Solving an eigenvalue problem in laser simulation

Lösen eines Eigenwertproblems bei der Simulation von Lasern

Please always quote using this URN: urn:nbn:de:bvb:20-opus-10057
  • In this thesis a new and powerful approach for modeling laser cavity eigenmodes is presented. This approach is based on an eigenvalue problem for singularly perturbed partial differential operators with complex coefficients; such operators have not been investigated in detail until now. The eigenvalue problem is discretized by finite elements, and convergence of the approximate solution is proved by using an abstract convergence theory also developed in this dissertation. This theory for the convergence of an approximate solution of aIn this thesis a new and powerful approach for modeling laser cavity eigenmodes is presented. This approach is based on an eigenvalue problem for singularly perturbed partial differential operators with complex coefficients; such operators have not been investigated in detail until now. The eigenvalue problem is discretized by finite elements, and convergence of the approximate solution is proved by using an abstract convergence theory also developed in this dissertation. This theory for the convergence of an approximate solution of a (quadratic) eigenvalue problem, which particularly can be applied to a finite element discretization, is interesting on its own, since the ideas can conceivably be used to handle equations with a more complex nonlinearity. The discretized eigenvalue problem essentially is solved by preconditioned GMRES, where the preconditioner is constructed according to the underlying physics of the problem. The power and correctness of the new approach for computing laser cavity eigenmodes is clearly demonstrated by successfully simulating a variety of different cavity configurations. The thesis is organized as follows: Chapter 1 contains a short overview on solving the so-called Helmholtz equation with the help of finite elements. The main part of Chapter 2 is dedicated to the analysis of a one-dimensional model problem containing the main idea of a new model for laser cavity eigenmodes which is derived in detail in Chapter 3. Chapter 4 comprises a convergence theory for the approximate solution of quadratic eigenvalue problems. In Chapter 5, a stabilized finite element discretization of the new model is described and its convergence is proved by applying the theory of Chapter 4. Chapter 6 contains computational aspects of solving the resulting system of equations and, finally, Chapter 7 presents numerical results for various configurations, demonstrating the practical relevance of our new approach.show moreshow less
  • In dieser Arbeit wird ein neues und mächtiges Verfahren für die Modellierung von Eigenmoden in Laser-Resonatoren vorgestellt. Dieses Verfahren basiert auf einem Eigenwertproblem für singulär gestörte Differentialoperatoren mit komplexen Koeffizienten; solche Operatoren sind bisher noch nicht detailliert untersucht worden. Das Eigenwertproblem wird mit Finiten Elementen diskretisiert, und die Konvergenz der Finite-Elemente-Lösung wird bewiesen durch Anwendung einer abstrakten Konvergenztheorie, die ebenfalls in dieser Dissertation entwickeltIn dieser Arbeit wird ein neues und mächtiges Verfahren für die Modellierung von Eigenmoden in Laser-Resonatoren vorgestellt. Dieses Verfahren basiert auf einem Eigenwertproblem für singulär gestörte Differentialoperatoren mit komplexen Koeffizienten; solche Operatoren sind bisher noch nicht detailliert untersucht worden. Das Eigenwertproblem wird mit Finiten Elementen diskretisiert, und die Konvergenz der Finite-Elemente-Lösung wird bewiesen durch Anwendung einer abstrakten Konvergenztheorie, die ebenfalls in dieser Dissertation entwickelt wird. Diese Theorie für die Konvergenz einer Näherungslösung eines (quadratischen) Eigenwertproblems ist für sich allein interessant, da die Beweisideen auch auf Fälle mit einer komplizierteren Nichtlinerität angewendet werden können. Das diskretisierte Eigenwertproblem wird im Wesentlichen mit einem vorkonditionierten GMRES-Verfahren gelöst, wobei der Vorkonditionierer unter Beachtung der dem Problem zugrunde liegenden Physik konstruiert wurde. Die Mächtigkeit und Korrektheit unseres neuen Verfahrens zur Bestimmung von Eigenmoden in Laser-Resonatoren wird klar gezeigt dadurch, dass eine Vielzahl verschiedener Konfigurationen damit erfolgreich gerechnet werden können. Die Dissertation ist wie folgt aufgebaut: Kapitel 1 enthält eine kurzen Überblick über das Lösen der sogenannten Helmholtz-Gleichung mit Hilfe von Finiten Elementen. Der Großteil des Kapitels 2 beschäftigt sich mit der Analyse eines eindimensionalen Modellproblems. Dieses Modellproblem enthält die Hauptidee des neuen Modells für Eigenmoden eines Laser-Resonators, welches in Kapitel 3 entwickelt wird. Kapitel 4 beinhaltet eine Konvergenztheorie für Näherungslösungen von quadratischen Eigenwertproblemen. In Kapitel 5 wird eine stabilisierte Finite-Elemente-Diskretisierung des neuen Modells beschrieben, und dessen Konvergenz mit Hilfe der Theorie aus Kapitel 4 bewiesen. Kapitel 6 beschäftigt sich damit, welche Verfahren aus der numerischen linearen Algebra verwendet werden, um das diskrete Problem zu lösen. Schließlich finden sich zum Nachweis der praktischen Relavanz des Verfahrens in Kapitel 7 numerische Ergebnisse für eine Vielzahl von Konfigurationen.show moreshow less

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Metadaten
Author: David Seider
URN:urn:nbn:de:bvb:20-opus-10057
Document Type:Doctoral Thesis
Granting Institution:Universität Würzburg, Fakultät für Mathematik und Informatik
Faculties:Fakultät für Mathematik und Informatik / Institut für Mathematik
Date of final exam:2004/08/06
Language:English
Year of Completion:2004
Dewey Decimal Classification:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 51 Mathematik / 510 Mathematik
GND Keyword:Laser; Simulation; Eigenwert
Tag:Eigenmode; Finite Elemente; Konvergenz bei quadratischem Eigenwertproblem; Lasersimulation; singulär gestörtes Problem
convergence for quadratic eigenvalue problems; eigenmode; finite elements; laser simulation; singularly perturbed problem
MSC-Classification:35-XX PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS / 35Bxx Qualitative properties of solutions / 35B25 Singular perturbations
65-XX NUMERICAL ANALYSIS / 65Nxx Partial differential equations, boundary value problems / 65N12 Stability and convergence of numerical methods
65-XX NUMERICAL ANALYSIS / 65Nxx Partial differential equations, boundary value problems / 65N25 Eigenvalue problems
78-XX OPTICS, ELECTROMAGNETIC THEORY (For quantum optics, see 81V80) / 78Axx General / 78A60 Lasers, masers, optical bistability, nonlinear optics [See also 81V80]
78-XX OPTICS, ELECTROMAGNETIC THEORY (For quantum optics, see 81V80) / 78Mxx Basic methods / 78M10 Finite element methods
Release Date:2004/08/13
Advisor:Prof. Dr. Christoph Pflaum