Duncan Kioi Gathungu

• The main theme of this thesis is the development of multigrid and hierarchical matrix solution procedures with almost linear computational complexity for classes of partial integro-differential problems. An elliptic partial integro-differential equation, a convection-diffusion partial integro-differential equation and a convection-diffusion partial integro-differential optimality system are investigated. In the first part of this work, an efficient multigrid finite-differences scheme for solving an elliptic Fredholm partialThe main theme of this thesis is the development of multigrid and hierarchical matrix solution procedures with almost linear computational complexity for classes of partial integro-differential problems. An elliptic partial integro-differential equation, a convection-diffusion partial integro-differential equation and a convection-diffusion partial integro-differential optimality system are investigated. In the first part of this work, an efficient multigrid finite-differences scheme for solving an elliptic Fredholm partial integro-differential equation (PIDE) is discussed. This scheme combines a second-order accurate finite difference discretization and a Simpson's quadrature rule to approximate the PIDE problem and a multigrid scheme and a fast multilevel integration method of the Fredholm operator allowing the fast solution of the PIDE problem. Theoretical estimates of second-order accuracy and results of local Fourier analysis of convergence of the proposed multigrid scheme are presented. Results of numerical experiments validate these estimates and demonstrate optimal computational complexity of the proposed framework that includes numerical experiments for elliptic PIDE problems with singular kernels. The experience gained in this part of the work is used for the investigation of convection diffusion partial-integro differential equations in the second part of this thesis. Convection-diffusion PIDE problems are discretized using a finite volume scheme referred to as the Chang and Cooper (CC) scheme and a quadrature rule. Also for this class of PIDE problems and this numerical setting, a stability and accuracy analysis of the CC scheme combined with a Simpson's quadrature rule is presented proving second-order accuracy of the numerical solution. To extend and investigate the proposed approximation and solution strategy to the case of systems of convection-diffusion PIDE, an optimal control problem governed by this model is considered. In this case the research focus is the CC-Simpson's discretization of the optimality system and its solution by the proposed multigrid strategy. Second-order accuracy of the optimization solution is proved and results of local Fourier analysis are presented that provide sharp convergence estimates of the optimal computational complexity of the multigrid-fast integration technique. While (geometric) multigrid techniques require ad-hoc implementation depending on the structure of the PIDE problem and on the dimensionality of the domain where the problem is considered, the hierarchical matrix framework allows a more general treatment that exploits the algebraic structure of the problem at hand. In this thesis, this framework is extended to the case of combined differential and integral problems considering the case of a convection-diffusion PIDE. In this case, the starting point is the CC discretization of the convection-diffusion operator combined with the trapezoidal quadrature rule. The hierarchical matrix approach exploits the algebraic nature of the hierarchical matrices for blockwise approximations by low-rank matrices of the sparse convection-diffusion approximation and enables data sparse representation of the fully populated matrix where all essential matrix operations are performed with at most logarithmic optimal complexity. The factorization of part of or the whole coefficient matrix is used as a preconditioner to the solution of the PIDE problem using a generalized minimum residual (GMRes) procedure as a solver. Numerical analysis estimates of the accuracy of the finite-volume and trapezoidal rule approximation are presented and combined with estimates of the hierarchical matrix approximation and with the accuracy of the GMRes iterates. Results of numerical experiments are reported that successfully validate the theoretical estimates and the optimal computational complexity of the proposed hierarchical matrix solution procedure. These results include an extension to higher dimensions and an application to the time evolution of the probability density function of a jump diffusion process.…
• Das Hauptthema dieser Arbeit ist die Entwicklung von Mehrgitter-Verfahren und hierarchischer Matrix-Lösungsverfahren mit nahezu linearer Rechenkomplexität für Klassen von partiellen Integro-Differential-Problemen. Es werden eine elliptische partielle Integro-Differentialgleichung, eine partielle Konvektions-Diffusions-Integro-Differentialgleichung und ein partielles Konvektions-Diffusions-Integro-Differential-Optimalitätssystem untersucht. Im ersten Teil dieser Arbeit wurde ein effizientes Mehrgitter-Finite-Differenzen-Schema zur Lösung einerDas Hauptthema dieser Arbeit ist die Entwicklung von Mehrgitter-Verfahren und hierarchischer Matrix-Lösungsverfahren mit nahezu linearer Rechenkomplexität für Klassen von partiellen Integro-Differential-Problemen. Es werden eine elliptische partielle Integro-Differentialgleichung, eine partielle Konvektions-Diffusions-Integro-Differentialgleichung und ein partielles Konvektions-Diffusions-Integro-Differential-Optimalitätssystem untersucht. Im ersten Teil dieser Arbeit wurde ein effizientes Mehrgitter-Finite-Differenzen-Schema zur Lösung einer elliptischen Fredholm partiellen Integro-Differentialgleichungen (PIDE) diskutiert. Dieses Schema kombiniert eine exakte finite Differenzen-Diskretisierung zweiter Ordnung mit einer Quadraturregel von Simpson, um das PIDE-Problem mit einem Mehrgitter-Schema und einer schnellen Multilevel-Integrationsmethode des Fredholm-Operators zu lösen, was eine schnelle Lösung des PIDE-Probleme ermöglicht. Theoretische Abschätzungen der Genauigkeit zweiter Ordnung und Ergebnisse der lokalen Fourier-Analyse der Konvergenz des vorgeschlagenen Mehrgitter-Systems werden präsentiert. Ergebnisse von numerischen Experimenten validieren diese Schätzungen und demonstrieren die optimale rechnerische Komplexität des vorgeschlagenen Frameworks, das numerische Experimente für elliptische PIDE mit singulären Kernen beinhaltet. Die in diesem Teil der Arbeit gewonnenen Erfahrungen werden zur Untersuchung einer partielle Konvektions-Diffusions-Integro-Differentialgleichungen im zweiten Teil verwendet. Konvektions-Diffusions-PIDE-Probleme werden unter Verwendung eines Finite-Volumen-Schemas, das als das Chang- Cooper- (CC-) Schema bezeichnet wird, und einer Quadraturregel diskretisiert. Auch für diese Klasse von PIDE-Problemen und diese numerische Einstellung wird eine Stabilitäts- und Genauigkeitsanalyse des CC-Schemas in Kombination mit einer Quadraturregel von Simpson vorgestellt, die die Genauigkeit der numerischen Lösung zweiter Ordnung beweist. Um die vorgeschlagene Approximations- und Lösungsstrategie auf den Fall von Konvektions-Diffusions-PIDE-Systemen auszudehnen und zu untersuchen, wird ein Optimalsteuerungsproblem mit diesem Modell als Nebenbedingung untersucht. Der Forschungsschwerpunkt liegt dabei auf der Diskretisierung des Optimalitätssystems durch die CC-Simpson-Lösung und dessen Lösung durch die vorgeschlagene Mehrgitter-Strategie. Die Genauigkeit der optimalen Lösung zweiter Ordnung wird bewiesen und es werden Ergebnisse der lokalen Fourier-Analyse präsentiert, die scharfe Konvergenz-Schätzungen der optimalen Berechnungskomplexität der schnellen Mehrgitter Integrationstechnik liefern. Während (geometrische) Mehrgitterverfahren je nach Struktur des PIDE-Problems und der Dimensionalität des Gebietes, in dem das Problem berücksichtigt wird, eine Ad-hoc-Implementierung erfordern, ermöglicht das hierarchische Matrix-Framework eine allgemeinere Behandlung, die die algebraische Struktur des Problems nutzt. In dieser Arbeit wird dieses Verfahren auf den Fall kombinierter Differential- und Integralprobleme im Fall einer Konvektions-Diffusions-PIDE erweitert. In diesem Fall ist der Startpunkt die CC-Diskretisierung des Konvektions-Diffusions-Operators in Kombination mit der Trapez-Quadratur-Regel. Der hierarchische Matrixansatz nutzt die algebraische Natur der hierarchischen Matrizen für blockweise Approximationen durch niedrigrangige Matrizen der dünn besetzten Konvektions-Diffusionsmatrix und ermöglicht eine datenarme Darstellung der vollständig besetzten Matrix, bei der alle wesentlichen Matrixoperationen mit höchstens logarithmisch optimaler Komplexität durchgeführt werden. Die Faktorisierung eines Teils oder der gesamten Koeffizientenmatrix wird als Vorbedingung für die Lösung der PIDE-Probleme unter Verwendung eines verallgemeinerten minimalen Restwert-Verfahrens (GMRes) als Löser verwendet. Eine numerische Analyse der Abschätzungen der Genauigkeit der Finite-Volumen- und Trapezregel-Approximation werden präsentiert und kombiniert mit Abschätzungen der hierarchischen Matrix-Näherung und mit der Genauigkeit der GMRes iterationen kombiniert. Ergebnisse numerischer Experimente werden vorgestellt, die theoretischen Abschätzungen und die optimale rechnerische Komplexität der vorgeschlagenen hierarchischen Matrix Lösungsverfahren erfolgreich validieren. Diese Ergebnisse beinhalten eine Erweiterung auf höhere Dimensionen und eine Anwendung auf die zeitliche Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion des Sprungdiffusionsprozesses.…