TY - THES A1 - Karl, Sabine T1 - Firm Values and Systemic Stability in Financial Networks T1 - Firmenwerte und systemisches Risiko in finanziellen Netzwerken N2 - Based on the work of Eisenberg and Noe [2001], Suzuki [2002], Elsinger [2009] and Fischer [2014], we consider a generalization of Merton's asset valuation approach where n firms are linked by cross-ownership of equities and liabilities. Each firm is assumed to have a single outstanding liability, whereas its assets consist of one system-exogenous asset, as well as system-endogenous assets comprising some fraction of other firms' equity and liability, respectively. Following Fischer [2014], one can obtain no-arbitrage prices of equity and the recovery claims of liabilities as solutions of a fixed point problem, and hence obtain no-arbitrage prices of the `firm value' of each firm, which is the value of the firm's liability plus the firm's equity. In a first step, we consider the two-firm case where explicit formulae for the no-arbitrage prices of the firm values are available (cf. Suzuki [2002]). Since firm values are derivatives of exogenous asset values, the distribution of firm values at maturity can be determined from the distribution of exogenous asset values. The Merton model and most of its known extensions do not account for the cross-ownership structure of the assets owned by the firm. Therefore the assumption of lognormally distributed exogenous assets leads to lognormally distributed firm values in such models, as the values of the liability and the equity add up to the exogenous asset's value (which has lognormal distribution by assumption). Our work therefore starts from lognormally distributed exogenous assets and reveals how cross-ownership, when correctly accounted for in the valuation process, affects the distribution of the firm value, which is not lognormal anymore. In a simulation study we examine the impact of several parameters (amount of cross-ownership of debt and equity, ratio of liabilities to expected exogenous assets value) on the differences between the distribution of firm values obtained from our model and correspondingly matched lognormal distributions. It becomes clear that the assumption of lognormally distributed firm values may lead to both over- and underestimation of the “true" firm values (within the cross-ownership model) and consequently of bankruptcy risk, too. In a second step, the bankruptcy risk of one firm within the system is analyzed in more detail in a further simulation study, revealing that the correct incorporation of cross-ownership in the valuation procedure is the more important, the tighter the cross-ownership structure between the two firms. Furthermore, depending on the considered type of cross-ownership (debt or equity), the assumption of lognormally distributed firm values is likely to result in an over- resp. underestimation of the actual probability of default. In a similar vein, we consider the Value-at-Risk (VaR) of a firm in the system, which we calculate as the negative α-quantile of the firm value at maturity minus the firm's risk neutral price in t=0, i.e. we consider the (1-α)100%-VaR of the change in firm value. If we let the cross-ownership fractions (i.e. the fraction that one firm holds of another firm's debt or equity) converge to 1 (which is the supremum of the possible values that cross-ownership fractions can take), we can prove that in a system of two firms, the lognormal model will over- resp. underestimate both univariate and bivariate probabilities of default under cross-ownership of debt only resp. cross-ownership of equity only. Furthermore, we provide a formula that allows us to check for an arbitrary scenario of cross-ownership and any non-negative distribution of exogenous assets whether the approximating lognormal model will over- or underestimate the related probability of default of a firm. In particular, any given non-negative distribution of exogenous asset values (non-degenerate in a certain sense) can be transformed into a new, “extreme" distribution of exogenous assets yielding such a low or high actual probability of default that the approximating lognormal model will over- and underestimate this risk, respectively. After this analysis of the univariate distribution of firm values under cross-ownership in a system of two firms with bivariately lognormally distributed exogenous asset values, we consider the copula of these firm values as a distribution-free measure of the dependency between these firm values. Without cross-ownership, this copula would be the Gaussian copula. Under cross-ownership, we especially consider the behaviour of the copula of firm values in the lower left and upper right corner of the unit square, and depending on the type of cross-ownership and the considered corner, we either obtain error bounds as to how good the copula of firm values under cross-ownership can be approximated with the Gaussian copula, or we see that the copula of firm values can be written as the copula of two linear combinations of exogenous asset values (note that these linear combinations are not lognormally distributed). These insights serve as a basis for our analysis of the tail dependence coefficient of firm values under cross-ownership. Under cross-ownership of debt only, firm values remain upper tail independent, whereas they become perfectly lower tail dependent if the correlation between exogenous asset values exceeds a certain positive threshold, which does not depend on the exact level of cross-ownership. Under cross-ownership of equity only, the situation is reverse in that firm values always remain lower tail independent, but upper tail independence is preserved if and only if the right tail behaviour of both firms’ values is determined by the right tail behaviour of the firms’ own exogenous asset value instead of the respective other firm’s exogenous asset value. Next, we return to systems of n≥2 firms and analyze sensitivities of no-arbitrage prices of equity and the recovery claims of liabilities with respect to the model parameters. In the literature, such sensitivities are provided with respect to exogenous asset values by Gouriéroux et al. [2012], and we extend the existing results by considering how these no-arbitrage prices depend on the cross-ownership fractions and the level of liabilities. For the former, we can show that all prices are non-decreasing in any cross-ownership fraction in the model, and by use of a version of the Implicit Function Theorem we can also determine exact derivatives. For the latter, we show that the recovery value of debt and the equity value of a firm are non-decreasing and non-increasing in the firm's nominal level of liabilities, respectively, but the firm value is in general not monotone in the firm's level of liabilities. Furthermore, no-arbitrage prices of equity and the recovery claims of liabilities of a firm are in general non-monotone in the nominal level of liabilities of other firms in the system. If we confine ourselves to one type of cross-ownership (i.e. debt or equity), we can derive more precise relationships. All the results can be transferred to risk-neutral prices before maturity. Finally, following Gouriéroux et al. [2012] and as a kind of extension to the above sensitivity results, we consider how immediate changes in exogenous asset values of one or more firms at maturity affect the financial health of a system of n initially solvent firms. We start with some theoretical considerations on what we call the contagion effect, namely the change in the endogenous asset value of a firm caused by shocks on the exogenous assets of firms within the system. For the two-firm case, an explicit formula is available, making clear that in general (and in particular under cross-ownership of equity only), the effect of contagion can be positive as well as negative, i.e. it can both, mitigate and exacerbate the change in the exogenous asset value of a firm. On the other hand, we cannot generally say that a tighter cross-ownership structure leads to bigger absolute contagion effects. Under cross-ownership of debt only, firms cannot profit from positive shocks beyond the direct effect on exogenous assets, as the contagion effect is always non-positive. Next, we are concerned with spillover effects of negative shocks on a subset of firms to other firms in the system (experiencing non-negative shocks themselves), driving them into default due to large losses in their endogenous asset values. Extending the results of Glasserman and Young [2015], we provide a necessary condition for the shock to cause such an event. This also yields an upper bound for the probability of such an event. We further investigate how the stability of a system of firms exposed to multiple shocks depends on the model parameters in a simulation study. In doing so, we consider three network types (incomplete, core-periphery and ring network) with simultaneous shocks on some of the firms and wiping out a certain percentage of their exogenous assets. Then we analyze for all three types of cross-ownership (debt only, equity only, both debt and equity) how the shock intensity, the shock size, and network parameters as the number of links in the network and the proportion of a firm's debt or equity held within the system of firms influences several output parameters, comprising the total number of defaults and the relative loss in the sum of firm values, among others. Comparing our results to the studies of Nier et al. [2007], Gai and Kapadia [2010] and Elliott et al. [2014], we can only partly confirm their results with respect to the number of defaults. We conclude our work with a theoretical comparison of the complete network (where each firm holds a part of any other firm) and the ring network with respect to the number of defaults caused by a shock on a single firm, as it is done by Allen and Gale [2000]. In line with the literature, we find that under cross-ownership of debt only, complete networks are “robust yet fragile" [Gai and Kapadia, 2010] in that moderate shocks can be completely withstood or drive the firm directly hit by the shock in default, but as soon as the shock exceeds a certain size, all firms are simultaneously in default. In contrast to that, firms default one by one in the ring network, with the first “contagious default" (i.e. a default of a firm not directly hit by the shock) already occurs for smaller shock sizes than under the complete network. N2 - Basierend auf den Arbeiten von Eisenberg und Noe [2001], Suzuki [2002], Elsinger [2009] und Fischer [2014] wird ein Netzwerk aus n≥2 Firmen betrachtet, die über Fremd- und/oder Eigenkapitalverflechtungen miteinander verbunden sind. Dabei wird angenommen, dass jede Firma eine Klasse von exogenen Assets sowie eine Klasse von Schulden mit Fälligkeitszeitpunkt T besitzt. Der Wert der Schulden und des Eigenkapitals jeder Firma zum Fälligkeitszeitpunkt kann dann mit Hilfe des Fixpunktalgorithmus von Fischer [2014] bestimmt werden, was auch den ‚Firmenwert‘ (Gesamtwert der Assets einer Firma) liefert. Ausgehend von lognormalverteilten Assetwerten wird in einer Simulationsstudie für den Zwei-Firmen-Fall die Verteilung des Firmenwerts mit einer angepassten Lognormalverteilung verglichen, ebenso die daraus resultierenden Ausfallwahrscheinlichkeiten. Für extrem hohe Verflechtungsgrade werden theoretische Ergebnisse bezüglich Über- und Unterschätzung der tatsächlichen Ausfallwahrscheinlichkeit durch die Lognormalverteilung hergeleitet. Anschließend wird der lower und upper tail dependence coefficient der Firmenwerte zweier Firmen bei ausschließlich Fremd- bzw. Eigenkapitalverflechtungen bestimmt. Für Netzwerke beliebiger Größe wird nach einer Sensitivitätsanalyse des Werts der Schulden, des Werts des Eigenkapitals und des Firmenwerts in Abhängigkeit der vorliegenden Verflechtungsgrade und des nominellen Schuldenwerts untersucht, unter welchen Bedingungen sich Schocks auf die exogenen Assetwerte einer oder mehrerer Firmen innerhalb des Netzwerks verbreiten und möglicherweise zum Ausfall anderer, nicht direkt vom Schock betroffenen Firmen im System führen. KW - Finanzmathematik KW - Systemisches Risiko KW - finanzielles Netzwerk KW - Kapitalverflechtungen KW - cross-ownership KW - financial network KW - systemic risk KW - structural model KW - firm valuation KW - Firmwert Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-115739 ER - TY - JOUR A1 - Lu, Yun-guang A1 - Klingenberg, Christian A1 - Rendon, Leonardo A1 - Zheng, De-Yin T1 - Global Solutions for a Simplified Shallow Elastic Fluids Model JF - Abstract and Applied Analytics N2 - The Cauchy problem for a simplified shallow elastic fluids model, one 3 x 3 system of Temple's type, is studied and a global weak solution is obtained by using the compensated compactness theorem coupled with the total variation estimates on the first and third Riemann invariants, where the second Riemann invariant is singular near the zero layer depth (rho - 0). This work extends in some sense the previous works, (Serre, 1987) and (Leveque and Temple, 1985), which provided the global existence of weak solutions for 2 x 2 strictly hyperbolic system and (Heibig, 1994) for n x n strictly hyperbolic system with smooth Riemann invariants. KW - conservation laws KW - hyperbolic systems Y1 - 2014 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-117978 SN - 1687-0409 IS - 920248 ER - TY - THES A1 - Geiselhart, Roman T1 - Advances in the stability analysis of large-scale discrete-time systems T1 - Fortschritte in der Stabilitätsanalyse großskaliger zeitdiskreter Systeme N2 - Several aspects of the stability analysis of large-scale discrete-time systems are considered. An important feature is that the right-hand side does not have have to be continuous. In particular, constructive approaches to compute Lyapunov functions are derived and applied to several system classes. For large-scale systems, which are considered as an interconnection of smaller subsystems, we derive a new class of small-gain results, which do not require the subsystems to be robust in some sense. Moreover, we do not only study sufficiency of the conditions, but rather state an assumption under which these conditions are also necessary. Moreover, gain construction methods are derived for several types of aggregation, quantifying how large a prescribed set of interconnection gains can be in order that a small-gain condition holds. N2 - Es werden großskalige zeitdiskrete Systeme betrachtet, deren rechte Seite nicht als stetig angenommen wird. Konstruktive Ansätze um Lyapunovfunktionen zu berechnen werden hergeleitet und auf mehrere Systemklassen angewandt. Für großskalige Systeme, die beschrieben sind durch die Kopplung kleinerer Systeme, wird eine neue Klasse von sogenannten Small-Gain Resultaten vorgestellt, die nicht verlangt, dass die Subsysteme robust sein müssen. Zudem untersuchen wir die Notwendigkeit der geforderten Bedingungen. Zusätzlich werden Gainkonstruktionsmethoden für verschiedene Typen von Verknüpfung hergeleitet, welche quantifizieren, wie groß eine vorgegebene Menge von Kopplungsgains sein kann, so dass eine Small-Gain-Bedingung erfüllt ist. KW - Ljapunov-Funktion KW - Konstruktionsmethoden KW - Ljapunov-Stabilitätstheorie KW - Nichtlineare Funktionalgleichung Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-112963 ER - TY - JOUR A1 - Rudel, Thomas A1 - Prusty, Bhupesh K. A1 - Siegl, Christine A1 - Hauck, Petra A1 - Hain, Johannes A1 - Korhonen, Suvi J. A1 - Hiltunen-Back, Eija A1 - Poulakkainen, Mirja T1 - Chlamydia trachomatis Infection Induces Replication of Latent HHV-6 JF - PLoS ONE N2 - Human herpesvirus-6 (HHV-6) exists in latent form either as a nuclear episome or integrated into human chromosomes in more than 90% of healthy individuals without causing clinical symptoms. Immunosuppression and stress conditions can reactivate HHV-6 replication, associated with clinical complications and even death. We have previously shown that co-infection of Chlamydia trachomatis and HHV-6 promotes chlamydial persistence and increases viral uptake in an in vitro cell culture model. Here we investigated C. trachomatis-induced HHV-6 activation in cell lines and fresh blood samples from patients having Chromosomally integrated HHV-6 (CiHHV-6). We observed activation of latent HHV-6 DNA replication in CiHHV-6 cell lines and fresh blood cells without formation of viral particles. Interestingly, we detected HHV-6 DNA in blood as well as cervical swabs from C. trachomatis-infected women. Low virus titers correlated with high C. trachomatis load and vice versa, demonstrating a potentially significant interaction of these pathogens in blood cells and in the cervix of infected patients. Our data suggest a thus far underestimated interference of HHV-6 and C. trachomatis with a likely impact on the disease outcome as consequence of co-infection. KW - blood KW - chlamydia KW - chlamydia infection KW - chlamydia trachomatis KW - DNA replication KW - macrophages KW - polymerase chain reaction KW - viral load Y1 - 2013 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-96731 ER - TY - THES A1 - Schleißinger, Sebastian T1 - Embedding Problems in Loewner Theory T1 - Einbettungsprobleme in der Loewner-Theorie N2 - The work at hand studies problems from Loewner theory and is divided into two parts: In part 1 (chapter 2) we present the basic notions of Loewner theory. Here we use a modern form which was developed by F. Bracci, M. Contreras, S. Díaz-Madrigal et al. and which can be applied to certain higher dimensional complex manifolds. We look at two domains in more detail: the Euclidean unit ball and the polydisc. Here we consider two classes of biholomorphic mappings which were introduced by T. Poreda and G. Kohr as generalizations of the class S. We prove a conjecture of G. Kohr about support points of these classes. The proof relies on the observation that the classes describe so called Runge domains, which follows from a result by L. Arosio, F. Bracci and E. F. Wold. Furthermore, we prove a conjecture of G. Kohr about support points of a class of biholomorphic mappings that comes from applying the Roper-Suffridge extension operator to the class S. In part 2 (chapter 3) we consider one special Loewner equation: the chordal multiple-slit equation in the upper half-plane. After describing basic properties of this equation we look at the problem, whether one can choose the coefficient functions in this equation to be constant. D. Prokhorov proved this statement under the assumption that the slits are piecewise analytic. We use a completely different idea to solve the problem in its general form. As the Loewner equation with constant coefficients holds everywhere (and not just almost everywhere), this result generalizes Loewner’s original idea to the multiple-slit case. Moreover, we consider the following problems: • The “simple-curve problem” asks which driving functions describe the growth of simple curves (in contrast to curves that touch itself). We discuss necessary and sufficient conditions, generalize a theorem of J. Lind, D. Marshall and S. Rohde to the multiple-slit equation and we give an example of a set of driving functions which generate simple curves because of a certain self-similarity property. • We discuss properties of driving functions that generate slits which enclose a given angle with the real axis. • A theorem by O. Roth gives an explicit description of the reachable set of one point in the radial Loewner equation. We prove the analog for the chordal equation. N2 - Die vorliegende Arbeit behandelt Problemstellungen aus der Loewner-Theorie und besteht aus zwei Teilen: Im ersten Teil (Kapitel 2) werden zunächst die zentralen Begriffe der Loewner-Theorie vorgestellt. Hierbei wird eine moderne Form verwendet, die von F. Bracci, M. Contreras, S. Díaz-Madrigal et al. entwickelt wurde und auf gewisse mehrdimensionale komplexe Mannigfaltigkeiten anwendbar ist. Im Näheren befassen wir uns dann mit dem euklidischen Einheitsball und dem Polyzylinder. Dabei betrachten wir zwei Klassen von biholomorphen Abbildungen, die von T. Poreda und G. Kohr eingeführt wurden und Verallgemeinerungen der Klasse S darstellen. Es wird eine Vermutung von G. Kohr über Stützpunkte dieser Klassen bewiesen. Der Beweis beruht auf der Beobachtung, dass diese Klassen sogennante Runge-Gebiete beschreiben, was aus einem Satz von L. Arosio, F. Bracci und E. F. Wold folgt. Des Weiteren beweisen wir eine Vermutung von G. Kohr über Stützpunkte einer Klasse von biholomorphen Abbildungen, die durch Anwendung des Roper-Suffridge-Erweiterungsoperators auf die Klasse S entsteht. Der zweite Teil der Arbeit (Kapitel 3) beschränkt sich auf eine spezielle Loewner-Gleichung: die chordale Mehrfachschlitz-Gleichung in der oberen Halbebene. Nach der Beschreibung einiger fundamentalen Eigenschaften wenden wir uns dem Problem zu, ob die Koeffizienten-Funktionen in dieser Gleichung bei einem gegebenen Mehrfachschlitz konstant gewählt werden können. Nachdem D. Prokhorov dieses Problem unter der Annahme, dass die vorgegebenen Schlitze stückweise analytisch sind, lösen konnte, benutzen wir eine grundlegend andere Herangehensweise, um dieses Problem allgemein zu lösen. Da bei konstanten Koeffizienten die Loewnersche Differentialgleichung überall (und nicht nur fast überall) gilt, verallgemeinert dieser Satz Loewners ursprüngliche Idee für den Mehrfachschlitz-Fall. Des Weiteren befassen wir uns mit folgenden Problemen: • Das “einfache-Kurven-Problem” stellt die Frage, welche Driftfunktionen das Wachstum von einfachen Kurven beschreibt (im Gegensatz zu Kurven, die sich selbst berühren). Wir diskutieren notwendige und hinreichende Bedingungen, verallgemeinern einen Satz von J. Lind, D. Marshall und S. Rohde für die Mehrfachschlitz-Gleichung und geben ein Beispiel einer Menge von Driftfunktionen, die einfache Kurven erzeugt, da sie eine gewisse Selbstähnlichkeitseigenschaft besitzt. • Wir diskutieren Eigenschaften von Driftfunktionen, die Schlitze erzeugen, welche mit der die reellen Achse einen festen Winkel einschließen. • Für die chordale Gleichung beweisen wir das Analogon eines Satzes von O. Roth, das die Erreichbarkeitsmenge eines Punktes in der radialen Loewner-Gleichung explizit beschreibt. KW - Loewner-Theorie KW - Loewner theory KW - Biholomorphe Abbildung KW - Differentialgleichung Y1 - 2013 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-96782 ER - TY - JOUR A1 - Stoevesandt, Johanna A1 - Hofmann, Bernd A1 - Hain, Johannes A1 - Kerstan, Andreas A1 - Trautmann, Axel T1 - Single venom-based immunotherapy effectively protects patients with double positive tests to honey bee and Vespula venom JF - Allergy, Asthma & Clinical Immunology N2 - Background Referring to individuals with reactivity to honey bee and Vespula venom in diagnostic tests, the umbrella terms “double sensitization” or “double positivity” cover patients with true clinical double allergy and those allergic to a single venom with asymptomatic sensitization to the other. There is no international consensus on whether immunotherapy regimens should generally include both venoms in double sensitized patients. Objective We investigated the long-term outcome of single venom-based immunotherapy with regard to potential risk factors for treatment failure and specifically compared the risk of relapse in mono sensitized and double sensitized patients. Methods Re-sting data were obtained from 635 patients who had completed at least 3 years of immunotherapy between 1988 and 2008. The adequate venom for immunotherapy was selected using an algorithm based on clinical details and the results of diagnostic tests. Results Of 635 patients, 351 (55.3%) were double sensitized to both venoms. The overall re-exposure rate to Hymenoptera stings during and after immunotherapy was 62.4%; the relapse rate was 7.1% (6.0% in mono sensitized, 7.8% in double sensitized patients). Recurring anaphylaxis was statistically less severe than the index sting reaction (P = 0.004). Double sensitization was not significantly related to relapsing anaphylaxis (P = 0.56), but there was a tendency towards an increased risk of relapse in a subgroup of patients with equal reactivity to both venoms in diagnostic tests (P = 0.15). Conclusions Single venom-based immunotherapy over 3 to 5 years effectively and long-lastingly protects the vast majority of both mono sensitized and double sensitized Hymenoptera venom allergic patients. Double venom immunotherapy is indicated in clinically double allergic patients reporting systemic reactions to stings of both Hymenoptera and in those with equal reactivity to both venoms in diagnostic tests who have not reliably identified the culprit stinging insect. KW - Anaphylaxis KW - Double sensitization KW - Field sting KW - Honey bee KW - Hymenoptera venom KW - Immunotherapy KW - Relapse KW - Risk factor KW - Treatment failure KW - Vespula Y1 - 2013 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-96808 UR - http://www.aacijournal.com/content/9/1/33 ER - TY - JOUR A1 - Freiberg, Florentina Joyce A1 - Matlach, Juliane A1 - Grehn, Franz A1 - Karl, Sabine A1 - Klink, Thomas T1 - Postoperative subconjunctival bevacizumab injection as an adjunct to 5-fluorouracil in the management of scarring after trabeculectomy JF - Clinical Ophthalmology N2 - Purpose: Scarring after glaucoma filtering surgery remains the most frequent cause for bleb failure. The aim of this study was to assess if the postoperative injection of bevacizumab reduces the number of postoperative subconjunctival 5-fluorouracil (5-FU) injections. Further, the effect of bevacizumab as an adjunct to 5-FU on the intraocular pressure (IOP) outcome, bleb morphology, postoperative medications, and complications was evaluated. Methods: Glaucoma patients (N = 61) who underwent trabeculectomy with mitomycin C were analyzed retrospectively (follow-up period of 25 ± 19 months). Surgery was performed exclusively by one experienced glaucoma specialist using a standardized technique. Patients in group 1 received subconjunctival applications of 5-FU postoperatively. Patients in group 2 received 5-FU and subconjunctival injection of bevacizumab. Results: Group 1 had 6.4 ± 3.3 (0–15) (mean ± standard deviation and range, respectively) 5-FU injections. Group 2 had 4.0 ± 2.8 (0–12) (mean ± standard deviation and range, respectively) 5-FU injections. The added injection of bevacizumab significantly reduced the mean number of 5-FU injections by 2.4 ± 3.08 (P ≤ 0.005). There was no significantly lower IOP in group 2 when compared to group 1. A significant reduction in vascularization and in cork screw vessels could be found in both groups (P < 0.0001, 7 days to last 5-FU), yet there was no difference between the two groups at the last follow-up. Postoperative complications were significantly higher for both groups when more 5-FU injections were applied. (P = 0.008). No significant difference in best corrected visual acuity (P = 0.852) and visual field testing (P = 0.610) between preoperative to last follow-up could be found between the two groups. Conclusion: The postoperative injection of bevacizumab reduced the number of subconjunctival 5-FU injections significantly by 2.4 injections. A significant difference in postoperative IOP reduction, bleb morphology, and postoperative medication was not detected. KW - bevacizumab KW - 5-fluorouracil KW - glaucoma KW - trabeculectomy KW - bleb failure KW - bleb scarring Y1 - 2013 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-96546 ER - TY - JOUR A1 - Trautmann, Axel A1 - Seitz, Cornelia S. A1 - Brockow, Knut A1 - Hain, Johannes T1 - Non-steroidal anti-inflammatory drug hypersensitivity: association with elevated basal serum tryptase? N2 - Background It is hypothesized that because of higher mast cell numbers and mediator release, mastocytosis predisposes patients for systemic immediate-type hypersensitivity reactions to certain drugs including non-steroidal anti-inflammatory drugs (NSAID). Objective To clarify whether patients with NSAID hypersensitivity show increased basal serum tryptase levels as sign for underlying mast cell disease. Methods As part of our allergy work-up, basal serum tryptase levels were determined in all patients with a diagnosis of NSAID hypersensitivity and the severity of the reaction was graded. Patients with confirmed IgE-mediated hymenoptera venom allergy served as a comparison group. Results Out of 284 patients with NSAID hypersensitivity, 26 were identified with basal serum tryptase > 10.0 ng/mL (9.2%). In contrast, significantly (P = .004) more hymenoptera venom allergic patients had elevated tryptase > 10.0 ng/mL (83 out of 484; 17.1%). Basal tryptase > 20.0 ng/mL was indicative for severe anaphylaxis only in venom allergic subjects (29 patients; 4x grade 2 and 25x grade 3 anaphylaxis), but not in NSAID hypersensitive patients (6 patients; 4x grade 1, 2x grade 2). Conclusions In contrast to hymenoptera venom allergy, NSAID hypersensitivity do not seem to be associated with elevated basal serum tryptase levels and levels > 20 ng/mL were not related to increased severity of the clinical reaction. This suggests that mastocytosis patients may be treated with NSAID without special precautions. KW - Anaphylaxis KW - Non-steroidal anti-inflammatory drug KW - Mastocytosis KW - Drug allergy KW - Drug reaction KW - Pseudo-allergy Y1 - 2014 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-110399 ER - TY - THES A1 - Reinwand, Simon T1 - Functions of Bounded Variation: Theory, Methods, Applications T1 - Funktionen beschränkter Variation: Theorie, Methoden, Anwendungen N2 - Functions of bounded variation are most important in many fields of mathematics. This thesis investigates spaces of functions of bounded variation with one variable of various types, compares them to other classical function spaces and reveals natural “habitats” of BV-functions. New and almost comprehensive results concerning mapping properties like surjectivity and injectivity, several kinds of continuity and compactness of both linear and nonlinear operators between such spaces are given. A new theory about different types of convergence of sequences of such operators is presented in full detail and applied to a new proof for the continuity of the composition operator in the classical BV-space. The abstract results serve as ingredients to solve Hammerstein and Volterra integral equations using fixed point theory. Many criteria guaranteeing the existence and uniqueness of solutions in BV-type spaces are given and later applied to solve boundary and initial value problems in a nonclassical setting. A big emphasis is put on a clear and detailed discussion. Many pictures and synoptic tables help to visualize and summarize the most important ideas. Over 160 examples and counterexamples illustrate the many abstract results and how delicate some of them are. N2 - Funktionen beschränkter Variation sind in vielen Bereichen der Mathematik besonders wichtig. Diese Dissertation untersucht Räume von Funktionen einer Variable von beschränkter Variation unterschiedlichen Typs, vergleicht sie mit klassischen Funktionenräumen und enthüllt natürliche „Lebensräume“ von BV-Funktionen. Neue und umfassende Ergebnisse über Abbildungseigenschaften wie Surjektivität und Injektivität, verschiedene Arten von Stetigkeit und Kompaktheit von linearen und nichtlinearen Operatoren zwischen solchen Räumen werden präsentiert. Eine neue Theorie über verschiedene Konvergenzarten von solchen Operatoren wird entwickelt und schließlich auf einen neuen Beweis für die Stetigkeit des Kompositionsoperators im klassischen BV-Raum angewendet. Diese abstrakten Ergebnisse dienen als Zutat für die Lösung von Hammerstein- und Volterra-Integralgleichungen mithilfe von Fixpunktsätzen. Diese liefern viele Kriterien, welche die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen garantieren, die sodann auf Anfangs- und Randwertprobleme in einem nichtklassischen Setting angewendet werden. Besonders Augenmerk liegt auf einer klaren und detaillierte Darstellung. Viele Abbildungen und Tabellen helfen, die wichtigsten Ideen zu visualisieren und zusammenzufassen. Über 160 Beispiele und Gegenbeispiele illustrieren die abstrakten Ergebnisse und zeigen deren Grenzen. KW - Funktion von beschränkter Variation KW - Nichtlinearer Operator KW - Integralgleichung KW - Fixpunktsatz KW - Gleichmäßige Konvergenz KW - Mapping Properties KW - Abbildungseigenschaften KW - Functions with Primitive KW - Funktionen mit Stammfunktion KW - Linearer Operator KW - Operatortheorie Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-235153 SN - 9783736974036 PB - Cuvillier-Verlag, Göttingen ER - TY - THES A1 - Nguyen, Danh Nam T1 - Understanding the development of the proving process within a dynamic geometry environment T1 - Das Verständnis der Entwicklung des Beweisprozesses in einem Dynamischen Geometrie System N2 - Argumentation and proof have played a fundamental role in mathematics education in recent years. The author of this dissertation would like to investigate the development of the proving process within a dynamic geometry system in order to support tertiary students understanding the proving process. The strengths of this dynamic system stimulate students to formulate conjectures and produce arguments during the proving process. Through empirical research, we classified different levels of proving and proposed a methodological model for proving. This methodological model makes a contribution to improve students’ levels of proving and develop their dynamic visual thinking. We used Toulmin model of argumentation as a theoretical model to analyze the relationship between argumentation and proof. This research also offers some possible explanation so as to why students have cognitive difficulties in constructing proofs and provides mathematics educators with a deeper understanding on the proving process within a dynamic geometry system. N2 - Argumentation und Beweis haben eine fundamentale Rolle in der Mathematikdidaktik in den letzten Jahren gespielt. Der Autor der vorliegenden Arbeit möchte die Entwicklung des Prozesses beweisen, in einer dynamischen Geometrie-System zu untersuchen, um das Verständnis der Studierenden im Tertiärbereich beweisen Prozess zu unterstützen. Die Stärken dieses dynamische System stimulieren Studierenden Vermutungen zu formulieren und Argumente zu produzieren während des Beweisprozesses. Durch empirische Forschung, klassifiziert wir verschiedene Niveaustufen zu beweisen und schlugen ein methodisches Modell für Beweisprozesse. Dieser methodologische Modell leistet einen Beitrag zur studentischen Niveaustufen des Beweises zu verbessern und entwickeln ihre dynamische-visuelle Denken. Wir verwendeten das Argumentationsmodell von Toulmin als theoretisches Modell, die Beziehung zwischen Argumentation und Beweis zu analysieren. Diese Forschung bietet auch einige mögliche Erklärung dafür, warum so Studierenden haben kognitive Schwierigkeiten bei der Beweis-Konstruktion und liefert Pädagogen mit einem tieferen Verständnis auf der Beweisprozess in einem dynamischen Geometriesystem. KW - Argumentation KW - Beweistheorie KW - Mathematikunterricht KW - Argumentation KW - Proof KW - Proving Level KW - Interactive Help System KW - Dynamic Geometry Environment KW - Niveaustufen des Beweises KW - Toulmin Modell KW - Hilfe-System KW - Dynamische Geometriesysteme Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-71754 ER - TY - JOUR A1 - Schäffner, M. A1 - Schlömerkemper, A. T1 - On Lennard-Jones systems with finite range interactions and their asymptotic analysis JF - Networks and Heterogeneous Media N2 - The aim of this work is to provide further insight into the qualitative behavior of mechanical systems that are well described by Lennard-Jones type interactions on an atomistic scale. By means of Gamma-convergence techniques, we study the continuum limit of one-dimensional chains of atoms with finite range interactions of Lennard-Jones type, including the classical Lennard-Jones potentials. So far, explicit formula for the continuum limit were only available for the case of nearest and next-to-nearest neighbour interactions. In this work, we provide an explicit expression for the continuum limit in the case of finite range interactions. The obtained homogenization formula is given by the convexification of a Cauchy-Born energy density. Furthermore, we study rescaled energies in which bulk and surface contributions scale in the same way. The related discrete-to-continuum limit yields a rigorous derivation of a one-dimensional version of Griffith' fracture energy and thus generalizes earlier derivations for nearest and next-to-nearest neighbors to the case of finite range interactions. A crucial ingredient to our proofs is a novel decomposition of the energy that allows for re fined estimates. KW - Discrete-to-continuum limits KW - atomistic models KW - Gamma-convergence KW - Cauchy-Born rule KW - variational fracture Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-228428 VL - 13 IS - 1 ER - TY - THES A1 - Dirr, Gunther T1 - Differentialgleichungen in Frécheträumen T1 - Differential equations in Fréchet Spaces N2 - Teil 1 der Arbeit beinhaltet eine Zusammenfassung grundlegender funktionalanalytischer Ergebnisse sowie eine Einführung in die Integral- und Differentialrechnung in Frécheträumen. Insbesondere wird in Kapitel 2 eine ausführliche Darstellung des Lebesgue-Bochner-Integrals auf Frécheträumen geliefert. Teil 2 behandelt die Theorie der linearen Differentialgleichungen auf Frécheträumen. Dazu werden in Kapitel 3 stark differenzierbare Halbgruppen und deren infinitesimale Generatoren charakterisiert. In Kapitel 4 werden diese Ergebnisse benutzt, um lineare Evolutionsgleichungen (von hyperbolischem oder parabolischem Typ) zu untersuchen. Teil 3 enthält die zentralen Resultate der Arbeit. In Kapitel 5 werden zwei Existenz- und Eindeutigkeitssätze für nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichungen in zahmen Frécheträumen bewiesen. Kapitel 6 liefert eine Anwendung der Ergebnisse aus Kapitel 5 auf nichtlineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung. N2 - The first part of this thesis gives a summary on some basic results in functional analysis and an introduction to calculus in Fréchet spaces. Particularly, a detailed treatment of the Lebesgue-Bochner integral in Fréchet spaces is developed in chapter 2. Part 2 is devoted to the theory of linear differential equations in Fréchet spaces. Strongly differential semigroups and their infinitesimal generators are characterized in chapter 3. These results are used in chapter 4 to study linear evolution equations (of hyperbolic or parabolic type). The main results of this thesis are contained in part 3. In chapter 5 two existence and uniqueness theorems for nonlinear ordinary differential equations in tame Fréchet spaces are proved. Theses results are applied in chapter 6 to nonlinear partial differential equations of first order. KW - Differentialgleichung KW - Fréchet-Raum KW - gewöhnliche Differentialgleichungen KW - partielle Differentialgleichungen KW - Frécheträume KW - ordinary differential equations KW - partial differential equations KW - Fréchet spaces Y1 - 2001 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-1180417 ER - TY - THES A1 - Dittmann, Ulrich T1 - Coset Types and Tight Subgroups of Almost Completely Decomposable Groups T1 - Nebenklassentypen und tight Untergruppen von fast vollständig zerlegbaren Gruppen N2 - A completely decomposable group is a direct sum of subgroups of the rationals. An almost completely decomposable group is a torsion free abelian group that contains a completely decomposable group as subgroup of finite index. Tight subgroups are maximal subgroups (with respect to set inclusion) among the completely decomposable subgroups of an almost completely decomposable group. In this dissertation we show an extended version of the theorem of Bezout, give a new criterion for the tightness of a completely decomposable subgroup, derive some conditions under which a tight subgroup is regulating and generalize a theorem of Campagna. We give an example of an almost completely decomposable group, all of whose regulating subgroups do not have a quotient with minimal exponent. We show that among the types of elements of a coset modulo a completely decomposable group there exists a unique maximal type and define this type to be -the- coset type. We give criteria for tightness and regulating in term of coset types as well as a representation of the type subgroups using coset types. We introduce the notion of reducible cosets and show their key role for transitions from one completely decomposable subgroup up to another one containing the first one as a proper subgroup. We give an example of a tight, but not regulating subgroup which contains the regulator. We develop the notion of a fully single covered subset of a lattice, show that V-free implies fully single covered, but not necessarily vice versa, and we define an equivalence relation on the set of all finite subsets of a given lattice. We develop some extension of ordinary Hasse diagrams, and apply the lattice theoretic results on the lattice of types and almost completely decomposable groups. N2 - Eine vollständig zerlegbare Gruppe ist eine direkte Summe von Untergruppen der rationalen Zahlen. Eine fast vollständig zerlegbare Gruppe ist eine torsionsfreie abelsche Gruppe, die eine vollständig zerlegbare Gruppe als Untergruppe von endlichem Index enthält. Tight Untergruppen sind bezüglich Mengeninklusion maximale Elemente der Menge der vollständig zerlegbaren Untergruppen einer fast vollständig zerlegbaren Gruppe. In dieser Dissertation zeigen wir eine erweiterte Version des Satzes von Bezout, geben ein neues Kriterium an, mit dem festgestellt werden kann, ob eine Untergruppe tight ist, leiten daraus einige Bedingungen ab, unter denen eine tight Untergruppe regulierend ist, und verallgemeinern einen Satz von Campagna. Wir geben ein Beispiel einer fast vollständig zerlegbaren Gruppe an, deren sämtliche regulierende Untergruppen nicht minimalen Exponenten des Quotienten haben. Wir zeigen, daß unter den Typen der Elemente einer Nebenklasse modulo einer vollständig zerlegbaren Gruppe ein eindeutig definierter maximaler Typ existiert und nennen diesen Typen -den- Nebenklassentypen. Wir geben Kriterien für tight und regulierend mit Hilfe von Nebenklassentypen, sowie eine Darstellung der Typenuntergruppen. Wir führen den Begriff der reduziblen Nebenklassen ein und zeigen die Schlüsselrolle, die diese beim Übergang von einer vollständig zerlegbaren Untergruppe zu einer anderen, die die erste enthält, haben. Wir geben ein Beispiel einer tight Untergruppe an, die nicht regulierend ist, aber den Regulator enthält. Wir führen den Begriff einer "fully single covered" Untermenge eines Verbandes ein, zeigen daß V-frei "fully single covered" impliziert, aber nicht umgekehrt, und definieren eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller endlichen Untermengen eines Verbandes. Wir entwickeln eine Erweiterung der üblichen Hasse Diagramme und wenden die verbandstheoretischen Ergebnisse auf die Typenmenge fast vollständig zerlegbarer Gruppen an. KW - Torsionsfreie Abelsche Gruppe KW - Untergruppe KW - Restklasse KW - Regulator KW - fast vollständig zerlegbare Gruppe KW - tight KW - regulierend KW - Regulator KW - almost completely decomposable group KW - tight KW - regulating KW - regulator Y1 - 2001 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-2762 ER - TY - THES A1 - Keilbach, Rupert T1 - Minimalflächen und Björlingsches Problem in der Relativgeometrie T1 - Minimal surfaces and Björling's problem in relative geometry N2 - In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit Themen aus der affinen Hyperflächentheorie. Nachdem wir die euklidische Normale, die Blaschkesche Affinnormale, eine gewisse Einparameterfamilie von Relativnormalen und die zentroaffine Normale besprochen und eine neue Einparameterfamilie von Relativnormalen definiert haben, behandeln wir die folgenden drei Schwerpunkte: Zuerst befassen wir uns mit Minimalflächen bezüglich verschiedener Volumina und der Rolle der jeweiligen Mittleren Krümmung. Wir berechnen die erste und zweite Variation der Volumina, die von den Normalen der erwähnten Familien induziert werden. Hierbei stellen wir fest, daß die Mittlere Krümmung nicht immer das Verschwinden der ersten Variation des Volumens anzeigt. Anschließend übertragen wir die Begriffe Adjungierte und Assoziierte bei euklidischen Minimalflächen auf Affinminimalflächen: Analog zum euklidischen Fall kann man die Konormale einer Affinminimalfläche durch bestimmte ,,harmonische'' Abbildungen darstellen. Wir geben eine Methode an, wie man aus einer gegebenen Affinminimalfläche weitere gewinnt, indem man diese Abbildungen entsprechend modifiziert. Schließlich lösen wir eine Verallgemeinerung des Björlingschen Problems für Normalen der oben erwähnten Familien: Bei Vorgabe einer Kurve mit zwei Vektorfeldern und der Art der Normalisierung existiert - mit Ausnahmen - je genau eine elliptische und eine hyperbolische Fläche in (pseudo-)isothermen Parametern mit folgenden Eigenschaften: Die Kurve ist eine Parameterlinie, die Normale längs der Kurve stimmt mit dem einen Vektorfeld überein, die Konormale mit dem anderen und die Mittlere und Gaußsche Krümmung erfüllen eine vorgegebene Bedingung. N2 - In this paper we deal with topics of the theory of affine hypersurfaces. After having discussed the euclidean normal, the Blaschke affine normal, a certain one-parameter family of relative normals, and the centroaffine normal and having defined a new one-parameter family of relative normals we treat the following three main subjects: First we examine minimal surfaces relative to different volumes and the influence of the respective mean curvature. We compute the first and second variation of the volumes induced by the normals of the mentioned families. With this we state that the mean curvature does not indicate allways the vanishing of the first variation of the volume. Subsequently we extend the terms adjoint and associated surfaces from euclidean minimal surfaces to affine minimal surfaces: In a similar way as in the euclidean case one can represent the conormal of an affine minimal surface by certain ''harmonic'' mappings. We present a method how to obtain from a given affine minimal surface other ones by modifying these mappings accordingly. Finally we solve a generalization of Björling' s problem for normals of the families mentioned above: Given a curve with two vector fields and the kind of the normalisation there exists - with exceptions - both a unique elliptic and a unique hyperbolic surface in (pseudo-)isothermic parameters with the following properties: The curve is a parameter line, the normal along the curve corresponds with one of the vector fields, the conormal with the other one, and the mean and Gaussian curvature satisfy a given condition. KW - Minimalfläche KW - Relativnormale KW - Relativnormale KW - Affinnormal KW - euklidische Normale KW - zentroaffine Normale KW - Volumen KW - Affinminimalfläche KW - Minimalfläche KW - Mittlere Krümmung KW - relative normal KW - affine normal KW - euclidean normal KW - centroaffine normal KW - volume KW - affine minimal surface KW - minimal surface KW - mean curvature Y1 - 2000 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-2782 ER - TY - THES A1 - Keßler, Manuel T1 - Die Ladyzhenskaya-Konstante in der numerischen Behandlung von Strömungsproblemen T1 - Ladyzhenskaya's Constant in the Numerical Treatment of Fluid Flow Problems N2 - Charakteristisch für die Lösbarkeit von elliptischen partiellen Differentialgleichungssystemen mit Nebenbedingungen ist das Auftreten einer inf-sup-Bedingung. Im prototypischen Fall der Stokes-Gleichungen ist diese auch als Ladyzhenskaya-Bedingung bekannt. Die Gültigkeit dieser Bedingung, bzw. die Existenz der zugehörigen Konstante ist eine Eigenschaft des Gebietes, innerhalb dessen die Differentialgleichung gelöst werden soll. Während die Existenz schon die Lösbarkeit garantiert, ist beispielsweise für Fehleraussagen bei der numerischen Approximation auch die Größe der Konstanten sehr wichtig. Insbesondere auch deshalb, weil eine ähnliche inf-sup-Bedingung auch bei der Diskretisierung mittel Finiter-Elemente-Methoden auftaucht, die hier Babuska-Brezzi-Bedingung heißt. Die Arbeit befaßt sich auf der einen Seite mit einer analytischen Abschätzung der Ladyzhenskaya-Konstante für verschiedene Gebiete, wobei Äquivalenzen mit verwandten Problemen aus der komplexen Analysis (Friedrichs-Ungleichung) und der Strukturmechanik (Kornsche Ungleichung) benutzt werden. Ein weiterer Teil befaßt sich mit dem Zusammenhang zwischen kontinuierlicher Ladyzhenskaya- Konstante und diskreter Babuska-Brezzi-Konstante. Die dabei gefundenen Ergebnisse werden mit Hilfe eines dazu entwickelten leistungsfähigen Finite-Elemente-Programmsystems numerisch verifiziert. Damit können erstmals genaue Abschätzungen der Konstanten in zwei und drei Dimensionen gefunden werden. Aufbauend auf diesen Resultaten wird ein schneller Lösungsalgorithmus für die Stokes-Gleichungen vorgeschlagen und anhand von problematischen Gebieten dessen Überlegenheit gegenüber klassischen Verfahren wie beispielsweise der Uzawa-Iteration demonstriert. Während selbst bei einfachen Geometrien eine Konvergenzbeschleunigung um einen Faktor 5 erwartet werden kann, sind in kritischen Fällen Faktoren bis zu 1000 möglich. N2 - Characteristic for the existence and uniqueness of solutions of elliptic partial differential equation systems with constraints is the occurence of an inf-sup condition. For the typical example of Stokes's equations this is known as Ladyzhenskaya's condition. The validity of this condition or the existence of the corresponding constant is a property of the solution domain under consideration. While simple existence is sufficient for existence and uniqueness of a solution, the size of the constant is also of great interest, for example for error estimation of numerical approximations. An equivalent inf-sup condition is known for finite element discretisations of Stokes's equations. In this context it is called Babuska-Brezzi condition. This thesis is partly concerned with analytical estimates for the size of Ladyzhenskaya's constant. Since the problem is equivalent with another one from complex analysis (Friedrichs's inequality) and one from structural mechanics (Korn's equation), simpler techniques valid for those equations are used for the analysis of the present case. Another topic is the correspondence between the continous condition of Ladyzhenskaya and the discrete one of Babuska-Brezzi. The analytical findings are numerically verified by computations with a specially developed finite element system. For the first time precise estimates for the constants in two and three dimensions may be found. Using these results a fast solution algorithm for Stokes's equations is proposed. On some problematic domains it is demonstrated that the new algorithm is far superior to classic algorithms like Uzawa's iteration. While for simple geometries convergence is sped up by a factor of 5, in critical situations even a 1000 times faster convergence is possible. KW - Stokes-Gleichung KW - Stabilität KW - Finite-Elemente-Methode KW - Ladyzhenskaya Konstante KW - Babuska Brezzi Bedingung KW - Stokes Gleichung KW - Finite Elemente Methode KW - Uzawa Verfahren KW - Spektraltheorie KW - Eigenwert KW - Ladyzhenskaya constant KW - Babuska Brezzi condition KW - Stokes equation KW - finite element method KW - Uzawa iteration KW - spectral theory Y1 - 2000 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-2791 ER - TY - THES A1 - Nahler, Michael T1 - Isomorphism classes of almost completely decomposable groups T1 - Isomorphieklassen fast vollständig zerlegbarer Gruppen N2 - In this thesis we investigate near-isomorphism classes and isomorphism classes of almost completely decomposable groups. In Chapter 2 we introduce the concept of almost completely decomposable groups and sum up their most important facts. A local group is an almost completely decomposable group with a primary regulator quotient. A uniform group is a rigid local group with a homocyclic regulator quotient. In Chapter 3 a weakening of isomorphism, called type-isomorphism, appears. It is shown that type-isomorphism agrees with Lady's near-isomorphism. By the Main Decomposition Theorem and the Primary Reduction Theorem we are allowed to restrict ourselves on clipped local groups, namely groups without a direct rank-one summand. In Chapter 4 we collect facts of matrices over commutative rings with an identity element. Matrices over the local ring (Z / p^e Z) of residue classes of the rational integers modulo a prime power play an important role. In Chapter 5 we introduce representing matrices of finite essential extensions. Here a normal form for local groups is found by the Gauß algorithm. Uniform groups have representing matrices in Hermite normal form. The classification problems for almost completely decomposable groups up to isomorphism and up to near-isomorphism can be rephrased as equivalence problems for the representing matrices. In Chapter 6 we derive a criterion for the representing matrices of local groups in Gauß normal form. In Chapter 7 we formulate the matrix criterion for uniform groups. Two representing matrices in Hermite normal form describe isomorphic groups if and only if the rest blocks of the representing matrices are T-diagonally equivalent. Starting from a fixed near-isomorphism class in Chapter 8 we investigate isomorphism classes of uniform groups. We count groups and isomorphism classes. In Chapter 9 we specialize on uniform groups of rank 2r with a regulator quotient of rank r such that the rest block of the representing matrix is invertible and normed. N2 - In dieser Dissertation untersuchen wir Near-Isomorphieklassen und Isomorphieklassen von fast vollständig zerlegbaren Gruppen. In Kapitel 2 führen wir den Begriff von fast vollständig zerlegbaren Gruppen ein und fassen ihre wichtigsten Eigenschaften zusammen. Eine lokale Gruppe ist eine fast vollständig zerlegbaren Gruppe mit einem primären Regulatorquotienten. Eine uniforme Gruppe ist eine rigid lokale Gruppe mit einem homozyklischen Regulatorquotienten. In Kapitel 3 erscheint eine Abschwächung von Isomorphie, genannt Typ-Isomorphie. Es wurde gezeigt, dass Typ-Isomorphie mit der Near-Isomorphie von Lady übereinstimmt. Wegen des Hauptzerlegungssatzes und des primären Reduktionssatzes können wir uns auf clipped lokale Gruppen beschränken, also Gruppen ohne direkten Rang-eins Summanden. In Kapitel 4 sammeln wir Eigenschaften von Matrizen über kommutativen Ringen mit Eins. Matrizen über dem lokalen Ring (Z / p^e Z) von Restklassen modulo einer Primzahlpotenz spielen eine wichtige Rolle. In Kapitel 5 führen wir Darstellungsmatrizen von endlichen wesentlichen Erweiterungen ein. Hier wird eine Normalform für lokale Gruppen mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus gefunden. Uniforme Gruppen haben eine Darstellungsmatix in Hermite Normalform. Die Klassifikationsprobleme von fast vollständig zerlegbaren Gruppen bis auf Isomorphie und bis auf Near-Isomorphie können als Äquivalenzprobleme für die Darstellungsmatrizen umformuliert werden. In Kapitel 6 leiten wir ein Kriterium ab für die Darstellungsmatrizen von lokalen Gruppen in Gaußscher Normalform. In Kaptel 7 formulieren wir das Matrixkriterium für uniforme Gruppen. Zwei Darstellungsmatrizen in Hermite Normalform beschreiben genau dann isomorphe Gruppen, wenn die Restblöcke ihrer Darstellungsmatrizen T-diagonal äquivalent sind. Ausgehend von einer festgehaltenen Near-Isomorphieklasse untersuchen wir Isomorphieklassen von uniformen Gruppen in Kapitel 8. Wir zählen Gruppen und Isomorphieklassen. In Kapitel 9 spezialisieren wir uns auf uniforme Gruppen vom Rang 2r und mit einem Regulatorquotienten vom Rang r, so dass der Restblock der Darstellungsmatrix invertierbar und normiert ist. KW - Fast vollständig zerlegbare Gruppe KW - Isomorphieklasse KW - Darstellungsmatrix KW - fast vollständig zerlegbare Gruppe KW - isomorph KW - near-isomorph KW - Isomorphie KW - Near-Isomorphie KW - Darstellungsmatrix KW - almost completely decomosable group KW - isomorphic KW - near-isomorphic KW - isomorpism KW - near-isomorphism KW - representing matrix Y1 - 2001 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-2817 ER - TY - THES A1 - Kramer, Helmut T1 - Inzidenzmatrizen endlicher projektiver Ebenen T1 - Incidence matrices of finite projective planes N2 - Ziel dieser Arbeit ist eine computerunterstützte Suche nach, bis auf Isomorphie, allen projektiven Ebenen zu einer gegebenen Ordnung durch Berechnung ihrer Inzidenzmatrix. Dies gelingt durch geeignete Vorstrukturierung der Matrix mit Hilfe der Doppelordnung bis Ordnung 9 auf einem aktuellen PC. In diesem Zusammenhang ist insbesondere durch einen genügend schnellen Algorithmus das Problem zu lösen, ob zwei Inzidenzmatrizen zu derselben projektiven Ebene gehören. Die besondere Struktur, die die berechneten Beispiele von doppelgeordneten Inzidenzmatrizen der desarguesschen Ebenen aufzeigen, wird zudem durch theoretische Überlegungen untermauert. In einem letzten Kapitel wird noch eine Verbindung der projektiven Ebenen zu besonderen Blockplänen geschaffen. N2 - In this dissertation we go on a computer search for all finite projective planes of a certain order by calculating its incidence matrix. By double ordering of the matrix we can handle this problem up to order 9 on an ordinary PC. In this context we have to solve the problem, whether two incidence matrices are from the same plane, by creating a sufficient fast algorithm. Furthermore we clarify the pretty symmetry of the computed double ordered incidence matrices of the desarguan planes even by theoretical approach. In the last chapter we study a connection between the projective planes and a special kind of block designs. KW - Projektive Ebene KW - Matrix KW - Berechnung KW - Geometrie KW - projektive Ebene KW - Inzidenzmatrix KW - Blockplan KW - Kombinatorik KW - geometry KW - projective plane KW - incidence matrix KW - block design KW - combinatorial theory Y1 - 2004 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-11215 ER - TY - THES A1 - Flegel, Michael L. T1 - Constraint qualifications and stationarity concepts for mathematical programs with equilibrium constraints T1 - Regularitätsbedingungen und Stationaritätskonzepte für Mathematische Programme mit Gleichgewichtsnebenbedingungen N2 - An exhaustive discussion of constraint qualifications (CQ) and stationarity concepts for mathematical programs with equilibrium constraints (MPEC) is presented. It is demonstrated that all but the weakest CQ, Guignard CQ, are too strong for a discussion of MPECs. Therefore, MPEC variants of all the standard CQs are introduced and investigated. A strongly stationary point (which is simply a KKT-point) is seen to be a necessary first order optimality condition only under the strongest CQs, MPEC-LICQ, MPEC-SMFCQ and Guignard CQ. Therefore a whole set of KKT-type conditions is investigated. A simple approach is given to acquire A-stationarity to be a necessary first order condition under MPEC-Guiganrd CQ. Finally, a whole chapter is devoted to investigating M-stationary, among the strongest stationarity concepts, second only to strong stationarity. It is shown to be a necessary first order condition under MPEC-Guignard CQ, the weakest known CQ for MPECs. KW - Nichtlineare Optimierung KW - MPEC KW - MPCC KW - M-Stationär KW - Guignard CQ KW - MPEC KW - MPCC KW - M-stationarity KW - Guignard CQ Y1 - 2005 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-12453 ER - TY - BOOK A1 - Falk, Michael A1 - Marohn, Frank A1 - Michel, René A1 - Hofmann, Daniel A1 - Macke, Maria A1 - Tewes, Bernward A1 - Dinges, Peter T1 - A First Course on Time Series Analysis : Examples with SAS N2 - The analysis of real data by means of statistical methods with the aid of a software package common in industry and administration usually is not an integral part of mathematics studies, but it will certainly be part of a future professional work. The present book links up elements from time series analysis with a selection of statistical procedures used in general practice including the statistical software package SAS Statistical Analysis System). Consequently this book addresses students of statistics as well as students of other branches such as economics, demography and engineering, where lectures on statistics belong to their academic training. But it is also intended for the practician who, beyond the use of statistical tools, is interested in their mathematical background. Numerous problems illustrate the applicability of the presented statistical procedures, where SAS gives the solutions. The programs used are explicitly listed and explained. No previous experience is expected neither in SAS nor in a special computer system so that a short training period is guaranteed. This book is meant for a two semester course (lecture, seminar or practical training) where the first two chapters can be dealt with in the first semester. They provide the principal components of the analysis of a time series in the time domain. Chapters 3, 4 and 5 deal with its analysis in the frequency domain and can be worked through in the second term. In order to understand the mathematical background some terms are useful such as convergence in distribution, stochastic convergence, maximum likelihood estimator as well as a basic knowledge of the test theory, so that work on the book can start after an introductory lecture on stochastics. Each chapter includes exercises. An exhaustive treatment is recommended. This book is consecutively subdivided in a statistical part and an SAS-specific part. For better clearness the SAS-specific part, including the diagrams generated with SAS, always starts with a computer symbol, representing the beginning of a session at the computer, and ends with a printer symbol for the end of this session. This book is an open source project under the GNU Free Documentation License. KW - Zeitreihenanalyse KW - SAS KW - Zeitreihenanalyse KW - SAS KW - Time series analyses KW - SAS Y1 - 2005 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-12593 ER - TY - THES A1 - Trumpf, Jochen T1 - On the geometry and parametrization of almost invariant subspaces and observer theory T1 - Über die Geometrie und Parametrisierung von fast invarianten Unterräumen und Beobachtertheorie N2 - In my Ph.D. thesis "On the geometry and parametrization of almost invariant subspaces and observer theory" I consider the set of almost conditioned invariant subspaces of fixed dimension for a given fixed linear finite-dimensional time-invariant observable control system in state space form. Almost conditioned invariant subspaces were introduced by Willems. They generalize the concept of a conditioned invariant subspace requiring the invariance condition to hold only up to an arbitrarily small deviation in the metric of the state space. One of the goals of the theory of almost conditioned invariant subspaces was to identify the subspaces appearing as limits of sequences of conditioned invariant subspaces. An example due to {\"O}zveren, Verghese and Willsky, however, shows that the set of almost conditioned invariant subspaces is not big enough. I address this question in a joint paper with Helmke and Fuhrmann (Towards a compactification of the set of conditioned invariant subspaces, Systems and Control Letters, 48(2):101-111, 2003). Antoulas derived a description of conditioned invariant subspaces as kernels of permuted and truncated reachability matrices of controllable pairs of the appropriate size. This description was used by Helmke and Fuhrmann to construct a diffeomorphism from the set of similarity classes of certain controllable pairs onto the set of tight conditioned invariant subspaces. In my thesis I generalize this result to almost conditioned invariant subspaces describing them in terms of restricted system equivalence classes of controllable triples. Furthermore, I identify the controllable pairs appearing in the kernel representations of conditioned invariant subspaces as being induced by corestrictions of the original system to the subspace. Conditioned invariant subspaces are known to be closely related to partial observers. In fact, a tracking observer for a linear function of the state of the observed system exists if and only if the kernel of that function is conditioned invariant. In my thesis I show that the system matrices of the observers are in fact the corestrictions of the observed system to the kernels of the observed functions. They in turn are closely related to partial realizations. Exploring this connection further, I prove that the set of tracking observer parameters of fixed size, i.e. tracking observers of fixed order together with the functions they are tracking, is a smooth manifold. Furthermore, I construct a vector bundle structure for the set of conditioned invariant subspaces of fixed dimension together with their friends, i.e. the output injections making the subspaces invariant, over that manifold. Willems and Trentelman generalized the concept of a tracking observer by including derivatives of the output of the observed system in the observer equations (PID-observers). They showed that a PID-observer for a linear function of the state of the observed system exists if and only if the kernel of that function is almost conditioned invariant. In my thesis I replace PID-observers by singular systems, which has the advantage that the system matrices of the observers coincide with the matrices appearing in the kernel representations of the subspaces. In a second approach to the parametrization of conditioned invariant subspaces Hinrichsen, M{\"u}nzner and Pr{\"a}tzel-Wolters, Fuhrmann and Helmke and Ferrer, F. Puerta, X. Puerta and Zaballa derived a description of conditioned invariant subspaces in terms of images of block Toeplitz type matrices. They used this description to construct a stratification of the set of conditioned invariant subspaces of fixed dimension into smooth manifolds. These so called Brunovsky strata consist of all the subspaces with fixed restriction indices. They constructed a cell decomposition of the Brunovsky strata into so called Kronecker cells. In my thesis I show that in the tight case this cell decomposition is induced by a Bruhat decomposition of a generalized flag manifold. I identify the adherence order of the cell decomposition as being induced by the reverse Bruhat order. N2 - In meiner Doktorarbeit "On the geometry and parametrization of almost invariant subspaces and observer theory" betrachte ich die Menge der fast (C,A)-invarianten Unterräume fester Dimension zu einem vorgegebenen linearen endlichdimensionalen zeitinvarianten beobachtbaren Kontrollsystem in Zustandsraumdarstellung. Der Begriff der fast (C,A)-invarianten Unterräume geht auf Willems zurück. Er verallgemeinert das Konzept eines (C,A)-invarianten Unterraums dahingehend, daß die Invarianzeigenschaft nur bis auf eine beliebig kleine Abweichung in der Metrik des Zustandsraumes erfüllt sein muß. Eines der Ziele der Theorie der fast (C,A)-invarianten Unterräume war es, diejenigen Unterräume zu charakterisieren, die als Grenzwerte von Folgen (C,A)-invarianter Unterräume auftreten. Özveren, Verghese und Willsky haben jedoch ein Beispiel angegeben, das zeigt, daß die Menge der fast (C,A)-invarianten Unterräume hierfür nicht groß genug ist. Auf diese Problematik gehe ich in einer gemeinsamen Arbeit mit U. Helmke und P.A. Fuhrmann (Towards a compactification of the set of conditioned invariant subspaces, Systems and Control Letters, 48(2):101-111, 2003) ein, die nicht Teil meiner Dissertation ist. Antoulas hat eine Beschreibung von (C,A)-invarianten Unterräumen als Kerne von permutierten und abgeschnittenen Erreichbarkeitsmatrizen geeigneter Größe angegeben. Diese Beschreibung benutzen Fuhrmann und Helmke um einen Diffeomorphismus von der Menge der Ähnlichkeitsklassen bestimmter kontrollierbarer Matrizenpaare auf die Menge der "tight" (C,A)-invarianten Unterräume zu konstruieren. In meiner Dissertation verallgemeinere ich dieses Resultat auf fast (C,A)-invariante Unterräume, indem ich sie mit Hilfe von "restricted system equivalence"-Klassen kontrollierbarer Matrizentripel darstelle. Darüberhinaus identifiziere ich die kontrollierbaren Matrizenpaare, die in der Kerndarstellung (C,A)-invarianter Unterräume auftreten, als Korestriktionen des ursprünglichen Systems auf den jeweiligen Unterraum. Es besteht eine enge Verbindung zwischen (C,A)-invarianten Unterräumen und partiellen Beobachtern. In der Tat existiert ein "tracking" Beobachter für eine lineare Funktion des Zustandes des beobachteten Systems genau dann, wenn der Kern dieser Funktion (C,A)-invariant ist. In meiner Dissertation zeige ich, daß die Systemmatrizen der Beobachter mit den Korestriktionen des beobachteten Systems auf die Kerne der beobachteten Funktionen übereinstimmen. Diese wiederum stehen in enger Beziehung zu partiellen Realisierungen. Weiter beweise ich, daß die Menge der "tracking" Beobachter-Parameter fester Größe, das heißt der "tracking" Beobachter fester Ordnung zusammen mit den beobachteten Funktionen, eine glatte Mannigfaltigkeitsstruktur trägt. Ich konstruiere eine Vektorbündelstruktur auf der Menge der (C,A)-invarianten Unterräume fester Dimension zusammen mit ihren "Freunden", das heißt den "output injections", welche den jeweiligen Unterraum invariant machen, wobei die Beobachtermannigfaltigkeit als Basisraum dient. Willems und Trentelman haben das Konzept eines "tracking" Beobachter verallgemeinert, indem sie auch Ableitungen des Ausgangs des beobachteten Systems in die Beobachtergleichungen aufnahmen (PID-Beobachter). Sie haben gezeigt, daß ein PID-Beobachter für eine lineare Funktion des Zustands des beobachteten Systems genau dann existiert, wenn der Kern dieser Funktion fast (C,A)-invariant ist. In meiner Dissertation ersetze ich die PID-Beobachter durch singuläre Systeme, was den Vorteil hat, daß die Systemmatrizen des Beobachters mit den Matrizen übereinstimmen, die in der Kerndarstellung des Unterraums auftauchen. (C,A)-invariante Unterräume lassen sich auch als Bildräume von Block-Toeplitz-Matrizen beschreiben. Hinrichsen, Münzner und Prätzel-Wolters, Fuhrmann und Helmke, und Ferrer, F. Puerta, X. Puerta und Zaballa benutzen diesen Zugang, um eine Stratifizierung der Menge der (C,A)-invarianten Unterräume fester Dimension in glatte Mannigfaltigkeiten zu konstruieren. Diese sogenannten Brunovsky-Strata bestehen aus all den Unterräumen, für die die Einschränkung des Systems auf den Unterraum jeweils vorgegebene Beobachtbarkeitsindizes hat. Obige Autoren konstruieren auch eine Zellzerlegung der Brunovsky-Strata in sogenannte Kronecker-Zellen. In meiner Dissertation zeige ich, daß im "tight" Fall diese Zellzerlegung von einer Bruhat-Zerlegung einer verallgemeinerten Fahnenmannigfaltigkeit induziert wird. Ich identifiziere die Adhärenzordnung der Zellzerlegung als inverse Bruhat-Ordnung. KW - Invarianter Unterraum KW - Kontrollsystem KW - geometrische Kontrolltheorie KW - Parametrisierung KW - Unterräume KW - Beobachter KW - geometric control KW - parametrization KW - subspaces KW - observer Y1 - 2002 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-5034 ER - TY - THES A1 - Vodopivec, Andrija T1 - Quasibasen abelscher, nichtseparabler p-Gruppen T1 - Quasibases of abelian, non-separable p-groups N2 - In dieser Arbeit wird der Bau der (abzählbaren) abelschen p-Gruppen untersucht, durch die Betrachtung der dazugehörigen Quasibasen, die als bestimmte erzeugende Systeme der gegebenen p-Gruppe definiert sind. Die Untersuchung wird insbesondere auf die nichtseparablen p-Gruppen und ihre induktiven Quasibasen bezogen. N2 - We describe (countable) p-groups by their relations relative to a quasibasis. In particular, non-separable p-groups will be examined. KW - Abelsche p-Gruppe KW - Quasibasis KW - Ulm-Kaplansky Invarianten KW - p-Gruppen KW - Quasibases KW - Ulm-Kaplansky invariants KW - p-groups Y1 - 2005 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-15359 ER - TY - THES A1 - Forster, Johannes T1 - Mathematical Modeling of Complex Fluids N2 - This thesis gives an overview over mathematical modeling of complex fluids with the discussion of underlying mechanical principles, the introduction of the energetic variational framework, and examples and applications. The purpose is to present a formal energetic variational treatment of energies corresponding to the models of physical phenomena and to derive PDEs for the complex fluid systems. The advantages of this approach over force-based modeling are, e.g., that for complex systems energy terms can be established in a relatively easy way, that force components within a system are not counted twice, and that this approach can naturally combine effects on different scales. We follow a lecture of Professor Dr. Chun Liu from Penn State University, USA, on complex fluids which he gave at the University of Wuerzburg during his Giovanni Prodi professorship in summer 2012. We elaborate on this lecture and consider also parts of his work and publications, and substantially extend the lecture by own calculations and arguments (for papers including an overview over the energetic variational treatment see [HKL10], [Liu11] and references therein). N2 - Die vorliegende Masterarbeit beschaeftigt sich mit der mathematischen Modellierung komplexer Fluessigkeiten. Nach einer Einfuehrung in das Thema der komplexen Fluessigkeiten werden grundlegende mechanische Prinzipien im zweiten Kapitel vorgestellt. Im Anschluss steht eine Einfuehrung in die Modellierung mit Hilfe von Energien und eines variationellen Ansatzes. Dieser wird im vierten Kapitel auf konkrete Beispiele komplexer Fluessigkeiten angewendet. Dabei werden zunaechst viskoelastische Materialien (z.B. Muskelmasse) angefuehrt und ein Modell fuer solche beschrieben, bei dem Eigenschaften von Festkoerpern und Fluessigkeiten miteinander kombiniert werden. Anschliessend untersuchen wir den Ursprung solcher Eigenschaften und die Auswirkungen von bestimmten Molekuelstrukturen auf das Verhalten der umgebenden Fluessigkeit. Dabei betrachten wir zunaechst ein Mehrskalen-Modell fuer Polymerfluessigkeiten und damit eine Kopplung mikroskopischer und makroskopischer Groessen. In einem dritten Beispiel beschaeftigen wir uns dann mit einem Model fuer nematische Fluessigkristalle, die in technischen Bereichen, wie beispielsweise der Displaytechnik, Anwendung finden. Geschlossen wird mit einem Ausblick auf weitere Anwendungsgebiete und mathematische Probleme. Wir folgen einer Vorlesung von Professor Dr. Chun Liu von der Penn State University, USA, die er im Sommer 2012 im Rahmen einer Giovanni-Prodi Gastprofessur an der Universitaet Wuerzburg ueber komplexe Fluessigkeiten gehalten hat. Bei der Ausarbeitung werden ebenfalls Teile seiner Veroeffentlichungen aufgegriffen und die Vorlesung durch eigene Rechnungen und Argumentationsschritte deutlich erweitert. KW - Variationsrechnung KW - Mathematische Modellierung KW - Kontinuumsmechanik KW - Inkompressibilität KW - Elastizität KW - Deformation KW - Festkörper KW - Flüssigkeit KW - Deformationsgradient KW - Newtonsches Kräftegleichgewicht KW - Komplexe Flüssigkeiten KW - Complex Fluids KW - Least Action Principle KW - Maximum Dissipation Principle KW - Modeling KW - Incompressibility Y1 - 2013 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-83533 ER - TY - THES A1 - Klug, Andreas T1 - Affine-Scaling Methods for Nonlinear Minimization Problems and Nonlinear Systems of Equations with Bound Constraints T1 - Affine Skalierungsverfahren für nichtlineare Optimierungsaufgaben und nichtlineare Gleichungssyteme mit Box-Restriktionen N2 - In this thesis affine-scaling-methods for two different types of mathematical problems are considered. The first type of problems are nonlinear optimization problems subject to bound constraints. A class of new affine-scaling Newton-type methods is introduced. The methods are shown to be locally quadratically convergent without assuming strict complementarity of the solution. The new methods differ from previous ones mainly in the choice of the scaling matrix. The second type of problems are semismooth system of equations with bound constraints. A new affine-scaling trust-region method for these problems is developed. The method is shown to have strong global and local convergence properties under suitable assumptions. Numerical results are presented for a number of problems arising from different areas. N2 - In dieser Arbeit werden affine Skalierungsverfahren fuer zwei verschiedene mathematische Problemstellungen untersucht. Der erste Problemtyp sind nichtlineare Optimierungsaufgaben mit Box-Restriktionen. Hierfuer wird eine neue Klasse von affinen Skalierungsverfahren eingefuehrt. Fuer diese Verfahren kann lokale quadratische Konvergenz ohne eine strikte Komplementaritaetsannahme bewiesen werde. Die neuen Methoden unterscheiden sich von den bisherigen durch die Wahl der Skalierungsmatrix. Probleme vom zweiten Typ sind semismoothe nichtlineare Gleichungssysteme mit Box-Restriktionen. Ein neues affine Skalierungs Trust-Region-Verfahren fuer diese Probleme wird vorgestellt. Das Verfahren besitzt starke globale und lokale Konvergenzeigenschaften unter ueblichen Voraussetzungen. Fuer eine Vielzahl von Problemstellungen werden numerische Ergebnisse beschrieben. KW - Skalierungsfunktion KW - Optimierung KW - Optimierung KW - Gleichungssysteme KW - Box-Restriktionen KW - Affine Skalierungsverfahren KW - optimization KW - nonlinear systems KW - bound constraints KW - affine scaling methods Y1 - 2006 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-18851 ER - TY - THES A1 - Michel, René T1 - Simulation and Estimation in Multivariate Generalized Pareto Models T1 - Simulationen und Schätzverfahren in multivariaten verallgemeinerten Pareto-Modellen N2 - The investigation of multivariate generalized Pareto distributions (GPDs) in the framework of extreme value theory has begun only lately. Recent results show that they can, as in the univariate case, be used in Peaks over Threshold approaches. In this manuscript we investigate the definition of GPDs from Section 5.1 of Falk et al. (2004), which does not differ in the area of interest from those of other authors. We first show some theoretical properties and introduce important examples of GPDs. For the further investigation of these distributions simulation methods are an important part. We describe several methods of simulating GPDs, beginning with an efficient method for the logistic GPD. This algorithm is based on the Shi transformation, which was introduced by Shi (1995) and was used in Stephenson (2003) for the simulation of multivariate extreme value distributions of logistic type. We also present nonparametric and parametric estimation methods in GPD models. We estimate the angular density nonparametrically in arbitrary dimension, where the bivariate case turns out to be a special case. The asymptotic normality of the corresponding estimators is shown. Also in the parametric estimations, which are mainly based on maximum likelihood methods, the asymptotic normality of the estimators is shown under certain regularity conditions. Finally the methods are applied to a real hydrological data set containing water discharges of the rivers Altmühl and Danube in southern Bavaria. N2 - Die Untersuchung der multivariaten verallgemeinerten Pareto-Verteilungen (GPDs) im Rahmen der Extremwerttheorie hat erst kürzlich begonnen. Neueste Ergebnisse zeigen, dass diese wie im univariaten Fall bei Peaks over Threshold-Ansätzen angewendet werden können. In dieser Arbeit verwenden wir die Definition einer GPD aus Abschnitt 5.1 von Falk et al. (2004), die sich im interessierenden Bereich nicht von der anderer Autoren unterscheidet. Wir zeigen zuerst einige theoretische Eigenschaften und stellen wichtige Beispiele von GPDs vor. Zur weiteren Untersuchung dieser Verteilungen sind Simulationen unerläßlich. Wir stellen mehrere Methoden zur Simulation von GPDs vor, beginnend mit einer effizienten Methode für die logistische GPD. Der entsprechende Algorithmus basiert auf der Shi-Transformation, die von Shi (1995) eingeführt und von Stephenson (2003) verwendet wurde, um logistische multivariate Extremwertverteilungen zu simulieren. Wir führen auch nicht-parametrische und parametrische Schätzverfahren in GPD-Modellen ein. Wir schätzen die Angular Density in beliebiger Dimension, wobei sich der bivariate Fall als ein besonderer herausstellt. Die asymptotische Normalität der entsprechenden Schätzer wird gezeigt. Ebenso zeigen wir für die parametrischen Schätzungen, die hauptsächlich Maximum-Likelihood-Methoden verwenden, die asymptotische Normalität unter geeigneten Regularitätsbedingungen Zum Schluß werden die Methoden auf einen realen hydrologischen Datensatz, bestehend aus Abflussraten der Flüsse Altmühl und Donau in Südbayern, angewendet. KW - Pareto-Verteilung KW - Multivariate verallgemeine Pareto-Verteilungen KW - Extremwerttheorie KW - Überschreitungen KW - Simulation KW - Angular Density KW - Multivariate Generalized Pareto Distributions KW - Peaks over Threshold KW - Extreme Value Theory KW - Simulation KW - Angular Density Y1 - 2006 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-18489 ER - TY - THES A1 - Petra, Stefania T1 - Semismooth least squares methods for complementarity problems T1 - Semismoothe Least Squares Methoden für Komplementaritätsprobleme N2 - This thesis is concerned with numerical methods for solving nonlinear and mixed complementarity problems. Such problems arise from a variety of applications such as equilibria models of economics, contact and structural mechanics problems, obstacle problems, discrete-time optimal control problems etc. In this thesis we present a new formulation of nonlinear and mixed complementarity problems based on the Fischer-Burmeister function approach. Unlike traditional reformulations, our approach leads to an over-determined system of nonlinear equations. This has the advantage that certain drawbacks of the Fischer-Burmeister approach are avoided. Among other favorable properties of the new formulation, the natural merit function turns out to be differentiable. To solve the arising over-determined system we use a nonsmooth damped Levenberg-Marquardt-type method and investigate its convergence properties. Under mild assumptions, it can be shown that the global and local fast convergence results are similar to some of the better equation-based method. Moreover, the new method turns out to be significantly more robust than the corresponding equation-based method. For the case of large complementarity problems, however, the performance of this method suffers from the need for solving the arising linear least squares problem exactly at each iteration. Therefore, we suggest a modified version which allows inexact solutions of the least squares problems by using an appropriate iterative solver. Under certain assumptions, the favorable convergence properties of the original method are preserved. As an alternative method for mixed complementarity problems, we consider a box constrained least squares formulation along with a projected Levenberg-Marquardt-type method. To globalize this method, trust region strategies are proposed. Several ingredients are used to improve this approach: affine scaling matrices and multi-dimensional filter techniques. Global convergence results as well as local superlinear/quadratic convergence are shown under appropriate assumptions. Combining the advantages of the new methods, a new software for solving mixed complementarity problems is presented. N2 - Diese Dissertation behandelt numerische Verfahren zur Lösung nichtlinearer und gemischer Komplementaritätsprobleme. Solche Probleme ergeben sich aus einer Vielzahl von Anwendungen wie z.B. ökonomische Gleichgewichtmodelle, Kontakt- und Strukturprobleme der Mechanik, Hindernisprobleme, Probleme der optimalen Steuerung usw.. Als erstes wird eine neue Umformulierung der nichtlinearen und gemischen Komplementaritätsproblemen vorgestellt, die auf der Fischer-Burmeister Funktion basiert. Im Gegensatz zu bekannten Umformulierungen führt unsere zu einem überbestimmten nichtlinearen Gleichungssystem. Dadurch werden bestimmte Nachteile der Fischer-Burmeister Umformulierung vermieden. Eine vorteilhafte Eigenschaft der neuen Formulierung ist die Differenzierbarkeit der Straffunktion. Um das resultierende überbestimmte Gleichungsystem zu lösen benutzen wir eine nichtglattes gedämpftes Levenberg-Marquardt Verfahren und untersuchen dessen Konvergenzeigenschaften. Unter milden Annahmen kann gezeigt werden, dass die globalen und lokalen schnellen Konvergenzresultate der etwas besseren Methoden erhalten bleiben. Außerdem scheint die neue Methode deutlich robuster zu sein als andere Methoden die ebenfalls auf einer Umformulierung der Komplementaritätsprobleme als Gleichungsystem beruhen. Im Falle grosser Komplementaritätsprobleme leidet die Leistung dieser Methode jedoch, da in jedem Iterationsschritt die exakte Lösung eines grossdimensionalem linearem Ausgleichsproblem anfällt. Folglich schlagen wir eine geänderte Version vor, die inexakte Lösungen dieser Ausgleichsprobleme zulässt, durch Verwendung eines iterativen Lösers. Unter bestimmten Annahmen bleiben die vorteilhaften Konvergenzeigenschaften der ursprünglichen Methode erhalten. Als alternative Methode für gemischte Komplementaritätprobleme betrachten wir eine Box-restringierte Umformulierung zusammen mit einem projizierten Levenberg-Marquardt Verfahren. Zu Globalisierungszwecken wird eine Trust-Region Strategie vorgeschlagen. Skalierungmatrizen und mehrdimensionale Filtertechniken werden benutzt, um das Verfahren zu verbessern. Globale Konvergenz, sowie lokal superlineare/quadratische Konvergenz kann unter adäquaten Voraussetzungen gezeigt werden. Schließlich wird eine Software zur Lösung der gemischten Komplementaritätsprobleme, welche die Vorteile der neuen Methoden kombiniert. KW - Komplementaritätsproblem KW - nichtlineare & gemischte Komplementaritätsprobleme KW - nichtglatte Newton-artige Verfahren KW - globale Konvergenz KW - nonlinear and mixed complementarity problems KW - semismooth Newton-type methods KW - nonlinear least squares reformulation KW - global convergence Y1 - 2006 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-18660 ER - TY - THES A1 - Kraus, Christiane T1 - On some maximal convergence theorems for real analytic functions in R^N T1 - On some Maximal Convergence Theorems for Real Analytic Functions in R^N N2 - Ausgangspunkt dieser Arbeit war eine Publikation von D. Braess [Bra01], in der die Approximationsgüte der Funktionen $$ \frac{1}{((x-x_0)^2 + (y-y_0)^2)^s}, \qquad x_0^2 + y_0^2 \ge 1, \quad s \in (0,\infty),$$ auf der Einheitskreisscheibe $x^2+y^2 \le 1$ durch reelle Polynome untersucht wurde. Braess's Ergebnisse und insbesondere die von ihm angesprochenen offenen Probleme waren von besonderem Interesse, da sie Anlaß zu der Vermutung gaben, dass die klassische Theorie der ``Maximalen Konvergenz'' in Sinne von Walsh auf (zunächst) die oben erwähnten reell analytischen Funktionen erweitert werden kann. (Die Theorie der Maximalen Konvergenz bringt die Approximationsgüte einer Funktion auf einer kompakten Menge durch Polynome mit der Analyzität dieser Funktion in Verbindung.) \\ Hauptgegenstand der Arbeit ist die Erweiterung des klassischen ``Maximalen Konvergenz''--Konzeptes auf reell analytische Funktionen in höheren Dimensionen. Es werden verschiedene maximale Konvergenzsätze sowohl in einer als auch in mehreren Veränderlichen bewiesen. \\ Die Arbeit gliedert sich in drei Hauptteile. \\[2mm] Im ersten Teil wird der theoretische Hintergrund der ``Maximalen Konvergenz'' mit dem Problemkreis von Braess in Zusammenhang gebracht. Es wird gezeigt, dass für betrags-quadratisch holomorphe Funktionen folgender Satz gilt: \\ { \bf {Satz 1}}: Es sei $g$ eine holomorphe Funktion auf der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe $\overline{\mathbb{D}}:=\{ z \in \mathbb{C} : |z| \le 1\}$ und $F(x,y):= |g(x+iy)|^2$, $x,y \in \mathbb{R}$. Dann gilt: $$ \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{E_n ( \overline{\mathbb{D}},F)} = \frac{1}{\rho}$$ genau dann, wenn $g$ auf $ \{ z \in \mathbb{C} : |z| < \rho \}$ holomorph ist, aber auf keiner echt gr\"o\3eren Kreisscheibe, wobei $$ E_n ( \overline{\mathbb{D}},F)= \inf \{ ||F -P_n||_{\overline{\mathbb{D}}}, \, P_n: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \mbox{ Polynom vom Grad } \le n \}.$$ Dieser Satz beinhaltet nicht nur die Ergebnisse von Braess [Bra01], sondern erweitert ihn, und beantwortet die von Braess aufgeworfenen Fragen vollständig. Zudem zeigt der Satz die genaue Analogie des klassischen ``Maximalen Konvergenz''--Konzeptes für die Funktionenklasse der betrag--quadratisch holomorphen Funktionen im $\mathbb{R}^2$. \\[2mm] In der Literatur gibt es viele Verallgemeinerungen des ``Maximalen Konvergenz''--Begriffes für mehrere komplexe Veränderlichen. Im Hinblick auf die vorliegende Arbeit sind besonders die Artikel [Sic62] und [Sic81] zu erwähnen. Diese bereits bekannten Ergebnisse werden im zweiten Teil der Arbeit herangezogen, um den ``Maximalen Konvergenz''--Begriff auf mehrere reelle Veränderlichen zu erweitern. Man beachte, dass der entscheidende Unterschied hier in der polynomialen Approximationsklasse liegt. \\[2mm] Der dritte Teil befaßt sich mit der Verallgemeinerung des Satzes 1 in mehreren Veränderlichen. Eng verbunden mit diesem Problemkreis ist die Charakterisierung einer gewissen Extremalfunktion. Diese Funktion wird zur Bestimmung des Analyzitätsbereichs der zu approximierenden Funktion benötigt. Mittels geeigneter Darstellung der Extremalfunktion und Charakterisierung des Analyzitätsbereichs gelingt es schließlich, den folgenden Hauptsatz der vorliegenden Arbeit zu beweisen:\\ { \bf { Satz 2}}: Es seien $g,h$ holomorphe Funktionen auf der abgeschlossenen Einheitskugel $\overline{\mathbb{D}}_N:=\{ z \in \mathbb{C}^N : |z| \le 1\}$ und $F(x,y):= g(x+iy) \overline{h(x+iy)}$, $x,y \in \mathbb{R}^N$. Dann gilt: $$ \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{E_n ( \overline{\mathbb{D}}_N,F)} = \frac{1}{\rho}$$ genau dann, wenn $g,h$ auf ${\mathbb{D}}_{N,\rho}:= \{ z \in \mathbb{C}^N : |z| < \rho \}$ holomorph sind, und mindestens eine der zwei Funktionen $g,h$ auf keinem echt gr\"o\3eren Ball als $\mathbb{D}_{N,\rho}$ holomorph fortsetzbar ist. Hierbei bezeichnet $$ E_n ( \overline{\mathbb{D}}_N,F)= \inf \{ ||F -P_n||_{\overline{\mathbb{D}}_N}, \, P_n: \mathbb{R}^{2N} \to \mathbb{C} \mbox{ Polynom vom Grad } \le n \}.$$ $[$Bra01$]$ Braess, D., {\it Note on the Approximation of Powers of the Distance in Two-Dimensional Domains}, Constructive Approximation (2001), {\bf 17} No. 1, 147-151. \\ $[$Sic62$]$ Siciak, J., {\it On some extremal functions and their applications in the theory of analytic functions of several complex variables}, Trans. Amer. Math. Soc. (1962), {\bf 105}, 322--357. \\ $[$Sic81$]$ Siciak, J., {\it Extremal plurisubharmonic functions in $\mathbb{C}^N$}, Ann. Pol. Math. (1981), {\bf 39}, 175--211. N2 - The starting point for this work was a paper published by D. Braess [Bra01] in the year 2001. There the author studied the approximation behaviour of the functions $$ \frac{1}{((x-x_0)^2 + (y-y_0)^2)^s}, \qquad x_0^2 + y_0^2 \ge 1, \quad s \in (0,\infty),$$ by real valued polynomials on the closed unit disk $x^2+y^2 \le 1$. Braess's results and in particular his questions posed in [Bra01] were of interest as they give rise to ask if the classical theory of ``Maximal Convergence'' introduced by Walsh may be extended to a certain class of real analytic functions, which includes the functions mentioned above. ( The theory of maximal convergence connects the approximation behaviour of a function by polynomials on a compact set with the analyticty of this function.)\\ The main subject of this paper is the extension of the classical ``Maximal Conver\-gence''--concept to real analytic functions in higher dimensions. Several maximal convergence theorems in one as well as in higher dimensions will be proved. The work is divded into three main parts. \\[2mm] The first part links the theoretical background of the ``Maximal Convergence''--concept to Braess's approximation topic. The following theorem will be proved for holomorphic functions of squared modulus type:\\ { \bf {Theorem 1}}: Let $g$ be a holomorphic function on the closed unit disk $\overline{\mathbb{D}}:=\{ z \in \mathbb{C} : |z| \le 1\}$ and let $F(x,y):= |g(x+iy)|^2$, $x,y \in \mathbb{R}$. Then $$ \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{E_n ( \overline{\mathbb{D}},F)} = \frac{1}{\rho}$$ if and only if $g$ is holomorphic on $ \{ z \in \mathbb{C} : |z| < \rho \}$, but on no larger disk containing $\overline{\mathbb{D}} $, where $$ E_n ( \overline{\mathbb{D}},F)= \inf \{ ||F -P_n||_{\overline{\mathbb{D}}}, \, P_n: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \mbox{ polynomial of degree } \le n \}.$$ This theorem doesn't only generalize Braess's results [Bra01], but also solves Braess's open problems. Furthermore, it shows the extension of the classical ``Maximal convergence''--concept to the class of functions of squared modulus type in $\mathbb{R}^2$ . \\[2mm] In the literature there are several generalizations of the ``Maximal Convergence''--term to several complex variables. In view of this work we like to point out the articles [Sic62], [Sic81] and [SZ01]. These known results are used to extend the ``Maximal Convergence''--concept to several real variables. Notice, the decisive difference is the approximation class.\\[2mm] The third part handles the generalization of Theorem 1 to higher dimensions. In this context the characterization of a certain extremal function plays an important rule. This function is used to determine the domain $G$ on which the approximating function can be continued analytically. A special description of $G$ and an explicit representation of the extremal function are the nub to prove the main theorem of this thesis:\\ { \bf { Theorem 2}}: Let $g,h$ be holomorphic functions on the closed unit ball $\overline{\mathbb{D}}_N:=\{ z \in \mathbb{C}^N : |z| \le 1\}$ and let $F(x,y):= g(x+iy) \overline{h(x+iy)}$, $x,y \in \mathbb{R}^N$. Then $$ \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{E_n ( \overline{\mathbb{D}}_N,F)} = \frac{1}{\rho}$$ if and only if $g,h$ are holomorphic on ${\mathbb{D}}_{N,\rho}:= \{ z \in \mathbb{C}^N : |z| < \rho \}$ and at least one of them has no holomorphic extension to any larger domain containing $\overline{\mathbb{D}}_N$, where $$ E_n ( \overline{\mathbb{D}}_N,F)= \inf \{ ||F -P_n||_{\overline{\mathbb{D}}_N} , \, P_n: \mathbb{R}^{2N} \to \mathbb{C} \mbox{ polynomial of degree } \le n \}.$$ $[$Bra01$]$ Braess, D., {\it Note on the Approximation of Powers of the Distance in Two-Dimensional Domains}, Constructive Approximation (2001), {\bf 17} No. 1, 147-151. \\ $[$Sic62$]$ Siciak, J., {\it On some extremal functions and their applications in the theory of analytic functions of several complex variables}, Trans. Amer. Math. Soc. (1962), {\bf 105}, 322--357. \\ $[$Sic81$]$ Siciak, J., {\it Extremal plurisubharmonic functions in $\mathbb{C}^N$}, Ann. Pol. Math. (1981), {\bf 39}, 175--211.\\ $[$SZ01$]$ Skiba, N., Zaharjuta, V. P., {\it Bernstein-Walsh theorems for harmonic functions in $\mathbb{R}^n$}, Isr. Math. Conf. Proc. (2001), {\bf 15}, 357-382. KW - Reelle Funktion KW - Analytische Funktion KW - Konvergenz KW - Maximale KW - Konvergenz KW - Berstein KW - Walsh KW - Sätze KW - Maximal KW - Convergence KW - Bernstein KW - Walsh KW - Theorems Y1 - 2004 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-9795 ER - TY - THES A1 - Seider, David T1 - Solving an eigenvalue problem in laser simulation T1 - Lösen eines Eigenwertproblems bei der Simulation von Lasern N2 - In this thesis a new and powerful approach for modeling laser cavity eigenmodes is presented. This approach is based on an eigenvalue problem for singularly perturbed partial differential operators with complex coefficients; such operators have not been investigated in detail until now. The eigenvalue problem is discretized by finite elements, and convergence of the approximate solution is proved by using an abstract convergence theory also developed in this dissertation. This theory for the convergence of an approximate solution of a (quadratic) eigenvalue problem, which particularly can be applied to a finite element discretization, is interesting on its own, since the ideas can conceivably be used to handle equations with a more complex nonlinearity. The discretized eigenvalue problem essentially is solved by preconditioned GMRES, where the preconditioner is constructed according to the underlying physics of the problem. The power and correctness of the new approach for computing laser cavity eigenmodes is clearly demonstrated by successfully simulating a variety of different cavity configurations. The thesis is organized as follows: Chapter 1 contains a short overview on solving the so-called Helmholtz equation with the help of finite elements. The main part of Chapter 2 is dedicated to the analysis of a one-dimensional model problem containing the main idea of a new model for laser cavity eigenmodes which is derived in detail in Chapter 3. Chapter 4 comprises a convergence theory for the approximate solution of quadratic eigenvalue problems. In Chapter 5, a stabilized finite element discretization of the new model is described and its convergence is proved by applying the theory of Chapter 4. Chapter 6 contains computational aspects of solving the resulting system of equations and, finally, Chapter 7 presents numerical results for various configurations, demonstrating the practical relevance of our new approach. N2 - In dieser Arbeit wird ein neues und mächtiges Verfahren für die Modellierung von Eigenmoden in Laser-Resonatoren vorgestellt. Dieses Verfahren basiert auf einem Eigenwertproblem für singulär gestörte Differentialoperatoren mit komplexen Koeffizienten; solche Operatoren sind bisher noch nicht detailliert untersucht worden. Das Eigenwertproblem wird mit Finiten Elementen diskretisiert, und die Konvergenz der Finite-Elemente-Lösung wird bewiesen durch Anwendung einer abstrakten Konvergenztheorie, die ebenfalls in dieser Dissertation entwickelt wird. Diese Theorie für die Konvergenz einer Näherungslösung eines (quadratischen) Eigenwertproblems ist für sich allein interessant, da die Beweisideen auch auf Fälle mit einer komplizierteren Nichtlinerität angewendet werden können. Das diskretisierte Eigenwertproblem wird im Wesentlichen mit einem vorkonditionierten GMRES-Verfahren gelöst, wobei der Vorkonditionierer unter Beachtung der dem Problem zugrunde liegenden Physik konstruiert wurde. Die Mächtigkeit und Korrektheit unseres neuen Verfahrens zur Bestimmung von Eigenmoden in Laser-Resonatoren wird klar gezeigt dadurch, dass eine Vielzahl verschiedener Konfigurationen damit erfolgreich gerechnet werden können. Die Dissertation ist wie folgt aufgebaut: Kapitel 1 enthält eine kurzen Überblick über das Lösen der sogenannten Helmholtz-Gleichung mit Hilfe von Finiten Elementen. Der Großteil des Kapitels 2 beschäftigt sich mit der Analyse eines eindimensionalen Modellproblems. Dieses Modellproblem enthält die Hauptidee des neuen Modells für Eigenmoden eines Laser-Resonators, welches in Kapitel 3 entwickelt wird. Kapitel 4 beinhaltet eine Konvergenztheorie für Näherungslösungen von quadratischen Eigenwertproblemen. In Kapitel 5 wird eine stabilisierte Finite-Elemente-Diskretisierung des neuen Modells beschrieben, und dessen Konvergenz mit Hilfe der Theorie aus Kapitel 4 bewiesen. Kapitel 6 beschäftigt sich damit, welche Verfahren aus der numerischen linearen Algebra verwendet werden, um das diskrete Problem zu lösen. Schließlich finden sich zum Nachweis der praktischen Relavanz des Verfahrens in Kapitel 7 numerische Ergebnisse für eine Vielzahl von Konfigurationen. KW - Laser KW - Simulation KW - Eigenwert KW - Lasersimulation KW - Eigenmode KW - singulär gestörtes Problem KW - Finite Elemente KW - Konvergenz bei quadratischem Eigenwertproblem KW - laser simulation KW - eigenmode KW - singularly perturbed problem KW - finite elements KW - convergence for quadratic eigenvalue problems Y1 - 2004 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-10057 ER - TY - THES A1 - Kleinsteuber, Martin T1 - Jacobi-type methods on semisimple Lie algebras : a Lie algebraic approach to numerical linear algebra T1 - Jacobi-Verfahren auf halbeinfachen Lie-Algebren N2 - Es wird eine Lie-algebraische Verallgemeinerung sowohl des klassischen als auch des Sortier-Jacobi-Verfahrens für das symmetrische Eigenwertproblem behandelt. Der koordinatenfreie Zugang ermöglicht durch eine neue Betrachtungsweise die Vereinheitlichung strukturierter Eigen- und Singulärwertprobleme, darunter bis dato noch nicht betrachtete Fälle. Für beide Verfahren wird lokal quadratische Konvergenz, sowohl für den regulären als auch für den irregulären Fall, gezeigt. Die Analyse und Verallgemeinerung der sog. speziellen Sweeps für das symmetrische Eigenwertproblem führt zu neuen Sweep-Methoden für strukturierte Eigen- und Singulärwertprobleme, die ein besseres Konvergenzverhalten als die bisher bekannten aufweisen. N2 - A Lie algebraic generalization of the classical and the Sort-Jacobi algorithm for diagonalizing a symmetric matrix has been proposed. The coordinate free setting provides new insights in the nature of Jacobi-type methods and allows a unified treatment of several structured eigenvalue and singular value problems, including so far unstudied normal form problems. Local quadratic convergence has been shown for both types of Jacobi methods with a fully comprehension of the regular and irregular case. New sweep methods have been introduced that generalize the special cyclic sweep for symmetric matrices and ensure local quadratic convergence also for irregular elements. The new sweep methods yield faster convergence behavior than the previously known cyclic schemes. KW - Eigenwert KW - Jacobi-ähnliches Verfahren KW - Jacobi-Eigenwert-Verfahren KW - halbeinfache Lie Algebren KW - strukturierte Normalformprobleme KW - quadratische Konvergenz KW - spezielle Sweep-Methoden KW - Jacobi-type eigenvalue methods KW - semisimple Lie algebras KW - structured normal form problem KW - quadratic convergence KW - special sweeps Y1 - 2005 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-16454 ER - TY - BOOK A1 - Falk, Michael A1 - Marohn, Frank A1 - Michel, René A1 - Hofmann, Daniel A1 - Macke, Maria A1 - Tewes, Bernward A1 - Dinges, Peter T1 - A First Course on Time Series Analysis : Examples with SAS N2 - The analysis of real data by means of statistical methods with the aid of a software package common in industry and administration usually is not an integral part of mathematics studies, but it will certainly be part of a future professional work. The present book links up elements from time series analysis with a selection of statistical procedures used in general practice including the statistical software package SAS Statistical Analysis System). Consequently this book addresses students of statistics as well as students of other branches such as economics, demography and engineering, where lectures on statistics belong to their academic training. But it is also intended for the practician who, beyond the use of statistical tools, is interested in their mathematical background. Numerous problems illustrate the applicability of the presented statistical procedures, where SAS gives the solutions. The programs used are explicitly listed and explained. No previous experience is expected neither in SAS nor in a special computer system so that a short training period is guaranteed. This book is meant for a two semester course (lecture, seminar or practical training) where the first two chapters can be dealt with in the first semester. They provide the principal components of the analysis of a time series in the time domain. Chapters 3, 4 and 5 deal with its analysis in the frequency domain and can be worked through in the second term. In order to understand the mathematical background some terms are useful such as convergence in distribution, stochastic convergence, maximum likelihood estimator as well as a basic knowledge of the test theory, so that work on the book can start after an introductory lecture on stochastics. Each chapter includes exercises. An exhaustive treatment is recommended. This book is consecutively subdivided in a statistical part and an SAS-specific part. For better clearness the SAS-specific part, including the diagrams generated with SAS, always starts with a computer symbol, representing the beginning of a session at the computer, and ends with a printer symbol for the end of this session. This book is an open source project under the GNU Free Documentation License. KW - Zeitreihenanalyse KW - SAS KW - Zeitreihenanalyse KW - SAS KW - Time series analyses KW - SAS Y1 - 2006 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-16919 ER - TY - THES A1 - Lageman, Christian T1 - Convergence of gradient-like dynamical systems and optimization algorithms T1 - Konvergenz gradientenähnlicher dynamischer Systeme und Optimierungsalgorithmen N2 - This work studies the convergence of trajectories of gradient-like systems. In the first part of this work continuous-time gradient-like systems are examined. Results on the convergence of integral curves of gradient systems to single points of Lojasiewicz and Kurdyka are extended to a class of gradient-like vector fields and gradient-like differential inclusions. In the second part of this work discrete-time gradient-like optimization methods on manifolds are studied. Methods for smooth and for nonsmooth optimization problems are considered. For these methods some convergence results are proven. Additionally the optimization methods for nonsmooth cost functions are applied to sphere packing problems on adjoint orbits. N2 - Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Konvergenz von Trajektorien gradientenähnlicher Systeme. Im ersten Teil der Arbeit werden zeit-kontinuierliche, gradientenähnliche Systeme betrachtet. Resultate zur Konvergenz der Trajektorien gegen einen Punkt von Lojasiewicz und Kurdyka für Gradientensysteme werden auf eine Klasse gradientenähnlicher Vektorfelder und gradientenähnliche Differentialinklusionen verallgemeinert. Im zweiten Teil der Arbeit werden zeit-diskrete, gradientenähnliche Optimierungsverfahren auf Mannigfaltigkeiten untersucht. Es werden Algorithmen sowohl für glatte als auch nicht-glatte Optimierungsprobleme betrachtet. Für diese Verfahren werden einige Konvergenzresultate bewiesen. Zusätzlich werden die Optimierungsverfahren für nichtglatte Kostenfunktionen auf Kugelpackungsprobleme in adjungierten Bahnen angewendet. KW - Dynamisches System KW - Konvergenz KW - Nichtlineare Optimierung KW - gradientenähnliche Systeme KW - Konvergenz KW - Optimierung auf Mannigfaltigkeiten KW - nichtlineare Optimierung KW - gradient-like systems KW - convergence KW - optimization on manifolds KW - nonlinear optimization Y1 - 2007 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-23948 ER - TY - THES A1 - Möller, Florian T1 - Exceptional polynomials and monodromy groups in positive characteristic T1 - Exzeptionelle Polynome und Monodromiegruppen in positiver Charakteristik N2 - We discuss exceptional polynomials, i.e. polynomials over a finite field $k$ that induce bijections over infinitely many finite extensions of $k$. In the first chapters we give the theoretical background to characterize this class of polynomials with Galois theoretic means. This leads to the notion of arithmetic resp. geometric monodromy groups. In the remaining chapters we restrict our attention to polynomials with primitive affine arithmetic monodromy group. We first classify all exceptional polynomials with the fixed field of the affine kernel of the arithmetic monodromy group being of genus less or equal to 2. Next we show that every full affine group can be realized as the monodromy group of a polynomial. In the remaining chapters we classify affine polynomials of a given degree. N2 - In dieser Arbeit werden exzeptionelle Polynome untersucht. Ein über einem endlichen Körper $k$ definiertes Polynom heißt exzeptionell, falls durch dieses auf unendlich vielen endlichen Erweiterungen von $k$ Bijektionen induziert werden. In den ersten Kapiteln legen wir die theoretischen Grundlagen, die uns eine Charakterisierung exzeptioneller Polynome mittels Galoistheorie erlauben. Wir benötigen hierzu insbesondere den Begriff der arithmetischen bzw. geometrischen Monodromiegruppe. In den folgenden Kapiteln behandeln wir schwerpunktmäßig Polynome mit primitiver affiner arithmetischer Monodromiegruppe. Zunächst klassifizieren wir alle exzeptionellen Polynome, die der Bedingung genügen, daß der Fixkörper des affinen Kerns ein Geschlecht kleiner oder gleich 2 besitzt. Danach zeigen wir, daß jede volle affine Gruppe als geometrische Monodromiegruppe eines Polynoms auftritt. In den restlichen Kapiteln klassifizieren wir affine Polynome von vorgegebenem Grad. KW - Algebraischer Funktionenkörper KW - Galois-Feld KW - Galois-Erweiterung KW - Monodromie KW - algebraic function field KW - finite fields KW - galois extensions KW - monodromy groups Y1 - 2009 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-34871 ER - TY - THES A1 - Winkler, Ralf T1 - Schwache Randwertprobleme von Systemen elliptischen Charakters auf konischen Gebieten T1 - Weak boundary value problems of linear elliptic systems on conical domains N2 - In der vorliegenden Arbeit werden lineare Systeme elliptischer partieller Differentialgleichungen in schwacher Formulierung auf konischen Gebieten untersucht. Auf einem zunächst unbeschränkten Kegelgebiet betrachten wir den Fall beschränkter und nur von den Winkelvariablen abhängiger Koeffizientenfunktionen. Die durch selbige definierte Bilinearform genüge einer Gårdingschen Ungleichung. In gewichteten Sobolevräumen werden Existenz- und Eindeutigkeitsfragen geklärt, wobei das Problem mittels Fouriertransformation auf eine von einem komplexen Parameter abhängige Familie T(·) von Fredholmoperatoren zurückgeführt wird. Unter Anwendung des Residuenkalküls gewinnen wir eine Darstellung der Lösung in Form einer Zerlegung in einen glatten Anteil einerseits sowie eine endliche Summe von Singulärfunktionen andererseits. Durch Abschneidetechniken werden die gewonnenen Erkenntnisse auf den Fall schwach formulierter elliptischer Systeme auf beschränkten Kegelgebieten unter Formulierung in gewöhnlichen, nicht-gewichteten Sobolevräumen angewendet. Die für Regularitätsfragen maßgeblichen Eigenwerte der Operatorfunktion T mit minimalem positiven Imaginärteil werden im letzten Kapitel der Arbeit am Beispiel der ebenen elastischen Gleichungen numerisch bestimmt. N2 - In the present PhD thesis we investigate systems of linear partial elliptic equations in weak formulation on conical domains. For an unbounded cone, first, we study the case of bounded and radially constant coefficient functions. The so defined bilinear form is supposed to satisfy a (local) Gårding inequality. In weighted Sobolev spaces we study questions of existence and uniqueness of solutions. In this context the problem is Fourier-transformed onto a set of smaller problems, represented by Fredholm operators T(·) that holomorphically depend on a complex parameter. Via the residual theorem we yield a decomposition of the solution into a regular part and a finite sum of singular functions. Using cut-off techniques we are able to transfer the preceeding results onto the case of weak formulated linear elliptic systems on bounded cones under restriction to usual, non weighted Sobolev spaces. In the last chapter, the eigenvalues of T with minimal positive imaginary part, which are responsible for regularity properties, are numeriaclly determined for the example of the plane Elastic Equations. KW - Elliptische Differentialgleichung KW - Lineare Funktionalanalysis KW - Funktionentheorie KW - Numerische Mathematik KW - Kegelgebiet KW - unstetige Koeffizientenfunktionen KW - gewichtete Sobolevräume KW - Singulärfunktionen KW - conical domain KW - discontinuous coefficient functions KW - weighted Sobolev spaces KW - singular functions Y1 - 2008 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-34544 ER - TY - THES A1 - Baumann, Markus T1 - Newton's Method for Path-Following Problems on Manifolds T1 - Das Newton-Verfahren für Verfolgungsprobleme auf Mannigfaltigkeiten N2 - Many optimization problems for a smooth cost function f on a manifold M can be solved by determining the zeros of a vector field F; such as e.g. the gradient F of the cost function f. If F does not depend on additional parameters, numerous zero-finding techniques are available for this purpose. It is a natural generalization however, to consider time-dependent optimization problems that require the computation of time-varying zeros of time-dependent vector fields F(x,t). Such parametric optimization problems arise in many fields of applied mathematics, in particular path-following problems in robotics, recursive eigenvalue and singular value estimation in signal processing, as well as numerical linear algebra and inverse eigenvalue problems in control theory. In the literature, there are already some tracking algorithms for these tasks, but these do not always adequately respect the manifold structure. Hence, available tracking results can often be improved by implementing methods working directly on the manifold. Thus, intrinsic methods are of interests that evolve during the entire computation on the manifold. It is the task of this thesis, to develop such intrinsic zero finding methods. The main results of this thesis are as follows: - A new class of continuous and discrete tracking algorithms is proposed for computing zeros of time-varying vector fields on Riemannian manifolds. This was achieved by studying the newly introduced time-varying Newton Flow and the time-varying Newton Algorithm on Riemannian manifolds. - Convergence analysis is performed on arbitrary Riemannian manifolds. - Concretization of these results on submanifolds, including for a new class of algorithms via local parameterizations. - More specific results in Euclidean space are obtained by considering inexact and underdetermined time-varying Newton Flows. - Illustration of these newly introduced algorithms by examining time-varying tracking tasks in three application areas: Subspace analysis, matrix decompositions (in particular EVD and SVD) and computer vision. N2 - Das Optimieren einer glatten Kostenfunktion f auf einer Mannigfaltigkeit M kann oft dadurch erreicht werden, dass man die Nullstellen eines Vektorfeldes F bestimmt; z.B. dann, wenn F der Gradient von f ist. Für solche Problemstellungen gibt es zahlreiche Nullstellensuchmethoden, sofern F nicht von zusätzlichen Parametern abhängt. Es ist jedoch eine nahe liegende Erweiterung, zeitvariante Optimierungsaufgaben zu betrachten, für die dann Verfahren zur Berechnung der zeitvarianten Nullstelle von Vektorfeldern F(x,t) benötigt werden. Solche parametrisierte Optimierungsprobleme tauchen in vielen Teilgebieten der angewandten Mathematik auf, insbesondere Verfolgungsprobleme in der Robotik, rekursive Eigenwert- und Singulärwertbestimmung in der Signalverarbeitung sowie in der numerischen linearen Algebra und inverse Eigenwertprobleme in der Kontrolltheorie. In der Literatur gibt es bereits einige Nullstellen-Verfolgungsmethoden für solche Aufgaben. Jedoch wird dabei meistens nicht die Struktur der Mannigfaltigkeit hinreichend berücksichtigt, was aber wünschenswert wäre. Methoden, die direkt auf M arbeiten liefern nämlich andere und ggf. bessere Ergebnisse. Dies begründet unser Interesse an intrinsische Methoden, und es ist die zentrale Aufgabe dieser Arbeit, solche Methoden herzuleiten. Die Hauptergebnisse sind wie folgt: - Neue Klassen von diskreten und kontinuierlichen Methoden zur Verfolgung von Nullstellen von zeitvarianten Vektorfeldern auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten werden etabliert. Dazu wurden der zeitvariante Newton Fluss und der zeitvariante Newton Algorithmus auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten neu eingeführt und studiert. - Die Konvergenzanalyse wird auf beliebigen Riemannschen Mannigfaltigkeiten durchgeführt. - Die Ergebnisse werden durch Betrachtung von Untermannigfaltigkeiten konkretisiert. Dabei wird eine neue Klasse von Algorithmen hergeleitet, die lokalen Parametrisierungen der Mannigfaltigkeit nutzt. - Durch Betrachtung der Ergebnisse im euklidischen Raum werden diese zunächst weiter vereinfacht und dann um inexakte und unterbestimmte zeitvariante Verfahren erweitert. - Die neu eingeführten Algorithmen werden durch das ausführliche Studium von zeitvarianten Verfolgungsproblemen in drei Anwendungsgebieten veranschaulicht: Unterraumberechnung, Matrizenzerlegungen (insbesondere Diagonalisierung von Matrizen und Singulärwertzerlegung) und Bewegungsrekonstruktion aus Kamerabildern. KW - Dynamische Optimierung KW - Newton-Verfahren KW - Globale Analysis KW - Differentialgeometrie KW - Nullstelle KW - Unterraumsuche KW - Matrizenzerlegung KW - Riemannsche Mannigfaltigkeiten KW - Riemannian manifolds KW - time-varying KW - Newton's method KW - zero-finding KW - matrix decomposition Y1 - 2008 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-28099 ER - TY - THES A1 - Pechmann, Patrick R. T1 - Penalized Least Squares Methoden mit stückweise polynomialen Funktionen zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen T1 - Penalized least squares methods with piecewise polynomial functions for solving partial differential equations N2 - Das Hauptgebiet der Arbeit stellt die Approximation der Lösungen partieller Differentialgleichungen mit Dirichlet-Randbedingungen durch Splinefunktionen dar. Partielle Differentialgleichungen finden ihre Anwendung beispielsweise in Bereichen der Elektrostatik, der Elastizitätstheorie, der Strömungslehre sowie bei der Untersuchung der Ausbreitung von Wärme und Schall. Manche Approximationsaufgaben besitzen keine eindeutige Lösung. Durch Anwendung der Penalized Least Squares Methode wurde gezeigt, dass die Eindeutigkeit der gesuchten Lösung von gewissen Minimierungsaufgaben sichergestellt werden kann. Unter Umständen lässt sich sogar eine höhere Stabilität des numerischen Verfahrens gewinnen. Für die numerischen Betrachtungen wurde ein umfangreiches, effizientes C-Programm erstellt, welches die Grundlage zur Bestätigung der theoretischen Voraussagen mit den praktischen Anwendungen bildete. N2 - This work focuses on approximating solutions of partial differential equations with Dirichlet boundary conditions by means of spline functions. The application of partial differential equations concerns the fields of electrostatics, elasticity, fluid flow as well as the analysis of the propagation of heat and sound. Some approximation problems do not have a unique solution. By applying the penalized least squares method it has been shown that uniqueness of the solution of a certain class of minimizing problems can be guaranteed. In some cases it is even possible to reach higher stability of the numerical method. For the numerical analysis we have developed an extensive and efficient C code. It serves as the basis to confirm theoretical predictions with practical applications. KW - Approximationstheorie KW - B-Spline KW - Dirichlet-Problem KW - Finite-Elemente-Methode KW - Partielle Differentialgleichung KW - Poisson-Gleichung KW - Spline KW - Penalized Least Squares Methode KW - Projektionssatz KW - Stückweise Polynomiale Funktion KW - Penalized Least Squares Method KW - Projection Theorem KW - Piecewise Polynomial Function Y1 - 2008 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-28136 ER - TY - THES A1 - Gregor, Thomas T1 - {0,1}-Matrices with Rectangular Rule T1 - {0,1}-Matrizen mit Rechtecksregel N2 - The incidence matrices of many combinatorial structures satisfy the so called rectangular rule, i.e., the scalar product of any two lines of the matrix is at most 1. We study a class of matrices with rectangular rule, the regular block matrices. Some regular block matrices are submatrices of incidence matrices of finite projective planes. Necessary and sufficient conditions are given for regular block matrices, to be submatrices of projective planes. Moreover, regular block matrices are related to another combinatorial structure, the symmetric configurations. In particular, it turns out, that we may conclude the existence of several symmetric configurations from the existence of a projective plane, using this relationship. N2 - Die Inzidenzmatrizen vieler kombinatorischer Strukturen erfüllen die sogenannte Rechtecksregel, d.h. das Skalarprodukt zweier beliebiger Zeilen der Matrix ist höchstens 1. Weiterhin wird eine Klasse von Matrizen mit Rechtecksregel untersucht, von denen einige auch Untermatrizen von Inzidenzmatrizen endlicher projektiver Ebenen sind. Es werden notwendige und hinreichende Bedingungen angegeben, wann dies der Fall ist. Darüberhinaus gibt es eine enge Beziehung zwischen dieser Klasse von Matrizen und einer anderen Struktur, den symmetrischen Konfigurationen. Es stellt sich unter anderem heraus, dass aus der Existenz einer projektiven Ebene mittels dieser Beziehung die Existenz verschiedener symmetrischer Konfigurationen gefolgert werden kann. KW - Projektive Ebene KW - Inzidenzmatrix KW - Kombinatorik KW - Endliche Geometrie KW - Symmetrische Konfiguration KW - (0 KW - 1)-Matrix KW - finite projective plane KW - incidence matrix KW - design KW - symmetric configuration KW - (0 KW - 1)-matrix Y1 - 2008 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-28389 ER - TY - THES A1 - Jordan, Jens T1 - Reachable sets of numerical iteration schemes : a system semigroup approach T1 - Erreichbarkeitsmengen numerischer Iterations Schemata : ein Systemhalbgruppenansatz N2 - We investigate iterative numerical algorithms with shifts as nonlinear discrete-time control systems. Our approach is based on the interpretation of reachable sets as orbits of the system semigroup. In the first part we develop tools for the systematic analysis of the structure of reachable sets of general invertible discrete-time control systems. Therefore we merge classical concepts, such as geometric control theory, semigroup actions and semialgebraic geometry. Moreover, we introduce new concepts such as right divisible systems and the repelling phenomenon. In the second part we apply the semigroup approach to the investigation of concrete numerical iteration schemes. We extend the known results about the reachable sets of classical inverse iteration. Moreover, we investigate the structure of reachable sets and systemgroup orbits of inverse iteration on flag manifolds and Hessenberg varieties, rational iteration schemes, Richardson's method and linear control schemes. In particular we obtain necessary and sufficient conditions for controllability and the appearance of repelling phenomena. Furthermore, a new algorithm for solving linear equations (LQRES) is derived. N2 - Iterative numerische Algorithmen können als zeitdiskrete Systeme betrachtet werden. In dieser Arbeit werden Methoden der nichtlinearen Kontrolltheorie benutzt um iterative numerische Algorithmen zu analysieren. Hierzu wird ein Ansatz verfolgt der darauf basiert, dass Erreichbarkeitsmengen als Halbgruppenorbits interpretiert werden können. Im ersten Teil der Arbeit werden Werkzeuge zur systematischen Analyse von Erreichbarkeitsmengen allgemeiner nichtlinearer Kontrollsystme entwickelt. Dazu werden klassische Konzepte, wie geometrische Kontrolltheorie, Halbgruppenaktionen und semialgebraische Geometrie zusammengeführt. Desweiteren werden neue Konzepte, wie rechtszerlegbare Systeme und Abstoßungsphänomene, eingeführt. Im zweiten Teil der Arbeit werden diese Werkzeuge und dabei insbesondere der Halbgruppenansatz zur Untersuchung konkreter numerischer Algorithmen angewandt. Bekannte Ergebnisse über die Erreichbarkeitsmengen der klassischen inversen Iteration werden erweitert. Die Ergebnisse werden auf inverse Iteration auf Fahnenmannigfaltigkeiten und auf Hessenbergvarietäten erweitert. Untersucht wird zudem die Struktur der Erreichbarkeitsmengen der rationalen Iteration, der Richardsonmethode und von linearen Kontrollsystemen. Insbesondere werden notwendige sowie hinreichende Kriterien sowohl für Kontrollierbarkeit als auch für das Auftreten von Abstoßungsphänomenen bewiesen. Außerdem wird ein neuer Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungssysteme vorgestellt. KW - Nichtlineare Kontrolltheorie KW - Numerische Mathematik KW - Systemhalbgruppen KW - Inverse Iteration KW - Abstoßungsphänomen KW - Systemsemigroups KW - inverse Iteration KW - repelling phenomenon Y1 - 2008 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-28416 ER - TY - THES A1 - Pröll, Sebastian T1 - Stability of Switched Epidemiological Models T1 - Stabilität geschalteter epidemiologischer Modelle N2 - In this thesis it is shown how the spread of infectious diseases can be described via mathematical models that show the dynamic behavior of epidemics. Ordinary differential equations are used for the modeling process. SIR and SIRS models are distinguished, depending on whether a disease confers immunity to individuals after recovery or not. There are characteristic parameters for each disease like the infection rate or the recovery rate. These parameters indicate how aggressive a disease acts and how long it takes for an individual to recover, respectively. In general the parameters are time-varying and depend on population groups. For this reason, models with multiple subgroups are introduced, and switched systems are used to carry out time-variant parameters. When investigating such models, the so called disease-free equilibrium is of interest, where no infectives appear within the population. The question is whether there are conditions, under which this equilibrium is stable. Necessary mathematical tools for the stability analysis are presented. The theory of ordinary differential equations, including Lyapunov stability theory, is fundamental. Moreover, convex and nonsmooth analysis, positive systems and differential inclusions are introduced. With these tools, sufficient conditions are given for the disease-free equilibrium of SIS, SIR and SIRS systems to be asymptotically stable. N2 - In der vorliegenden Arbeit werden Möglichkeiten aufgezeigt, wie man die Ausbreitung von Infektionskrankheiten mit Hilfe von mathematischen Modellen beschreiben kann. Anhand solcher Modelle möchte man mehr über die Dynamik von Epidemien lernen und vorhersagen, wie sich eine gegebene Infektionskrankheit innerhalb einer Population ausbreitet. Zunächst werden gewöhnliche Differentialgleichungen verwendet, um grundlegende epidemiologische Modelle aufzustellen. Hierbei unterscheidet man sogenannte SIR und SIS Modelle, je nachdem ob die betrachtete Krankheit einem Individuum nach seiner Heilung Immunität verleiht oder nicht. Charakteristisch für Infektionskrankheiten sind Parameter wie die Infektionsrate oder die Heilungsrate. Sie geben an, wie ansteckend eine Krankheit ist bzw. wie schnell eine Person nach einer Erkrankung wieder gesund wird. Im Allgemeinen sind diese Parameter abhängig von bestimmten Bevölkerungsgruppen und verändern sich mit der Zeit. Daher werden am Ende des zweiten Kapitels Modelle entwickelt, die die Betrachtung mehrerer Bevölkerungsgruppen zulassen. Zeitvariante Parameter werden durch die Verwendung geschalteter Systeme berücksichtigt. Bei der Untersuchung solcher Systeme ist derjenige Zustand von besonderem Interesse, bei dem innerhalb der Bevölkerung keine Infizierten auftreten, die gesamte Bevölkerung also von der betrachteten Krankheit frei bleibt. Es stellt sich die Frage, unter welchen Bedingungen sich dieser Zustand nach einer Infizierung der Bevölkerung im Laufe der Zeit von selbst einstellt. Mathematisch gesehen untersucht man die triviale Ruhelage des Systems, bei der keine Infizierten existieren, auf Stabilität. Für die Stabilitätsanalyse sind einige mathematische Begriffe und Aussagen notwendig, die im zweiten Kapitel bereitgestellt werden. Grundlegend ist die Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen, einschließlich der Stabilitätstheorie von Lyapunov. Darüberhinaus kommen wichtige Erkenntnisse aus den Gebieten Konvexe und Nichtglatte Analysis, Positive Systeme und Differentialinklusionen. Ausgestattet mit diesen Hilfsmitteln werden im vierten Kapitel Sätze bewiesen, die hinreichende Bedingungen dafür angegeben, dass die triviale Ruhelage in geschalteten SIS, SIR und SIRS Systemen asymptotisch stabil ist. KW - epidemiology KW - switched systems KW - ordinary differential equations KW - stability analysis KW - Epidemiologie KW - Geschaltete Systeme KW - Gewöhnliche Differentialgleichungen KW - Stabilitätsanalyse KW - Gewöhnliche Differentialgleichung KW - Stabilität KW - Epidemiologie Y1 - 2013 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-108573 ER - TY - THES A1 - Harms, Nadja T1 - Primal and Dual Gap Functions for Generalized Nash Equilibrium Problems and Quasi-Variational Inequalities T1 - Primale und duale Gap-Funktionen für verallgemeinerte Nash-Gleichgewichtsprobleme und Quasi-Variationsungleichungen N2 - In this thesis we study smoothness properties of primal and dual gap functions for generalized Nash equilibrium problems (GNEPs) and finite-dimensional quasi-variational inequalities (QVIs). These gap functions are optimal value functions of primal and dual reformulations of a corresponding GNEP or QVI as a constrained or unconstrained optimization problem. Depending on the problem type, the primal reformulation uses regularized Nikaido-Isoda or regularized gap function approaches. For player convex GNEPs and QVIs of the so-called generalized `moving set' type the respective primal gap functions are continuously differentiable. In general, however, these primal gap functions are nonsmooth for both problems. Hence, we investigate their continuity and differentiability properties under suitable assumptions. Here, our main result states that, apart from special cases, all locally minimal points of the primal reformulations are points of differentiability of the corresponding primal gap function. Furthermore, we develop dual gap functions for a class of GNEPs and QVIs and ensuing unconstrained optimization reformulations of these problems based on an idea by Dietrich (``A smooth dual gap function solution to a class of quasivariational inequalities'', Journal of Mathematical Analysis and Applications 235, 1999, pp. 380--393). For this purpose we rewrite the primal gap functions as a difference of two strongly convex functions and employ the Toland-Singer duality theory. The resulting dual gap functions are continuously differentiable and, under suitable assumptions, have piecewise smooth gradients. Our theoretical analysis is complemented by numerical experiments. The solution methods employed make use of the first-order information established by the aforementioned theoretical investigations. N2 - In dieser Dissertation wurden die Glattheitseigenschaften von primalen und dualen Gap-Funktionen für verallgemeinerte Nash-Gleichgewichtsprobleme (GNEPs) und Quasi-Variationsungleichungen (QVIs) untersucht. Diese Gap-Funktionen sind Optimalwertfunktionen von primalen und dualen Umformulierungen eines GNEPs oder QVIs als restringiertes oder unrestringiertes Optimierungsproblem. Für gewisse Teilklassen von GNEPs (Spezialfall von `player convex' GNEPs) und QVIs (`generalized moving set case') sind diese primalen Gap-Funktionen überall stetig differenzierbar, für allgemeine GNEPs und QVIs jedoch nicht. Weitere Untersuchungen der Stetigkeit und Differenzierbarkeit ergaben, dass die primalen Gap-Funktionen unter geeigneten Bedingungen, abgesehen von Sonderfällen, in allen lokalen Minima der entsprechenden primalen Umformulierung differenzierbar sind. In dieser Dissertation wurden außerdem duale Gap-Funktionen für bestimmte Klassen von GNEPs und QVIs entwickelt, indem die primalen Gap-Funktionen basierend auf einer Idee von Dietrich (H. Dietrich: A smooth dual gap function solution to a class of quasivariational inequalities. Journal of Mathematical Analysis and Applications 235, 1999, pp. 380--393) als Differenz zweier gleichmäßig konvexer Funktionen dargestellt wurden und auf diese beiden Funktionen die Toland-Singer-Dualitätstheorie angewendet wurde. Es stellte sich heraus, dass diese dualen Gap-Funktionen stetig differenzierbar sind und unter geeigneten Bedingungen sogar stückweise stetig differenzierbare Gradienten besitzen. Die Ergebnisse in dieser Dissertation wurden durch numerische Berechnungen für diverse Testprobleme mittels bekannter Optimierungsverfahren erster Ordnung unterstützt. KW - Nash-Gleichgewicht KW - Dualitätstheorie KW - Nichtglatte Optimierung KW - Parametrische Optimierung KW - Spieltheorie KW - Generalized Nash equilibrium KW - Quasi-variational inequalities KW - DC optimization KW - Conjugate function KW - Dual gap function KW - Regularized gap function KW - Nikaido-Isoda function KW - Parametric optimization KW - Set-valued mapping KW - optimal solution mapping Y1 - 2014 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-106027 ER - TY - THES A1 - Oswald, Nicola T1 - Hurwitz's Complex Continued Fractions - A Historical Approach and Modern Perspectives T1 - Hurwitz' komplexe Kettenbrüche N2 - The thesis ’Hurwitz’s Complex Continued Fractions - A Historical Approach and Modern Perspectives.’ deals with two branches of mathematics: Number Theory and History of Mathematics. On the first glimpse this might be unexpected, however, on the second view this is a very fruitful combination. Doing research in mathematics, it turns out to be very helpful to be aware of the beginnings and development of the corresponding subject. In the case of Complex Continued Fractions the origins can easily be traced back to the end of the 19th century (see [Perron, 1954, vl. 1, Ch. 46]). One of their godfathers had been the famous mathematician Adolf Hurwitz. During the study of his transformation from real to complex continued fraction theory [Hurwitz, 1888], our attention was arrested by the article ’Ueber eine besondere Art der Kettenbruch-Entwicklung complexer Grössen’ [Hurwitz, 1895] from 1895 of an author called J. Hurwitz. We were not only surprised when we found out that he was the elder unknown brother Julius, furthermore, Julius Hurwitz introduced a complex continued fraction that also appeared (unmentioned) in an ergodic theoretical work from 1985 [Tanaka, 1985]. Those observations formed the Basis of our main research questions: What is the historical background of Adolf and Julius Hurwitz and their mathematical studies? and What modern perspectives are provided by their complex continued fraction expansions? In this work we examine complex continued fractions from various viewpoints. After a brief introduction on real continued fractions, we firstly devote ourselves to the lives of the brothers Adolf and Julius Hurwitz. Two excursions on selected historical aspects in respect to their work complete this historical chapter. In the sequel we shed light on Hurwitz’s, Adolf’s as well as Julius’, approaches to complex continued fraction expansions. Correspondingly, in the following chapter we take a more modern perspective. Highlights are an ergodic theoretical result, namely a variation on the Döblin-Lenstra Conjecture [Bosma et al., 1983], as well as a result on transcendental numbers in tradition of Roth’s theorem [Roth, 1955]. In two subsequent chapters we are concernced with arithmetical properties of complex continued fractions. Firstly, an analogue to Marshall Hall’s Theorem from 1947 [Hall, 1947] on sums of continued fractions is derived. Secondly, a general approach on new types of continued fractions is presented building on the structural properties of lattices. Finally, in the last chapter we take up this approach and obtain an upper bound for the approximation quality of diophantine approximations by quotients of lattice points in the complex plane generalizing a method of Hermann Minkowski, improved by Hilde Gintner [Gintner, 1936], based on ideas from geometry of numbers. N2 - Die Arbeit ’Hurwitz’s Complex Continued Fractions - A Historical Approach and Modern Perspectives.’ beschäftigt sich übergreifend mit zwei Teilbereichen der Mathematik: Zahlentheorie und Geschichte der Mathematik. Im ersten Teil wird ein historischer Blick auf das Leben und Wirken der Gebrüder Adolf und Julius Hurwitz gegeben. Insbesondere ihre akademische Laufbahn und ihr Einfluss auf die Entwicklung der komplexen Kettebruchtheorie werden beleuchtet. Im zweiten zahlentheoretischen Teil werden verschiedene Perspektiven auf Ergebnisse zur Approximationsgüte gegben. Hier stehen ein ergodentheoretisches Resultat, ein komplexes Analogon zur Döblin-Lenstra-Vermutung, im Vordergrund, sowie eine Verallgemeinerung auf Gitter. Aufbauend auf Methoden aus der ’Geometrie der Zahlen’ von Hermann Minkowski wird eine obere Approximationsschranke für allgemeine Gitter gegeben. KW - Adolf Hurwitz KW - Complex Continued Fractions KW - Julius Hurwitz KW - Brüder Hurwitz KW - Kettenbruch Y1 - 2014 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-106040 ER - TY - THES A1 - Staab, Patricia T1 - Geometrische Eigenschaften von Spiraltypflächen T1 - Geometrical Properties of Spiral Type Surfaces N2 - Spiraltypflächen sind Minimalflächen des dreidimensionalen euklidischen Raums, die sich durch hohe Symmetrie gegenüber komplexen Ähnlichkeitsabbildungen der Minimalkurve auszeichnen. Ihren Namen verdanken Sie folgender Eigenschaft: Sie und ihre komplex Homothetischen sind die einzigen auf Spiralflächen abwickelbaren Minimalflächen. Bekannte Spiraltypflächen sind die Spiralminimalflächen (zugleich Minimal- und Spiralflächen) und die Bourflächen (auf Rotationsflächen abwickelbare Minimalflächen). Das Katenoid und die Enneperfläche sind spezielle Bourflächen. In dieser Arbeit werden die Spiraltypflächen auf ihre geometrischen Eigenschaften untersucht. Wir stellen ihre Periodizitäten und Symmetrien fest und versuchen, ausgezeichnete Flächenkurven auf ihnen zu finden. Wir verwenden eine globale Weierstraß-Darstellung der Spiraltypflächen. In dieser Darstellung ergeben die Flächen eine Schar mit einem komplexen Scharparameter. Anhand dieser Darstellung leiten wir sämtliche Symmetrien der Spiraltypflächen zu linearen Ähnlichkeitsabbildungen der Minimalkurve her. Als Spezialfälle erhalten wir die Symmetrien unter Assoziationen und Derivationen (Drehung der Minimalkurve um einen imaginären Drehwinkel), sowie die reellen Symmetrien (Dreh-, Spiegel- und Strecksymmetrien). Unter den Spiraltypflächen gibt es nur zwei translationssymmetrische Flächen. Die Umorientierung einer Spiraltypfläche entspricht (bis auf komplexe Homothetie) dem Vorzeichenwechsel des Flächenparameters. Im Übrigen kann durch einfache Spiegelungen an den Koordinatenebenen beziehungsweise Drehungen um die Koordinatenachsen das Vorzeichen von Real- beziehungsweise Imaginärteil des Flächenparameters umgekehrt werden. Schließlich stellen wir noch ausgezeichnete Flächenkurven auf den Spiraltypflächen vor: Krümmungslinien, Asymptotenlinien und Geodätische, sowie als deren Verallgemeinerungen die Pseudokrümmungslinien und Pseudogeodätischen. N2 - Spiral type surfaces are minimal surfaces of the three-dimensional euclidean space, which are highly symmetric under similarity transformations of the corresponding complex minimal curve. They are named "spiral type" because these surfaces and their complex homothetics are the only minimal surfaces applicable to spiral surfaces. Well-known spiral type surfaces are the spiral minimal surfaces (which are both minimal and spiral) and the Bour surfaces (which are applicable to surfaces of revolution). The catenoid and the Enneper surface are Bour surfaces. In this paper we examine the geometrical properties of spiral type surfaces. We state their periodicities and symmetries and present special curves on these surfaces. We introduce a global Enneper-Weierstrass parameterization of the spiral type surfaces. Hence, the surfaces can be classified using a complex parameter. From this representation we can derive all symmetries under similarity transformations of the minimal curve. These symmetries contain the associations and derivations (i. e. rotations by imaginary angles) of minimal curves and the real mappings (especially rotations, reflections and central dilations). There are only two spiral type surfaces which are symmetric under translations. A change of orientation of a spiral type surface is equivalent to a combination of complex homothety and negation of the surface parameter. Anyway the sign of the real and imaginary part of the surface parameter can be changed by a simple reflection in a coordinate plane or a rotation around a coordinate axis. Finally we present special curves on spiral type surfaces: lines of curvature, asymptotic curves, geodesics, and the generalizations: pseudo curvature lines and pseudo geodesics. KW - Spiraltypfläche KW - Symmetrie KW - Minimalflächen KW - Minimalkurven KW - Spiraltypflächen KW - Spiralflächen KW - mittlere Krümmung KW - Derivation KW - Symmetrien KW - Pseudogeodätische KW - Minimal surfaces KW - minimal curves KW - spiral type surfaces KW - spiral surfaces KW - mean curvature KW - derivation KW - symmetries KW - pseudo geodesics Y1 - 2002 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-3727 ER - TY - THES A1 - Kraus, Daniela T1 - Conformal pseudo-metrics and some applications T1 - Konforme Pseudo-Metriken und einige Anwendungen N2 - The point of departure for the present work has been the following free boundary value problem for analytic functions $f$ which are defined on a domain $G \subset \mathbb{C}$ and map into the unit disk $\mathbb{D}= \{z \in \mathbb{C} : |z|<1 \}$. Problem 1: Let $z_1, \ldots, z_n$ be finitely many points in a bounded simply connected domain $G \subset \mathbb{C}$. Show that there exists a holomorphic function $f:G \to \mathbb{D}$ with critical points $z_j$ (counted with multiplicities) and no others such that $\lim_{z \to \xi} \frac{|f'(z)|}{1-|f(z)|^2}=1$ for all $\xi \in \partial G$. If $G=\mathbb{D}$, Problem 1 was solved by K?nau [5] in the case of one critical point, and for more than one critical point by Fournier and Ruscheweyh [3]. The method employed by K?nau, Fournier and Ruscheweyh easily extends to more general domains $G$, say bounded by a Dini-smooth Jordan curve, but does not work for arbitrary bounded simply connected domains. In this paper we present a new approach to Problem 1, which shows that this boundary value problem is not an isolated question in complex analysis, but is intimately connected to a number of basic open problems in conformal geometry and non-linear PDE. One of our results is a solution to Problem 1 for arbitrary simply connected domains. However, we shall see that our approach has also some other ramifications, for instance to a well-known problem due to Rellich and Wittich in PDE. Roughly speaking, this paper is broken down into two parts. In a first step we construct a conformal metric in a bounded regular domain $G\subset \mathbb{C}$ with prescribed non-positive Gaussian curvature $k(z)$ and prescribed singularities by solving the first boundary value problem for the Gaussian curvature equation $\Delta u =-k(z) e^{2u}$ in $G$ with prescribed singularities and continuous boundary data. This is related to the Berger-Nirenberg problem in Riemannian geometry, the question which functions on a surface R can arise as the Gaussian curvature of a Riemannian metric on R. The special case, where $k(z)=-4$ and the domain $G$ is bounded by finitely many analytic Jordan curves was treated by Heins [4]. In a second step we show every conformal pseudo-metric on a simply connected domain $G\subseteq \mathbb{C}$ with constant negative Gaussian curvature and isolated zeros of integer order is the pullback of the hyperbolic metric on $\mathbb{D}$ under an analytic map $f:G \to \mathbb{D}$. This extends a theorem of Liouville which deals with the case that the pseudo-metric has no zeros at all. These two steps together allow a complete solution of Problem 1. Contents: Chapter I contains the statement of the main results and connects them with some old and new problems in complex analysis, conformal geometry and PDE: the Uniformization Theorem for Riemann surfaces, the problem of Schwarz-Picard, the Berger-Nirenberg problem, Wittich's problem, etc.. Chapter II and III have preparatory character. In Chapter II we recall some basic results about ordinary differential equations in the complex plane. In our presentation we follow Laine [6], but we have reorganized the material and present a self-contained account of the basic features of Riccati, Schwarzian and second order differential equations. In Chapter III we discuss the first boundary value problem for the Poisson equation. We shall need to consider this problem in the most general situation, which does not seem to be covered in a satisfactory way in the existing literature, see [1,2]. In Chapter IV we turn to a discussion of conformal pseudo-metrics in planar domains. We focus on conformal metrics with prescribed singularities and prescribed non-positive Gaussian curvature. We shall establish the existence of such metrics, that is, we solve the corresponding Gaussian curvature equation by making use of the results of Chapter III. In Chapter V we show that every constantly curved pseudo-metric can be represented as the pullback of either the hyperbolic, the euclidean or the spherical metric under an analytic map. This is proved by using the results of Chapter II. Finally we give in Chapter VI some applications of our results. [1,2] Courant, H., Hilbert, D., Methoden der Mathematischen Physik, Erster/ Zweiter Band, Springer-Verlag, Berlin, 1931/1937. [3] Fournier, R., Ruscheweyh, St., Free boundary value problems for analytic functions in the closed unit disk, Proc. Amer. Math. Soc. (1999), 127 no. 11, 3287-3294. [4] Heins, M., On a class of conformal metrics, Nagoya Math. J. (1962), 21, 1-60. [5] K?nau, R., L?gentreue Randverzerrung bei analytischer Abbildung in hyperbolischer und sph?ischer Geometrie, Mitt. Math. Sem. Giessen (1997), 229, 45-53. [6] Laine, I., Nevanlinna Theory and Complex Differential Equations, de Gruyter, Berlin - New York, 1993. N2 - Der Ausgangspunkt dieser Arbeit war das folgende freie Randwertproblem f? analytische Funktionen $f$, die auf einem Gebiet $G \subset \mathbb{C}$ definiert sind und in den Einheitskreis $\mathbb{D}= \{z \in \mathbb{C} : |z|<1 \}$ abbilden. Problem 1: Es seien $z_1, \ldots, z_n$ endlich viele Punkte in einem beschr?kten einfach zusammenh?genden Gebiet $G \subset \mathbb{C}$. Existiert eine holomorphe Funktion $f:G \to \mathbb{D}$, die genau und nur in $z_j$ kritische Punkte (mit Vielfachheiten gez?lt) besitzt und $\lim_{z \to \xi} \frac{|f'(z)|}{1-|f(z)|^2}=1$ f? alle $\xi \in \partial G$ erf?lt. F? $G=\mathbb{D}$ wurde Problem 1 von K?nau [5] im Fall eines kritischen Punktes gel?t und f? mehr als einen kritischen Punkt von Fournier and Ruscheweyh [3]. Die Methode, die von K?nau, Fournier and Ruscheweyh benutzt wurde, l?st sich auf allgemeinere Gebiete $G$ ?ertragen, aber nicht auf beliebige beschr?kte einfach zusammenh?gende Gebiete. In dieser Arbeit wird ein Zugang zu Problem 1 dargestellt, der das Randwertproblem der Komplexen Analysis mit einer Reihe offener Probleme in der Konformen Geometrie und der Theorie nicht-linearer PDE in Zusammenhang bringt. Insbesondere wird Problem 1 f? beliebige einfach zusammenh?gende Gebiete gel?t. Es wird gezeigt, dass der gew?lte Zugang weitere Verzweigungen aufweist, z.B. zu einem wohlbekannten Problem von Rellich und Wittich in PDE. Die Arbeit besteht aus zwei Hauptteilen. In einem ersten Schritt werden konforme Metriken in einem beschr?kten regul?en Gebiet $G \subset \mathbb{C}$ mit vorgeschriebener nicht-positiver Gau?cher Kr?mung $k(z)$ und vorgeschriebenen Singularit?en konstruiert, indem das erste Randwertproblem f? die Gau?che Kr?mungsgleichung $\Delta u=-k(z) e^{2u}$ in $G$ mit vorgeschriebenen Singularit?en und stetigen Randwerten gel?t wird. Dies steht in Zusammenhang mit dem Berger-Nirenberg Problem, der Frage, welche Funktionen auf einer Riemannschen Fl?he R als Gau?che Kr?mung einer Riemannschen Metrik auf R auftreten k?nen. Der Spezialfall, dass $k(z)=-4$ und das Gebiet $G$ durch endlich viele analytische Jordankurven berandet ist, wurde von Heins [4] gel?t. In einem zweiten Schritt wird gezeigt, dass jede konforme Pseudo-Metrik auf einem einfach zusammenh?genden Gebiet $G \subseteq \mathbb{C}$ mit konstanter negativer Gau?cher Kr?mung und isolierten Nullstellen ganzzahliger Ordnung die Zur?kholung der hyperbolischen Metrik auf $\mathbb{D}$ unter einer holomorphen Funktion $f:G \to \mathbb{D}$ ist. Dies erweitert einen Satz von Liouville, der den Fall einer nullstellenfreien Pseudo-Metrik behandelt. Die beschriebenen zwei Schritte l?en Problem 1 vollst?dig. Inhaltsangabe: Kapitel I enth?t die Ergebnisse der Arbeit und stellt den Zusammenhang mit alten und neuen Problemen in Komplexer Analysis, Konformer Geometrie, und PDE dar: dem Uniformisierungssatz f? Riemannsche Fl?hen, dem Problem von Schwarz-Picard, dem Berger-Nirenberg Problem, Wittichs Problem, etc.. In Kapitel II wird an grundlegende Ergebnisse gew?nlicher Differentialgleichungen in der komplexen Ebene erinnert. Die Darstellung folgt Laine [6]. Das Material ist reorganisiert und enth?t eine Auflistung der wichtigsten Gesichtspunkte von Riccati und Schwarzschen Differentialgleichungen sowie Differentialgleichungen zweiter Ordnung. In Kapitel III wird das erste Randwertproblem f? die Poisson Gleichung diskutiert. Es wird in gr秤ter Allgemeinheit betrachtet, da es scheinbar in der vorhandenen Literatur nicht in einer befriedigenden Weise behandelt wird, siehe [1,2]. In Kapitel IV werden Pseudo-Metriken in ebenen Gebieten diskutiert. Im Mittelpunkt stehen Metriken mit vorgeschriebenen Singularit?en und vorgeschriebener nicht-positiver Gau?cher Kr?mung. Die Existenz solcher Metriken wird mithilfe der Ergebnisse aus Kapitel III bewiesen. In Kapitel V wird gezeigt, dass sich jede Pseudo-Metrik konstanter Kr?mung als Zur?kholung der hyperbolischen, der euklidischen oder der sph?ischen Metrik unter einer analytischen Funktion darstellen l?st. Hierf? werden die Ergebnisse aus Kapitel II herangezogen. Einige Anwendungen der Ergebnisse befinden sich in Kaptil VI. [1,2] Courant, H., Hilbert, D., Methoden der Mathematischen Physik, Erster/ Zweiter Band, Springer-Verlag, Berlin, 1931/1937. [3] Fournier, R., Ruscheweyh, St., Free boundary value problems for analytic functions in the closed unit disk, Proc. Amer. Math. Soc. (1999), 127 no. 11, 3287-3294. [4] Heins, M., On a class of conformal metrics, Nagoya Math. J. (1962), 21, 1-60. [5] K?nau, R., L?gentreue Randverzerrung bei analytischer Abbildung in hyperbolischer und sph?ischer Geometrie, Mitt. Math. Sem. Giessen (1997), 229, 45-53. [6] Laine, I., Nevanlinna Theory and Complex Differential Equations, de Gruyter, Berlin - New York, 1993. KW - Freies Randwertproblem KW - Pseudometrik KW - konforme Pseudo-Metriken KW - freies Randwertproblem KW - Darstellung vonPseudo-Metriken KW - Poisson Gleichung KW - erstes Randwertproblem in PDE KW - conformal pseudo-metrics KW - representation of pseudo-metrics KW - Poisson equation KW - first boundary value problem in PDE Y1 - 2003 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-9193 ER - TY - THES A1 - Nagel, Christian T1 - Glättungsverfahren für semidefinite Programme T1 - Smoothing-type Methods for Semidefinite Programs N2 - In dieser Arbeit werden Algorithmen zur Lösung von linearen semidefiniten Programmen beschrieben. Unter einer geeigneten Regularitätsvoraussetzung ist ein semidefinites Programm äquivalent zu seinen Optimalitätsbedingungen. Die Optimalitätsbedingungen bzw. die Zentralen-Pfad-Bedingungen überführen wir zunächst durch matrixwertige NCP-Funktionen in ein nichtlineares Gleichungssystem. Dieses nichtlineare und teilweise nicht differenzierbare Gleichungssystem lösen wir dann mit einem Newton-ähnlichen Verfahren. Durch die Umformulierung in ein nichtlineares Gleichungssystem muss während der Iteration nicht mehr explizit die positive (Semi-)Definitheit der beteiligten Matrizen beachtet werden. Weiter wird gezeigt, dass dieser Ansatz im Gegensatz zu Inneren-Punkte-Methoden sofort symmetrische Suchrichtungen erzeugt. Um globale Konvergenz zu erhalten, werden verschiedene Globalisierungsstrategien (Schrittweitenbestimmung, Trust-Region-Ansatz) untersucht. Für das betrachtete Prädiktor-Korrektor-Verfahren und das Trust-Region-Verfahren wird lokal superlineare Konvergenz unter strikter Komplementarität und Nichtdegeneriertheit gezeigt. Die theoretische Untersuchung eines nichtglatten Newton-Verfahrens liefert ein lokal quadratisches Konvergenzverhalten ohne strikte Komplementarität, wenn die Nichtdegeneriertheitsvoraussetzung geeignet modifiziert wird. N2 - In this thesis we consider algorithms to compute a solution of linear semidefinite programs. Under a suitable regularity condition a semidefinite program is equivalent to its optimality conditions. These optimality conditions, or central-path-conditions, are reformulated as a nonlinear system of equations via matrix-valued NCP-functions. This nonlinear and partly nonsmooth system of equations is solved with a Newton-type method. Because of the reformulation as a nonlinear system of equations, we do not need the iterates to be positive (semi-)definite. Moreover, this reformulation automatically computes symmetric search directions, in contrast to interior point methods. To obtain global convergence, different globalizations (line search, trust-region) are considered. For the predictor-corrector method and the trust-region-method global and local superlinear convergence is shown under strikt complementarity and nondegeneracy. The theoretical investigation of a nonsmooth version of Newton's methods yields locally quadratic convergence without strict complementarity if the nondegeneracy conditon is modified in a suitable way. KW - Semidefinite Optimierung KW - Semidefinite Programme KW - Newton-Verfahren KW - Glättungsverfahren KW - NCP-Funktionen KW - semidefinite programming KW - Newton's method KW - smoothing-type methods KW - NCP-functions Y1 - 2003 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-8099 ER - TY - THES A1 - Fleischmann, Peter T1 - Bildung reiner Hüllen in vollständig zerlegbaren torsionsfreien abelschen Gruppen T1 - Pure subgroups of completely decomposable torsionfree abelian groups N2 - Reine Untergruppen von vollständig zerlegbaren torsionsfreien abelschen Gruppen werden Butlergruppen genannt. Eine solche Gruppe läßt sich als endliche Summe von rationalen Rang-1-Gruppen darstellen. Eine solche Darstellung ist nicht eindeutig. Daher werden Methoden entwickelt, die zu einer Darstellung mit reinen Summanden führen. Weiter kann aus dieser Darstellung sowohl die kritische Typenmenge als auch die Typuntergruppen direkt abgelesen werden. Dies vereinfacht die Behandlung von Butlergruppen mit dem Computer und gestattet darüberhinaus eine elegantere Darstellung. N2 - A pure subgroup of a completely decomposable torsion free abelian group is called Butler group. These groups can be represented as sum of rational subgroups. A representation with pure summands is developed, such that the critical typeset can be read off and every type-subgroup can be represented as sum of these summands. KW - Torsionsfreie Abelsche Gruppe KW - Abelsche Gruppe KW - Hüllenbildung KW - Reine Untergruppen KW - torsionsfreie abelsche Gruppen KW - pure subgroups KW - torsionfree abelian groups Y1 - 2003 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-5979 ER - TY - THES A1 - Preiß, Martin T1 - Analytizitätseigenschaften gewichteter zentraler Pfade bei monotonen Komplementaritätsproblemen und ihre Ausnutzung T1 - Analyticity properties of weighted central paths arising with monotone complementarity problems and their exploitation N2 - Die vorliegende Arbeit untersucht die Analytizitätseigenschaften unzulässiger Innerer-Punkte Pfade bei monotonen Komplementaritätsproblemen und diskutiert mögliche algorithmische Anwendungen. In Kapitel 2 werden einige matrixanalytische Konzepte und Resultate zusammengestellt, die für die Beweisführung in den folgenden Kapiteln benötigt werden. Kapitel 3 gibt eine genaue Definition der Begriffe "monotones lineares Komplementaritätsproblem" (LCP) bzw. "semidefinites monotones lineares Komplementaritätsproblem" (SDLCP) und zeigt die Grundidee hinter den Innere-Punkte-Verfahren zur Lösung solcher Probleme. Kapitel 4 beinhaltet die analytischen Hauptresultate für monotone Komplementaritätsprobleme. In Abschnitt 4.1 werden einige wohlbekannte Resultate über die Analytizitätseigenschaften unzulässiger Innerer-Punkte-Pfade für LCP's wiedergegeben. Diese werden in Abschnitt 4.2 auf den semidefiniten Fall übertragen. Unter der Annahme, dass das zugrundeliegende SDLCP eine strikt komplementäre Lösung besitzt, wird gezeigt, dass die Inneren-Punkte-Pfade sogar noch im Randpunkt analytisch sind. Kapitel 5 benutzt die Resultate aus Kapitel 4, um die lokal hohe Konvergenzordnung einer Langschrittmethode zur Lösung von SDLCP's zu zeigen. Kapitel 6 führt eine neue Methode zur Lösung von LCP's und SDLCP's mit Hilfe von Inneren-Punkte-Techniken ein. Dabei werden die Pfadfunktionen derart gewählt, dass alle Iterierten auf unzulässigen zentralen Pfaden liegen. Es wird globale und lokale Konvergenz des Verfahrens bewiesen. N2 - This thesis investigates the analyticity properties of infeasible interior point paths arising with monotone complementarity problems and discusses possible algorithmic applications. Chapter 2 summarizes some matrix analytical concepts and results that are needed for the proofs in the following chapters. Chapter 3 defines the terms "monotone linear complementarity problem" (LCP) and "semidefinite monotone linear complementarity problem" (SDLCP) exactly and shows the basic concept behind interior point methods for solving them. Chapter 4 contains the main analytical results for monotone complementarity problems. After repeating some well-known results on the analyticity properties of infeasible interior point paths for LCP's in section 4.1 these results are extended to the semidefinite case in section 4.2. Under the assumption that the underlying SDLCP has a strictly complementary solution it is shown that the interior point paths are analytical even at the boundary point. Chapter 5 uses the results of chapter 4 to show the locally high order of convergence of a long step method for solving SDLCP's. Chapter 6 introduces a new method for solving LCP's and SDLCP's respectively using interior point techniques. Here, the path functions are chosen in such a way that all the iterates are lying on infeasible central paths. Global and local convergence proofs are given. KW - Innere-Punkte-Methode KW - Innere-Punkte-Verfahren KW - unzulässige Innere-Punkte-Pfade KW - semidefinite Komplementaritätsprobleme KW - analytische Fortsetzung KW - Langschrittmethoden KW - interior point methods KW - infeasible interior point paths KW - semidefinite complementarity problems KW - analytical continuation KW - long step methods Y1 - 2002 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-3969 ER - TY - THES A1 - Bletz-Siebert, Oliver T1 - Homogeneous spaces with the cohomology of sphere products and compact quadrangles T1 - Homogene Räume mit der Kohomologie von Sphärenprodukten und kompakte Vierecke N2 - We consider homogeneous spaces G/H with the same rational homotopy as a product of a 1-sphere and a (m+1)-sphere. We show that these spaces have also the rational cohomology of such a sphere product if H is connected and if the quotient has dimension m+2. Furthermore, we prove that if additionally the fundamental group of G/H is cyclic, then G/H is locally a product of a 1-torus and ofA/H, where A/H is a simply connected rational cohomology (m+1)-sphere (and hence classified). If H fails to be connected, then with U as the connected component of H the G-action on the covering space G/U of G/H has connected stabilizers, and the results apply to G/U. To show that under the assumptions above every natural number may be realized as the order of the group of connected components of H we calculate the cohomology of certain homogeneous spaces. We also determine the rational cohomology of the fibre bundle U-->G-->G/U if G/H meets the assumptions above. This is done by considering the respective Leray-Serre spectral sequence. The structure of the cohomology of U-->G-->G/U then gives a second proof for the structure of compact connected Lie groups acting transitively on spaces with the rational homotopy of a product of a 1-sphere and a (m+1)-sphere. Since a quotient of a homogeneous space with the same rational homotopy or cohomology as a product of a 1-sphere and a (m+1)-sphere is not simply connected, there often arises the question whether or not a considered fibre bundle or fibration is orientable. A large amount of space will therefore be given to the problem of showing that certain fibrations are orientable. For compact connected (m+2)-manifolds with cyclic fundamental groups and with the rational homotopy of a product of a 1-sphere and a (m+1)-sphere we show the following: if a connected Lie group acts transitively on the manifold, then the maximal compact subgroups are either transitive, or their orbits are simply connected rational cohomology spheres of codimension 1. Homogeneous spaces with the same rational cohomology or homotopy as a a product of a 1-sphere and a (m+1)-sphere play a role in the study of different types of geometrical objects. They appear for example as focal manifolds of isoparametric hypersurfaces with four distinct principal curvatures. Further examples of such spaces are the point spaces and the line spaces of compact connected generalized quadrangles. We determine the isometry groups of isoparametric hypersurfaces with 4 principal curvatures of multiplicities 1 and m which are transitive on the focal manifold with non-trivial fundamental group. Buildings were introduced by Jacques Tits to give interpretations of simple groups of Lie type. They are a far-reaching generalization of projective spaces, in particular a generalization of projective planes. There is another generalization of projective planes called generalized polygons. A projective plane is the same as a generalized triangle. The generalized polygons are also contained in the class of buildings: they are the buildings of rank 2. To compact quadrangles one can assign a pair of natural numbers called the topological parameters of the quadrangles. We treat the case k=1. It turns out that there are no other point-transitive compact connected Lie groups for (1,m)-quadrangles than the ones for the real orthogonal quadrangles. Furthermore, we solve the problem of three infinite series of group actions which Kramer left as open problems; there are no quadrangles with the homogeneous spaces in question as point spaces (up to maybe a finite number of small parameters in one of the three series). N2 - Es werden homogene Räume G/H mit der rationalen Homotopie von Produkten von einer 1-Sphäre mit einer (m+1)-Sphäre untersucht. Die Ergebnisse werden auf kompakte Vierecke (das sind die sphärischen kompakten Tits-Gebäude vom Typ C2) und auf isoparametrische Hyperflächen angewandt. Wir zeigen, dass die obigen homogenen Räume auch die rationale Kohomologie des jeweiligen Sphärenprodukts haben, falls H zusammenhängend ist und der Quotient die Dimension m+2 besitzt. Die Kohomologie gewisser homogener Räume wird bestimmt, um zu zeigen, dass die Gruppe der Komponenten von H jede beliebige natürliche Zahl als Ordnung besitzen kann. Falls die Fundamentalgruppe von G/H zyklisch ist, dann ist G/H lokal von der Form Tx(A/H) mit einer eindimensionalen Torusgruppe T und einer homogenen einfach-zusammenhängenden rationalen (m+1)-Kohomologiesphäre A/H; letztere sind klassifiziert. Wir bestimmen mit Hilfe der Leray-Serre-Spektralsequenz auch die rationale Kohomologie des Faserbündels U-->G-->G/U für die Zusammenhangskomponente U von H. Ein Quotient mit der rationalen Homotopie eines Produktes einer 1-Sphäre und einer (m+1)-Sphäre ist nicht einfach zusammenhängend. Deshalb tritt häufig die Frage auf, ob gewisse Faserungen orientierbar sind. Diesem Bereich wird viel Raum gewidmet. Wirkt eine Liegruppe transitiv auf einer kompakten Mannigfaltigkeit mit endlicher Fundamentalgruppe, dann wirkt nach einem Ergebnis von Montgomery auch jede maximale kompakte Untergruppe noch transitiv. Dies ist im Allgemeinen falsch für unendliche Fundamentalgruppen. Aber hier wird gezeigt: Wirkt eine zusammenhängende Liegruppe transitiv auf einer kompakten (m+2)-dimensionalen Mannigfaltigkeit mit zyklischer Fundamentalgruppe und mit der rationalen Homotopie eines Produktes einer 1-Sphäre und einer (m+1)-Sphäre, dann sind die maximalen kompakten Untergruppen transitiv oder ihre Bahnen sind alle einfach zusammenhängende rationale (m+1)-Kohomologiesphären. Diese topologischen Ergebnisse werden auf zwei verschieden Arten von geometrischen Objekten angewandt, nämlich auf Fokalmannigfaltigkeiten isoparametrischer Hyperflächen und auf Punkträume kompakter verallgemeinerter Vierecke. Isoparametrische Hyperflächen in Sphären sind abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten mit konstanten Hauptkrümmungen. Wir wenden unsere obigen Resultate an und bestimmen die transitiven isometrischen Wirkungen auf einer Fokalmannigfaltigkeit, falls es vier Hauptkrümmungen gibt und die Fokalmannigfaltigkeit die rationalen Homotopie eines Produktes einer 1-Sphäre mit einer (m+1)-Sphäre besitzt. Viele kompakte zusammenhängende Polygone gestatten eine transitive Wirkung ihrer Automorphismengruppe auf ihrem Punkt- oder Geradenraum. Wegen der Dualität der Rolle von Punkt- und Geradenraum genügt es Punkt-homogene Vierecke zu betrachten. Einem Punkt-homogenen kompakten zusammenhängenden Viereck lässt sich ein Paar (k,m) natürlicher Zahlen zuordnen, die topologischen Parameter des Viereck. Wir behandeln hier den Fall k=1. Es zeigt sich, dass es keine anderen Punkt-transitive Liegruppen gibt als diejenigen für die reellen orthogonalen Vierecke. Zusätzlich beweisen wir, dass es für drei bestimmte Serien von homogenen Räumen (für die die Frage, ob sie zu verallgemeinerten Vierecken gehören, ein offenes Problem war) keine entsprechenden Vierecke mit den homogenen Räumen als Punkträumen gibt. KW - Homogener Raum KW - Kohomologie KW - homogene Raüme KW - Kohomologie KW - Liegruppen KW - verallgemeinerte Vierecke KW - Gebäude KW - homogeneous spaces KW - cohomology KW - Lie groups KW - generalized quadrangles KW - buildings Y1 - 2002 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-3994 ER - TY - THES A1 - Grahl, Jürgen T1 - Blochsches Prinzip, Lückenreihen und Semidualität T1 - Bloch's Principle, Gap Power Series and Semiduality N2 - Ein bekanntes heuristisches Prinzip von A. Bloch beschreibt die Korrespondenz zwischen Kriterien für die Konstanz ganzer Funktionen und Normalitätskriterien. In der vorliegenden Dissertation untersuchen wir die Gültigkeit des Blochschen Prinzip bei Lückenreihenproblemen sowie Zusammenhänge zwischen Normalitätsfragen und der Semidualität von einer bzw. von zwei Funktionen. Die ersten beiden Kapitel stellen die im folgenden benötigten Hilfsmittel aus der Nevanlinnaschen Wertverteilungstheorie und der Normalitätstheorie bereit. Im dritten Kapitel beweisen wir ein neues Normalitätskriterium für Familien holomorpher Funktionen, für die ein Differentialpolynom einer bestimmten Gestalt nullstellenfrei ist. Dies verallgemeinert frühere Resultate von Hayman, Drasin, Langley und Chen & Hua. Kapitel 4 ist dem Beweis eines unserer im folgenden wichtigsten Hilfsmittel gewidmet: eines tiefliegenden Konvergenzsatzes von H. Cartan über Familien von p-Tupeln holomorpher nullstellenfreier Funktionen, welche einer linearen Relation unterliegen. In Kapitel 5 werden die Konzepte der Dualität und Semidualität eingeführt und die Verbindung zu Normalitätsfragen diskutiert. Die neuen Ergebnisse über Lückenreihen finden sich im sechsten Kapitel. Der Schwerpunkt liegt hierbei zum einen auf sog. AP-Lückenreihen, zum anderen auf allgemeinen Konstruktionsverfahren, mit denen sich neue semiduale Lückenstrukturen aus bereits bekannten gewinnen lassen. Zahlreiche unserer Beweise beruhen wesentlich auf dem Satz von Cartan aus Kapitel 4. Im siebten Kapitel erweitern wir unsere Semidualitätsuntersuchungen auf Mengen aus zwei Funktionen. Wir ziehen Normalitätskriterien (vor allem das in Kapitel 3 bewiesene sowie den Satz von Cartan) heran, um spezielle Mengen als nichtsemidual zu identifizieren. Zuletzt konstruieren wir ein Beispiel einer semidualen Menge aus zwei Funktionen. N2 - A well-known heuristic principle by A. Bloch describes the correspondence between criteria for an entire function being constant and normality criteria. In this thesis we investigate Bloch's Principle in the context of gap power series and connections between normality questions and the question of semiduality of a single function or a set of two functions. The first two chapters provide necessary tools from Nevanlinna's Theory of value distribution and from normality theory. In the third chapter we prove a new normality criterion for families of analytic functions for which a differential polynomial of a certain type is nonvanishing. This extends former results of Hayman, Drasin, Langley and Chen & Hua. Chapter 4 is devoted to the proof of a tool essential for our further investigations: a deep convergence theorem of H. Cartan about families of p-tuples of zero-free analytic functions satisfying a linear relation. In chapter 5 we introduce the concepts of duality and semiduality and discuss connections to normality questions. Our new results on gap power series can be found in chapter 6. Here we focus on so-called AP-gaps and on general methods how to construct new semidual gap structures from already known semidual gap structures. Cartan's Theorem as stated in chapter 4 is crucial for proving most of these results. In chapter 7 we extend our considerations to the question whether sets consisting of two functions are semidual or not. We apply suitable normality criteria (in particular the criterion proved in chapter 3 and Cartan's Theorem) to identify special sets as non-semidual. Finally, we construct an example of a semidual set consisting of two functions. KW - Blochsches Prinzip KW - Semidualtität KW - Lückenreihe KW - Blochsches Prinzip KW - Semidualität KW - Dualität KW - Faltung KW - Lückenreihen KW - normale Familien KW - Satz von Cartan KW - Bloch's Principle KW - semiduality KW - duality KW - convolution KW - gap power series KW - normal families KW - Cartan's Theorem Y1 - 2002 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-3477 ER - TY - THES A1 - Wolfrom, Martin T1 - Isoparametric hypersurfaces with a homogeneous focal manifold T1 - Isoparametrische Hyperflächen mit einer homogenen Fokalmannigfaltigkeit N2 - The classification of isoparametric hypersurfaces in spheres with a homogeneous focal manifold is a project that has been started by Linus Kramer. It extends results by E. Cartan and Hsiang and Lawson. Kramer does most part of this classification in his Habilitationsschrift. In particular he obtains a classification for the cases where the homogeneous focal manifold is at least 2-connected. Results of E. Cartan, Dorfmeister and Neher, and Takagi also solve parts of the classification problem. This thesis completes the classification. We classify all closed isoparametric hypersurfaces in spheres with g>2 distinct principal curvatures one of whose multiplicities is 2 such that the lower dimensional focal manifold is homogeneous. The methods are essentially the same as in Kramer's 'Habilitationsschrift'. The cohomology of the focal manifolds in question is known. This leads to two topological classification problems, which are also solved in this thesis. We classify simply connected homogeneous spaces of compact Lie groups with the same integral cohomology ring as a product of spheres S^2 x S^m and m odd on the one hand and a truncated polynomial ring Q[a]/(a^m) with one generator of even degree and m > 1 as its rational cohomology ring on the other hand. N2 - Die Klassifikation der isoparametrischen Hyperflächen mit einer homogenen Fokalmannigfaltigkeit ist ein Projekt, das von Linus Kramer initiiert wurde. Es verallgemeinert Ergebnisse von E. Cartan und von Hsiang und Lawson. Kramer vollzieht den Großteil dieser Klassifikation in seiner Habilitationsschrift. Genauer gesagt, erhält er eine Klassifikation für die Fälle, in denen die homogene Fokalmannigfaltigkeit mindestens 2-zusammenhängend ist. Ergebnisse von E. Cartan, von Dorfmeister und Neher und von Takagi lösen ebenfalls Teile des Problems. Diese Dissertation schließt die Klassifikation ab. Wir klassifizieren alle abgeschlossenen isoparametrischen Hyperflächen in Sphären mit g>2 verschiedenen Hauptkrümmungen, deren eine Vielfachheit 2 ist, wobei die der Dimension nach kleinere Fokalmannigfaltigkeit homogen ist. Die Methoden sind im Wesentlichen die gleichen wie in Kramers Habilitationsschrift. Die Kohomologie der fraglichen Fokalmannigfaltigkeiten ist bekannt. Dies führt zu zwei topologischen Klassifikationsproblemen, die ebenfalls in dieser Dissertation gelöst werden. Wir klassifizieren einfach zusammenhängende homogene Räume kompakter Lie-Gruppen, welche einerseits den gleichen ganzzahligen Kohomologiering haben wie ein Sphären-Produkt S^2 x S^m, m ungerade, oder andererseits einen abgeschnittenen Polynomring Q[a]/(a^m) in einem Erzeuger von geradem Grad und m>1 als Kohomologiering haben. KW - Isoparametrische Hyperfläche KW - Sphäre KW - Fokalmannigfaltigkeit KW - Klassifikation KW - Homogener Raum KW - Kompakte Lie-Gruppe KW - Kohomologie Y1 - 2002 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-3505 ER - TY - THES A1 - Joachim, Silvia T1 - Regulatorketten in Butlergruppen T1 - Regulator Chains of Butler Groups N2 - Die fast vollständig zerlegbaren Gruppen bilden eine Teilklasse der Butlergruppen. Das Konzept des Regulators, d.h. der Durchschnitt aller regulierenden Untergruppen, ist unverzichtbar für fast vollständig zerlegbare Gruppen. Dieses Konzept lässt sich in natürlicher Weise auf die ganze Klasse der Butlergruppen fortsetzen. Allerdings lässt sich die Regulatorbildung im allgemeineren Fall der Butlergruppen a priori iterieren. Damit stellt sich erst einmal die Frage, ob es überhaupt Butlergruppen gibt mit Regulatorketten, der Länge größer als 1. Ein erstes Beispiel der Länge 2 wurde 1997 von Lehrmann und Mutzbauer konstruiert. In dieser Dissertation wurden mit konzeptionell neuen Techniken Butlergruppen mit beliebiger vorgegebener endlicher Kettenlänge angegeben. Grundsätzliche Schwierigkeiten bei diesem Unterfangen resultieren aus dem Fehlen, bzw. der Unmöglichkeit, einer kanonischen Darstellung von Butlergruppen. Man verwendet die allseits gebrauchte Summendarstellung für Butlergruppen. Genau an dieser Stelle bedarf es völlig neuer Methoden, verglichen mit den fast vollständig zerlegbaren Gruppen mit ihrer kanonischen Regulatordarstellung. Alle Teilaufgaben bei der anstehenden Konstruktion von Butlergruppen, die für fast vollständig zerlegbare Gruppen Standard sind, werden hierbei problematisch, u.a. die Bildung reiner Hüllen, die Bestimmung regulierender Untergruppen und die Regulatorbildung. N2 - The almost completely decomposable groups form a subclass of the Butler groups. The concept of a regulator, i. e., the intersection of all regulating subgroups, is inevitable for almost completely decomposable groups. This concept can be transferred and continued to the whole class of Butler groups in a natural way. However, forming the regulator for Butler groups usually allows proper iteration. Thus, the primary question is, if there are any Butler groups at all with longer regulator chains, the length longer than 1. A first example of length 2 was constructed by Lehrmann and Mutzbauer in 1997. In this doctoral dissertation Butler groups were constructed of an arbitrarily given finite chain length, using conceptually new techniques. Basic difficulties resulted from the lack, or respectively, the impossibility, of any canonical descriptions of Butler groups. Usually Butler groups are given by the so called sum representation. Precisely here completely new methods are necessary to be applied, compared with the almost completely decomposable groups and their canonical regulator representation. All detailed tasks for the indicated construction of Butler groups, which are standard for almost completely decomposable groups, become problematic, among other things the forming of pure hulls, the determination of regulating subgroups, and the construction of the regulator. KW - Butlergruppe KW - Regulator KW - Butlergruppe KW - regulierende Untergruppen KW - Regulator KW - Butler group KW - regulating subgroup KW - regulator Y1 - 2004 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-10438 ER - TY - THES A1 - Kurniawan, Indra T1 - Controllability Aspects of the Lindblad-Kossakowski Master Equation : A Lie-Theoretical Approach T1 - Kontrollierbarkeitsaspekte der Lindblad-Kossakowski Master-Gleichung : Ein Lie-theoretischer Ansatz N2 - One main task, which is considerably important in many applications in quantum control, is to explore the possibilities of steering a quantum system from an initial state to a target state. This thesis focuses on fundamental control-theoretical issues of quantum dynamics described by the Lindblad-Kossakowski master equation which arises as a bilinear control system on some underlying real vector spaces, e.g controllability aspects and the structure of reachable sets. Based on Lie-algebraic methods from nonlinear control theory, the thesis presents a unified approach to control problems of finite dimensional closed and open quantum systems. In particular, a simplified treatment for controllability of closed quantum systems as well as new accessibility results for open quantum systems are obtained. The main tools to derive the results are the well-known classifications of all matrix Lie groups which act transitively on Grassmann manifolds, and respectively, on real vector spaces without the origin. It is also shown in this thesis that accessibiity of the Lindblad-Kossakowski master equation is a generic property. Moreover, based on the theoretical accessibility results, an algorithm is developed to decide when the Lindblad-Kossakowski master equation is accessible. N2 - Eine Hauptaufgabe, mit zahlreichen wichtigen Anwendungen in dem Gebiet der Quantenkontrolle, ist die Untersuchung der Möglichkeit zur Steuerung eines quantenmechanischen Systems von einem Anfangszustand zum einem Zielszustand. Diese Arbeit konzentriert sich auf die grundlegenden kontrolltheoretischen Fragen, wie z.B solche zur Erreichbarkeits- und Kontrollierbarkeit, über quantendynamische Systeme, die durch die Lindblad-Kossakowski Master Gleichungen beschrieben werden. Diese Gleichungen bilden bilineare Kontrollsysteme auf einem reellen Vektorraum. Basierend auf Lie-algebraische Methoden der nicht-linearen Kontrolltheorie, wird in dieser Arbeit ein vereinheitlichter Zugang präsentiert um die kontrolltheoretischen Fragen in endlichdimensionalen, geschlossenen wie offenen Quantensystemen zu beantworten. Insbesondere, werden eine vereinfachte Verarbeitung der Kontrollierbarkeitsfragen geschlossener Systeme sowie neue Ergebnisse zur Frage der Zugänglichkeit offener Systeme ausgearbeitet. Der Hauptansatz, um dieser Ergebnisse abzuleiten, besteht in der bekannten Klassifizierung aller Matrix-Lie Gruppen, die auf Grassmann Mannigfaltigkeiten bzw. reellen Vektorräumen ohne Ursprung, transitiv operieren. In dieser Arbeit, werden auch generische Eigenschaften zur Zugänglichkeit der Lindblad-Kossakowski Master Gleichung ausgeführt. Ferner wird, mit Hilfsmittel von theoretischer Ergebnisse, ein Algorithmus zur Bestimmung der Zugänglichkeit der Lindblad-Kossakowski Master Gleichung entwickelt. KW - Kontrolltheorie KW - Quantenmechanisches System KW - Master-Gleichung KW - Lie-Gruppe KW - Controllability KW - Blinear Quantum Control Systems KW - Lindblad-Kossakowski Master Equation KW - Transitive Lie Groups Y1 - 2009 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-48815 ER - TY - THES A1 - König, Joachim T1 - The inverse Galois problem and explicit computation of families of covers of \(\mathbb{P}^1\mathbb{C}\) with prescribed ramification T1 - Das Umkehrproblem der Galoistheorie und explizite Berechnung von Familien von Überlagerungen des \(\mathbb{P}^1\mathbb{C}\) mit vorgegebener Verzweigung N2 - In attempting to solve the regular inverse Galois problem for arbitrary subfields K of C (particularly for K=Q), a very important result by Fried and Völklein reduces the existence of regular Galois extensions F|K(t) with Galois group G to the existence of K-rational points on components of certain moduli spaces for families of covers of the projective line, known as Hurwitz spaces. In some cases, the existence of rational points on Hurwitz spaces has been proven by theoretical criteria. In general, however, the question whether a given Hurwitz space has any rational point remains a very difficult problem. In concrete cases, it may be tackled by an explicit computation of a Hurwitz space and the corresponding family of covers. The aim of this work is to collect and expand on the various techniques that may be used to solve such computational problems and apply them to tackle several families of Galois theoretic interest. In particular, in Chapter 5, we compute explicit curve equations for Hurwitz spaces for certain families of \(M_{24}\) and \(M_{23}\). These are (to my knowledge) the first examples of explicitly computed Hurwitz spaces of such high genus. They might be used to realize \(M_{23}\) as a regular Galois group over Q if one manages to find suitable points on them. Apart from the calculation of explicit algebraic equations, we produce complex approximations for polynomials with genus zero ramification of several different ramification types in \(M_{24}\) and \(M_{23}\). These may be used as starting points for similar computations. The main motivation for these computations is the fact that \(M_{23}\) is currently the only remaining sporadic group that is not known to occur as a Galois group over Q. We also compute the first explicit polynomials with Galois groups \(G=P\Gamma L_3(4), PGL_3(4), PSL_3(4)\) and \(PSL_5(2)\) over Q(t). Special attention will be given to reality questions. As an application we compute the first examples of totally real polynomials with Galois groups \(PGL_2(11)\) and \(PSL_3(3)\) over Q. As a suggestion for further research, we describe an explicit algorithmic version of "Algebraic Patching", following the theory described e.g. by M. Jarden. This could be used to conquer some problems regarding families of covers of genus g>0. Finally, we present explicit Magma implementations for several of the most important algorithms involved in our computations. N2 - Das Umkehrproblem der Galoistheorie und explizite Berechnung von Familien von Überlagerungen des \(\mathbb{P}^1\mathbb{C}\) mit vorgegebener Verzweigung KW - Galoistheorie KW - Galois theory KW - Hurwitz-Raum KW - Algebraische Kurve KW - Funktionenkörper KW - Monodromie KW - Hurwitz spaces KW - Algebraic Curves KW - Function Fields KW - Monodromy Y1 - 2014 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-100143 ER - TY - THES A1 - Zhai, Xiaomin T1 - Design, Development and Evaluation of a Virtual Classroom and Teaching Contents for Bernoulli Stochastics T1 - Design, Entwicklung und Evaluierung einer virtuellen Lernumgebung und des Lehrstoffs für die Bernoulli Stochastik N2 - This thesis is devoted to Bernoulli Stochastics, which was initiated by Jakob Bernoulli more than 300 years ago by his master piece 'Ars conjectandi', which can be translated as 'Science of Prediction'. Thus, Jakob Bernoulli's Stochastics focus on prediction in contrast to the later emerging disciplines probability theory, statistics and mathematical statistics. Only recently Jakob Bernoulli's focus was taken up von Collani, who developed a unified theory of uncertainty aiming at making reliable and accurate predictions. In this thesis, teaching material as well as a virtual classroom are developed for fostering ideas and techniques initiated by Jakob Bernoulli and elaborated by Elart von Collani. The thesis is part of an extensively construed project called 'Stochastikon' aiming at introducing Bernoulli Stochastics as a unified science of prediction and measurement under uncertainty. This ambitious aim shall be reached by the development of an internet-based comprehensive system offering the science of Bernoulli Stochastics on any level of application. So far it is planned that the 'Stochastikon' system (http://www.stochastikon.com/) will consist of five subsystems. Two of them are developed and introduced in this thesis. The first one is the e-learning programme 'Stochastikon Magister' and the second one 'Stochastikon Graphics' that provides the entire Stochastikon system with graphical illustrations. E-learning is the outcome of merging education and internet techniques. E-learning is characterized by the facts that teaching and learning are independent of place and time and of the availability of specially trained teachers. Knowledge offering as well as knowledge transferring are realized by using modern information technologies. Nowadays more and more e-learning environments are based on the internet as the primary tool for communication and presentation. E-learning presentation tools are for instance text-files, pictures, graphics, audio and videos, which can be networked with each other. There could be no limit as to the access to teaching contents. Moreover, the students can adapt the speed of learning to their individual abilities. E-learning is particularly appropriate for newly arising scientific and technical disciplines, which generally cannot be presented by traditional learning methods sufficiently well, because neither trained teachers nor textbooks are available. The first part of this dissertation introduces the state of the art of e-learning in statistics, since statistics and Bernoulli Stochastics are both based on probability theory and exhibit many similar features. Since Stochastikon Magister is the first e-learning programme for Bernoulli Stochastics, the educational statistics systems is selected for the purpose of comparison and evaluation. This makes sense as both disciplines are an attempt to handle uncertainty and use methods that often can be directly compared. The second part of this dissertation is devoted to Bernoulli Stochastics. This part aims at outlining the content of two courses, which have been developed for the anticipated e-learning programme Stochastikon Magister in order to show the difficulties in teaching, understanding and applying Bernoulli Stochastics. The third part discusses the realization of the e-learning programme Stochastikon Magister, its design and implementation, which aims at offering a systematic learning of principles and techniques developed in Bernoulli Stochastics. The resulting e-learning programme differs from the commonly developed e-learning programmes as it is an attempt to provide a virtual classroom that simulates all the functions of real classroom teaching. This is in general not necessary, since most of the e-learning programmes aim at supporting existing classroom teaching. The forth part presents two empirical evaluations of Stochastikon Magister. The evaluations are performed by means of comparisons between traditional classroom learning in statistics and e-learning of Bernoulli Stochastics. The aim is to assess the usability and learnability of Stochastikon Magister. Finally, the fifth part of this dissertation is added as an appendix. It refers to Stochastikon Graphics, the fifth component of the entire Stochastikon system. Stochastikon Graphics provides the other components with graphical representations of concepts, procedures and results obtained or used in the framework of Bernoulli Stochastics. The primary aim of this thesis is the development of an appropriate software for the anticipated e-learning environment meant for Bernoulli Stochastics, while the preparation of the necessary teaching material constitutes only a secondary aim used for demonstrating the functionality of the e-learning platform and the scientific novelty of Bernoulli Stochastics. To this end, a first version of two teaching courses are developed, implemented and offered on-line in order to collect practical experiences. The two courses, which were developed as part of this projects are submitted as a supplement to this dissertation. For the time being the first experience with the e-learning programme Stochastikon Magister has been made. Students of different faculties of the University of Würzburg, as well as researchers and engineers, who are involved in the Stochastikon project have obtained access to Stochastikon Magister via internet. They have registered for Stochastikon Magister and participated in the course programme. This thesis reports on two assessments of these first experiences and the results will lead to further improvements with respect to content and organization of Stochastikon Magister. N2 - Diese Dissertation ist der Bernoulli Stochastik gewidmet, die von Jakob Bernoulli von mehr als 300 Jahren begonnen wurde und zwar mit seinem Hauptwerk 'Ars conjectandi', was mit 'Wissenschaft der Vorhersagen' übersetzt werden kann. Im Zentrum von Jakob Bernoullis Stochastik stehen Vorhersagen im Gegensatz zu den später entstandenen Disziplinen Wahrscheinlichkeitstheorie, Statistik und Mathematische Statistik. Vor Kurzem wurde Jakob Bernoullis Vorschlag von Elart von Collani aufgegriffen, der daraus eine einheitliche Theorie der Unsicherheit entwickelte mit dem Ziel zuverlässige und genaue Vorhersagen zu erlauben. In dieser Dissertation wird eine virtuelle Lernumgebung und der entsprechende Lehrstoff für die Ideen und Resultate von Jakob Bernoulli und Elart von Collani entwickelt. Die Dissertation ist Teil des groß angelegten Projekts 'Stochastikon' dessen Ziel es ist, die Bernoulli Stochastik als allgemeine Wissenschaft der Vorhersage und des Messens unter Unsicherheit zu etablieren. Dieses ehrgeizige Ziel soll mit Hilfe eines umfassenden Internet-Systems erreicht werden, das die Bernoulli Stochastik für alle Gebiete der Anwendung zur Verfügung stellt. Zur Zeit besteht das Stochastikon-System (http://www.stochastikon.com/) aus fünf Teilsystemen. Zwei dieser Systeme sind im Rahmen dieser Dissertation entstanden. Das erste ist das E-Learning Programm 'Stochastikon Magister' und das zweite heißt 'Stochastikon Graphics'. Es beliefert das gesamte Stochastikon Systems mit grafischen Darstellungen. E-Learning entsteht durch Anwendung moderner Informationstechnologien auf die Ausbildung. E-Learning zeichnet sich dadurch aus, dass Lehren und Lernen unabhängig von Ort und Zeit und vom Vorhandensein von speziell ausgebildeten Lehrern ist. Das Angebot und Übermittlung von Wissen erfolgt mit Hilfe der modernen Informationstechnologien. Heutzutage basieren immer mehr E-Learning Programme auf dem Internet, das zum wichtigstes Mittel der Wissensvermittlung und Wissensdarstellung geworden ist. Für die Darstellung des Lehrstoffes im Rahmen des E-Learning existieren kaum Grenzen und darüber hinaus können die Studenten die Lerngeschwindigkeit ihren eigenen Bedürfnissen anpassen. E-Learning ist dabei besonders geeignet für neue wissenschaftliche und technische Disziplinen, die mangels Lehrer und Lehrmaterialien nicht mit Hilfe traditioneller Lernmethoden unterrichtet werden können. Im ersten Teil der Dissertation wird der State of the Art im Bereich der E-Learning Porgramme im Fach Statistik dargestellt, da Statistik und Bernoulli Stochastik beide auf der Wahrscheinlichkeitstheorie basieren und daher viele Ähnlichkeiten aufweisen. Stochastikon Magister ist das erste E-Learning Programm im Rahmen der Bernoulli Stochastik und daher werden zum Vergleich und zur Evaluierung Lehrsysteme aus der Statistik verwendet. Dies ist schon deshalb sinnvoll, weil beide Diszipline sich mit der Unsicherheit beschäftigen und in vielen Fällen die entsprechenden Methoden direkt miteinander verglichen werden können. Der zweite Teil der Dissertation enthält eine kurze Einführung in die Bernoulli Stochastik und zwar anhand von zwei Kursen die im Rahmen der Dissertation entwickelt wurden. Dieser Teil soll die Schwierigkeiten veranschaulichen, die beim Lehren, Verstehen und Anwenden der Bernoulli Stochastik überwunden werden müssen. Im dritten Teil der Dissertation wird die Realisierung des E-Learning Programms Stochastikon Magister diskutiert. Charakteristisch für das E-Learning Programm Stochastikon Magister ist der Versuch ein vollständiges virtuelles Klassenzimmer zu verwirklichen in dem alle Funktionen des traditionellen Schulunterrichts simuliert werden. Dies ist im Allgemeinen nicht notwendig, da das Ziel der meisten E-Learning Programme nur aus der Unterstützung eines traditionellen Lehrprogrammes besteht. Der vierte Teil der Dissertation besteht aus einer empirischen Evaluation des Stochastikon Magisters. Dabei wird eine traditionelle Statistikausbildung mit der Ausbildung in Bernoulli Stochastik auf der Grundlage des E-Learning Programms Stochastikon Magister verglichen. Ziel ist es die Bedienungsfreundlichkeit des Magisters und die Erlernbarkeit der Bernoulli Stochastik nachzuweisen. Der fünfte Teil schließlich besteht aus einem Anhang, der die fünfte Komponente des Stochastik Systems (Stochasticon Graphics) beschreibt. Stochasticon Graphics sorgt dafür, dass alle übrigen Komponenten mit graphischen Abbildungen der Konzepte, Verfahren und Resultate versorgt werden. Das Hauptziel dieser Dissertation ist die Entwicklung geeigneter Software für eine E-Learning-Umgebung für das Fach Bernoulli Stochastik. Die Bereitstellung des entsprechenden Lehrstoff stellt dabei ein sekundäres, aber notwendiges Ziel dar. Notwendig um vor allem die Funktionalität der E-Learning Plattform und die wissenschaftliche Neuheit der Bernoulli Stochastik demonstrieren zu können. Dazu wurden erste Versionen von zwei Kursen entwickelt und on-line angeboten, um Erfahrungen zu sammeln. Die beiden Kurse, die im Rahmen dieser Dissertation entwickelt worden sind, sind als Anhang der Dissertation beigefügt. Zur Zeit werden die ersten Erfahrungen mit dem E-Learning Programm Stochastikon Magister gemacht. Studenten verschiedener Fakultäten der Universität Würzburg aber auch Wissenschaftler und Techniker, die im Rahmen des Stochastikon Projekts mitarbeiten, haben die Kurse belegt und absolviert. Die Ergebnisse dieser ersten Erfahrungen werden in der Dissertation dargestellt und sie werden zu weiteren Verbesserungen des E-Learning Programms führen. KW - Moment KW - Wahrscheinlichkeitsverteilung KW - E-Learning KW - Stochastik KW - Vorhersagetheorie KW - Unsicherheit KW - Zufall KW - Ignoranz KW - Bernoulli Raum KW - Vorhersageverfahren KW - Bernoulli KW - Jakob KW - Uncertainty KW - Randomness KW - Ignorance KW - Bernoulli Space KW - Prediction Procedure Y1 - 2010 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-56106 ER - TY - THES A1 - Curtef, Oana T1 - Rayleigh–quotient optimization on tensor products of Grassmannians T1 - Rayleigh–Quotient Optimierung auf Tensorprodukte von Graßmann-Mannigfaltigkeiten N2 - Applications in various research areas such as signal processing, quantum computing, and computer vision, can be described as constrained optimization tasks on certain subsets of tensor products of vector spaces. In this work, we make use of techniques from Riemannian geometry and analyze optimization tasks on subsets of so-called simple tensors which can be equipped with a differentiable structure. In particular, we introduce a generalized Rayleigh-quotient function on the tensor product of Grassmannians and on the tensor product of Lagrange- Grassmannians. Its optimization enables a unified approach to well-known tasks from different areas of numerical linear algebra, such as: best low-rank approximations of tensors (data compression), computing geometric measures of entanglement (quantum computing) and subspace clustering (image processing). We perform a thorough analysis on the critical points of the generalized Rayleigh-quotient and develop intrinsic numerical methods for its optimization. Explicitly, using the techniques from Riemannian optimization, we present two type of algorithms: a Newton-like and a conjugated gradient algorithm. Their performance is analysed and compared with established methods from the literature. N2 - Viele Fragestellungen aus den unterschiedlichen mathematischen Disziplinen, wie z.B. Signalverarbeitung, Quanten-Computing und Computer-Vision, können als Optimierungsprobleme auf Teilmengen von Tensorprodukten von Vektorräumen beschrieben werden. In dieser Arbeit verwenden wir Techniken aus der Riemannschen Geometrie, um Optimierungsprobleme für Mengen von sogenannten einfachen Tensoren, welche mit einer differenzierbaren Struktur ausgestattet werden können, zu untersuchen. Insbesondere führen wir eine verallgemeinerte Rayleigh-Quotienten-Funktion auf dem Tensorprodukt von Graßmann-Mannigfaltigkeiten bzw. Lagrange-Graßmann-Mannigfaltigkeiten ein. Dies führt zu einem einheitlichen Zugang zu bekannten Problemen aus verschiedenen Bereichen der numerischen linearen Algebra, wie z.B. die Niedrig–Rang–Approximation von Tensoren (Datenkompression), die Beschreibung geometrischer Maße für Quantenverschränkung (Quanten-Computing) und Clustering (Bildverarbeitung). Wir führen eine gründliche Analyse der kritischen Punkte des verallgemeinerten Rayleigh-Quotienten durch und entwickeln intrinsische numerische Methoden für dessen Optimierung. Wir stellen zwei Arten von Algorithmen vor, die wir mit Hilfe von Techniken aus der Riemannsche Optimierung entwickeln: eine mit Gemeinsamkeiten zum Newton-Verfahren und eine zum CG-Verfahren ähnliche. Wir analysieren die Performance der Algorithmen und vergleichen sie mit gängigen Methoden aus der Literatur. KW - Optimierung KW - Riemannsche Optimierung KW - Newtonverfahren KW - Verfahren der konjugierten Gradienten KW - Maße für Quantenverschränkung KW - Riemannian optimization KW - Grassmann Manifold KW - Newton method KW - Conjugate gradient method KW - tensor rank KW - subspace clustering KW - enatnglement measure KW - Riemannsche Geometrie KW - Grassmann-Mannigfaltigkeit KW - Konjugierte-Gradienten-Methode KW - Newton-Verfahren Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-83383 ER - TY - THES A1 - Christ, Thomas T1 - Value-distribution of the Riemann zeta-function and related functions near the critical line T1 - Werteverteilung der Riemannschen Zetafunktion und verwandter Funktionen nahe der kritischen Geraden N2 - The Riemann zeta-function forms a central object in multiplicative number theory; its value-distribution encodes deep arithmetic properties of the prime numbers. Here, a crucial role is assigned to the analytic behavior of the zeta-function on the so called critical line. In this thesis we study the value-distribution of the Riemann zeta-function near and on the critical line. Amongst others we focus on the following. PART I: A modified concept of universality, a-points near the critical line and a denseness conjecture attributed to Ramachandra. The critical line is a natural boundary of the Voronin-type universality property of the Riemann zeta-function. We modify Voronin's concept by adding a scaling factor to the vertical shifts that appear in Voronin's universality theorem and investigate whether this modified concept is appropriate to keep up a certain universality property of the Riemann zeta-function near and on the critical line. It turns out that it is mainly the functional equation of the Riemann zeta-function that restricts the set of functions which can be approximated by this modified concept around the critical line. Levinson showed that almost all a-points of the Riemann zeta-function lie in a certain funnel-shaped region around the critical line. We complement Levinson's result: Relying on arguments of the theory of normal families and the notion of filling discs, we detect a-points in this region which are very close to the critical line. According to a folklore conjecture (often attributed to Ramachandra) one expects that the values of the Riemann zeta-function on the critical line lie dense in the complex numbers. We show that there are certain curves which approach the critical line asymptotically and have the property that the values of the zeta-function on these curves are dense in the complex numbers. Many of our results in part I are independent of the Euler product representation of the Riemann zeta-function and apply for meromorphic functions that satisfy a Riemann-type functional equation in general. PART II: Discrete and continuous moments. The Lindelöf hypothesis deals with the growth behavior of the Riemann zeta-function on the critical line. Due to classical works by Hardy and Littlewood, the Lindelöf hypothesis can be reformulated in terms of power moments to the right of the critical line. Tanaka showed recently that the expected asymptotic formulas for these power moments are true in a certain measure-theoretical sense; roughly speaking he omits a set of Banach density zero from the path of integration of these moments. We provide a discrete and integrated version of Tanaka's result and extend it to a large class of Dirichlet series connected to the Riemann zeta-function. N2 - Die Riemannsche Zetafunktion ist ein zentraler Gegenstand der multiplikativen Zahlentheorie; in ihrer Werteverteilung liegen wichtige arithmetische Eigenschaften der Primzahlen kodiert. Besondere Bedeutung kommt hierbei dem analytischen Verhalten der Zetafunktion auf der sog. kritischen Geraden zu. Wir untersuchen in dieser Arbeit die Werteverteilung der Riemannschen Zetafunktion auf und nahe der kritischen Geraden. Wir fokusieren wir uns dabei u.a. auf folgende Punkte. TEIL I: Ein modifiziertes Universalitätskonzept, a-Stellen nahe der kritischen Geraden und eine Dichtheitsvermutung nach Ramachandra. Die kritische Gerade fungiert als natürliche Grenze für die Voroninsche Universalitätseigenschaft der Riemannschen Zetafunktion. Wir modifizieren Voronins Universalitätskonzept dahingehend, dass wir die vertikalen Translationen aus Voronins Universalitätssatz mit einer zusätzlichen Skalierung versehen. Wir untersuchen, ob durch dieses modifizierte Konzept eine abgeschwächte Universalitätseigenschaft der Riemannschen Zetafunktion um die kritschen Gerade aufrecht erhalten werden kann. Es stellt sich heraus, dass die Gestalt der Funktionen, die sich auf diese Weise durch die Zetafunktion approximieren lassen, stark von der Funktionalgleichung und der Wahl des skalierenden Faktors abhängt. Nach einem Resultat von Levinson liegen fast alle a-Stellen der Riemannschen Zetafunktion in einem trichterförmigen Bereich um die kritische Gerade. Gewisse Normalitätsargumenten sowie das Konzept der 'filling discs' erlauben uns Levinsons Resultat zu ergänzen und a-Stellen in diesem trichterförmigen Bereich aufzuspüren, die sehr nahe an der kritischen Geraden liegen. Man vermutet, dass die Werte der Riemannschen Zetafunktion auf der kritischen Geraden dicht in den komplexen Zahlen liegen. Wir nähern uns dieser Vermutung (die man oft Ramachandra zuschreibt), indem wir die Existenz gewisser Kurven nachweisen, die sich asymptotisch an die kritische Gerade anschmiegen und die Eigenschaft besitzen, dass die Werte der Zetafunktion auf diesen Kurven dicht in den komplexen Zahlen liegen. Viele unserer Ergebnisse in Teil I sind unabhängig von der Eulerproduktdarstellung der Zetafunktion und gelten allgemein für beliebige meromorphe Funktionen, die einer Funktionalgleichung vom Riemann-Typ genügen. TEIL II: Diskrete und kontinuierliche Momente. Die Lindelöf Vermutung trifft eine Aussage über das Wachstumsverhalten der Zetafunktion auf der kritischen Geraden. Nach klassischen Arbeiten von Hardy und Littlewood lässt sie sich mittels Potenzmomente der Zetafunktion rechts von der kritischen Geraden umformulieren. Tanaka konnte kürzlich nachweisen, dass die asymptotischen Formeln, die man für diese Potenzmomente erwartet in einem gewissen maßtheoretischem Sinne Gülitgkeit besitzen: grob gesprochen wird heibei eine Menge mit Banachdichte null vom Integrationsweg der Potenzmomente ausgespart. Wir stellen eine diskrete und eine integrierte Version von Tanakas Resultat zur Verfügung. Zudem verallgemeinern wir Tanakas Ergebnis auf eine große Klasse von Dirichletreihen. KW - Riemannsche Zetafunktion KW - Riemann zeta-function KW - universality KW - a-point distribution Y1 - 2013 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-97763 ER - TY - INPR A1 - Geiselhart, Roman A1 - Gielen, Rob H. A1 - Lazar, Mircea A1 - Wirth, Fabian R. T1 - An Alternative Converse Lyapunov Theorem for Discrete-Time Systems N2 - This paper presents an alternative approach for obtaining a converse Lyapunov theorem for discrete–time systems. The proposed approach is constructive, as it provides an explicit Lyapunov function. The developed converse theorem establishes existence of global Lyapunov functions for globally exponentially stable (GES) systems and semi–global practical Lyapunov functions for globally asymptotically stable systems. Furthermore, for specific classes of sys- tems, the developed converse theorem can be used to establish non–conservatism of a particular type of Lyapunov functions. Most notably, a proof that conewise linear Lyapunov functions are non–conservative for GES conewise linear systems is given and, as a by–product, tractable construction of polyhedral Lyapunov functions for linear systems is attained. KW - Ljapunov-Funktion KW - stability analysis KW - conewise linear systems KW - discrete-time systems KW - converse Lyapunov theorems Y1 - 2013 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-78512 ER - TY - THES A1 - Sen, Surath T1 - Character Analysis and Numerical Computations of Standard M.I. Probability Distributions T1 - Charakteranalyse und Numerische Berechnungen der Standard M.I. Wahrscheinlichkeitsverteilungen N2 - Development and character analysis of software programs, which compute minimum information probability distributions. N2 - Entwicklung und Charakteranalyse von Softwareprogrammen, welche Minimuminformations Wahrscheinlichkeitsverteilungen berechnen. KW - Newton-Verfahren KW - Charakteranalyse KW - Softwareentwicklung KW - Minimum Information Wahrscheinlichkeitsverteilung KW - Newton-Raphson Verfahren KW - Minimum Information Probability Distribution KW - Newton-Raphson Method Y1 - 2013 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-78623 ER - TY - JOUR A1 - Harrach, Bastian T1 - Recent Progress on the Factorization Method for Electrical Impedance Tomography JF - Computational and Mathematical Methods in Medicine N2 - The Factorization Method is a noniterative method to detect the shape and position of conductivity anomalies inside an object. The method was introduced by Kirsch for inverse scattering problems and extended to electrical impedance tomography (EIT) by Brühl and Hanke. Since these pioneering works, substantial progress has been made on the theoretical foundations of the method. The necessary assumptions have been weakened, and the proofs have been considerably simplified. In this work, we aim to summarize this progress and present a state-of-the-art formulation of the Factorization Method for EIT with continuous data. In particular, we formulate the method for general piecewise analytic conductivities and give short and self-contained proofs. KW - Mathematik Y1 - 2013 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-96229 ER - TY - THES A1 - Barth, Dominik T1 - Computation of multi-branch-point covers and applications in Galois theory T1 - Berechnung von Mehrpunktüberlagerungen und Anwendungen in der Galoistheorie N2 - We present a technique for computing multi-branch-point covers with prescribed ramification and demonstrate the applicability of our method in relatively large degrees by computing several families of polynomials with symplectic and linear Galois groups. As a first application, we present polynomials over \(\mathbb{Q}(\alpha,t)\) for the primitive rank-3 groups \(PSp_4(3)\) and \(PSp_4(3).C_2\) of degree 27 and for the 2-transitive group \(PSp_6(2)\) in its actions on 28 and 36 points, respectively. Moreover, the degree-28 polynomial for \(PSp_6(2)\) admits infinitely many totally real specializations. Next, we present the first (to the best of our knowledge) explicit polynomials for the 2-transitive linear groups \(PSL_4(3)\) and \(PGL_4(3)\) of degree 40, and the imprimitive group \(Aut(PGL_4(3))\) of degree 80. Additionally, we negatively answer a question by König whether there exists a degree-63 rational function with rational coefficients and monodromy group \(PSL_6(2)\) ramified over at least four points. This is achieved due to the explicit computation of the corresponding hyperelliptic genus-3 Hurwitz curve parameterizing this family, followed by a search for rational points on it. As a byproduct of our calculations we obtain the first explicit \(Aut(PSL_6(2))\)-realizations over \(\mathbb{Q}(t)\). At last, we present a technique by Elkies for bounding the transitivity degree of Galois groups. This provides an alternative way to verify the Galois groups from the previous chapters and also yields a proof that the monodromy group of a degree-276 cover computed by Monien is isomorphic to the sporadic 2-transitive Conway group \(Co_3\). N2 - Wir stellen eine Technik zur Berechnung von Mehrpunktüberlagerungen mit vorgeschriebener Verzweigung vor und demonstrieren die Anwendbarkeit unserer Methode in relativ großen Graden durch die Berechnung mehrerer Familien von Polynomen mit symplektischen und linearen Galoisgruppen. Als erste Anwendung präsentieren wir Polynome über \(\mathbb{Q}(\alpha,t)\) für die primitiven Rang-3-Gruppen \(PSp_4(3)\) und \(PSp_4(3).C_2\) vom Grad 27 und für die 2-fach transitive Gruppe \(PSp_6(2)\) in ihren Operationen auf 28 bzw. 36 Punkten. Außerdem lässt das Polynom vom Grad 28 für \(PSp_6(2)\) unendlich viele total-reelle Spezialisierungen zu. Als Nächstes präsentieren wir die (unseres Wissens nach) ersten expliziten Polynome für die 2-fach transitiven linearen Gruppen \(PSL_4(3)\) und \(PGL_4(3)\) vom Grad 40 und die imprimitive Gruppe \(Aut(PGL_4(3))\) vom Grad 80. Zusätzlich geben wir eine negative Antwort auf die Frage von König, ob es eine rationale Funktion vom Grad 63 mit rationalen Koeffizienten gibt, die über mindestens vier Punkten verzweigt ist und Monodromiegruppe \(PSL_6(2)\) besitzt. Dies wird durch die explizite Berechnung der entsprechenden hyperelliptischen Geschlecht-3 Hurwitzkurve erreicht, die diese Familie parametrisiert, gefolgt von einer Suche nach rationalen Punkten auf ihr. Als Nebenprodukt unserer Berechnungen erhalten wir die ersten expliziten \(Aut(PSL_6(2))\)-Realisierungen über \(\mathbb{Q}(t)\). Schließlich stellen wir eine Technik von Elkies zur Beschränkung des Transitivitätsgrades von Galoisgruppen vor. Diese bietet einen alternativen Weg, die Galoisgruppen aus den vorherigen Kapiteln zu verifizieren und liefert auch einen Beweis dafür, dass die Monodromiegruppe einer von Monien berechneten Grad-276 Überlagerung isomorph zur sporadischen 2-fach transitiven Conway-Gruppe \(Co_3\) ist. KW - Galois-Theorie KW - Hurwitz-Raum KW - Monodromie KW - Überlagerung KW - Belyi map Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-277025 ER - TY - THES A1 - Fuller, Timo T1 - Contributions to the Multivariate Max-Domain of Attraction T1 - Beiträge zum Multivariaten Max-Stabilen Anziehungsbereich N2 - This thesis covers a wide range of results for when a random vector is in the max-domain of attraction of max-stable random vector. It states some new theoretical results in D-norm terminology, but also gives an explaination why most approaches to multivariate extremes are equivalent to this specific approach. Then it covers new methods to deal with high-dimensional extremes, ranging from dimension reduction to exploratory methods and explaining why the Huessler-Reiss model is a powerful parametric model in multivariate extremes on par with the multivariate Gaussian distribution in multivariate regular statistics. It also gives new results for estimating and inferring the multivariate extremal dependence structure, strategies for choosing thresholds and compares the behavior of local and global threshold approaches. The methods are demonstrated in an artifical simulation study, but also on German weather data. N2 - Diese Disseration behandelt eine Reihe von Resultaten, die gelten, wenn sich ein Zufallsvektor im multivariaten Anziehungsbereich eines max-stabilen Zufallsvektors befindet. Es gibt einige neue theoretische Resulte, die in D-Norm Terminologie behandelt werden, aber es wird auch erläutert, warum dieser Ansatz äquivalent zu den meisten anderen Ansätzen in multivariater Extremwerttheorie ist. Es werden neue Methoden dargestellt, mit denen hoch-dimensionale Extremwertprobleme angegangen werden können, darunter Konzepte die Dimensionsreduzierung bis explorative Methoden, und es wird weiter erklärt, warum das parametrische Hüssler-Reiss model eine mächtige Rolle in der multivariaten Extremwerttheorie einnimmt, vergleichbar mit Gausschen Zufallsvektoren in der Standard-Statistik. Es gibt außerdem neue Methoden für Schätzung und Interferenz der extremalen Abhängigkeitsstruktur, Strategien, wie Thresholds gewählt werden können und ein Vergleich von lokalen gegenüber globalen Thresholds. Die Methoden werden in einer Simulationsstudie mit künstlichen Daten, aber auch mit deutschen Wetterdaten demonstriert. KW - Extremwertstatistik KW - Multivariate statistics KW - Dimension reduction KW - Estimation KW - Data Exploration KW - Tail-behavior Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-207422 ER - TY - THES A1 - Wenz, Andreas T1 - Computation of Belyi maps with prescribed ramification and applications in Galois theory T1 - Berechnung von Belyi-Funktionen mit vorgegebener Monodromiegruppe und Anwendungen in der Galoistheorie N2 - We compute genus-0 Belyi maps with prescribed monodromy and strictly verify the computed results. Among the computed examples are almost simple primitive groups that satisfy the rational rigidity criterion yielding polynomials with prescribed Galois groups over Q(t). We also give an explicit version of a theorem of Magaard, which lists all sporadic groups occurring as composition factors of monodromy groups of rational functions. N2 - Wir berechnen Geschlecht-0 Belyi-Funktionen mit vorgegebener Monodromiegruppe und liefern rigorose Verifikationsbeweise. Unter den berechneten Exemplaren finden sich fast-einfache primitive Gruppen, welche das sogenannte "Rationale-Starrheitskriterium" erfüllen, die zu Galois-Realisierungen über Q(t) führen. Außerdem liefern wir eine explizite Version eines Satzes von Magaard, der alle sporadischen Gruppen auflistet, die als Kompositionsfaktoren von Monodromiegruppen rationaler Funktionen auftreten. KW - Galois-Theorie KW - Überlagerung KW - Belyi map KW - Explicit Computation KW - Belyi-Funktionen KW - Explizite Berechnung Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-240838 ER - TY - JOUR A1 - Kakaroumpas, Spyridon A1 - Soler i Gibert, Odí T1 - Dyadic product BMO in the Bloom setting JF - Journal of the London Mathematical Society N2 - Ó. Blasco and S. Pott showed that the supremum of operator norms over L\(^{2}\) of all bicommutators (with the same symbol) of one-parameter Haar multipliers dominates the biparameter dyadic product BMO norm of the symbol itself. In the present work we extend this result to the Bloom setting, and to any exponent 1 < p < ∞. The main tool is a new characterization in terms of paraproducts and two-weight John–Nirenberg inequalities for dyadic product BMO in the Bloom setting. We also extend our results to the whole scale of indexed spaces between little bmo and product BMO in the general multiparameter setting, with the appropriate iterated commutator in each case. KW - dyadic product BMO KW - bicommutators KW - Bloom setting Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-318602 SN - 0024-6107 VL - 106 IS - 2 SP - 899 EP - 935 ER - TY - THES A1 - Lechner, Theresa T1 - Proximal Methods for Nonconvex Composite Optimization Problems T1 - Proximal-Verfahren für nichtkonvexe zusammengesetzte Optimierungsprobleme N2 - Optimization problems with composite functions deal with the minimization of the sum of a smooth function and a convex nonsmooth function. In this thesis several numerical methods for solving such problems in finite-dimensional spaces are discussed, which are based on proximity operators. After some basic results from convex and nonsmooth analysis are summarized, a first-order method, the proximal gradient method, is presented and its convergence properties are discussed in detail. Known results from the literature are summarized and supplemented by additional ones. Subsequently, the main part of the thesis is the derivation of two methods which, in addition, make use of second-order information and are based on proximal Newton and proximal quasi-Newton methods, respectively. The difference between the two methods is that the first one uses a classical line search, while the second one uses a regularization parameter instead. Both techniques lead to the advantage that, in contrast to many similar methods, in the respective detailed convergence analysis global convergence to stationary points can be proved without any restricting precondition. Furthermore, comprehensive results show the local convergence properties as well as convergence rates of these algorithms, which are based on rather weak assumptions. Also a method for the solution of the arising proximal subproblems is investigated. In addition, the thesis contains an extensive collection of application examples and a detailed discussion of the related numerical results. N2 - In Optimierungsproblemen mit zusammengesetzten Funktionen wird die Summe aus einer glatten und einer konvexen, nicht glatten Funktion minimiert. Die vorliegende Arbeit behan- delt mehrere numerische Verfahren zur Lösung solcher Probleme in endlich-dimensionalen Räumen, welche auf Proximity Operatoren basieren. Nach der Zusammenfassung einiger grundlegender Resultate aus der konvexen und nicht- glatten Analysis wird ein Verfahren erster Ordnung, das Proximal-Gradienten-Verfahren, vorgestellt und dessen Konvergenzeigenschaften ausführlich behandelt. Bekannte Resultate aus der Literatur werden dabei zusammengefasst und durch weitere Ergebnisse ergänzt. Im Anschluss werden im Hauptteil der Arbeit zwei Verfahren hergeleitet, die zusätzlich Informationen zweiter Ordnung nutzen und auf Proximal-Newton- beziehungsweise Proximal-Quasi- Newton-Verfahren beruhen. Der Unterschied zwischen beiden Verfahren liegt darin, dass bei ersterem eine klassische Schrittweitensuche verwendet wird, während das zweite stattdessen einen Regularisierungsparameter nutzt. Beide Techniken führen dazu, dass im Gegensatz zu vielen verwandten Verfahren in der jeweils ausführlichen Konvergenzanalyse die globale Konvergenz zu stationären Punkten ohne weitere einschränkende Voraussetzungen bewiesen werden kann. Ferner zeigen umfassende Resultate die lokalen Konvergenzeigenschaften sowie Konvergenzraten der Algorithmen auf, welche auf lediglich schwachen Annahmen beruhen. Ein Verfahren zur Lösung auftretender Proximal-Teilprobleme ist ebenfalls Bestandteil dieser Arbeit. Die Dissertation beinhaltet zudem eine umfangreiche Sammlung von Anwendungsbeispielen und zugehörigen numerischen Ergebnissen. KW - Optimierung KW - composite optimization KW - proximal gradient method KW - proximal Newton method Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-289073 ER - TY - JOUR A1 - Dashkovskiy, Sergey A1 - Slynko, Vitalii T1 - Stability conditions for impulsive dynamical systems JF - Mathematics of Control, Signals, and Systems N2 - In this work, we consider impulsive dynamical systems evolving on an infinite-dimensional space and subjected to external perturbations. We look for stability conditions that guarantee the input-to-state stability for such systems. Our new dwell-time conditions allow the situation, where both continuous and discrete dynamics can be unstable simultaneously. Lyapunov like methods are developed for this purpose. Illustrative finite and infinite dimensional examples are provided to demonstrate the application of the main results. These examples cannot be treated by any other published approach and demonstrate the effectiveness of our results. KW - lyapunov methods KW - stability KW - robustness KW - impulsive systems KW - infinite-dimensional systems KW - nonlinear systems KW - input-to-state stability Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-268390 SN - 1435-568X VL - 34 IS - 1 ER - TY - JOUR A1 - Kanzow, Christian A1 - Raharja, Andreas B. A1 - Schwartz, Alexandra T1 - An Augmented Lagrangian Method for Cardinality-Constrained Optimization Problems JF - Journal of Optimization Theory and Applications N2 - A reformulation of cardinality-constrained optimization problems into continuous nonlinear optimization problems with an orthogonality-type constraint has gained some popularity during the last few years. Due to the special structure of the constraints, the reformulation violates many standard assumptions and therefore is often solved using specialized algorithms. In contrast to this, we investigate the viability of using a standard safeguarded multiplier penalty method without any problem-tailored modifications to solve the reformulated problem. We prove global convergence towards an (essentially strongly) stationary point under a suitable problem-tailored quasinormality constraint qualification. Numerical experiments illustrating the performance of the method in comparison to regularization-based approaches are provided. KW - quasinormality constraint qualification KW - cardinality constraints KW - augmented Lagrangian KW - global convergence KW - stationarity Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-269166 SN - 1573-2878 VL - 189 IS - 3 ER - TY - THES A1 - Stumpf, Pascal T1 - On coverings and reduced residues in combinatorial number theory T1 - Über Abdeckungen und prime Restklassen in kombinatorischer Zahlentheorie N2 - Our starting point is the Jacobsthal function \(j(m)\), defined for each positive integer \(m\) as the smallest number such that every \(j(m)\) consecutive integers contain at least one integer relatively prime to \(m\). It has turned out that improving on upper bounds for \(j(m)\) would also lead to advances in understanding the distribution of prime numbers among arithmetic progressions. If \(P_r\) denotes the product of the first \(r\) prime numbers, then a conjecture of Montgomery states that \(j(P_r)\) can be bounded from above by \(r (\log r)^2\) up to some constant factor. However, the until now very promising sieve methods seem to have reached a limit here, and the main goal of this work is to develop other combinatorial methods in hope of coming a bit closer to prove the conjecture of Montgomery. Alongside, we solve a problem of Recamán about the maximum possible length among arithmetic progressions in the least (positive) reduced residue system modulo \(m\). Lastly, we turn towards three additive representation functions as introduced by Erdős, Sárközy and Sós who studied their surprising different monotonicity behavior. By an alternative approach, we answer a question of Sárközy and demostrate that another conjecture does not hold. N2 - Der Startpunkt dieser Arbeit ist die Jacobsthal-Funktion \(j(m)\), die für jede natürliche Zahl \(m\) als die kleinste Zahl definiert ist, so dass je \(j(m)\) aufeinanderfolgende ganze Zahlen mindestens eine zu \(m\) teilerfremde Zahl enthalten. Es hat sich herausgestellt, dass Verbesserungen oberer Abschätzungen für \(j(m)\) gleichzeitig zu Fortschritten im Verständnis der Verteilung der Primzahlen in arithmetischen Folgen führen. Bezeichnet \(P_r\) das Produkt der ersten \(r\) Primzahlen, dann besagt eine Vermutung von Montgomery, dass \(j(P_r)\) bis auf einen konstanten Faktor durch \(r (\log r)^2\) von oben abgeschätzt werden kann. Allerdings scheinen die hier bisher sehr vielversprechenden Siebmethoden eine Grenze erreicht zu haben, und das Hauptziel dieser Arbeit ist es andere kombinatorische Methoden zu entwickeln, in der Hoffnung einem Beweis der Vermutung von Montgomery ein wenig näher zu kommen. Auf diesem Weg lösen wir nebenbei ein Problem von Recamán über die maximal mögliche Länge unter den arithmetischen Folgen im kleinsten (positiven) primen Restklassensystem modulo \(m\). Außerdem wenden wir uns am Ende drei additiven Darstellungsfunktionen zu, wie sie von Erdős, Sárközy und Sós eingeführt wurden, die deren überraschend unterschiedliches Monotonieverhalten untersucht haben. Mit einem alternativen Ansatz beantworten wir hier eine Frage von Sárközy und zeigen auf, dass eine andere Vermutung nicht bestehen kann. KW - Kombinatorische Zahlentheorie KW - coverings KW - reduced residues KW - Jacobsthal function Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-293504 ER - TY - JOUR A1 - Weishäupl, Sebastian T1 - The weak Gram law for Hecke \(L\)-functions JF - The Ramanujan Journal N2 - We generalize a theorem by Titchmarsh about the mean value of Hardy’s \(Z\)-function at the Gram points to the Hecke \(L\)-functions, which in turn implies the weak Gram law for them. Instead of proceeding analogously to Titchmarsh with an approximate functional equation we employ a different method using contour integration. KW - Gram’s law KW - Gram points KW - Hecke eigenforms KW - Hecke L-functions Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-324404 SN - 1382-4090 VL - 60 IS - 4 ER - TY - JOUR A1 - Appell, Jürgen A1 - Brito, Belén López A1 - Reinwand, Simon T1 - Counterexamples on compositions JF - Mathematische Semesterberichte N2 - We give a collection of 16 examples which show that compositions \(g\) \(\circ\) \(f\) of well-behaved functions \(f\) and \(g\) can be badly behaved. Remarkably, in 10 of the 16 examples it suffices to take as outer function \(g\) simply a power-type or characteristic function. Such a collection of examples may serve as a source of exercises for a calculus course. KW - composition of functions KW - examples and counterexamples Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-324306 SN - 0720-728X VL - 70 IS - 1 ER - TY - JOUR A1 - Lu, Lu A1 - Mönius, Katja T1 - Algebraic degree of Cayley graphs over abelian groups and dihedral groups JF - Journal of Algebraic Combinatorics N2 - For a graph \(\Gamma\) , let K be the smallest field containing all eigenvalues of the adjacency matrix of \(\Gamma\) . The algebraic degree \(\deg (\Gamma )\) is the extension degree \([K:\mathbb {Q}]\). In this paper, we completely determine the algebraic degrees of Cayley graphs over abelian groups and dihedral groups. KW - Cayley graph KW - integral graph KW - algebraic degree Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-324380 SN - 0925-9899 VL - 57 IS - 3 ER - TY - JOUR A1 - Kanzow, Christian T1 - Y. Cui, J.-S. Pang: “Modern Nonconvex Nondifferentiable Optimization” JF - Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung N2 - No abstract available. KW - Kanzow, C. Y. Cui, J.-S. Pang: “Modern Nonconvex Nondifferentiable Optimization” KW - Rezension Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-324346 SN - 0012-0456 VL - 124 IS - 2 ER - TY - JOUR A1 - Greefrath, Gilbert A1 - Oldenburg, Reinhard A1 - Siller, Hans-Stefan A1 - Ulm, Volker A1 - Weigand, Hans-Georg T1 - Mathematics students’ characteristics of basic mental models of the derivative JF - Journal für Mathematik-Didaktik N2 - The concept of derivative is characterised with reference to four basic mental models. These are described as theoretical constructs based on theoretical considerations. The four basic mental models—local rate of change, tangent slope, local linearity and amplification factor—are not only quantified empirically but are also validated. To this end, a test instrument for measuring students’ characteristics of basic mental models is presented and analysed regarding quality criteria. Mathematics students (n = 266) were tested with this instrument. The test results show that the four basic mental models of the derivative can be reconstructed among the students with different characteristics. The tangent slope has the highest agreement values across all tasks. The agreement on explanations based on the basic mental model of rate of change is not as strongly established among students as one would expect due to framework settings in the school system by means of curricula and educational standards. The basic mental model of local linearity plays a rather subordinate role. The amplification factor achieves the lowest agreement values. In addition, cluster analysis was conducted to identify different subgroups of the student population. Moreover, the test results can be attributed to characteristics of the task types as well as to the students’ previous experiences from mathematics classes by means of qualitative interpretation. These and other results of students’ basic mental models of the derivative are presented and discussed in detail. N2 - Der Begriff der Ableitung wird anhand von vier Grundvorstellungen charakterisiert. Diese werden als theoretische Konstrukte beschrieben, die auf theoretischen Überlegungen beruhen. Die vier Grundvorstellungen – lokale Änderungsrate, Tangentensteigung, lokale Linearität und Verstärkungsfaktor – werden empirisch quantifiziert und validiert. Zu diesem Zweck wird ein Testinstrument zur Messung der Charakteristika dieser Grundvorstellungen von Lernenden erstellt, bzgl. Gütekriterien ausgewertet und an Mathematikstudierenden (n = 266) getestet. Die Ergebnisse zeigen, dass die vier Grundvorstellungen der Ableitung bei den Lernenden mit unterschiedlichen Merkmalen rekonstruiert werden können. Die Tangentensteigung weist über alle Aufgaben hinweg die höchsten Übereinstimmungswerte auf. Die Übereinstimmung bei Erklärungen, die auf der Grundvorstellung der lokalen Änderungsrate beruhen, ist bei den Studierenden nicht so stark ausgeprägt, wie man es aufgrund der Rahmenbedingungen im Schulsystem durch Lehrpläne und Bildungsstandards erwarten würde. Die Grundvorstellung der lokalen Linearität spielt eine eher untergeordnete Rolle. Der Verstärkungsfaktor erzielt die geringsten Übereinstimmungswerte. Darüber hinaus wurde eine Clusteranalyse durchgeführt, um verschiedene Untergruppen der Schülerpopulation zu identifizieren. Die Testergebnisse können mittels qualitativer Interpretation auf Merkmale der Aufgabentypen sowie auf die Vorerfahrungen der Studierenden aus dem Mathematikunterricht zurückgeführt werden. Diese und weitere Ergebnisse zu den grundlegenden mentalen Modellen der Studierenden zur Ableitung werden ausführlich dargestellt und diskutiert. KW - derivative KW - basic mental models KW - structure KW - test instrument KW - Ableitung KW - Grundvorstellung KW - Struktur KW - Testinstrument Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-324317 SN - 0173-5322 VL - 44 IS - 1 ER - TY - JOUR A1 - Kanzow, Christian A1 - Mehlitz, Patrick T1 - Convergence properties of monotone and nonmonotone proximal gradient methods revisited JF - Journal of Optimization Theory and Applications N2 - Composite optimization problems, where the sum of a smooth and a merely lower semicontinuous function has to be minimized, are often tackled numerically by means of proximal gradient methods as soon as the lower semicontinuous part of the objective function is of simple enough structure. The available convergence theory associated with these methods (mostly) requires the derivative of the smooth part of the objective function to be (globally) Lipschitz continuous, and this might be a restrictive assumption in some practically relevant scenarios. In this paper, we readdress this classical topic and provide convergence results for the classical (monotone) proximal gradient method and one of its nonmonotone extensions which are applicable in the absence of (strong) Lipschitz assumptions. This is possible since, for the price of forgoing convergence rates, we omit the use of descent-type lemmas in our analysis. KW - non-Lipschitz optimization KW - nonsmooth optimization KW - proximal gradient method Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-324351 SN - 0022-3239 VL - 195 IS - 2 ER - TY - JOUR A1 - Siller, Hans-Stefan A1 - Elschenbroich, Hans-Jürgen A1 - Greefrath, Gilbert A1 - Vorhölter, Katrin T1 - Mathematical modelling of exponential growth as a rich learning environment for mathematics classrooms JF - ZDM Mathematics Education N2 - Mathematical concepts are regularly used in media reports concerning the Covid-19 pandemic. These include growth models, which attempt to explain or predict the effectiveness of interventions and developments, as well as the reproductive factor. Our contribution has the aim of showing that basic mental models about exponential growth are important for understanding media reports of Covid-19. Furthermore, we highlight how the coronavirus pandemic can be used as a context in mathematics classrooms to help students understand that they can and should question media reports on their own, using their mathematical knowledge. Therefore, we first present the role of mathematical modelling in achieving these goals in general. The same relevance applies to the necessary basic mental models of exponential growth. Following this description, based on three topics, namely, investigating the type of growth, questioning given course models, and determining exponential factors at different times, we show how the presented theoretical aspects manifest themselves in teaching examples when students are given the task of reflecting critically on existing media reports. Finally, the value of the three topics regarding the intended goals is discussed and conclusions concerning the possibilities and limits of their use in schools are drawn. KW - basic mental models KW - exponential growth KW - mathematics classrooms KW - mathematical modelling KW - growth models Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-324393 SN - 1863-9690 VL - 55 IS - 1 ER - TY - JOUR A1 - Steuding, Jörn A1 - Tongsomporn, Janyarak T1 - On the order of growth of Lerch zeta functions JF - Mathematics N2 - We extend Bourgain’s bound for the order of growth of the Riemann zeta function on the critical line to Lerch zeta functions. More precisely, we prove L(λ, α, 1/2 + it) ≪ t\(^{13/84+ϵ}\) as t → ∞. For both, the Riemann zeta function as well as for the more general Lerch zeta function, it is conjectured that the right-hand side can be replaced by t\(^ϵ\) (which is the so-called Lindelöf hypothesis). The growth of an analytic function is closely related to the distribution of its zeros. KW - Lerch zeta function KW - Hurwitz zeta function KW - (approximate) functional equation KW - order of growth KW - exponent pairs KW - MSC 11M35 Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-303981 SN - 2227-7390 VL - 11 IS - 3 ER - TY - JOUR A1 - Heins, Michael A1 - Roth, Oliver A1 - Waldmann, Stefan T1 - Convergent star products on cotangent bundles of Lie groups JF - Mathematische Annalen N2 - For a connected real Lie group G we consider the canonical standard-ordered star product arising from the canonical global symbol calculus based on the half-commutator connection of G. This star product trivially converges on polynomial functions on T\(^*\)G thanks to its homogeneity. We define a nuclear Fréchet algebra of certain analytic functions on T\(^*\)G, for which the standard-ordered star product is shown to be a well-defined continuous multiplication, depending holomorphically on the deformation parameter \(\hbar\). This nuclear Fréchet algebra is realized as the completed (projective) tensor product of a nuclear Fréchet algebra of entire functions on G with an appropriate nuclear Fréchet algebra of functions on \({\mathfrak {g}}^*\). The passage to the Weyl-ordered star product, i.e. the Gutt star product on T\(^*\)G, is shown to preserve this function space, yielding the continuity of the Gutt star product with holomorphic dependence on \(\hbar\). KW - Lie groups KW - star products Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-324324 SN - 0025-5831 VL - 386 IS - 1-2 ER - TY - JOUR A1 - Jotz, M. A1 - Mehta, R. A. A1 - Papantonis, T. T1 - Modules and representations up to homotopy of Lie n-algebroids JF - Journal of Homotopy and Related Structures N2 - This paper studies differential graded modules and representations up to homotopy of Lie n-algebroids, for general \(n\in {\mathbb {N}}\). The adjoint and coadjoint modules are described, and the corresponding split versions of the adjoint and coadjoint representations up to homotopy are explained. In particular, the case of Lie 2-algebroids is analysed in detail. The compatibility of a Poisson bracket with the homological vector field of a Lie n-algebroid is shown to be equivalent to a morphism from the coadjoint module to the adjoint module, leading to an alternative characterisation of non-degeneracy of higher Poisson structures. Moreover, the Weil algebra of a Lie n-algebroid is computed explicitly in terms of splittings, and representations up to homotopy of Lie n-algebroids are used to encode decomposed VB-Lie n-algebroid structures on double vector bundles. KW - Lie n-algebroids KW - representations up to homotopy KW - differential graded modules KW - Poisson algebras KW - adjoint and coadjoint representations Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-324333 SN - 2193-8407 VL - 18 IS - 1 ER - TY - JOUR A1 - Kourou, Maria A1 - Zarvalis, Konstantinos T1 - Compact sets in petals and their backward orbits under semigroups of holomorphic functions JF - Potential Analysis N2 - Let (ϕ\(_t\))\(_{t≥0}\) be a semigroup of holomorphic functions in the unit disk \(\mathbb {D}\) and K a compact subset of \(\mathbb {D}\). We investigate the conditions under which the backward orbit of K under the semigroup exists. Subsequently, the geometric characteristics, as well as, potential theoretic quantities for the backward orbit of K are examined. More specifically, results are obtained concerning the asymptotic behavior of its hyperbolic area and diameter, the harmonic measure and the capacity of the condenser that K forms with the unit disk. KW - semigroup of holomorphic functions KW - backward orbit KW - petal KW - harmonic measure KW - condenser capacity KW - Koenigs function KW - green energy KW - hyperbolic area Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-324368 SN - 0926-2601 VL - 59 IS - 4 ER - TY - THES A1 - Scherz, Jan T1 - Weak Solutions to Mathematical Models of the Interaction between Fluids, Solids and Electromagnetic Fields T1 - Schwache Lösungen für mathematische Modelle der Wechselwirkung zwischen Flüssigkeiten, Festkörpern und elektromagnetischen Feldern N2 - We analyze the mathematical models of two classes of physical phenomena. The first class of phenomena we consider is the interaction between one or more insulating rigid bodies and an electrically conducting fluid, inside of which the bodies are contained, as well as the electromagnetic fields trespassing both of the materials. We take into account both the cases of incompressible and compressible fluids. In both cases our main result yields the existence of weak solutions to the associated system of partial differential equations, respectively. The proofs of these results are built upon hybrid discrete-continuous approximation schemes: Parts of the systems are discretized with respect to time in order to deal with the solution-dependent test functions in the induction equation. The remaining parts are treated as continuous equations on the small intervals between consecutive discrete time points, allowing us to employ techniques which do not transfer to the discretized setting. Moreover, the solution-dependent test functions in the momentum equation are handled via the use of classical penalization methods. The second class of phenomena we consider is the evolution of a magnetoelastic material. Here too, our main result proves the existence of weak solutions to the corresponding system of partial differential equations. Its proof is based on De Giorgi's minimizing movements method, in which the system is discretized in time and, at each discrete time point, a minimization problem is solved, the associated Euler-Lagrange equations of which constitute a suitable approximation of the original equation of motion and magnetic force balance. The construction of such a minimization problem is made possible by the realization that, already on the continuous level, both of these equations can be written in terms of the same energy and dissipation potentials. The functional for the discrete minimization problem can then be constructed on the basis of these potentials. N2 - Wir analysieren die mathematischen Modelle von zwei Arten physikalischer Phänomene. Die erste Art von Phänomenen, die wir betrachten, ist die Wechselwirkung zwischen einem oder mehreren isolierenden starren Körpern und einem elektrisch leitenden Fluid, das die Körper umgibt, sowie den elektromagnetischen Feldern in beiden Materialien. Wir untersuchen sowohl den Fall inkompressibler als auch kompressibler Fluide. In beiden Fällen liefert unser Hauptresultat die Existenz von schwachen Lösungen für das zugehörige System partieller Differentialgleichungen. Die Beweise dieser Resultate beruhen auf hybriden diskret-kontinuierlichen Approximationsmethoden: Teile der Systeme werden in der Zeit diskretisiert, um das Problem der lösungsabhängigen Testfunktionen in der Induktionsgleichung zu bewältigen. Die verbleibenden Gleichungen werden als kontinuierliche Gleichungen auf den kleinen Intervallen zwischen aufeinanderfolgenden diskreten Zeitpunkten behandelt, sodass wir Techniken anwenden können, die sich nicht auf das diskretisierte System übertragen lassen. Darüber hinaus wird das Problem der lösungsabhängigen Testfunktionen in der Impulsgleichung durch die Verwendung klassischer Penalisierungsmethoden gelöst. Die zweite Art von Phänomenen, die wir betrachten, ist die Entwicklung eines magnetoelastischen Materials. Auch hier beweist unser Hauptresultat die Existenz schwacher Lösungen für das zugehörige System partieller Differentialgleichungen. Der Beweis basiert auf der Methode von De Giorgi, bei der das System in der Zeit diskretisiert und in jedem diskreten Zeitpunkt ein Minimierungsproblem gelöst wird, dessen zugehörige Euler-Lagrange-Gleichungen eine geeignete Approximation an die ursprüngliche Bewegungsgleichung und mikromagnetische Gleichung darstellen. Die Konstruktion eines solchen Minimierungsproblems wird durch die Erkenntnis ermöglicht, dass diese beiden Gleichungen bereits im kontinuierlichen System mithilfe derselben Energie- und Dissipationspotenziale ausgedrückt werden können. Das Funktional für das diskrete Minimierungsproblem kann dann auf Grundlage dieser Potenziale konstruiert werden. KW - Fluid-Struktur-Wechselwirkung KW - Magnetoelastizität KW - Magnetohydrodynamik KW - Navier-Stokes-Gleichung KW - Zeitdiskrete Approximation KW - Fluid-structure interaction KW - Magnetoelasticity KW - Magnetohydrodynamics KW - Minimizing movements KW - Navier-Stokes equations KW - Rothe method Y1 - 2024 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-349205 ER - TY - JOUR A1 - Dashkovskiy, Sergey A1 - Kapustyan, Oleksiy A1 - Schmid, Jochen T1 - A local input-to-state stability result w.r.t. attractors of nonlinear reaction–diffusion equations JF - Mathematics of Control, Signals, and Systems N2 - We establish the local input-to-state stability of a large class of disturbed nonlinear reaction–diffusion equations w.r.t. the global attractor of the respective undisturbed system. KW - local input-to-state stability KW - global attractor KW - lonlinear reaction-diffusion equations Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-281099 VL - 32 IS - 3 ER - TY - JOUR A1 - Gerber, Sebastian A1 - Quarder, Jascha A1 - Greefrath, Gilbert A1 - Siller, Hans-Stefan T1 - Promoting adaptive intervention competence for teaching simulations and mathematical modelling with digital tools BT - theoretical background and empirical analysis of a university course in teacher education JF - Frontiers in Education N2 - Providing adaptive, independence-preserving and theory-guided support to students in dealing with real-world problems in mathematics lessons is a major challenge for teachers in their professional practice. This paper examines this challenge in the context of simulations and mathematical modelling with digital tools: in addition to mathematical difficulties when autonomously working out individual solutions, students may also experience challenges when using digital tools. These challenges need to be closely examined and diagnosed, and might – if necessary – have to be overcome by intervention in such a way that the students can subsequently continue working independently. Thus, if a difficulty arises in the working process, two knowledge dimensions are necessary in order to provide adapted support to students. For teaching simulations and mathematical modelling with digital tools, more specifically, these knowledge dimensions are: pedagogical content knowledge about simulation and modelling processes supported by digital tools (this includes knowledge about phases and difficulties in the working process) and pedagogical content knowledge about interventions during the mentioned processes (focussing on characteristics of suitable interventions as well as their implementation and effects on the students’ working process). The two knowledge dimensions represent cognitive dispositions as the basis for the conceptualisation and operationalisation of a so-called adaptive intervention competence for teaching simulations and mathematical modelling with digital tools. In our article, we present a domain-specific process model and distinguish different types of teacher interventions. Then we describe the design and content of a university course at two German universities aiming to promote this domain-specific professional adaptive intervention competence, among others. In a study using a quasi-experimental pre-post design (N = 146), we confirm that the structure of cognitive dispositions of adaptive intervention competence for teaching simulations and mathematical modelling with digital tools can be described empirically by a two-dimensional model. In addition, the effectiveness of the course is examined and confirmed quantitatively. Finally, the results are discussed, especially against the background of the sample and the research design, and conclusions are derived for possibilities of promoting professional adaptive intervention competence in university courses. KW - adaptive intervention competence KW - diagnosis KW - simulation KW - mathematical modelling KW - digital tools KW - teacher education KW - pedagogical content knowledge KW - technology Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-323701 SN - 2504-284X VL - 8 ER - TY - JOUR A1 - Roy, S. A1 - Borzì, A. A1 - Habbal, A. T1 - Pedestrian motion modelled by Fokker-Planck Nash games JF - Royal Society Open Science N2 - A new approach to modelling pedestrians' avoidance dynamics based on a Fokker–Planck (FP) Nash game framework is presented. In this framework, two interacting pedestrians are considered, whose motion variability is modelled through the corresponding probability density functions (PDFs) governed by FP equations. Based on these equations, a Nash differential game is formulated where the game strategies represent controls aiming at avoidance by minimizing appropriate collision cost functionals. The existence of Nash equilibria solutions is proved and characterized as a solution to an optimal control problem that is solved numerically. Results of numerical experiments are presented that successfully compare the computed Nash equilibria to the output of real experiments (conducted with humans) for four test cases. KW - Fokker–Planck equation KW - Nash equilibrium KW - pedestrian motion KW - differential games KW - avoidance KW - optimal control Y1 - 2017 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-170395 VL - 4 IS - 9 ER - TY - JOUR A1 - Almeida, R. A1 - Hristova, S. A1 - Dashkovskiy, S. T1 - Uniform bounded input bounded output stability of fractional‐order delay nonlinear systems with input JF - International Journal of Robust and Nonlinear Control N2 - The bounded input bounded output (BIBO) stability for a nonlinear Caputo fractional system with time‐varying bounded delay and nonlinear output is studied. Utilizing the Razumikhin method, Lyapunov functions and appropriate fractional derivatives of Lyapunov functions some new bounded input bounded output stability criteria are derived. Also, explicit and independent on the initial time bounds of the output are provided. Uniform BIBO stability and uniform BIBO stability with input threshold are studied. A numerical simulation is carried out to show the system's dynamic response, and demonstrate the effectiveness of our theoretical results. KW - bounded input bounded output stability KW - Caputo fractional derivative KW - Lyapunov functions KW - Razumikhin method KW - time‐varying delay Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-218554 VL - 31 IS - 1 SP - 225 EP - 249 ER - TY - JOUR A1 - Feireisl, Eduard A1 - Klingenberg, Christian A1 - Markfelder, Simon T1 - On the density of “wild” initial data for the compressible Euler system JF - Calculus of Variations and Partial Differential Equations N2 - We consider a class of “wild” initial data to the compressible Euler system that give rise to infinitely many admissible weak solutions via the method of convex integration. We identify the closure of this class in the natural L1-topology and show that its complement is rather large, specifically it is an open dense set. KW - Euler system Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-232607 SN - 0944-2669 VL - 59 ER - TY - JOUR A1 - Lauerbach, Laura A1 - Neukamm, Stefan A1 - Schäffner, Mathias A1 - Schlömerkemper, Anja T1 - Continuum Limit and Homogenization of Stochastic and Periodic Discrete Systems – Fracture in Composite Materials JF - Proceedings in Applied Mathematics & Mechanics N2 - The limiting behaviour of a one‐dimensional discrete system is studied by means of Γ‐convergence. We consider a toy model of a chain of atoms. The interaction potentials are of Lennard‐Jones type and periodically or stochastically distributed. The energy of the system is considered in the discrete to continuum limit, i.e. as the number of atoms tends to infinity. During that limit, a homogenization process takes place. The limiting functional is discussed, especially with regard to fracture. Secondly, we consider a rescaled version of the problem, which yields a limiting energy of Griffith's type consisting of a quadratic integral term and a jump contribution. The periodic case can be found in [8], the stochastic case in [6,7]. KW - discrete systems KW - continuum limit KW - homogenization Y1 - 2019 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-211835 VL - 19 IS - 1 ER - TY - JOUR A1 - Fall, Mouhammed Moustapha A1 - Minlend, Ignace Aristide A1 - Ratzkin, Jesse T1 - Foliation of an Asymptotically Flat End by Critical Capacitors JF - The Journal of Geometric Analysis N2 - We construct a foliation of an asymptotically flat end of a Riemannian manifold by hypersurfaces which are critical points of a natural functional arising in potential theory. These hypersurfaces are perturbations of large coordinate spheres, and they admit solutions of a certain over-determined boundary value problem involving the Laplace–Beltrami operator. In a key step we must invert the Dirichlet-to-Neumann operator, highlighting the nonlocal nature of our problem. KW - asymptotically flat ends KW - foliation KW - over-determined problem Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-269997 SN - 1559-002X VL - 32 IS - 2 ER - TY - JOUR A1 - Easton, Andrew A1 - van Dalen, Okki A1 - Goeb, Rainer A1 - Di Bucchianico, Alessandro T1 - Bivariate copula monitoring JF - Quality and Reliability Engineering International N2 - The assumption of multivariate normality underlying the Hotelling T\(^{2}\) chart is often violated for process data. The multivariate dependency structure can be separated from marginals with the help of copula theory, which permits to model association structures beyond the covariance matrix. Copula‐based estimation and testing routines have reached maturity regarding a variety of practical applications. We have constructed a rich design matrix for the comparison of the Hotelling T\(^{2}\) chart with the copula test by Verdier and the copula test by Vuong, which allows for weighting the observations adaptively. Based on the design matrix, we have conducted a large and computationally intensive simulation study. The results show that the copula test by Verdier performs better than Hotelling T\(^{2}\) in a large variety of out‐of‐control cases, whereas the weighted Vuong scheme often fails to provide an improvement. KW - copula KW - multivariate Gaussian distribution KW - multivariate statistical process control (SPC) KW - phase I KW - phase II Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-276501 VL - 38 IS - 3 SP - 1272 EP - 1288 ER - TY - JOUR A1 - Gathungu, Duncan Kioi A1 - Borzì, Alfio T1 - Multigrid Solution of an Elliptic Fredholm Partial Integro-Differential Equation with a Hilbert-Schmidt Integral Operator JF - Applied Mathematics N2 - An efficient multigrid finite-differences scheme for solving elliptic Fredholm partial integro-differential equations (PIDE) is discussed. This scheme combines a second-order accurate finite difference discretization of the PIDE problem with a multigrid scheme that includes a fast multilevel integration of the Fredholm operator allowing the fast solution of the PIDE problem. Theoretical estimates of second-order accuracy and results of local Fourier analysis of convergence of the proposed multigrid scheme are presented. Results of numerical experiments validate these estimates and demonstrate optimal computational complexity of the proposed framework. KW - elliptic problems KW - finite differences KW - fredholm operator KW - multigrid schemes KW - numerical analysis Y1 - 2017 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-158525 VL - 8 IS - 7 ER - TY - JOUR A1 - Kienle-Garrido, Melina-Lorén A1 - Breitenbach, Tim A1 - Chudej, Kurt A1 - Borzì, Alfio T1 - Modeling and numerical solution of a cancer therapy optimal control problem JF - Applied Mathematics N2 - A mathematical optimal-control tumor therapy framework consisting of radio- and anti-angiogenesis control strategies that are included in a tumor growth model is investigated. The governing system, resulting from the combination of two well established models, represents the differential constraint of a non-smooth optimal control problem that aims at reducing the volume of the tumor while keeping the radio- and anti-angiogenesis chemical dosage to a minimum. Existence of optimal solutions is proved and necessary conditions are formulated in terms of the Pontryagin maximum principle. Based on this principle, a so-called sequential quadratic Hamiltonian (SQH) method is discussed and benchmarked with an “interior point optimizer―a mathematical programming language” (IPOPT-AMPL) algorithm. Results of numerical experiments are presented that successfully validate the SQH solution scheme. Further, it is shown how to choose the optimisation weights in order to obtain treatment functions that successfully reduce the tumor volume to zero. KW - cancer KW - therapy KW - optimal control problem Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-177152 VL - 9 IS - 8 ER - TY - JOUR A1 - Campana, Francesca Calà A1 - Borzì, Alfio T1 - On the SQH Method for Solving Differential Nash Games JF - Journal of Dynamical and Control Systems N2 - A sequentialquadratic Hamiltonian schemefor solving open-loop differential Nash games is proposed and investigated. This method is formulated in the framework of the Pontryagin maximum principle and represents an efficient and robust extension of the successive approximations strategy for solving optimal control problems. Theoretical results are presented that prove the well-posedness of the proposed scheme, and results of numerical experiments are reported that successfully validate its computational performance. KW - successive approximations strategy KW - sequential quadratic hamiltonian method KW - differential nash games KW - pontryagin maximum principle Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-269111 SN - 1573-8698 VL - 28 ER - TY - JOUR A1 - Kraus, Daniela A1 - Moucha, Annika A1 - Roth, Oliver T1 - A sharp Bernstein–type inequality and application to the Carleson embedding theorem with matrix weights JF - Analysis and Mathematical Physics N2 - We prove a sharp Bernstein-type inequality for complex polynomials which are positive and satisfy a polynomial growth condition on the positive real axis. This leads to an improved upper estimate in the recent work of Culiuc and Treil (Int. Math. Res. Not. 2019: 3301–3312, 2019) on the weighted martingale Carleson embedding theorem with matrix weights. In the scalar case this new upper bound is optimal. KW - Bernstein-type inequality KW - complex polynomials KW - Carleson embedding theorem Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-270485 SN - 1664-235X VL - 12 IS - 1 ER - TY - JOUR A1 - Homburg, Annika A1 - Weiß, Christian H. A1 - Alwan, Layth C. A1 - Frahm, Gabriel A1 - Göb, Rainer T1 - A performance analysis of prediction intervals for count time series JF - Journal of Forecasting N2 - One of the major motivations for the analysis and modeling of time series data is the forecasting of future outcomes. The use of interval forecasts instead of point forecasts allows us to incorporate the apparent forecast uncertainty. When forecasting count time series, one also has to account for the discreteness of the range, which is done by using coherent prediction intervals (PIs) relying on a count model. We provide a comprehensive performance analysis of coherent PIs for diverse types of count processes. We also compare them to approximate PIs that are computed based on a Gaussian approximation. Our analyses rely on an extensive simulation study. It turns out that the Gaussian approximations do considerably worse than the coherent PIs. Furthermore, special characteristics such as overdispersion, zero inflation, or trend clearly affect the PIs' performance. We conclude by presenting two empirical applications of PIs for count time series: the demand for blood bags in a hospital and the number of company liquidations in Germany. KW - coherent forecasting KW - count time series KW - estimation error KW - Gaussian approximation KW - prediction interval Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-217906 VL - 40 IS - 4 SP - 603 EP - 609 ER - TY - JOUR A1 - Mitra, Sourav T1 - Local Existence of Strong Solutions of a Fluid–Structure Interaction Model JF - Journal of Mathematical Fluid Mechanics N2 - We are interested in studying a system coupling the compressible Navier–Stokes equations with an elastic structure located at the boundary of the fluid domain. Initially the fluid domain is rectangular and the beam is located on the upper side of the rectangle. The elastic structure is modeled by an Euler–Bernoulli damped beam equation. We prove the local in time existence of strong solutions for that coupled system. KW - fluid–structure interaction model KW - compressible fluid KW - Euler–Bernoulli damped beam KW - local existence Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-235097 SN - 1422-6928 VL - 22 ER - TY - JOUR A1 - Natemeyer, Carolin A1 - Wachsmuth, Daniel T1 - A proximal gradient method for control problems with non-smooth and non-convex control cost JF - Computational Optimization and Applications N2 - We investigate the convergence of the proximal gradient method applied to control problems with non-smooth and non-convex control cost. Here, we focus on control cost functionals that promote sparsity, which includes functionals of L\(^{p}\)-type for p\in [0,1). We prove stationarity properties of weak limit points of the method. These properties are weaker than those provided by Pontryagin’s maximum principle and weaker than L-stationarity. KW - sparse control problems KW - proximal gradient method KW - non-smooth and non-convex optimization Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-269069 SN - 1573-2894 VL - 80 IS - 2 ER - TY - JOUR A1 - Falk, Michael A1 - Fuller, Timo T1 - New characterizations of multivariate Max-domain of attraction and D-Norms JF - Extremes N2 - In this paper we derive new results on multivariate extremes and D-norms. In particular we establish new characterizations of the multivariate max-domain of attraction property. The limit distribution of certain multivariate exceedances above high thresholds is derived, and the distribution of that generator of a D-norm on R\(^{d}\), whose components sum up to d, is obtained. Finally we introduce exchangeable D-norms and show that the set of exchangeable D-norms is a simplex. KW - extremal exchangeable D-norms KW - multivariate extreme value theory KW - multivariate max-domain of attraction KW - D-norm KW - generator of D-norm KW - multivariate exceedance KW - co-extremality coefficient KW - exchangeable D-norms Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-269071 SN - 1572-915X VL - 24 IS - 4 ER - TY - JOUR A1 - Mönius, Katja T1 - Eigenvalues of zero-divisor graphs of finite commutative rings JF - Journal of Algebraic Combinatorics N2 - We investigate eigenvalues of the zero-divisor graph Γ(R) of finite commutative rings R and study the interplay between these eigenvalues, the ring-theoretic properties of R and the graph-theoretic properties of Γ(R). The graph Γ(R) is defined as the graph with vertex set consisting of all nonzero zero-divisors of R and adjacent vertices x, y whenever xy=0. We provide formulas for the nullity of Γ(R), i.e., the multiplicity of the eigenvalue 0 of Γ(R). Moreover, we precisely determine the spectra of \(\Gamma ({\mathbb {Z}}_p \times {\mathbb {Z}}_p \times {\mathbb {Z}}_p)\) and \(\Gamma ({\mathbb {Z}}_p \times {\mathbb {Z}}_p \times {\mathbb {Z}}_p \times {\mathbb {Z}}_p)\) for a prime number p. We introduce a graph product ×Γ with the property that Γ(R)≅Γ(R\(_1\))×Γ⋯×ΓΓ(R\(_r\)) whenever R≅R\(_1\)×⋯×R\(_r\). With this product, we find relations between the number of vertices of the zero-divisor graph Γ(R), the compressed zero-divisor graph, the structure of the ring R and the eigenvalues of Γ(R). KW - EJMA-D-19-00287 KW - Zero-divisor graphs KW - Graph eigenvalues KW - Graphnullity KW - Graph products KW - Local rings Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-232792 SN - 0925-9899 VL - 54 ER - TY - JOUR A1 - Kalousek, Martin A1 - Mitra, Sourav A1 - Schlömerkemper, Anja T1 - Existence of weak solutions of diffuse interface models for magnetic fluids JF - Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics N2 - In this article we collect some recent results on the global existence of weak solutions for diffuse interface models involving incompressible magnetic fluids. We consider both the cases of matched and unmatched specific densities. For the model involving fluids with identical densities we consider the free energy density to be a double well potential whereas for the unmatched density case it is crucial to work with a singular free energy density. KW - mathematics KW - magnetic fluids KW - diffuse interface models Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-257642 VL - 21 IS - 1 ER - TY - JOUR A1 - Schönlein, Michael T1 - Ensemble reachability of homogenous parameter‐depedent systems JF - Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics N2 - In this paper we consider the class (θA, B) of parameter-dependent linear systems given by matrices A ∈ ℂ\(^{nxn}\) and B ∈ ℂ\(^{nxm}\). This class is of interest for several applications and the frequently met task for such systems is to steer the origin toward a given target family f(θ) by using an input that is independent from the parameter. This paper provides a collection of necessary and sufficient conditions for ensemble reachability for these systems. KW - ensemble reachability KW - homogenous parameter-depedent systems KW - mathematics Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-257637 VL - 20 IS - 1 ER - TY - GEN A1 - Breitenbach, Tim T1 - Codes of examples for SQH method N2 - Code examples for the paper "On the SQH Scheme to Solve Nonsmooth PDE Optimal Control Problems" by Tim Breitenbach and Alfio Borzì published in the journal "Numerical Functional Analysis and Optimization", in 2019, DOI: 10.1080/01630563.2019.1599911 KW - Code examples KW - SQH method Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-165669 ER - TY - JOUR A1 - Breitenbach, Tim A1 - Helfrich-Förster, Charlotte A1 - Dandekar, Thomas T1 - An effective model of endogenous clocks and external stimuli determining circadian rhythms JF - Scientific Reports N2 - Circadian endogenous clocks of eukaryotic organisms are an established and rapidly developing research field. To investigate and simulate in an effective model the effect of external stimuli on such clocks and their components we developed a software framework for download and simulation. The application is useful to understand the different involved effects in a mathematical simple and effective model. This concerns the effects of Zeitgebers, feedback loops and further modifying components. We start from a known mathematical oscillator model, which is based on experimental molecular findings. This is extended with an effective framework that includes the impact of external stimuli on the circadian oscillations including high dose pharmacological treatment. In particular, the external stimuli framework defines a systematic procedure by input-output-interfaces to couple different oscillators. The framework is validated by providing phase response curves and ranges of entrainment. Furthermore, Aschoffs rule is computationally investigated. It is shown how the external stimuli framework can be used to study biological effects like points of singularity or oscillators integrating different signals at once. The mathematical framework and formalism is generic and allows to study in general the effect of external stimuli on oscillators and other biological processes. For an easy replication of each numerical experiment presented in this work and an easy implementation of the framework the corresponding Mathematica files are fully made available. They can be downloaded at the following link: https://www.biozentrum.uni-wuerzburg.de/bioinfo/computing/circadian/. KW - computational biology and bioinformatics KW - systems biology Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-261655 VL - 11 IS - 1 ER - TY - THES A1 - Gathungu, Duncan Kioi T1 - On Multigrid and H-Matrix Methods for Partial Integro-Differential Equations T1 - Mehrgitter-Verfahren und hierarchische Matrix-Lösungsverfahren für Klassen von partiellen Integro-Differential-Problemen N2 - The main theme of this thesis is the development of multigrid and hierarchical matrix solution procedures with almost linear computational complexity for classes of partial integro-differential problems. An elliptic partial integro-differential equation, a convection-diffusion partial integro-differential equation and a convection-diffusion partial integro-differential optimality system are investigated. In the first part of this work, an efficient multigrid finite-differences scheme for solving an elliptic Fredholm partial integro-differential equation (PIDE) is discussed. This scheme combines a second-order accurate finite difference discretization and a Simpson's quadrature rule to approximate the PIDE problem and a multigrid scheme and a fast multilevel integration method of the Fredholm operator allowing the fast solution of the PIDE problem. Theoretical estimates of second-order accuracy and results of local Fourier analysis of convergence of the proposed multigrid scheme are presented. Results of numerical experiments validate these estimates and demonstrate optimal computational complexity of the proposed framework that includes numerical experiments for elliptic PIDE problems with singular kernels. The experience gained in this part of the work is used for the investigation of convection diffusion partial-integro differential equations in the second part of this thesis. Convection-diffusion PIDE problems are discretized using a finite volume scheme referred to as the Chang and Cooper (CC) scheme and a quadrature rule. Also for this class of PIDE problems and this numerical setting, a stability and accuracy analysis of the CC scheme combined with a Simpson's quadrature rule is presented proving second-order accuracy of the numerical solution. To extend and investigate the proposed approximation and solution strategy to the case of systems of convection-diffusion PIDE, an optimal control problem governed by this model is considered. In this case the research focus is the CC-Simpson's discretization of the optimality system and its solution by the proposed multigrid strategy. Second-order accuracy of the optimization solution is proved and results of local Fourier analysis are presented that provide sharp convergence estimates of the optimal computational complexity of the multigrid-fast integration technique. While (geometric) multigrid techniques require ad-hoc implementation depending on the structure of the PIDE problem and on the dimensionality of the domain where the problem is considered, the hierarchical matrix framework allows a more general treatment that exploits the algebraic structure of the problem at hand. In this thesis, this framework is extended to the case of combined differential and integral problems considering the case of a convection-diffusion PIDE. In this case, the starting point is the CC discretization of the convection-diffusion operator combined with the trapezoidal quadrature rule. The hierarchical matrix approach exploits the algebraic nature of the hierarchical matrices for blockwise approximations by low-rank matrices of the sparse convection-diffusion approximation and enables data sparse representation of the fully populated matrix where all essential matrix operations are performed with at most logarithmic optimal complexity. The factorization of part of or the whole coefficient matrix is used as a preconditioner to the solution of the PIDE problem using a generalized minimum residual (GMRes) procedure as a solver. Numerical analysis estimates of the accuracy of the finite-volume and trapezoidal rule approximation are presented and combined with estimates of the hierarchical matrix approximation and with the accuracy of the GMRes iterates. Results of numerical experiments are reported that successfully validate the theoretical estimates and the optimal computational complexity of the proposed hierarchical matrix solution procedure. These results include an extension to higher dimensions and an application to the time evolution of the probability density function of a jump diffusion process. N2 - Das Hauptthema dieser Arbeit ist die Entwicklung von Mehrgitter-Verfahren und hierarchischer Matrix-Lösungsverfahren mit nahezu linearer Rechenkomplexität für Klassen von partiellen Integro-Differential-Problemen. Es werden eine elliptische partielle Integro-Differentialgleichung, eine partielle Konvektions-Diffusions-Integro-Differentialgleichung und ein partielles Konvektions-Diffusions-Integro-Differential-Optimalitätssystem untersucht. Im ersten Teil dieser Arbeit wurde ein effizientes Mehrgitter-Finite-Differenzen-Schema zur Lösung einer elliptischen Fredholm partiellen Integro-Differentialgleichungen (PIDE) diskutiert. Dieses Schema kombiniert eine exakte finite Differenzen-Diskretisierung zweiter Ordnung mit einer Quadraturregel von Simpson, um das PIDE-Problem mit einem Mehrgitter-Schema und einer schnellen Multilevel-Integrationsmethode des Fredholm-Operators zu lösen, was eine schnelle Lösung des PIDE-Probleme ermöglicht. Theoretische Abschätzungen der Genauigkeit zweiter Ordnung und Ergebnisse der lokalen Fourier-Analyse der Konvergenz des vorgeschlagenen Mehrgitter-Systems werden präsentiert. Ergebnisse von numerischen Experimenten validieren diese Schätzungen und demonstrieren die optimale rechnerische Komplexität des vorgeschlagenen Frameworks, das numerische Experimente für elliptische PIDE mit singulären Kernen beinhaltet. Die in diesem Teil der Arbeit gewonnenen Erfahrungen werden zur Untersuchung einer partielle Konvektions-Diffusions-Integro-Differentialgleichungen im zweiten Teil verwendet. Konvektions-Diffusions-PIDE-Probleme werden unter Verwendung eines Finite-Volumen-Schemas, das als das Chang- Cooper- (CC-) Schema bezeichnet wird, und einer Quadraturregel diskretisiert. Auch für diese Klasse von PIDE-Problemen und diese numerische Einstellung wird eine Stabilitäts- und Genauigkeitsanalyse des CC-Schemas in Kombination mit einer Quadraturregel von Simpson vorgestellt, die die Genauigkeit der numerischen Lösung zweiter Ordnung beweist. Um die vorgeschlagene Approximations- und Lösungsstrategie auf den Fall von Konvektions-Diffusions-PIDE-Systemen auszudehnen und zu untersuchen, wird ein Optimalsteuerungsproblem mit diesem Modell als Nebenbedingung untersucht. Der Forschungsschwerpunkt liegt dabei auf der Diskretisierung des Optimalitätssystems durch die CC-Simpson-Lösung und dessen Lösung durch die vorgeschlagene Mehrgitter-Strategie. Die Genauigkeit der optimalen Lösung zweiter Ordnung wird bewiesen und es werden Ergebnisse der lokalen Fourier-Analyse präsentiert, die scharfe Konvergenz-Schätzungen der optimalen Berechnungskomplexität der schnellen Mehrgitter Integrationstechnik liefern. Während (geometrische) Mehrgitterverfahren je nach Struktur des PIDE-Problems und der Dimensionalität des Gebietes, in dem das Problem berücksichtigt wird, eine Ad-hoc-Implementierung erfordern, ermöglicht das hierarchische Matrix-Framework eine allgemeinere Behandlung, die die algebraische Struktur des Problems nutzt. In dieser Arbeit wird dieses Verfahren auf den Fall kombinierter Differential- und Integralprobleme im Fall einer Konvektions-Diffusions-PIDE erweitert. In diesem Fall ist der Startpunkt die CC-Diskretisierung des Konvektions-Diffusions-Operators in Kombination mit der Trapez-Quadratur-Regel. Der hierarchische Matrixansatz nutzt die algebraische Natur der hierarchischen Matrizen für blockweise Approximationen durch niedrigrangige Matrizen der dünn besetzten Konvektions-Diffusionsmatrix und ermöglicht eine datenarme Darstellung der vollständig besetzten Matrix, bei der alle wesentlichen Matrixoperationen mit höchstens logarithmisch optimaler Komplexität durchgeführt werden. Die Faktorisierung eines Teils oder der gesamten Koeffizientenmatrix wird als Vorbedingung für die Lösung der PIDE-Probleme unter Verwendung eines verallgemeinerten minimalen Restwert-Verfahrens (GMRes) als Löser verwendet. Eine numerische Analyse der Abschätzungen der Genauigkeit der Finite-Volumen- und Trapezregel-Approximation werden präsentiert und kombiniert mit Abschätzungen der hierarchischen Matrix-Näherung und mit der Genauigkeit der GMRes iterationen kombiniert. Ergebnisse numerischer Experimente werden vorgestellt, die theoretischen Abschätzungen und die optimale rechnerische Komplexität der vorgeschlagenen hierarchischen Matrix Lösungsverfahren erfolgreich validieren. Diese Ergebnisse beinhalten eine Erweiterung auf höhere Dimensionen und eine Anwendung auf die zeitliche Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion des Sprungdiffusionsprozesses. KW - Mehrgitterverfahren KW - Hierarchische Matrix KW - Integrodifferentialgleichung KW - Numerical analysis KW - multigrid KW - hierarchical matrix KW - partial integro-differential equations Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-156430 ER - TY - THES A1 - Technau, Marc T1 - On Beatty sets and some generalisations thereof T1 - Über Beatty-Mengen und einige Verallgemeinerungen dieser N2 - Beatty sets (also called Beatty sequences) have appeared as early as 1772 in the astronomical studies of Johann III Bernoulli as a tool for easing manual calculations and - as Elwin Bruno Christoffel pointed out in 1888 - lend themselves to exposing intricate properties of the real irrationals. Since then, numerous researchers have explored a multitude of arithmetic properties of Beatty sets; the interrelation between Beatty sets and modular inversion, as well as Beatty sets and the set of rational primes, being the central topic of this book. The inquiry into the relation to rational primes is complemented by considering a natural generalisation to imaginary quadratic number fields. N2 - Zu gegebener Beatty-Menge \(\mathscr{B}(\alpha,\beta) = \{ n\alpha+\beta : n\in\mathbb{N} \}\) mit irrationalem \(\alpha>1\) und \(\beta\in\mathbb{R}\), sowie gegebener Primzahl \(p\) und hierzu teilerfremdem \(z\) untersuchen wir das Problem der Auffindung von Punkten \((m,\tilde{m})\) auf der modularen Hyperbel \[ \mathscr{H}_{z,p} = \{(m,\tilde{m}) \in \mathbb{Z}^2\cap[1,p )^2 : m\tilde{m}\equiv z\mod p\} \] mit \(\max\{ m, \tilde{m} \}\) so klein wie möglich, d.h. wir für gewisse \(\alpha\) beweisen nichttriviale Abschätzungen für \[ \min\{ \max\{ m, \tilde{m} \} : (m,\tilde{m})\in\mathscr{H}_{z,p}, \, m\in\mathscr{B}(\alpha,\beta) \}. \] Der Beweis fußt auf neuen Abschätzungen für unvollständige Kloosterman-Summen entlang \(\mathscr{B}(\alpha,\beta)\), welche durch das Speisen einer Methode von Banks und Shparlinski mit neuen Abschätzungen für die periodische Autokorrelation der endlichen Folge \[ 0,\, \operatorname{e}_p(y\overline{1}),\, \operatorname{e}_p(y\overline{2}),\, \ldots,\, \operatorname{e}_p(y\overline{p-1}), \quad \text{with \(y\) indivisible by \(p\)}, \] erhalten werden; (Hierbei bezeichnet \(\overline{m}\) die eindeutige natürliche Zahl \(m'\in[1,p)\) mit \(mm'\equiv 1\bmod p\) und wir schreiben \(\operatorname{e}_p(x) = \exp(2\pi i x/p)\).) Für letzteres adaptieren wir Ideen von Kloosterman. Des weiteren untersuchen wir Mengen der Form \(\{\lfloor m\alpha_1+n\alpha_2+\beta\rfloor : m,n\in\mathbb{N} \}\). Wir zeigen, dass diese stets in einer gewöhnlichen Beatty-Menge \(\mathscr{B}(\tilde{\alpha},\tilde{\beta})\) enthalten sind und geben zulässige Werte für \(\tilde{\alpha}\) und \(\tilde{\beta}\) an. Das Komplement \(\mathscr{C} = \mathscr{B}(\tilde{\alpha},\tilde{\beta}) \setminus \{\lfloor m\alpha_1+n\alpha_2+\beta\rfloor : m,n\in\mathbb{N} \}\) erweist sich als endliche Menge und wir bestimmen obere Schranken für das Supremum von \(\mathscr{C}\). Die Beweise gründen sich auf einfache Verteilungseigenschaften der Folge der Nachkommastellen \(\{n\alpha_1^{-1}\alpha_2\}\), \(n=1,2,\ldots\), sofern \(\alpha_1^{-1}\alpha_2\) irrational ist, und berufen sich anderenfalls auf die Endlichkeit der Frobenius-Zahl einer geeignet gewählten Instanz des Frobeniusschen Münzproblems. Abschließend verallgemeinern wir die Definition von Beatty-Mengen auf imaginär-quadratische Zahlkörper in einer natürlichen Weise. Hat der fragliche Zahlkörper Klassenzahl \(1\), so können wir zeigen, dass diese Beatty-artigen Mengen unendlich viele Primelemente enthalten, sofern der zugehörige Parameter \(\alpha\) nicht im betrachteten Zahlkörper enthalten ist. Für den speziellen Zahlkörper \(\mathbb{Q}(i)\) erhalten wir unter Benutzung des Hurwitzschen Kettenbruch-Algorithmus eine Zahlkörper-Variante eines früheren Resultats von Steuding und dem Autor, welches ein Beatty-Analogon des klassischen Linnikschen Satzes über die kleinste Primzahl in einer arithmetischen Progression darstellt. Die erwähnten Resultate werden durch Zahlkörper-Varianten von klassischen Ergebnissen über die Verteilung von \(\{ p\vartheta \}\), \(p=2,3,5,7,11,\ldots\), \(\vartheta\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\), erhalten; Diese wurden kürzlich von Baier mittels der Harmanschen Siebmethode für \(\mathbb{Q}(i)\) bewiesen. Wir übertragen die zugehörigen Überlegungen auf Zahlkörper mit Klassenzahl \(1\). N2 - For Beatty sets \(\mathscr{B}(\alpha,\beta) = \{ n\alpha+\beta : n\in\mathbb{N} \}\) with irrational \(\alpha>1\) and \(\beta\in\mathbb{R}\), and \(p\) prime and coprime to \(z\), we investigate the problem of detecting points \((m,\tilde{m})\) on the modular hyperbola \[ \mathscr{H}_{z,p} = \{(m,\tilde{m}) \in \mathbb{Z}^2\cap[1,p )^2 : m\tilde{m}\equiv z\mod p\} \] with \(\max\{ m, \tilde{m} \}\) as small as possible, i.e., we obtain non-trivial estimates for \[ \min\{ \max\{ m, \tilde{m} \} : (m,\tilde{m})\in\mathscr{H}_{z,p}, \, m\in\mathscr{B}(\alpha,\beta) \} \] for certain \(\alpha\). The proof rests on new estimates for incomplete Kloosterman sums along \(\mathscr{B}(\alpha,\beta)\) which are in turn obtained on supplying a method due to Banks and Shparlinski with a new estimate for the periodic autocorrelation of the finite sequence \[ 0,\, \operatorname{e}_p(y\overline{1}),\, \operatorname{e}_p(y\overline{2}),\, \ldots,\, \operatorname{e}_p(y\overline{p-1}), \quad \text{with \(y\) indivisible by \(p\)}, \] (\(\overline{m}\) denoting the unique integer \(m'\in[1,p)\) with \(mm'\equiv 1\bmod p\) and \(\operatorname{e}_p(x) = \exp(2\pi i x/p)\), the latter being obtained from adapting an argument due to Kloosterman. Furthermore, we investigate sets of the shape \(\{\lfloor m\alpha_1+n\alpha_2+\beta\rfloor : m,n\in\mathbb{N} \}\). We show that they are always contained in some ordinary Beatty set \(\mathscr{B}(\tilde{\alpha},\tilde{\beta})\) where we give admissible choices for \(\tilde{\alpha}\) and \(\tilde{\beta}\). Their respective complement \(\mathscr{C}\) in this ordinary Beatty set is shown to be finite and bounds for the supremum of \(\mathscr{C}\) are provided. The proofs are based on basic distribution properties of the sequence of fractional parts \(\{n\alpha_1^{-1}\alpha_2\}\), \(n=1,2,\ldots\), when \(\alpha_1^{-1}\alpha_2\) is irrational, and appeal to the finiteness of the Frobenius number associated with a suitably chosen instance of the Frobenius coin problem otherwise. Lastly, we generalise the definition of Beatty sets to imaginary quadratic number fields in a natural fashion. Assuming the number field in question to have class number \(1\), we are able to show that these Beatty-type sets contain infinitely many prime elements provided that the parameter corresponding to \(\alpha\) from above is not contained in the number field. When the number field is \(\mathbb{Q}(i)\), then, using the Hurwitz continued fraction expansion, we obtain a number field analogue of a previous result of Steuding and the author, who gave a Beatty set analogue of Linnik's famous theorem on the least prime number in an arithmetic progression. These results are obtained from number field analogues of classical results about the distribution of \(\{ p\vartheta \}\), \(p=2,3,5,7,11,\ldots\), \(\vartheta\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\), which were worked out recently by Baier for \(\mathbb{Q}(i)\) using Harman's sieve method. We generalise these arguments to imaginary quadratic number fields with class number \(1\). KW - Zahlentheorie KW - Beatty sequence KW - Kloosterman sum KW - prime number KW - distribution modulo one KW - Diophantine approximation KW - imaginary quadratic field Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-163303 SN - 978-3-95826-088-7 (Print) SN - 978-3-95826-089-4 (Online) N1 - Parallel erschienen als Druckausgabe in Würzburg University Press, ISBN 978-3-95826-088-7, 21,80 EUR. PB - Würzburg University Press CY - Würzburg ET - 1. Auflage ER - TY - THES A1 - Barsukow, Wasilij T1 - Low Mach number finite volume methods for the acoustic and Euler equations T1 - Finite Volumen Methoden für den Grenzwert niedriger Machzahlen der akustischen und der Euler-Gleichungen N2 - Finite volume methods for compressible Euler equations suffer from an excessive diffusion in the limit of low Mach numbers. This PhD thesis explores new approaches to overcome this. The analysis of a simpler set of equations that also possess a low Mach number limit is found to give valuable insights. These equations are the acoustic equations obtained as a linearization of the Euler equations. For both systems the limit is characterized by a divergencefree velocity. This constraint is nontrivial only in multiple spatial dimensions. As the Jacobians of the acoustic system do not commute, acoustics cannot be reduced to some kind of multi-dimensional advection. Therefore first an exact solution in multiple spatial dimensions is obtained. It is shown that the low Mach number limit can be interpreted as a limit of long times. It is found that the origin of the inability of a scheme to resolve the low Mach number limit is the lack a discrete counterpart to the limit of long times. Numerical schemes whose discrete stationary states discretize all the analytic stationary states of the PDE are called stationarity preserving. It is shown that for the acoustic equations, stationarity preserving schemes are vorticity preserving and are those that are able to resolve the low Mach limit (low Mach compliant). This establishes a new link between these three concepts. Stationarity preservation is studied in detail for both dimensionally split and multi-dimensional schemes for linear acoustics. In particular it is explained why the same multi-dimensional stencils appear in literature in very different contexts: These stencils are unique discretizations of the divergence that allow for stabilizing stationarity preserving diffusion. Stationarity preservation can also be generalized to nonlinear systems such as the Euler equations. Several ways how such numerical schemes can be constructed for the Euler equations are presented. In particular a low Mach compliant numerical scheme is derived that uses a novel construction idea. Its diffusion is chosen such that it depends on the velocity divergence rather than just derivatives of the different velocity components. This is demonstrated to overcome the low Mach number problem. The scheme shows satisfactory results in numerical simulations and has been found to be stable under explicit time integration. N2 - Finite Volumen Methoden für die kompressiblen Euler-Gleichungen zeigen übermäßige Diffusion im Grenzwert kleiner Machzahlen. Diese Dissertation beschäftigt sich mit neuen Ansätzen, um dieses Problem zu beheben. Die Analyse eines Systems einfacherer Gleichungen, die ebenso einen Grenzwert niedriger Machzahlen haben, liefert wichtige Einsichten. Diese Gleichungen sind die als Linearisierung der Euler-Gleichungen erhaltenen akustischen Gleichungen. Für beide Gleichungssysteme ist der Grenzwert durch ein divergenzfreies Geschwindigkeitsfeld charakterisiert, was nur in mehreren Raumdimensionen nichttrivial ist. Da die Jacobi-Matrizen des akustischen Systems nicht vertauschen, kann Akustik nicht auf irgendeine Art mehrdimensionaler Advektion zurückgeführt werden. Deswegen wird zunächst eine exakte Lösung in mehreren Raumdimensionen gefunden. Es wird gezeigt, dass sich der Grenzwert kleiner Machzahlen als Grenzwert langer Zeiten interpretieren lässt. Als der Ursprung des Versagens eines Schemas im Grenzwert kleiner Machzahlen wird das Fehlen einer diskreten Entsprechung zum Grenzwert langer Zeiten identifiziert. Numerische Schemata, deren diskrete stationäre Zustände alle analytischen stationären Zustände diskretisieren, werden stationaritätserhaltend genannt. Es zeigt sich, dass für die akustischen Gleichungen stationaritätserhaltende Schemata vortizitätserhaltend sind, und gerade diejenigen sind, die auch den Grenzwert kleiner Machzahlen aufzulösen vermögen. Das zeigt eine neue Verbindung zwischen diesen drei Konzepten auf. Erhaltung der Stationarität wird für lineare Akustik im Detail für Schemata studiert, die nach Raumdimensionen aufgeteilt sind, und auch für multi-dimensionale Schemata. Insbesondere wird ein Grund geliefert, warum die gleichen multi-dimensionalen diskreten Operatoren in der Literatur in sehr unterschiedlichen Kontexten auftauchen: Sie sind Diskretisierungen der Divergenz, für die eine stabilisierende, stationaritätserhaltende Diffusion gefunden werden kann. Auch für nichtlineare Gleichungen, wie die Euler-Gleichungen, kann die Erhaltung der Stationarität verallgemeinert werden. Es werden dazu mehrere Wege der Konstruktion numerischer Schemata gezeigt. Insbesondere im Hinblick auf den Grenzwert kleiner Machzahlen wird ein neuartiges Schema hergeleitet, dessen Diffusion so gewählt ist, dass es von der Divergenz der Geschwindigkeit, und nicht bloß von irgendswelchen Ableitungen der Geschwindigkeitskomponenten abhängt. Es wird gezeigt, dass dieses Schema in der Lage ist, den Grenzwert kleiner Machzahlen aufzulösen. Das Schema zeigt zufriedenstellende Resultate in Simulationen und ist stabil unter Verwendung eines expliziten Zeitintegrators. KW - Finite-Volumen-Methode KW - Machzahl KW - finite volume method KW - Euler equations KW - Acoustic equations KW - low Mach number KW - vorticity preserving Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-159965 ER -