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The Forbidden Pattern Approach to Concatenation Hierarchies

Verbotsmuster und Hierarchien regulärer sternfreier Sprachen

Please always quote using this URN: urn:nbn:de:bvb:20-opus-2832
  • The thesis looks at the question asking for the computability of the dot-depth of star-free regular languages. Here one has to determine for a given star-free regular language the minimal number of alternations between concatenation on one hand, and intersection, union, complement on the other hand. This question was first raised in 1971 (Brzozowski/Cohen) and besides the extended star-heights problem usually refered to as one of the most difficult open questions on regular languages. The dot-depth problem can be captured formally byThe thesis looks at the question asking for the computability of the dot-depth of star-free regular languages. Here one has to determine for a given star-free regular language the minimal number of alternations between concatenation on one hand, and intersection, union, complement on the other hand. This question was first raised in 1971 (Brzozowski/Cohen) and besides the extended star-heights problem usually refered to as one of the most difficult open questions on regular languages. The dot-depth problem can be captured formally by hierarchies of classes of star-free regular languages B(0), B(1/2), B(1), B(3/2),... and L(0), L(1/2), L(1), L(3/2),.... which are defined via alternating the closure under concatenation and Boolean operations, beginning with single alphabet letters. Now the question of dot-depth is the question whether these hierarchy classes have decidable membership problems. The thesis makes progress on this question using the so-called forbidden pattern approach: Classes of regular languages are characterized in terms of patterns in finite automata (subgraphs in the transition graph) that are not allowed. Such a characterization immediately implies the decidability of the respective class, since the absence of a certain pattern in a given automaton can be effectively verified. Before this work, the decidability of B(0), B(1/2), B(1) and L(0), L(1/2), L(1), L(3/2) were known. Here a detailed study of these classes with help of forbidden patterns is given which leads to new insights into their inner structure. Furthermore, the decidability of B(3/2) is proven. Based on these results a theory of pattern iteration is developed which leads to the introduction of two new hierarchies of star-free regular languages. These hierarchies are decidable on one hand, on the other hand they are in close connection to the classes B(n) and L(n). It remains an open question here whether they may in fact coincide. Some evidence is given in favour of this conjecture which opens a new way to attack the dot-depth problem. Moreover, it is shown that the class L(5/2) is decidable in the restricted case of a two-letter alphabet.show moreshow less
  • Die Arbeit beschaeftigt sich mit der Frage nach der Berechenbarkeit der Punkttiefe sternfreier regulaerer Sprachen. Dabei handelt es sich um die Aufgabe, zu einer gegebenen sternfreien regulaeren Sprache die minimal moegliche Anzahl von Wechseln zwischen den Operationen Konkatenation einerseits und Durchschnitt, Vereinigung, Komplement andererseits in einem sternfreien regulaeren Ausdruck fuer die gegebene Sprache zu bestimmen. Diese Frage wurde 1971 erstmals aufgeworfen (Brzozowski/Cohen) und gilt neben dem Problem der erweiterten SternhoeheDie Arbeit beschaeftigt sich mit der Frage nach der Berechenbarkeit der Punkttiefe sternfreier regulaerer Sprachen. Dabei handelt es sich um die Aufgabe, zu einer gegebenen sternfreien regulaeren Sprache die minimal moegliche Anzahl von Wechseln zwischen den Operationen Konkatenation einerseits und Durchschnitt, Vereinigung, Komplement andererseits in einem sternfreien regulaeren Ausdruck fuer die gegebene Sprache zu bestimmen. Diese Frage wurde 1971 erstmals aufgeworfen (Brzozowski/Cohen) und gilt neben dem Problem der erweiterten Sternhoehe als eine der schwierigsten offenen Fragen der Theorie der regulaeren Sprachen. Formal fassen laesst sich das Problem der Punkttiefe durch Hierarchien von Klassen sternfreier regulaerer Sprachen B(0), B(1/2), B(1), B(3/2),...sowie L(0), L(1/2), L(1), L(3/2),.... die - ausgehend von einzelnen Buchstaben - mittels Alternierung zwischen Konkatenation und Booleschen Operationen definiert sind. Die Frage nach der Punkttiefe wird hier zur Frage nach der Entscheidbarkeit der Hierarchieklassen. In der Arbeit werden neue Fortschritte mittels sogenannter Verbotsmuster erzielt. Bei diesem Ansatz werden Klassen regulaerer Sprachen dadurch charakterisiert, dass in den zugehoerigen endlichen Automaten bestimmte Muster (Teilgraphen des Ueberfuehrungsgraphen) verboten werden. Gelingt eine solche Charakterisierung, folgt unmittelbar die Entscheidbarkeit der Klasse, da das Nichtvorhandensein eines Musters in einem gegebenen endlichen Automaten effektiv geprueft werden kann. Bisher war die Entscheidbarkeit von B(0), B(1/2), B(1) und L(0), L(1/2), L(1), L(3/2) bekannt. Mit Hilfe von Verbotsmustern erfolgt eine genaue Untersuchung dieser Klassen, die zu neuen Erkenntnissen ueber ihre innere Struktur fuehrt. Darueberhinaus gelingt der Nachweis der Entscheidbarkeit von B(3/2). Basierend auf diesen Ergebnissen wird eine Theorie der Verbotsmusteriteration entwickelt, die zur Einfuehrung von zwei neuen Hierarchien sternfreier regulaerer Sprachen fuehrt. Diese neuen Hierarchien sind zum einen entscheidbar, zum anderen stehen sie in enger Beziehung zu den Klassen B(n) und L(n). Es bleibt an dieser Stelle eine offene Frage, ob sie eventuell sogar mit ihnen uebereinstimmen. Fuer diese Vermutung werden einige Indizien gesammelt und somit ein neuer Weg fuer eine moegliche Loesung des Problems der Punkttiefe aufgezeigt. In diesem Zusammenhang erfolgt auch erstmals der Nachweis der Entscheidbarkeit der Klasse L(5/2) im eingeschraenkten Fall eines zweielementigen Alphabets.show moreshow less

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Metadaten
Author: Heinz Schmitz
URN:urn:nbn:de:bvb:20-opus-2832
Document Type:Doctoral Thesis
Granting Institution:Universität Würzburg, Fakultät für Mathematik und Informatik
Faculties:Fakultät für Mathematik und Informatik / Institut für Informatik
Date of final exam:2001/01/19
Language:English
Year of Completion:2000
Dewey Decimal Classification:0 Informatik, Informationswissenschaft, allgemeine Werke / 00 Informatik, Wissen, Systeme / 004 Datenverarbeitung; Informatik
GND Keyword:Sternfreie Sprache; Dot-Depth-Hierarchie; Straubing-Th´erien-Hierarchie; Verbotenes Muster
Tag:Dot-Depth Problem; Entscheidbarkeit; Theoretische Informatik; Verbotsmuster; endliche Automaten; reguläre Sprachen
Theoretical Computer Science; decidability; dot-depth problem; finite automata; forbidden patterns; regular languages
Release Date:2002/08/29
Advisor:Prof.Dr. Klaus W. Wagner