Oliver Bletz-Siebert

• We consider homogeneous spaces G/H with the same rational homotopy as a product of a 1-sphere and a (m+1)-sphere. We show that these spaces have also the rational cohomology of such a sphere product if H is connected and if the quotient has dimension m+2. Furthermore, we prove that if additionally the fundamental group of G/H is cyclic, then G/H is locally a product of a 1-torus and ofA/H, where A/H is a simply connected rational cohomology (m+1)-sphere (and hence classified). If H fails to be connected, then with U as the connected componentWe consider homogeneous spaces G/H with the same rational homotopy as a product of a 1-sphere and a (m+1)-sphere. We show that these spaces have also the rational cohomology of such a sphere product if H is connected and if the quotient has dimension m+2. Furthermore, we prove that if additionally the fundamental group of G/H is cyclic, then G/H is locally a product of a 1-torus and ofA/H, where A/H is a simply connected rational cohomology (m+1)-sphere (and hence classified). If H fails to be connected, then with U as the connected component of H the G-action on the covering space G/U of G/H has connected stabilizers, and the results apply to G/U. To show that under the assumptions above every natural number may be realized as the order of the group of connected components of H we calculate the cohomology of certain homogeneous spaces. We also determine the rational cohomology of the fibre bundle U-->G-->G/U if G/H meets the assumptions above. This is done by considering the respective Leray-Serre spectral sequence. The structure of the cohomology of U-->G-->G/U then gives a second proof for the structure of compact connected Lie groups acting transitively on spaces with the rational homotopy of a product of a 1-sphere and a (m+1)-sphere. Since a quotient of a homogeneous space with the same rational homotopy or cohomology as a product of a 1-sphere and a (m+1)-sphere is not simply connected, there often arises the question whether or not a considered fibre bundle or fibration is orientable. A large amount of space will therefore be given to the problem of showing that certain fibrations are orientable. For compact connected (m+2)-manifolds with cyclic fundamental groups and with the rational homotopy of a product of a 1-sphere and a (m+1)-sphere we show the following: if a connected Lie group acts transitively on the manifold, then the maximal compact subgroups are either transitive, or their orbits are simply connected rational cohomology spheres of codimension 1. Homogeneous spaces with the same rational cohomology or homotopy as a a product of a 1-sphere and a (m+1)-sphere play a role in the study of different types of geometrical objects. They appear for example as focal manifolds of isoparametric hypersurfaces with four distinct principal curvatures. Further examples of such spaces are the point spaces and the line spaces of compact connected generalized quadrangles. We determine the isometry groups of isoparametric hypersurfaces with 4 principal curvatures of multiplicities 1 and m which are transitive on the focal manifold with non-trivial fundamental group. Buildings were introduced by Jacques Tits to give interpretations of simple groups of Lie type. They are a far-reaching generalization of projective spaces, in particular a generalization of projective planes. There is another generalization of projective planes called generalized polygons. A projective plane is the same as a generalized triangle. The generalized polygons are also contained in the class of buildings: they are the buildings of rank 2. To compact quadrangles one can assign a pair of natural numbers called the topological parameters of the quadrangles. We treat the case k=1. It turns out that there are no other point-transitive compact connected Lie groups for (1,m)-quadrangles than the ones for the real orthogonal quadrangles. Furthermore, we solve the problem of three infinite series of group actions which Kramer left as open problems; there are no quadrangles with the homogeneous spaces in question as point spaces (up to maybe a finite number of small parameters in one of the three series).…
• Es werden homogene Räume G/H mit der rationalen Homotopie von Produkten von einer 1-Sphäre mit einer (m+1)-Sphäre untersucht. Die Ergebnisse werden auf kompakte Vierecke (das sind die sphärischen kompakten Tits-Gebäude vom Typ C2) und auf isoparametrische Hyperflächen angewandt. Wir zeigen, dass die obigen homogenen Räume auch die rationale Kohomologie des jeweiligen Sphärenprodukts haben, falls H zusammenhängend ist und der Quotient die Dimension m+2 besitzt. Die Kohomologie gewisser homogener Räume wird bestimmt, um zu zeigen, dass die GruppeEs werden homogene Räume G/H mit der rationalen Homotopie von Produkten von einer 1-Sphäre mit einer (m+1)-Sphäre untersucht. Die Ergebnisse werden auf kompakte Vierecke (das sind die sphärischen kompakten Tits-Gebäude vom Typ C2) und auf isoparametrische Hyperflächen angewandt. Wir zeigen, dass die obigen homogenen Räume auch die rationale Kohomologie des jeweiligen Sphärenprodukts haben, falls H zusammenhängend ist und der Quotient die Dimension m+2 besitzt. Die Kohomologie gewisser homogener Räume wird bestimmt, um zu zeigen, dass die Gruppe der Komponenten von H jede beliebige natürliche Zahl als Ordnung besitzen kann. Falls die Fundamentalgruppe von G/H zyklisch ist, dann ist G/H lokal von der Form Tx(A/H) mit einer eindimensionalen Torusgruppe T und einer homogenen einfach-zusammenhängenden rationalen (m+1)-Kohomologiesphäre A/H; letztere sind klassifiziert. Wir bestimmen mit Hilfe der Leray-Serre-Spektralsequenz auch die rationale Kohomologie des Faserbündels U-->G-->G/U für die Zusammenhangskomponente U von H. Ein Quotient mit der rationalen Homotopie eines Produktes einer 1-Sphäre und einer (m+1)-Sphäre ist nicht einfach zusammenhängend. Deshalb tritt häufig die Frage auf, ob gewisse Faserungen orientierbar sind. Diesem Bereich wird viel Raum gewidmet. Wirkt eine Liegruppe transitiv auf einer kompakten Mannigfaltigkeit mit endlicher Fundamentalgruppe, dann wirkt nach einem Ergebnis von Montgomery auch jede maximale kompakte Untergruppe noch transitiv. Dies ist im Allgemeinen falsch für unendliche Fundamentalgruppen. Aber hier wird gezeigt: Wirkt eine zusammenhängende Liegruppe transitiv auf einer kompakten (m+2)-dimensionalen Mannigfaltigkeit mit zyklischer Fundamentalgruppe und mit der rationalen Homotopie eines Produktes einer 1-Sphäre und einer (m+1)-Sphäre, dann sind die maximalen kompakten Untergruppen transitiv oder ihre Bahnen sind alle einfach zusammenhängende rationale (m+1)-Kohomologiesphären. Diese topologischen Ergebnisse werden auf zwei verschieden Arten von geometrischen Objekten angewandt, nämlich auf Fokalmannigfaltigkeiten isoparametrischer Hyperflächen und auf Punkträume kompakter verallgemeinerter Vierecke. Isoparametrische Hyperflächen in Sphären sind abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten mit konstanten Hauptkrümmungen. Wir wenden unsere obigen Resultate an und bestimmen die transitiven isometrischen Wirkungen auf einer Fokalmannigfaltigkeit, falls es vier Hauptkrümmungen gibt und die Fokalmannigfaltigkeit die rationalen Homotopie eines Produktes einer 1-Sphäre mit einer (m+1)-Sphäre besitzt. Viele kompakte zusammenhängende Polygone gestatten eine transitive Wirkung ihrer Automorphismengruppe auf ihrem Punkt- oder Geradenraum. Wegen der Dualität der Rolle von Punkt- und Geradenraum genügt es Punkt-homogene Vierecke zu betrachten. Einem Punkt-homogenen kompakten zusammenhängenden Viereck lässt sich ein Paar (k,m) natürlicher Zahlen zuordnen, die topologischen Parameter des Viereck. Wir behandeln hier den Fall k=1. Es zeigt sich, dass es keine anderen Punkt-transitive Liegruppen gibt als diejenigen für die reellen orthogonalen Vierecke. Zusätzlich beweisen wir, dass es für drei bestimmte Serien von homogenen Räumen (für die die Frage, ob sie zu verallgemeinerten Vierecken gehören, ein offenes Problem war) keine entsprechenden Vierecke mit den homogenen Räumen als Punkträumen gibt.…