code Examples Y1 - 2019 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-178588 ER - TY - THES A1 - Rehberg, Martin T1 - Weighted uniform distribution related to primes and the Selberg Class T1 - Gewichtete Gleichverteilung im Zusammenhang mit Primzahlen und der Selberg-Klasse N2 - In the thesis at hand, several sequences of number theoretic interest will be studied in the context of uniform distribution modulo one.

In the first part we deduce for positive and real \(z\not=1\) a discrepancy estimate for the sequence \( \left((2\pi )^{-1}(\log z)\gamma_a\right) \), where \(\gamma_a\) runs through the positive imaginary parts of the nontrivial \(a\)-points of the Riemann zeta-function. If the considered imaginary parts are bounded by \(T\), the discrepancy of the sequence \( \left((2\pi )^{-1}(\log z)\gamma_a\right) \) tends to zero like \( (\log\log\log T)^{-1} \) as \(T\rightarrow \infty\). The proof is related to the proof of Hlawka, who determined a discrepancy estimate for the sequence containing the positive imaginary parts of the nontrivial zeros of the Riemann zeta-function.

The second part of this thesis is about a sequence whose asymptotic behaviour is motivated by the sequence of primes. If \( \alpha\not=0\) is real and \(f\) is a function of logarithmic growth, we specify several conditions such that the sequence \( (\alpha f(q_n)) \) is uniformly distributed modulo one. The corresponding discrepancy estimates will be stated. The sequence \( (q_n)\) of real numbers is strictly increasing and the conditions on its counting function \( Q(x)=\#\lbrace q_n \leq x \rbrace \) are satisfied by primes and primes in arithmetic progessions. As an application we obtain that the sequence \( \left( (\log q_n)^K\right)\) is uniformly distributed modulo one for arbitrary \(K>1\), if the \(q_n\) are primes or primes in arithmetic progessions. The special case that \(q_n\) equals the \(\textit{n}\)th prime number \(p_n\) was studied by Too, Goto and Kano.

In the last part of this thesis we study for irrational \(\alpha\) the sequence \( (\alpha p_n)\) of irrational multiples of primes in the context of weighted uniform distribution modulo one. A result of Vinogradov concerning exponential sums states that this sequence is uniformly distributed modulo one. An alternative proof due to Vaaler uses L-functions. We extend this approach in the context of the Selberg class with polynomial Euler product. By doing so, we obtain two weighted versions of Vinogradov's result: The sequence \( (\alpha p_n)\) is \( (1+\chi_{D}(p_n))\log p_n\)-uniformly distributed modulo one, where \( \chi_D\) denotes the Legendre-Kronecker character. In the proof we use the Dedekind zeta-function of the quadratic number field \( \Bbb Q (\sqrt{D})\). As an application we obtain in case of \(D=-1\), that \( (\alpha p_n)\) is uniformly distributed modulo one, if the considered primes are congruent to one modulo four. Assuming additional conditions on the functions from the Selberg class we prove that the sequence \( (\alpha p_n) \) is also \( (\sum_{j=1}^{\nu_F}{\alpha_j(p_n)})\log p_n\)-uniformly distributed modulo one, where the weights are related to the Euler product of the function. N2 - In der vorliegenden Arbeit werden verschiedene zahlentheoretisch interessante Folgen im Kontext der Theorie der Gleichverteilung modulo eins untersucht.

Im ersten Teil wird für positiv reelles \( z\not = 1\) für die Folge \( \left((2\pi )^{-1}(\log z)\gamma_a\right) \) eine Diskrepanzabschätzung hergeleitet, wobei \( \gamma_a\) die positiven Imaginärteile der nichttrivialen \(a\)-Stellen der Riemannschen Zetafunktion durchlaufe: Sind die eingehenden Imaginäteile durch \(T\) beschränkt, dann strebt für \(T\rightarrow \infty\) die Diskrepanz der Folge \( \left((2\pi )^{-1}(\log z)\gamma_a\right) \) wie \( (\log\log\log T)^{-1}\) gegen Null. Der Beweis knüpft an das Vorgehen von Hlawka an, welcher eine Diskrepanzabschätzung für die Folge, in der die positiven Imaginärteile der nichttrivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion eingehen, ermittelte.

Der zweite Teil der Arbeit widmet sich einer Folge deren Wachstumsverhalten durch Primzahlen motiviert ist. Ist \(\alpha\not = 0\) reell und \(f\) eine logarithmisch wachsende Funktion, dann werden mehrere Bedingungen an \(f\) angegeben, unter denen die Folge \( (\alpha f(q_n)) \) gleichverteilt modulo eins ist. Entsprechende Diskrepanzabschätzungen der Folgen werden angegeben. Die Folge reeller Zahlen \( (q_n) \) ist selbst streng wachsend und die Bedingungen, die dabei an deren Zählfunktion \(Q(x)=\#\lbrace q_n \leq x \rbrace\) gestellt werden, sind von Primzahlen und Primzahlen in arithmetischen Progressionen erfällt. Als Anwendung ergibt sich, dass die Folge \( \left( (\log q_n)^K\right) \) für beliebiges \(K>1\) gleichverteilt modulo eins ist, etwa wenn die \(q_n\) Primzahlen oder Primzahlen in arithmetischen Progessionen durchlaufen. Der Spezialfall das \(q_n\) als die \(n\)te Primzahl \(p_n\) gewählt wird, wurde von Too, Goto und Kano untersucht.

Im letzten Teil der Arbeit wird für irrationales \(\alpha\) die Folge \( (\alpha p_n) \) irrationaler Vielfacher von Primzahlen im Rahmen der gewichteten Gleichverteilung modulo eins untersucht. Nach einem Resultat von Vinogradov über Exponentialsummen ist diese Folge gleichverteilt modulo eins. Ein alternativer Beweis von Vaaler verwendet L-Funktionen. Dieser Ansatz wird im Kontext von Funktionen aus der Selberg-Klasse mit polynomiellem Eulerprodukt ausgebaut. Dabei werden zwei gewichtete Versionen des vinogradovschen Resultats gewonnen: Die Folge \( (\alpha p_n) \) ist \( (1+\chi_{D}(p_n))\log p_n\)-gleichverteilt modulo eins, wobei \(\chi_{D}\) den Legendre-Kronecker Charakter bezeichnet. Der Beweis verwendet die Dedekindsche Zetafunktion zum quadratischen Zahlkörper \(\Bbb Q (\sqrt{D})\). Als Anwendung ergibt sich etwa für \(D=-1\), dass \( (\alpha p_n) \) gleichverteilt modulo eins ist, wenn die durchlaufenen Primzahlen kongruent zu eins modulo vier sind. Unter zusätzlichen Bedingungen an die Funktionen aus der Selberg-Klasse lässt sich weiter zeigen, das die Folge \( (\alpha p_n) \) auch \( (\sum_{j=1}^{\nu_F}{\alpha_j(p_n)})\log p_n\)-gleichverteilt modulo eins, wobei die Gewichte in direktem Zusammenhang mit dem Eulerprodukt der Funktion stehen. KW - Zahlentheorie KW - weighted uniform distribution modulo one KW - gewichtete Gleichverteilung modulo eins KW - Selberg Class KW - prime number KW - quadratic number field KW - Selberg Klasse KW - Diskrepanz KW - Primzahl KW - Selbergsche L-Reihe KW - Quadratischer Zahlkörper KW - Zetafunktion KW - Gleichverteilung Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-209252 ER - TY - THES A1 - Bartsch, Jan T1 - Theoretical and numerical investigation of optimal control problems governed by kinetic models T1 - Theoretische und numerische Untersuchung von Optimalsteuerungsproblemen mit kinetischen Modellen N2 - This thesis is devoted to the numerical and theoretical analysis of ensemble optimal control problems governed by kinetic models. The formulation and study of these problems have been put forward in recent years by R.W. Brockett with the motivation that ensemble control may provide a more general and robust control framework for dynamical systems. Following this formulation, a Liouville (or continuity) equation with an unbounded drift function is considered together with a class of cost functionals that include tracking of ensembles of trajectories of dynamical systems and different control costs. Specifically, $L^2$, $H^1$ and $L^1$ control costs are taken into account which leads to non--smooth optimization problems. For the theoretical investigation of the resulting optimal control problems, a well--posedness theory in weighted Sobolev spaces is presented for Liouville and related transport equations. Specifically, existence and uniqueness results for these equations and energy estimates in suitable norms are provided; in particular norms in weighted Sobolev spaces. Then, non--smooth optimal control problems governed by the Liouville equation are formulated with a control mechanism in the drift function. Further, box--constraints on the control are imposed. The control--to--state map is introduced, that associates to any control the unique solution of the corresponding Liouville equation. Important properties of this map are investigated, specifically, that it is well--defined, continuous and Frechet differentiable. Using the first two properties, the existence of solutions to the optimal control problems is shown. While proving the differentiability, a loss of regularity is encountered, that is natural to hyperbolic equations. This leads to the need of the investigation of the control--to--state map in the topology of weighted Sobolev spaces. Exploiting the Frechet differentiability, it is possible to characterize solutions to the optimal control problem as solutions to an optimality system. This system consists of the Liouville equation, its optimization adjoint in the form of a transport equation, and a gradient inequality. Numerical methodologies for solving Liouville and transport equations are presented that are based on a non--smooth Lagrange optimization framework. For this purpose, approximation and solution schemes for such equations are developed and analyzed. For the approximation of the Liouville model and its optimization adjoint, a combination of a Kurganov--Tadmor method, a Runge--Kutta scheme, and a Strang splitting method are discussed. Stability and second--order accuracy of these resulting schemes are proven in the discrete $L^1$ norm. In addition, conservation of mass and positivity preservation are confirmed for the solution method of the Liouville model. As numerical optimization strategy, an adapted Krylow--Newton method is applied. Since the control is considered to be an element of $H^1$ and to obey certain box--constraints, a method for calculating a $H^1$ projection is presented. Since the optimal control problem is non-smooth, a semi-smooth adaption of Newton's method is taken into account. Results of numerical experiments are presented that successfully validate the proposed deterministic framework. After the discussion of deterministic schemes, the linear space--homogeneous Keilson--Storer master equation is investigated. This equation was originally developed for the modelling of Brownian motion of particles immersed in a fluid and is a representative model of the class of linear Boltzmann equations. The well--posedness of the Keilson--Storer master equation is investigated and energy estimates in different topologies are derived. To solve this equation numerically, Monte Carlo methods are considered. Such methods take advantage of the kinetic formulation of the Liouville equation and directly implement the behaviour of the system of particles under consideration. This includes the probabilistic behaviour of the collisions between particles. Optimal control problems are formulated with an objective that is constituted of certain expected values in velocity space and the $L^2$ and $H^1$ costs of the control. The problems are governed by the Keilson--Storer master equation and the control mechanism is considered to be within the collision kernel. The objective of the optimal control of this model is to drive an ensemble of particles to acquire a desired mean velocity and to achieve a desired final velocity configuration. Existence of solutions of the optimal control problem is proven and a Keilson--Storer optimality system characterizing the solution of the proposed optimal control problem is obtained. The optimality system is used to construct a gradient--based optimization strategy in the framework of Monte--Carlo methods. This task requires to accommodate the resulting adjoint Keilson--Storer model in a form that is consistent with the kinetic formulation. For this reason, we derive an adjoint Keilson--Storer collision kernel and an additional source term. A similar approach is presented in the case of a linear space--inhomogeneous kinetic model with external forces and with Keilson--Storer collision term. In this framework, a control mechanism in the form of an external space--dependent force is investigated. The purpose of this control is to steer the multi--particle system to follow a desired mean velocity and position and to reach a desired final configuration in phase space. An optimal control problem using the formulation of ensemble controls is stated with an objective that is constituted of expected values in phase space and $H^1$ costs of the control. For solving the optimal control problems, a gradient--based computational strategy in the framework of Monte Carlo methods is developed. Part of this is the denoising of the distribution functions calculated by Monte Carlo algorithms using methods of the realm of partial differential equations. A standalone C++ code is presented that implements the developed non--linear conjugated gradient strategy. Results of numerical experiments confirm the ability of the designed probabilistic control framework to operate as desired. An outlook section about optimal control problems governed by non--linear space--inhomogeneous kinetic models completes this thesis. N2 - Diese Arbeit widmet sich der numerischen und theoretischen Analyse von Proble- men der optimalen Kontrolle von Ensembles, die durch kinetische Modelle gesteuert werden. Die Formulierung und Untersuchung von Ensemble–Kontrollproblemen wur- den in den letzten Jahren von R.W. Brockett vorgeschlagen und vorangetrieben, mit der Motivation, dass Ensemblekontrolle einen allgemeineren und robusteren Rahmen für die Kontrolle von dynamischen Systemen bieten kann. In Anlehnung an diese Formulierung der Ensemble–Steuerung werden eine Liouville– (oder Kontinuitäts– ) Gleichung mit unbeschränkter Driftfunktion und eine Klasse von Kostenfunk- tionalen miteinbezogen, die das Nachverfolgen der Ensembles und verschiedener Kon- trollkosten berücksichtigen. Insbesondere werden L2, H1 und L1 Kontrollkosten be- trachtet. Für die theoretische Untersuchung der resultierenden Optimalsteuerungs- problemen wird eine Gutgestelltheitstheorie in gewichteten Sobolev–Räumen für die Liouville– und Transportgleichungen vorgestellt. Insbesondere werden Existenz– und Eindeutigkeitsresultate sowie Energieabschätzungen in geeigneten Normen präsen- tiert; insbesondere in gewichteten Sobolev–Räumen. Dann wird eine Klasse von nicht–glatten Optimalsteuerungsproblemen formuliert mit der Liouville–Gleichung als Nebenbedingung und einem Kontrollmechanismus in der Driftfunktion. Weiter- hin werden Box–Einschränkungen angenommen. ... KW - Optimale Kontrolle KW - Optimierung / Nebenbedingung KW - Liouville and transport equations KW - Ensemble optimal control Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-249066 ER - TY - JOUR A1 - Bartsch, Jan A1 - Borzì, Alfio A1 - Fanelli, Francesco A1 - Roy, Souvik T1 - A numerical investigation of Brockett’s ensemble optimal control problems JF - Numerische Mathematik N2 - This paper is devoted to the numerical analysis of non-smooth ensemble optimal control problems governed by the Liouville (continuity) equation that have been originally proposed by R.W. Brockett with the purpose of determining an efficient and robust control strategy for dynamical systems. A numerical methodology for solving these problems is presented that is based on a non-smooth Lagrange optimization framework where the optimal controls are characterized as solutions to the related optimality systems. For this purpose, approximation and solution schemes are developed and analysed. Specifically, for the approximation of the Liouville model and its optimization adjoint, a combination of a Kurganov–Tadmor method, a Runge–Kutta scheme, and a Strang splitting method are discussed. The resulting optimality system is solved by a projected semi-smooth Krylov–Newton method. Results of numerical experiments are presented that successfully validate the proposed framework. KW - numerical analysis KW - Brockett KW - ensemble optimal control problems Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-265352 VL - 149 IS - 1 ER - TY - JOUR A1 - Matlach, Juliane A1 - Dhillon, Christine A1 - Hain, Johannes A1 - Schlunck, Günther A1 - Grehn, Franz A1 - Klink, Thomas T1 - Trabeculectomy versus canaloplasty (TVC study) in the treatment of patients with open-angle glaucoma: a prospective randomized clinical trial JF - Acta Ophthalmologica N2 - Purpose: To compare the outcomes of canaloplasty and trabeculectomy in open-angle glaucoma. Methods: This prospective, randomized clinical trial included 62 patients who randomly received trabeculectomy (n = 32) or canaloplasty (n = 30) and were followed up prospectively for 2 years. Primary endpoint was complete (without medication) and qualified success (with or without medication) defined as an intraocular pressure (IOP) of ≤18 mmHg (definition 1) or IOP ≤21 mmHg and ≥20% IOP reduction (definition 2), IOP ≥5 mmHg, no vision loss and no further glaucoma surgery. Secondary endpoints were the absolute IOP reduction, visual acuity, medication, complications and second surgeries. Results: Surgical treatment significantly reduced IOP in both groups (p < 0.001). Complete success was achieved in 74.2% and 39.1% (definition 1, p = 0.01), and 67.7% and 39.1% (definition 2, p = 0.04) after 2 years in the trabeculectomy and canaloplasty group, respectively. Mean absolute IOP reduction was 10.8 ± 6.9 mmHg in the trabeculectomy and 9.3 ± 5.7 mmHg in the canaloplasty group after 2 years (p = 0.47). Mean IOP was 11.5 ± 3.4 mmHg in the trabeculectomy and 14.4 ± 4.2 mmHg in the canaloplasty group after 2 years. Following trabeculectomy, complications were more frequent including hypotony (37.5%), choroidal detachment (12.5%) and elevated IOP (25.0%). Conclusions: Trabeculectomy is associated with a stronger IOP reduction and less need for medication at the cost of a higher rate of complications. If target pressure is attainable by moderate IOP reduction, canaloplasty may be considered for its relative ease of postoperative care and lack of complications. KW - months follow-up KW - surgical outcomes KW - mitomycin C KW - canaloplasty KW - open-angle glaucoma KW - trabeculectomy KW - glaucoma surgery KW - series KW - phacocanaloplasty KW - phacotrabeculectomy KW - canal surgery KW - cataract surgery KW - flexible microcatheter KW - circumferential viscodilation Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-149263 VL - 93 ER - TY - JOUR A1 - Hellmuth, Kathrin A1 - Klingenberg, Christian T1 - Computing Black Scholes with uncertain volatility — a machine learning approach JF - Mathematics N2 - In financial mathematics, it is a typical approach to approximate financial markets operating in discrete time by continuous-time models such as the Black Scholes model. Fitting this model gives rise to difficulties due to the discrete nature of market data. We thus model the pricing process of financial derivatives by the Black Scholes equation, where the volatility is a function of a finite number of random variables. This reflects an influence of uncertain factors when determining volatility. The aim is to quantify the effect of this uncertainty when computing the price of derivatives. Our underlying method is the generalized Polynomial Chaos (gPC) method in order to numerically compute the uncertainty of the solution by the stochastic Galerkin approach and a finite difference method. We present an efficient numerical variation of this method, which is based on a machine learning technique, the so-called Bi-Fidelity approach. This is illustrated with numerical examples. KW - numerical finance KW - Black Scholes equation KW - uncertainty quantification KW - uncertain volatility KW - polynomial chaos KW - Bi-Fidelity method Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-262280 SN - 2227-7390 VL - 10 IS - 3 ER - TY - THES A1 - Mungenast, Sebastian T1 - Zur Bedeutung von Metakognition beim Umgang mit Mathematik - Dokumentation metakognitiver Aktivitäten bei Studienanfänger_innen, Entwicklung eines Kategoriensystems für Metakognition beim Umgang mit Mathematik und Erörterung von Ansatzpunkten für Metakognition in der Analysis T1 - On the significance of metacognition in the context of mathematics – Documentation of metacognitive activity in prospective students, development of a category system for metacognition in a mathematical context and discussion of Calculus-related starting points for metacognitive activity N2 - Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich explorativ mit Metakognition beim Umgang mit Mathematik. Aufbauend auf der vorgestellten Forschungsliteratur wird der Einsatz von Metakognition im Rahmen einer qualitativen Studie bei Studienanfänger_innen aus verschiedenen Mathematik-(Lehramts-)Studiengängen dokumentiert. Unter Verwendung der Qualitativen Inhaltsanalyse nach Mayring erfolgt die Etablierung eines Kategoriensystems für den Begriff Metakognition im Hinblick auf den Einsatz in der Mathematik, das bisherige Systematisierungen erweitert. Schließlich wird der Einsatz der entsprechenden metakognitiven Aspekte am Beispiel verschiedener Begriffe und Verfahren aus dem Analysis-Unterricht exemplarisch aufgezeigt. N2 - The thesis explores metacognition in the context of mathematics. Based on the presented research literature metacognitive activity is documented as part of a qualitative study among prospective students from various mathematics programmes (including mathematics teaching). Utilising Mayring’s Qualitative Content Analysis method a category system is established, which systemises metacognition and expands upon existing categorisations. Finally, the application of its metacognitive aspects is demonstrated using the example of various concepts and methods from the German upper secondary Calculus curriculum. KW - Metakognition KW - Mathematikunterricht KW - Hochschuldidaktik KW - Mathematik KW - Mathematikdidaktik KW - Mathematiklernen Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-293114 ER - TY - THES A1 - Nedrenco, Dmitri T1 - Axiomatisieren lernen mit Papierfalten : Entwicklung, Durchführung und Auswertung eines Hochschulkurses für gymnasiale Lehramtsstudierende T1 - Learning how to axiomatise with paperfolding N2 - In dieser Arbeit wird mathematisches Papierfalten und speziell 1-fach-Origami im universitären Kontext untersucht. Die Arbeit besteht aus drei Teilen. Der erste Teil ist im Wesentlichen der Sachanalyse des 1-fach-Origami gewidmet. Im ersten Kapitel gehen wir auf die geschichtliche Einordnung des 1-fach-Origami, betrachten axiomatische Grundlagen und diskutieren, wie das Axiomatisieren von 1-fach-Origami zum Verständnis des Axiomenbegriffs beitragen könnte. Im zweiten Kapitel schildern wir das Design der zugehörigen explorativen Studie, beschreiben unsere Forschungsziele und -fragen. Im dritten Kapitel wird 1-fach-Origami mathematisiert, definiert und eingehend untersucht. Der zweite Teil beschäftigt sich mit den von uns gestalteten und durchgeführten Kursen »Axiomatisieren lernen mit Papierfalten«. Im vierten Kapitel beschreiben wir die Lehrmethodik und die Gestaltung der Kurse, das fünfte Kapitel enthält ein Exzerpt der Kurse. Im dritten Teil werden die zugehörigen Tests beschrieben. Im sechsten Kapitel erläutern wir das Design der Tests sowie die Testmethodik. Im siebten Kapitel findet die Auswertung ebendieser Tests statt. N2 - In this manuscript, mathematical paper folding and specifically 1-fold origami is studied in a university context. The thesis consists of three parts. The first part is mainly devoted to the factual analysis of 1-fold origami. In the first chapter, we elaborate on the historical development of 1-fold origami, consider axiomatic foundations, and discuss how axiomatizing 1-fold origami could contribute to the understanding of the concept of an axiom. In the second chapter, we describe the design of the related exploratory study, describe our research objectives and questions. In the third chapter, 1-fold origami is mathematized, defined, and explored in depth. The second part focuses on the courses with the title "Learning how to axiomatize through paperfolding" which we designed and conducted. In the fourth chapter we describe the teaching methodology and the design of the courses, and the fifth chapter contains an excerpt of the courses. In the third part we describe the associated tests. In the sixth chapter we explain the design of the tests as well as the testing methodology. In the seventh chapter, the evaluation of these tests is carried out. KW - Mathematikunterricht KW - Axiom KW - Falten KW - Hochschule+Lehre KW - Origami KW - Axiomatisieren KW - mathematisches Papierfalten KW - 1-fach-Origami KW - one-fold-origami KW - mathematical paperfolding Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-279383 ER - TY - THES A1 - Karl, Veronika T1 - Augmented Lagrangian Methods for State Constrained Optimal Control Problems T1 - Augmentierte Lagrange-Verfahren für zustandsbeschränkte Optimalsteuerungsprobleme N2 - This thesis is concerned with the solution of control and state constrained optimal control problems, which are governed by elliptic partial differential equations. Problems of this type are challenging since they suffer from the low regularity of the multiplier corresponding to the state constraint. Applying an augmented Lagrangian method we overcome these difficulties by working with multiplier approximations in $L^2(\Omega)$. For each problem class, we introduce the solution algorithm, carry out a thoroughly convergence analysis and illustrate our theoretical findings with numerical examples. The thesis is divided into two parts. The first part focuses on classical PDE constrained optimal control problems. We start by studying linear-quadratic objective functionals, which include the standard tracking type term and an additional regularization term as well as the case, where the regularization term is replaced by an $L^1(\Omega)$-norm term, which makes the problem ill-posed. We deepen our study of the augmented Lagrangian algorithm by examining the more complicated class of optimal control problems that are governed by a semilinear partial differential equation. The second part investigates the broader class of multi-player control problems. While the examination of jointly convex generalized Nash equilibrium problems (GNEP) is a simple extension of the linear elliptic optimal control case, the complexity is increased significantly for pure GNEPs. The existence of solutions of jointly convex GNEPs is well-studied. However, solution algorithms may suffer from non-uniqueness of solutions. Therefore, the last part of this thesis is devoted to the analysis of the uniqueness of normalized equilibria. N2 - Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Lösung von kontroll- und zustandsbeschränkten Optimalsteuerungsproblemen mit elliptischen partiellen Differentialgleichungen als Nebenbedingungen. Da die zur Zustandsbeschränkung zugehörigen Multiplikatoren nur eine niedrige Regularität aufweisen, sind Probleme dieses Typs besonders anspruchsvoll. Zur Lösung dieser Problemklasse wird ein augmentiertes Lagrange-Verfahren angewandt, das Annäherungen der Multiplikatoren in $L^2(\Omega)$ verwendet. Für jede Problemklasse erfolgt eine Präsentation des Lösungsalgorithmus, eine sorgfältige Konvergenzanalysis sowie eine Veranschaulichung der theoretischen Ergebnisse durch numerische Beispiele. Die Arbeit ist in zwei verschiedene Themenbereiche gegliedert. Der erste Teil widmet sich klassischen Optimalsteuerungsproblemen. Dabei wird zuerst der linear-quadratische und somit konvexe Fall untersucht. Hier setzt sich das Kostenfunktional aus einem Tracking-Type Term sowie einem $L^2(\Omega)$-Regularisierungsterm oder einem $L^1(\Omega)$-Term zusammen. Wir erweitern unsere Analysis auf nichtkonvexe Probleme. In diesem Fall erschwert die Nichtlinearität der zugrundeliegenden partiellen Differentialgleichung die Konvergenzanalysis des zugehörigen Optimalsteuerungsproblems maßgeblich. Der zweite Teil der Arbeit nutzt die Grundlagen, die im ersten Teil erarbeitet wurden und untersucht die allgemeiner gehaltene Problemklasse der Nash-Mehrspielerprobleme. Während die Untersuchung von konvexen verallgemeinerten Nash-Gleichsgewichtsproblemen (engl.: Generalized Nash Equilibrium Problem, kurz: GNEP) mit einer für alle Spieler identischen Restriktion eine einfache Erweiterung von linear elliptischen Optimalsteuerungsproblemen darstellt, erhöht sich der Schwierigkeitsgrad für Mehrspielerprobleme ohne gemeinsame Restriktion drastisch. Die Eindeutigkeit von normalisierten Nash-Gleichgewichten ist, im Gegensatz zu deren Existenz, nicht ausreichend erforscht, was insbesondere eine Schwierigkeit für Lösungsalgorithmen darstellt. Aus diesem Grund wird im letzten Teil dieser Arbeit die Eindeutigkeit von Lösungen gesondert betrachtet. KW - Optimale Kontrolle KW - Optimierung KW - Nash-Gleichgewicht KW - optimal control KW - state constraints KW - augmented Lagrangian method KW - Elliptische Differentialgleichung KW - Optimale Steuerung Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-213846 ER - TY - THES A1 - Lauerbach, Laura T1 - Stochastic Homogenization in the Passage from Discrete to Continuous Systems - Fracture in Composite Materials T1 - Stochastische Homogenisierung im Übergang von Diskreten zu Kontinuierlichen Systemen - Brüche in Verbundwerkstoffen N2 - The work in this thesis contains three main topics. These are the passage from discrete to continuous models by means of $\Gamma$-convergence, random as well as periodic homogenization and fracture enabled by non-convex Lennard-Jones type interaction potentials. Each of them is discussed in the following. We consider a discrete model given by a one-dimensional chain of particles with randomly distributed interaction potentials. Our interest lies in the continuum limit, which yields the effective behaviour of the system. This limit is achieved as the number of atoms tends to infinity, which corresponds to a vanishing distance between the particles. The starting point of our analysis is an energy functional in a discrete system; its continuum limit is obtained by variational $\Gamma$-convergence. The $\Gamma$-convergence methods are combined with a homogenization process in the framework of ergodic theory, which allows to focus on heterogeneous systems. On the one hand, composite materials or materials with impurities are modelled by a stochastic or periodic distribution of particles or interaction potentials. On the other hand, systems of one species of particles can be considered as random in cases when the orientation of particles matters. Nanomaterials, like chains of atoms, molecules or polymers, are an application of the heterogeneous chains in experimental sciences. A special interest is in fracture in such heterogeneous systems. We consider interaction potentials of Lennard-Jones type. The non-standard growth conditions and the convex-concave structure of the Lennard-Jones type interactions yield mathematical difficulties, but allow for fracture. The interaction potentials are long-range in the sense that their modulus decays slower than exponential. Further, we allow for interactions beyond nearest neighbours, which is also referred to as long-range. The main mathematical issue is to bring together the Lennard-Jones type interactions with ergodic theorems in the limiting process as the number of particles tends to infinity. The blow up at zero of the potentials prevents from using standard extensions of the Akcoglu-Krengel subadditive ergodic theorem. We overcome this difficulty by an approximation of the interaction potentials which shows suitable Lipschitz and Hölder regularity. Beyond that, allowing for continuous probability distributions instead of only finitely many different potentials leads to a further challenge. The limiting integral functional of the energy by means of $\Gamma$-convergence involves a homogenized energy density and allows for fracture, but without a fracture contribution in the energy. In order to refine this result, we rescale our model and consider its $\Gamma$-limit, which is of Griffith's type consisting of an elastic part and a jump contribution. In a further approach we study fracture at the level of the discrete energies. With an appropriate definition of fracture in the discrete setting, we define a fracture threshold separating the region of elasticity from that of fracture and consider the pointwise convergence of this threshold. This limit turns out to coincide with the one obtained in the variational $\Gamma$-convergence approach. N2 - Diese Arbeit vereinigt im Wesentlichen drei Themen: Den Übergang von diskreten zu kontinuierlichen Modellen mittels $\Gamma$-Konvergenz, stochastische sowie periodische Homogenisierung, sowie Bruchmechanik, die durch nicht-konvexe Wechselwirkungspotentiale vom Lennard-Jones-Typ ermöglicht wird. Jedes dieser drei Themen wird im Folgenden diskutiert. Wir betrachten ein diskretes Modell, bestehend aus einer eindimensionale Kette von Teilchen mit zufällig verteilten Wechselwirkungspotentialen. Wir sind am Kontinuumsgrenzwert interessiert, welcher das effektive Verhalten des Systems widerspiegelt. In diesem Grenzwert läuft die Anzahl der Atome gegen unendlich, was einem verschwindenden Abstand zwischen den Teilchen entspricht. Ausgehend von einer Energie eines diskreten Systems erhalten wir den Kontinuumsgrenzwert durch die variationelle Methode der $\Gamma$-Konvergenz, welche den Übergang zum kontinuierlichen System liefert. Die $\Gamma$-Konvergenzmethoden werden im Rahmen der Ergodentheorie mit einem Homogenisierungsprozess kombiniert, wodurch die Betrachtung heterogener Systeme möglich wird. Einerseits werden Verbundwerkstoffe oder Materialien mit Verunreinigungen durch eine stochastische oder periodische Verteilung der Teilchen oder der Wechselwirkungspotentiale modelliert. Andererseits können Systeme einer Teilchenart als zufällig angesehen werden, wenn die Orientierung der Teilchen von Bedeutung ist. Nanomaterialien wie Ketten von Atomen, Molekülen oder Polymeren bieten eine Anwendung des Modells der heterogenen Ketten in den experimentellen Wissenschaften. Von besonderem Interesse ist das Auftreten von Brüchen in diesen heterogenen Systemen. Wir betrachten Wechselwirkungspotentiale vom Lennard-Jones Typ. Die nicht-standardisierten Wachstumsbedingungen und die konvex-konkave Struktur der Lennard-Jones Potentiale werfen mathematische Schwierigkeiten auf, ermöglichen jedoch das Auftreten von Brüchen. Die Wechselwirkungen gelten als langreichweitig in dem Sinne, dass ihr Betrag langsamer als exponentiell abfällt. Darüber hinaus betrachten wir Wechselwirkungen jenseits der nächsten Nachbarn, was ebenfalls als langreichweitig bezeichnet wird. Eine der größten mathematischen Schwierigkeiten besteht darin, die Wechselwirkungen vom Lennard-Jones Typ mit den Ergodensätzen zusammenzuführen. Die Singularität der Potentiale bei Null erlaubt keine Verwendung der Standardtechniken zur Erweiterung des subadditiven Ergodensatzes von Akcoglu-Krengel. Die Lösung dieses Problems ist eine Approximation der Wechselwirkungspotentiale, welche eine geeignete Lipschitz- und Hölder-Regularität besitzt. Darüber hinaus stellt die Verwendung von kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen, anstelle von nur endlich vielen verschiedenen Potentialen, eine weitere Herausforderung dar. Das Integralfunktional im Grenzwert besteht aus einer homogenisierten Energiedichte und ermöglicht Brüche, jedoch ohne einen Beitrag dieser Brüche zur Energie. Um dieses Ergebnis zu verfeinern, skalieren wir unser Modell neu und betrachten dessen $\Gamma$-Grenzwert, der in Form einer Energie vom Griffith-Typ gegeben ist und aus einem elastischen Teil und einem Sprungbeitrag besteht. In einem weiteren Ansatz untersuchen wir Brüche auf Ebene der diskreten Energien. Mit einer geeigneten Definition des Bruchpunktes im diskreten System definieren wir eine Bruchschwelle, die den Elastizitätsbereich von dem Gebiet mit Brüchen trennt. Von diesem Schwellwert berechnen wir anschließend den punktweisen Grenzwert. Es stellt sich heraus, dass dieser Grenzwert mit dem durch die variationelle $\Gamma$-Konvergenz errechneten übereinstimmt. KW - Homogenisierung KW - Gamma-Konvergenz KW - Variationsrechnung KW - Lennard-Jones-Potenzial KW - Calculus of Variations KW - Brittle fracture KW - Periodic homogenization KW - Discrete to continuum KW - Stochastic homogenization Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-214534 ER - TY - JOUR A1 - del Alamo, Miguel A1 - Li, Housen A1 - Munk, Axel A1 - Werner, Frank T1 - Variational Multiscale Nonparametric Regression: Algorithms and Implementation JF - Algorithms N2 - Many modern statistically efficient methods come with tremendous computational challenges, often leading to large-scale optimisation problems. In this work, we examine such computational issues for recently developed estimation methods in nonparametric regression with a specific view on image denoising. We consider in particular certain variational multiscale estimators which are statistically optimal in minimax sense, yet computationally intensive. Such an estimator is computed as the minimiser of a smoothness functional (e.g., TV norm) over the class of all estimators such that none of its coefficients with respect to a given multiscale dictionary is statistically significant. The so obtained multiscale Nemirowski-Dantzig estimator (MIND) can incorporate any convex smoothness functional and combine it with a proper dictionary including wavelets, curvelets and shearlets. The computation of MIND in general requires to solve a high-dimensional constrained convex optimisation problem with a specific structure of the constraints induced by the statistical multiscale testing criterion. To solve this explicitly, we discuss three different algorithmic approaches: the Chambolle-Pock, ADMM and semismooth Newton algorithms. Algorithmic details and an explicit implementation is presented and the solutions are then compared numerically in a simulation study and on various test images. We thereby recommend the Chambolle-Pock algorithm in most cases for its fast convergence. We stress that our analysis can also be transferred to signal recovery and other denoising problems to recover more general objects whenever it is possible to borrow statistical strength from data patches of similar object structure. KW - non-smooth large-scale optimisation KW - image denoising KW - variational estimation KW - multiscale methods KW - MIND estimator Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-219332 SN - 1999-4893 VL - 13 IS - 11 ER - TY - THES A1 - Börgens, Eike Alexander Lars Guido T1 - ADMM-Type Methods for Optimization and Generalized Nash Equilibrium Problems in Hilbert Spaces T1 - ADMM-Methoden für Optimierungs- und Verallgemeinerte Nash-Gleichgewichtsprobleme in Hilberträumen N2 - This thesis is concerned with a certain class of algorithms for the solution of constrained optimization problems and generalized Nash equilibrium problems in Hilbert spaces. This class of algorithms is inspired by the alternating direction method of multipliers (ADMM) and eliminates the constraints using an augmented Lagrangian approach. The alternating direction method consists of splitting the augmented Lagrangian subproblem into smaller and more easily manageable parts. Before the algorithms are discussed, a substantial amount of background material, including the theory of Banach and Hilbert spaces, fixed-point iterations as well as convex and monotone set-valued analysis, is presented. Thereafter, certain optimization problems and generalized Nash equilibrium problems are reformulated and analyzed using variational inequalities and set-valued mappings. The analysis of the algorithms developed in the course of this thesis is rooted in these reformulations as variational inequalities and set-valued mappings. The first algorithms discussed and analyzed are one weakly and one strongly convergent ADMM-type algorithm for convex, linearly constrained optimization. By equipping the associated Hilbert space with the correct weighted scalar product, the analysis of these two methods is accomplished using the proximal point method and the Halpern method. The rest of the thesis is concerned with the development and analysis of ADMM-type algorithms for generalized Nash equilibrium problems that jointly share a linear equality constraint. The first class of these algorithms is completely parallelizable and uses a forward-backward idea for the analysis, whereas the second class of algorithms can be interpreted as a direct extension of the classical ADMM-method to generalized Nash equilibrium problems. At the end of this thesis, the numerical behavior of the discussed algorithms is demonstrated on a collection of examples. N2 - Die vorliegende Arbeit behandelt eine Klasse von Algorithmen zur Lösung restringierter Optimierungsprobleme und verallgemeinerter Nash-Gleichgewichtsprobleme in Hilberträumen. Diese Klasse von Algorithmen ist angelehnt an die Alternating Direction Method of Multipliers (ADMM) und eliminiert die Nebenbedingungen durch einen Augmented-Lagrangian-Ansatz. Im Rahmen dessen wird in der Alternating Direction Method of Multipliers das jeweilige Augmented-Lagrangian-Teilproblem in kleinere Teilprobleme aufgespaltet. Zur Vorbereitung wird eine Vielzahl grundlegender Resultate präsentiert. Dies beinhaltet entsprechende Ergebnisse aus der Literatur zu der Theorie von Banach- und Hilberträumen, Fixpunktmethoden sowie konvexer und monotoner mengenwertiger Analysis. Im Anschluss werden gewisse Optimierungsprobleme sowie verallgemeinerte Nash-Gleichgewichtsprobleme als Variationsungleichungen und Inklusionen mit mengenwertigen Operatoren formuliert und analysiert. Die Analysis der im Rahmen dieser Arbeit entwickelten Algorithmen bezieht sich auf diese Reformulierungen als Variationsungleichungen und Inklusionsprobleme. Zuerst werden ein schwach und ein stark konvergenter paralleler ADMM-Algorithmus zur Lösung von separablen Optimierungsaufgaben mit linearen Gleichheitsnebenbedingungen präsentiert und analysiert. Durch die Ausstattung des zugehörigen Hilbertraums mit dem richtigen gewichteten Skalarprodukt gelingt die Analyse dieser beiden Methoden mit Hilfe der Proximalpunktmethode und der Halpern-Methode. Der Rest der Arbeit beschäftigt sich mit Algorithmen für verallgemeinerte Nash-Gleichgewichtsprobleme, die gemeinsame lineare Gleichheitsnebenbedingungen besitzen. Die erste Klasse von Algorithmen ist vollständig parallelisierbar und es wird ein Forward-Backward-Ansatz für die Analyse genutzt. Die zweite Klasse von Algorithmen kann hingegen als direkte Erweiterung des klassischen ADMM-Verfahrens auf verallgemeinerte Nash-Gleichgewichtsprobleme aufgefasst werden. Abschließend wird das Konvergenzverhalten der entwickelten Algorithmen an einer Sammlung von Beispielen demonstriert. KW - Constrained optimization KW - Nash-Gleichgewicht KW - ADMM KW - Generalized Nash Equilibrium Problem KW - Verallgemeinertes Nash-Gleichgewichtsproblem KW - Hilbert-Raum KW - Optimierung Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-218777 ER - TY - THES A1 - Kann, Lennart T1 - Statistical Failure Prediction with an Account for Prior Information T1 - Statistische Vorhersage von Ausfällen unter Berücksichtigung von Vorinformationen N2 - Prediction intervals are needed in many industrial applications. Frequently in mass production, small subgroups of unknown size with a lifetime behavior differing from the remainder of the population exist. A risk assessment for such a subgroup consists of two steps: i) the estimation of the subgroup size, and ii) the estimation of the lifetime behavior of this subgroup. This thesis covers both steps. An efficient practical method to estimate the size of a subgroup is presented and benchmarked against other methods. A prediction interval procedure which includes prior information in form of a Beta distribution is provided. This scheme is applied to the prediction of binomial and negative binomial counts. The effect of the population size on the prediction of the future number of failures is considered for a Weibull lifetime distribution, whose parameters are estimated from censored field data. Methods to obtain a prediction interval for the future number of failures with unknown sample size are presented. In many applications, failures are reported with a delay. The effects of such a reporting delay on the coverage properties of prediction intervals for the future number of failures are studied. The total failure probability of the two steps can be decomposed as a product probability. One-sided confidence intervals for such a product probability are presented. N2 - Vorhersageintervalle werden in vielen industriellen Anwendungen benötigt. In Massenproduktionen entstehen regelmäßig kleine Untergruppen von unbekannter Größer, welche ein anderes Lebensdauerverhalten als die übrige Population besitzen. Eine Risikoeinschätzung für eine solche Untergruppe besteht aus zwei Schritten: i) der Schätzung der Größe dieser Untergruppe und ii) der Schätzung des Lebensdauerverhaltens dieser Untergruppe. Diese Arbeit behandelt diese beiden Schritte. Eine effiziente Methode zur Schätzung der Größe der Untergruppe wird vorgestellt und mit anderen Methoden verglichen. Vorhersageintervalle unter Vorinformation in Form einer Betaverteilung werden dargelegt. Das Schema wird für die Vorhersage binomialer und negativ binomialer Zufallsvariablen angewandt. Der Effekt der Populationsgröße auf die Vorhersage der Anzahl von zukünftigen Ausfällen wird für eine Weibull Verteilung betrachtet, deren Parameter auf Basis von zensierten Felddaten geschätzt werden. Methoden um Vorhersageintervalle bei unbekannter Populationsgröße zu bestimmen werden dargelegt. In vielen Anwendungen werden Ausfälle mit einem Verzug gemeldet. Die Effekte eines solchen Meldeverzugs auf die Überdeckungseigenschaften von Vorhersageintervallen für die Anzahl an zukünftigen Ausfällen werden untersucht. Die Gesamtausfallwahrscheinlichkeit aus den zwei Schritten kann in eine Produktwahrscheinlichkeit zerlegt werden. Einseitige Konfidenzintervalle für eine solche Produktwahrscheinlichkeit werden dargelegt. KW - Konfidenzintervall KW - Statistik KW - Weibull-Verteilung KW - Vorhersagbarkeit KW - A-priori-Wissen KW - Prediction interval KW - Confidence interval KW - Prior information KW - Weibull distribution KW - Mathematik KW - Binomialverteilung Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-205049 ER - TY - GEN A1 - Breitenbach, Tim T1 - Codes of examples for SQH method N2 - Code examples for the paper "On the SQH Scheme to Solve Nonsmooth PDE Optimal Control Problems" by Tim Breitenbach and Alfio Borzì published in the journal "Numerical Functional Analysis and Optimization", in 2019, DOI: 10.1080/01630563.2019.1599911 KW - Code examples KW - SQH method Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-167587 ER - TY - THES A1 - Meyer, Michael T1 - Practical isogeny-based cryptography T1 - Praktische Isogenie-basierte Kryptographie N2 - This thesis aims at providing efficient and side-channel protected implementations of isogeny-based primitives, and at their application in threshold protocols. It is based on a sequence of academic papers. Chapter 3 reviews the original variable-time implementation of CSIDH and introduces several optimizations, e.g. a significant improvement of isogeny computations by using both Montgomery and Edwards curves. In total, our improvements yield a speedup of 25% compared to the original implementation. Chapter 4 presents the first practical constant-time implementation of CSIDH. We describe how variable-time implementations of CSIDH leak information on private keys, and describe ways to mitigate this. Further, we present several techniques to speed up the implementation. In total, our constant-time implementation achieves a rather small slowdown by a factor of 3.03. Chapter 5 reviews practical fault injection attacks on CSIDH and presents countermeasures. We evaluate different attack models theoretically and practically, using low-budget equipment. Moreover, we present countermeasures that mitigate the proposed fault injection attacks, only leading to a small performance overhead of 7%. Chapter 6 initiates the study of threshold schemes based on the Hard Homogeneous Spaces (HHS) framework of Couveignes. Using the HHS equivalent of Shamir’s secret sharing in the exponents, we adapt isogeny based schemes to the threshold setting. In particular, we present threshold versions of the CSIDH public key encryption and the CSI-FiSh signature scheme. Chapter 7 gives a sieving algorithm for finding pairs of consecutive smooth numbers that utilizes solutions to the Prouhet-Tarry-Escott (PTE) problem. Recent compact isogeny-based protocols, namely B-SIDH and SQISign, both require large primes that lie between two smooth integers. Finding such a prime can be seen as a special case of finding twin smooth integers under the additional stipulation that their sum is a prime. N2 - Die vorliegende Dissertation stellt effiziente und Seitenkanal-geschützte Implementierungen Isogenie-basierter Verfahren bereit, und behandelt deren Verwendung in Threshold-Protokollen. Sie basiert auf einer Reihe von Veröffentlichungen. Kapitel 3 untersucht die originale variable-time Implementierung von CSIDH und beschreibt einige Optimierungen, wie etwa die effizientere Berechnung von Isogenien durch die Verwendung von Montgomery- und Edwards-Kurven. Insgesamt erreichen die Optimierungen eine Beschleuningung von 25% gegenüber der Referenzimplementierung. Kapitel 4 enthält die erste effiziente constant-time Implementierung von CSIDH. Es beschreibt inwiefern variable-time Implementierungen Informationen über private Schlüssel liefern, und entsprechende Gegenmaßnahmen. Des Weiteren werden einige Techniken zur Optimierung der Implementierung beschrieben. Insgesamt ist die constant-time Implementierung nur etwa 3x langsamer. Kapitel 5 untersucht praktische Fault-injection Attacken auf CSIDH und beschreibt Gegenmaßnahmen. Es betrachtet verschiedene Angriffsmodelle theoretisch und praktisch unter der Verwendung von low-budget Equipment. Die Gegenmaßnahmen führen zu einer sehr kleinen Performance-Verschlechterung von 7%. Kapitel 6 initiiert die Untersuchung von Threshold-Verfahren basierend auf Hard Homogeneous Spaces (HHS). Unter Verwendung der HHS-Version von Shamir Secret Sharing im Exponenten, werden Threshold-Varianten der CSIDH Verschlüsselung und des CSI-FiSh Signaturschemas definiert. Kapitel 7 enthält einen Sieb-Algorithmus zur Suche nach Paaren von aufeinanderfolgenden glatten Zahlen, unter Verwendung von Lösungen des Prouhet-Tarry-Escott-Problems. Die kürzlich veröffentlichten Isogenie-Verfahren B-SIDH und SQISign benötigen große Primzahlen, die zwischen zwei glatten ganzen Zahlen liegen. Die Suche nach solchen Primzahlen ist ein Spezialfall der Suche nach glatten benachbarten Zahlen, unter der zusätzlichen Bedingung dass deren Summe prim ist. KW - Kryptologie KW - Post-Quantum-Kryptografie KW - isogeny-based cryptography KW - CSIDH KW - elliptic curves KW - Elliptische Kurve Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-246821 ER - TY - THES A1 - Calà Campana, Francesca T1 - Numerical methods for solving open-loop non zero-sum differential Nash games T1 - Numerische Methoden zur Lösung von Open-Loop-Nicht-Nullsummen-Differential-Nash-Spielen N2 - This thesis is devoted to a theoretical and numerical investigation of methods to solve open-loop non zero-sum differential Nash games. These problems arise in many applications, e.g., biology, economics, physics, where competition between different agents appears. In this case, the goal of each agent is in contrast with those of the others, and a competition game can be interpreted as a coupled optimization problem for which, in general, an optimal solution does not exist. In fact, an optimal strategy for one player may be unsatisfactory for the others. For this reason, a solution of a game is sought as an equilibrium and among the solutions concepts proposed in the literature, that of Nash equilibrium (NE) is the focus of this thesis. The building blocks of the resulting differential Nash games are a dynamical model with different control functions associated with different players that pursue non-cooperative objectives. In particular, the aim of this thesis is on differential models having linear or bilinear state-strategy structures. In this framework, in the first chapter, some well-known results are recalled, especially for non-cooperative linear-quadratic differential Nash games. Then, a bilinear Nash game is formulated and analysed. The main achievement in this chapter is Theorem 1.4.2 concerning existence of Nash equilibria for non-cooperative differential bilinear games. This result is obtained assuming a sufficiently small time horizon T, and an estimate of T is provided in Lemma 1.4.8 using specific properties of the regularized Nikaido-Isoda function. In Chapter 2, in order to solve a bilinear Nash game, a semi-smooth Newton (SSN) scheme combined with a relaxation method is investigated, where the choice of a SSN scheme is motivated by the presence of constraints on the players’ actions that make the problem non-smooth. The resulting method is proved to be locally convergent in Theorem 2.1, and an estimate on the relaxation parameter is also obtained that relates the relaxation factor to the time horizon of a Nash equilibrium and to the other parameters of the game. For the bilinear Nash game, a Nash bargaining problem is also introduced and discussed, aiming at determining an improvement of all players’ objectives with respect to the Nash equilibrium. A characterization of a bargaining solution is given in Theorem 2.2.1 and a numerical scheme based on this result is presented that allows to compute this solution on the Pareto frontier. Results of numerical experiments based on a quantum model of two spin-particles and on a population dynamics model with two competing species are presented that successfully validate the proposed algorithms. In Chapter 3 a functional formulation of the classical homicidal chauffeur (HC) Nash game is introduced and a new numerical framework for its solution in a time-optimal formulation is discussed. This methodology combines a Hamiltonian based scheme, with proximal penalty to determine the time horizon where the game takes place, with a Lagrangian optimal control approach and relaxation to solve the Nash game at a fixed end-time. The resulting numerical optimization scheme has a bilevel structure, which aims at decoupling the computation of the end-time from the solution of the pursuit-evader game. Several numerical experiments are performed to show the ability of the proposed algorithm to solve the HC game. Focusing on the case where a collision may occur, the time for this event is determined. The last part of this thesis deals with the analysis of a novel sequential quadratic Hamiltonian (SQH) scheme for solving open-loop differential Nash games. This method is formulated in the framework of Pontryagin’s maximum principle and represents an efficient and robust extension of the successive approximations strategy in the realm of Nash games. In the SQH method, the Hamilton-Pontryagin functions are augmented by a quadratic penalty term and the Nikaido-Isoda function is used as a selection criterion. Based on this fact, the key idea of this SQH scheme is that the PMP characterization of Nash games leads to a finite-dimensional Nash game for any fixed time. A class of problems for which this finite-dimensional game admits a unique solution is identified and for this class of games theoretical results are presented that prove the well-posedness of the proposed scheme. In particular, Proposition 4.2.1 is proved to show that the selection criterion on the Nikaido-Isoda function is fulfilled. A comparison of the computational performances of the SQH scheme and the SSN-relaxation method previously discussed is shown. Applications to linear-quadratic Nash games and variants with control constraints, weighted L1 costs of the players’ actions and tracking objectives are presented that corroborate the theoretical statements. N2 - Diese Dissertation handelt von eine theoretischen und numerischen Untersuchung von Methoden zur Lösung von Open-Loop-Nicht-Nullsummen-Differential-Nash-Spielen. Diese Probleme treten in vielen Anwendungen auf, z.B., Biologie, Wirtschaft, Physik, in denen die Konkurrenz zwischen verschiedenen Wirkstoffen bzw. Agenten auftritt. In diesem Fall steht das Ziel jedes Agenten im Gegensatz zu dem der anderen und ein Wettbewerbsspiel kann als gekoppeltes Optimierungsproblem interpretiert werden. Im Allgemeinen gibt es keine optimale Lösung für ein solches Spiel. Tatsächlich kann eine optimale Strategie für einen Spieler für den anderen unbefriedigend sein. Aus diesem Grund wird ein Gle- ichgewicht eines Spiels als Lösung gesucht, und unter den in der Literatur vorgeschlagenen Lösungskonzepten steht das Nash-Gleichgewicht (NE) im Mittelpunkt dieser Arbeit. ... KW - Differential Games KW - Bilinear differential games KW - Homicidal Chauffeur game KW - Sequential Quadratic Hamiltonian scheme KW - Pontryagin maximum principle KW - Relaxation method Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-245900 ER - TY - JOUR A1 - Breitenbach, Tim A1 - Borzì, Alfio T1 - The Pontryagin maximum principle for solving Fokker–Planck optimal control problems JF - Computational Optimization and Applications N2 - The characterization and numerical solution of two non-smooth optimal control problems governed by a Fokker–Planck (FP) equation are investigated in the framework of the Pontryagin maximum principle (PMP). The two FP control problems are related to the problem of determining open- and closed-loop controls for a stochastic process whose probability density function is modelled by the FP equation. In both cases, existence and PMP characterisation of optimal controls are proved, and PMP-based numerical optimization schemes are implemented that solve the PMP optimality conditions to determine the controls sought. Results of experiments are presented that successfully validate the proposed computational framework and allow to compare the two control strategies. KW - Fokker–Planck equation KW - Pontryagin maximum principle KW - non-smooth optimal control problems KW - stochastic processes Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-232665 SN - 0926-6003 VL - 76 ER - TY - THES A1 - Raharja, Andreas Budi T1 - Optimisation Problems with Sparsity Terms: Theory and Algorithms T1 - Optimierungsprobleme mit Dünnbesetzten Termen: Theorie und Algorithmen N2 - The present thesis deals with optimisation problems with sparsity terms, either in the constraints which lead to cardinality-constrained problems or in the objective function which in turn lead to sparse optimisation problems. One of the primary aims of this work is to extend the so-called sequential optimality conditions to these two classes of problems. In recent years sequential optimality conditions have become increasingly popular in the realm of standard nonlinear programming. In contrast to the more well-known Karush-Kuhn-Tucker condition, they are genuine optimality conditions in the sense that every local minimiser satisfies these conditions without any further assumption. Lately they have also been extended to mathematical programmes with complementarity constraints. At around the same time it was also shown that optimisation problems with sparsity terms can be reformulated into problems which possess similar structures to mathematical programmes with complementarity constraints. These recent developments have become the impetus of the present work. But rather than working with the aforementioned reformulations which involve an artifical variable we shall first directly look at the problems themselves and derive sequential optimality conditions which are independent of any artificial variable. Afterwards we shall derive the weakest constraint qualifications associated with these conditions which relate them to the Karush-Kuhn-Tucker-type conditions. Another equally important aim of this work is to then consider the practicability of the derived sequential optimality conditions. The previously mentioned reformulations open up the possibilities to adapt methods which have been proven successful to handle mathematical programmes with complementarity constraints. We will show that the safeguarded augmented Lagrangian method and some regularisation methods may generate a point satisfying the derived conditions. N2 - Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit Optimierungsproblemen mit dünnbesetzten Termen, und zwar entweder in der Restriktionsmenge, was zu kardinalitätsrestringierten Problemen führen, oder in der Zielfunktion, was zu Optimierungsproblemen mit dünnbesetzten Lösungen führen. Die Herleitung der sogenannten sequentiellen Optimalitätsbedingungen für diese Problemklassen ist eines der Hauptziele dieser Arbeit. Im Bereich der nichtlinearen Optimierung gibt es in jüngster Zeit immer mehr Interesse an diesen Bedingungen. Im Gegensatz zu der mehr bekannten Karush-Kuhn-Tucker Bedingung sind diese Bedingungen echte Optimalitätsbedingungen. Sie sind also in jedem lokalen Minimum ohne weitere Voraussetzung erfüllt. Vor Kurzem wurden solche Bedingungen auch für mathematische Programme mit Komplementaritätsbedingungen hergeleitet. Zum gleichen Zeitpunkt wurde es auch gezeigt, dass Optimierungsproblemen mit dünnbesetzten Termen sich als Problemen, die ähnliche Strukturen wie mathematische Programme mit Komplementaritätsbedingungen besitzen, umformulieren lassen. Diese jüngsten Entwicklungen motivieren die vorliegende Arbeit. Hier werden wir zunächst die ursprunglichen Problemen direkt betrachten anstatt mit den Umformulierungen, die eine künstliche Variable enthalten, zu arbeiten. Dies ermöglicht uns, um Optimalitätsbedingungen, die von künstlichen Variablen unabhängig sind, zu gewinnen. Danach werden wir die entsprechenden schwächsten Constraint Qualifikationen, die diese Bedingungen mit Karush-Kuhn-Tucker-ähnlichen Bedingungen verknüpfen, herleiten. Als ein weiteres Hauptziel der Arbeit werden wir dann untersuchen, ob die gerade hergeleiteten Bedingungen eine praktische Bedeutung haben. Die vor Kurzem eingeführten Umformulierungen bieten die Möglichkeiten, um die für mathematische Programme mit Komplementaritätsbedingungen gut funktionierenden Methoden hier auch anzuwenden. Wir werden zeigen, dass das safeguarded augmented Lagrangian Method und einige Regularisierungsmethoden theoretisch in der Lage sind, um einen Punkt, der den hergeleiteten Bedingungen genügt, zu generieren. KW - Optimierungsproblem KW - Regularisierungsverfahren KW - Cardinality Constraints KW - Augmented Lagrangian KW - Regularisation Methods Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-241955 ER - TY - JOUR A1 - Homburg, Annika A1 - Weiß, Christian H. A1 - Frahm, Gabriel A1 - Alwan, Layth C. A1 - Göb, Rainer T1 - Analysis and forecasting of risk in count processes JF - Journal of Risk and Financial Management N2 - Risk measures are commonly used to prepare for a prospective occurrence of an adverse event. If we are concerned with discrete risk phenomena such as counts of natural disasters, counts of infections by a serious disease, or counts of certain economic events, then the required risk forecasts are to be computed for an underlying count process. In practice, however, the discrete nature of count data is sometimes ignored and risk forecasts are calculated based on Gaussian time series models. But even if methods from count time series analysis are used in an adequate manner, the performance of risk forecasting is affected by estimation uncertainty as well as certain discreteness phenomena. To get a thorough overview of the aforementioned issues in risk forecasting of count processes, a comprehensive simulation study was done considering a broad variety of risk measures and count time series models. It becomes clear that Gaussian approximate risk forecasts substantially distort risk assessment and, thus, should be avoided. In order to account for the apparent estimation uncertainty in risk forecasting, we use bootstrap approaches for count time series. The relevance and the application of the proposed approaches are illustrated by real data examples about counts of storm surges and counts of financial transactions. KW - count time series KW - expected shortfall KW - expectiles KW - Gaussian approximation KW - mid quantiles KW - tail conditional expectation KW - value at risk Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-236692 SN - 1911-8074 VL - 14 IS - 4 ER - TY - JOUR A1 - Pirner, Marlies T1 - A review on BGK models for gas mixtures of mono and polyatomic molecules JF - Fluids N2 - We consider the Bathnagar–Gross–Krook (BGK) model, an approximation of the Boltzmann equation, describing the time evolution of a single momoatomic rarefied gas and satisfying the same two main properties (conservation properties and entropy inequality). However, in practical applications, one often has to deal with two additional physical issues. First, a gas often does not consist of only one species, but it consists of a mixture of different species. Second, the particles can store energy not only in translational degrees of freedom but also in internal degrees of freedom such as rotations or vibrations (polyatomic molecules). Therefore, here, we will present recent BGK models for gas mixtures for mono- and polyatomic particles and the existing mathematical theory for these models. KW - multi-fluid mixture KW - kinetic model KW - BGK approximation KW - degrees of freedom in internal energy KW - existence of solutions KW - large-time behaviour Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-250161 SN - 2311-5521 VL - 6 IS - 11 ER - TY - JOUR A1 - Steuding, Jörn A1 - Suriajaya, Ade Irma T1 - Value-Distribution of the Riemann Zeta-Function Along Its Julia Lines JF - Computational Methods and Function Theory N2 - For an arbitrary complex number a≠0 we consider the distribution of values of the Riemann zeta-function ζ at the a-points of the function Δ which appears in the functional equation ζ(s)=Δ(s)ζ(1−s). These a-points δa are clustered around the critical line 1/2+i\(\mathbb {R}\) which happens to be a Julia line for the essential singularity of ζ at infinity. We observe a remarkable average behaviour for the sequence of values ζ(δ\(_a\)). KW - Riemann zeta-function KW - value-distribution KW - critical line KW - Julia line Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-232621 SN - 1617-9447 VL - 20 ER - TY - JOUR A1 - Roy, S. A1 - Borzì, A. A1 - Habbal, A. T1 - Pedestrian motion modelled by Fokker-Planck Nash games JF - Royal Society Open Science N2 - A new approach to modelling pedestrians' avoidance dynamics based on a Fokker–Planck (FP) Nash game framework is presented. In this framework, two interacting pedestrians are considered, whose motion variability is modelled through the corresponding probability density functions (PDFs) governed by FP equations. Based on these equations, a Nash differential game is formulated where the game strategies represent controls aiming at avoidance by minimizing appropriate collision cost functionals. The existence of Nash equilibria solutions is proved and characterized as a solution to an optimal control problem that is solved numerically. Results of numerical experiments are presented that successfully compare the computed Nash equilibria to the output of real experiments (conducted with humans) for four test cases. KW - Fokker–Planck equation KW - Nash equilibrium KW - pedestrian motion KW - differential games KW - avoidance KW - optimal control Y1 - 2017 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-170395 VL - 4 IS - 9 ER - TY - JOUR A1 - Almeida, R. A1 - Hristova, S. A1 - Dashkovskiy, S. T1 - Uniform bounded input bounded output stability of fractional‐order delay nonlinear systems with input JF - International Journal of Robust and Nonlinear Control N2 - The bounded input bounded output (BIBO) stability for a nonlinear Caputo fractional system with time‐varying bounded delay and nonlinear output is studied. Utilizing the Razumikhin method, Lyapunov functions and appropriate fractional derivatives of Lyapunov functions some new bounded input bounded output stability criteria are derived. Also, explicit and independent on the initial time bounds of the output are provided. Uniform BIBO stability and uniform BIBO stability with input threshold are studied. A numerical simulation is carried out to show the system's dynamic response, and demonstrate the effectiveness of our theoretical results. KW - bounded input bounded output stability KW - Caputo fractional derivative KW - Lyapunov functions KW - Razumikhin method KW - time‐varying delay Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-218554 VL - 31 IS - 1 SP - 225 EP - 249 ER - TY - JOUR A1 - Feireisl, Eduard A1 - Klingenberg, Christian A1 - Markfelder, Simon T1 - On the density of “wild” initial data for the compressible Euler system JF - Calculus of Variations and Partial Differential Equations N2 - We consider a class of “wild” initial data to the compressible Euler system that give rise to infinitely many admissible weak solutions via the method of convex integration. We identify the closure of this class in the natural L1-topology and show that its complement is rather large, specifically it is an open dense set. KW - Euler system Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-232607 SN - 0944-2669 VL - 59 ER - TY - JOUR A1 - Lauerbach, Laura A1 - Neukamm, Stefan A1 - Schäffner, Mathias A1 - Schlömerkemper, Anja T1 - Continuum Limit and Homogenization of Stochastic and Periodic Discrete Systems – Fracture in Composite Materials JF - Proceedings in Applied Mathematics & Mechanics N2 - The limiting behaviour of a one‐dimensional discrete system is studied by means of Γ‐convergence. We consider a toy model of a chain of atoms. The interaction potentials are of Lennard‐Jones type and periodically or stochastically distributed. The energy of the system is considered in the discrete to continuum limit, i.e. as the number of atoms tends to infinity. During that limit, a homogenization process takes place. The limiting functional is discussed, especially with regard to fracture. Secondly, we consider a rescaled version of the problem, which yields a limiting energy of Griffith's type consisting of a quadratic integral term and a jump contribution. The periodic case can be found in [8], the stochastic case in [6,7]. KW - discrete systems KW - continuum limit KW - homogenization Y1 - 2019 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-211835 VL - 19 IS - 1 ER - TY - JOUR A1 - Fall, Mouhammed Moustapha A1 - Minlend, Ignace Aristide A1 - Ratzkin, Jesse T1 - Foliation of an Asymptotically Flat End by Critical Capacitors JF - The Journal of Geometric Analysis N2 - We construct a foliation of an asymptotically flat end of a Riemannian manifold by hypersurfaces which are critical points of a natural functional arising in potential theory. These hypersurfaces are perturbations of large coordinate spheres, and they admit solutions of a certain over-determined boundary value problem involving the Laplace–Beltrami operator. In a key step we must invert the Dirichlet-to-Neumann operator, highlighting the nonlocal nature of our problem. KW - asymptotically flat ends KW - foliation KW - over-determined problem Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-269997 SN - 1559-002X VL - 32 IS - 2 ER - TY - JOUR A1 - Easton, Andrew A1 - van Dalen, Okki A1 - Goeb, Rainer A1 - Di Bucchianico, Alessandro T1 - Bivariate copula monitoring JF - Quality and Reliability Engineering International N2 - The assumption of multivariate normality underlying the Hotelling T\(^{2}\) chart is often violated for process data. The multivariate dependency structure can be separated from marginals with the help of copula theory, which permits to model association structures beyond the covariance matrix. Copula‐based estimation and testing routines have reached maturity regarding a variety of practical applications. We have constructed a rich design matrix for the comparison of the Hotelling T\(^{2}\) chart with the copula test by Verdier and the copula test by Vuong, which allows for weighting the observations adaptively. Based on the design matrix, we have conducted a large and computationally intensive simulation study. The results show that the copula test by Verdier performs better than Hotelling T\(^{2}\) in a large variety of out‐of‐control cases, whereas the weighted Vuong scheme often fails to provide an improvement. KW - copula KW - multivariate Gaussian distribution KW - multivariate statistical process control (SPC) KW - phase I KW - phase II Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-276501 VL - 38 IS - 3 SP - 1272 EP - 1288 ER - TY - JOUR A1 - Gathungu, Duncan Kioi A1 - Borzì, Alfio T1 - Multigrid Solution of an Elliptic Fredholm Partial Integro-Differential Equation with a Hilbert-Schmidt Integral Operator JF - Applied Mathematics N2 - An efficient multigrid finite-differences scheme for solving elliptic Fredholm partial integro-differential equations (PIDE) is discussed. This scheme combines a second-order accurate finite difference discretization of the PIDE problem with a multigrid scheme that includes a fast multilevel integration of the Fredholm operator allowing the fast solution of the PIDE problem. Theoretical estimates of second-order accuracy and results of local Fourier analysis of convergence of the proposed multigrid scheme are presented. Results of numerical experiments validate these estimates and demonstrate optimal computational complexity of the proposed framework. KW - elliptic problems KW - finite differences KW - fredholm operator KW - multigrid schemes KW - numerical analysis Y1 - 2017 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-158525 VL - 8 IS - 7 ER - TY - JOUR A1 - Kienle-Garrido, Melina-Lorén A1 - Breitenbach, Tim A1 - Chudej, Kurt A1 - Borzì, Alfio T1 - Modeling and numerical solution of a cancer therapy optimal control problem JF - Applied Mathematics N2 - A mathematical optimal-control tumor therapy framework consisting of radio- and anti-angiogenesis control strategies that are included in a tumor growth model is investigated. The governing system, resulting from the combination of two well established models, represents the differential constraint of a non-smooth optimal control problem that aims at reducing the volume of the tumor while keeping the radio- and anti-angiogenesis chemical dosage to a minimum. Existence of optimal solutions is proved and necessary conditions are formulated in terms of the Pontryagin maximum principle. Based on this principle, a so-called sequential quadratic Hamiltonian (SQH) method is discussed and benchmarked with an “interior point optimizer―a mathematical programming language” (IPOPT-AMPL) algorithm. Results of numerical experiments are presented that successfully validate the SQH solution scheme. Further, it is shown how to choose the optimisation weights in order to obtain treatment functions that successfully reduce the tumor volume to zero. KW - cancer KW - therapy KW - optimal control problem Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-177152 VL - 9 IS - 8 ER - TY - JOUR A1 - Campana, Francesca Calà A1 - Borzì, Alfio T1 - On the SQH Method for Solving Differential Nash Games JF - Journal of Dynamical and Control Systems N2 - A sequentialquadratic Hamiltonian schemefor solving open-loop differential Nash games is proposed and investigated. This method is formulated in the framework of the Pontryagin maximum principle and represents an efficient and robust extension of the successive approximations strategy for solving optimal control problems. Theoretical results are presented that prove the well-posedness of the proposed scheme, and results of numerical experiments are reported that successfully validate its computational performance. KW - successive approximations strategy KW - sequential quadratic hamiltonian method KW - differential nash games KW - pontryagin maximum principle Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-269111 SN - 1573-8698 VL - 28 ER - TY - JOUR A1 - Kraus, Daniela A1 - Moucha, Annika A1 - Roth, Oliver T1 - A sharp Bernstein–type inequality and application to the Carleson embedding theorem with matrix weights JF - Analysis and Mathematical Physics N2 - We prove a sharp Bernstein-type inequality for complex polynomials which are positive and satisfy a polynomial growth condition on the positive real axis. This leads to an improved upper estimate in the recent work of Culiuc and Treil (Int. Math. Res. Not. 2019: 3301–3312, 2019) on the weighted martingale Carleson embedding theorem with matrix weights. In the scalar case this new upper bound is optimal. KW - Bernstein-type inequality KW - complex polynomials KW - Carleson embedding theorem Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-270485 SN - 1664-235X VL - 12 IS - 1 ER - TY - JOUR A1 - Homburg, Annika A1 - Weiß, Christian H. A1 - Alwan, Layth C. A1 - Frahm, Gabriel A1 - Göb, Rainer T1 - A performance analysis of prediction intervals for count time series JF - Journal of Forecasting N2 - One of the major motivations for the analysis and modeling of time series data is the forecasting of future outcomes. The use of interval forecasts instead of point forecasts allows us to incorporate the apparent forecast uncertainty. When forecasting count time series, one also has to account for the discreteness of the range, which is done by using coherent prediction intervals (PIs) relying on a count model. We provide a comprehensive performance analysis of coherent PIs for diverse types of count processes. We also compare them to approximate PIs that are computed based on a Gaussian approximation. Our analyses rely on an extensive simulation study. It turns out that the Gaussian approximations do considerably worse than the coherent PIs. Furthermore, special characteristics such as overdispersion, zero inflation, or trend clearly affect the PIs' performance. We conclude by presenting two empirical applications of PIs for count time series: the demand for blood bags in a hospital and the number of company liquidations in Germany. KW - coherent forecasting KW - count time series KW - estimation error KW - Gaussian approximation KW - prediction interval Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-217906 VL - 40 IS - 4 SP - 603 EP - 609 ER - TY - JOUR A1 - Mitra, Sourav T1 - Local Existence of Strong Solutions of a Fluid–Structure Interaction Model JF - Journal of Mathematical Fluid Mechanics N2 - We are interested in studying a system coupling the compressible Navier–Stokes equations with an elastic structure located at the boundary of the fluid domain. Initially the fluid domain is rectangular and the beam is located on the upper side of the rectangle. The elastic structure is modeled by an Euler–Bernoulli damped beam equation. We prove the local in time existence of strong solutions for that coupled system. KW - fluid–structure interaction model KW - compressible fluid KW - Euler–Bernoulli damped beam KW - local existence Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-235097 SN - 1422-6928 VL - 22 ER - TY - JOUR A1 - Natemeyer, Carolin A1 - Wachsmuth, Daniel T1 - A proximal gradient method for control problems with non-smooth and non-convex control cost JF - Computational Optimization and Applications N2 - We investigate the convergence of the proximal gradient method applied to control problems with non-smooth and non-convex control cost. Here, we focus on control cost functionals that promote sparsity, which includes functionals of L\(^{p}\)-type for p\in [0,1). We prove stationarity properties of weak limit points of the method. These properties are weaker than those provided by Pontryagin’s maximum principle and weaker than L-stationarity. KW - sparse control problems KW - proximal gradient method KW - non-smooth and non-convex optimization Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-269069 SN - 1573-2894 VL - 80 IS - 2 ER - TY - JOUR A1 - Falk, Michael A1 - Fuller, Timo T1 - New characterizations of multivariate Max-domain of attraction and D-Norms JF - Extremes N2 - In this paper we derive new results on multivariate extremes and D-norms. In particular we establish new characterizations of the multivariate max-domain of attraction property. The limit distribution of certain multivariate exceedances above high thresholds is derived, and the distribution of that generator of a D-norm on R\(^{d}\), whose components sum up to d, is obtained. Finally we introduce exchangeable D-norms and show that the set of exchangeable D-norms is a simplex. KW - extremal exchangeable D-norms KW - multivariate extreme value theory KW - multivariate max-domain of attraction KW - D-norm KW - generator of D-norm KW - multivariate exceedance KW - co-extremality coefficient KW - exchangeable D-norms Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-269071 SN - 1572-915X VL - 24 IS - 4 ER -