Peter Janotta

• Quantum theory is considered to be the most fundamental and most accurate physical theory of today. Although quantum theory is conceptually difficult to understand, its mathematical structure is quite simple. What determines this particularly simple and elegant mathematical structure? In short: Why is quantum theory as it is? Addressing such questions is the aim of investigating the foundations of quantum theory. In the past this field of research was sometimes considered as an academic subject without much practical impact. However, withQuantum theory is considered to be the most fundamental and most accurate physical theory of today. Although quantum theory is conceptually difficult to understand, its mathematical structure is quite simple. What determines this particularly simple and elegant mathematical structure? In short: Why is quantum theory as it is? Addressing such questions is the aim of investigating the foundations of quantum theory. In the past this field of research was sometimes considered as an academic subject without much practical impact. However, with the emergence of quantum information theory this perception has changed significantly and both fields started to fruitfully influence each other. Today fundamental aspects of quantum theory attract increasing attention and the field belongs to the most exciting subjects of theoretical physics. This thesis is concerned with a particular branch in this field, namely, with so-called Generalized Probabilistic Theories (GPTs), which provide a unified theoretical framework in which classical and quantum theory emerge as special cases. This is used to examine nonlocal features that help to distinguish quantum theory from alternative toy theories. In order to extend the scope of theories that can be examined with the framework, we also introduce several generalizations to the framework itself. We start in Chapter 1 with introducing the standard GPT framework and summarize previous results, based on a review paper of the author [New J. Phys. 13, 063024 (2011)]. To keep the introduction accessible to a broad readership, we follow a constructive approach. Starting from few basic physically motivated assumptions we show how a given set of observations can be manifested in an operational theory. Furthermore, we characterize consistency conditions limiting the range of possible extensions. We point out that non-classical features of single systems can equivalently result from higher dimensional classical theories that have been restricted. Entanglement and non-locality, however, are shown to be genuine non-classical features. We review features that have been found to be specific for quantum theory separably or single and joint systems. Chapter 2 incorporates results published in [J. Phys. A 47(32), pp. 1-32 (2014)] and [Proc. QPL 2011 via EPTCS vol. 95, pp. 183–192 (2012)]. The GPT framework is applied to show how the structure of local state spaces indirectly affects possible nonlocal correlations, which are global properties of a theory. These correlations are stronger than those possible in a classical theory, but happen to show different restrictions that can be linked to the structure of subsystems. We first illustrate the phenomenon with toy theories with particular local state spaces. We than show that a particular class of joint states (inner product states), whose existence depends on geometrical properties of the local subsystems, can only have correlations for a known limited set called Q1. All bipartite correlations of both, quantum and classical correlations, can be mapped to measurement statistics from such joint states. Chapter 3 shows unpublished results on entanglement swapping in GPTs. This protocol, which is well known in quantum information theory, allows to nonlocally transfer entanglement to initially unentangled parties with the help of a third party that shares entanglement with each. We review our approach published in [Proc. QPL 2011 via EPTCS vol. 95, pp. 183–192 (2012)], which mimics the joint systems' structure of quantum theory by modifying a popular toy theory known as boxworld. However, it is illustrated that this approach fails for bigger multipartite systems due to inconsistencies evoked by entanglement swapping. It turns out that the GPT framework does not allow entanglement swapping for general subsystems with two-dimensional state spaces with transitive pure states. Altering the GPT framework to allow completely globally degrees of freedom, however, enables us to construct consistent entanglement swapping for these subsystems. This construction resembles the situation in quantum theory on a real Hilbert space. A questionable assumption usually taken in the standard GPT framework is the so-called no-restriction hypothesis. It states that the measurement that are possible in a theory can be derived from the state space. In fact, this assumption seems to exist for reasons of mathematical convenience, but it seems to lack physical motivation. We generalize the GPT framework to also account for systems that do not obey the no-restriction hypothesis in Chapter 4, which presents results published in [Phys. Rev. A 87, 052131 (2013)] and [Proc. QPL 2013, to be published in EPTCS]. The extended framework includes new classes of probabilistic theories. As an example, we show how to construct theories that include intrinsic noise. We also provide a "self-dualization" procedure that requires the violation of the no-restriction hypothesis. This procedure restricts the measurement of arbitrary theories such that the theories act as if they were self-dual. Self-duality has recently gathered lots of interest, since such theories share many features of quantum theory. For example Tsirelson’s bound holds for correlations on the maximally entangled state in these theories. Finally, we characterize the maximal set of joint states that can be consistently defined for given subsystems. This generalizes the maximal tensor product of the standard GPT framework.…
• Die Quantentheorie wird als eine der grundlegensten und präzisesten physikalischen Theorien unserer Zeit angesehen. Auch wenn die Theorie konzeptionell schwierig zu verstehen ist, so ist die eigentliche mathematische Struktur überraschend einfach. Auf welcher physikalischen Grundlage basiert diese besonders einfache und elegante mathematische Struktur? Oder anders ausgedrückt: Warum ist die Quantentheorie so wie sie ist? Das Gebiet der "Grundlagen der Quantentheorie" versucht, auf diese Fragen Antworten zu finden. In der Vergangenheit wurdeDie Quantentheorie wird als eine der grundlegensten und präzisesten physikalischen Theorien unserer Zeit angesehen. Auch wenn die Theorie konzeptionell schwierig zu verstehen ist, so ist die eigentliche mathematische Struktur überraschend einfach. Auf welcher physikalischen Grundlage basiert diese besonders einfache und elegante mathematische Struktur? Oder anders ausgedrückt: Warum ist die Quantentheorie so wie sie ist? Das Gebiet der "Grundlagen der Quantentheorie" versucht, auf diese Fragen Antworten zu finden. In der Vergangenheit wurde dieses Forschungsgebiet als überwiegend akademisch mit wenig praktischen Nutzen angesehen. Mit dem Fortschritt der Quanteninformationstheorie hat sich diese Sicht aber grundsätzlich gewandelt, da beide Gebiete einander stetig fruchtbar beeinflussen . Dadurch stößt die Grundlagenforschung zur Quantentheorie derzeit auf wachsendes Interesse, so dass das Gebiet nun wohl zu den spannensten Themenbereichen der theoretischen Physik gezählt werden darf. Diese Arbeit beschäftigt sich mit einer bestimmten Richtung in diesem Feld - den sogenannten "Verallgemeinerten Wahrscheinlichkeitstheorien" (GPTs). Diese bilden einen umfassenden theoretischen Rahmen zur Beschreibung physikalischer Theorien, wobei die klassische Wahrscheinlichkeitstheorie und die Quantentheorie als Spezialfälle enthalten sind. Wir nutzen diesen Ansatz in dieser Arbeit, um nicht-lokale Eigenschaften zu untersuchen, die helfen die Sonderrolle der Quantentheorie gegenüber nicht realisierter Alternativen zu verstehen. Um die Anwendungsbereich dieses Ansatzes zu vergrößern, führen wir verschiedene Verallgemeinerungen ein. Dadurch wird es möglich die Auswirkungen von Annahmen zu untersuchen, die typischerweise beim GPT-Ansatz gemacht werden. Basierend auf einem Übersichtsartikel des Autors [New J. Phys. 13, 063024 (2011)], beginnen wir in Kapitel 1 zunächst mit einer Einführung des üblichen GPT-Ansatzes und fassen bisherige Ergebnisse zusammen. Um die Einführung möglichst verständlich zu halten, verfolgen wir dabei einen konstruktiven Ansatz. Beginnend mit wenigen, physikalisch wohlmotivierten Annahmen, zeigen wir wie beliebige experimentelle Beobachtungen in einer operationalen Theorie festgehalten werden können. Desweiteren, charakterisieren wir die Konsistenzbedingungen, die bei darauf aufbauenden Erweiterungen der Theorie beachtet werden müssen. Wir zeigen auf, dass nicht-klassische Eigenschaften eines Einzelsystems in gleicher Weise auch in einem höherdimensionalen klassischen System auftreten können, wenn man die Menge möglicher Messungen beschränkt. Hingegen wird gezeigt, dass Verschränkung und Nicht-Lokalität echt nicht-klassische Eigenschaften darstellen. Besondere Eigenschaften, die spezifisch für die Quantentheorie sind, werden separat für Einzelsysteme und zusammengesetzte Systeme besprochen. Kapitel 2 enthält Ergebnisse, die wir in [J. Phys. A 47(32), pp. 1-32 (2014)] und [Proc. QPL 2011 via EPTCS vol. 95, pp. 183–192 (2012)] veröffentlicht haben. Der GPT-Ansatz wird dort dazu benutzt, um zu zeigen, wie die Struktur lokaler Zustandsräume indirekt die möglichen nicht-lokalen Korrelationen beeinflusst, die selbst eigentlich globale Eigenschaften darstellen. Solche Korrelationen sind stärker als jene, die in der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie möglich sind, zeigen jedoch andere Beschränkungen, die wir auf die Struktur der Subsysteme zurück führen können. Zunächst illustrieren wir dieses Phänomen mit Spieltheorien mit bestimmten lokalen Zustandsräumen. Danach zeigen wir, dass für eine besondere Klasse von zusammengesetzten Zuständen (inner product states), deren Existenz von geometrischen Eigenschaften der lokalen Subsysteme abhängt, Korrelationen im Allgemeinen auf eine Menge beschränkt sind, die als Q1 bekannt ist. Alle bipartiten Korrelationen von Quantentheorie und klassischer Wahrscheinlichkeitstheorie können auf die Messstatistiken dieser Zustände zurückgeführt werden. Kapitel 3 beinhaltet größtenteils unpublizierte Ergebnisse zu Verschränkungstausch (entanglement swapping) in GPTs. Diese Protokoll, das aus der Quanteninformationstheorie bekannt ist, erlaubt den nicht-lokalen Transfer von Verschränkung zu anfangs unverschränkten Parteien mit Hilfe eines Dritten, der verschränkte Zustände mit Beiden teilt. Wir stellen zunächst unseren in [Proc. QPL 2011 via EPTCS vol. 95, pp. 183–192 (2012)] eingeführten Ansatz vor, der die Struktur zusammengesetzter Systeme in der Quantentheorie nachahmt. Dafür modifizieren wir eine populäre Spieltheorie, die unter dem Namen boxworld bekannt ist. Es stellt sich jedoch heraus, dass dieser Ansatz für größere multipartite Systeme fehlschlägt, da die Anwendung des Verschränkungstausch-Protokolls zu Inkonsistenzen führt. Wir zeigen dann, dass der GPT-Ansatz generell konsistenten Verschränkungstausch für solche Systeme verbietet, die Subsysteme mit zwei-dimensionalen Zustandsräumen haben, wo die reinen Zustände reversibel in einander überführbar sind. Ändern wir den GPT-Ansatz jedoch insofern, dass rein globale Freiheitsgrade zugelassen sind, zeigt sich das Verschränkungstausch auch für diese Systeme möglich wird. Dabei kommt eine Konstruktion zum Einsatz, die die Situation nachahmt, wie sie in der Quantentheorie auf einem reellen Hilbertraum herrscht. Normalerweise geht der GPT-Ansatz von der sogenannten No-restriction-Hypothese aus, bei der der Zustandsraum einer physikalischen Theorie auch die Menge möglicher Messungen bestimmt. Allerdings scheint diese Annahme nicht physikalisch motiviert. Wir verallgemeinern daher in Kapitel 4 den Ansatz auf Systeme, die nicht der No-restriction-Hypothese gehorchen unter Verwendung von Resultaten aus [Phys. Rev. A 87, 052131 (2013)] und [Proc. QPL 2013, wird veröffentlicht in EPTCS]. Wir zeigen, wie unser so erweiterte Ansatz dazu genutzt werden kann, neue Klassen von Wahrscheinlichkeitstheorien zu beschreiben. Dadurch lässt sich beispielsweise in eine Theorie intrinsisches Rauschen fest einbauen. Das Aufheben der no-restriction-Hypothese erlaubt es uns außerdem eine Selbstualisierungsprozedur einzuführen. Dadurch lassen sich eine neue Klasse von Theorien definieren, die der Quantentheorie ähnelnde Eigenschaften aufweisen. Beispielsweise sind die Korrelationen durch Messungen auf den maximal verschränkten Zustands durch die Tsirelson-Schranke beschränkt. Schließlich charakterisieren wir die maximale Menge zusammengesetzter Zustände, die sich allgemein konsistent für gegebene Subsysteme definieren lassen. Dies verallgemeinert das aus dem normalen GPT-Ansatz bekannte, sogenannte maximale Tensorprodukt.…