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## Complexity and Partitions

### Komplexität von Partitionen

Please always quote using this URN: urn:nbn:de:bvb:20-opus-2808
• Computational complexity theory usually investigates the complexity of sets, i.e., the complexity of partitions into two parts. But often it is more appropriate to represent natural problems by partitions into more than two parts. A particularly interesting class of such problems consists of classification problems for relations. For instance, a binary relation R typically defines a partitioning of the set of all pairs (x,y) into four parts, classifiable according to the cases where R(x,y) and R(y,x) hold, only R(x,y) or only R(y,x) holds orComputational complexity theory usually investigates the complexity of sets, i.e., the complexity of partitions into two parts. But often it is more appropriate to represent natural problems by partitions into more than two parts. A particularly interesting class of such problems consists of classification problems for relations. For instance, a binary relation R typically defines a partitioning of the set of all pairs (x,y) into four parts, classifiable according to the cases where R(x,y) and R(y,x) hold, only R(x,y) or only R(y,x) holds or even neither R(x,y) nor R(y,x) is true. By means of concrete classification problems such as Graph Embedding or Entailment (for propositional logic), this thesis systematically develops tools, in shape of the boolean hierarchy of NP-partitions and its refinements, for the qualitative analysis of the complexity of partitions generated by NP-relations. The Boolean hierarchy of NP-partitions is introduced as a generalization of the well-known and well-studied Boolean hierarchy (of sets) over NP. Whereas the latter hierarchy has a very simple structure, the situation is much more complicated for the case of partitions into at least three parts. To get an idea of this hierarchy, alternative descriptions of the partition classes are given in terms of finite, labeled lattices. Based on these characterizations the Embedding Conjecture is established providing the complete information on the structure of the hierarchy. This conjecture is supported by several results. A natural extension of the Boolean hierarchy of NP-partitions emerges from the lattice-characterization of its classes by considering partition classes generated by finite, labeled posets. It turns out that all significant ideas translate from the case of lattices. The induced refined Boolean hierarchy of NP-partitions enables us more accuratly capturing the complexity of certain relations (such as Graph Embedding) and a description of projectively closed partition classes.
• Die klassische Komplexitätstheorie untersucht in erster Linie die Komplexität von Mengen, d.h. von Zerlegungen (Partitionen) einer Grundmenge in zwei Teile. Häufig werden aber natürliche Fragestellungen viel angemessener durch Zerlegungen in mehr als zwei Teile abgebildet. Eine besonders interessante Klasse solcher Fragestellungen sind Klassifikationsprobleme für Relationen. Zum Beispiel definiert eine Binärrelation R typischerweise eine Zerlegung der Menge aller Paare (x,y) in vier Teile, klassifizierbar danach, ob R(x,y) und R(y,x), R(x,y)Die klassische Komplexitätstheorie untersucht in erster Linie die Komplexität von Mengen, d.h. von Zerlegungen (Partitionen) einer Grundmenge in zwei Teile. Häufig werden aber natürliche Fragestellungen viel angemessener durch Zerlegungen in mehr als zwei Teile abgebildet. Eine besonders interessante Klasse solcher Fragestellungen sind Klassifikationsprobleme für Relationen. Zum Beispiel definiert eine Binärrelation R typischerweise eine Zerlegung der Menge aller Paare (x,y) in vier Teile, klassifizierbar danach, ob R(x,y) und R(y,x), R(x,y) aber nicht R(y,x), nicht R(x,y) aber dafür R(y,x) oder weder R(x,y) noch R(y,x) gilt. Anhand konkreter Klassifikationsprobleme, wie zum Beispiel der Einbettbarkeit von Graphen und der Folgerbarkeit für aussagenlogische Formeln, werden in der Dissertation Instrumente für eine qualitative Analyse der Komplexität von Partitionen, die von NP-Relationen erzeugt werden, in Form der Booleschen Hierarchie der NP-Partitionen und ihrer Erweiterungen systematisch entwickelt. Die Boolesche Hierarchie der NP-Partitionen wird als Verallgemeinerung der bereits bekannten und wohluntersuchten Boolesche Hierarchie über NP eingeführt. Während die letztere Hierarchie eine sehr einfache Struktur aufweist, stellt sich die Boolesche Hierarchie der NP-Partitionen im Falle von Zerlegungen in mindestens 3 Teile als sehr viel komplizierter heraus. Um einen Überblick über diese Hierarchien zu erlangen, werden alternative Beschreibungen der Klassen der Hierarchien mittels endlicher, bewerteter Verbände angegeben. Darauf aufbauend wird die Einbettungsvermutung aufgestellt, die uns die vollständige Information über die Struktur der Hierarchie liefert. Diese Vermutung wird mit verschiedene Resultaten untermauert. Eine Erweiterung der Booleschen Hierarchie der NP-Partitionen ergibt sich auf natürliche Weise aus der Charakterisierung ihrer Klassen durch Verbände. Dazu werden Klassen betrachtet, die von endlichen, bewerteten Halbordnungen erzeugt werden. Es zeigt sich, dass die wesentlichen Konzepte vom Verbandsfall übertragen werden können. Die entstehende Verfeinerung der Booleschen Hierarchie der NP-Partitionen ermöglicht die exaktere Analyse der Komplexität bestimmter Relationen (wie zum Beispiel der Einbettbarkeit von Graphen) und die Beschreibung projektiv abgeschlossener Partitionenklassen.